FİZ 216 Elektrik ve Manyetizma Adı Soyadı: No: Şube: İmza
advertisement
FİZ 216 Elektrik ve Manyetizma I. Arasınav Adı Soyadı: No: Şube: İmza: 22.03.2017 (09:00-11:00) Soru 1 (20) 2 (20) 3 (20) 4 (20) 5 (20) Puan Notu SORULAR �⃗ (𝑟𝑟) = 𝐴𝐴 � 1. Uzayda herhangi bir noktadaki elektrik alan, küresel koordinatlarda 𝐸𝐸 Burada A ve k pozitif sabitlerdir, r ise koordinat merkezinden olan uzaklıktır. 𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑟𝑟 � 𝑟𝑟̂ ifadesine sahiptir. (a) Elektrik alanın elektrostatik kaynaklı olduğunu gösteriniz. Bu elektrik alana kaynaklık eden hacimsel yük dağılımını bulunuz. (b) Yük dağılımının potansiyel enerjisini bulunuz. 2. Yarıçapı 𝑅𝑅 olan küresel bir kabuğun yüzeyindeki elektrostatik potansiyel, 𝑘𝑘 pozitif bir sabit ve 𝜃𝜃’ da küre üzerindeki bir noktanın konum vektörü ile z-ekseni arasındaki açı olmak üzere, 𝜃𝜃 𝑉𝑉0 (𝑅𝑅, 𝜃𝜃) = 𝑘𝑘 �1 + 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 �2� � ifadesine sahiptir. (a) Küre kabuğunun içindeki ve dışındaki noktalarda elektrik potansiyelini (𝑉𝑉) bulunuz. (b) Küre kabuğunun yüzeyindeki yük yoğunluğunu hesaplayınız. 3. R yarıçaplı yarım-küre şeklindeki bir kabuk σ yüzey yük yoğunluğuna sahiptir. Yarım küre kabuğunun açık ağzı xy-düzlemine paraledir ve merkezi z = R noktasındadır. Orijinden çok uzak noktalarda (𝑟𝑟 ≫ 𝑅𝑅), (a) potansiyelin monopol (𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚. ) ve dipol �𝑉𝑉𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑. � terimlerini hesaplayınız. (b) elektrostatik alanın monopol �𝐸𝐸�⃗𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚. � ve dipol �𝐸𝐸�⃗𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑. � terimlerini hesaplayınız. 4. Yüzeyce serbest yük yoğunluğu 𝜎𝜎𝑓𝑓 olan 𝑅𝑅 yarıçaplı çok uzun yalıtkan bir silindirin içi kalıcı kutuplanması 𝑃𝑃�⃗ = (𝑘𝑘𝑘𝑘)𝑠𝑠̂ olan dielektrik bir malzeme tamamen doludur. Silindirin dışı ise 2R yarıçapına kadar dielektrik sabiti ℰ𝑟𝑟 olan doğrusal bir dielektrikle kaplanmıştır. �⃗ alanlarını bulunuz. Elde ettiğiniz 𝐷𝐷 �⃗ (a) 𝑠𝑠 ≤ 𝑅𝑅 ; 𝑅𝑅 ≤ 𝑠𝑠 < 2𝑅𝑅 ve 𝑠𝑠 ≥ 2𝑅𝑅 bölgelerinde bölgelerindeki 𝐷𝐷 alanlarını kullanarak aynı bölgelerdeki 𝐸𝐸�⃗ alanlarını bulunuz. (b) 𝑠𝑠 ≤ 𝑅𝑅 bölgesi için hacimce (𝜌𝜌𝑏𝑏 ) ve yüzeyce (𝜎𝜎𝑏𝑏 ) bağlı yük yoğunluklarını bulunuz. (c) 𝑅𝑅 ≤ 𝑠𝑠 < 2𝑅𝑅 bölgesindeki kutuplanma vektörünü, hacimce (𝜌𝜌𝑏𝑏 ) ve yüzeyce (𝜎𝜎𝑏𝑏 ) bağlı yük yoğunluklarını bulunuz. 5. Yarıçapı 𝑅𝑅 ve hacimsel yük yoğunluğu 𝜌𝜌 olan yalıtkan bir küre, xy-düzleminde bulunan sonsuz geniş topraklanmış iletken bir plakadan d (d > R) kadar yukarıya z-ekseni üzerine sabitlenmiştir. (a) Görüntü yük yöntemini kullanarak, küre dışında ve 𝑧𝑧 > 0 bölgesindeki herhangi bir (x, y, z) noktası için elektrik potansiyelini bulunuz. (b) İletken plakada indüklenen yüzey yük yoğunluğunu ve iletken yüzeyindeki elektrik alanını bulunuz. 1 FİZ 216 Elektrik ve Manyetizma I. Arasınav 22.03.2017 (09:00-11:00) Verilenler: Silindrik Koordinatlar �∇⃗𝑓𝑓 �⃗ ∙ 𝐴𝐴⃗ ∇ Küresel Koordinatlar 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑠𝑠̂ + 𝜙𝜙� + 𝑧𝑧̂ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑠𝑠 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 𝜕𝜕 1 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜙𝜙 𝜕𝜕𝐴𝐴𝑧𝑧 (𝑠𝑠𝐴𝐴𝑠𝑠 ) + + 𝑠𝑠 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑠𝑠 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 Silindrik Koordinatlar 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑟𝑟̂ + 𝜃𝜃� + 𝜙𝜙� 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 𝜕𝜕 2 1 𝜕𝜕 1 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜙𝜙 (𝑟𝑟 𝐴𝐴𝑟𝑟 ) + (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴𝜃𝜃 ) + 2 𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕 Bir vektör Alanının Rotasyoneli (Körlü) �∇⃗ × 𝐴𝐴⃗ 1 𝜕𝜕𝐴𝐴𝑧𝑧 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜙𝜙 𝜕𝜕𝐴𝐴𝑠𝑠 𝜕𝜕𝐴𝐴𝑧𝑧 1 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝐴𝐴𝑧𝑧 � − � 𝑠𝑠̂ + � − � 𝜙𝜙� + � �𝑠𝑠𝐴𝐴𝜙𝜙 � − � 𝑧𝑧̂ 𝑠𝑠 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑠𝑠 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜃𝜃 1 1 𝜕𝜕𝐴𝐴𝑟𝑟 𝜕𝜕 1 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝐴𝐴𝑟𝑟 Küresel � �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠. 𝐴𝐴𝜙𝜙 � − � 𝑟𝑟̂ + � − �𝑟𝑟𝐴𝐴𝜙𝜙 �� 𝜃𝜃� + � (𝑟𝑟𝐴𝐴𝜃𝜃 ) − � 𝜙𝜙� Koordinatlar 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∞ Küresel koordinatlarda Laplace denkleminin genel çözümü: Legendre polinomlarının ortogonallik koşulu: Yarım açı formülü: 𝑉𝑉(𝑟𝑟, 𝜃𝜃) = � �𝐴𝐴𝑙𝑙 𝑟𝑟 𝑙𝑙 + 𝑙𝑙=0 𝐵𝐵𝑙𝑙 � 𝑃𝑃 (cos 𝜃𝜃) 𝑟𝑟 𝑙𝑙+1 𝑙𝑙 Burada 𝑃𝑃𝑙𝑙 (cos 𝜃𝜃) Legendre polinomlarıdır. 𝑥𝑥 = cos 𝜃𝜃 denirse, 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥) = 1 𝑃𝑃1 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑃𝑃2 (𝑥𝑥) = (3𝑥𝑥 2 − 1)/2 1 � 𝑃𝑃𝑙𝑙 (𝑥𝑥)𝑃𝑃𝑙𝑙′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � −1 0 2 2𝑙𝑙 + 1 , , 𝑙𝑙 ′ ≠ 𝑙𝑙 için 𝑙𝑙 ′ = 𝑙𝑙 için � cos(2𝜃𝜃) = 1 − 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝜃𝜃) = 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝜃𝜃) − 1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝜃𝜃) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝜃𝜃) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dr. M. Polat ve Dr. L. Yıldırım 2 FİZ 216 Elektrik ve Manyetizma I. Arasınav 3 22.03.2017 (09:00-11:00) FİZ 216 Elektrik ve Manyetizma I. Arasınav 4 22.03.2017 (09:00-11:00) FİZ 216 Elektrik ve Manyetizma I. Arasınav 5 22.03.2017 (09:00-11:00) FİZ 216 Elektrik ve Manyetizma I. Arasınav 6 22.03.2017 (09:00-11:00) FİZ 216 Elektrik ve Manyetizma I. Arasınav 7 22.03.2017 (09:00-11:00)
