Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 BÖLÜM 2 PERİYODİK HAREKETLERİN ÜSTÜSTE GELMESİ Birçok fiziksel durum, aynı sistemde iki veya daha fazla harmonik titreşimin aynı anda uygulanmasını gerektirir. Burada aşağıdaki temel kabule bağlı olarak üst üste gelme metotlarından birkaç özel durumu göz önüne alacağız. TEMEL KABUL: “İki ya da daha fazla harmonik titreşimin üst üste gelmesi, tek tek titreşimlerin basitçe toplamı olarak alınacaktır.” Şu anda tartışmalarımızda bunu sadece bir matematiksel problem olarak ele alacağız. Sonuçların fiziksel uygulanabilirliğini daha sonra ele alacağız. 2.1. EŞİT FREKANSLI TİTREŞİMLERİN ÜST ÜSTE GELMESİ İki BHH titreşim hareketinin aşağıda eşitliklerle tanımlandığını farz edelim. Bunların toplamı aşağıdaki gibidir. (2.1) Bu yer değiştirmeyi tek bir harmonik titreşim gibi ifade edebiliriz. 1. Geometrik yöntem: BHH’nin dönme vektörü tanımı, geometrik olarak elde edilecek. Şekil 2.1. (a) Aynı periyotlu iki dönme vektörünün üst üste gelmesi. (b) Bileşke dönme vektörünün çizimi için vektör üçgen. 1 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektörünün x-bileşeni ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektörünün x-bileşeni ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ile ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ arasındaki açı = 2-1 dir. OP1P üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa eşitliği elde edilir. ⃗⃗⃗⃗⃗ vektörü ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektörü ile açısı yapar. Şekildeki OPH ve P1PH dik üçgenlerinden ve yazılabilir. Buradan eşitliği elde edilir. ⃗⃗⃗⃗⃗ ’nin x ekseni ile yaptığı açı = wt+1+ ‘dır. Bu durumda ⃗⃗⃗⃗⃗ ’ nin x ekseni üzerindeki izdüşümü veya yazılabilir. = (1+ ) üst üste gelmiş titreşimin faz sabitidir. 2. Kompleks Üstel Fonksiyonların Toplanması Yöntemi: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ve ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dönme vektörleri aşağıdaki şekilde tanımlanabilir. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektörüne karşı ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektörüne karşı Bu vektörlerin toplamı bileşke vektörü verecektir, (2.2) ifadesi, A1 uzunluğundaki bir vektöre, bu vektör ile arasında Burada (2 - 1) açısı olan A2 uzunluğundaki bir vektörün ilavesi olduğunu gösterir. i terimi ise (e teriminin açısı kadarlık bir pozitif dönme verdiğini hatırlarsak) bu toplam vektörün wt+1 açısı kadar döndürüldüğünü gösterir. 2 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 2.1.1. Eşit Frekanslı ve Eşit Genlikli Titreşimlerin Toplanması: İki titreşim arasındaki faz farkını ile gösterelim ve A1 = A2 olsun. ⁄ ⁄ (2.3) Bu durumda OP’nin x-ekseni üzerindeki izdüşümü için yazabiliriz. İki benzer hoparlörün aynı sinyal üretecinden sinüzoidal olarak sürüldüğü ve bunların ses titreşimlerinin Şekil 2.2’de görüldüğü gibi uzakta bir noktadaki mikrofondan alındığı durumda, bu çeşit üst üste gelme elde edilebilir. Eğer mikrofon OB çizgisi boyunca hareket ettirilirse faz farkı, O’daki sıfır ilk durumdan itibaren düzenli bir şekilde artar. Eğer ses dalgalarının dalga boyu, iki hoparlör arasındaki uzunluktan daha kısa ise, A bileşke vektörünün genliği OB noktaları arasında birkaç noktada sıfıra düşer ve sıfırlar arasındaki noktalarda 2A1 genliğine sahip maksimumlara ulaşır. (Bu konu daha ileriki konularda ayrıntılı olarak incelenecektir). Şekil 2.2. İki hoparlörden yayınlanan sinyallerin üst üste gelmesini incelemek ve ayrıca mikrofonun konumunun bir fonksiyonu olarak faz farkını algılamak için bir düzenek. 3 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 2.1.2. Farklı Frekanslı Üst Üste Gelmiş Titreşimler: Genlikleri A1 ve A2, açısal frekansları w1 ve w2 olan iki titreşimin üst üste geldiği durumu düşünelim. Bu durumda titreşimler arasındaki faz farkı önceki gibi sabit olmayacak sürekli değişecektir. Başlangıçta aynı faza sahip olduklarını kabul edersek, iki titreşime ait eşitlikler; Şekil 2.3. Farklı periyotlu dönme vektörlerinin üst üste gelmesi. şeklinde yazılabilir. Bileşke vektörün OP uzunluğu, A1 ve A2 vektörlerinin toplamı ve farkı arasında bir değere sahip olacaktır. X-eksenindeki yer değiştirmenin büyüklüğü OX ise A1+ A2 ve sıfır arasında yer alır. w1 ve w2 arasında bir ilişki olmadıkça bileşke yer değiştirme, zamanın karmaşık bir fonksiyonu olacaktır. Üst üste Gelmiş Titreşimlerin Periyodikliği: Üst üste gelmiş hareketin periyodikliği için şart, titreşimlerin periyotlarının (frekanslarının) orantılı olmasıdır. Mesela n1 ve n2 orantılı olmak üzere iki tam sayı ise, T = n1T1 = n2T2 olmalıdır. n1 ve n2’nin en küçük tam değerlerini kullanarak yazılan yukarıdaki eşitlikten bileşke hareketin periyodu T’dir. Periyotları orantılı olan iki titreşimin üst üste gelmesi durumunda bileşke vektörün görünümü önemli derecede üst üste gelen titreşimlerin birbirlerine göre fazlarına bağlıdır. 4 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 VURULAR Eğer iki BHH’nin frekansları birbirine çok yakın ise böyle üst üste gelmeler VURU (beat) olarak adlandırılır. Vuru olayında üst üste gelmiş titreşim, üst üste gelen titreşimlerin frekansları ortalamasına eşit bir frekansa sahip olup, hareketin genliği zamanla periyodik olarak değişir. Eğer eşit genlikli BHH’lerin toplamını göz önüne alırsak vuru olayını kolayca anlayabiliriz. ( ) ( ) (2.5) Bu eşitlik matematiksel olarak w1 ve w2’nin herhangi bir değeri için yazılabilir ancak bu eşitliğin bir vuruyu temsil edebilmesi için | | koşulunun sağlanması gerekmektedir. Bileşke titreşimin frekansı (w1+w2)/2 olacaktır. Bu değer iki titreşimin frekansının ortalamasıdır. Üst üste gelmiş yer değiştirmeyi gösteren denklem 2.5’de verilen ifadede ( ) hızlı salınımı gösterir ve -1 ile +1 arasında değerler alır. Denklem 2.5 aşağıdaki şekilde de yazılabilir. ( ) ( burada ) ifadesi bileşke titreşimin genliğini verir. Şekilde kesikli çizgi ile gösterilen genlik zamana göre frekansı ile değişmektedir. Eğer w1 ve w2 frekansları yaklaşık olarak eşit ise bu terim küçük olacağı için genlik çok yavaş değişir. Bu olaya GENLİK MODÜLASYONU denir. Bazı radyo yayınları genlik modülasyonuna göre çalışır. (w 1-w2)/2 değeri modülasyon frekansı olarak adlandırılır. ifadesi -1 veya +1'e eşit olursa bir tam vuru veya bir maksimum genlik meydana gelmiş olur. Bir saniyedeki vuruların sayısı (vuru frekansı) modülasyon frekansının iki katına eşittir. Bu durumda vuru ve modülasyon frekansları için wvuru = wmod/2 fvuru= f1 - f2 ve fmod= (f1 - f2)/2 yazabiliriz. Sonuç olarak bir saniyedeki vuru sayısı frekanslar arasındaki farka eşittir. (Burada f1>f2 kabul edilmiştir). 5 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 f1 = 700 Hz, f2 =600 Hz olan iki titreşimin üst üste gelmesi ile elde edilen vurunun şekli Şekil 2.5’de verilmiştir. 2 2 1 1 x1( t ) 0 x2( t ) 0 1 1 2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 2 0 0.01 t 0.02 0.03 0.04 t Tmodülasyon Tvuru 2 1 x( t ) xm( t ) 0 1 2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 t Şekil 2.6. f1 = 700 Hz , f2 =600 Hz olan iki titreşimin üst üste gelmesi ile elde edilen vurunun şekli. 6 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 Modülasyon (Zarf) ve Vuru Frekansının Periyodiklik Şartı ile Belirlenmesi: Modülasyon ve vuru frekansı arasındaki ilişkiyi periyotlar arasındaki orantıdan yola çıkarak da belirleyebiliriz. Üst üste gelmiş hareketin periyodikliği için şart, hareketin bileşenlerinin orantılı olmasıdır T = n1T1 = n2T2 olarak tanımlanmıştı. Vuru periyodu Tvuru ise, Tvuru sürede birinci kaynak n titreşim yaptıysa, ikincisi aynı sürede n+1 titreşim yapmış olacaktır. Bu durumda olur. Buradan, vurunun frekansı ve modülasyonun frekansı bulunur. (Burada f1>f2 kabul edilmiştir). 2.1.3. Aynı Frekanslı Bir Çok Titreşimin Üst Üste Gelmesi Üst üste binmiş iki titreşim için anlatılan yöntemler çok sayıda titreşimin üst üste gelmesi için genelleştirilebilir. Aynı fekans ve genlikli ve birbirlerini eşit faz farkı ile takip eden çok sayıda BHH’nin üst üste gelmesi optikte çok kaynaklı girişim etkilerinin analizine ve diğer dalga olaylarının analizinde kullanılacaktır. Şekil 2.7’de genlikleri eşit ve A0 olan, birbirini aynı faz farkı () ile takip eden aynı frekanslı N-tane dönme vektörünün üst üste gelmesini göstermektedir. Bileşen titreşimlerden birincisinin x bileşeni, bileşke vektörün x bileşeni ise, ifadesi ile tanımlanabilir. 7 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 Geometrik Yöntem ile Analiz: Geometriden yararlanarak, vektörlerin düzgün bir çokgen (tamamlanmamış) oluşturmak üzere uçuca getirilmeleri şeklinde görebiliriz. Böylece çokgen C merkezli ve R yarıçaplı bir dairenin parçası olarak düşünülebilir. Çokgenin köşeleri çember üzerindedir ve her biri A0 genliğine sahip titreşimleri gösteren vektörlerin C noktasına göre yapmış olduğu açılar eşit ve dır. OCP toplam açısı ise N olacaktır. Buradan aşağıdaki eşitlikler yazılabilir. ⁄ C ⁄ /2 ⁄ (2.7) ⁄ R elde edilir. O A0/2 B Aynı zamanda A bileşke vektörü (OP) ile birinci vektör (OB) arasındaki faz açısı, [ ] [ ] (2.8) eşitliği elde edilir. Bileşke vektörün x bileşeni için ifadeyi ⁄ (2.9) ⁄ şeklinde yazabiliriz. Bu ifade kırınım ağının (ızgara) davranışlarını analiz etmede bir temel oluşturur. Aynı Frekanslı Birçok Titreşimin Üst Üste Gelmesinin Kompleks Gösterim Yöntemi ile Analizi: Yukarıdaki problemi kompleks gösterimi kullanarak analiz edelim. x-ekseni boyunca eşit frekanslı, eşit genlikli, arda arda gelen dönme vektörleri arasındaki faz farkı () aynı olan N-tane üst üste binmiş titreşimlerin toplamı şeklinde yazılabilir. i Bu ifadeyi z1= e kısaltmasını kullanarak kompleks gösterimde yazarsak, ( ) ifadesini elde ederiz. ve Kısaltmaları yapıldığında, ( ) elde edilir. 8 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 Bu eşitliği biraz farklı düzenleyerek geometrik yöntemle elde edilen sonuca benzetmeye çalışalım. ( ) ⁄ ]( [ ⁄ ⁄ ) ⁄ ⁄ ) ⁄ NOT: Geometrik seri ∑ ⁄ ⁄ [ ⁄ ⁄ ⁄ ]( [ ⁄ ( ⁄ ) Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkarırsak. ⁄ ⁄ ] ⁄ ⁄ ⁄ dır. burada Z’nin x bileşeni için ⁄ ⁄ elde edilmiş olur. Bu ifade (2.9) ile verilen ifadeye eşittir. 2.1.4. Birbirine Dik İki Titreşimin Üst Üste Gelmesi Şimdiye kadar bir boyutta üst üste gelmiş titreşimleri inceledik. Şimdi birbirine dik doğrultuda ilerleyen iki harmonik hareketin üst üste gelmesini tartışacağız. Bu durumda üst üste gelmiş hareket gerçekte iki boyutta harekettir. Böyle bir hareketi şekildeki gibi hava masasında gerçekleştirmek mümkündür. Şekilde dört yaya bağlı kütleyi biraz sağa ve biraz da yukarı çekip bırakırsak, kütle düzlemde x ve y doğrultusunda iki BHH hareketi yapar. 9 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 Burada kütlenin x ve y eksenindeki yer değiştirme miktarının (2.10) (2.11) ifadeleri ile belirleyebiliriz. Burada w1 ve w2 sırasıyla x ve y doğrultusundaki açısal frekanstır. Bu hareketi, dönme vektörü tekniğinin ikili uygulaması ile ifade edebiliriz. Bunu yapmanın yolu Şekil 2.8’de gösterilmiştir. x-eksenindeki BHH –A1 ile +A1 arasında olacaktır. yeksenindeki BHH olacaktır. –A2 ile +A2 arasında İki farklı yönde ilerleyen hareketin fazları arasındaki ilişki ne olursa olsun, P noktasının hareketi her zaman dikdörtgen içinde sınırlıdır ve dikdörtgenin kenarları P1 ve P2 noktalarının x ve y yer değiştirmelerine teğettir. İlk olarak kenar uzunlukları x-ekseninde 2A1 ve y-ekseninde 2A2 olan bir dikdörtgen çizilir. Merkezi C1 ile verilen ve yarıçapı A1 olan bir çember çizilir. Bu çember üzerindeki P1 noktasının C1X yer değiştirmesi tanımlanır. Merkezi C2 ile verilen ve yarıçapı A2 olan bir çember çizilir. Bu çember üzerindeki P 2 noktasının C2Y yer değiştirmesi tanımlanır. Bu x ve y yer değiştirme birlikte O noktasına göre P noktasının herhangi bir andaki konumunu tanımlar. O noktası dikdörtgenin orta noktasıdır. Eğer w1 ve w2 orantılı değilse yani w1/w2 oranı 1, 2, 3,… veya 1/2, 1/3, 1/4,… gibi değilse faz ve frekanslar hakkında fazla bir şey söylenemez. Böyle bir durumda P’nin konumu kendini tekrarlamaz. 2.1.4.1 Eşit Frekanslı Dik Titreşimler (2.12) (2.13) Buradan eşitliğini kullanarak, (2.14) (2.15) yazabiliriz. 10 Leyla Yıldırım Bölüm 2 (2.14) eşitliğini ile ve (2.15) eşitliğini 10.10.2012 ile çarpalım ve taraf tarafa çıkaralım. ( ) veya (2.16) Benzer şekilde (2.14) eşitliğini cos ile ve (2.15) eşitliğini cos ile çarpalım ve taraf tarafa çıkarırsak, (2.16)’ya benzer şekilde (2.17) eşitliğini elde ederiz. Eşitlik (2.16) ve (2.17)’nin kareleri alınıp taraf tarafa toplanırsa (2.18) Bu elipsin genel denklemidir. Faz farkının özel bazı değerleri için analiz yapalım. y a) A Bu koşulda B 2 O A 1 x olacağından, (2.18) eşitliği D olur. Buradan da (2.19) elde edilir. Bu hareket doğrusal olup, x ve y’nin her ikisi de pozitif ya da her ikisi de negatif olmak kaydıyla şekildeki gibi dikdörtgenin BD köşegeni boyunca BHH yapar. (Optikte lineer polarize olmuş titreşimlere karşılık gelir. II. yol: Üst üste gelen titreşim hareketleri arasındaki faz farkı olacak şekilde birbirine dik iki titreşim için yazabiliriz. için şeklinde yazılabilir. Bu durumda x ve y arasındaki ilişkiyi veren ( ) (2.19) ifadesine ulaşmış oluruz. 11 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 b) = , 3, 5,… cos() = -1, sin() = 0 ( = , 3, 5,…) Bu hareket, durumundaki harekete benzemektedir ancak bu sefer dikdörtgenin diğer köşegeni boyunca doğrusal bir BHH yapar. y c) = /2, 3/2, 5/2,… A2 A1 x ( = /2, 3/2, 5/2,…) Bu ifade, temel eksenleri x ve y eksenleri boyunca olan bir elipsin denklemidir. A1 = A2 = A olması durumunda A yarıçaplı çembere dönüşür. d) = /4, 7/4, 9/4,… √ A2 y √ ve A1 x √ e) = 3/4, 5/4, 11/4,… √ ve A2 y √ A1 x √ 2.1.4.2 Farklı Frekanslı Dik Titreşimler: Lissajous Eğrileri Farklı frekanslı dik BHH yapan bir cismin çizmiş olduğu yörüngelere LISSAJOUS eğrileri denir. Bu ders kapsamında bu olayın ayrıntılarına girmeyeceğiz. Şimdi frekansları farklı iki dik hareketi 12 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 şeklinde yazabiliriz. Bu iki denklemden t elimine edilerek x ve y arasında elde edilen ilişki yörüngeyi belirler. Açısal frekans oranına (w1/w2) ve iki titreşim arasındaki faz farkına ( = 1-2) bağlı olarak çeşitli yörünge şekilleri elde edilir. Örneğin, w2 =2w1 ve = /4 için Lissajous eğrisinin çizimi Şekil 2.12’de verilmiştir. Bu şekillerden faydalanarak akustik ölçümlerde bilinmeyen frekanslar tayin edilebilmektedir. Hazır matematik programlarından yararlanarak Lissajous eğrilerini elde edebilirsiniz. Lissajous eğrisini çizerken aşağıdaki işlem sırası takip edilebilir. İki titreşim aynı trigonometrik fonksiyon ile ifade edecek şekilde düzenlenecek. ve İki titreşim arasındaki faz farkı, faz sabitlerine bağlı olarak belirlenecek. Titreşim fonksiyonları faz farına bağlı olarak yeniden yazılacak. ve Şekil çizerken eksenler üzerinde dikkate alınacak noktaların sayıları belirlenecek. olduğunu kabul edelim, bu durumda frekansı büyük olan titreşimin çemberi [ ], tane eşit parçaya bölünür. [ ] diğer titreşim çemberi ise tane eşit parçaya bölünür. 13 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 İşaretlenecek nokta sayısına göre, her bir çemberin kaç radyanlık dilimlere bölüneceği belirlenecek ve bu açı değerleri için x ve y değerleri hesaplanarak tablo hazırlanacak. Son olarak da, aynı t değerine karşı gelen x ve y verileri çemberler üzerinden dikdörtgene aktarılarak Lissajous eğrisi çizilecek. Örnek. Birbirine dik iki titreşim, ifadelerine uymaktadır. Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous eğrisinin analitik ifadesini türetiniz. Lissajous eğrisinin şeklini çiziniz. Çözüm: Analitik denklemin elde edilmesi, √ , olduğuna göre Bu ifadede √ ve √ şeklinde yazabiliriz. eşitliklerini yerine koyarsak, elde edilir. Lissajous eğrisinin çizimi, ( ) ( Nokta sırası 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t 0,0 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 ’in fazı 0,0 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 ) ’nin fazı /2 /2 /2 4 14 Leyla Yıldırım Bölüm 2 10.10.2012 15
