Düzgün olmayan dairesel hareket

Düzgün olmayan dairesel hareket
 Dairesel harekette cisim üzerine etki eden net
kuvvet merkeze doğru yönelmişse cismin hızı sabit
kalır.
 Eğer net kuvvet merkeze doğru yönelmemişse,
kuvvet teğetsel ve radyal bileşenlere ayrılır.
 𝐹𝑟 vektör bileşeni, dairenin merkezine yönelmiştir
ve merkezcil ivmenin meydana gelişinden
sorumludur.
 𝐹𝑡 vektör bileşeni, yörüngeye teğettir ve teğetsel
ivmenin meydana gelişinden sorumludur ve
parçacığın hızının zamanla değişmesine sebep
olur.
𝑎𝑡 =
∆𝑣
∆𝑡
𝑎𝑟 =
𝑎 = 𝑎𝑡 + 𝑎𝑟
𝑣2
𝑟
İvmeli sistemlerde hareket
 Bir parçacık, eylemsiz koordinat sisteminde ki bir gözlemciye göre 𝒂
ivmesiyle hareket ediyorsa, eylemsiz gözlemci Newton’un II. yasasını
kullanarak (𝐹 = 𝑚𝑎) parçacığın hareketini açıklayabilir
 Eğer gözlemci, ivmeli referans sistemi içinde ise parçacığın hareketine
Newton’un II. yasasını uygulamak isterse, yalancı (hayali) kuvvetlerle
(eylemsizlik kuvvetleri) karşılaşır.
 Bu kuvvetler, ivmeli sistem içinde gerçek kuvvetler olarak görüldüğü
açıklanmıştır.
 Ancak bu yalancı kuvvetlerin, hareket, eylemsiz koordinat sisteminden
gözlendiği zaman mevcut olmadıkları belirtilmelidir.
 𝑚 kütleli küçük bir top, ivme ölçme kutusunun
tavanına
asılmıştır.
Eylemsiz
koordinat
sisteminde, durgun olan bir gözlemciye göre,
topa etki eden kuvvetler 𝑇 gerilmesi ve 𝑚𝑔
çekim
kuvvetidir.
Eylemsiz
sistemdeki
gözlemciye göre, 𝑚 kütleli top ile kutunun
ivmesi aynıdır ve bu ivme ipteki 𝑇 gerilmesinin
düşey bileşeni tarafından meydana getirilir.
Buna göre eylemsiz sistemde ki gözlemci
Newton’un II. yasasını;
𝐹 = 𝑇 + 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎
𝐹𝑥 = 𝑇𝑠𝑖𝑛Ɵ = 𝑚𝑎
𝑎 = 𝑔𝑡𝑎𝑛Ɵ
𝐹𝑦 = 𝑇𝑐𝑜𝑠Ɵ − 𝑚𝑔 = 0
Eylemli gözlemciye göre;
𝐹𝑥 = 𝑇𝑠𝑖𝑛Ɵ − 𝑓ℎ𝑎𝑦𝑎𝑙𝑖 =0
𝐹𝑦 = 𝑇𝑐𝑜𝑠Ɵ − 𝑚𝑔 = 0
𝑓ℎ𝑎𝑦𝑎𝑙𝑖 = 𝑚𝑎ℎ𝑎𝑦𝑎𝑙𝑖
 Şekilde görüldüğü gibi yatay düzlemde
döner masa üzerinde sürtünmesiz olarak
duran 𝑚 kütleli bir bloğu ele alalım. Blok bir
iple masanın merkezine bağlanmıştır.
 Eylemsiz gözlemciye göre; blok düzgün
2
olarak dönerse 𝑣 𝑟 değerinde bir merkezcil
ivme etkisinde kalır.
 Merkezcil
ivmenin
ipteki
T
gerilmesi
tarafından meydana getirildiği sonucuna
2
varılır ve 𝑇 = 𝑚𝑣 𝑟 yazılabilir.
 Eylemli gözlemciye göre; blok durgundur ve
ivmesi sıfırdır. Bu eylemli gözlemci ipin cisme
uyguladığı
merkeze
yönelmiş
kuvveti
dengeleyen dışarı doğru yönelmiş bir hayali
2
kuvvet ile tanışır, bu kuvvetin değeri 𝑚𝑣 𝑟 dir.
2
𝑇 − 𝑚𝑣 𝑟 = 0
Alıştırma
 𝑚 kütleli küçük bir küre şekilde görüldüğü gibi, r
uzunluğunda bir ipin ucuna bağlanarak düşey
düzlemde bir O noktası etrafında dairesel
yörüngede döndürülüyor. Cismin hızının 𝑣 olduğu
ve ipin düşeyle Ɵ açısı yaptığı bir anda, ipteki
gerilmeyi hesaplayınız.

𝐹𝑡 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛Ɵ = 𝑚𝑎𝑡 ⇒ 𝑎𝑡 = 𝑔𝑠𝑖𝑛Ɵ
𝐹𝑟 = 𝑇 − 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠Ɵ =
𝑣2
𝑚𝑅
⇒𝑇=
𝑣2
𝑚( 𝑅
𝑇ü𝑠𝑡 = 𝑚
𝑣2
𝑅
−𝑔
(cos 1800 = −1)
𝑇𝑎𝑙𝑡 = 𝑚
𝑣2
𝑅
+𝑔
(cos 00 = +1)
+ 𝑔𝑐𝑜𝑠Ɵ )
Alıştırma..
Alıştırma…
Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji
 Kuvvetin bir cismi hareket ettirmede ne
ölçüde etkili olduğu ile ilgileniyorsak, yalnızca
kuvvetin büyüklüğü ile değil aynı zamanda
yönünüde göz önüne almanız gerekir
 Buna göre harekete neden olan gerekli işi
belirlemek istediğimizde , cismin ne kadar
hareket ettiğinide bilmemiz gerekir.
 Cisim üzerine sabit bir kuvvet uygulayan bir
etkenin cisim üzerinde yaptığı iş (W);
𝑊 = 𝐹𝑐𝑜𝑠θ∆𝑟
 İş skaler bir niceliktir ve birimi newton-metre
(N.m) veya joule (J) dur.
İki vektörün skaler çarpımı..
 Kuvvet ve yer değiştirm vektörünün (𝐹. ∆𝑟)
şeklinde yazılımı, skaler çarpım olarak
adlandırılır.
 Genel olarak A ve B gibi herhangi iki vektörün
skaler çarpımı, iki vektörün büyüklükleri ile
bunların arasındaki açının kosinüsünün
çarpımına eşittir;
A. 𝐵 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠θ
𝐴. 𝐵 = 𝐵. 𝐴
𝐴. 𝐵 + 𝐶 = 𝐴. 𝐵 + 𝐴. 𝐶
 A, B’ye dikse (θ = 900 ) ⇒ 𝐴. 𝐵 = 0 olur.
 A vektörü B vektörüne paralel ve aynı yönlüyse
𝐴. 𝐵 = 𝐴𝐵
 A vektörü B vektörüne paralel fakat ters
yönlüyse
𝐴. 𝐵 = −𝐴𝐵
 İ, j ve k birim vektörlerinin skaler çarpımları;
𝑖. 𝑖 = 𝑗. 𝑗 = 𝑘. 𝑘 = 1
𝑖. 𝑗 = 𝑖. 𝑘 = 𝑗. 𝑘 = 0
 A ve B vektörlerinin bileşenleri cinsinden;
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘
B= 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘
𝐴. 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 𝐵𝑧
Alıştırma...
 SORU: A ve B vektörleri, 𝐴 = 2𝑖 + 3𝑗 ve B= −𝑖 + 2𝑗 olarak veriliyor.
a) 𝐴. 𝐵 skaler çarpımını bulunuz.
b) A ile B arasındaki θ açısını bulunuz.
 CEVAP: a) 𝐴. 𝐵 = (2𝑖 + 3𝑗). (−𝑖 + 2𝑗) = −2i. i + 3j2j = −2 + 6 = 4
b)𝐴 =
B=
𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 = 22 + 32 = 13
𝐵𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 =
𝑐𝑜𝑠θ =
𝐴.𝐵
𝐴𝐵
=
4
13 5
(−1)2 +22 = 5
=
4
65
4
⇒ θ = 𝑐𝑜𝑠 −1 8.06 = 60.20
Alıştırma...
 SORU: xy-düzleminde hareket eden bir parçacık, 𝐹 = 5𝑖 + 2𝑗 N luk sabit bir
kuvvetin etkisi ile 𝑑 = 2𝑖 + 3𝑗 lik yerdeğiştirme yapıyor
a) Yerdeğiştirme ve kuvvetin büyüklüklerini hesaplayınız
b) F tarafından yapılan işi bulunuz.
 CEVAP: d =
𝐹𝑥 =
𝑥 2 + 𝑦 2 = 22 + 32 = 3.6 𝑚
𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 = 52 + 22 = 5.4 𝑁
𝑊 = 𝐹. 𝑑 = 5𝑖 + 2𝑗 . 2𝑖 + 3𝑗 = 16 J
Alıştırma...
 SORU: Bir fabrika işçisi 30.0 kg’lık bir sandığı
düz bir zeminde, bir sabit hızla, üzerinde
yatay bir kuvvet kullanarak 4.5 m itiyor.
Sandık ile zemin arasındaki kinetik sürtünme
katsayısı 0,25 ‘e eşittir.
A) işçinin uygulaması gereken kuvvetin
büyüklüğünü bulunuz
B) Bu kuvvet sandık üzerinde ne kadar iş
yapar?
C) Sandık üzerinde sürtünme ne kadar iş
yapar?
D) Normal kuvveti sandık üzerinde ne
kadar iş yapar?
E) Sandık üzerinde yapılan toplam iş ne
kadardır?
Değişken bir kuvvetin yaptığı iş
 Bir parçacık, değişken bir 𝐹 kuvveti etkisinde, x ekseni
üzerinde 𝑥𝑖 → 𝑥𝑓 yerdeğiştirmesi yapsın,
 Kuvvetin yaptığı işi hesaplarken, ∆𝑥 yerdeğiştirmesinde,
kuvvetin 𝐹𝑥 bileşeni yaklaşık olarak sabit olur.
 Bu küçük yerdeğiştirme için kuvvetin yaptığı iş;
∆𝑊 = 𝐹𝑥 ∆𝑥
Toplam iş yaklaşık olarak;
𝑥𝑓
𝑥𝑖 𝐹𝑥
𝑊~
lim
∆𝑥→0
𝑥𝑓
𝑥𝑖 𝐹𝑥
∆𝑥
∆𝑥 =
𝑥𝑓
𝐹
𝑥𝑖 𝑥
𝑑𝑥
Bu belirli integral, sayısal olarak 𝑥𝑖 𝑖𝑙𝑒 𝑥𝑓 arasındaki 𝐹𝑥 in x e
göre değişim eğrisinin altındaki alana eşittir;
𝑊=
𝑥𝑓
𝐹
𝑥𝑖 𝑥
𝑑𝑥
Parçacık üzerine birden fazla kuvvet etkirse, toplam iş;
𝑊=
𝑥𝑓
𝑥𝑖
𝐹𝑥 𝑑𝑥
Alıştırma..
 SORU: Bir cisim üzerine etkiyen kuvvetin
cisminkonumuna bağlılığı şekildeki gibidir;
a) 𝑥 = 0 − 8 𝑚
b) 𝑥 = 8 − 12 𝑚
c) 𝑥 = 0 − 12 𝑚
 CEVAP:
a) 𝑊0−8 =
b) 𝑊8−12 =
𝑥𝑓
𝐹
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝐹
𝑥𝑖
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑑𝑥 =
8
𝐹
0
𝑥 𝑑𝑥 =
12
𝐹
8
8∗6
2
𝑥 𝑑𝑥 =
= 24𝐽
−3∗4
2
c) 𝑊0−12 = 𝑊0−8 + 𝑊8−12 = 24𝐽 − 6𝐽 = 18𝑗
= −6𝐽
Alıştırma..
 SORU: 𝐹 = (4𝑥𝑖 + 3𝑦𝑗) N’luk kuvvetin etkisindeki bir cisim orijinden başlayarak
𝑥 = 5 𝑚 noktasına hareket etmektedir. Kuvvetin yaptığı işi bulunuz.
 CEVAP:
𝑊=
𝑟𝑓
𝐹 𝑑𝑟
𝑟𝑖
𝑊=
𝑟𝑓
(4𝑥𝑖
𝑟𝑖
𝑊=
𝑊=
(𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗)
+ 3𝑦𝑗) (𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗)
𝑟𝑓
(4𝑥𝑑𝑥
𝑟𝑖
𝑥2 5
4| 2 |
0
+ 3𝑦𝑑𝑦) =
= 50 𝐽
5
4𝑥𝑑𝑥
0
+
0
3𝑦 𝑑𝑦
0
Yayın yaptığı iş..
 Yay, denge konumundan gerilir veya sıkıştırılırsa, cisim üzerine;
𝐹𝑠 = −𝑘𝑥 (Hooke yasası)
( eksi işareti, yayın etkidiği kuvvetin daima yerdeğiştirme ile zıt
yönlü olduğunu ifade eder )
 Yay sabiti 𝑘 olan bir yayın boyunu, kuvvet uygulayarak 𝑥𝑖 → 𝑥𝑠
getirilsin, yayın elimize uyguladığı kuvvetin yaptığı iş;
W=
𝑥𝑓
𝐹
𝑥𝑖
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥𝑓
−𝑘𝑥𝑑𝑥
𝑥𝑖
= −𝑘
𝑥2
2
=−𝑘
𝑥𝑓
𝑥𝑑𝑥
𝑥𝑖
𝑥𝑠 1
2 − 1 𝑘𝑥 2
=
𝑘𝑥
𝑖
𝑠
𝑥𝑖 2
2
 Yay başlangıçta uzamasız durumdaysa (𝑥𝑖 = 0) ve yayı x
kadar germiş veya sıkıştırılmışsa (± x), yay kuvvetinin yaptığı iş;
1
2
W = − 𝑘𝑥 2
ÖDEV...
 Yarıçapları r = 0.5 m olan ve w=16 rad/s
sabit açısal hızı ile dönen iki tekerlek
arasına geçirilen ve eğim açısı θ=370 olan
bir taşıyıcı bant üzerinde kütlesi m= 4 kg
olan bir cisim bulunmaktadır. Cisim ile bant
arasındaki sürtünme katsayısı f=1.25 dir.
Cisim yay sabiti k=50 N/m olan bir yay
sayesinde yere göre sabit durnaktadır.
Cisim yaydan kurtulursa banda göre
kaymaya başlar. Cismin banda göre
kayması bittiğinde açığa çıkan enerji kaç J
dür? (𝑣 = 𝑤𝑟)