BÖLÜM 3 - Bir Doğru Boyunca Hareket

BÖLÜM-3
Bir Doğru Boyunca Hareket
Bu bölümde, cisimlerin bir doğru boyunca hareketini inceleyeceğiz. Aşağıdaki
fiziksel nicelikleri ayrıntılı bir şekilde tanımlayacağız.
➢ Konum ve Yer-değiştirme
➢ Ortalama Hız
➢ Ortalama Sürat
➢ Anlık Hız
➢ Ortalama ve Anlık İvme
Sabit ivmeli hareket için, herhangi bir andaki hızı ve konumu veren
bağıntıları türeteceğiz.
Ayrıca, yer yüzeyine yakın noktalarda yerçekimi etkisi altında cisimlerin
hareketini inceleyeceğiz.
Son olarak da, ivmenin sabit olmadığı durumlarda, cismin hareketini eğri
altındaki alanın hesaplanması yöntemiyle inceleyeceğiz.
(3-1)
Kinematik, cisimlerin hareketini inceleyen mekaniğin bir alt dalıdır. Bir
cismin konumu zamanla değişiyorsa o cisim hareketlidir deriz.
Hareketli cisimlerin noktasal parçacıklardan oluştuğunu ve hepsinin de aynı
şekilde hareket ettiğini kabul edeceğiz.
Bu bölümde, harekete neyin sebep olduğuyla ilgilenmeyeceğiz.
x-ekseni boyunca hareket eden bir cisim
düşünelim. Herhangi bir t anında, orijine göre
cismin konumu x(t) ile tanımlanır. x-ekseninin
hangi tarafında bulunduğuna göre, cismin
koordinatı negatif veya pozitif olabilir.
KONUM: Bir cismin yerinin bir referansa göre
belirlenmesidir.
Bir cismin “konum vektörü”, bulunduğu
koordinat sisteminin orijininden cismin bulunduğu
noktaya çizilen vektördür.
(3-2)
Not: Yer-değiştirme ile gidilen toplam yol aynı şey değildir !!
Gidilen Toplam Yol (Skaler büyüklük)
•
Yol (ya da "kat edilen mesafe"), cismin gerçek hareket ettiği
güzergâhın uzunluğudur.
•
Yönü yoktur, sadece büyüklük vardır (skaler büyüklüktür).
•
Her zaman pozitiftir.
Örneğin: A noktasından B'ye, sonra C'ye dolambaçı bir
yoldan gittiysek, toplam yol bu eğrinin uzunluğudur.
Yer Değiştirme (Vektörel büyüklük)
•
Yer değiştirme, cismin başlangıç noktası ile bitiş noktası
arasındaki doğrultulu uzaklıktır.
•
Yönü ve büyüklüğü vardır (vektörel büyüklüktür).
•
Formül olarak: 𝑟Ԧ = 𝑟Ԧson − 𝑟Ԧ𝑖𝑙𝑘
•
Cismin hangi yolu izlediği fark etmez;
•
sadece nereden nereye gittiği önemlidir.
Yer-değiştirme Vektörü: Bir cisim x1 konumundan x2 konumuna
hareket etmişse, konumundaki değişim yer-değiştirme ile tanımlanır.


x
= 
𝑥2 − 𝑥1

yer değiştirme
son konum
ilk konum
SI sisteminde birimi (m)
Örneğin, ilk konumu x1 = 5 m ve son konumu x2 = 12 m olan bir cismin yerdeğiştirmesi Δx = 12–5 = 7 m olacaktır. Δx’ in pozitif olması, yerdeğiştirmenin +x yönünde olduğunu gösterir.
Cisim x1 = 5 m konumundan x2 = 1 m konumuna hareket etseydi, yerdeğiştirme Δx = 1–5 = – 4 m olurdu. Δx’ in negatif olması, yerdeğiştirmenin –x yönünde olduğunu gösterir.
Yer-değiştirme, hem büyüklüğü hem de yönü olan vektörel bir niceliktir.
Tek boyuttaki hareketi incelediğimiz bu bölümde, yer-değiştirme yönü olarak
Δx’ in işaretini kullanacağız.
(3-5)
Not: Yer-değiştirme ile gidilen toplam yol aynı şey değildir !!
B
Yol=100 m
Yer değiştirme
50 m
A
Örnek: x1 = 5m konumundan pozitif yönde x2 = 200m
konumuna giden ve oradan tekrar başlangıçtaki konumuna
dönen bir cisim düşünelim.
Cisim toplam olarak 390 m yol aldığı
halde, yer-değiştirmesi Δx = 0’ dır.
Gidiş mesafesi
Cisim 5 metreden 200 metreye
gidiyor:
200 − 5 = 195 m
Dönüş mesafesi
Aynı yolu geri dönüyor:
200 − 5 = 195 m
Konum-zaman Grafiği ve Ortalama Hız:
Bir cismin hareketini tanımlamanın bir yolu, cismin konumunu
zamana bağlı olarak çizmektir.
Herhangi bir t1 anı ile t2 anı arasında, canlının x1 konumundan x2 konumuna
ne kadar hızlı gittiği konusunda “ortalama hız” bize bir fikir verecektir.
Konum-zaman grafiğinde (t1, x1) noktasından (t2, x2) noktasına çizilen
doğrunun eğimi, cismin t1 ve t2 aralığındaki vort hızına eşittir.
Yerdeğiştirme vektörü, zamanaaralığı skaler bir nicelik olduğundan,
ortalama hız x boyunca yönelen vektörel bir niceliktir.

x2 − x1 x
vort =
=
t2 − t1 t
ortalama hız
Hareket ve konum-zaman grafiği
x
t
Duran bir cismin konum-zamana grafiği.
Cismin hareketini tanımlayınız.
→ Cisim duruyor.
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 = 0𝑖
∆𝑥
∆𝑣 =
= 0𝑖
∆𝑡
(3-7)
Hareket ve konum-zaman grafiği
x
t
Cismin hareketini tanımlayınız. Cisim
+x yönünde sabit hızla gidiyor.
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 ≠ 0𝑖
∆𝑥
∆𝑣 =
≠ 0𝑖
∆𝑡
Değişen bir hızla hareket eden
bir canlının konum-zaman
grafiği
(3-8)
Hareket ve konum zaman grafiği
x (m)
B
x
x
A
t
t
Bir cismin konum-zaman grafiği grafikte verilmiştir. Bu cismin ortalama hızı
hesaplayınız.
Cisim yalnızca x doğrultusunda hareket ediyor, bu yüzden konum vektörleri:
𝑥1 = 𝑥1 𝑖ƶ,
𝑥2 = 𝑥2 𝑖ƶ
∆𝑥
𝑥2 −𝑥1 𝑖ƶ
(2.0𝑚−0.0𝑚)𝑖ƶ
2.0
∆𝑣 =
=
=
= 𝑖ƶ = 0.33𝑖ƶ 𝑚/𝑠
𝑡2−𝑡1
6.0𝑠−0𝑠
6.0
∆𝑡
(3-9)
Örnek: Şekilde bir cismin t1 = 1 s ve t2 = 4 s anlarındaki konumları
x1 = − 4 m ve x2 = 2 m’dir.
Cismin ortalama hızını bulalım.
vort =
x2 − x1 2 − (−4) 6 m
=
=
= 2 m/s
t2 − t1
4 −1
3s
Harkeket x yönünde olduğu için 2𝑖ƶ 𝑚/𝑠
(3-10)
Ortalama Sürat (v sürat_ort ):
vsürat_ort =
toplam yol
t
Ortalama sürat, Δt zaman aralığında alınan “toplam yol” cinsinden tarif edilir.
Ortalama sürat ortalama hızın büyüklüğü değildir.
Örnek : Şekildeki otomobilin, A ve F
noktaları arasındaki, ortalama hızını
ve süratini hesaplayınız (t A = 0 ve
x A = 30 m ; t F = 50 s ve x F = − 53 m).
vort =
xF − xA −53 − 30
=
tF − t A
50 − 0
0 noktası
83
= −1, 66 m/s ise = − 66𝑖ƶ 𝑚/𝑠
50
x + xBD + xDF = 22+52+53
vsürat_ort = AB
50
50
127
=
= 2, 54 m/s
50
=−
Hareket ve konum zaman grafiği
(3-11)
Anlık Hız:
Ortalama hız, bir cismin t1 ve t2 zaman aralığında
ne kadar hızlı olduğu bilgisini içerir. Herhangi bir
t anında cismin ne kadar hızlı olduğu bilgisi “anlık
hız” tanımıyla verilir.
Anlık hız, ortalama hızın Δt →0
durumundaki limitidir.
x = dx
v = lim
t→0 t dt
Bu tanımdan anlık hız, cismin x konumunun
zamana göre birinci türevidir.
Yani, konum-zaman grafiğinin herhangi bir
andaki eğimidir.
Anlık sürat anlık hızın büyüklüğüdür.
(3-13)
Örnek : x-ekseni boyunca hareket eden bir cismin
konum-zaman grafiği yanda verilmiştir.
Cismin 0 − 2 s ; 0 − 4 s ; 0 − 7 s ; 0 − 8 s
aralıklarında ortalama hızını bulunuz.
0 − 8 s aralığında cismin hız-zaman grafiğini çiziniz.
Konum-zaman grafiğinden;
10 − 0
5−0
= 5 m/s
; vort(0-4) =
= 1, 25 m/s
2−0
4−0
0−0
−5 − 0
=
=0
vort(0-7) =
= −0, 714 m/s ; vort(0-8)
7−0
8−0
vort(0-2) =
dx
10 − 0
5 −10
→ v(0-2) =
= 5 m/s ; v(2-4) =
= −2, 5 m/s
dt
2−0
4−2
5−5
−5 − 5
=0
v(4-5) =
; v(5-7) =
= −5 m/s
5−4
7−5
Eğim
0 − (−5)
= 5 m/s
v(7-8) =
8−7
v=
(3-12)
Örnek : x-ekseni boyunca hareket eden bir cismin konumu:
x(t) = −4t+2t 2
ifadesine göre değişmektedir (t saniye, x metre cinsindendir).
a−) 0 −1 s ve 1− 3 s aralıklarında cismin ortalama hızını bulunuz.
b−) t = 2,5 s anındaki hızını bulunuz.
(3-14)
İvme
Bir cismin hızı değişiyorsa, yani ya hızlanıyor ya da yavaşlıyorsa, mutlaka bir ivme
vardır.
Örnek:
•Araba 0’dan 100 km/h’ye 5 saniyede çıkıyorsa → pozitif ivme (hızlanma)
•100 km/h’den durmaya 5 saniyede geliyorsa → negatif ivme (yavaşlama)
İvme, hızın zamanla değişme hızıdır. Hız ne kadar hızlı değişirse, ivme o kadar
büyüktür.
v–t (hız-zaman) grafiğinde eğim = ivmedir.
(3-15)
İvme
Soru: Bir top serbest bırakıldığında yere düşerken ivmesi nedir?
Soru: Bir araba gazdan ayağını çektiğinde ivmesi ne olur?
(3-15)
İvme
Soru: Bir top serbest bırakıldığında yere düşerken ivmesi nedir?
Yanıt: 9.81 m/s² sabittir, çünkü hız her saniye 9.81 m/s artar.
Soru: Bir araba gazdan ayağını çektiğinde ivmesi ne olur?
Yanıt: Negatif ivme, yani yavaşlama.
(3-15)
Ortalama İvme:
t1 ve t2 anları arasındaki ortalama ivme:
v2 − v1 v
=
=
aort
t2 − t1 t
m / s2
Ortalama ivme, belirli iki zaman arasındaki hız
değişiminin oranıdır.
Anlık İvme:
Anlık ivme, ortalama ivmenin Δt→0
durumundaki limitidir ve herhangi bir t anında
hızın ne kadar hızlı değiştiğini gösterir.
v dv
dv d  dx  d 2 x
a = lim
=
; a=
=  = 2
t →0 t
dt
dt dt  dt  dt
Bu tanımdan anlık ivme, cismin hızının zamana
göre birinci türevidir. Yani, hız-zaman
grafiğinin herhangi bir andaki eğimidir.
(3-15)
Sabit İvmeli Hareket :
• Bu tür harekette hız hareketin başından sonuna kadar aynı oranda artar veya azalır.
t = 0 'da cismin ilk hızı v0 ve konumu x0 olsun. t anındaki hızı v
olsun.
v
t
t
dv
a = → dv = adt →  dv =  adt = a dt → v(t) = v0 + at (Eş-1)
dt
v0
0
0
v=
dx
dt
x
t
t
x0
0
0
→ dx = vdt = (v0 + at )dt →  dx =  v0dt + a  tdt
1
x(t) − x0 = v0t + at 2
2
(Eş-2)
Bu iki eşitlikten t yok edilirse: v2 = v2 + 2a (x − x ) (Eş-3)
0
0
(3-16)
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
(Eş-1)
başlangıç hızı + (ivme × geçen süre)
ivmesi 2 m/s2 , her saniyede hızına +2 ekliyoruz
22
Konum x(t), hız v(t) ve ivmenin a(t) zamanla değişimleri :
Konum-zaman grafiği, düşeyi x = x0’ da kesen bir
paraboldür.
1
x − x0 = v0t + at 2
2
(Eş-2)
Hız-zaman grafiği, düşeyi v = v0’ da kesen ve
eğimi ivmeye (a) eşit bir doğrudur.
v = v0 + at (Eş-1)
Burada ivme (a) sabittir.
(3-17)
Sabit İvmeli Hareket Denklemleri :
(Eş-1)
v = v0 + at
(Eş-2)
1
x − x0 = v0t + at 2
2

(Eş-3) v 2 = v 2 + 2a(x − x )

0

0
(Eş-4)
v − v0
a=
t
1
x − x0 = vort t = (v0 + v)t
2
(3-18)
• xy düzleminde hareket eden bir parçacık için konum
vektörü
r = xi + yj
olarak yazılır.
• Dolayısıyla parçacığın hızı
dy
 = dr = dx i + j
dt dt dt
olur.
 = xi + y j
Ö r n e k : B i r g o lf t o p u n a, bir ç u k u r u n k e n a r ı n d a k i k u m t e p e c i ğ i n d e n
v u r u lma k tad ır . Z a m a n a g ö r e x v e y k o o r dina tla rı a ş a ğ ı d a k i
ifadelerle v er ilmektedir:
x = 18t
v e y = 4 t – 4,9t 2
a ) r k o n u m v ek tö r ü,
b ) υ h ız v e k tö r ü,
c ) a i v m e v e k t ö r ü için t z a m a n ı n a g ö r e v e k t ö r e l bir if a d e yazınız.
d) t = 3 s ’ d e g o lf t o p u n u n r k o n u m u n u , υ hızını v e a i v me s i n i
bulunuz.
Çözüm:
a ) r = x i + yj  r = (18t)i + (4t-4,9t 2 )j
b ) υ = d r /d t
 υ = 1 8 i + ( 4 -9,8t)j
c) a = dυ/dt
 a = -9,8j
d) t = 3 s ’ d e
r = 5 4 i - 3 2 , 1j
υ = 1 8 i - 2 5 , 4j
a = -9,8j
Örnek : x-ekseni boyunca ilerleyen bir sürücü, t = 10 s içinde hızını düzgün
olarak 10 m/s' den 30 m/s' ye çıkarıyor.
a−) Sürücünün ivmesini bulunuz.
b−) Bu ivmelenme sürecinin ilk yarısında otomobil ne kadar yol alır?
c−) Bu ivmelenme sürecinde otomobil ne kadar yol alır?
Çözüm:
a−) aort =
30 −10
= 2 m/s2
10 − 0
1
1 2
b−) x = xs − xi = vi t + at = (10 )(5) + (2) (5) 2 = 75 m
2
2
(Eş-2)
1
1 2
c−) x = xs − xi = vit + at = (10 ) (10 ) + (2)  (10)2 = 200 m
2
2
(3-19)
Örnek : Durgun halden harekete başlayan bir cismin
ivme-zaman grafiği yanda verilmiştir.
a−) t = 10 s ve t = 20 s anlarında cismin hızı nedir?
b−) İlk 20 s içinde cisim ne kadar yol almıştır?
a−) t = 0 −10 s → a = 2 m/s2 → v = v0 + at → v = 20 m/s
10-15 s aralığında a = 0 olduğundan hız sabittir ve 20 m/s' dir.
(10-15s hızda değişim olmamıştır).
15-20 s aralığında a = −3 m/s2 ve ilk hız 20 m/s' dir.
v = v0 + at → v = 20 + (−3) (20-15) = 5 m/s
(Eş-1)
(20)2 − (0)2
b−) 0-10 s aralığında: v − v = 2a (x − x0 ) → x1 =
=100 m
2(2)
2
2
0
(Eş-3)
10-15 s aralığında: a = 0 ve v = 20 m/s → x2 =20 (5)=100 m
(5)2 − (20)2
15-20 s aralığında: v = v + 2a (x − x0 ) → x3 =
= 62,5 m
2 (−3)
2
2
0
x = x1 + x2 + x3 = 262, 5 m
(3-20)
Problem: Bir otomobil ve bir tren 25 m/s hızla paralel yollar boyunca beraber
gitmektedirler. Otomobil kırmızı ışık nedeniyle –2,5 m/s2’lik düzgün bir ivmenin etkisi
altında kalır ve durur. Otomobil 45 s harketsiz kalır. Sonra 2,5 m/s2’lik bir ivme ile 25
m/s’lik hıza ulaşır. Trenin hızının 25 m/s’de kaldığını kabul ederek, otomobil 25 m/s’lik
hıza ulaştığı zaman trenin ne kadar gerisindedir?
(Eş-3)
2
(Eş-1)
2
Problem: Yatay düzlemde yüzen bir balık, belli bir kayadan yerdeğiştirmesi
r0 = (10i-4j) m olan noktada υ0 = (4i+j) m/s hızına sahiptir. 20 s sabit ivmeyle
yüzdükten sonra hızı υ = (20i-5j) m/s’dir.
a) İvmenin bileşenleri ve i birim vektörüne göre ivmenin yönü nedir?
b) t=25 s’de balık nerededir ve hangi yöne hareket etmektedir?
Çözüm:
(Eş-2)
Serbest Düşme:
Dünya yüzeyinin yakınlarında tüm cisimler büyüklüğü 9,8 m/s2 ve yönü
dünyanın merkezine doğru olan bir ivmenin etkisinde hareket ederler.
Serbest düşmede cisimlerin ivmesi sembolik olarak “g” ile gösterilir.
y-ekseni düşeyde ve yukarı yönde alınırsa,
serbest düşmede cismin ivmesi a =− g olur.
v = v0 − gt
(Eş-1)
1 2
(Eş-2)
y − y0 = v0t − gt
2
v2 = v02 − 2g (y − yo ) (Eş-3)
(3-21)
• Orijinden yukarıya doğru bir 0 hızıyla düşey olarak fırlatılan
bir
parçacığın
hareketinde,
hız
başlangıçta
fakat zamanla azalır ve yolun tepesinde sıfır olur.
(Eş-1)  = 0 - gt
(Yolun en üst noktasında =0)
t = 0/g
• Bu eşitliği kullanarak,
çıkılabilen maksimum yükseklik
bulunur.
(Eş-2)
pozitiftir,
• Zamanın fonksiyonu olarak, yerdeğiştirme ve hızın grafikleri şekilde
verilmektedir.
a)
b)
Serbest düşen bir parçacık için (a) yerdeğiştirmenin zamana göre ve (b) hızın zamana
göre grafikleri
Örnek : 50 m yüksekliğinde bir binanın tepesinden bir taş düşey
doğrultuda yukarı doğru 20 m/s hızla fırlatılıyor. (g = 10 m / s 2 )
o
a) Taş maksimum yüksekliğe ne kadar zamanda çıkar?
b) Bu nokta (mak.) yerden ne kadar yüksektedir?
c) Taş fırlatıldığı seviyeye ne kadar zamanda gelir? Bu noktada
hızı ne olur?
d ) t = 5 s anında taşın hızı ve konumu nedir?
(Eş-1)
(Eş-3)
20+50
(Eş-2)
(Eş-1)
(Eş-2)
(Eş-3)
(3-22)
Örnek : Bir helikopterin yerden yüksekliği y = 3t2 ile veriliyor. Burada
t saniye ve y metre cinsindendir. t = 2 s anında helikopterden bir paket
serbest bırakılıyor.
a−) Paket ne kadar zamanda yere ulaşır (g = 10 m / s2 )?
b−) Paket yere ulaştığı anda hızının büyüklüğü kaç m/s'dir?
c−) Paketin ivmesi için ne söyleyebilirsiniz?
dy
= 6t → paket serbest bırakıldığı andaki hızı v 0 = 12 m/s
dt
ve yerden yüksekliği y = 3t2 denklemi kullanılarak y0 = 12 m' dir.
a−) v =
1 2
12 + 384
gt → 0 −12 = 12t − 5t 2 → t =
= 3,16 s
10
2
b−) Paketin hızının zamana bağlı fonksiyonu: v(t) = 12 − gt (Eş-1) Serbest
düşme (sabit
v = 12 −10  3,16 = −19, 6 m/s
ivmeli haraket)
(Eş-2)
y − y0 = v0t −
dv
c−) Paketin ivmesi a =
= −g = −10 m/s2 dir ve sabittir.
dt
(3-23)
Problem: Bir taş, yüksek bir uçurumun tepesinden durgun halden düşmektedir.
İkinci bir taş 2 s sonra 30 m/s’lik bir ilk hızla aynı yükseklikten aşağı doğru
fırlatılmaktadır. Her iki taş yere aynı anda çarparlarsa, uçurumun yüksekliği nedir?
(g=9.8 m / s2)
Çözüm:
(Eş-2)
y
Duran bir cismin
konum-zaman, hız-zaman, ivme-zaman grafikleri:
x
a
v
t
Konum-zaman
t
t
Hız-zaman
İvme-zaman
(3-24)
Sabit hızla hareket eden bir cismin
konum-zaman, hız-zaman, ivme-zaman grafikleri:
x
v
a
t
Konum-zaman
t
Hız-zaman
t
İvme-zaman
(3-25)
Sabit ivme ile hareket eden bir cismin
konum-zaman, hız-zaman, ivme-zaman grafikleri:
x
v
a
t
Konum-zaman
t
Hız-zaman
t
İvme-zaman
(3-26)
İvmenin Sabit Olmadığı Durum :
Cismin ivmesi sabit değilse, cismin hızını v(t) ve konumunu x(t)
integrasyon yoluyla bulabiliriz.
İntegrasyon analitik olarak veya grafik yaklaşımı ile yapılır.
a=
dv
dt
v1
t1
t1
t1
v0
t0
t0
t0
→ dv = adt →  dv =  adt → v1 − v0 =  adt → v1 = v0 +  adt
t1
 adt = a(t) −t grafiğinde eğri altında kalan alan
t0
v=
dx
dt
x1
t1
x0
t0
→ dx = vdt →  dx =  vdt
t1
t1
t0
t0
x1 − x0 =  vdt → x1 = x0 +  vdt
t1
vdt = v(t) − t grafiğinde eğri altında alan
to
(3-27)
x(t), v (t) ve a(t) arasındaki ilişki:
Türev
x(t)
İntegral
v(t)
Türev
İntegral
 dx
v = dt
t 


x(t) = x0 + 0 v(t)dt
 dv
a=
t 


v(t) = v 0 + 0 a(t)dt
dt
a(t)
(3-28)
Problem: Bir sıcak hava balonu 5 𝑚/𝑠’lik bir hızla dikey olarak yukarı doğru yol
almaktadır. Yerden 21 𝑚 yukarıda olduğu zaman, balondan aşağıya bir paket
bırakılır.
a) Paket havada ne kadar süre kalır?
b) Yere düşmeden hemen önce paketin hızı nedir?
c) Balonun 5 𝑚/𝑠’lik hız ile alçalması durumunda şıkları tekrar cevaplayınız.
a) 𝑦 = 𝑣0 𝑡 + 21 𝑎𝑡2 (Eş-2)
b) 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 (Eş-1)
c) Yukarıdaki formüller
ALIŞTIRMA SORULARI - 1
ALIŞTIRMA SORULARI - 2
ALIŞTIRMA SORULARI - 3
ALIŞTIRMA SORULARI - 4
ALIŞTIRMA SORULARI - 5
ALIŞTIRMA SORULARI - 6
ALIŞTIRMA SORULARI - 7
ALIŞTIRMA SORULARI - 8
ALIŞTIRMA SORULARI - 9
ALIŞTIRMA SORULARI – 10
ALIŞTIRMA SORULARI - 11
ALIŞTIRMA SORULARI - 12
ALIŞTIRMA SORULARI - 13
ALIŞTIRMA SORULARI - 14
ALIŞTIRMA SORULARI - 15