Microsoft PowerPoint - M\374hendislikte \335statistik Metotlar_6_mc

Hipotez Testleri
Mühendislikte İstatistik Yöntemler
Hipotez Testleri
Parametrik Testler ( z ve t testleri)
Parametrik Olmayan Testler (χ2 Testi)
Hipotez Testleri
Ana Kütle
β( µ , σ )
Örnek Kütle
b ( µx , σx)
β = ana kütle parametreleri ( µ )
βo = tahmini (seçilen) parametreler ( µo )
b = örnek kütle parametreleri ( µx )
β = βo ?
Hipotez Testleri
DÜŞEY DELİKLİ YIĞMA TUĞLA
•Boyutları 190x290x135 mm
•Ortalama ağırlık 500 gr/Adettir.
•Basınç dayanımı 140 kgf/cm²'dir
•19 cm kalınlığında 1 m² duvarda 22 adet kullanılır
•29 cm kalınlığında 1 m² duvarda 33 adet kullanılır
Örneğin, bir tuğla fabrikası ürettiği düşey delikli tuğlaların basınç dayanımını
140 kgf/cm olarak ürettiğini belirtmektedir. Bu fabrikada üretilen tuğlalardan
alınan 11 örnek üzerinde yapılan basınç dayanımı test sonuçlarına göre
ortalama 137 kgf/cm, standart sapma ise 16 kgf/cm olarak çıkmıştır.
β = ana kütle parametreleri (bilinmiyor)
βo = tahmini (seçilen) parametreler (140 kgf/cm)
b = örnek kütle parametreleri (137 kgf/cm)
β = βo ?
Ana Kütle Ortalaması = 140 kgf/cm MİDİR
Hipotez Testleri
Ho hipotezi, sıfır hipotezi
Ho : β = βo
Ho : µ = µo
Karşıt Hipotez, H1 hipotezi (aşağıdakilerden biri olabilir)
H1 : β ≠ β o
(
H1 : µ ≠ µo
(İki uçlu test) )
H1 : β > β o
(
H1 : µ > µo
(Tek uçlu test) )
H1 : β < β o
(
H1 : µ < µo
(Tek uçlu test) )
Problemlerdeki hipotezleri belirlemek:
Populasyon ortalamasının 75 olduğunu test ediniz.
Adımlar:
Soruyu istatistiksel olarak belirtin (H0: µ = 75)
Zıddını istatistiksel olarak belirtin (H1: µ ≠ 75)
Hipotezler birbirinden tamamen ayrıktır.
6
Hipotezlerin belirlenmesi alıştırmaları:
Aşağıdaki durumlarda hipotezleri oluşturunuz:
1. Populasyonun günde TV seyrettiği sürenin
ortalaması 12 midir?
µ = 12 µ ≠ 12 H0: µ = 12
H1: µ ≠ 12
2. Populasyonun günde TV seyrettiği sürenin
ortalaması 12 den farklı mıdır?
µ ≠ 12 µ = 12 H0: µ = 12 H1: µ ≠ 12
7
3. Bir şapkanın ortalama maliyetinin 2.000.000 TL’den
büyük olduğu iddia edilmektedir, araştırınız.
H0: µ ≤ 2 000 000
H1: µ > 2 000 000
4. Kitapçıda harcanan paranın 25.000.000 TL’den
küçük olduğu iddia edilmektedir, araştırınız.
H0: µ >25 000 000 H1: µ ≤ 25 000 000
8
Hipotez Testleri
İki uçlu test (H1 : β ≠ βo )
α/2
α/2
KABUL
BÖLGESİ
b1
b2
RED BÖLGELERİ
Ho : β = βo
(Ho hipotezi (sıfır hipotezi))
H1 : β ≠ βo
(H1 hipotezi (karşıt hipotez))
Hipotez Testleri
Tek uçlu test
H1 : β > βo
α
KABUL
BÖLGESİ
b1
RED BÖLGESİ
Ho : β = βo
(Ho hipotezi (sıfır hipotezi))
H1 : β > βo
(H1 hipotezi (karşıt hipotez))
Hipotez Testleri
Tek uçlu test
α
H1 : β < βo
KABUL
BÖLGESİ
RED BÖLGESİ
b1
Ho : β = βo
(Ho hipotezi (sıfır hipotezi))
H1 : β < βo
(H1 hipotezi (karşıt hipotez))
Hipotez Testleri
Gerçek Durum
Karar
H0 DOĞRU
H0 YANLIŞ
H0 KABUL
DOĞRU KARAR
Yanlış Karar
(II. Tip Hata)
Yanlış Karar
(I. Tip Hata)
DOĞRU KARAR
H0 RED
Hipotez Testinde
Test İstatistiğinin Belirlenmesi
Ortalama yada iki
ortalama farkı için
σ2 biliniyor
Oranlar yada iki
oran farkı için
σ2 bilinmiyor
n<30
n≥30
Z İstatistiği
Z İstatistiği
t İstatistiği
Varyansların testi
Bir
İki varyans
varyans için oranı için
F İstatistiği
χ2 İstatistiği
13
ORTALAMALARLA İLGİLİ HİPOTEZ TESTLERİ
σ Bilindiğinde
Z Test İstatistiği
σ Bilinmediğinde fakat n≥30
olduğunda Z Test İstatistiği
X − µx X − µ
X − µx X − µ
Z=
= σ
Z=
= s
σx
sx
n
n
Kabul ve Red Alanları: (Çift Taraflı Test)
H0 RED
H0 RED
α/2
α/2
0
Zα/2 kritik değerler
tablodan bulunur.
H 0 : µ = 45
H1 : µ ≠ 45
Z
14
Çift Taraflı Z Testine Örnek:
Bir fabrikada üretilmekte olan vidaların boylarının
ortalaması 100 mm, ve standart sapması 2 mm olan normal
dağılım gösterdikleri bilinmektedir. Makinalarda olan bir
arıza giderildikten sonra üretilen vidalardan alınan 9 vidalık
bir örneğin boy ortalaması 102 mm olarak bulunmuştur.
Makinalardaki arıza giderilirken vidaların boyunun ayarı
bozulmuş mudur? α=0.05 için test ediniz ve yorumlayınız.
1. Adım: Hipotezlerin belirlenmesi
H 0 : µ = 100mm
H1 : µ ≠ 100mm
2. Adım: Test istatistiğinin hesaplanması
Z hesap =
X −µ
σ
n
102 − 100
=
=3
2 9
15
3. Adım: Kritik değerlerin belirlenmesi:
Standart Normal
Dağılım Tablosu
.500
- .025
.475
α /2 = .025
Z
.05
.06
.07
1.6 .4505 .4515 .4525
α /2 = .025
-1.96 0 1.96 Z
1.7 .4599 .4608 .4616
1.8 .4678 .4686 .4693
1.9 .4744
.4750 .4756
16
4. Adım: İstatistiksel karşılaştırmanın yapılması:
H0 RED
α /2 = .025
H0 RED
α /2 = .025
0
Zhesap=3
-Ztablo= -1.96 Ztablo= 1.96
5. Adım: Karar verme ve yorumlama:
Zhesap değeri H0 RED bölgesine düştüğü için H0 hipotezi reddedilir, yani
vidaları boy ortalaması 100 mm’den farklıdır, makinanın ayarı
bozulmuştur.
17
Tek Taraflı Z Testi Örneği
• Bir kutu mısır gevreğinin ağırlığının 368 gr’dan
fazla olduğu iddia edilmektedir. Ayrıca σ = 15
gram olduğunu belirtmiştir.
n= 25 kutuluk bir örnek alınmış ve
X = 372.5 gr.
olarak bulunmuştur. 0.05 seviyesinde test
ediniz.
18
Çözüm
H0: µ ≤ 368
Test İstatistiği:
H1: µ > 368
X −µ
372.5 − 368
Z=
.
=
= +150
α = 0.05
15
σ
n = 25
n
25
• Kritik değer:
Karar:
RED bölgesi
α = .05 için H0 hipotezi
α=.05
reddedilemez.
0
Yorum:
Z
Ortalamanın 368
Zhesap=1.5 Ztablo=1.645 gr.dan fazla olduğuna
dair yeterli kanıt yoktur.19
Çift Taraflı Z testi örneği:
Bu sene İnşaat Mühendisliği bölümünden mezun olacak
öğrencilerin mezuniyet not ortalamalarının 70 olduğu iddia
edilmektedir. Bu amaçla mezuniyet sonrası 36 öğrencilik bir
örnek alınmış ve mezuniyet ortalamalarının 66, standart
sapmasının 12 olduğu bulunmuştur. Bu veriler ışığında iddiayı
α=0.01 için test ediniz.
H0 : µ=70
H1 : µ≠70
X − µx X − µ
Z=
=
s
sx
n
20
Çözüm
H0: µ = 70
Test İstatistiği:
H1: µ ≠ 70
66 − 70
X −µ
Z=
=
= -2.0
α = 0.01
12
σ
n = 36
n
36
• Kritik değer:
Karar:
RED bölgesi
α = .01 için H0 hipotezi
α/2=.005 reddedilemez.
0
Zhesap=-2.0
Yorum:
Z
Ztablo=±2.575
Not ortalamasının 70
olduğu doğrudur.
21
ÖRNEK
Bir konserve fabrikasının imal ettiği konservelerin üzerinde
brüt 455 gr yazmaktadır. Bu konservelerin brüt ağırlıkları ile
ilgili bir karar vermek üzere rasgele seçilen 17 kutunun
ortalama ağırlığı 450 gr ve standart sapması 13 gr
bulunmuştur. Brüt ağırlığın 455 gr olmadığını 0.05 önem
seviyesinde söyleyebilir misiniz?
v = n −1=16
H 0 : µ = 455
H1 : µ ≠ 455
H 0 Red
α 2 = 0.025
H 0 Kabul
-2.12 -1.54
H 0 Red
2.12
ttab = ±2.12
X − µ 450 − 455
th =
=
≅ 1.54
s
13
n −1
17 − 1
Hipotez Testleri
Normal Dağılım
t Dağılımı
χ² Dağılımı
µ x − µo
z=
σx / N
µ x − µo
t=
σx / N − 1
2
N
×
σ
x
χ2 =
σ o2
b1,2
σx
= µo ± z
N
b1,2
σx
= µo ± t
N −1
b1,2
N × σ 2x
=
χ o2
Olasılık Dağılımı İle İlgili Hipotezler
Gözlenmiş bir örnekten elde edilen frekans dağılımının seçilen bir teorik
dağılım fonksiyonuna uygunluğunu kontrol etmek için iki basit yol vardır.
Birincisi, kullanılan teorik dağılıma ait olasılık kağıdı üzerinde grafiksel
kontrol,
diğeri ise örnekten hesaplanan yüksek mertebeden momentlerin (çarpıklık
katsayısı, kurtosis katsayısı gibi) seçilen fonksiyonun teorik moment değerleri
ile karşılaştırılması ile uygunluğunun kontrolüdür.
Ancak her iki yöntem de güvenilir değildir. Çeşitli dağılım fonksiyonlarının
biçimleri çok farklı olduğu halde yüksek mertebeden momentleri birbirine
yakın çıkabilir.
Bu nedenle olasılık dağılımlarının uygunluğunun kontrolünde de istatistik
testler kullanmak gereklidir