Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler

advertisement
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması
İçin Testler
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
İÇERİK
o Giriş
oVaryansı Bilinen Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez
Testler
•
P-değerleri:
•
II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi
•
Örnekleme Büyüklüğü Formülleri
•
İşlem Karakteristik Eğrilerini Kullanma
(Operating Characteristic Curves)
•
Büyük Örnekleme Testi
oVaryansı Bilinmeyen Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin
Hipotez Testler
•
Bir t-Test için P-değeri
•
II. Çeşit Hata ve Örnekleme Büyüklüğü
oBir Normal Dağılım Varyansı ve Standart Sapması İçin
Hipotez Testler
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Varyansı Bilinen Bir Normal
Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
Varyansı bilinen, bir tekli normal kitlenin ortalaması () için hipotez
testler incelenecek.
X1,X2,...Xn kitleden alınan rasgele bir örnekleme ve xb örnekleme ortalaması
’nun 2/n varyans ile yansız nokta tahmincisi olsun.
Ortalama için hipotez testler:
0  belirli bir sabit
Şayet sıfır hipotezi doğru ise, xb ortalama 0 ve standart sapma /√n ile
normal bir dağılımdır. Hesaplanmış örnekleme ortalaması için bir kritik bölge
belirleyebiliriz. Örnekleme ortalamasını standardize etmek uygundur.
Yani H0: =0 için test prosedürü, test istatistiği kullanır.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
Şayet sıfır hipotezi H0: =0 doğru ise, E(xb )=0 ve Z0 dağılımı standart
normal dağılımlıdır ve N(1,0) ile ifade edilir. Sonuç olarak, şayet H0: =0
doğru ise, 1- olasılığı test istatistiği Z0 –z/2 ile z/2 arasına düşer.
Burada z/2 100/2 standart normal dağılımın yüzde noktasıdır.
Örneklemenin ürettiği test istatistiği değeri, Z0 dağılımının kuyruklarına
düşmesi şayet H0: =0 doğru ise doğal değildir. Bu H0’nun yanlış olduğunu
işaret eder.
Şayet gözlene değer z0:
H0 reddedilir.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
Şayet gözlene değer z0:
ise: H0 reddedilemez.
I. çeşit hata olasılığı bu test prosedürü için ’dır.
Test istatistiği xb yerine Z0 olduğunda kritik bölge ve test prosedürünü
anlamak daha kolaydır. Fakat aynı kritik bölge örnekeleme ortalaması xb
içinde yazılabilinir.
Şayet
ya da
H0: =0 reddedilir.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
ÖRNEK:
Fırlatma koltuğu örneğinde şartnamede fırlatma hızı ortalamasının 50 cm/s
olması gereklidir. Kitle standart sapması =2 cm/s bilinmektedir. Uzman bir
I. çeşit hata olasılığı ya da =0,05 önem seviyesini tanımlamak istiyor.
Yaptığı 25 deney sonucunda xb =51,3 cm/s ise; Buradan elde edilecek
sonuçlar nelerdir?
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
1. İlgilenilen parametre  fırlatma hızı
2. H0 : =50 cm/s
3. H1 :  ≠ 50 cm/s

= 0,05
5. Test istatistiği
6. Şayet z0 > 1,96 ya da z0< -1,96 ise H0 reddedilir. Bu değerler 4. adımda
tanımlanan önem seviyesi 0,05’den bulunur z0,025=1,96 ve –z0,025=-1,96
7. xb =51,3 cm/s ve =2 cm/s için hesaplama
8. Sonuç: z0=3,25 > 1,96 dolayısyla 0,05 önem seviyesinde
H0 : =50 reddedilir.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
Hipotez testi tek taraflı da kurabilinir
Burada Z0 negatif değer için H0 reddedilmeyecektir. Sadece üst kuyuk kritik
bölgedir ve hesaplanan z0 değeri çok büyükse
Test istatistiği hesaplandığında şayet Z0 çok küçük ise H0 reddedilir.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
P-değerleri:
: Standart normal kümülatif fonksiyon
Yani, H0 : =50 sıfır hipotezi ’nın P-değeri (0,0012)’den büyük her değeri
için reddedilecektir.
Örneğin =0,01 için reddedilir. Fakat, =0,001 için reddedilmez.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi
Hipotez testlerinde araştırmacı direk olarak I. çeşit hata olasılığını seçer.
Fakat II. çeşit hatanın olasılığı örnekleme büyüklüğünün seçimine bağlıdır.
Burada II. çeşit hatanın olasılığının nasıl hesaplandığını ve belirli bir 
değeri için örnekleme büyüklüğünün nasıl seçildiği incelenecektir.
Çift taraflı hipotezi ele alalım:
Sıfır hipotezinin yanlış olduğunu ve gerçek ortalama
değerin =0+ varsayalım >0
Test istatistiği Z0 :
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi
Test istatistiği Z0 dağılımı sıfır hipotezi ve alternatif hipotez için şekilde
gösterilmektedir.
Şekile göre şayet H1 doğru ise, bir II. çeşit hata olasılığı sadece şayet
Z0 ~N(√n/,1) iken
arasında ise yapılır.
Yani II. çeşit hata  olasılığı, H1 doğru olarak verildiğinde Z0’ın
–z/2 ve z/2 arasına düşme olasılığıdır.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi
Varyans bilindiğinde, ortalama için çift taraflı bir test
uygulandığında II. çeşit bir hata olasılığı
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
Örnekleme Büyüklüğü Formülleri:
Verilen bir  ve  değerleri için pratik uygun bir  değeri elde etmede,
uygun büyüklükte örnekleme boyutu tanımlanabilir.
Çift taraflı alternatif hipotez için:
Ya da şayet >0 ise
Çünkü >0 ise
z standart normal dağılımın 100 üst yüzdesi ise
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
Örnekleme Büyüklüğü Formülleri:
Ya da varyans bilindiğinde, ortalama için çift taraflı bir test
uygulandığında örnekleme büyüklüğü:
Şayet n bir tam sayı değil ise bir üst tam sayıya yuvarlanır.
Bu da
 ile karşılaştırıldığında küçük iken iyi bir
yaklaşmadır.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
Örnekleme Büyüklüğü Formülleri:
Fırlatma koltuğu hızının gerçek değeri 49 cm/s olduğunu varsayalım.
=0,05, =2 cm/s ve n=25 ise çift taraflı test için  değeri nedir?
 = (-0,54) – (-4,46)=0,295
Bu olasılık yaklaşık 0,3’tür ve bu fark 50 cm/s’den ayırt edilemez. Yani gerçek
fırlatma hızı 49 cm/s olduğunda 50 cm/s’lik sıfır hipotez testi reddedilmez.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
Örnekleme Büyüklüğü Formülleri:
Araştırmacı gerçek değerden 1 cm/s farkı tahmin edecek bir test
tasarlamaktadır. Yani H0 : =50 cm/s sıfır hipotezi yüksek olasılıkla örneğin
0,90 reddedilecek =0,05 =2 ve =0,1 ise çift taraflı test için n değeri nedir?
Burada yaklaşım iyidir çünkü :
’ya göre küçüktür.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
İşlem Karakteristik Eğrilerini Kullanma
(Operating Characteristic Curves)
Örnekleme büyüklüğü ve II. çeşit hata hesaplamalarında bazen işlem
karakteristik(OC) eğrileri kullanmak daha uygundur. Apendiks VIIa ve VIIb.
Bu eğriler II. çeşit bir hata olasılığı denklemine göre değişik örnekleme
büyüklüklerine göre bir d parametresine karşılık  çizimleridir.
Eğriler =0,05 ve =0,01 için çizilmişlerdir.
d parametresi aşağıdaki formül ile tanımlanır:
Böylece bir işlem karakteristik eğrileri problemdeki 0 ve  değerlerinden
bağımsız olarak kullanılabilinirler.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
İşlem Karakteristik Eğrilerini Kullanma
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
İşlem Karakteristik Eğrilerini Kullanma
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
İşlem Karakteristik Eğrilerini Kullanma
(Operating Characteristic Curves)
Genel olarak işlem karakteristik eğrileri 3 parametre , d ve n ile ilgilidir.
Her hangi ikisinin verildiği durumda 3. parametre hesaplanabilinir.
Bu eğrilerin iki çeşit uygulaması vardır.
1. Verilen bir n ve d değerinde  değerini bulma; Bu çeşit problemler yapılan
deneylerin hassasiyet analizlerinde ya da örnekleme büyüklüğü ekonomik
ya da diğer nedenlerle kısıtlandığında kullanılır.
2. Verilen bir  ve d değeri için, n bulmada kullanılır. Bu çeşit problemler
genelde araştırmacı örnekleme büyüklüğünü seçebilme olanağı olduğunda
karşılaşılır.
Apendiks VIIc ve VIId çizelgeleri işlem karakteristik eğrileri tek taraflı
alternatif testler içindir.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
İşlem Karakteristik Eğrilerini Kullanma
Fırlatma koltuğu hızında gerçek değer 51 cm/s olduğunu varsayalım.
=0,05 =2 ve n=25 ise çift taraflı test için  değeri nedir?
Apendiks VIIa’dan d=0,5 ve n=25 için =0,3 değeri okunur.
Bu da yaklaşık bir %30 şansla gerçek değerin 51 cm/s olduğu tespit edilemez.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
İşlem Karakteristik Eğrilerini Kullanma
Araştırmacı gerçek değerden 1 cm/s farkı tahmin edecek bir test
tasarlamaktadır. Yani H0 : =50 cm/s sıfır hipotezi yüksek olasılıkla örneğin
0,90 reddedilecek =0,05 =2 ve =0,1 ise çift taraflı test için n değeri nedir?
Apendiks VIIa’dan d=0,5 ve =0,1 için bir n değeri okunur.
Bu da yaklaşık n=40 değeridir ve hesaplanan n=42 değerine oldukça yakındır.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler
Büyük Örnekleme Testi
Sıfır hipotezi için test prosedürünü geliştirirken kitlenin normal dağıldığını
varsaydık ve 2 biliniyordu. Fakat bir çok durumda 2 bilinmeyecektir ve
kitle normal dağılım olarak modelleyemeyebiliriz. Bu durumlarda şayet
n (n>40) büyük ise, örneklemenin standart sapması(s) kitlenin standart
sapması() yerine konulabilinir.
Z  X  0
s/ n
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Varyansı Bilinmeyen Bir Normal Dağılım Ortalaması
İçin Hipotez Testler
Buradaki durum ortalama için bir güvenlik aralığı bulmadaki durumla
benzerlik gösterir.
Burada da aynı kabullenmeyle kitle dağılımının normal dağılım
gösterdiği varsayılır ve şayet X1,X2,...Xn bir rasgele örnekleme ise rasgele
değişken n-1 serbestlik derecesiyle t-dağılımına sahiptir.
Hipotez testi ele alındığında:
Test istatistiği
olarak kullanılır.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Varyansı Bilinmeyen Bir Normal Dağılım Ortalaması
İçin Hipotez Testler
Şayet sıfır hipotezi doğru ise, T0 n-1 serbestlik derecesiyle bir t-dağılımlıdır.
H0 doğru olduğu zaman, test istatistiğinin dağılımını bildiğimizde, istenilen
seviyede I. çeşit hatanın olasılığını kontrol için kritik bölgeyi işaretleyebiliriz.
Bunun için t yüzde noktaları –t/2, n-1 ve t/2,n-1 kritik bölge için sınırlar olurlar
ve böylece
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Varyansı Bilinmeyen Bir Normal Dağılım Ortalaması
İçin Hipotez Testler
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Varyansı Bilinmeyen Bir Normal Dağılım Ortalaması
İçin Hipotez Testler
ÖRNEK:
Üretilen golf sopalarının esneklik katsayılarının =0,05 seviyesinde 0,82
değerini geçtiği araştırılıyor.
Üretimden rasgele seçilen 15 golf sopasının ölçülen katsayıları aşağıdadır.
Rasgele seçilen verilerin
olasılık grafiği,
normal dağılım testi:
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Varyansı Bilinmeyen Bir Normal Dağılım Ortalaması
İçin Hipotez Testler
CEVAP:
1. İlgilenilen parametre  esneklik katsayısı
2. H0 : =82
3. H1 :  > 82

= 0,05
5. Test istatistiği
6. Şayet t0 > t0,05 ,14=1,761 ise H0 reddedilir.
7. xb =0,83725 ve s=0,02456, 0=0,82 ve n=15 için hesaplama
8. Sonuç: t0=2,75 > 1,761 dolayısıyla 0,05 önem seviyesinde
H0 : =0,82 reddedilir.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Varyansı Bilinmeyen Bir Normal Dağılım Ortalaması
İçin Hipotez Testler
Bir t-Test için P-değeri
Sıfır hipotezini reddetmek için en küçük önem seviyesi
Bu da t0 test istatistiği için kuyrukların altında kalan alandır. t dağılımı için
sadece 10 kritik değer Apendikste verilmiştir. Dolayısıyla tam P-değerini
burdan okumak imkansızdır. Fakat P-değerinin üst ve alt sınırları buradan
belirlenbilir. Bir önceki 14 serbestlik derecesi için apendiksten baktığımızda
Kritik değer
Kuyruk alanı
t0=2,72 bu değer 0,01 ve 0,005 arasındadır dolayısıyla bu değerler
P-değerinin alt ve üst sınırları olurlar.
Şayet P-değeri sınırlarını iki kuyruk için değerlendirirsek alt ve üst sınır
değerlerinin iki katı alınması gerekir.
2,624 < t0 < 2,972
0,01=2(0,005) < P-değeri < 0,02=2(0,01)
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Varyansı Bilinmeyen Bir Normal Dağılım Ortalaması
İçin Hipotez Testler
II. Çeşit Hata ve Örnekleme Büyüklüğü
II. çeşit hatanın olasılığı, varyansı bilinmeyen bir normal dağılım ortalaması
için yapılan testlerde test istatistiği dağılımına bağlıdır.
Gerçek ortalama değer =0+ olduğunda T0 dağılımına n-1 serbestlik
derecesiyle merkezi olmayan t dağılımı denir ve n/ merkezi olmayan
parametresi ile şayet =0 ise merkezli t dağılımı denir
II. Çeşit hata iki taraflı
alternatif test
T0’ merkezi olmayan t rasgele değişkenidir. II. çeşit hata () olasılığını t-test
için bulmak merkezi olmayan t-dağılımında 2 nokta arasındaki olasılığı bulmaktır.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Varyansı Bilinmeyen Bir Normal Dağılım Ortalaması
İçin Hipotez Testler
II. Çeşit Hata ve Örnekleme Büyüklüğü
II. çeşit hata olasılığı tablolar sayesinde kolayca bulunur.
Apendiks VII e, VIIf, VIIg, ve VIIh çizelgeleri çeşitli örnekleme büyüklükleri için
bir d parametresine karşılık t-test için  grafikleridir.
Tek taraflı alternatif testler de >0 ya da <0 VIIg ve VIIh çizelgeleri kullanılır.
d bilinmeyen 2 parametresine bağlıdır. Bu zorluktan kurtulmak için bazı durumlarda
daha önceden yapılan deneylerin bilgisinden yararlanılarak kabaca 2 tahmin edilir.
Şayet test performansını değerlendirilmek istiyorsak veriler toplandıktan sonra
örnekleme varyansı s2, 2 tahmini için kullanılabilinir. Şayet daha önceden
toplanmış bir veri yoksa, o zaman incelenecek ortalama farkını büyüklüğü dikkate
alınır. Şayet ortalamadaki küçük bir farkı bulmak istiyorsak d=/<=1 değeri
kullanılır. Öte yandan daha ciddi büyük bir farkı bulmak istiyorsak d=/=2 kullanırız.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Varyansı Bilinmeyen Bir Normal Dağılım Ortalaması
İçin Hipotez Testler
II. Çeşit Hata ve Örnekleme Büyüklüğü
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Varyansı Bilinmeyen Bir Normal Dağılım Ortalaması
İçin Hipotez Testler
II. Çeşit Hata ve Örnekleme Büyüklüğü
Golf sopaları esneklik katsayısı deneyinde şayet gerçek ortalama değer 0,82
değerini geçiyorsa ve biz 0,02 farkla sıfır hipotezini H0 :=0,82 en az 0,8
olasılıkla reddetmek istiyorsak yapılan n=15 deney yeterli midir?
Hesaplanan s=0,02456 ’yı tahmin etmekte kullanılır.
> 0,8
Hassasiyet için n=15 örnekleme yeterlidir.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Varyansı Bilinmeyen Bir Normal Dağılım Ortalaması
İçin Hipotez Testler
II. Çeşit Hata ve Örnekleme Büyüklüğü
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Varyansı ve Standart
Sapması İçin Hipotez Testler
Bazen kitlenin varyansı ve standart sapması için hipotez testler gerekir.
Bir normal kitlenin varyansının (2) belirli bir değere örneğin 20 eşit olduğunu
ya da standart sapmasının () belirli bir değere 0 eşit olduğunu test etmek
istiyoruz.
Test istatistiği
Şayet sıfır hipotezi H0 :2=20 doğru ise, yukarıda tanımlanan test istatistiği
X20 n-1 serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımını izler.
x20 hesaplanır ve H0 :2=20 sıfır hipotezi
Şayet
ya da
REDDEDİLİR.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Varyansı ve Standart
Sapması İçin Hipotez Testler
Aynı istatistiği tek taraflı alternatif hipotezler içinde kullanılır.
ya da
REDDEDİLİR.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Varyansı ve Standart
Sapması İçin Hipotez Testler
ÖRNEK:
Şişeleri sıvı deterjan ile dolduran bir makina için rasgele seçilen 20 şişe
örneklemesine göre örnek varyansı s2=0,0153 oz2 çıkmıştır.
Şayet dolu hacim varyansı 0,01 oz2’yi geçerse kabul edilemez miktar şişe
az ya da çok dolu olarak doldurulacaktır. Şişe doldurma hacminin normal
dağılımlı olduğunu varsayarsak. =0,05 seviyesinde, şişe sayısı varyans
farkının aşılıp problemle karşılaşılmasını belirleyebilmek için yeterli midir?
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Varyansı ve Standart
Sapması İçin Hipotez Testler
1. İlgilenilen parametre  kitle varyansı
2. H0 : =0,01
3. H1 :  > 0,01

= 0,05
5. Test istatistiği
6. Şayet x02 > x0,052 ,19=30,14
ise H0 reddedilir.
7. Hesaplama
8. Sonuç:
H0 :
=0,01
dolayısıyla 0,05 önem seviyesinde
reddetmek için güçlü bir kanıt yoktur.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Varyansı ve Standart
Sapması İçin Hipotez Testler
II. Çeşit Hata ve Örnekleme Büyüklüğünün Seçimi
Ki-kare testler için işlem karakteristik eğrileri apendiks VIIi ile VIIn arasındaki
çizelgelerde =0,05 ve =0,01 için verilir.
Cift taraflı alternatif hipotezlerde VIIi ve VIIj çizelgelerinde  grafiği bir apsis
parametresine karşılık bir çok değişik n örnekleme büyüklüğüne göre
çizilir.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Varyansı ve Standart
Sapması İçin Hipotez Testler
II. Çeşit Hata ve Örnekleme Büyüklüğünün Seçimi
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Varyansı ve Standart
Sapması İçin Hipotez Testler
II. Çeşit Hata ve Örnekleme Büyüklüğünün Seçimi
ÖRNEK:
Şişeleri dolum örneğini ele aldığımızda, şayet dolu hacim varyansı
0,01 oz2’yi geçerse kabul edilemez miktar şişe az ya da çok dolu olarak
doldurulacaktır. Yani hipotez testinin standart sapması 0=0,1, gerçek
standart sapmanın bu değeri %25 aştığını varsayarsak bunu en az 0,8
olasılıkla bulmak istiyorsak, bunun için n=20 örnekleme büyülüğü yeterli midir?
%40 şansla sıfır hipotezi reddedilir şayet gerçek standart sapma 0,125 oz2
gibi büyük bir değer ise.
B hata değerini küçültmek için örnekleme büyüklüğünü arttırmalıyız.
Örneğin =0,125 için =0,2 değerini ancak n=75 örnekleme ile elde edebiliriz.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
Bir Normal Dağılım Varyansı ve Standart
Sapması İçin Hipotez Testler
II. Çeşit Hata ve Örnekleme Büyüklüğünün Seçimi
Download