ÜNİTE 6

ÜNİTE 6
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
VE NORMAL DAĞILIM
1
Sürekli Olasılık Dağılımı
Sürekli bir rassal değişkenin olası değerleri
sonsuz ve sayılamaz olarak kabul edilmektedir.
Sürekli bir rassal değişkenin uygulanacağı pek
çok olasılık dağılımı bulunmakla birlikte, konu
kapsamı içerisinde sadece normal olasılık
dağılımı ve binom dağılımına yaklaşan normal
dağılımla karşılaştırmalarda (test amacıyla)
kullanılan Student-t dağılımı incelenecektir.
2
Sürekli Olasılık Dağılımı
Sürekli bir rassal değişkenin olası değerleri sonsuz ve
sayılamaz olarak kabul edilmektedir.
Bir başka anlatımla, sürekli bir rassal değişken bir
aralıkta ( veya aralıklarda ) her değeri alabilmekteydi.
Çünkü bir aralıkta bu değişkenin alabileceği sonsuz
sayıda değer olduğu varsayılmakla ve bu değerlerin
sayılamayacak kadar çok olduğu kabul edilmektedir.
3
Sürekli Olasılık Dağılımı
Sürekli bir rassal değişkenin olasılık dağılım
eğrisine, olasılık yoğunluk fonksiyonu da
denmektedir.
Sürekli bir rassal değişkenin olasılık dağılımı
aşağıdaki iki özelliği sağlamaktadır.
1. Bir aralıkta herhangi bir değer alan x’in olasılığı
0 – 1 arasındadır.
2. x’in aldığı tüm değerlerin olasılıkları toplamı
1’dir.
4
Sürekli bir rassal değişkenin bir aralıkta aldığı
varsayılan değerlerin olasılığı bu aralığın iki limiti
arasında ve eğri altında kalan alandır.
P (c  x  d )  ?
5
X sürekli bir rassal değişken olmak üzere, x’in
alabileceği tek bir değerin olasılığı 0’dır. Çünkü
verilen bir noktanın alanı 0’dır.
P( x  c)  0
P( x  d )  0
P (c  x  d )  P (c  x  d )
6
Normal Dağılım
• Sürekli ve kesikli rassal değişkenlerinin dağılımları birlikte
ele alındığında istatistikte en önemli dağılım Normal
dağılımdır.
• Normal dağılımın ilk uygulamaları doğada gerçekleşen
olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum göstermiştir.
Dağılımın göstermiş olduğu bu uygunluk adının Normal
Dağılım olması sonucunu doğurmuştur.
• İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan Normal
Dağılım, bir çok rassal süreçlerin dağılımı olarak karşımıza
çıkmaktadır.
• Normal dağılış kullanımının en önemli nedenlerinden biride
bazı varsayımların gerçekleşmesi halinde kesikli ve sürekli
bir çok şans değişkeninin dağılımının normal dağılışa
7
yaklaşım göstermesidir.
Normal Dağılım
• Normal dağılımın parametreleri  (ortalama) ve  (standart
sapma)’dır.
• Bu iki parametrenin verilmesi halinde, bir normal dağılımın
eğrisi altındaki, herhangi bir aralığa karşılık gelen alan
bulunabilmektedir.
• Ancak normal dağılım eğrisi tek olmayıp, bir ailedir. Çünkü
her  ve  seti için farklı bir dağılım söz konusudur.
• Bu parametrelerden , yatay eksen üzerinde bir normal
dağılımın merkezini belirtirken, ’da dağılımın yayılımını
ifade eder.
8
= standart sapma
f(x)

x
Normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonu
9
f(x)

x

f(x)
 
12
x
10
Normal Olasılık Dağılımı
Çizildiğinde çan eğrisi şeklinde bir görünümü olan normal
olasılık dağılımının üç önemli özelliği,
1.Eğri altında kalan alan 1.0 ya da % 100 ’dür.
2. Eğri ortalamaya göre simetrik olup eğri altındaki toplam
alanın yarısı ortalamanın sağında, yarısı solunda yer alrı.
3. Bir normal eğrinin iki kuyruğu yatay eksene asimptottur.
Bir normal dağılım eğrisi hiçbir zaman yatay eksene
dokunmamakla
birlikte;
–’dan
küçük
ve
( + 3)’dan büyük bir aralıkta eğri altında kalan alanın 0
olduğu düşünülmektedir.
11
Normal Dağılımın Olasılık
Yoğunluk fonksiyonu
 1

e
f ( x)   2

0

1  x 
 

2  
2
,  x  
, diger
yerlerde
 ...
e = 2,71828
 = populasyon standart sapması
 = populasyon ortalaması
12
Normal dağılım ortalama
ve
standart
sapma
parametrelerinin
değişimi
sonucu
birbirinden farklı yapılar
gösterir.
• Her dağılımın için olasılık
yoğunluk fonksiyonunu kullanarak
olasılık
hesaplama
güçlüğü
olasılık değerlerini içeren tablolar
kullanma zorunluluğunu ortaya
çıkarmıştır .
• Birbirinden farklı sonsuz sayıda
normal dağılış olabileceği için
olasılık
hesaplamasında
kullanmak üzere sonsuz sayıda
tablo gereklidir.
13
Standart Normal Dağılım
• Olasılık hesaplamasındaki zorluktan dolayı normal
dağılış gösteren şans değişkeni standart normal
dönüştürülür.
• Böylece tek bir olasılık tablosu kullanarak normal
dağılış ile ilgili olasılık hesaplamaları yapılmış olur.
• Standart normal dağılımda ortalama 0 , varyans
ise 1 değerini alır.
• Standart normal rassal değişken z ile gösterilir.
14
15
Standart Normal Dağılım
Tablosunu Kullanarak
Olasılık Hesaplama
P (0  z  1)  ?
P(0  z  1)  0,3413
16
P ( z  1)  ?
1  P (0  z  1)  1  0,3413  0,1587
17
SİMETRİKLİK ÖZELLİĞİNDEN DOLAYI 0’DAN
EŞİT UZAKLIKTAKİ Z DEĞERLERİNİN 0 İLE
ARASINDAKİ KALAN ALANLARININ DEĞERLERİ
BİRBİRİNE EŞİTTİR.
P ( 0  z  a )  P (  a  z  0)
18
P(1  z  1)  ?
P (1  z  1)  P (1  z  0)  P (0  z  1)
 2 * P (0  z  1)  2(0,3413)  0,6826
19
Örnek: P1.2  z  2.2  P1.2  z  0  P0  z  2.2
 0.3849 0.4861 0.8710
-1.2
0
2.2
1.2
z
20
Örnek:
Pz  1.64  Pz  1.64  0.4495
 0.5  P0  z  1.64
 0.5  0.4495
 0.0505
0.0505
-1.64
0
1.64
z
21
Normal Dağılımın Standartlaştırılması
Normal dağılım gösteren sürekli bir rassal değişkenin, bir
dönüştürme neticesinde standart normal dağılımlı bir değişkene
çevrilmesi işlemine normal dağılımın standartlaştırılması adı verilir.
Bu amaçla normal dağılım gösteren x rassal değişkeninin, standart
normal dağılım gösteren z rassal değişkenine dönüştürülmesi
yapılması gereklidir.
f(x )
-x
0

x
a
0
x
b
22
-z
0
0
z
0
Z
a
Z
b
z
x değerinin z değerine dönüştürülmesi
z
x

• X ~ N (  , 2 )
• Z ~ N ( 0 , 1)
f(z )




z
23
f(x)
x

a
f(z)
z
P (   x  a )  P (o  z  z1 )
0
z
1
24
Normal Dağılımın Standart Normal
Dağılım Dönüşümü
P ( a  X  b)  ?
X ~ N (  , 2 ) Z ~ N ( 0 , 1)
a x b 
P ( a  X  b)  P




 
 
 P ( z a  z  zb )
f(z )
a

b
za 
zb
z
25
• Örnek:
Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının
uzunluğunun, ortalaması 10 mm ve standart sapması
2 mm olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir.
Buna göre rasgele seçilen bir vidanın uzunluğunun
8,9mm ‘den az olmasının olasılığını hesaplayınız.
P( X  8,9)  ?
X ~ N (  ,  )
 x   8,9  10 
P( X  8,9)  P

  P( z  0,55)
2 
 
f(z )
P ( z   0,55 )  0,5  0, 2088
 0, 2912
-0,55
0
z
26
Ö r n e k : B ir iş l e t m e , ö m r ü n o r m a l d a ğ ı lı m a u y a n  = 1 2 0 0 s a a t
o r ta la m a lı,  = 3 0 0 s ta n d a r t s a p m a lı a m p u l le r ü r e t il m e k t e d ir .
Ü r e ti m d e n s e ç i le n b ir a m p ü lü n ö m r ü n ü n 9 0 0 - 1 3 0 0 s a a t a r a s ın d a
o l m a s ı o la s ılı ğ ı n e d ir ?
P  900
 x  1300

 ?
0 .3 4 1 3
900
-1
0 .1 2 9 3
1200
0
x
1300
z
1 /3


 9001200 x   13001200
P


  P 1 z  13  P1  z  0  P0  z  0.33

300 
 300
 0.3413 0.1293 0.4706
27
Örnek: Belli bir dersten sınava giren öğrencilerin not ortalamaları 60,
standart sapmaları 15’dir.
a) 85 ile 95 arasında not alan öğrencilerin oranını bulunuz.
 85  60 x   95  60 
P 85  x  95  P


  P 1.67  z  2.33

15 
 15
 P 0  z  2.33  P 0  z  1.67   0.4901  0.4525  0.0376
0 .0 3 7 6
60
85
95
0
1 .6 7
2 .3 3
x
z
28
b) Hangi notun üstündeki öğrenciler üst %10 grubuna girer?
P  x  b   0 .1
0 ,1
0 .4
60
0
b = 79 .2
1 .28
x
z
P 60  x  b   0.4
 60  60 x   b  60 
P


  0 .4
15

15


b  60


P0  z 
 1.28   0.4
15


b  60
 1.28  b  60  1.28(15)  b=79.2
15
29
Binom Dağılımının Normal
Dağılımına Yakınsaması
30
X rassal değişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı
göstermek üzere, n deneme sayısının büyük olduğu ayrıca p
başarı olasılığının 0,5 değerine yaklaşması sonucunda
( tercihen np > 5 ve nq > 5 ) , x rassal değişkeni ile ilgili
olasılık hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından
Binom Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır.
Normal Dağılımın parametreleri olan  ve 2 tahmin edilirken
Binom Dağılımının beklenen değer ve varyans formülleri
dikkate alınır.
•Normal Dağılım
•Binom Dağılımı
E (x)  
2
Var ( x)  
E ( x)  np
Var ( x)  np (1  p )
  np
  np(1  p)
2
31
Süreklilik Düzeltmesi
• Binom Dağılımı kesikli, normal dağılım ise sürekli bir dağılım
olduğundan dolayı, binom dağılımını normal dağılıma
yakınsadığı durumlar için olasılık hesaplamalarında süreklilik
düzeltmesi kullanılması zorunluluğu vardır.
• Kesikli bir şans değişkeni gösteren dağılım sürekli bir
dağılıma yakınsadığında tamsayı değerleri sürekli bir eksende
tanımlanır.
P (a  X  b)  P a  0,5  X  b  0,5
P ( X  a )  P X  a  0,5
P( X  a)  P X  a  0,5
32
• Örnek: Bir kampüste okuyan öğrencilerin % 20 si sigara
içmektedir. Öğrencilerden 225 kişilik bir örnek alındığında,
a) 40’dan fazla kişinin sigara içme olasılığını,
b) 30 kişinin sigara içme olasılığını hesaplayınız.
n = 225 p = 0,20
np = 45 > 5
np = 225(0,20)= 45 np(1 p)  225(0,20)(0,80)  6
a) P ( X ≥ 40) =? →
P ( X ≥ 39,5) = ?
39,5  45 

P( X  39,5)  P z 
  P( z  0,92)  0,5  0,3212  0,8212
6


b) P ( X = 30) =? → P ( 29,5 < X < 30,5) = ?
30,5  45
 29,5  45
P(29,5  X  30,5)  P
z
  P(2,58  z  2,42)
6
6


33
 0,4949 0,4922 0,0027