Basit harmonik hareket yapan bir cismin bir

Harmonik Hareket
Bir cismi, yayın ucuna astığımızda cismin ağırlığından dolayı yay uzar. Fakat
yay da asılı olduğu cisme yukarı doğru bir kuvvet uygular. Bu yüzden cisim
asıldıktan sonra, yayın ucu bir müddet aşağı ve yukarı hareket eder ve bir süre
sonra durur. Bu durumda cismin ağırlığı ile yayda oluşan kuvvet dengede olur.
Cismi yaydan ayırdığımızda yayın ucu yukarı doğru hareket eder. Eğer yayın
ucundan ayırdığımız cisim daha ağır olursa yay yukarı doğru daha hızlı hareket eder. Bu durum yayın, kendisini geren cisme, eşit büyüklükte ve zıt
yönde bir kuvvet uyguladığını gösterir.
Bir yaya kuvvet uygulayarak sıkıştırıp veya açtığımızda üzerinde potansiyel
enerji depolanır. Bu enerji esneklik potansiyel enerjisi olarak da adlandırılır.



Esneklik potansiyel enerjisi sıkıştırma veya gerilme miktarına ve
maddenin esneklik özelliğine bağlıdır.
Her yayın esneklik kat sayısı farklıdır. Bu kat sayı; yayın esnekliği,
sertliği, yapıldığı maddenin cinsine ve yayın helezon sayısına bağlıdır.
Esnekliğini kaybeden bir yay eski haline dönemez.
Şekildeki yayların uçlarına bağlanmış cisimler sürtünmesiz sistemde O denge
konumundan biraz çekilip bırakıldıklarında iki eşit nokta arasında periyodik
olarak gidip gelirler. Denge konumuna geri çağırıcı kuvvetlerin etkisi ile, sabit
iki nokta arasında periyodik olarak gidip gelen cisimlerin hareketine basit
harmonlk hareket denir.
Hormonik Harekette Temel Kavramlar
Genlik (r)
Basit harmonik hareketlinin denge noktasına olan maksimum uzaklığına denir.
Şekildeki hareketlinin O denge noktasından olan maksimum uzaklıkları, |OK| =
|OL| = r basit harmonik hareketlinin genliğidir.
Uzanım (x, y)
Basit harmonik hareketlinin herhangi bir anda denge noktasına olan uzaklığına
uzanım denir. Maksimum uzanım genliktir. Minimum uzanım sıfırdır.
Periyot (T)
Basit harmonik hareket yapan bir hareketlinin bir noktadan aynı yönde ve art
arda iki geçişi arasında geçen süreye periyot denir. Şekildeki hareketli her
aralığı T/4 sürede alır.
|KO| = |OL| uzunlukları iki eşit parçaya ayırdığımızda hareketlinin denge
noktasına yakın olan kısmını T/12, uzak olan kısmını T/6 sürede geçtiği
gözlenir.
Frekans (f)
Basit harmonik hareket yapan bir cismin bir saniyedeki titreşim sayısına
frekans denir. Tıpkı dairesel hareket konusunda olduğu gibi, frekans ile periyot
arasında f.T=1 ilişkisi vardır.
Dairesel hareket yapan bir cismin r yarıçaplı çember üzerindeki hareketi
gösterilmiştir. Cisim L noktasından R noktasına geldiğinde yataydaki iz
düşümü x, düşeydeki iz düşümü ise y dir. Cisim O noktasına geldiğinde
düşeydeki iz düşümü y = r dir. Yataydaki iz düşümü sıfır yani O noktasına
gelmiş olur. Cisim tekrar T sürede L ye geldiğinde yatay iz düşümü K ile L
arasında gidip gelme hareketi yapar. Cisim r yarıçaplı çember üzerinde
dolanırken x ve y eksenleri üzerindeki dik izdüşümleri +r ve -r yarıçapları
arasında değişir. Bu harekete basit harmonik hareket denir.
'
Uzanım denklemleri yazılabilir. Maksimum uzanım genlik, minimum uzanım
sıfırdır. Uzanım ifadesinin zamana bağlı grafiği şekildeki gibidir.
Türevin ve integralin Fiziksel Anlamı
Fiziksel olarak bir fonksiyonun türevini almak demek eğimini bulmak demektir,
integralini almak demek de fonksiyonun altında kalan alanı bulmak demektir.
Konum-zaman grafiğinin eğimi (konumun zamana göre türevi) hızı, Hız-zaman
grafiğinin eğimi (hızın zamana göre türevi) ivmeyi verir. İvme-zaman grafiğinin
alanı (ivmenin zamana göre integrali) hızı, Hız-zaman grafiğinin alanı (hızın
zamana göre integrali) konumu verir.
Hız Denklemi
Şekildeki cisim R noktasında iken hızın yatay ve düşey bileşenleri alınırsa, Vx =
-Vsinθ ve Vy = Vcosθ olur.
Cisim L noktasından R noktasına t sürede geldiğinde r konum vektörü
θ açısını tarar. Bu açının bir saniyedeki radyan cinsinden değerine açısal hız
(ω) demiştik.
Bu durumda hız denklemi iki yolla elde edilebilir.
ω = θ/t ⇒ θ = ω.t ve V = r.ω değerlerini yerine yazarsak.
Vx = -rωsinωt ve Vy = rωcosωt olur.
İkinci yol olarak da türevden gidebiliriz. Harekette yolun türevinin hızı verdiğini
biliyoruz artık.
x = r.cosωt ⇒ dx/dt = Vx = -rωsinωt ve y = r.sinωt ⇒ dy/dt = Vy = rωcosωt olur.
Gördüğünüz gibi iki yolla da hız denklemi elde etmek mümkündür.
Hareketli denge noktasından uzaklaştığında hareketlinin hızı azalır. Denge
noktasına yaklaştığında hızı artar ve denge noktasında maksimum olur.
Hareketlinin hız-zaman grafiği şekildeki gibidir.
Hareketlinin denge konumundan x kadar uzaklıktaki hızının büyüklüğü,
Vx = ω.√(r2 - x2) olarak bulunur. Hızın y bileşeni de,
Vy = ω.√(r2 - y2) olarak elde edilir. Bu durumda V'nin büyüklüğü de V2 = Vx2 +
Vy2 olur.
İvme Denklemi
Hızın türevi ivmeyi verdiğine göre;
İvmenin yönü her zaman kuvvet ile aynı yöndedir. Şekilde bir basit harmonik
hareketlinin herhangi bir andaki konum (x), kuvvet (Fx) ve ivme (ax) vektörleri
ile ivmenin zamana bağlı grafiği verilmiştir.
Kuvvet Denklemi
Basit harmonik harekette kuvvetin yönü her zaman denge noktasına doğru
olduğundan bu kuvvete geri çağırıcı kuvvet denir. Dinamiğin temel prensibi
buraya da uygulanır. Dinamikte kuvvet ivme ile kütlenin çarpımıdır.
Basit Harmonik Hareket Çeşitleri
Yay Sarkacı
Şekildeki sürtünmesiz ortamdaki yayların uçlarına m kütleli cisimler bağlanıp,
denge konumlarından r kadar çekildiğinde K ve L noktaları arasında basit
harmonik hareket yapar. Yayların cisimlere uyguladıkları kuvvete geri çağırıcı
kuvvet denir. Bu kuvvet, F = -kx büyüklüğünde olup, (-) ifadesi kuvvet ile
uzanım vektörlerinin zıt yönlü olmasındandır. Yaya etki eden kuvvet aynı
zamanda;
Yaylı sarkaçta periyodun kütle ve k yay sabitine bağlı grafikleri aşağıdaki gibi
olur. Sürtünmesiz ortamda yaylı sarkaçta periyotun büyüklüğü, cismin kütlesi
ve k yay sabitine bağlıdır. Periyot; çekim ivmesi, uzanım genlik ve cismin bulunduğu yüzey veya düzleme bağlı değildir.
Yay Sarkacının Özellikleri:







Kütle denge konumuna yaklaşırken ivme ve kuvvet azalır, hız artar.
Denge konumundan uzaklaşırken kuvvet ve ivme artar, hız azalır.
K ve L noktalarında hız sıfır, ivme maksimum, O noktasında hız
maksimum, kuvvet ve ivme sıfırdır.
Cisme etki eden kuvvet ve cismin ivmesi daima denge konumuna
yöneliktir.
Sarkacın genliği değişirse periyodu değişmez. Maksimum hız, ivme,
kuvvet ve yaya aktarılan potansiyel enerji değişir.
K ve L noktalarında enerji potansiyel enerji, O noktasında kinetik enerji
ye eşittir.
Kütle-yay sisteminin periyodu kütleye ve ucuna bağlandığı yayın
esneklik sabitine bağlıdır.
Yayın boyuna ve çekim ivmesine bağlı değildir.

Kütle-yay sisteminin çekim ivmesinin farklı olduğu bir ortama götürülürse
periyodu değişmez.
Basit Sarkaç
Ağırlığı ihmal edilen bir ipin ucuna m kütleli bir cisim bağlanıp O denge
konumundan θ açısı kadar çekilip bırakıldığında cisim, K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapar. Elde edilen sisteme basit sarkaç denir.
Herhangi bir anda, bulunan cisme şekilde görüldüğü gibi G ağırlığını bileşenlere ayırdığımızda, Gx yörüngeye teğet, Gy dik olmak üzere iki bileşeni
vardır.
Gx cismi yörüngede hareket ettiren geri çağırıcı kuvvet, Gy ise ipin gerilmesine
sebep olan kuvvettir.