jeodezi I-3

JEODEZİ I
Doç.Dr. Ersoy ARSLAN
BÖLÜM 3
3. DÖNEL ELİPSOİDE İLİŞKİN BAZI
BÜYÜKLÜKLERİN DİFERANSİYEL
GEOMETRİDE İFADESİ
3.1. DİFERANSİYEL GEOMETRİDEN ÖN BİLGİLER
3.1.1. Gauss Parametreleri
Diferansiyel geometride, dik koordinatlar sisteminde bir uzay
noktasının koordinatlar başlangıcından uzaklığına, vektör
olarak «yarıçap vektörü» denirse, yarıçap vektörü (ya da yer
vektörü) r,
r = Xi + Yj + Zk
eşitliği ile verilmiştir.
Yer vektörünün skalar değeri
Burada X,Y,Z, noktanın dik koordinatları, i,j,k ise X,Y,Z
doğrultusundaki birim vektörleridir. Yani,
IiI = IjI = IkI =1
dir.
Eğer,
(3.2)
olmak üzere uzay koordinatları (u,v) parametrelerine bağlı
iseler, u ve v nin düzlemde bir noktanın dik koordinatları
olarak gösterilmesi halinde her (u,v) çifti için düzlemdeki bir Pi
noktasına karşılık uzayda bir nokta bulunabilir. Böyle bir
noktanın yarıçap vektörü;
r = X(u,v) i+Y(u,v) j+Z(u,v) k = r(u,v)
(3.3)
dir.
Eğer fonksiyonel matris, yani,
(3.4)

ise, ki reel yüzeylerde bu şart gerçekleşir, bu takdirde her (u,v)
çifti uzayda bir yüzey noktasını belirler. Bu noktaların tümü
uzayda bir yüzey tanımlar. Bu yüzeye «Jordan yüzeyi» ve u
ve v parametrelerine «Gauss Parametreleri» denir.
Bu parametrelerden birisi sabit tutulur, diğeri değiştirilirse,
yüzey üzerinde «Parametre eğrileri» meydana gelir.
Örneğin,
u parametre eğrisi (u eğrisi) (v = sabit)
v parametre eğrisi (v eğrisi) (u = sabit)
olacaktır.
u eğrisinin bir u = u0 noktasında teğeti
(3.5)
dir.
Aynı tarzda
v eğrisinin teğet vektörü olur.
Bu iki vektörün vektörel çarpımı, yüzeyin P0(u0, v0)
noktasındaki normalini verir ve
(3.6)
ile gösterilir.
Bu iki vektörün arasındaki θ açısı
(3.7)
skalar çarpımı ile
eşitliğinden bulunur.
Eğer bu eşitlik sıfır ise, yani cos θ = 0 ise θ = 90°
ile parametre eğrileri birbirine diktir.
3.1.2. Yüzey Eğrileri ve 1. Dereceden Temel
Büyüklükleri E,F,G :
Diğer taraftan u ve v parametreleri de
u = u(t)
v = v(t)
(3.8)
olmak üzere bir (t) parametresine bağlı iseler, (t) nin
değişmesi ile yüzey üzerinde bir eğri meydana gelir. Bu
eğrinin yer vektörü,
yani,
dir.
(3.9)
olur.
Eğrinin bir P0 noktasında teğeti (3.9) dan
ve bu teğetin skalar değeri,
olacaktır.
Diğer taraftan uzay dik koordinatlar sisteminde s parametresine
göre bir eğrinin denklemi, (3.9) dan t = s ile,
(3.14)
olup eğrinin diferansiyel yay uzunluğu
dir. (3.14) denklemlerinden,
t parametresi, teğetin skalar değeri dr(t)
(3.12)
olacak şekilde seçilebilir.
Böyle bir parametreye (s) denirse, yani t = s alınırsa, bu şarta göre
yukarıdaki eşitlikten,
ya da eşitliğin (ds)2 ile çarpımı sonucu,
eşitliği elde edilir.
diferansiyel denklemleri ile (3.15) eşitliği

biçimine girer ve (3.13) eşitliği ile karşılaştırılırsa;
ds2 = dl2 olduğu görülür. Yani s = l dir.
O halde eğrinin bir noktasındaki teğetin birim vektör olması
yani mutlak değerinin 1 olması için, eğriyi veren parametre
olarak eğrinin bir noktasmdan itibaren yay uzunluğu olan s
alinmalıdır. Bunun karşıtı, bir eğriyi belirleyen parametre onun
yay uzunluğu olarak alınırsa, teğet vektörü
dr/ds bir birim vektördür. Yani,
(3.16)
olur.
(3.17)
bulunur. Burada,
(3.18)
denilerek E,F ve G skalar büyüklükleri «1. dereceden temel
büyüklükler» adını alır. Ayrıca görüldüğü gibi,
(3.19)
olmak üzere VE, u parametre eğrisinin (v = Sabit) ve VG, v
parametre eğrisinin (u = Sabit) teğet vektörlerinin skalar
(mutlak) değerleridir. ((3.5) ile karşılaştırınız).
Herhangi bir yüzey eğrisinin diferansiyel yay uzunluğunu veren
eşitliğe (I) «1. form» denir. (3.17) ve (3.18) den bu durumda,
(3.20)
elde edilir.
u eğrisinin boyu, v = Sabit, dv = 0 ile (3.20) den,
(3.21)
ve benzer olarak v öğrisinin boyu
(3.22)
bulunur. (Şekil 3.2)
3.1.3. Yüzey Eğrileri Arasındaki Açı
u ve v parametre eğrileri arasındaki θ açısı, bu eğrilerin kesim
noktasında herbirine çizilen ve aynı zamanda yüzeye de teğet
olan teğetler arasındaki açı olarak (θ), (3.7) ve (3.18) den,
(3.23)
eşitliği ile verilmektedir.
Görüldüğü gibi θ = 90° yani parametre eğrilerinin birbirine dik
(ortogonal) olabilmeleri için F = 0 olmalıdır. Bunun karşıtı u ve
v Gauss parametreleri, F = 0 çıkacak şekilde verilmişse,
parametre eğrileri ortogonaldır.
Bir parametre eğrisi (Örneğin u eğrisi) ile herhangi bir yüzey
eğrisi arasındaki açı T olmak üzere (Şekil 3.2), adı geçen
teğetlerin skalar çarpımından bulunur. Bir yüzey noktasında u
parametre eğrisinin teğet vektörü ru ve (s) parametreli yüzey
eğrisinin teğet vektörü rs = (dr/ds) olacağından,
ile)
(3.24)
elde edilir. (3.16) ve (3.19 dan
ve
(3.24)
bulunur.
ile,
Diğer taraftan ds eğrisinin bir noktasındaki yer vektörü
r = r (u(s) v(s))
ile
(3.26)
olur. Böylece (3.25) de,
elde edilir ve (3.18) ile
ve nihayet (3.25) de konursa,
(3.27)
bulunur.
Buna karşılık,
ve
(3.28)
denirse,
(3.27)
Eşitlikleri çıkarılır.
Parametre eğrileri ortogonalsa, (3.28) de F = 0 konulup
(3.21) ve (3.22) eşitlikleri de dikkate alınırsa; Şekil (3.3) den
(3.30)
eşitlikleri elde edilir.
3.1.4. Yüzey Normali
Yüzeyin bir noktasındaki normal vektörü, bu noktadaki
yüzey teğet düzlemine diktir. Diğer taraftan bir yüzey
noktasmda teğet düzlem içindeki iki vektöre dik olan
vektör teğet düzlemine de diktir. O halde böyle bir vektör
o noktada vüzey normalidir. Bir yüzey noktasındaki
parametre eğrilerinin teğet vektörleri yüzeye de o
noktada teğettir; yani o noktadaki teğet düzlem içindedir,
Bu durumda bir noktasında parametre eğrilerinin teğet
vektörlerine dik olan vektör o noktadaki yüzey normalidir,
iki vektörün vektörel çarpımı bu vektörlere dik bir vektör
oluşturur. O halde bir yüzey noktasındaki yüzey normali,
bu noktada parametre eğrilerinin teğet vektörlerinin
vektörel çarpımı ile oluşan bir vektördür.
Böylece yüzey normali
olur ve normal vektörü doğrultusundaki birim vektör, bu
vektörü akalar değerine bölmekle elde edilir ve birim vektöre
n denirse,
(3.31)
olur. Diğer taraftan,
İle
Elde edilir.
cosθ yerine (3.23) den eşiti konursa,
(3.32)
ve (3.18) ve (3.28) eşitlikleri ile,
(3.33)
elde edilir. Böylece (3.31) eşitliği,
(3.34)
şeklini alır.
3.1.5. Yüzey Alan
Elemanı
Diferansiyel anlamda alan
elemanı olarak, parametre
eğrilerinin ds(u) ve ds(v)
diferansiyel yay elemanlarının
oluşturduğu paralel kenar
alınır (Şekil 3.4).
Bu paralel kenarın alanı df,
yeterli yaklaşıkla,
df = ds(u) ds(v) sinθ (3.35)
eşitliği ile verilir.
(3.23) den
İle
ya da,
(3.36)
ve (3.21) ve (3.22) den,
İle
(3.37)
alan elemanı bulunur.
(3.33) den,
olduğu dikkate alınırsa, alan elemanı
(3.38)
eşitliği ile de verilebilir.
3.1,7 İkinci Dereceden Temel Büyüklükler L. M, N
Bir yüzey eğrisinin teğeti» o noktada yüzeye de teğet olduğu için, yüzey
normaline diktir. O halde,
JEODEZİ I
UYGULAMA
Soru : Uluslararası elipsoid yüzünde bir P noktası
için maksimum normal eğrilik yarıçapı
6 386 711.141 m ve minimum normal eğrilik yarıçapı
6 361 004.123 m olduğuna göre bu noktadaki
ortalama eğrilik ve Gauss eğrilik ölçülerini
hesaplayınız.

Soru :Uluslararası elipsoid yüzünde P1 noktasından
geçen paralel dairenin yarıçapı
4 842 615.445 m dir. P1 noktasının enlemini
hesaplayınız.

Soru : Uluslararası elipsoid yüzünde bir P
noktasının elipsoidal enlemi
403552.97851, elipsoidal boylamı
314325.69785 ve bu noktadan geçen A
azimutlu normal kesit eğrisinin eğrilik
yarıçapı 6 372 854.309 m veriliyor.
A azimutunu hesaplayınız.
Veya
Formülünden tan A
çekilerek azimut
hesaplanabilir