boyutlu uzay

6. BÖLÜM
VEKTÖR UZAYLARI
n-BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI
Tanım: Eğer n pozitif bir tam sayı ise sıralı n-sayı, gerçel
sayılar kümesindeki n adet sayının (a1, a2,…, an) bir
dizisidir. Tüm sıralı n-sayılarının kümesi n-boyutlu
uzay olarak adlandırılır ve
n
  a1 , a2 ,
n
ile gösterilir.
, an  :1  i  n için ai 

VEKTÖR UZAYI
Tanım: V boş olmayan bir küme ve  n-boyutlu uzay (cisim)
olsun. Aşağıdaki önermeler doğru ise V kümesi 
uzayı üstünde bir vektör uzayıdır.
n
n
VEKTÖR UZAYI
1. V kümesinde + ile gösterilen ve adına toplama denilen
bir işlem tanımlanmıştır. Bu işlemin aşağıdaki özellikleri
vardır.
a. Her u,vV için u+v tanımlıdır ve u+vV.
V kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
b. Her u,v,wV için (u+v)+w=u+(v+w)
V kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği
vardır.
c. 0V ve her uV için u+0=0+u
V kümesinde toplama işleminin birim elemanı
vardır 0 ile gösterilir.
d. her uV için V kümesinde –u ile gösterilen ve
u+(-u)=0 ve (-u)+u=0
eşitliklerini sağlayan bir –u elemanı vardır ve V
kümesinde toplamaya göre ters elemanı temsil eder.
e. Her u,vV için u+v=v+u özelliği vardır.
V kümesinde toplama işleminin değişme özelliği
vardır.
VEKTÖR UZAYI
 V  V , (a,u)au biçiminde, adına skalerle çarpma
işlemi denilen bir fonksiyon tanımlanmıştır ve bu
fonksiyon aşağıdaki önermeleri doğrular:
a. Her a  ve her u,vV için a(u+v)=au+av.
b. Her a, b ve her uV için (a+b)u=au+bu.
c. Her a, b ve her uV için (ab)u=a(bu).
d. nin çarpmaya göre birim elemanı 1 olduğuna
göre V nin her elemanı için 1u=u.
VEKTÖR UZAYI
Not: Verilen tanımda 1a-1d önermeleri (V,+) ikilisinin bir
grup olduğunu gösterir.
1e önermesi ise (V,+) grubunun değişmeli grup
olduğunu gösterir.
Tanım: Bir vektör uzayının her bir elemanına vektör denir.
ALT VEKTÖR UZAYI
Tanım: V kümesi,  uzayı üstünde bir vektör uzayı ve H
kümesi ise, V nin boş olmayan bir alt kümesi olsun.
Aşağıdaki iki önerme doğru ise H kümesi V
kümesinin bir alt vektör uzayıdır denir.
1. Her u,vH için u+vH
H kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Her a  ve her uH için auH
H kümesi skalerle çarpma işlemine göre kapalıdır.
n
VEKTÖR UZAYI
• İki vektör birbirleriyle çarpılabilir fakat
bölünemez.
• İç çarpım ve vektörel çarpım, vektör
uzaylarında yer almaz.
Örnek: En temel örnek  n uzayında vektörlerin toplanması ve çarpılmasıdır(iç çarpım)
Örnek:  n uzayının herhangi doğrusal bir alt uzayı da bir vektör uzayıdır. Alt uzayın tanımı göz önüne
alınarak, vektörlerle birlikte vektörlerin toplamları ve çarpımları tanımlı oldukları alt uzayda anlamlıdır.
VEKTÖRLERİN DOĞRUSAL
KOMBİNASYONU
n
Tanım: V kümesi,
uzayı üstünde bir vektör uzayı ve E
kümesi, E  v1 , v 2 , , v n  ise, V nin boş olmayan
sonlu bir alt kümesi olsun.
uzayından (cisminden)
herhangi c1 , c2 , , cn elemanları alınarak elde edilen,
w  c1v1  c2 v 2   cn v n
vektörüne v1 , v 2 , , v n vektörlerinin doğrusal
kombinasyonu denir.
Bkz. Soru 1
DOĞURAN(BAZ) VEKTÖRLER
Tanım: V vektör uzayının her v vektörü, yine bu uzayın
v1 , v 2 , , v n gibi n tane vektörünün doğrusal
kombinasyonu olarak;
v  c1v1  c2 v 2   cn v n   ci vi
şeklinde ifade edilebiliyorsa, bu vektörler kümesine,
v1 , v 2 , , v n vektörleri tarafından türetilmiş (gerilmiş)
bir vektör uzayı denir. v1 , v 2 , , v n vektörlerine
uzayın türeten (gergi) vektörleri ya da baz vektörler
denir.
DOĞRULMUŞ UZAY
Tanım: S  v1 , v 2 , , v n  baz vektörler kümesi ile türetilmiş
bir W doğrusal uzayı,
lin  S  ya da lin v1 , v 2 , , v n 
ile gösterilir.
Bkz. Soru 2
DOĞRULMUŞ UZAY
Teorem:
α1, α 2 ,
, α n  ve β1 , β 2 , , β k  kümeleri bir V
vektör uzayının alt kümeleri olsun. 1  j  n
olacak şekilde her j doğal sayısı için α j vektörü,
kümesinin
bir
doğrusal
β1, β2 , , βk 
kombinasyonu,
α j  c1 j β1  c2 j β 2 
ise
lin α1 , α 2 ,
k
 ckj β k   cij β j
, α n   lin β1, β2 ,
i 1
, βk 
EN KÜÇÜK ALT UZAY
Teorem: v1 , v 2 , , v n , V vektör uzayındaki vektörler olsun.
a. v1 , v 2 , , v n
vektörlerinin
tüm
doğrusal
kombinasyonlarının oluşturduğu W kümesi V vektör
uzayının bir alt kümesidir.
b.Eğer v1 , v 2 , , v n vektörlerini içeren V vektör
uzayının en küçük alt uzayı W ise v1 , v 2 , , v n
vektörlerini içeren V vektör uzayının tüm diğer alt
uzayları W kümesini içerir.
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK
Tanım: Eğer S  v1 , v 2 , , v n  boş olmayan bir vektörler
kümesi ise,
c1v1  c2 v 2   cn v n  0
vektör denkleminin,
c1  c2   cn  0
ile tanımlanan en az bir çözümü vardır. Tek çözüm
bu sıfır çözümü ise vektörler doğrusal
bağımsızdırlar. En az bir ci  0 olacak şekilde
çözüm var ise vektörler doğrusal bağımlıdır.
Bkz. Soru 3
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK
Teorem:
uzayında,
v1   v11 , v21, , vm1  ,
m
v m   v1m , v2 m,
v1,
v 2   v12 , v22,
, vm 2  ,
…,
, vmm  vektörleri verilmiş olsun.
, v m  vektör kümesinin doğrusal bağımsız
olması için,
v11 v12
v1m
v21
v22
v2 m
0
vm1 vm 2
vmm
olması gerekli ve yeterlidir.
Bkz. Soru 3
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK
Teorem: İki ya da daha fazla vektör içeren bir S kümesi,
a. ancak ve ancak S kümesindeki vektörlerden en az
biri bu kümedeki diğer vektörlerin doğrusal
kombinasyonu olarak ifade edilebiliyor ise
doğrusal bağımlıdır.
b. ancak ve ancak S kümesindeki vektörlerin hiç biri
bu kümedeki diğer vektörlerin doğrusal
kombinasyonu olarak ifade edilemiyor ise
doğrusal bağımsızdır.
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK
Teorem:
uzayında, v1 , , v n vektörleri verilsin. m<n ise
v1, , v n  kümesi doğrusal bağımlıdır.
m
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN
GEOMETRİK YORUMU
ya da 3 boyutlu uzayda başlangıç noktaları orijine
yerleştirilmiş iki vektör ancak ve ancak, aynı doğru üzerinde
yer almıyor ise bağımsızdırlar.
2
Doğrusal Bağımlı
Doğrusal Bağımlı
Doğrusal Bağımsız
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN
GEOMETRİK YORUMU
boyutlu uzayda başlangıç noktaları orijine yerleştirilmiş
üç vektör ancak ve ancak, aynı düzlem üzerinde yer almıyor
ise bağımsızdırlar.
3
Doğrusal Bağımlı
Doğrusal Bağımlı
Doğrusal Bağımsız
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ
Düzlemsel analitik geometride, düzlemdeki bir P noktasına ait
(a,b) koordinatları, birbirine dik iki koordinat ekseni üzerine
P noktasının izdüşüm değerlerini belirtir.
Her bir koordinat çifti bu düzlemdeki bir ve yalnız bir noktaya
karşılık gelir.
Koordinat sistemi düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı
çiftleri arasında bire bir bir ilişki tanımlar.
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT
SİSTEMİ
Birbirine dik eksenlerden oluşan koordinat sistemi en çok
kullanılan sistemdir.
Bununla birlikte bu düzlemde birbirine paralel olmayan her
hangi iki doğru da bir koordinat sistemi tanımlamak için
kullanılabilir.
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT
SİSTEMİ
Amaç; bir koordinat sistemi kavramını vektör uzayları
üzerinden genellemektir.
Başlangıç aşaması, bu koordinat sistemini oluşturan
eksenler yerine vektörlerin kullanılmasına imkan
tanıyan bir formülasyon tanımlamaktır.
Her bir koordinat ekseni uzunluğu 1 birim olan bir
vektör ile değiştirilir. Örneği v1 ve v2 gibi.
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT
SİSTEMİ
P düzlemdeki bir nokta ise OP vektörü, v1 ve v2 vektörlerinin
doğrusal kombinasyonu;
OP=av1+bv2
olarak yazılabilir.
Vektör formülünde yer alan a ve b sayıları P noktasının bu
koordinat sistemindeki koordinat değerleridir.
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT
SİSTEMİ
Tanım: Bir koordinat sistemini belirleyen vektörlere baz
vektörler denir.
Birim uzunlukta olmaları şart değildir.
Bir koordinat sistemi baz vektörler kümesi ile
tanımlandığında, baz vektörlerin uzunlukları
koordinat eksenleri üzerindeki ardışık tam sayılar
arasındaki mesafeyi belirler.
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ
BAZ: TABAN
Tanım:Eğer V her hangi bir vektör uzayı ise ve
S  v1 , v 2 , , v n , V vektör uzayındaki bir vektörler
kümesi ise, aşağıdaki iki şartı sağlaması durumunda
S kümesi baz olarak adlandırılır.
a. S kümesi doğrusal bağımsızdır.
b.S kümesi V vektör uzayını türetir.
STANDART BAZ
Matematikte bir problem ilk kez oluşturulduğunda en çok bilinen
ve kullanılan standart koordinatlardır. Örneğin problem  3 uzayında
tanımlanmış ise x, y ve z ile tanımlanan kartezyen koordinatlar kullanılır.
Bu koordinat sisteminde tanımlı standart baz,
 x
 
 y 
z
 
1
 
x 0  
 0
 
 0
 0
 
 
y 1   z 0   xe1  ye 2  ze 3
 0
1
 
 
eşitlikleri ile verilebilir.
S  e1 , e 2 , e 3 
kümesi  3 için standart baz vektörlerdir.
STANDART BAZ
uzayındaki birim vektörler
e1  1,0, ,0  , e2   0,1, ,0  ,…, en   0,0, ,1
ise bu vektörlerin oluşturduğu küme,
S  e1 , e2 , , en 
 uzayında doğrusal bağımsız bir kümedir.  uzayındaki her
hangi bir v   v1 , v2 , , vn  vektörü
v  v1e1  v2e2   vnen
şeklinde yazılabileceği için S kümesi aynı zamanda  vektör
uzayını türetir.
Tanım: S  e1 , e2 , , en  kümesi  vektör uzayı için bir
bazdır ve standart baz olarak adlandırılır:
Bir
n
n
n
n
n
STANDART BAZ
 n uzayında tanımlı standart baz S  e1 ,..., e n vektörlerin önemli
iki özelliği:

Standart baz vektörler birim uzunluğa sahiptir.
ei  ei ei  eiT ei  1

Standart baz vektörler çifterli olarak ortogonaldir.
ei e j  eiT ei  0 ,
i  j için
Bu iki özellik,
1 , i  j
ei e j   ij  
0 , i  j
şeklinde özetlenebilir. Burada  ij Kronecker deltadır ve birim matrisin
elemanlarını tanımlar.
STANDART BAZ
Yukarıdaki eşitliklerden görülebileceği gibi verilen v ve w
gibi iki sütun vektörü için v.w iç çarpımı ile v T w matris
çarpımı aynı sonucu verir. Burada sonuç bir skalerdir.Bununla
birlikte vw T şeklinde tanımlanan dış çarpım sonucunda bir
kare matris elde edilir. Standart baz vektörlerin dış çarpımı ile
aşağıdaki ilginç matrisler elde edilir.
STANDART BAZ
π1  e1e1T
1
 
 0
  1 0  0

 
 0
 
1 0  0


 0 0  0


 


 0 0  0



π n  e n e Tn
 0
 
 0
  0 0  1

 
1
 
 0 0  0


 0 0  0


 


0 0  1


STANDART BAZ
π i matrislerinde i-inci köşegen eleman 1 olup, diğer tüm elemanlar sıfırdır.
π i π l  e i eTi e j eTj
 e i δ ij eTj
olduğundan,
π i  j
πi πl   i
0 i  j
olur.
Ayrıca köşegen elemanları 1 , 2 ,..., n olan bir D köşegen matrisi,
D  1 π1  ...  n π n
şeklinde yazılabilir.
FARKLI BAZ YAPILARI
Bazı özel problemler için, problemi basitleştiren farklı bir koordinat
sistemi de olabilir. Örneğin; bir gezegenin güneş çevresindeki hareketi
ile ilgilenildiğinde güneş, orijin noktasına konularak problemin çözümü
kutupsal koordinatlarda gerçekleştirilebilir.
Standart bazdan farklı vektörlerin tanımladığı vektör kümesi genellikle,
S  v1 ,..., v n 
şeklinde tanımlanır.
BAZ: TABAN
Teorem 6.1: Eğer S  v1 , v 2 , , v n  kümesi bir V vektör
uzayının bazı ise, V vektör uzayındaki her v
vektörü
v  c1v1  c2 v 2   cn v n
olacak şekilde tek bir doğrusal kombinasyonla
ifade edilebilir.
Bkz. Soru 4
Bkz. Soru 5
BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR
Tanım: Eğer S  v1 , v 2 , , v n  kümesi bir V vektör uzayının
bazı ise ve herhangi bir v vektörü
v  c1v1  c2 v 2   cn v n
ile tanımlanmış ise c1 , c2 , , cn skalerleri S bazına göre
v vektörünün koordinatlarıdır ve
 v s
 c1 
 
c 
 2

 
c 
 n
ile gösterilir.
Bkz. Soru 6
BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR
Teorem:  n uzayında tanımlı bir v vektörünün koordinatları eşsizdir.
İspat:  2 uzayında tanımlı bir v vektörü için iki koordinat kümesinin olduğu
varsayılsın:
v  c1 v1  c2 v 2
v  d1 v 1  d 2 v 2
BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR
Bu iki ifade birbirinden çıkarılarak,
0  c1  d1 v1  c2  d 2 v 2
v1 , v 2 baz vektörleri, doğrusal bağımsız olduğu için c1  d1  0 ve
c2  d 2  0 olmalıdır. Sonuç olarak c1  d1 ve c2  d 2 bulunur. Bu sonuç
koordinatların eşsiz olduğunu kanıtlar.
Elde edilen sonuç  n için genellenebilir.
BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR
Eğer bir  n uzayı için bir baz vektörler kümesi S  v1 ,..., v n 
tanımlanmış ise, bu vektör uzayındaki bir v vektörünün bu baza göre
koordinatları, baz vektörlerin oluşturduğu,
A  v1 ,..., v n 
matrisi ve bilinmeyen koordinat vektörünün
 c1 
 
vs    
c 
 n
oluşturduğu
Av s  v
doğrusal denklem sistemi çözülerek elde edilir.
ORTOGONAL-ORTANORMAL
BAZLAR
Standart baz gibi önemli özelliklere sahip diğer baz yapıları da
ortogonal ve ortanormal bazlardır.
Ortogonal baz p1 ,..., p n vektörler kümesindeki tüm vektörler
ikişerli olarak birbirine diktir(ortogonaldir).
pip j  0 ,
i  j için
Ortanormal baz u1 ,..., u n vektörler kümesindeki tüm vektörler
ortogonal olmalarının yanında, aynı zamanda birim uzunluğa sahiptir.
u i u j  δ ij
ORTANORMAL BAZLAR
Teorem: bir ortanormal baz u1 ,..., u n için v vektörü,
v  vu 1 u1  ...  vu n u n
  vu i u i
i
şeklinde ifade edilebilir.
ORTANORMAL BAZLAR
İspat:  n için bir ortanormal baz T  u1 ,..., u n  olsun.
T bir baz olduğu için  n ’deki bir v vektörü baz vektörlerin
doğrusal kombinasyonu olarak,
v  c1u1  ...  cnu n
yazılabilir.
ORTANORMAL BAZLAR
T kümesindeki herhangi bir vektör ile v vektörünün iç çarpımı, u i
vektörleri ortanormal olduğundan,
vu i  c1u1u i  ...  ci u i u i  ...  cn u n u i
 c1 0  ...  ci 1  ...  cn 0
 ci
Elde edilen sonuç kullanılarak,
v  vu 1 u1  ...  vu 1 u1
ispat tamamlanır.
BAZ ve BOYUT
Tanım: Sıfırdan farklı bir vektör uzayı V, eğer baz vektörler
kümesi v1 , v 2 , , v n  sonlu sayıda vektörü içeriyor
ise sonlu boyutlu olarak adlandırılır. Aksi halde
sonsuz boyutlu vektör uzayı denir.
BAZ ve BOYUT
Teorem: Eğer S  v1 , v 2 , , v n  kümesi bir V vektör
uzayının bazı ise V vektör uzayındaki n adetten
fazla vektör içeren her küme doğrusal bağımlıdır.
Teorem: Sonlu boyutlu bir vektör uzayı için her hangi iki baz
küme aynı sayıda vektöre sahiptir.
Tanım: Sonlu boyutlu bir V vektör uzayının boyutu baz
vektör kümesindeki vektör sayısıdır ve
dim(v)
ile gösterilir
BAZ ve BOYUT
Teorem: V boyutu n olan bir vektör uzayı olsun.
a. S  v1 , v 2 , , v r  kümesi V vektör uzayındaki
doğrusal bağımsız vektörlerin oluşturduğu bir küme
ise ve eğer r<n ise, S kümesi V vektör uzayının bir
bazı olacak şekilde v r 1 , v r  2 , , v n vektörleri dahil
edilerek genişletilebilir.
Burada V vektör uzayının baz kümesi;
S  v1 , v 2 , , v r , v r 1, v r  2 , , v n 
b. Eğer W, V vektör uzayının bir alt uzayı ise;
dim W   dim V  .
Ancak ve ancak W=V ise dim W   dim V 
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY
Tanım: Boyutu mn olan bir A matrisi
a1n 
 a11 a12
a

a
a
22
2n 
A   21




a
a
a
mn 
 m1 m 2
olsun. A matrisinin satır vektörleri;
r1   a11 , a12 ,
a1n 
r2   a21 , a22 ,
a2 n 
rm   am1 , am 2 ,
amn 
ve sütun vektörleri:
 a12 
 a11 
 a1n 
a 
a 
a 
c1   21  , c 2   22  , , c n   2 n 
 
 
 
 
 
 
a
a
 m2 
 m1 
 amn 
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAYI
Boyutu mn olan bir A matrisi sütun vektörlerine göre,
A  c1 c2
cn 
ya da satır vektörlerine göre,
 r1 
r 
A 2
 
 
rm 
yazılabilir.
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAY
Teorem: Eğer A ve B satır denk matrisler ise
a. A matrisinin verilen bir sütun vektörü kümesi
ancak ve ancak B matrisinin karşılık gelen sütun
vektörü kümesi doğrusal bağımsız ise doğrusal
bağımsızdır.
b. A matrisinin verilen bir sütun vektörü kümesi
ancak ve ancak B matrisinin karşılık gelen sütun
vektörü kümesi B matrisinin sütun uzayı için bir
baz oluşturuyor ise A matrisinin sütun uzayı için
bir baz oluşturur.
Bkz. Soru 9
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAY
Teorem: Eğer bir matris satır echelon yapısında ise satırda
ilk 1 (pivot) elemana sahip sütun vektörleri bu
matrisin sütun uzayı için bir baz oluşturur.
Bkz. Soru 10
Sütun uzayı için bulunan vektörler orijinal matrisin
vektörleridir. Bununla birlikte satır uzayı için yapılan
çalışmada bulunan baz vektörler orijinal matrisin vektörleri
değildir.
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAYI
Sonuç olarak bir Ax doğrusal denklem sistemi;
 a1n xn 
 a11 x1  a12 x2 
a x  a x 


a
x
22 2
2n n 
Ax   21 1







a
x
a
x
a
x
m2 2
mn n 
 m1 1
 a11 
 a12 
 a1n 
a 
a 
a 
 x1  21   x2  22    xn  2 n 
 
 
 
 
 
 
a
a
 m1 
 m2 
 amn 
ya da eşdeğer olarak:
Ax  x1c1  x2c2   xncn
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY
Doğrusal cebir uygulamalarında,  uzayının alt uzayları
n
genellikle şu iki şekilde ortaya çıkar:
1) doğrusal homojen denklem sisteminin çözüm kümesi
olarak Ax  0 (boş uzay) ya da
2) verilen vektörler kümesinin tüm doğrusal
kombinasyonlarının kümesi olarak, Ax  b
[rank(A)]
BOŞ UZAY
Bir Matrisin Boş Uzayı:
Bir homojen denklem sisteminin çözüm kümesi, vektör
uzayıyla tanımlanabilir.
Boyutu m×n olan bir A matrisi için boş uzay, Ax  0
denklem sisteminin çözüm kümesidir.
Tanım: Boş Uzay
Boyutu m×n olan bir A matrisinin Null(A) ile gösterilen boş
uzayı, Ax  0 homojen denklem sisteminin tüm çözümlerinin
kümesidir.
Küme notasyonunda,

Null A  x : x   n

ve Ax  0
A matrisinin boş uzayı ker(A) (çekirdek) olarak adlandırılır.
BOŞ UZAY
Not-1: Belirtilen bu küme  n uzayının bir alt uzayıdır. Eğer boyutu m×n olan bir matris
inceleniyorsa, Null(A) uzayının elemanları  n uzayında tanımlı vektörlerdir.
Not-2: Null(A) uzayının elemanları(hangi vektör uzayına ait oldukları), sadece A matrisinin
sütun sayısına bağlıdır.
Not-3: Homojen denklem sistemlerinde daima en az bir sıfır çözüm (0 vektörü) olduğundan,
Null A  0 olur. Asıl soru sıfırdan farklı çözümün olup olmadığıdır.
Eğer A matrisinin tersi alınabiliyorsa, Null A   0’dır. Bunun anlamı:
Eğer A matrisinin tersi alınabiliyorsa, Ax  0 homojen denklem sisteminin
sadece sıfır çözümü vardır.
BOŞ UZAY
Bir uzay için herhangi bir alt uzay (bir matrisin boş uzayı gibi) tanımlamanın en kolay
yolu, o uzay için bir baz tanımlamaktır.
Bir denklem sisteminin çözümünde A b genişletilmiş matrisi üzerine elemanter
satır işlemleri uygulanarak çözüm elde edilmekteydi. Bu nedenle elemanter satır
işlemlerinin doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini değiştirmediği açıktır.
Not-4: Bir matrisin bazı, elemanter işlemler ile matrisi echelon matrise indirgeyerek
belirlenir. Daha sonra Ax  0 için çözüm kümesi bulunmalıdır.
Bir matrisin boş uzayı bulunmak istendiğinde, öncelikle bunun için bir baz belirlenmelidir.
Öncelikle Null(A) uzayının elemanlarının,  n uzayının elemanları olduğu belirlenmelidir.
BOŞ UZAY
Boyutu mn olan bir A matrisinden elemanter satır
işlemleri ile elde edilen matris B olsun. Bu matrislerin
sütun vektörleri sırası ile,
c1 , c2 , , cn
c1 , c2 , , cn
olsun. İki matris için homojen doğrusal denklem sistemleri
Ax=0
Bx=0
ya da
x1c1  x2c2   xncn x1c1  x2c2   xncn
BOŞ UZAY
Örnek:
 3 6  1 1  7 
A   1  2 2 3  1 matrisinin
 2  4 5 8  4
boş uzayı belirlensin.
Bu sistemin genişletilmiş matrisi,
  3 6  1 1  7  0
 1  2 2 3  1  0


 2  4 5 8  4 0
Sistemin
ve echelon
 x1  2r  s  3t

x2  r

çözümü  x3  2s  2t

x4  s


x5  t
1  2 0  1 3  0
yapısı 0 0 1 2  2 0
0 0 0 0
0  0
BOŞ UZAY
ya da
 x1 
 2
 1   3
x 
1 
 0  0
 2
 
   
 x3   r 0  s  2  t  2  şeklinde yazılabilir.
 
 
   
 x4 
0 
 1  0
 x5 
0
 0   1 
BOŞ UZAY
 3
2
1 
1 
0 
0
 
 
 
u  0  , v   2 ve w   2 
 
 
 
0
1
 
 
0
0 
 0 
 1 
olmak üzere, u, v, wkümesi Null(A) uzayını tanımlayan baz
vektörlerdir ve Null(A), u, v, w’nin bir alt kümesidir. Belirtilen
bu küme doğrusal bağımsızdır ve Null(A) için bir bazdır. Böylece
Null(A), 3 boyutludur ve
2  1   3 
      
 1   0   0  


 0  ,   2 ,  2  
 0   1   0  
      
0  0   1  
bazıyla  5 uzayının bir alt uzayıdır.
BOŞ UZAY
Teorem: Bir A matrisi üzerinde yapılan elemanter satır işlemleri Null(A) uzayını
değiştirmez.
Tanım: Bir A matrisi için boşluğun boyutu, nullity(A) ile gösterilir ve boş uzayın
boyutuna eşittir.
Örnek:
BOŞ UZAY
Aşağıda verilen bir A matrisi ele alınsın.
 3  1 1
A


1
1
1


Buna göre 1,2,1 vektörü,
1
 3  1 1   0
 1 1 1  2   0

  1  
 
Sağlanıyorsa A matrisinin boş uzayında yer alır.
BOŞ UZAY
Aynı şekilde 1,1,1 vektörü,
1
 3  1 1   3 0
 1 1 1 1  1  0

 1    

Eştiliğini sağlamadığı için A matrisinin boş uzayında yer almaz.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Tanım: Boyutu m×n olan bir A matrisi için,
1. A matrisinin satır uzayı, yine A matrisinin satır vektörleri olan
r1 ,..., rm  bazının tanımladığı bir uzaydır.
2. A matrisinin sütun uzayı, yine A matrisinin sütun vektörleri olan
c1 ,..., c m  bazının tanımladığı bir uzaydır.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Not: Bir A matrisinin satır uzayı  n uzayının bir alt uzayı, sütun
uzayı ise  m uzayının bir alt uzayıdır. Böylece Boyut(satır uzayı(A))≤n ve
Boyut(sütun uzayı(A))≤m olur.
Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü ile matrisler arasında yakın bir ilişki
olduğuna göre, bir A matrisinin ve Ax  b denklem sisteminin boş uzayı, satır
uzayı ve sütun uzayı arasında bir ilişki mevcut mudur?
SATIR-SÜTUN UZAYI
Bilinmeyen vektörü
 x1 
x 
x   2

 
 xn 
olmak üzere, denklem sistemi
Ax  x1c1  x2 c 2  ...  xn c n
şeklinde yazılabilir. Böylece x1c1  x2 c 2  ...  xn c n  b olur.
Bu sistemin bir çözümünün olabilmesi için b vektörü, c1 , c 2 ,..., c n 
kümesinin tanımladığı uzayda yer almalıdır.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Teorem: Ax  b denklem sistemi, sadece ve sadece b vektörü
A matrisinin sütun uzayında bulunduğunda tutarlıdır.
Teorem: Bir A matrisi üzerinde yapılan elemanter satır işlemleri satır uzayını değiştirmez.
Not: Tüm matrisler eşsiz bir satır-echelon yapıya dönüştürülebilir
Not: Bu teorem bir A matrisinin sütun uzayı için geçerli değildir.
Örnek:
1 2 1
1 2 1



1 2 1

 R21( 1) 0 0 0
İkinci matrisin sütun uzayının tüm ikinci elemanları sıfırken, ilk matris için aynı durum
söz konusu değildir.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Teorem: A ve B satır denk matrisler(birinde uygulanan elemanter satır
işlemleriyle diğeri elde edilebiliyorsa) olmak üzere,
1. A matrisinin sütun vektörleri kümesi sadece ve sadece B matrisinde
bu vektörlere karşılıkgelen sütun vektörleri doğrusal bağımsız ise
doğrusal bağımsızdır.
2. A matrisinin sütun vektörleri kümesi sadece ve sadece, B matrisinde
bu vektörlere karşılık gelen sütun vektörleri B matrisinin sütun uzayı
için bir baz tanımladığı durumda A matrisinin sütun uzayı için bir baz
tanımlar.
Not:
 Satır-echelon formdaki bir matrisin sıfır olmayan satırları bağımsızdır.
 Satır-echelon formdaki bir matrisin sıfır olmayan satırları, matrisin
satır uzayı için bir baz tanımlar.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Teorem: Eğer bir A matrisi echelon formda ise,
1. Pivot elemanı 1 olan satır vektörleri A matrisinin satır uzayı
için birer baz tanımlar.
2. Pivot elemanı 1 olan sütun vektörleri A matrisinin sütun uzayı
için birer baz tanımlar.
Sütun uzayı için bulunan vektörler, orijinal matrisin vektörleridir. Bununla
birlikte, satır uzayı için yapılan çalışmada bulunan baz vektörler, orijinal
matrisin vektörleri değildir.
Yukarıdaki iki teoremden anlaşılabileceği üzere, bir matrisin satır uzayı
araştırılıyor ise ilk işlem, matrisi satır echelon yapıya dönüştürmek ve pivot
elemana sahip satırları belirlemektir
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAY
Satır uzayının orijinal matris vektörleri olarak elde
edilmesi:
a. Orjinal matrisin transpozunu al.
Bu işlem orijinal A matrisinin satır uzayını AT
matrisinin sütun uzayına dönüştürür.
b. AT matrisi için satır echelon matrisi elde et.
Bu işlem AT matrisinin sütun uzayı için baz vektörleri
bulacaktır.
c. Bulunan baz sütun vektörlerinin transpozunu al.
Bu işlem A matrisinin satır uzayını orijinal vektörler
cinsinden elde eder.
Bkz. Soru 11
SATIR-SÜTUN UZAYI
Elemanter satır işlemleri sonucunda sütun uzayı aynı kalmadığı için, bir matrisin
sütun uzayının belirlenmesi kısmen daha zordur. Bir A matrisinin satır-echelon
formdaki yapısı B matrisi olsun. Belirtilen A matrisinin sütunları c1 ,..., c n , B
matrisinin sütunları da c1' ,..., c 'n vektörleri olsun. Bu durumda B matrisinin
sütunlarında pivot elemanı 1 olan sütunlara bakılır. A matrisinin sütun uzayında
baz oluşturan c i vektörleri, B matrisinin sütunlarında pivot elemanı 1 olan
sütunlara karşılık gelen c i' vektörlerinin indisi i değerlerine göre belirlenir.
RANK VE BOŞLUK (NULLİTY)
Teorem: A herhangi bir matris olmak üzere, A matrisinin
satır uzayı ve sütun uzayı aynı boyuta sahiptir.
Tanım: Bir A matrisinin satır uzayı ve sütun uzayının
boyutu A matrisinin rankı olarak adlandırılır.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Tanım: Bir matrisin rankı, satır/sütun uzayının boyutuna
eşittir.
Teorem: Boyutu m×n olan bir A matrisi için,
n  rank A  nullity A
SATIR-SÜTUN UZAYI
Örnek: Echelon formdaki A matrisi ele alınsın.
1  2
0 1
A
0 0

0 0
5 0 3
3 0 0
0 1 0

0 0 0
Buna göre A matrisinin satır ve sütun uzayları için bir baz bulunuz.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Çözüm: Verilen matris echelon formda olduğu için yukarıdaki teorem doğrudan uygulanabilir.

Satır uzayı: 1’lerle başlayan satır vektörleri kümesi bir bazdır.

1  2 0 
      
0 
1
 0
Sütun uzayı:  ,  ,    Sütun uzayı 3 boyutludur.
0  0  1 
0  0  0 


1
 2 5 0 3, 0 1 3 0 0, 0 0 0 1 0 Satır uzayı 3 boyutludur.
Not: Yukarıdaki örnekte satır ve sütun uzaylarının boyutlarının aynı olması tesadüf değildir.
Her zaman satır ve sütun uzaylarının boyutları eşittir.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Teorem: Eğer x 0 vektörü, Ax  b denklem sisteminin bir çözümü
ve v 1 ,..., v k  da A matrisinin boş uzayı için bir baz ise, x vektörü
sadece ve sadece
x  x 0  c1 v1  ...  ck v k
ise Ax  b denklem sisteminin bir çözümüdür.
SATIR-SÜTUN UZAYI
İspat: Ax  b denklem sisteminin bir çözümü x 0 ve v1 ,..., v r A matrisinin boş uzayı için
bir baz olsun. Eğer x vektörü Ax  b denklem sisteminin bir çözümü ise Ax 0  b ve
Ax 0  Ax ya da Ax  x 0   0 olur. Böylece x  x 0 vektörü A matrisinin boş uzayındadır.
x  x 0  c1 v1  c2 v 2  ...  cr v r
Tersine, herhangi c1 , c2 ,..., cr skalerleri için x  x 0  c1 v1  c2 v 2  ...  cr v r olmak üzere
x 0 , Ax  b denklem sisteminin bir çözümü ise x vektörü Ax  b denklem sisteminin
çözümüdür.
Ax  Ax0  c1v1  c2 v 2  ...  cr v r 
 Ax 0  c1 Av 1  c2 Av 2  ...  cr Av r
 b  0  ...  0
Burada v i vektörleri Null(A) uzayı için bir bazdır.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Boyutu m×n olan bir A matrisi ele alınsın. A matrisi ile çarpım
fonksiyonunun;

Girdileri  n uzayında tanımlı vektörler,

Çıktıları ise  m uzayında tanımlı vektörlerdir.

A matrisinin boş uzayı, bu fonksiyon ile sıfıra atanan tüm
vektörlerin oluşturduğu kümedir.

A matrisinin görüntü kümesi, bu fonksiyonun tüm mümkün
çıktılarıdır.

A matrisinin satır uzayı, boş uzaya her zaman dik olan ve satır
vektörlerinin bir baz tanımladığı uzaydır.

A matrisinin sütun uzayı,görüntü kümesiyle her zaman aynı
olan ve sütun vektörlerinin bir baz tanımladığı uzaydır.
BOŞ UZAY
A matrisi ile
çarpım
BOŞ UZAY
Yukarıdaki şekilde soldaki koyu düzlem boş uzaydır ve bu
düzlemdeki herhangi bir noktanın A matrisi ile çarpımı sıfırdır.
Sağdaki noktalar ise vektörler A matrisi ile çarpıldığında ortaya
çıkabilecek bazı mümkün sonuçları göstermektedir. Yine sağdaki
doğru ise sütun uzayına eşit olan görüntü kümesini göstermektedir.
Soldaki doğru ise satır uzayını göstermektedir.
BOŞ UZAY
Boş uzay
x : Ax  0
BOŞ UZAY
Görüntü Kümesi
Ax : x   
n
SATIR UZAYI
Satır uzayı
A matrisinin satırlarını
kapsamaktadır
SÜTUN UZAYI
Sütun uzayı
A matrisinin sütunlarını
kapsamaktadır