67 AN AFFECT OF GEOMETRIC NONLINEARITY

Journal of Engineering and Natural Sciences
Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi
Sigma
2005/3
AN AFFECT OF GEOMETRIC NONLINEARITY ON THE BENDING OF A
STRIP CONTAININ A FILLER
Nazmiye YAHNİOĞLU*, Hakan AĞIT
Yıldız Teknik Üniversitesi, Kimya-Metalurji Fakültesi, Matematik Müh. Bölümü, Davutpaşa-İSTANBUL
Geliş/Received: 10.12.2004 Kabul/Accepted: 08.07.2005
ABSTRACT
In this work, under bending by a uniform loading acting on the upper face of a strip, stress concentration of
around the rectangular filler is investigated in the framework of the exact geometric non-linear equations of
elasticity theory and plane strain-state. Investigations are carried out by helping of Displacement Based Finite
Element Methods and Newton-Raphson Method for linearization of system of non-linear equations.
Keywords: Stress concentration, Geometric nonlinear, Filler, Finite Element Method, Newton-Raphson
Method.
MSC number/numarası: 74B20, 74S05.
DOLGU İÇEREN ŞERİT-LEVHANIN EĞİLMESİNE GEOMETRİK NON-LİNEERİTENİN ETKİSİ
ÖZET
Bu çalışmada, yapısında dikdörtgen formda dolgu bulunan şerit-levhanın üst yüzeyine etkiyen düzgün yayılı
yük etkisinde eğilmesiyle, dolgu civarında oluşan gerilme birikimleri, düzlem şekil değiştirme durumunda
elastisite teorisinin geometrik non-lineer kesin denklemleri çerçevesinde incelenmiştir. İncelemeler
yerdeğiştirme esaslı sonlu elemanlar yöntemi ve non-lineer denklemlerin lineerleştirilmesinde NewtonRaphson yöntemi yardımıyla yapılmıştır.
Anahtar Sözcükler: Gerilme birikimi, Geometrik nonlineer, Dolgu, Sonlu elemanlar yöntemi,
Newton-Raphson Yöntemi.
1. GİRİŞ
Dış yükler etkisinde çeşitli nedenlerle yapı elemanlarında oluşan gerilme birikimleri, yapı
elemanının mukavemeti açısından istenmeyen bir durumdur. Yapıda oluşan bu gerilme
birikimlerinin en önemli nedeni, yapı elemanının geometrisi dışında, malzeme süreksizlikleri
yani, malzemenin içerdiği boşluk, çatlak gibi kusurlar veya hetorojenlikdir. Bu unsurlar çeşitli
nedenlerle kaçınılmaz olarak yapı elemanında veya malzemede ortaya çıkabilmektedir. Bu
nedenle dış yükler altında bu unsurlar civarında yapıda gerilme birikimlerinin oluşması da
kaçınılmazdır.
Yapı elemanlarındaki malzeme süreksizlikleri elastisite teorisinin temel
problemlerinden olup, pek çok araştırmacı tarafından incelenmiş [1-9] ve incelenmektedir. Bu
*
Sorumlu Yazar/Corresponding Autor: e-posta: [email protected], tel: (0212) 449 16 79
67
N. Yahnioğlu, H. Ağıt
Sigma 2005/3
çalışmada yapı elemanındaki malzeme süreksizliklerinden sadece dolgu (filler) veya katkı
içermesi durumu ele alınacaktır.
Literatürde heterojen mazlemelerin içerdiği tanecikler-takviyeler civarındaki gerilme
birikimlerine ait çok sayıda çalışma mevcuttur. Bunların özeti [1,3,5] kaynaklarında
verilmektedir. Bu çalışmalarda, malzemenin içerdiği tanecikler (güçlendiriciler), matematiksel
olarak daire (veya küre), elips (veya elipsoid) vb. formda modellenerek sonlu veya sonsuz
ortamda, ele alınan yükleme altında, bunlar civarında oluşan gerilme birikimleri analitik veya
sayısal olarak lineer elastisite teorisi çerçevesinde incelenmiştir. Bunlardan başka, yapıda oluşan
çatlak vb hasarların onarımında çatlak bölgesinin dikdörtgen delik formunda açılarak burasının
uygun dolgu malzemesi ile doldurulması (Doldurucu-Yama (filler-doubler) Metodu) olarak da
dikdörtgen formda dolgular ile karşılaşılabilmektedir [9]. Yapı malzemelerinin onarımı
sonucunda, bu yama-dolgu malzemesi etrafında oluşabilecek gerilme yığılmalarının, dolgunun
geometrik ve malzeme parametreleri açısından incelenmesi önem taşımaktadır. Bu incelemeler
sonucunda, dolgunun geometrik ve malzeme parametrelerinin, dış yükler altında, dolgu civarında
yapıda oluşan gerilme birikimlerini önemli ölçüde etkilediği [3,5-8] ve diğer pek çok çalışmada
gösterilmiştir.
Bu çalışmada şimdiye kadar yapılan çalışmalardan farklı olarak, dış yükler etkisinde
dolgu civarında oluşan gerilme birikimleri, düzlem şekil değiştirme durumunda elastisite
teorisinin kesin geometrik non-lineer denklemleri çerçevesinde incelenmiştir. Geometrik nonlineerite ve dolgunun malzeme parametrelerinin değişiminin ele alınan yükleme durumu için
dolgu civarında oluşan gerilme yığılmasına etkileri Sonlu Elemanlar Yöntemi ve NewtonRaphson Yöntemi yardımıyla araştırılmıştır.
2. PROBLEMİN MATEMATİKSEL MODELİ
Levhaya bağlı Ox1x2 koordinat takımını ve plağın geometrik boyutlarını Şekil 1’de gösterildiği
gibi kabul edelim. Şekil 1 ‘de, x1 =
{0 ≤ x2 ≤ H ;
0 ≤ x1 ≤
2 ’ye göre problem simetrisi göz önüne alınarak, plağın
2} (H= h A + hO + hU ) bölgesini kapsayan kısmı gösterilmiştir.
Şekil 1. Ele alınan şerit-levhanın geometrisi
Bu bölgede sağlanan non-lineer alan denklemleri [2],
68
An Affect of Geometric Nonlinearity on the…
∂ ⎡ ( n ) ⎛⎜ m ∂ ui( n ) ⎞⎟⎤
⎢σ jm δ i +
⎥ = 0 , i;j;n;m=1,2
⎜
∂xj ⎢
∂ xm ⎟⎠⎥
⎝
⎣
⎦
(2)
düzlem şekil değiştirme durumunda bünye denklemleri [11],
⎡σ ( n ) ⎤
⎢ 11
(n) ⎥
⎢σ 22 ⎥
⎢ (n) ⎥
σ
⎣⎢ 12 ⎦⎥
⎡ 1
⎢ ( n)
⎢ E
⎢ ν ( n)
= ⎢− ( n)
⎢ E
⎢ 0
⎢
⎣⎢
−
⎤
0 ⎥
⎥ ⎡ε ( n ) ⎤
⎥ ⎢ 11
1 + ν ( n)
( n) ⎥
( n)
) n=1,2
0 ⎥ ⎢ε 22
⎥ , (G =
E (n)
⎥ ⎢ε ( n ) ⎥
2G ( n ) ⎥ ⎣⎢ 12 ⎦⎥
⎥
⎦⎥
ν ( n)
( n)
E
1
E (n)
0
(3)
yer değiştirme-şekil değiştirme bağıntıları [11],
εij( n ) =
( n)
∂ u ( n ) ∂ uα( n ) ⎤
1 ⎡ ∂ ui( n ) ∂ u j
⎢
⎥ , i;j;n; α =1,2
+
+ α
∂ xi
2 ⎢ ∂xj
∂ xi ∂ x j ⎥
⎣
⎦
(4)
dir. (2)-(4)’de üst indis (n) Şekil 1’de gösterilen dolgu (n=2 durumu) ve onu saran malzemeye
(n=1 durumu) ait büyüklükleri; (3)’de E (n ) ve ν (n ) , ele alınan malzemenin elastisite modülü ve
Poisson oranını; (2)’de δ ij = δ i j , Kronecker sembolünü göstermektedir.
Sınır koşulları,
(1) ⎞ ⎤
⎡
⎛
1) ⎜ m ∂ ui ⎟ ⎥
⎢σ (jm
δi +
⎜
∂ xm ⎟⎠⎥
⎢
⎝
⎦
⎣
x1 = 0;
(1) ⎞ ⎤
⎡
⎛
1) ⎜ m ∂ ui ⎟ ⎥
n j = 0 , ⎢σ (jm
δi +
⎜
∂ xm ⎟⎠ ⎥
⎢
⎝
⎦
⎣
n j = − qδ i2 ,
x2 = h
(1) ⎞ ⎤
⎡
⎛
1) ⎜ m ∂ ui ⎟ ⎥
⎢σ (jm
δi +
⎜
∂ xm ⎟⎠⎥
⎢
⎝
⎣
⎦
x2 = 0
(1) ⎞ ⎤
⎡
⎛
1) ⎜ m ∂ ui ⎟ ⎥
⎢σ (jm
δi +
⎜
∂ xm ⎟⎠ ⎥
⎢
⎝
⎦
⎣
( 2) ⎞ ⎤
⎡
⎛
2) ⎜ m ∂ ui ⎟ ⎥
n'j = ⎢σ (jm
δi +
⎜
∂ xm ⎟⎠⎥
⎢
x2 = h A ; h A + hO
⎝
⎦
⎣
(1) ⎞ ⎤
⎡
⎛
1) ⎜ m ∂ ui ⎟ ⎥
⎢σ (jm
δi +
⎜
∂ xm ⎟⎠⎥
⎢
⎝
⎦
⎣
ui(1) x = ; −
1
E
E
x2 ∈[h A , h A + hO ]
=
n j = 0 , u2(1)
x1∈[
E,
−
E
x1 = 0;
=0
]
x1 = E ; − E
x2 ∈[h A , h A + hO ]
nj ,
x2 = h A ; h A + hO
x1∈[ E , − E ]
(1) ⎞ ⎤
⎡
⎛
1) ⎜ m ∂ ui ⎟ ⎥
n'j = ⎢σ (jm
δi +
⎜
∂ xm ⎟⎠ ⎥ x1 =
⎢
⎝
⎦
⎣
ui( 2) x = ; −
,
1
E
E
x2 ∈[h A , h A + hO ]
E; − E
h A , h A + hO
x2 ∈[
ui(1) x = h ;h + h
2
A A
O
x1∈[ E , − E ]
=
nj ,
]
ui( 2) x = h ;h + h
2
A A
O
x1∈[ E , − E ]
, i;j;m=1,2
(5)
şeklinde verilebilir [2]. (2)-(5) ifadelerinde σ ij , ε ij ve ui ’ler, Şekil 1’de verilen yapı elemanı
için ele alınan yükleme altında yapıda oluşan, sırasıyla gerilme tansörü, şekil değiştirme tansörü
ve yer değiştirme vektörü bileşenleridir. (5)’de verilen n j ele alınan yüzeyin dış normal
vektörünün bileşenini göstermektedir. (5)’de E = xL ’dir. Lagrange koordinatları ile yazılmış
(2)-(5) denklemleri; karşılıklı iki kenarından basit mesnetle tutturulmuş, merkezinde dikdörtgen
dolgu içeren şerit-plağın, üst yüzeyinden etkiyen düzgün yayılı yük ve dolgu sınırlarında ideal
69
N. Yahnioğlu, H. Ağıt
Sigma 2005/3
temas koşullarının sağlandığı kabul edilen sınır koşulları altında, geometrik non-lineer durumda
incelenmesine ait matematiksel formülasyonu göstermektedir.
Yukarıda verilen sınır değer probleminin çözümü analitik olarak mümkün
olmadığından, ele alınan problemin çözümü için sayısal çözüm yöntemlerinden biri olan Sonlu
Elemanlar Yöntemi kullanılacaktır.
3. SONLU ELEMANLAR MODELİ
Ele alınan geometrik non-lineer sınır değer probleminin sonlu elemanlar modeli için aşağıda
verilen ve cisimde biriken toplam potansiyel enerjiyi gösteren fonksiyonel kullanılır.
Π=
1
1
σij(1)εij(1) dx1dx2 + ∫∫ σij( 2)εij( 2) dx1dx2 − ∫ Pi(1)ui(1) dS .
2 Ω∫∫
2Ω
S
I
(6)
II
Burada Ω II = {x L ≤ x1 ≤ − x L ; h A ≤ x 2 ≤ h A + hO } dolgunun bulunduğu bölgeyi,
Ω I = Ω − Ω II (Ω = {0 ≤ x1 ≤ ; 0 ≤ x2 ≤ H }) dolgunun dışındaki bölgeyi, S, Ω bölgesinin dış
sınırını ve ayrıca (6) da üst indis 2 ile ilgili büyüklükler dolguya, üst indis 1 ile ilgili büyüklükler
dolguyu çevreleyen bölgeye ait büyüklükleri göstermektedir. (6) fonksiyonelinin birinci
varyasyonelinin sıfıra eşitliğinden (2) diferansiyel denklemi ve (5)’ de verilen gerilmelere göre
sınır koşulları elde edilir. Yani (2) diferansiyel denklemleri (6) fonksiyonelinin Euler
denklemleridir [5,10].
Ele alınan problemin Sonlu Elemanlar Yöntemi ile çözümü için, problemin çözüm
bölgesi (Şekil 1) sonlu adet Ω k (k = 1, 2, M ) sonlu elemanlarına ayrıklaştırılır. Burada
Ω=
M
∪ Ωk
(8)
k =1
dir. Aranan çözüm, yöntem gereği, her bir sonlu elemanda polinom şeklinde seçilir. Bu
çalışmada, Yerdeğiştirme Esaslı Sonlu Elemanlar Yöntemi kullanıldığından her bir sonlu
elemanda aranan fonksiyon ancak yerdeğiştirme fonksiyonudur. Dolayısıyla,
u ( k ) ≈ N ( k ) a ( k ) k = 1, 2,
(9)
M
seçilir. (9)’da altı çizili indislere göre Einstein toplama uylaşımı uygulanmayacaktır. Ayrıca (9)’
da
(u ) = (u
(k ) T
(k )
1
(x1, x2 )
) ( ) = (u
u2( k ) (x1, x2 ) , a ( k )
T
(k)
11
u (21k )
(k ) (k )
u19
u 29
)
⎛ N (k ) 0 N (k ) 0 N (k ) 0 N (k ) 0 N (k ) 0 N (k ) 0 N (k ) 0 N (k ) 0 N (k ) 0
5
7
1
2
3
4
6
8
9
N ( k ) = ⎜⎜
(k )
(k )
(k )
(k )
(k )
(k )
(k )
(k )
0
N
0
N
0
N
0
N
0
N
0
N
0
N
0
N
0
N 9( k )
5
7
1
2
3
4
6
8
⎝
k = 1, 2, M
⎞
⎟
⎟
⎠
(10)
dir. (9) ve (10)’da (k) üst indisi, ele alınan büyüklüğün Ω k sonlu elemanına ait olduğunu
göstermektedir. a (k ) vektörünün (10)’da gösterilen bileşenleri, Ω k sonlu elemanının
nodlarındaki yer değiştirmelerdir. Her bir bileşenin, birinci alt indisi yer değiştirmenin
doğrultusunu, ikinci alt indisi nodun yerel numarasını göstermektedir. Her sonlu elemanda (9)
şeklinde seçilen çözümler (6)’da yerine yazılır ve bilinen Ritz tekniği yardımıyla
Ψ (a ) = r
(
(11)
şeklinde non-lineer cebirsel denklemlere dönüştürülür [10,11]. Burada aT = a (1) a ( 2) , ..., a ( M )
dir. a
(1)
, a
( 2)
,…, a
(M )
’nin ifadeleri (10)’da verilmektedir.
70
)
An Affect of Geometric Nonlinearity on the…
Sonuçta, ele alınan (2)-(4) non-lineer sınırdeğer probleminin (5) sınır koşulları
çerçevesinde incelenmesi Sonlu Elemanlar Yöntemi yardımıyla (11) non-lineer cebirsel
denklemler takımının incelenmesine getirilmiş olunur. (11) denklemlerinde non-lineer terimler
ihmal edilirse, bu denklemler takımı [3]’de verilen,
Ka = r
(12)
uygun lineer denklem sistemine dönüşmektedir. (12)’de K-Rijitlik, a-bilinmeyenleri içeren ve rsağ taraf matrisleridir.
4. NEWTON-RAPHSON YÖNTEMİ VE TEĞET RİJİTLİK MATRİSİ
(11) non-lineer cebirsel denklemler takımı Newton-Raphson yöntemi yardımıyla lineerleştirilerek,
iterasyonlarla çözülecektir. Bu yönteme göre, keyfi bir çözüm vektörü, örneğin
a = a0
(13)
seçilmiş olsun. Bu çözüm (11) cebirsel denklemler takımının kesin çözümü olmadığından, (11)’
de yerine yazılırsa,
r1 = r − Ψ (a0 )
(14)
şeklinde bir hata meydana gelir. Böyle bir hatanın oluşmaması için (13) şeklinde seçilen ilk
çözüme bir artım verilerek,
a1 = a0 + δ a1
(15)
şeklinde yeni bir çözüm vektörü yazılır. Burada δa1 , (14)’deki hatayı sıfırlayacak şekilde
belirlenmesi gereken bir çözümdür, yani
Ψ (a 0 + δa1 ) = r
(16)
denkleminin sağlandığı kabul edilir. δa1 ’ in bulunması için (16) denklemi lineerleştirilirse,
Ψ (a0 + δa1 ) ≈ Ψ (a0 ) +
∂Ψ
∂a
δa1
(17)
a =a 0
olur. Buradan (17), (16)’da yerine yazılırsa
Ψ (a 0 ) +
∂Ψ
∂a
δa1 = r
(18)
a =a 0
elde edilir. (18)’de (14) göz önüne alınırsa,
∂Ψ
∂a
δa1 = r1 veya K T (a0 )δ a1 = r1
(19)
a =a 0
şeklinde olur. Burada K T
K T (a0 ) =
∂Ψ
∂a
matrisine Teğet Rijitlik Matrisi adı verilir ve
(20)
a =a 0
dir [5,10,11]. (19) lineer denklem sisteminden δa1 belirlenir (15)’de yerine yazılırsa (11)
denklemler sistemi için yeni bir çözüm elde edilir. Eğer elde edilen (15) çözümü kesin çözüm ise
(11) non-lineer denklemler sistemini özdeşlikle sağlar. Aksi halde (14)’dekine benzer şekilde,
r2 = r − Ψ (a1 )
(21)
71
N. Yahnioğlu, H. Ağıt
Sigma 2005/3
bir hata meydana gelir. (15)-(20) işlemleri, (21) göz önüne alınarak ve a 0 yerine a1 çözümü
kullanılarak tekrarlanır. Son elde edilen çözümün istenilen hassasiyetle (11) denklemini sağladığı
durumda iterasyon işlemi sonlandırılır.
Burada, ele alınan sınır değer problemine ait (11) non-lineer cebirsel denklemler
takımının çözümü yukarıda verilen (14)-(20) iterasyonu kullanılarak yapılmıştır. İterasyona giren
ilk çözüm olarak (12) denklem takımının çözümü seçilmiştir.
5. GERİLMELERİN BELİRLENMESİ
Bu çalışmada Yerdeğiştirme Esaslı Sonlu Elemanlar Yöntemi kullanıldığından, her bir nodda
bilinmeyen olarak sadece yerdeğiştirmeler alınmıştır. Yani Sonlu Eleman çözümü bize ancak
nodlardaki yerdeğiştirmeleri verecektir. Dolgu (n=2) ve onu saran bölgedeki (n=1) gerilme
fonksiyonları Hooke Yasası yardımıyla bulunur. Yani,
T
{
( n)
σˆ ( n ) = D( n )ε ( n ) , σ ( n ) = σˆ 11
σˆ (22n )
}
T
{
( n)
( n)
σˆ 12
, ε ( n ) = ε11
ε(22n )
( n)
ε12
}
(22)
yazılır. Burada,
εij( n )
( n)
1 ⎛ ∂u ( n ) ∂u j ⎞⎟ ( n )
= ⎜ i +
D
2 ⎜ ∂x j
∂xi ⎟
⎝
⎠
⎡ 1
⎢ ( n)
⎢ E
⎢ ν( n)
= ⎢− ( n)
⎢ E
⎢ 0
⎢
⎣⎢
−
ν( n)
( n)
E
1
E (n)
0
⎤
0 ⎥
⎥
⎥
1 + ν(n)
0 ⎥ , G ( n) =
E (n)
⎥
( n) ⎥
2G
⎥
⎦⎥
(23)
dir.
Bilindiği gibi sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilen çözüm, bütün bölgede C 0
sürekliliğine sahiptir. Dolayısıyla sonlu eleman çözümünden elde edilen (9) yerdeğiştirme
fonksiyonu kullanılarak bulunan (24) gerilme fonksiyonu sonlu eleman sınırlarında süreksiz olur.
Bu durum kullanılan yöntemden kaynaklanmaktadır. Bu nedenle gerilme fonksiyonları yeniden
Sonlu Elemanlar Yöntemi ve En Küçük Kareler Yöntemi yardımıyla süreklileştirilmiştir [12].
Gerilme fonksiyonlarına ait sonlu eleman ağı, yerdeğiştirmelere ait sonlu eleman ağı ile
aynı alınmıştır. Buna göre, her sonlu elemanda gerilme fonksiyonu
σ ( n ),k ≈ N σ( n ), k σ ( n ),k
(26)
şeklinde temsil edilir. Burada,
σ ( n ), k
⎛ σ( n ),k ⎞
⎛ σ ( n ),k ⎞
⎜ 11 ⎟
⎜ 11 ⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
= ⎜ σ (22n ),k ⎟ , σ ( n ), k = ⎜ σ (22n ),k ⎟ , N σ( n ), k = N σ( n ),1, N σ( n ),2 ,… , N σ( n ), M
⎜ ( n ),k ⎟
⎜ ( n ),k ⎟
⎜ σ 12 ⎟
⎜ σ 12 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
(
) ((kn == 11,,22,)…, M )
(27)
ve (27)’de,
N σ( n ), k
⎛ N (n) 0
0 N 2( n ) 0
0 N3( n ) 0
0
⎜ 1
⎜
(n)
(n)
(n)
=⎜ 0
N1
0
0
N2
0
0
N3
0
⎜
(n)
(n)
⎜ 0
0 N1
0
0 N2
0
0 N 3( n )
⎝
72
N 9( n )
0
0
N9( n )
0
0
0 ⎞⎟
⎟
0 ⎟
⎟
N 9( n ) ⎟
⎠
(28)
An Affect of Geometric Nonlinearity on the…
şeklindedir. (28)’de kullanılan şekil fonksiyonları yer değiştirmelerin bulunmasında kullanılan
şekil fonksiyonları olarak seçilmiştir. (26) yardımıyla elde edilen gerilme fonksiyonu ile (24)
yardımıyla elde edilen süreksiz gerilme fonksiyonu arasında En Küçük Kareler Yöntemi
yardımıyla,
Q=
∫ ∫ (σ
(1)
ΩI
− σˆ (1) ) 2 dΩ I +
∫ ∫ (σ
Ω II
( 2)
− σˆ ( 2) ) 2 dΩ II
(29)
fonksiyoneli kurulur ve nodlarda bilinmeyen gerilme değerleri
∂Q
(n)
∂ σijk
=0,
i, j , n = 1,2 ;
k = 1,2, … , M
(30)
denklem sisteminden belirlenir.
5. SAYISAL SONUÇLAR
Ele alınan şerit-plakta, dikdörtgen dolgu malzemesini saran malzeme ile dolgu malzemesinin
izotrop olduğunu kabul edelim. Bu malzemelerin sırayla elastisite modüllerini E (1) , E ( 2) ve
Poisson oranlarını ν (1) ,ν ( 2) ile gösterelim. Çözüm bölgesi x1 yönünde 80, x 2 yönünde 12
dikdörtgen sonlu eleman olacak şekilde ayrıklaştırılmıştır. Problemin x1 = 2 ’ye göre simetri
özelliğinden yararlanılarak sonlu eleman modellemesi; 480 sonlu eleman, 2025 düğüm noktası
(NOD) ve 4000 serbestlik derecesi (NDOF) içermektedir. Parametrelerin değerleri grafikler
üzerinde verilmiş olup, parantez içindeki üst indisler, alt indis ve parantezsiz olarak
kullanılmıştır.
Ele alınan yükleme durumu ve sınır koşulu için (2)-(5) geometrik non-lineer sınır değer
probleminin incelenmesinde, yapıda bulunan dikdörtgen dolgu nedeniyle, delik civarında oluşan
gerilme birikimlerine, non-lineeritenin etkisi ele alınmıştır. Bunun için (6) fonksiyonelinde nonlineer terimlere P / E1 çarpanı ilave edilmiştir. Bu çarpanın özelliği P / E1 = 0 için ele alınan
problem uygun lineer probleme indirgenmektedir. Bu parametrenin (çarpanın) değeri nonlineeritenin derecesini göstermektedir. Problemin incelenmesinde bu parametrenin yakınsaklık
sınırlarının belirlenmesi gerekir. Çünkü, P / E1 parametresinin her değerinde ele alınan non-lineer
probleme ait sayısal sonuçlar yakınsak çıkmaz ancak, bu çarpanın P* / E1 gibi bir kritik değerden
küçük kalması yani, P / E1 ≤ P* / E1 durumunda sayısal sonuçlarda yakınsaklık elde edilmektedir.
Parametrelerin bazı değerlerinde belirlenen P* / E1 kritik değerleri Çizelge 1’de verilmiştir.
Çizelge 1. Bazı parametre değerleri için P* / E1 değerleri
(h
= 0.15, hA = hO = hU = 0.05 ,
E2 E1
P / E1
1
10
20
50
0.0015
0.0017
0.0021
0.0027
E
=0.25).
*
Aşağıda, verilen bütün grafiklerde h
alınmıştır.
73
= 0.15, hA = hO = hU = 0.05 ,
E
= 0.25
N. Yahnioğlu, H. Ağıt
Sigma 2005/3
Şekil 2’de, σ11 gerilmesinin düzgün yayılı dış kuvvetin yoğunluğuna (q) oranı
( σ11 q ), non-lineerite parametresi P E1 ’in farklı değerleri için dört ayrı kesitte x1 ’ye göre
dağılımı verilmektedir. Grafiklerden görüldüğü gibi yapı elemanında dikdörtgen dolgu olması ve
dolgu malzemesinin elastisite modülü’nün onu saran malzemenin elastisite modülünden büyük
(E2 E1 = 10) veya küçük (E2 E1 = 0.1) olması gerilme dağılımını önemli ölçüde etkilemektedir.
Bu etki, dikdörtgen dolgunun köşeleri civarında çok daha fazladır. Bundan başka non-lineerite
çarpanı olan P E1 ’in artması gerilme değerlerini mutlak değerce düşürmektedir.
-8.00
-12.00
σ11 / q
σ11 / q
x2 / =10h/12
-16.00
E2 /E1 =10
-12.00
x2 / =12h/12
-20.00
E2 /E1 =1
E2 /E1 =0.1
-24.00
-16.00
E2 /E1 =10
E2 /E1 =1
E2 /E1 =0.1
-28.00
θ
-32.00
20.00
30.00
40.00
θ
-20.00
10.00
50.00
20.00
30.00
(a)
-10.00
40.00
50.00
(b)
18.00
σ11 / q
σ11 / q
E2 /E1 =10
x 2/ =4h/12
x2 / =8h/12
-12.00
E2 /E1 =1
16.00
-14.00
E2 /E1 =0.1
E2 /E1 =0.1
-16.00
E2 /E1 =1
14.00
E2 /E1 =10
-18.00
θ
-20.00
θ
12.00
20.00
30.00
40.00
50.00
20.00
30.00
(c)
= 8h 12 , d) x2
50.00
(d)
Şekil 2. σ11 q gerilmesinin farklı P E1 değerleri için a) x2
c) x2
40.00
= 4h 12 kesitlerinde x1
- P E1 = 0.00005; - P E1 = 0.0001;
74
= 12h 12 , b) x2
= 10h 12 ,
’ den bağımlılığı, - P E1 = 0.;
- P E1 = 0.00015;
An Affect of Geometric Nonlinearity on the…
4.00
4.00
σ22/q
E 2 /E1 =10
x2 / =10h/12
2.00
σ22/q
E 2 /E1 =10
x2 / =8h/12
2.00
E 2 /E1 =1
E 2 /E1 =1
0.00
0.00
-2.00
-2.00
E2 /E1 =0.1
E2 /E1 =0.1
θ
-4.00
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
θ
-4.00
50.00
0.00
10.00
20.00
(a)
4.00
30.00
40.00
50.00
(b)
σ22/q
E2 /E1 =0.1
x2 / =4h/12
E 2 /E1 =1
2.00
0.00
E 2 /E1 =10
-2.00
θ
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
(c)
Şekil 3. σ22 q gerilmesinin farklı P E1 değerleri için a) x2
c) x2
= 4h 12 kesitlerinde x1
= 10h 12 , b) x2
’ den bağımlılığı, - P E1 = 0.;
- P E1 = 0.0001;
= 8h 12 ,
- P E1 = 0.00005;
- P E1 = 0.00015;
Şekil 3‘de σ22 q gerilmesinin, non-lineerite parametresi P E1 ’in farklı değerlerinde
üç ayrı kesitte x1
’ den bağımlılığını gösteren grafikler verilmektedir. Bu grafiklerden
görüldüğü gibi P E1 ’in yani, non-lineerite çarpanının değişimi, Şekil 2’de olduğu gibi, Şekil
3’de de gerilme dağılımlarını etkilemektedir. Fakat bu etki bu değer arttıkça, dikdörtgen delik
civarındaki gerilme değerlerini mutlak değerce düşürürken, diğer kısımlarda artışa neden
olmaktadır. Burada σ12 q gerilmesi yayılımına, P E1 parametresi değişimi az etki gösterdiği
için yer verilmemiştir.
75
N. Yahnioğlu, H. Ağıt
4.00
0.00
σ11/ q
Sigma 2005/3
x2 / = 12h / 12
0.00
-4.00
-3.08
-8.00
-6.15
-12.00
-9.23
-16.00
-12.31
-20.00
-15.38
-24.00
-18.46
-28.00
-21.54
-32.00
0.00
x2 / = 8h / 12
σ11/ q
-24.62
0.00
10.00 20.00 30.00 40.00 50.00
10.00 20.00 30.00 40.00 50.00
100 x1 /
100
(a)x1 /
(b)
x 2 / = 4h / 12
20.00
σ11/ q
17.50
15.00
12.50
10.00
7.50
5.00
2.50
0.00
0.00
10.00
20.00 30.00
100 x1 /
40.00
50.00
(c)
Şekil 4. σ11 q gerilmesinin farklı E2 E1 değerleri için a) x2
c) x2
= 8h 12 kesitlerinde x1
- E2 E1 = 1.;
’ den bağımlılığı,
- E2 E1 = 10;
P E1 = 0.0001.
= 12h 12 , b) x2
- E2 E1 = 0.02;
- E2 E1 = 50;
P E1 = 0.
76
= 10h 12 ,
- E2 E1 = 0.1;
An Affect of Geometric Nonlinearity on the…
4.29
x2 / = 8h / 12
σ22/ q
5.71
x 2 / = 4h / 12
σ22 / q
4.29
2.86
1.43
2.86
0.00
1.43
-1.43
0.00
-2.86
-1.43
-4.29
-2.86
-5.71
-4.29
-7.14
-5.71
0.00
10.00 20.00 30.00 40.00 50.00
0.00
10.00
30.00
100 x1 /
100 x 1 /
(a)
(b)
Şekil 5. σ22 q gerilmesinin farklı E2 E1 değerleri için a) x2
kesitlerinde x1
20.00
’ den bağımlılığı,
- E2 E1 = 10;
- E2 E1 = 0.02;
- E2 E1 = 50;
40.00
= 8h 12 , b) x2
- E2 E1 = 0.1;
P E1 = 0.0001.
50.00
= 4h 12 ,
- E2 E1 = 1.;
P E1 = 0.
Şekil 4 ve Şekil 5’de sırasıyla σ11 q ve σ22 q gerilmelerinin farklı E2 E1 oranları
için lineer (P E1 = 0.) ve non-lineer (P E1 = 0. 0001) durumda x 1 ’ye göre faklı kesitlerde
grafikleri verilmektedir. Bu grafiklerden görüldüğü üzere, her iki gerilme grafiği dolgu bölgesi
civarında E2 E1 <1 ve E2 E1 >1 için birbirinden farklı yayılış formu göstermekte ayrıca, E2 E1
oranı arttıkça gerilme değerleri mutlak değerce artmakta fakat, bu oran düştükçe non-lineerite
parametresinin etkisi artmaktadır.
KAYNAKLAR
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
Mura, T., “Inclusion Problems”, Appl Mech Rev, 41(1):15-20, 1988.
Akbarov S.D. and Guz A.N., “Mechanics of Curved Composites”, Kluwer Academics
Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2000.
Yücel A.M., “Dikdörtgen Delik içeren Kompozit Kiriş Levhaların Eğilmesindeki Gerilme
Dağılımı Problemleri”, Doktora Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Y.T.Ü., 2002.
S D Akbarov, N Yahnioglu and A M Yucel, “On the influence of the initial tension of a
strip with a rectangular hole on the stress concentration caused by additional loading”,
The Journal of Strain Analysis for Engineering Design, V. 39, No 6, Pp: 615 – 624, 2004.
Ağıt H., “Dikdörtgen Delik İçeren Şerit-Levhaya Ait Bir Non-Lineer Sınır Değer
Probleminin FEM İle İncelenmesi”, Yüksek Lisans Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Y.T.Ü.,
2004.
Zeng H. And Bert C.W., “Generalized Bending of Shear-Deformable Plate with Elastic
Inclusion”, J. Engrg. Mech., V. 127, No. 9, Pp. 927-931, 2001.
Bert, C.W., (2001), “Generalized Bending of a Plate with a Circular Inclusion of Arbitrary
Rigidity”, Journal of Strain Analysis for Engineering Design, 36(3):341-345.
77
N. Yahnioğlu, H. Ağıt
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
Sigma 2005/3
Hufenbach, W. and Zhou, B., (2001), “Solutions for an Anisotropic, Finite Plate with an
Elastic Inclusion and a Loaded Boundary”, Composite Structures, 52:161-166
Aksoy, T.M., Özbay O., Ertaş Y. Ve Öge A., “UH-1H ve AB-205 Helikopteri Kızak
Tüplerinin Doldurucu/Yama Metodu ile Onarımı”, ABAQUS 2004 Kullanıcılar
Konferansı, 7-8 Ekim 2004, İstanbul.
Selim, S., “Bazı Non-Lineer Sınır Değer Problemlerinin FEM İle İncelenmesi”, Doktora
Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Y.T.Ü., 1999.
Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., “Solid and Fluid Mechanics Dynamics and Nonlinearity”, The Finite Element Method 4th Ed. Vol 2, McGraw-Hill Book Company.,
1989.
Hinton, E. and Campell, J., “Local and global smoothing of discontinuous finite element
function using a least square method”, Int. J. Numerical Methods in Engineering. Vol. 8,
pp:461-480, 1979.
78