ε α -ALMOST S-MANİFOLDLAR Duygu SAĞBAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MART 2010 ANKARA Duygu SAĞBAŞ tarafından hazırlanan ε α ALMOST S-MANİFOLDLAR adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım. Doc. Dr. Aysel TURGUT VANLI ………………………….. Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği / oy çokluğu ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir. (Ünvanı, Adı ve Soyadı)………………………………. (Anabilim Dalı, Üniversite Adı) (Ünvanı, Adı ve Soyadı) ………………………………. (Anabilim Dalı, Üniversite Adı) (Ünvanı, Adı ve Soyadı) ………………………………. (Anabilim Dalı, Üniversite Adı) (Ünvanı, Adı ve Soyadı) ………………………………. (Anabilim Dalı, Üniversite Adı) (Ünvanı, Adı ve Soyadı) ………………………………. (Anabilim Dalı, Üniversite Adı) Tarih: 04/ 03 /2010 Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onamıştır. Prof. Dr. Bilal TOKLU ………………………………. Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü TEZ BİLDİRİMİ Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu , ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. Duygu SAĞBAŞ iv ε α -ALMOST S-MANİFOLDLAR (Yüksek Lisans Tezi) Duygu SAĞBAŞ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Mart 2010 ÖZET Bu tezde ε α -almost S-manifoldlar , Indefinite ε α -Almost S-manifoldlar ve Indefinite ε α -S-Manifoldların tanımı verilerek bunlara ait bazı örnekler verildi. Ayrıca ε α -almost S-manifold ve ε α - S-manifoldların real hiperyüzeyleri ile ilgili bazı teoremler ispatlandı. Bilim Kodu : 204.1.095 Anahtar Kelimeler : f -yapı , Almost S-Manifoldlar, S-Manifoldlar , Indefinite Almost S-Manifoldlar, Indefinite S-Manifoldlar, ε α -Almost S-Manifoldlar Sayfa Adedi : 132 Tez Yöneticisi : Doç. Dr. Aysel TURGUT VANLI v ε α -ALMOST S-MANİFOLDS (M.Sc. Thesis) Duygu SAĞBAŞ GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCİENCE AND TECHNOLOGY March 2010 ABSTRACT In this thesis, ε α -almost S-manifold, indefinite ε α -almost S-manifold and indefinite ε α -S-manifold are defined, and some examples are given about this manifolds. In addition, some theorems are given real hypersurfaces of an ε α -Smanifold and an indefinite ε α -S-manifold. Science Code :204.1.095 Key Words : f -structure, Almost S-Manifolds, S-Manifolds, Indefinite Almost S-Manifolds, Indefinite S-Manifolds, ε α -Almost Smanifolds Page Number :132 Adviser : Asso. Prof. Aysel TURGUT VANLI vi TEŞEKKÜR Bu tezin hazırlanması sırasında bana araştırma olanağı sağlayan ve çalışmanın her safhasında büyük yardımlarını ve desteklerini gördüğüm değerli danışman hocam sayın Doç. Dr. Aysel TURGUT VANLI’ ya teşekkürlerimi sunarım. Çalışmalarım esnasında bana anlayış gösteren sevgili annem Asiye SAĞBAŞ, sevgili ailem ve dostlarıma teşekkürlerimi sunarım. vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET.…………………………………………………………………………….....iv ABSTRACT……………………………………………………………………...….v TEŞEKKÜR………………………………………………………………………...vi İÇİNDEKİLER……………………………………………………………..………vii SİMGELER VE KISALTMALAR…………………………………………………ix 1.GİRİŞ………….……………………………………………………………………1 2.TEMEL KAVRAMLAR……………………………………………………..…….3 2.1. Riemann Manifoldları ve Alt Manifodlar...........................................................3 2.2. Yarı Riemann Manifoldları…...………………………………………………15 2.3. Almost Kompleks ve Almost Kontak Manifoldlar…………………………...18 3. ALMOST S-MANİFOLDLAR………………………………..…………………29 3.1. f -Yapı…………..…………………………………………………………...29 3.2. Torsioyon Tensörü……………………………………………………………37 3.3. Almost S-Manifoldlar………………………………………………………...55 4. S-MANİFOLDLAR………………………………………………..……………..66 4.1. S-Manifoldlar………………………………………………………….………66 5. INDEFINITE ALMOST-S-MANİFOLDLAR ve INDEFINITE SMANİFOLDLAR………………………………………………………...……...84 5.1. Indefinite Almost S-Manifold………………………………………………..84 5.2. Indefinite S-Manifold………………………………………………………...89 6. ε α -ALMOST S-MANİFOLDLAR………………………………………..……..92 viii Sayfa 6.1. ε α -Almost S-Manifold………………………………………………………92 6.2. ε α -Almost S-Manifoldlar İçin Örnekler…………………………………….96 7. INDEFINITE ε α -S-MANİFOLDLARIN REEL HİPERYÜZEYLERİ……..…115 KAYNAKLAR...…………………………………………………………………..130 ÖZGEÇMİŞ...……………………………………………………………………...132 ix SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur. Simgeler IR Anlamı Reel sayılar cismi g M manifoldu üzerindeki metrik g M hiperyüzeyi üzerine indirgenmiş metrik Γ (TM ) M manifoldu üzerindeki vektör alanlarının uzayı Tp M p ∈ M noktasındaki tanjant uzay TM M manifoldun tanjant demeti φ f -yapı ξα karakteristik vektör alanları ηα 1-formlar R M manifoldu üzerindeki Riemann eğrilik tensörü N M hiperyüzeyin normali Nφ φ ’ nin Nijenhuis tensörü ∇ M manifoldu üzerindeki konneksiyon ∇ M hiperyüzeyi üzerine indirgenmiş konneksiyon [,] Lie braket operatörü K Kesitsel eğrilik L Lie türevi ⊗ Tensörel çarpımı 1 1. GİRİŞ Almost kontakt yapıların ve almost kompleks yapıların bir genelleştirilmesi olan f -yapılar 1963 yılında Yano tarafından ortaya atılmış ve günümüze kadar bu alanda bir çok çalışma yapılmıştır. Bunlardan bazıları Nakagava (1966), Ishahara (1966), Kobayashi ve Tsuchiya (1972), Mihai (1983) ve Kobayashi (1990) dır. Goldberg ve Yano, çatılandırılan metrik manifoldlar üzerindeki f -yapı yardımı ile bir kompleks yapı tanımlayıp bu yapıların normallik koşullarını inceleyerek bu alanda yapılacak olan çalışmalara ışık tutmuşlardır. 1970 yılında Goldberg ve Yano tarafından global çatılandırılan metrik manifoldlar tanımlanmıştır. 1970 yılında Blair, Φ ( X , Y ) = g ( X , φ (Y ) ) olarak temel 2-formu tanımlayarak çatılandırılan metrik manifoldların normallik şartına ilaveten bazı yeni koşulları ekleyerek, almost Hermit durumunda Kaehler yapıların ve almost kontakt durumunda Sasakian yapıların bir genelleştirilmişi olan S-manifoldları tanıtmıştır. 1970 yılında Blair, normal çatılandırılan metrik manifold üzerinde dΦ = 0 (yani temel 2-form kapalı) ise K-manifoldun tanımın yapmıştır. Eğer Φ = dη α ise Kmanifoldun bir S-manifold olduğunu, eğer dη α = 0 olduğunda K-manifoldun bir C-manifold olduğunu göstermiştir. 1970 yılında Goldberg ve Yano, global çatılandırılan metrik f-manifoldun temel 2-formu Φ = dη α olduğunda almost S-manifoldu tanımlamıştır. 1990 lı yıllarda İspanyol matematikçiler Cabrerizo, Fernandez, L.M. ve Fernandez, M. Smanifoldlara ait ciddi çalışmalar yapmışlardır. Bunlardan bazıları Cabrerizo Fernandez, L.M: ve Fernandez, M. (1991,1992, 1993, 1996) dır. 1990 lı yıllarda yapılan çalışmaların yanı sıra günümüze kadar S-manifoldlar ile ilgili Kobayashi (1990), Lotta ve Pastore (2004), Dileo ve Lotta (2005), Terlizzi (2006) yazarlarda çeşitli çalışmalar yapmıştır. 2 1993 yılında Bejancu ve Duggal, ε -Sasakian manifoldların hiperyüzeyleri üzerinde çalışmıştır. Bu yüksek lisans tezinin orijinal bölümleri bu makaleden esinlenerek aşağıdaki çalışmalar doğrultusunda hazırlanmıştır. ε α -almost S-manifoldlar, Indefinite ε α -Almost S-manifoldlar ve Indefinite ε α -S-manifoldların tanımı verilerek bunlara ait bazı örnekler yapıldı. ε α -almost S-manifold ve ε α - S-manifoldların real hiperyüzeyleri ile ilgili bazı teoremler ispatlandı. 3 2.TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR 2.1.Riemann Manifoldları ve Alt Manifoldlar 2.1.Tanım M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M üzerindeki diferensiyellenebilir vektör alanlarının uzayı Γ (TM ) ve M den IR ye C ∞ fonksiyonlarının uzayı C ∞ ( M , IR ) olmak üzere, M üzerinde; g : Γ (TM ) × Γ (TM ) → C ∞ ( M , IR ) şeklinde tanımlanan pozitif, simetrik, bilineer ( 0, 2 ) -tipinden tensör alanı g ’ ye M üzerinde bir Riemann metriği ve g Riemann metriği ile birlikte M ye bir Riemann manifoldu denir ve ( M , g ) şeklinde gösterilir [Hacısalihoğlu, 1983]. 2.2. Tanım M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M vektör alanlarının uzayı Γ (TM ) ∀X , Y , Z ∈ Γ(TM) için ∇ : Γ (TM ) × Γ (TM ) → Γ (TM ) ( X ,Y ) → ∇ ( X ,Y ) = ∇ X Y dönüşümü (i ) ∇ X (Y + Z ) = ∇ X Y + ∇ X Z olmak üzerindeki diferensiyellenebilir üzere. ∀f , g ∈ C ∞ ( M , IR ) , 4 ( ii ) ∇ fX + gY Z = f ∇ X Z + g∇Y Z ( iii ) ∇ X ( fY ) = f ∇ X Y + X ( f ) Y özellikleri sağlanıyorsa ∇ ye M manifoldu üzerinde bir afin konneksiyon ve ∇ X e de X e göre kovaryant türev operatörü denir [Hacısalihoğlu, 1983]. 2.3.Tanım (M , g) bir Riemann manifoldu ve ∇ da M üzerinde tanımlanan bir afin koneksiyon olsun. ∀X , Y , Z ∈ Γ(TM) için, ∇ dönüşümü ∇ X Y − ∇Y X = [ X , Y ] (sıfır torsiyon özelliği) (i ) ( ii ) Xg (Y , Z ) = g ( ∇ X Y , Z ) + g (Y , ∇ X Z ) (koneksiyonun metrikle bağdaşması özelliği) şartlarını sağlıyorsa, ∇ ya M üzerinde sıfır torsiyonlu Riemann koneksiyon veya Levi Civita koneksiyon adı verilir. 2.4.Tanım U bir K cismi üzerinde vektör uzayı ve [,] : U × U → U ( X ,Y ) → [ X ,Y ] dönüşümüde ( i ) 2-lineer ( ii ) Anti-Simetrik ( ∀X , Y ∈U için [ X , Y ] = − [Y , X ] ) 5 ( iii ) ∀X , Y , Z ∈ U için; ⎡⎣ X , [Y , Z ]⎤⎦ + ⎡⎣Y , [ Z , X ]⎤⎦ + ⎡⎣ Z , [ X , Y ]⎤⎦ = 0 şartlarını sağlıyorsa [,] dönüşümüne, U üstünde bir Lie operatörü (Lie parantez operatörü) denir [Hacısalihoğlu, 1983]. 2.1. Teorem M bir diferensiyelllenebilir manifold olsun. M üzerindeki vektör alanlarının uzayı Γ (TM ) olsun. [,] : Γ (TM ) × Γ (TM ) → Γ (TM ) ( X ,Y ) → [ X ,Y ] dönüşümü ∀f ∈ C ∞ ( M , IR ) için [ X , Y ] ( f ) = X (Yf ) − Y ( Xf ) şeklinde tanımlanırsa, [,] operatörü Γ (TM ) üzerinde bir Lie operatörüdür [Yano ve Kon, 1984]. 2.5. Tanım (M , g) bir Riemann manifoldu olsun. X ∈ Γ (TM ) için LX , keyfi ( s, r ) tipinde tensör alanını yine ( s, r ) tipinde bir tensör alanına götüren ve aşağıdaki koşulları sağlayan bir operatör olup X vektör alanına göre Lie türev operatörü olarak adlandırılır [Yano ve Kon, 1984, Duggal ve Bejancu, 1996]. 6 (i ) LX ( f ) = X ( f ) , ∀f ∈ C ∞ ( M , R ) ( ii ) LX Y = [ X , Y ] , ∀Y ∈ Γ (TM ) ( iii ) LX g (Y , Z ) = X ( g (Y , Z ) ) − g ([ X , Y ] , Z ) − g ([ X , Z ] , Y ) , ∀Y , Z ∈ Γ (TM ) . 2.6.Tanım (M , g) bir Riemann manifoldu ve LX , X vektör alanına göre Lie türev operatörü olsun. Eğer X ∈ Γ (TM ) için LX g = 0 ise X ’e Killing vektör alanı denir(Yano ve Kon, 1984). 2.7.Tanım (M , g) bir Riemann manifoldu olsun. M üzerinde verilen her bir diferensiyel s - forma bir diferensiyel ( s + 1) -form karşılık getirilen diferensiyel operatörü dış türev operatörü olarak adlandırılır ve d ile gösterilir. Özel olarak bir 1-form w ve bir 2form Ω için d operatörü dw ( X , Y ) = 1 X ( w ( Y ) ) − Y ( w ( X ) ) − w ([ X , Y ]) 2 { } ve dΩ ( X ,Y , Z ) = 1 X ( Ω ( Y , Z ) ) − Y ( Ω ( X , Z ) ) − Z ( Ω ( X , Y ) ) − Ω ([ X , Y ] , Y ) + Ω ([ X , Z ] , Y ) 3 { } −Ω ([Y , Z ] , X ) 7 olarak tanımlanır [Yano ve Kon, 1984]. (M , g) bir Riemann manifoldu ve ∇ da M üzerinde bir Riemann konneksiyon olsun. ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için Riemann konneksiyonu, 2 g ( ∇ X Y , Z ) = Xg (Y , Z ) + Yg ( Z , X ) − Zg ( X , Y ) − g ( X , [Y , Z ]) + g (Y , [ Z , X ]) + g ( Z , [ X , Y ]) ( 2.1) Kozsul formülü ile tek türlü belirtilir [Yano ve Kon, 1984]. 2.8. Tanım M bir Riemann manifoldu ve ∇ , M üzerinde bir Levi-Civita konneksiyonu olsun. ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için R : Γ (TM ) × Γ (TM ) × Γ (TM ) → Γ (TM ) ( X ,Y , Z ) → R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇Y Z − ∇Y ∇ X Z − ∇[ X ,Y ] Z biçiminde tanımlanan R fonksiyonu M üzerinde (1,3) tensör alanıdır. Bu tensör alanına M nin Riemann eğrilik tensörü denir [Spivak, 1979]. 2.2.Teorem M bir Riemann manifoldu ve R , M ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için ( i ) g ( R ( X , Y ) Z , W ) = − g ( R (Y , X ) Z , W ) , ( ii ) g ( R ( X , Y ) Z ,W ) = − g ( R ( X , Y )W , Z ) , nin Riemann eğrilik tensörü olsun. 8 ( iii ) g ( R ( X , Y ) Z ,W ) = g ( R ( Z ,W ) X , Y ) dir [O’Neill, 1983]. 2.9.Tanım (M , g) bir Riemann manifoldu ve R , ( M , g ) nin Riemann eğrilik tensörü olsun. ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için R ( X , Y ) Z + R ( Z , X ) Y + R (Y , Z ) X = 0 eşitliği I. Bianchi özdeşliği olarak adlandırılır [Yano ve Kon, 1984]. 2.10.Tanım (M , g) bir Riemann manifoldu, M nin Riemann eğrilik tensörü R ve ∇ Levi- Civita konneksiyon olsun. ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) ( ∇ X R )(Y , Z ) + ( ∇Y R )( Z , X ) + ( ∇ Z R )( X , Y ) = 0 eşitliği II. Bianchi Özdeşliği olarak adlandırılır [Yano ve Kon, 1984]. 2.11.Tanım (M , g) bir Riemann manifoldu olsun. Bir p ∈ M noktasındaki Tp M tanjant uzayının, X P , YP tanjant vektörleri tarafından gerilen 2-boyutlu bir uzayı ∏ olmak üzere 9 K (∏) = ( g R ( X p , Yp ) X p , Yp ) g ( X p , X p ) g ( Yp , Yp ) − g ( X p , Yp ) 2 şeklinde tanımlanan K ( ∏ ) reel sayısına ∏ nin kesit eğriliği denir [Yano ve Kon, 1984]. 2.12.Tanım (M , g) bir Riemann manifoldu, {E1 , E2 ,..., En } , Γ (TM ) M nin Riemann eğrilik tensörü R ve nin bir bazı olsun. Böylece Q : Γ (TM ) → Γ (TM ) n X → Q ( X ) = −∑ R ( Ei , X ) Ei i =1 şeklinde tanımlı Q operatörüne M nin Ricci Operatörü denir. Ayrıca Q yardımı ile M nin Ricci eğrilik tensörü Ric Ric : Γ (TM ) × Γ (TM ) → C ∞ ( M , R ) ( X , Y ) → Ric ( X , Y ) = g ( Q ( X ) , Y ) biçiminde tanımlanır [Chen, 1973]. 2.13. Tanım (M , g) bir Riemann manifoldu olsun. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için Ric ( X , Y ) = λ g ( X , Y ) 10 olacak biçimde M üzerinde bir λ fonksiyonu var ise M ye Einstein manifoldu adı verilir [Yano ve Kon, 1984]. 2.14.Tanım (M , g) bir Riemann manifoldu ve {e1 , e2 ,..., en } , Tp M tanjant uzayının bir bazı olmak üzere M nin skalar eğriliği, n τ = ∑ Ric ( ei , ei ) i =1 şeklinde tanımlanır [Chen, 1973]. 2.15.Tanım M ve M birer diferensiyellenebilir manifold ve ψ:M →M bir diferensiyellenebilir fonksiyon olsun. Eğer rankψ = boy M ise ψ dönüşümüne bir immersiyon (daldırma) denir [Hacısalihoğlu, 1983]. 2.16. Tanım M ve M birer C ∞ manifold ve M ⊂ M olsun. Eğer J:M →M doğal injeksiyonu bir immersiyon ise M ye M nin bir alt manifoldu denir [Brickell ve Clark, 1970]. 11 2.17.Tanım M bir C ∞ manifold ve M , M nin bir alt manifoldu olsun. Herhangi bir p ∈ M noktası için { TM ⊥ = V ∈ TP M : g ( X P ,V ) = 0, ∀X P ∈ TP M } cümlesi tanımlansın. p ∈ M noktasında ∀ X P ∈ TP M için g ( X P , V ) = 0 koşulunu sağlayan V vektörüne M nin normal vektörü, V nin birim vektörü olması halinde de M nin birim normal vektörü denir. M nin her noktasındaki tüm normal vektörlerini içeren T M ⊥ uzayına da M nin normal demeti adı verilir [Yano ve Kon, 1984]. 2.18. Tanım M n -boyutlu bir altmanifoldu M Riemann manifoldu ve M üzerinde bir Riemann konneksiyonu ∇ olsun. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için ∇ X Y = ∇ X Y + h ( X ,Y ) ( 2.2 ) biçiminde tanımlanan bağıntıya Gauss formülü adı verilir. Burada ∇ X Y ve h ( X , Y ) sırasıyla ∇ X Y nin teğet ve normal bileşenleridir. Eş ( 2.1.2 ) de tanımlanan ∇ ye M üzerine indirgenmiş Riemann konneksiyonu ve h ya da M nin ikinci temel formu denir. Eğer h = 0 ise M ye total geodeziktir denir [Chen, 1973]. 2.19.Tanım M ve M sırasıyla n ve n + d boyutlu Riemann manifoldları olmak üzere, M , M 12 nin alt manifoldu olsun. M nin birim vektör alanı V olsun. ∇ X V nin teğet ve ⊥ normal bileşenleri sırasıyla − AV X ve ∇ X V olmak üzere ( ) ( AV : Γ T M → Γ T M ) dönüşümü iyi tanımlıdır. Böylece ⊥ ∇ X V = − AV X + ∇ X V (2.3) biçiminde tanımlanan bağıntıya Weingarten formülü denir. Burada AV ye M nin ⊥ ⊥ şekil operatörü, ∇ ede M nin TM normal demetdeki konneksiyon denir. M nin şekil operatörü AV ile ikinci temel form h arasında g ( AV X , Y ) = g ( h ( X , Y ) , V ) bağıntısı vardır. Burada g , M üzerine indirgenmiş Riemann metriğidir [Chen, 1973]. 2.20.Tanım (M , g) ( ) bir Riemann manifoldu ve M , g , ( M , g ) nin bir alt manifoldu olsun. M nin ikinci temel tensörü kn ( X P ) = h ( X P , X P ) reel sayısına M nin X P doğrultusundaki normal eğriliği denir [Hich, 1965]. 13 2.21. Tanım (M , g) ( ) Riemann manifoldunun bir altmanifoldu M , g olsun. üzerindeki Riemann eğrilik tensörleri sırasıyla R ve (M , g) R ve ( M , g ) olmak üzere ∀X , Y , Z , W ∈ Γ (TM ) için ( ) g ( R ( X , Y ) Z , W ) = g R ( X , Y ) Z , W − g ( h ( X , W ) , h (Y , Z ) ) + g ( h (Y , W ) , h ( X , Z ) ) ile tanımlanan bağıntıya Gauss denklemi denir. Gauss denkleminin normal bileşeninin alınması ile elde edilen ( R ( X ,Y ) Z ) ⊥ ( ) ( ) = ∇ X h ( Y , Z ) − ∇Y h ( X , Z ) bağıntısına Codazzi denklemi denir [Yano ve Kon, 1984]. 2.22.Tanım M , n -boyutlu ve N , ( n − 1) -boyutlu birer C ∞ manifold olsunlar. f :N →M fonksiyonu bir immersiyon ise f ( N ) = M manifolduna M nin bir hiperyüzeyi denir [Hacısalihoğlu, 1984, Brickell ve Clark, 1970]. (M , g) n -boyutlu bir Riemann manifoldu ve ( M , g ) nin ( n − 1) -boyutlu bir alt manifoldu (M , g ) ⊥ olsun. Bu durumda ⊥ (M , g) bir hiperyüzeydir. Eş.(2.1.3) de belirtilen ∇ X V normal bileşeni için ∇ X V = 0 dır [Kobayashi ve Nomizu, 1969]. 14 2.23.Tanım M nin bir hiperyüzeyi M ve M nin birim normal vektör alanı N verilsin. M de ( ) Riemann konneksiyonu ∇ olmak üzere ∀X ∈ Γ T M için AN X = ∇ X N şeklinde tanımlı, AN dönüşümüne M üzerinde şekil operatörü veya Weingarten dönüşümü denir [Kobayashi ve Nomizu, 1969]. 2.24. Tanım (M , g) bir Riemann manifoldunun hiperyüzeyi ( M , g ) ve M şekil operatörü AN ( M , g ) ve M şekil operatörü AN olsun. Bu durumda, 1) AN : Γ (TM ) → Γ (TM ) dir 2 ) AN lineerdir [Hacısalihoğlu, 1983]. 2.1. Önerme (M , g) bir Riemann manifoldunun hiperyüzeyi olsun. Bu durumda AN simetriktir [Hacısalihoğlu, 1983]. 2.25. Tanım (M , g) ( ) bir Riemann manifoldu, M , g , şekil operatörü AN olsun. (M , g) nin bir hiperyüzeyi ve M nin 15 H :M → R p → H ( p ) = İzH şeklinde tanımlı H fonksiyonuna M nin ortalama eğrilik fonksiyonu ve H ( p ) ye de p ∈ M noktasında M nin ortalama eğriliği denir [Hacısalihoğlu, 1983]. 2.2. Yarı Riemann Manifoldları 2.26. Tanım V bir reel vektör uzayı olsun. g V : V × V → IR G G JG dönüşümü ∀a, b ∈ IR ve ∀u , v, w ∈ V için (i ) G G g V u, v = g ( ) G G V ( v, u ) ( ii ) G G JG G JG G JG g V au + bv, w = ag V u , w + b g V v, w ( iii ) G G JG G G G JG g V u, av + bw = ag V u , v + b g V u, w ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) özelliklerine sahip ise g V dönüşümüne V reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form denir [O’Neill, 1983]. 2.27. Tanım V reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form g V olsun. 16 (i ) GG G G ∀v ∈ V ve v ≠ 0 için g V v, v > 0 ise g V simetrik bilineer formuna pozitif ( ) (definite) tanımlı, GG G G ( ii ) ∀v ∈ V ve v ≠ 0 için g V v, v < 0 ise g V simetrik bilineer formuna negatif ( ) tanımlı, ( iii ) GG G G ∀v ∈ V ve v ≠ 0 için g V v, v ≥ 0 ise g V simetrik bilineer formuna pozitif ( ) yarı(semi-definite) tanımlı, GG G G ( iv ) ∀v ∈ V ve v ≠ 0 için g V v, v ≤ 0 ise g V simetrik bilineer formuna negatif ( ) yarı tanımlı, G JG JG G G ( v ) ∀w ∈ V için g V v, w = 0 iken v = 0 olmak zorunda ise g V simetrik bilineer ( ) formuna non-dejenere, aksi taktirde dejeneredir denir [O’Neill, 1983]. 2.28. Tanım V bir reel vektör uzayı olsun. g V : V × V → IR bir simetrik bilineer form olsun. g W : W × W → IR negatif tanımlı olacak şekildeki en büyük boyutlu W alt uzayının boyutuna g V bilineer simetrik formunun indeksi denir ve ν ile gösterilir. W alt uzayı üzerine indirgenmiş g W simetrik bilineer formuna indirgenmiş simetrik bilineer form adı verilir ve kısaca g ile gösterilir [O’Neill, 1983]. 17 2.29. Tanım G JG G JG G JG G JG ∀v, w ∈ V için v ≠ 0 ve w ≠ 0 iken g V v, w = 0 ise v ve w vektörleri diktir denir ( ) G JG ve v ⊥ w şeklinde gösterilir [O’Neill, 1983, Duggal ve Bejancu, 1996]. 2.30. Tanım M bir C ∞ manifold olsun. p ∈ M noktasındaki tanjant uzay Tp M olmak üzere g : Tp M × Tp M → IR (X p , Yp ) → g ( X p , Yp ) biçiminde tanımlı sabit indeksli, simetrik, bilineer ve non-dejenere ( 0, 2 ) tipindeki tensörüne M üzerinde bir metrik tensör denir [O’Neill, 1983]. 2.31. Tanım Bir M yarı-Riemann manifoldu üzerinde g metrik tensörünün indeksine yarıRiemann manifoldunun indeksi denir ve indM ile gösterilir [O’Neill, 1983]. 2.32. Tanım M bir diferensiyellenebilir yarı-Riemann manifoldu ve g , M üzerinde tanımlanan bir metrik tensör olsun. Eğer ∀p ∈ M ve X p ∈ Tp M için g : Tp M × T p M → R olmak üzere 18 ( i ) g ( X p , X p ) >0 veya X p = 0 ise X p vektörüne spacelike, ( ii ) g ( X p , X p ) <0 ise X p vektörüne timelike, ( iii ) g ( X p , X p ) = 0 , X p ≠ 0 vektörüne lightlike veya null denir [O’Neill, 1983]. 2.3.Almost Kompleks ve Almost Kontak Manifoldlar 2.33. Tanım M bir diferensiyellenebilir reel manifold olsun. M nin her q noktasındaki Tq M tanjant uzayı üzerinde tanımlı bir J : Tq M → Tq M lineer dönüşümü J 2 = −I koşulunu sağlıyor ise J ye M üzerinde almost kompleks yapı, M manifolduna da almost kompleks manifold denir. Her almost kompleks manifold çift boyutludur [Yano ve Kon, 1984]. 2.34.Tanım M bir almost kompleks manifold ve M üzerinde almost kompleks yapı J olsun. g , M üzerinde bir Riemann metrik olmak üzere ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için g ( J ( X ) , J (Y ) ) = g ( X , Y ) 19 özellikleri sağlanıyor ise g ye M üzerinde Hermit metrik denir. M manifolduna da almost Hermityan manifold denir [Yano ve Kon, 1984]. 2.35. Tanım M bir ( 2n + 1) boyutlu manifold, φ , ξ ve η da M üzerinde sırasıyla, (1,1) tipinde tensör alanı, bir vektör alanı ve bir 1-form olsun. Eğer φ , ξ ,η için, M üzerinde herhangi bir vektör alanı X olmak üzere; η (ξ ) = 1 ve φ 2 ( X ) = − X + η ( X ) ξ (2.4) özellikleri sağlanıyorsa o zaman (φ , ξ ,η ) ya M üzerinde bir almost kontakt yapı ve M manifolduna da almost kontakt manifold denir [Yano ve Kon, 1984]. 2.1. Örnek IR 3 de standart koordinatlar ( x, y, z ) olmak üzere IR 3 üzerinde η= 1 ( dz − ydx ) 2 1-formu, ξ vektör alanı, ⎛∂ ⎞ ξ = 2 ⎜ ⎟ ∈ χ ( IR 3 ) ⎝ ∂z ⎠ φ lineer dönüşümü, φ : χ ( IR 3 ) → χ ( IR 3 ) 20 ( x, y , z ) → φ ( x, y , z ) = ( y , − x, y 2 ) olsun. φ lineer dönüşümüne karşılık gelen matris, ⎛ 0 1 0⎞ φ = ⎜⎜ −1 0 0 ⎟⎟ ⎜ 0 y 0⎟ ⎝ ⎠ dır. 1 ∂ ( dz − ydx ) ⎛⎜ 2 ⎞⎟ =1 2 ⎝ dz ⎠ η (ξ ) = olur. Ayrıca X = x1 ∂ ∂ ∂ + x2 + x3 ∈ χ ( IR 3 ) : X = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR 3 ∂x ∂y ∂z olmak üzere η(X )= = 1 ( dz − ydx ) 2 ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜ x1 + x2 + x3 ⎟ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x 1 ( x3 − yx1 ) 2 dır. ξ vektör alanına karşılık gelen matris ⎡o ⎤ ξ = ⎢⎢o ⎥⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 21 ve X ∈ χ ( IR 3 ) ⎡ x1 ⎤ in matris formu X = ⎢⎢ x2 ⎥⎥ olduğundan ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ φ ( X ) = φ (φ ( X ) ) = ⎜⎜ −1 0 0 ⎟⎟ ⎜⎜ −1 0 0 ⎟⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 0 y 0⎟⎜ 0 y 0⎟⎜ x ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ 2 ⎛ −1 0 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 0 −1 0 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ −y 0 0⎟⎜ x ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎛ −1 0 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ φ 2 ( X ) = ⎜⎜ 0 −1 0 ⎟⎟ ⎜ x2 ⎟ + ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ − y 0 −1⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ = − I 3 ( X ) + ⎢0 ⎥ ⎢⎣ − yx1 + x3 ⎥⎦ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ = − X + ( x3 − yx1 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ 1 ⎜ ⎟ = − X + ( x3 − yx1 ) ⎜ 0 ⎟ 2 ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ = − X +η ( X )ξ dir. Böylece ( IR 3 , φ , ξ ,η ) dörtlüsü bir almost kontakt manifoltdur. 2.36. Tanım ( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt manifold ξ ∈ χ ( M ) için M olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) ve 22 η ( X ) = g ( X ,ξ ) (2.5) ve g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = g ( X , Y ) − η ( X )η (Y ) koşullarını sağlayan bir g Riemann metriği (2.6) (φ , ξ ,η , g ) dörtlüsüne bir almost kontakt metrik yapı, ( M , φ , ξ ,η , g ) beşlisine de bir almost kontakt metrik manifold denir [Yano ve Kon, 1984]. 2.3. Teorem M bir almost kontakt metrik manifold olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = g ( X , Y ) − η ( X )η (Y ) olacak şekilde bir g Riemann metriği daima vardır [Blair, 1976]. 2.37. Tanım M ( 2n + 1) -boyutlu bir manifold, η da M üzerinde bir 1-form olsun. Eğer, η ∧ ( dη ) ≠ 0 n koşulunu sağlıyor ise M ye bir kontakt yapıya sahiptir denir. M manifolduna da, kontakt manifold denir [Yano ve Kon, 1984]. 23 2.4.Teorem ( M , φ , ξ ,η ) bir almost kontakt manifold olsun. X , ξ ∈ χ ( M ) , X ≠ ξ ve φ : χ (M ) → χ (M ) için ( i ) φ (ξ ) = 0 , ( ii ) η D φ = 0 , ( iii ) rankφ = 2n (2.7) dir (Yano ve Kon, 1984). 2.38. Tanım M bir almost kontakt metrik manifold olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için Φ ( X , Y ) = − g ( X , φ (Y ) ) = dη ( X , Y ) (2.8) şeklinde tanımlı Φ dönüşümüne (φ , ξ ,η , g ) almost kontak metrik yapının II . temel formu denir. Burada η kontak formu için yazılan η ∧ ( dη ) ≠ 0 koşulu η ∧ ( Φ ) ≠ 0 n halini alır [Yano ve Kon, 1984]. 2.39. Tanım ( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt metrik manifold dη ( X , Y ) = g ( X , φ (Y ) ) = Φ ( X , Y ) M olsun. Eğer, n 24 oluyorsa (φ , ξ ,η , g ) dörtlüsüne almost kontakt metrik yapı ve ( M , φ , ξ ,η , g ) beşlisine almost kontakt metrik manifold denir [Yano ve Kon, 1984]. Sonuç Her almost kontakt metrik manifold aynı zamanda kontakt manifolddur [Yano ve Kon, 1984]. 2.5. Teorem M bir almost kontakt metrik manifold olsun. ∇ , M üzerinde bir konneksiyon olmak üzere ∀X , Y ∈ χ ( M ) için dη ( X , Y ) = g ( X , φ (Y ) ) = 1 { g ( ∇ X ξ , Y ) − g ( ∇Y ξ , X )} 2 (2.9) dır. (Yano ve Kon, 1984). 2.6. Teorem ( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt metrik manifold M olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için dη ( X , ξ ) = 0 (2.10) ve dη (φ ( X ) , Y ) + dη ( X , φ (Y ) ) = 0 dir [Yano ve Kon, 1984]. (2.11) 25 ( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt manifold M ve M üzerinde almost kontakt yapı (φ , ξ ,η ) olsun. Reel doğruyu IR ile gösterilirse M × IR manifoldu ( 2n + 2 ) boyutlu bir çarpım manifoldu olur. Burada X , M × IR üzerinde herhangi bir vektör alanı, t , IR nin bir koordinatı ve f de M × IR üzerinde tanımlı diferensiyellenebilir bir fonksiyon, J M × IR üzerinde bir almost kompleks yapıyı veren M × IR nin tanjant uzayındaki bir J lineer dönüşümü; J : χ ( M × IR ) → χ ( M × IR ) d ⎞ d ⎞ d ⎞ ⎛ d⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎜ X , f ⎟ → J ⎜ X , f ⎟ = J ⎜ X , f ⎟ = ⎜ φ ( X ) − f ξ ,η ( X ) ⎟ dt ⎠ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ (2.12) şeklinde tanımlıdır. 2.40. Tanım M bir diferensiyellenebilir manifold ve φ , M üzerinde bir (1,1) tipinde bir tensör alanı olmak üzere, ∀X , Y ∈ χ ( M ) için Nφ ( X , Y ) = φ 2 [ X , Y ] + ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ − φ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ − φ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ şeklinde tanımlanan (1, 2 ) tipindeki tensör alanına φ nin Nijenhuis tensör alanı denir [Yano ve Kon, 1984]. 2.41. Tanım Bir almost kompleks metrik manifold M , M üzerindeki almost kompleks yapı J olsun. J nin Nijenhuis tensör alanı N J olmak üzere N J = 0 ise J dönüşümüne integrallenebilirdir denir [Yano ve Kon, 1984]. 26 2.42. Tanım Bir ( 2n + 1) -boyutlu almost kontakt manifold M ve (φ , ξ ,η ) de M üzerinde almost kontakt yapı olsun. Reel doğru IR olmak üzere M × IR çarpım manifoldu göz önüne alınsın. Eğer M × IR üzerindeki (2.3.9) ile verilen almost kompleks yapısı integrallenebilir ise (φ , ξ ,η ) almost kontakt yapısı normaldir denir [Yano ve Kon, 1984]. 2.43.Tanım Bir ( 2n + 1) -boyutlu almost kontakt manifold M olsun. M × IR çarpım manifoldu üzerindeki operatörü [,] : χ ( M × R ) × χ ( M × R ) → χ ( M × R ) ⎛⎛ d⎞ ⎛ d ⎞ ⎞ ⎡⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞⎤ ⎛ d ⎞ ⎜ ⎜ X , f dt ⎟ , ⎜ Y , g dt ⎟ ⎟ → ⎢⎜ X , f dt ⎟ , ⎜ Y , g dt ⎟ ⎥ = ⎜ [ X , Y ] , ( X ( g ) − Y ( f ) ) dt ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎝⎝ şeklinde tanımlanan operatör ( i ) Anti-Simetriktir, ( ii ) Jacobi özdeşliğini sağlar, Bu şekilde tanımlanan bu operatöre Lie braketi denir (Blair, 2002). 2.44. Tanım ( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt manifold M olsun. N J ( ( X , 0 ) , (Y , 0 ) ) ve ⎛ ⎛ d ⎞⎞ N J ⎜ ( X , 0 ) , ⎜ 0, ⎟ ⎟ değerleri sırasıyla hesaplanarak ⎝ dt ⎠ ⎠ ⎝ 27 N 1 ( X , Y ) = Nφ ( X , Y ) + 2dη ( X , Y ) ξ ( ) ( (2.13) ) N 2 ( X , Y ) = Lφ ( X )η Y − Lφ (Y )η X (2.14) N 3 ( X ) = ⎡⎣ξ , φ ( X ) ⎤⎦ − φ [ X , ξ ] (2.15) N 4 ( X ) = ξη ( X ) − η [ X , ξ ] (2.16) eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerle N 1 , N 2 , N 3 ve N 4 tensörleri tanımlanır. 2.7. Teorem ( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt manifold M olsun. Bu yapının normal olabilmesi için gerek ve yeter şart N 1 , N 2 , N 3 ve N 4 tensörlerinin sıfır olmasıdır [Yano ve Kon, 1984]. 3.8. Teorem ( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt manifold M olsun. Şayet N 1 = 0 ise N 2 = N 3 = N 4 = 0 dır (Yano ve Kon, 1984). 2.45. Tanım ( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt metrik manifold M olsun. Eğer M nin kontakt yapısı normal ise M bir Sasaki yapıya ya da normal kontakt metrik yapıya sahiptir denir. Sasaki yapıya sahip M ( M ,φ , g , ξ ) manifolduna ise Sasakian manifold denir ve ile gösterilir [Yano ve Kon, 1984]. 2.46. Tanım ( M ,φ , g, ξ ) bir Sasakian manifold ve 28 D = { X : g ( X , ξ ) = 0} olsun. Eğer X , Y , Z ,W ∈ χ ( D ) için φ 2 ( ( DW R )( X , Y ) Z ) = 0 (2.17) oluyor ise ( M , φ , g , ξ ) ye lokal φ -simetrik Sasakian manifold denir. Burada R M nin eğrilik tensör alanıdır [De Shaikh ve Biswas, 2003]. 29 3. ALMOST S-MANİFOLDLAR 3.1. f-Yapı 3.1. Tanım (2n+s) boyutlu bir C ∞ manifold M olsun.M’ nin tanjant demeti TM olmak üzere f 3 + f =0, rankf = 2n (3.1) koşulunu sağlayan (1,1) tipindeki diferensiyellenebilir , f tensör alanına f -yapı ve üzerinde bir f -yapı tanımlı M manifolduna da f -manifold denir [Goldberg ve Yano, 1970]. s=0 ise f -yapı almost kompleks yapıdır. s=1 ise f -yapı almost kontakt yapıdır. f -yapının almost kontakt yapı olması durumunda M manifoldu yönlendirilebilirdir. (i ) P = − f 2 , (ii ) Q = f + I 2 (3.2) ile tanımlanan iki bütünleyen izdüşüm operatörlerine karşılık sırasıyla D ve D ⊥ bütünleyen dağılımlar vardır. Burada boy( D )= 2n ve boy( D ⊥ )= s ’dir. 3.1. Lemma (2n+s) boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold M olsun. φ , M üzerinde bir f yapı, P ve Q ise Eş. 3.2 ile tanımlı bütünleyen izdüşüm fonksiyonları olmak üzere (i ) φ P = Pφ = φ (ii ) φ Q = Qφ = 0 (iii ) φ 2 P = − P (iv) φ 2Q = 0 (3.3) dir [Ishihara ve Yano, 1964]. Eş.3.3 koşulunu sağlayan P ve Q izdüşüm fonksiyonları yardımı ile M’ nin tanjant demeti TM, biri 2n diğeri s boyutlu olan iki dağılımın direkt toplamı olarak yazılır. 30 Yani; TM = D ⊕ D ⊥ , D ∩ D ⊥ = {0} (3.4) dir. 3.2. Tanım (2n+s) boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold M olsun. Eğer M üzerinde, s -tane ξα vektör alanları ve s -tane η α 1-formları olmak üzere s φ 2 = − I + ∑η α ⊗ ξα , α =1 η α (ξ β ) = δαβ olacak şekilde (1,1) tipinden bir (3.5) φ tensör alanı var ise M’ ye bir global çatılandırılan manifold ya da kısaca çatılandırılan manifold denir ve ( M , φ , ξα ,η α ) ile gösterilir [Goldberg ve Yano, 1970]. 3.2. Lemma ( M ,φ ,ξ α ,η α ) bir çatılandırılan manifold olsun. Bu durumda (i ) φ (ξα ) = 0 , dir. İspat ( ii ) η α D φ = 0 , ( iii ) rankφ = 2n (3.6) 31 s ( i ) φ 2 (ξα ) = −ξα + ∑η β (ξα ) ξ β β =1 = −ξα + δαβ ξα =0 bulunur. Buradan φ (ξα ) = −φ 3 (ξα ) = −φ (φ 2 (ξα ) ) = −φ ( 0 ) =0 elde edilir. ( ii ) ∀V ∈ Γ(TM ) için Eş. 3.1 ve Eş. 3.5 kullanırsak ⎛ s ⎞ ⎝ α =1 ⎠ φ 3 (V ) = φ (φ 2 (V ) ) = φ ⎜ −V + ∑η α (V )ξα ⎟ s = −φ (V ) + ∑η α (V ) φ (ξα ) α =1 = −φ (V ) bulunur. Diğer taraftan Eş. 3.5 den s φ 2 (φ (V ) ) = −φ (V ) + ∑η α (φ (V ) ) ξα α =1 s φ 3 (V ) = φ 3 (V ) + ∑η α (φ (V ) )ξα α =1 s η α (φ (V ) )ξα = 0 ∑ α =1 32 ηα Dφ = 0 elde edilir. ( iii ) φ lineer bir dönüşüm olduğundan rankφ + boyçekφ = boyΓ ( TM ) dir. V ∈ çekφ olmak üzere φ (V ) = 0 dır. Buradan φ 2 (V ) = φ (φ (V ) ) = φ ( 0 ) = 0 olur. Ayrıca Eş. 3.5 kullanılırsa s V = ∑η α (V ) ξα α =1 bulunur. Her iki tarafın φ altında görüntüsü alınırsa s φ (V ) = ∑η α (V ) φ (ξα ) α =1 olup φ (V ) = 0 dır. O halde her bir α için ξα ∈ çekφ , 1 ≤ α ≤ s için 33 ξα lineer bağımsız olup çekφ = Sp {ξ1 ,..., ξ s } dir. Buradan boyçekφ = s dir. Bu durumda rankφ = boyΓ (TM ) − boyçekφ = 2n dir. 3.3. Lemma φ ’ nin Im φ ’ye kısıtlanması Im φ üzerinde bir almost kompleks yapı belirler. İspat Herhangi bir φ (V ) ∈ Im φ için Eş. 3.5 ve Eş. 3.6 eşitlikleri kullanılarak; s φ 2 Imφ (φ (V ) ) = −φ (V ) + ∑η α (φ (V ) ) ξα = −φ (V ) α =1 bulunur. Buradan φ 2 Imφ = − I dır. O halde φImφ dönüşümü Im φ üzerinde bir almost kompleks yapıdır. Sonuç ( Im φ ,φ 2 Im φ ) bir almost kompleks manifoltdur. 34 3.3.Tanım ( M ,φ , ξ α ,η α ) çatılandırılan manifold olsun. φ ’nin Nijenhuis tensör alanı Nφ olmak üzere s Sφ = Nφ + 2∑ dη α ⊗ ξα (3.7) α =1 ile belirtilen (1,2) tipindeki Sφ tensör alanına torsiyon tensör alanı denir. Burada Nφ , Nijenhuis tensör alanı ∀V , W ∈ Γ (TM ) için Nφ (V , W ) = φ 2 [V , W ] + [φV , φW ] − φ [φV , W ] − φ [V , φW ] (3.8) eşitliği ile tanımlıdır. 3.4. Lemma M, (2n+s) boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold ve M üzerinde f -yapı φ olsun. φ ’ye karşılık gelen matris ⎡[ 0]n×n ⎢ φ = ⎢ In ⎢[ 0 ] ⎣ s× n −In [ 0]n×n [ yi ]s×n [0]n×s ⎤ [0]n×s ⎥⎥ [ 0]s×s ⎥⎦ ( 2 n+ s )×( 2 n+ s ) dir [Ishihara ve Yano, 1964]. 35 3.5. Lemma ( M ,φ , ξ α ,η α ) çatılandırılan manifold olsun. M üzerinde ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için s g (φ X , φY ) = g ( X , Y ) − ∑η α ( X )η α (Y ) (3.9) α =1 g ( X , ξα ) = η α ( X ) (3.10) koşullarını sağlayan bir g Riemann metriği vardır [Yano ve Kon, 1984]. 3.6.Lemma ( M ,φ , ξ α ,η α ) çatılandırılan manifold üzerindeki g Riemann metriği g (φ X , Y ) + g ( X , φ Y ) = 0 (3.11) koşulunu sağlar, yani φ anti-simetriktir. İspat Eş. 3.9 ve Eş. 3.6’dan s g (φ X , Y ) = g (φ 2 X , φY ) + ∑η α (φ X )η α (Y ) α =1 s ⎛ ⎞ = g ⎜ − X + ∑η α ( X ) ξα , φY ⎟ α =1 ⎝ ⎠ = − g ( X , φY ) dir. 36 Sonuç ( M ,φ , ξ α ,η α ) bir çatılandırılan manifold olsun. Eş. 3.9 ve Eş. 3.10 koşullarını sağlayan keyfi bir Riemann metriği her zaman bulunabilir [Duggal ve Bejancu, 1996]. 3.4.Tanım ( M ,φ , ξ α ,η α ) çatılandırılan manifoldu üzerinde Eş.3.9 ve Eş.3.10 şartlarını sağlayan bir g Riemann metriğiyle birlikte ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) ye bir çatılandırılan metrik manifold denir. 3.5. Tanım ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir çatılandırılan metrik manifold olsun. M üzerinde Φ , temel 2- formu ∀ X , Y ∈ Γ (TM ) için; Φ ( X , Y ) = g ( X , φY ) ile tanımlıdır [Yano ve Kon, 1984]. Sonuç ∀ V ∈ Γ (TM ) ve ∀α ∈ {1,..., s} için Φ ( X , ξα ) = 0 dır. İspat: Eş. 3.12 de Y = ξα alınır ve Eş. 3.6 kullanılırsa (3.12) 37 Φ ( X , ξα ) = g ( X , φξα ) = 0 bulunur. 3.2.Torsiyon Tensörü ( 2n + s ) -boyutlu bir çatılandırılan metrik manifold ( 2n + 2s ) -boyutlu bir çarpım manifolddur. IR s ⎧ s χ ( IR s ) = ⎨∑ fα ⎩ α =1 ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) olsun. M × IR s üzerindeki vektör alanları ⎫ ∂ : fα ∈ C ∞ ( IR s , IR ) ,1 ≤ α ≤ s ⎬ ∂tα ⎭ şeklindedir. ⎛ ∂ ∂ ⎞ s 2n + s ’de bir ,..., f s ⎜ X , f1 ⎟ ile M × IR ’deki vektör alanlarıdır. Burada X , M ∂t1 ∂ts ⎠ ⎝ vektör alanı, ( t1 ,..., ts ) ile IR s ’de koordinat düzlemini, fα ’lar IR s üzerindeki C ∞ fonksiyonlarıdır. Ayrıca IR s üzerinde almost kompleks yapı J ’yi; J : χ ( M × IR s ) → χ ( M × IR s ) s s s s ⎛ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ α ⎜ X , ∑ fα ⎟ → J ⎜ X , ∑ fα ⎟ = ⎜ φ X − ∑ fα ξα , ∑η ( X ) ⎟ ∂tα ⎠ α =1 α =1 ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ olarak tanımlanır. 3.1. Lemma J dönüşümü ( i ) Lineerdir ( ii ) J 2 = −I (3.13) 38 dir. İspat (i ) s s ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ s ∀ ⎜ X , ∑ fα , Y , ⎟ ⎜ ∑ gα ⎟ ∈ χ ( M × IR ) ve λ , µ ∈ IR için ∂ ∂ t t α =1 α ⎠ ⎝ α ⎠ ⎝ α =1 s s ⎛ ⎛ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞⎞ J ⎜⎜ λ ⎜ X , ∑ fα ⎟ + µ ⎜ Y , ∑ gα ⎟ ⎟⎟ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ s ⎛ ∂ ⎞ = J ⎜ ( λ X + µY ) , ∑ ( λ fα + µ gα ) ⎟ ∂tα ⎠ α =1 ⎝ s ⎛ = ⎜ φ ( λ X + µY ) − ∑ ( λ fα + µ gα ) ξα , α =1 ⎝ s ∂ ⎞ ⎟ α ⎠ η α ( λ X + µY ) ∑ ∂t α =1 s s s ⎛ s ⎞ ∂ ⎞ ⎛ = ⎜ λφ ( X ) + µφ (Y ) − λ ∑ fα ξα − µ ∑ gα ξα , ⎜ λ ∑η α ( X ) + µ ∑η α (Y ) ⎟ ⎟ α =1 α =1 α =1 ⎝ ⎝ α =1 ⎠ ∂tα ⎠ s s s s ⎛ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞ α = λ ⎜ φ ( X ) − ∑ fα ξα , ∑η α ( X ) ⎟ ⎟ + µ ⎜ φ (Y ) − ∑ gα ξα , ∑η (Y ) ∂tα ⎠ ∂tα ⎠ α =1 α =1 α =1 α =1 ⎝ ⎝ s s ⎛ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞ = λ J ⎜ X , ∑ fα + µ J Y , ⎟ ⎜ ∑ gα ⎟ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ olur. Böylece J nin lineer olduğu görülür. ( ii ) s ⎛ ∂ ⎞ s ∀ ⎜ X , ∑ fα ⎟ ∈ χ ( M × IR ) için ⎝ α =1 ∂tα ⎠ s ⎛ ∂ J 2 ⎜ X , ∑ fα ⎝ α =1 ∂tα s s ⎞ ⎛ ∂ ⎞ α = J φ X − f ξ , ⎟ ⎜ ⎟ ∑ α α ∑η ( X ) ∂tα ⎠ α =1 α =1 ⎠ ⎝ s ⎛ ⎛ ∂ ⎞ s α = ⎜⎜ φ ⎜ φ ( X ) − ∑ fα ⎟ − ∑η ( X ) ξα , ∂tα ⎠ α =1 α =1 ⎝ ⎝ 39 s ⎛ s α =1 ⎝ α =1 ⎞ ∂ ⎞ ⎟ ⎠ ∂tα ⎠ ∑η α ⎜ φ ( X ) − ∑ fα ξα ⎟ s s ⎛ ∂ ⎞ = ⎜ φ 2 ( X ) − ∑η α ( X ) ξα , −∑ fα ⎟ ∂tα ⎠ α =1 α =1 ⎝ s ⎛ ∂ ⎞ = ⎜ − X , − ∑ fα ⎟ ∂tα ⎠ α =1 ⎝ s ⎛ ∂ ⎞ = − ⎜ X , ∑ fα ⎟ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ elde edilir. Buradan J 2 = −I bulunur. O halde J , M × IR s üzerinde bir kompleks yapıdır. 3.8.Lemma ( 2n + s ) -boyutlu bir çatılandırılan metrik manifold ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) olsun. Bu durumda ( M × IR s , J ) bir almost kompleks manifolddur. 3.6. Tanım ( 2n + s ) -boyutlu bir çatılandırılan manifold ( M ,φ , ξ α ,η α ) olsun. ( M × IR , J ) s bir almost kompleks manifold olsun. Almost kompleks yapı J nin Nijenhuis tensörü s s ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ s Eş. 3.8 den ∀ ⎜ X , ∑ fα , Y , ⎟ ⎜ ∑ gα ⎟ ∈ χ ( M , IR ) için ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ s s s s ⎛⎛ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎞ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎞ 2 ⎛ N J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fα , Y , g = J X , f , Y , ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∑ α ⎟⎟ ⎜ ∑ α ⎟ ⎜ ∑ gα ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ 40 s s ⎛ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎞ + ⎜⎜ J ⎜ X , ∑ fα ⎟ , J ⎜ Y , ∑ gα ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ s ⎛ ⎛ ∂ − J ⎜⎜ J ⎜ X , ∑ fα ⎝ ⎝ α =1 ∂tα s ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎞ , Y , ⎟ ⎜ ∑ gα ⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ s s ⎛⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎞ , J Y , − J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fα ⎟ ⎜ ∑ gα ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ dir. 3.7. Tanım ( M × IR , J ) bir almost kompleks manifold olsun. M × IR s s üzerinde [,] : χ ( M × IR s ) × χ ( M × IR s ) → χ ( M × IR s ) s s s s ⎛⎛ ⎡⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎞ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎤ X , f , Y , g X , f , Y , → ⎜⎜ ⎜ ∑ α ⎢⎜ ∑ α ⎟ ⎜ ∑ fα ⎟⎥ ⎟ ⎜ ∑ α ⎟ ⎟⎟ ⎣⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦ ⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ olmak üzere s s s ⎡⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎤ ⎛ ∂ ⎞ ⎢ ⎜ X , ∑ fα ⎟ , ⎜ Y , ∑ fα ⎟ ⎥ = ⎜ [ X , Y ] , ∑ ( X ( gα ) − Y ( f α ) ) ⎟ ∂tα ⎠ α =1 ⎣⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦ ⎝ şeklinde tanımlanan operatöre braklet operatörü denir. 3.9. Lemma: Eş. 3.14 ile tanımlı [,] operatör ( i ) Anti-simetriktir, (3.14) 41 ( ii ) Jacobi özdeşliğini sağlar. İspat ⎛ s ⎝ α =1 ( i ) ∀ ⎜ X , ∑ fα s ⎡⎛ ∂ X , ⎢ ⎜ ∑ fα ⎣⎝ α =1 ∂tα s ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ s ⎟ , ⎜ Y , ∑ gα ⎟ ∈ χ ( M × IR ) için ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ s s ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞⎤ ⎛ = , Y , g X , Y , X ( gα ) − Y ( f α ) ) [ ] ( ⎟ ⎟ ⎜ ∑ α ⎟⎥ ⎜ ∑ ∂tα ⎠ α =1 ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦ ⎝ s ⎛ ⎞ = − ⎜ [Y , X ] , ∑ (Y ( fα ) − X ( gα ) ) ⎟ α =1 ⎝ ⎠ s s ⎡⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎤ = − ⎢ ⎜ Y , ∑ gα ⎟ , ⎜ X , ∑ fα ⎟⎥ ⎣⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦ elde edilir. Böylece [,] öperatörü s ⎛ ∂ ∀ = ii A X , ( ) ⎜ ∑ fα ⎝ α =1 ∂tα s s ⎞ ⎛ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞ s = = , B Y , g , C Z , ⎟ ⎜ ∑ α ⎟ ⎜ ∑ hα ⎟ ∈ χ ( M × IR ) için ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ s ⎡⎛ ∂ ⎡⎣ A, [ B, C ]⎤⎦ = ⎢⎜ X , ∑ fα ⎢⎣⎝ α =1 ∂tα s s ⎞ ⎡⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎤ ⎤ , Y , g , Z , ⎟ ⎢⎜ ∑ α ⎟ ⎜ ∑ hα ⎟⎥ ⎥ ⎠ ⎣⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦ ⎥⎦ s ⎛ ∂ ⎞ = ⎜ ⎡⎣ X , [Y , Z ]⎤⎦ , ∑ ( XY ( hα ) − XZ ( gα ) − [Y , Z ] ( fα ) ) ⎟ ∂tα ⎠ α =1 ⎝ s s s ⎡⎛ ∂ ⎞ ⎡⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎤ ⎤ ⎡⎣ B, [C , A]⎤⎦ = ⎢⎜ Y , ∑ gα ⎟ , ⎢⎜ Z , ∑ hα ⎟ , ⎜ X , ∑ fα ⎟⎥ ⎥ ⎣⎢⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎣⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦ ⎦⎥ s ⎛ ∂ ⎞ = ⎜ ⎡⎣Y , [ Z , X ]⎤⎦ , ∑ (YZ ( fα ) − YX ( hα ) − [ Z , X ] ( gα ) ) ⎟ ∂tα ⎠ α =1 ⎝ 42 s s s ⎡⎛ ∂ ⎞ ⎡⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎤ ⎤ ⎡⎣C , [ A, B ]⎤⎦ = ⎢⎜ Z , ∑ hα ⎟ , ⎢ ⎜ X , ∑ fα ⎟ , ⎜ Y , ∑ gα ⎟⎥ ⎥ ⎣⎢⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎣⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦ ⎦⎥ s ⎛ ∂ ⎞ = ⎜ ⎡⎣ Z , [ X , Y ]⎤⎦ , ∑ ( ZX ( gα ) − ZY ( fα ) − [ X , Y ] ( hα ) ) ⎟ ∂tα ⎠ α =1 ⎝ burada [ X , Y ] = XY − YX eşitliğini göz önüne alınır ve K= ⎡⎣ A, [ B, C ]⎤⎦ + ⎡⎣ B, [C , A]⎤⎦ + ⎡⎣C , [ A, B ]⎤⎦ denilirse s ⎧ K = ⎨ ⎣⎡ X , [Y , Z ]⎦⎤ + ⎣⎡Y , [ Z , X ]⎦⎤ + ⎣⎡ Z , [ X , Y ]⎦⎤ , ∑ ([ X , Y ] ( hα ) − [ X , Y ] ( hα ) α =1 ⎩ + [Y , Z ] ( fα ) − [Y , Z ] ( fα ) + [ Z , X ] ( gα ) − [ Z , X ] ( gα ) ) ∂ ⎫ ⎬ ∂tα ⎭ =0 olduğundan Jacobi özdeşliği sağlanır. 3.8.Tanım Lemma 3.9. ile tanımladığımız operatöre Lie braketi denir. 3.10. Lemma ( M × IR , J ) bir almost kompleks manifold ve J almost kompleks yapının Nijenhuis s torsiyon tensörü N J olmak üzere 43 ⎧ ∂ ⎫ N J ( ( X , 0,..., 0 ) , (Y , 0,..., 0 ) ) = ⎨ N 1 ( X , Y ) , N 2 ( X , Y ) ⎬ ∂tα ⎭ ⎩ ve ⎛ ⎛ ⎞⎞ ∂ N J ⎜⎜ ( X , 0,..., 0 ) , ⎜ 0, 0,...0, , 0..., 0 ⎟ ⎟⎟ = ( N 3 ( X ) , N 4 ( X ) ) ∂tα ⎝ ⎠⎠ ⎝ dir. İspat N J ( ( X , 0,..., 0 )(Y , 0,..., 0 ) ) = J 2 ⎡⎣( X , 0,..., 0 ) , (Y , 0,..., 0 ) ⎤⎦ + ⎡⎣ J ( X , 0,..., 0 ) , J (Y , 0,..., 0 ) ⎤⎦ − ⎡⎣ J ( X , 0,..., 0 ) , (Y , 0,..., 0 ) ⎤⎦ − ⎡⎣( X , 0,..., 0 ) , J (Y , 0,..., 0 ) ⎤⎦ s ⎡⎛ ∂ = − ⎡⎣( X , 0,..., 0 ) , (Y , 0,..., 0 ) ⎤⎦ + ⎢⎜ φ ( X ) , ∑η α ( X ) ∂tα α =1 ⎣⎝ s ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎤ , φ Y , η α (Y ) ( ) ⎟ ⎜ ⎟⎥ ∑ ∂tα ⎠ ⎦ α =1 ⎠ ⎝ s s ⎡⎛ ⎤ ⎡ ⎛ ∂ ⎞ ∂ α − J ⎢ ⎜ φ ( X ) , ∑η α ( X ) ⎟ , (Y , 0,..., 0 ) ⎥ − J ⎢( X , 0,..., 0 ) , ⎜ φ (Y ) , ∑η (Y ) ∂tα ∂tα ⎠ α =1 α =1 ⎝ ⎣ ⎣⎝ ⎦ s ∂ ⎞ = − ([ X , Y ] , 0 ) + ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ , ∑ (φ ( X )η α (Y ) − φ (Y )η α ( X ) ) ⎟ ∂tα ⎠ α =1 ( s s ⎛ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞ α − J ⎜ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ , −∑ Yη α ( X ) ⎟ − J ⎜ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ , ∑ Xη (Y ) ⎟ ∂tα ⎠ ∂tα ⎠ α =1 α =1 ⎝ ⎝ s ∂ ⎞ = − ([ X , Y ] , 0 ) + ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ , ∑ (φ ( X )η α (Y ) − φ (Y )η α ( X ) ) ⎟ ∂tα ⎠ α =1 ( ( ( ( ( ) ) ) ⎞⎟⎠ ( ( ( ) ) ) ⎞⎟⎠ s − φ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ + ∑ (Yη α ( X ) ξα ) , η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ ( α =1 s − φ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ −∑ ( Xη α (Y ) ξα ) , η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ α =1 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ 44 = {( − [ X , Y ] + ⎡⎣φ ( X ) ,φ (Y )⎤⎦ − φ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ − φ ⎡⎣ X ,φ (Y )⎤⎦ s ⎞ ⎛ s + ∑ ( Xη α (Y ) − Yη α ( X ) )ξα ⎟ , ⎜ ∑ (φ ( X )η α (Y ) − φ (Y )η α ( X ) α =1 ⎠ ⎝ α =1 ∂ ⎫ −η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ − η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ ⎬ ∂tα ⎭ ( ) )) ( elde edilir. Burada ilk kısma N 1 denilirse ( N 1 ( X , Y ) = − [ X , Y ] + ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ − φ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ − φ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ s ⎞ + ∑ ( Xη α (Y ) − Yη α ( X ) )ξα ⎟ α =1 ⎠ s olur bu eşitliğinin sağına η α ([ X , Y ])ξα ∑ α eklenip çıkarılırsa =1 s ⎛ N 1 ( X , Y ) = ⎜ − [ X , Y ] + ∑η α ([ X , Y ]) ξα + ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ − φ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ α =1 ⎝ s ⎞ −φ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ + ∑ Xη α (Y ) − Yη α ( X ) − η α ([ X , Y ]) ξα ⎟ α =1 ⎠ ( ) ( = φ 2 [ X , Y ] + ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ − φ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ −φ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ ⎞ + ∑ Xη α (Y ) − Yη α ( X ) − η α ([ X , Y ]) ξα ⎟ α =1 ⎠ s ( ) elde edilir. Ayrıca 2dη α s ( X , Y ) = ∑ ( Xη α (Y ) − Yη α ( X ) − η α ([ X , Y ]) )ξα α =1 eşitliği Eş. 3.8 ve Eş. 3.15’ den (3.15) 45 s N 1 ( X , Y ) = Nφ ( X , Y ) + 2∑ dη α ( X , Y ) ξα (3.16) α =1 elde edilir. Ayrıca ikinci tarafa ⎧ s N 2 ( X , Y ) = ⎨ ∑ ( φ ( X ) η α ( Y ) − φ ( Y )η α ( X ) , ⎩ α =1 s ⎞ ∂ ⎫ −∑η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ −η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ ⎟ ⎬ α =1 ⎠ ∂tα ⎭ ( ) ( ) diyelim. Lie türev özelliklerinden (L ( { ) } η α (Y ) = φ ( X )η α (Y ) − η α ( ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ ) φ X) ( L ( )η ) ( X ) = {φ (Y )η α φ Y α ( X ) − η α ( ⎡⎣φ (Y ) , X ⎤⎦ )} dir. Bu eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa (L ( ) ( η α (Y ) - Lφ (Y )η α φ X) ) ( X ) = {φ ( X )η α (Y ) − φ (Y )η α ( X ) − η α ( ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ ) ( −η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ )} olup ( N 2 ( X , Y ) = Lφ ( X )η α elde edilir. ) (Y ) - ( L ( )η ) ( X ) α φ Y (3.17) 46 ( ii ) ⎛ ⎛ ⎞⎞ ∂ N J ⎜⎜ ( X , 0,..., 0 ) , ⎜ 0, 0,...0, , 0..., 0 ⎟ ⎟⎟ ∂tα ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ∂ , 0..., 0 ⎟ ⎟⎟ = J 2 ⎜⎜ ( X , 0,..., 0 ) ⎜ 0, 0,...0, ∂tα ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ∂ , 0..., 0 ⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ J ( X , 0,..., 0 ) , J ⎜ 0, 0,...0, ∂tα ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞⎞ ∂ ∂ , 0..., 0 ⎟ ⎟⎟ − J ⎜⎜ ( X , 0,..., 0 ) , J ⎜ 0, 0,...0, , 0..., 0 ⎟ ⎟⎟ − J ⎜⎜ J ( X , 0,..., 0 ) , ⎜ 0, 0,...0, ∂tα ∂tα ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ s ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎡⎛ ∂ ∂ , 0..., 0 ⎟ ⎟⎟ + ⎢⎜ φ ( X ) , ∑η α ( X ) = − ⎜⎜ ( X , 0,..., 0 ) ⎜ 0, 0,...0, ∂tα ∂tα α =1 ⎝ ⎠ ⎠ ⎣⎝ ⎝ s ⎡⎛ ∂ − J ⎡⎣( X , 0,..., 0 ) , ( −ξα , 0,..., 0 ) ⎤⎦ − ⎢⎜ φ ( X ) , ∑η α ( X ) ∂tα α =1 ⎣⎝ ⎤ ⎞ ⎟ , (ξα , 0,..., 0 ) ⎥ ⎠ ⎦ ⎤ ⎞ ⎟ , ( 0, 0,..., 0, ξα , 0,..., 0 ) ⎥ ⎠ ⎦ s s ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ α = − ⎜ ⎡⎣φ ( X ) , ξα ⎤⎦ , ∑η α (ξα ) ⎟ + ⎜ φ [ X , ξα ] , ∑η ([ X , ξα ]) ⎟ ∂tα ⎠ ⎝ ∂tα ⎠ α =1 α =1 ⎝ s ⎧ ∂ ⎫ = ⎨ − ⎡⎣φ ( X ) , ξα ⎤⎦ + φ [ X , ξα ] + ∑ η α ( X ) ξα + η α ([ X , ξα ]) ⎬ ∂tα ⎭ α =1 ⎩ ( ( ) ) bu eşitliğin ilk kısma N 3 , ikinci kısma N 4 denilirse N 3 ( X ) = ⎡⎣ξα , φ ( X ) ⎤⎦ − φ [ξα , X ] N4 (X ) = (3.17) ∂ s η α ( X ) ξα + η α ([ X , ξα ]) ) ( ∑ ∂t α =1 (3.18) α olur. Ayrıca ( L φ ) ( X ) = ⎡⎣ξ , φ ( X )⎤⎦ − φ [ξ ξα (L α ξα η ) ( X ) = α s α ,X] ∂ η α ( X ) ξα + η α ([ X , ξα ]) ) ( ∑ ∂t α =1 α 47 ( N 3 ( X ) = Lξα φ ( )( X ) N 4 ( X ) = Lξα η α )( X ) elde edilir. 3.9.Tanım ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir çatılandırılan metrik manifold ve φ nin Nijenhuis tensör alanı Nφ olsun. ( M × IR s , J ) almost kompleks manifoldun Nijenhuis tensör alanı N J = 0 ise ( M , φ , ξα ,η α , g ) ye normaldir denir (Yano ve Kon, 1984). 3.1.Teorem ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir çatılandırılan metrik manifold olsun. Bu yapının normal olabilmesi için gerek ve yeter koşul N 1 , N 2 , N 3 ve N 4 tensörlerinin sıfır olmasıdır. İspat (⇒ ) : s s ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ s , Y , ∀ ⎜ X , ∑ fα ⎟ ⎜ ∑ gα ⎟ ∈ χ ( M × IR ) için ∂ ∂ t t α =1 α ⎠ ⎝ α ⎠ ⎝ α =1 s s ⎛⎛ ⎛ ⎛ s ⎛ s ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎞ ∂ ⎞ ∂ ⎞⎞ N J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fα ⎟ , ⎜ Y , ∑ gα ⎟ ⎟⎟ = N J ⎜⎜ ( X , 0 ) + ⎜ 0, ∑ fα ⎟ , (Y , 0 ) + ⎜ 0, ∑ gα ⎟ ⎟⎟ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ ⎝ eşitliğinde J nin lineerliğini, N J nin bilineer ve anti-simetrik oluşu kullanılırsa 48 s s ⎛⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎞ N J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fα ⎟ , ⎜ Y , ∑ gα ⎟ ⎟⎟ = N J ⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ s s ⎛⎛ ∂ + ∑ fα gα N J ⎜⎜ ⎜ 0, α =1 ⎝ ⎝ ∂tα ⎞ ⎛ ∂ ⎟ , ⎜ 0, ⎠ ⎝ ∂tα J α =1 s ⎛ ⎛ ∂ −∑ gα N J ⎜⎜ (Y , 0 ) , ⎜ 0, α =1 ⎝ ∂tα ⎝ ⎛⎛ ∂ elde edilir. N J ⎜⎜ ⎜ 0, ⎝ ⎝ ∂tα ⎛ ⎛ α ⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ ∂ ⎜⎜ ( X , 0 ) , ⎜ 0, ⎝ ∂tα ⎝ ⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ ( ( X , 0 ) , (Y , 0 ) ) + ∑ fα N ⎜⎜ ( X , 0 ) , ⎜ 0, ∂∂t ⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ ⎞ ⎛ ∂ ⎟ , ⎜ 0, ⎠ ⎝ ∂tα ⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ ⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ = 0 olduğundan ⎠⎠ s s s ⎛⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎞ N X , 0 , Y , 0 fα N J + ( ) ( ) N J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fα , Y , g = ( ) j ⎟ ⎜ ∑ α ⎟ ⎟⎟ α =1 ⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ ∑ s ⎛ ⎛ ∂ −∑ gα N J ⎜⎜ (Y , 0 ) , ⎜ 0, α =1 ⎝ ∂tα ⎝ = (( N ( X ,Y ) , N 1 s + ∑ gα α =1 s + ∑ fα α =1 2 ⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ ( X ,Y ))) (( N 3 ( X ) , N 4 ( X ))) (( N 3 (Y ) , N 4 (Y ) ) ) s s ⎛ = ⎜ N 1 ( X , Y ) + ∑ gα N 3 ( X ) − ∑ fα N 3 (Y ) α =1 α =1 ⎝ s s ⎞ , N 2 ( X , Y ) + ∑ gα N 4 ( X ) − ∑ f α N 4 ( Y ) ⎟ α =1 α =1 ⎠ N J = 0 ise s s α =1 α =1 N 1 ( X , Y ) + ∑ gα N 3 ( X ) − ∑ fα N 3 (Y ) = 0 ve (3.19) 49 s s α =1 α =1 N 2 ( X , Y ) + ∑ gα N 4 ( X ) − ∑ fα N 4 (Y ) = 0 (3.20) elde edilir. Eş. 3.8’ den Nφ nin ve Eş. 3.15’ den dη α nin anti-simetrik olduğu görülür. Böylece Eş. 3.16’ dan N J de anti-simetrik olur. Eş. 3.2.19 eşitliği ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için sağlanır. Eş. 3.13’ de X = Y alınırsa s N 1 ( X , X ) = ∑ ( fα − gα )N 3 ( X ) α =1 ( fα ≠ gα ) (3.21) elde edilir. N 1 anti-simetrik olduğundan N 1 ( X , X ) = 0 olur. Dolayısıyla s ( fα − gα )N ( X ) = 0 ∑ α 3 =1 olup fα ≠ gα olduğundan N 3 ( X ) = 0 olur. N 2 nin anti-simetrik olduğu Eş. 3.17’ den görülür. Aynı şekilde Eş.3.2.9 eşitliği ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için sağlanır. Eş. 3.20’ de X = Y alırsak s N 2 ( X , X ) = ∑ ( fα − gα )N 4 ( X ) ; α =1 ( fα ≠ gα ) (3.22) elde edilir. N 2 anti-simetrik olduğunda N 2 ( X , X ) = 0 olur. Dolayısıyla Eş.3.22.’ den s ( f α − gα ) N ( X ) = 0 ∑ α =1 4 50 olup fα ≠ gα olduğundan N 4 ( X ) = 0 olur. N 3 ( X ) = 0 ve N 4 ( X ) = 0 eşitlikleri ∀X ∈ Γ (TM ) için doğru olduğundan Eş. 3.20 ve Eş. 3.21 eşitliklerini kullanırsak N 1 ( X , Y ) = 0 ve N 2 ( X , Y ) = 0 elde edilir. Burada ispat yapılırken fα ≠ gα kabul edilmişti. fα = gα için Eş.3.20’de Y = − X yazılırsa ve N 1 ( X , X ) = 0 olduğunu kullanırsak s s α =1 α =1 − N 1 ( X , X ) + ∑ fα N 3 ( X ) + ∑ fα N 3 ( X ) = 0 s 2 ∑ fα N 3 ( X ) = 0 α =1 olup fα ≠ 0 olduğundan N 3 ( X ) = 0 elde edilir. Aynı işlemler Eş. 3.21 de yapılırsa N 4 ( X ) = 0 elde edilir. Benzer şekilde Eş.3.20 ve Eş. 3.21’ den N 1 ( X , Y ) = 0 ve N 2 ( X , Y ) = 0 olduğu görülür. ( ⇐) : Tersine kabul edelim ki N 1 ( X , Y ) = N 2 ( X , Y ) = N 3 ( X ) = N 4 ( X ) = 0 olsun s ⎛⎛ ∂ N J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fα ⎝ ⎝ α =1 ∂tα s s s ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎞ ⎛ 1 3 = + − N X , Y g N X fα N 3 ( Y ) ( ) ( ) , Y , g α ⎟ ⎜ ∑ α ⎟ ⎟⎟ ⎜ α =1 α =1 ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ ⎝ ∑ ∑ s s ⎞ , N 2 ( X , Y ) + ∑ gα N 4 ( X ) − ∑ f α N 4 ( Y ) ⎟ α =1 α =1 ⎠ = ( 0, 0 ) s ⎛ ∂ elde edilir. Bu ∀ ⎜ X , ∑ fα ⎝ α =1 ∂tα s ⎞ ⎛ ∂ ⎞ s , Y , ⎟ ⎜ ∑ gα ⎟ ∈ χ ( M , IR ) için sağlandığından ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ 51 N J = 0 dır. Dolayısıyla ( 2n + s ) -boyutlu (φ , ξ α ,η α , g ) çatılandırılan metrik yapısıyla verilen M manifoldu normaldir. 3.2. Teorem ( 2n + s ) -boyutlu M manifoldu (φ , ξα ,η α , g ) çatılandırılan metrik yapısıyla verilsin. Eğer N 1 = 0 ise N 2 = N 3 = N 4 = 0 İspat s ⎛ ⎞ N 1 = 0 ise N 1 ⎜ X , ∑ ξα ⎟ = 0 dır. Eş. 2.8, Eş. 3.15 ve Eş. 3.16 den ⎝ α =1 ⎠ s s s ⎛ ⎞ ⎡ s ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ N 1 ⎜ X , ∑ ξα ⎟ = ⎢ ∑ ξα , X ⎥ + ⎢φ ( X ) , ∑ φ (ξα ) ⎥ − φ ⎢φ ( X ) , ∑ ξα ⎥ α =1 α =1 ⎝ α =1 ⎠ ⎣ α =1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ s ⎡ ⎤ s −φ ⎢ X , ∑ φ (ξα ) ⎥ + ∑ X (η α (ξα ) ) − ξα (η α ( X ) ) ξα ⎣ α =1 ⎦ α =1 ( ) (3.23) olup ⎡ s ⎤ ⎡ s ⎤ s 0 = ⎢ ∑ ξα , X ⎥ + φ ⎢ ∑ ξα , φ ( X ) ⎥ − ∑ ξα (η α ( X ) ) ξα ⎣ α =1 ⎦ ⎣ α =1 ⎦ α =1 ( ) dır. Buradan s s s s s ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Nφ ⎜ X , ∑ ξα ⎟ = φ 2 ⎢ X , ∑ ξα ⎥ + ⎢φ ( X ) , ∑ φ (ξα ) ⎥ − φ ⎢φ ( X ) , ∑ ξα ⎥ − φ ⎢ X , ∑ φ (ξα ) ⎥ α =1 α =1 ⎝ α =1 ⎠ ⎣ α =1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ α =1 ⎦ s s ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = φ 2 ⎢ X , ∑ ξα ⎥ − φ ⎢φ ( X ) , ∑ ξα ⎥ α =1 ⎣ α =1 ⎦ ⎣ ⎦ 52 s ⎛⎡ ⎡ s ⎤ s ⎤⎞ ⎡ s ⎤ = ⎢ ∑ ξα , X ⎥ + ∑η α ⎜ ⎢ X , ∑ ξα ⎥ ⎟ + ⎢ ∑ ξα , φ ( X ) ⎥ ⎣ α =1 ⎦ α =1 ⎝ ⎣ α =1 ⎦ ⎠ ⎣ α =1 ⎦ bulunur. s s s ⎧ s ⎛⎡ ⎛ ⎞ ⎞⎞ s ⎤ ⎞ ⎪⎫ ⎪ ⎛ ⎛ s 2∑ dη α ⎜ X , ∑ ξα ⎟ξα = ∑ ⎨ X ⎜η α ⎜ ∑ ξα ⎟ ⎟ − ∑ ξα (η α ( X ) ) − η α ⎜ ⎢ X , ∑ ξα ⎥ ⎟ ⎬ α =1 α =1 ⎩ ⎝ α =1 ⎠ ⎪ ⎝ ⎝ α =1 ⎠ ⎠ α =1 ⎝ ⎣ α =1 ⎦ ⎠ ⎭⎪ s ⎧ s ⎛⎡ ⎤ ⎞ ⎪⎫ ⎪ s = ∑ ⎨−∑ ξα (η α ( X ) ) − η α ⎜ ⎢ X , ∑ ξα ⎥ ⎟ ⎬ α =1 ⎩ ⎪ α =1 ⎝ ⎣ α =1 ⎦ ⎠ ⎭⎪ ifadesinden s s s s ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ N 1 ⎜ X , ∑ ξα ⎟ = Nφ ⎜ X , ∑ ξα ⎟ + 2∑ dη α ⎜ X , ∑ ξα ⎟ξα ⎝ α =1 ⎠ ⎝ α =1 ⎠ α =1 ⎝ α =1 ⎠ s { } = ∑ [ξα , X ] + φ ⎡⎣ξα , φ ( X ) ⎤⎦ − ξη α ( X ) α =1 elde edilir. Son eşitlikte her iki tarafın η α altında görüntüsü alınırsa η α ([ξα , X ]) + η α (φ ⎡⎣ξα , φ ( X ) ⎤⎦ ) − η α (ξαη α ( X ) )} = 0 { ∑ α s =1 η α ([ξα , X ]) − η α (ξα )η α ( X ) = 0 (L ξα ηα ) ( X ) = N 4 ( X ) = 0 elde edilir. Eş. 3.23’ de X yerine φ ( X ) alınırsa s s s ⎛ ⎞ ⎡ s ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ N 1 ⎜ φ ( X ) , ∑ ξα ⎟ = ⎢ ∑ ξα , φ ( X ) ⎥ + ⎢φ 2 ( X ) , ∑ φ (ξα ) ⎥ − φ ⎢φ 2 ( X ) , ∑ ξα ⎥ α =1 α =1 α =1 ⎝ ⎠ ⎣ α =1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( )) s ⎡ ⎤ s −φ ⎢φ ( X ) , ∑ φ (ξα ) ⎥ + ∑ φ ( X ) (η α (ξα ) ) − ξα η α (φ ( X ) ) ξα α =1 ⎣ ⎦ α =1 ( 53 s s ⎡ s ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ∑ ξα , φ ( X ) ⎥ − φ ⎢ − X + ∑η α ( X ) ξα , ∑ ξα ⎥ α =1 α =1 ⎣ α =1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ s ⎤ ⎡ s ⎤ = ⎢ ∑ ξα , φ ( X ) ⎥ − φ ⎢ ∑ ξα , X ⎥ ⎣ α =1 ⎦ ⎣ α =1 ⎦ ( = Lξα φ )( X ) (L φ )( X ) = N ( X ) = 0 3 ξα olur. N 1 = 0 dan N 1 (φ ( X ) , Y ) = 0 dır. Böylece N 1 (φ ( X ) , Y ) = φ 2 ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ + ⎡⎣φ 2 ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ − φ ⎡⎣φ 2 ( X ) , Y ⎤⎦ − φ ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ s { ) } ( + ∑ φ ( X )η α (Y ) ξα − Yη α (φ ( X ) ) ξα − η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ ξα α =1 s s α =1 α =1 0 = − ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ + ⎡⎣ − X , φ (Y ) ⎤⎦ + ∑η α ( X ) ⎡⎣ξα , φ (Y ) ⎤⎦ − φ [ − X , Y ] − ∑η α ( X ) φ [ξα , Y ] s −φ ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ + ∑ φ ( X )η α (Y ) ξα α =1 bulunur. Her iki tarafın η α altında görüntüsü alınırsa ( ) ( ) 0 = −η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ − η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ + φ ( X )η α (Y ) − φ (Y )η α ( X ) ( = Lφ ( X )η α ) (Y ) − ( L ( )η ) ( X ) α φ Y elde edilir. Dolayısıyla N 2 ( X , Y ) = 0 dir. 3.3.Teorem ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir çatılandırılan metrik manifold olsun. ∇, M nin Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için 54 2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = 3d Φ ( X , φ (Y ) , φ ( Z ) ) − 3d Φ ( X , Y , Z ) + g ( N 1 (Y , Z ) , φ ( X ) ) s { + ∑ N 2 (Y , Z )η α ( X ) + 2dη α (φ (Y ) , X )η α ( X ) α =1 } −2dη α (φ ( Z ) , X )η α (Y ) (3.24) İspat 2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = 2 g ( ∇ X φ ( Y ) , Z ) − 2 g (φ ( ∇ X Y ) , Z ) = 2 g ( ∇ X φ (Y ) , Z ) + 2 g ( ( ∇ X Y ) , φ ( Z ) ) Koszul formülü kullanılırsa ( 2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = Xg (φ (Y ) , Z ) + φ (Y ) g ( X , Z ) − Zg ( X , φ (Y ) ) + g ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ ( ) ) + g ([ Z , X ] , φ (Y ) ) − g ⎡⎣φ (Y ) , Z ⎤⎦ , X + Xg (Y , φ ( Z ) ) +Yg ( X , φ ( Z ) ) − φ ( Z ) g ( X , Y ) + g ([ X , Y ] , φ ( Z ) ) ( ) ( + g ⎡⎣φ ( Z ) , X ⎤⎦ , Y − g ⎡⎣Y , φ ( Z ) ⎤⎦ , X ) s ⎛ ⎞ = − X Φ (Y , Z ) + φY ⎜ Φ (φ ( Z ) , X ) + ∑η α ( Z )η α ( X ) ⎟ − Z Φ ( X , Y ) α =1 ⎝ ⎠ ( ) s ( − g ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ , φ ( Z ) + ∑η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ η α (φ ( Z ) ) α =1 ( ) s ) ( +Φ ([ Z , X ] , Y ) + − g φ ⎡⎣φ (Y ) , Z ⎤⎦ + ∑η α ( X )η α ⎡⎣ Z , φ (Y ) ⎤⎦ α =1 { + X Φ (φ ( Y ) , φ ( Z ) ) − Y Φ ( Z , X ) − φ ( Z ) Φ ( φ ( Y ) , X ) s ⎫ + ∑η α ( X )η α (Y ) ⎬ + Φ ([ X , Y ] , Z ) − Φ ⎡⎣φ ( Z ) X ⎤⎦ , φ (Y ) α =1 ⎭ ( s ( ) ( + ∑η α ⎡⎣φ ( Z ) , X ⎤⎦ η α (Y ) − g φ ⎡⎣Y , φ ( Z ) ⎤⎦ , φ ( X ) α =1 ) ) ) 55 s ( ) + ∑η α ( X )η α ⎡⎣φ ( Z ) , Y ⎤⎦ + Φ ([Y , Z ] , X ) − g ([Y , Z ] , φ ( X ) ) α =1 ( + g ( 2dη ) ( ,φ ( X )) −Φ ⎡⎣φ (Y ) , φ ( Z ) , X ⎤⎦ + g ⎡⎣φ (Y ) , φ ( Z ) ⎤⎦ , φ ( X ) α (Y , Z ) ξα ) = ⎡⎣ X Φ (φ (Y ) , φ ( Z ) ) + φ (Y ) Φ (φ ( Z ) , X ) + φ ( Z ) Φ ( X , φ (Y ) ) ( ) ( ) ( −Φ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ , φ ( Z ) − Φ ⎡⎣φ ( Z ) , X ⎤⎦ φ (Y ) ) −Φ ⎡⎣φ (Y ) , φ ( Z ) ⎤⎦ , X ⎤ − { X Φ (Y , Z ) + Y Φ ( Z , X ) + Z Φ ( X , Y ) ⎦ } −Φ ([ X , Y ] , Z ) − Φ ([ Z , X ] , Y ) − Φ ([Y , Z ] , X ) + g ( − [Y , Z ] s −φ ⎡⎣φ (Y ) , Z ⎤⎦ + ⎡⎣φ (Y ) , φ ( Z ) ⎤⎦ − φ ⎡⎣Y , φ ( Z ) ⎤⎦ + 2∑ dη α (Y , Z ) α =1 s ⎞ + ∑η α ([Y , Z ]) ξα , φ ( X ) ⎟ α =1 ⎠ bulunur. Buradan 2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = 3d Φ ( X , φ (Y ) , φ ( Z ) ) − 3d Φ ( X , Y , Z ) + g ( N 1 (Y , Z ) , φ ( X ) ) s s α =1 α =1 + ∑η α ( X )N 2 (Y , Z ) + 2∑ dη α (φ (Y ) , X )η α ( Z ) s −2∑ dη α (φ ( Z ) , X )η α (Y ) α =1 elde edilmiş olur. 3.3. Almost S-Manifoldlar 3.10.Tanım ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir çatılandırılan metrik manifold olsun. Eğer ∀α ∈ {1,..., s} için 56 dη α = Φ ise M ye almost S-manifold denir. Sonuç ( 2n + s ) -boyutlu bir almost S-manifold M olsun. s = 1 ise M bir almost kontakt manifoltdur. 3.11.Lemma ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir almost S-manifold ve X ∈ Γ ( D ) olsun. O halde, ∀α ∈ {1,..., s} için [ X , ξα ] ∈ Γ ( D ) dir. İspat ∀α , β ∈ {1,..., s} ve X ∈ Γ ( D ) için η β ([ X , ξα ]) = −2dη β ( X , ξα ) + X (η β (ξα ) ) − ξα (η β ( X ) ) = −2Φg ( X , ξα ) + X (δαβ ) − ξα (η β ( X ) ) =0 dir. O halde [ X , ξα ] ∈ Γ ( D ) dir. 3.12. Lemma Almost S-manifoldlarda ∀α ∈ {1,..., s} ve ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için (i ) N 2 ve N 4 tensör alanları sıfırdır, ( ii ) N 3 =0 ⇔ ξα lar Killing vektör alanıdır. 57 İspat (i ) N 2 nin tanımından N 2 ( X , Y ) = 2dη α (φ ( X ) , Y ) − 2dη α (φ (Y ) , X ) = 2Φ (φ ( X ) , Y ) − 2Φ (φ (Y ) , X ) = 2 g ( φ ( X ) , φ ( Y ) ) − 2 g (φ ( Y ) , φ ( X ) ) =0 bulunur. ∀α ∈ {1,..., s} için Lξα η α = ( d D iξα + iξα D d ) (η β ) olur. Burada = diξαη β + iξα dη β . Lξα η α (3.25) Bu nedenle N 4 = 0 dır. ( ii ) Lξα Φ = Lξα dη β = d D iξα D dη β + iξα D d 2η β = 0 Buradan, ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için ( 0 = Lξα Φ ( ) ( X ,Y ) ) = ξα g ( X , φ (Y ) ) − g ([ξα , X ] , φ ( X ) ) − g ( X , φ [ξα , Y ]) ( ) ( X , φ (Y ) ) + g ( L φ (Y ) , X ) ( ) ( X , φ (Y ) ) + g ( N (Y ) , X ) = Lξα g = Lξα g ξα 3 bulunur. Bu eşitlikten ispat açıktır. 58 Sonuç Almost S-manifoldlarda ∀α ∈ {1,..., s} ve ∀X , Y ∈ Γ ( D ) için η α ( ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ ) = η α ( ⎡⎣φ (Y ) , X ⎤⎦ ) dır. İspat ∀X , Y ∈ Γ ( D ) için N 2 = 0 olduğundan ( 0 = N 2 ( X , Y ) = Lφ ( X )η α ) (Y ) − ( L ( )η ) ( X ) α φ Y ( ) ( = φ ( X ) (η α (Y ) ) − η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ − φ (Y ) (η α ( X ) ) + η α ⎡⎣φ (Y ) , X ⎤⎦ ( ) ( = −η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ + η α ⎡⎣φ (Y ) , X ⎤⎦ ) olur, dη α (φ ( X ) , Y ) + dη α ( X , φ (Y ) ) = 0 olduğundan η α ( ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ ) = η α ( ⎡⎣φ (Y ) , X ⎤⎦ ) dir. 3.1.Önerme Almost S-manifoldlarda ∀α ∈ {1,..., s} ve ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için (i ) 2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = g ( N 1 (Y , Z ) , φ ( X ) ) + 2 g (φ ( X ) , φ (Y ) )η α ( Z ) ) 59 − 2 g ( φ ( X ) , φ ( Z ) )η α ( Y ) , ( ii ) ∇ξα φ = 0 , ( iii ) ∇ξα ξ β = 0 . dır. İspat ( i ) Eş. 3.24 ve Lemma 3.12’ den ispat kolayca yapılır. ( ii ) ( i ) de (( ) X = ξα koyarsak ) 2 g ∇ξα φ Y , Z = g ( N 1 (Y , Z ) , φ (ξα ) ) + 2 g (φ (ξα ) , φ (Y ) )η α ( Z ) −2 g (φ (ξα ) , φ ( Z ) )η α (Y ) =0 elde edilir. Buradan ∇ξα φ = 0 dir. ( iii ) ( ii ) ( den Y = ξ β koyarsak ) ( ) ( 0 = ∇ξα φ ξ β = ∇ξα φ (ξ β ) − φ ∇ξα ξ β = − φ ∇ξα ξ β bulunur. Buradan ) 60 ∇ξα ξ β ∈ D ⊥ böylece ∀α ∈ {1,..., s} için ( ) η α ⎣⎡ξα , ξ β ⎦⎤ = −2dη γ (ξα , ξ β ) = −2Φ (ξα , ξ β ) = 0 ⎡⎣ξα , ξ β ⎤⎦ = 0 olur. Ancak , g (ξα , ξ β ) = δαβ = sbt olduğundan ( ( + g ( ⎡⎣ξ , ξ ) ) ( ) ( ) ( 2 g ∇ξα ξ β , ξγ = ξα g (ξ β , ξγ ) + ξ β g (ξγ , ξα ) − ξγ g (ξα , ξ β ) − g ⎡⎣ξ β , ξγ ⎤⎦ , ξα γ α ) ( ⎤⎦ , ξ β g ⎡⎣ξα , ξ β ⎤⎦ , ξγ ) ) =0 elde edilir. Buradan ∇ξα ξ β ∈ D olacağından ∇ξα ξ β = 0 dır. 3.11.Tanım ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir almost S-manifold olsun. ∀α ∈ {1,..., s} ve ∀X ∈ Γ (TM ) için, hα tensör alanı hα : Γ (TM ) → Γ (TM ) X → hα ( X ) = 1 1 Lξα φ ( X ) = N 3 ( X ) 2 2 ile tanımlıdır. 3.13. Lemma ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir almost S-manifold olsun. M de ∀α ∈ {1,..., s} için aşağıdakiler sağlanır. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) ve 61 ( i ) φ ( N ( X , Y ) + N (φ ( X ) , Y ) ) = 2η α (Y ) hα (Y ) ( ii ) ( ) g N (φ ( X ) , Y ) , ξα = 0 3.2.Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir almost S-manifold olsun. ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) ve ∀α ∈ {1,..., s} için , hα tensör alanı olmak üzere ∇ X ξα = −φ ( X ) − φ ( hα ( X ) ) dir. İspat Lemma 3.13. de X = ξα konulursa, ∀Y , Z ∈ Γ (TM ) için ( g ( N (ξα , Y ) , φ ( Z ) ) = − g φ ( N (ξα , Z ) ) , Y ) s = −2∑η α (ξα )g ( hγ ( Z ) , Y ) γ =1 = −2 g ( hα ( Z ) , Y ) dır. Önerme 3.1.’ den g ( N (ξα , Z ) , φ (Y ) ) = 2 g ( ( ∇Y φ ) ξα , Z ) − 2 g (φ (ξα ) , φ (Y ) )η α ( Z ) +2 g (φ ( Z ) , φ (Y ) )η α (ξα ) s = −2 g (φ ( ∇Y ξα ) , Z ) + 2 g ( Z , Y ) − 2∑η γ ( Z )η γ (Y ) γ =1 bulunur. Böylece 62 s g (φ ( ∇Y ξα ) , Z ) = g ( hα ( Z ) , Y ) + g ( Z , Y ) − ∑η γ ( Z )η γ (Y ) γ =1 s = g ( hα (Y ) , Z ) + g (Y , Z ) − ∑η γ (Y )η γ ( Z ) γ =1 elde edilir. Buradan s φ ( ∇Y ξα ) = hα (Y ) + Y − ∑η γ (Y ) ξγ γ =1 olur. Eşitliğin her iki tarafınının φ altında görüntüsü alınısa s φ 2 ( ∇Y ξα ) = φ ( hα (Y ) ) + φ (Y ) − ∑η γ (Y ) φ (ξγ ) γ =1 bulunur. φ 2 nin değeri yerine yazılırsa ∇Y ξα = −φ ( hα (Y ) ) − φ (Y ) elde edilir. Burada s η β ( ∇ ξα ) ξ β = 0 ∑ β Y =1 dır. Gerçekten; 2η β ( ∇Y ξα ) = 2 g ( ∇Y ξα , ξ β ) ( ) ( ) ( = Y g (ξα , ξ β ) + ξα g (ξ β , Y ) − ξ β ( g (Y , ξα ) ) − g Y , ⎡⎣ξα , ξ β ⎤⎦ ( ) − g ξα , ⎡⎣Y , ξ β ⎤⎦ + g (ξ β , [Y , ξα ]) ( ) = ξα (η β (Y ) ) − ξ β (η α (Y ) ) − η α ⎡⎣Y , ξ β ⎤⎦ + η β ([Y , ξα ]) = dη β (ξα , Y ) + dη α (Y , ξ β ) =0 dır. ) 63 3.3. Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir almost S-manifold olsun. M üzerinde ∀α ∈ {1,..., s} için, hα tensör alanı aşağıdakileri sağlar (i ) hα simetrik tensör alanıdır, ( ii ) hα (ξ β ) = 0 , ( iii ) hα , φ ile anti-değişimlidir. İspat ( i ) Önerme 3.1. den ∇ξ φ = 0 α (( ) ) ( = g (∇ dır. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için g Lξα φ X , Y = g ⎡⎣ξα , φ ( X ) ⎤⎦ − φ [ξα , X ] , Y ξα (( ) φ ( X ) − ∇φ ( X )ξα − φ ( ∇ξα X ) + φ ( ∇ X ξα ) , Y ) = g ∇ξα φ X − ∇φ ( X )ξα + φ ( ∇ X ξα ) , Y (( ) = g − ∇φ ( X )ξα + φ ( ∇ X ξα ) , Y ) ) ) Burada ∀α ∈ {1,..., s} için X = ξ β ya da Y = ξ β konulduğunda sonuç özdeş sıfır olacaktır. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için, Sonuç yardımı ile (( ) ) (( ) ) g Lξα φ X , Y = − g ∇φ ( X )ξα , Y − g ( ( ∇ X ξα ) , φ (Y ) ) ) ( ( ) ( = −ξα g (φ ( X ) , Y ) + g ξα , ∇φ ( X )Y − ξα g ( X , φ (Y ) ) + g (ξα , ∇ X φ (Y ) ) ( ) = η α ∇φ ( X )Y + η α ( ∇ X φ (Y ) ) ( ) ( = η α ( ∇Y φ ( X ) ) + η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ + η α ∇φ (Y ) X ) ) 64 ( +η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ ) ( = η α ( ∇ Y φ ( X ) ) + η α ∇φ ( Y ) X (( ) = g Lξα φ Y , X ) ) bulunur. Buradan hα , simetrik operatördür. ( 1 1 Lξα φ (ξ β ) = Lξα φ (ξ β ) − φ Lξα ξ β 2 2 ( ) ( ( ii ) hα (ξ β ) = ( iii ) 2 g ( X , φ (Y ) ) = 2Φ ( X , Y ) = 2dη α ( X , Y ) )) = 0 = g ( ∇ X ξα , Y ) − g ( ∇Y ξα , X ) ( ) ( = g −φ ( X ) − φ ( hα ( X ) ) , Y − g −φ (Y ) − φ ( hα (Y ) ) , X ( ) ) = g ( X , φ (Y ) ) + g −φ ( hα ( X ) ) , Y + g ( X , φ (Y ) ) ( + g Y , −hα (φ ( X ) ) ) dır. O halde; ( ) ( ) g −φ ( hα ( X ) ) , Y + g − hα (φ ( X ) ) , Y = 0 dır. ∀Y ∈ Γ (TM ) için sağlandığından ve g non-dejenere olduğundan φ ( hα ( X ) ) + hα (φ ( X ) ) = 0 φ D hα + hα D φ = 0 dır. 3.4.Önerme: ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir almost S-manifold olsun. M de ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için 65 ( ∇ X φ ) Y + ( ∇φ ( X )φ ) φ (Y ) = 2 g (φ ( X ) , φ (Y ) ) ξα + ∑η α (Y )φ 2 ( X ) − ∑η γ (Y ) hγ ( X ) s s α =1 γ =1 dir. İspat ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) ve ∀γ , α ∈ {1,..., s} için (( ) ( ) 2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) + g ∇φ ( X )φ φ (Y ) , Z = 2 g ( Z , −η γ (Y ) hγ ( X ) ) + 2 g ( X , Y ) ξα −2η γ ( X )η γ (Y ) ξγ − η α (Y ) X −η γ ( X )η γ (Y ) ξγ ) dır. O halde; ( ) s ( ∇ X φ ) Y + ∇φ ( X )φ φ (Y ) = −∑η γ (Y ) hγ ( X ) + 2 g ( X , Y ) ξγ − 2η γ ( X )η γ (Y ) ξγ γ =1 s −∑η α (Y ) ( X − η α ( X ) ξα ) α =1 s s α =1 γ =1 = 2 g (φ ( X ) , φ (Y ) ) + ∑η α (Y ) φ 2 ( X ) − ∑η γ (Y ) hγ (Y ) dir. Sonuç Önerme 3.4.’ ün ışığında ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için ( i ) ( ∇ X φ ) Y + ( ∇φ ( X )φ ) φ (Y ) = 2∑ g ( X , Y )ξα s α =1 ( ii ) ( ∇ X φ ) φ (Y ) = ( ∇φ ( X )φ ) Z ( iii ) Eğer s = 1 alınırsa 66 ( ∇ X φ ) Y + ( ∇φ ( X )φ ) φ (Y ) = 2 g ( X , Y ) ξ − η (Y ) ( X + h ( X ) + η ( X ) ξ ) dir. İspat ( i ) Önerme 3.4.’ den kolayca görülür. ( ii ) ( i ) de Y = φ ( X ) alınırsa ( ∇ X φ ) (φ ( X ) ) + ( ∇φ ( X )φ ) (φ 2 ( X ) ) = 2∑ g ( X , φ ( X ) ) ξα s α =1 burada φ 2 ( X ) = − X olduğundan ( ∇ X φ ) (φ ( X ) ) = ( ∇φ ( X )φ ) ( X ) dir. ( iii ) s = 1 alınırsa Önerme 3.4.’ den kolayca görülür. =0 67 4.S-MANİFOLDLAR 4.1.S-Manifold 4.1.Tanım ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir çatılandırılan metrik manifold ve Φ bir temel 2-form olsun. Eğer M normal, ξ1 ,..., ξ s vektör alanları birer Killing vektör alanı ve Φ , 2-formu kapalıysa, yani dΦ = 0 ise M normal çatılandırılan metrik manifold ya da Kmanifold olarak adlandırılır. 4.2.Tanım ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir K-manifold olsun. ∀α ∈ {1,..., s} için ξα nın duail η α olmak üzere η 1 ∧ ... ∧ η s ∧ ( dη α ) ≠ 0 olduğunda K-manifolduna yönlendirilebilirdir denir n [Terlizzi ve Pastore, 2002]. 4.3.Tanım ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir K-manifold olsun. Eğer Φ ( X , Y ) = dη α ( X , Y ) oluyorsa ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) ye S-manifold denir [Terlizzi ve Pastore, 2002]. 4.1.Örnek E 2n + s , ( x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., yn , z1 , z2 ,..., zs ) Öklid uzay olsun. kartezyen koordinatlarına sahip bir 68 ξα = 2 ∂ , α = 1, 2,..., s ∂zα 1⎛ n ⎞ i =1 ⎠ η α = ⎜ dzα − ∑ yi dxi ⎟ , 2 ⎝ n φ X = ∑Y i i =1 n ∂ ∂ ⎛ n i i ⎞⎛ s ∂ −∑ Xi + ∑Y y ⎟ ⎜ ∑ ∂xi i =1 ∂yi ⎜⎝ i =1 ⎠ ⎝ α =1 ∂zα s g = ∑η α ⊗ η α + α =1 ⎞ ⎟, ⎠ 1 n ∑ ( dxi ⊗ dxi + dyi ⊗ dyi ) 4 i =1 olarak alınırsa η 1 ∧ ... ∧ η s ∧ Φ n ≠ 0 ve s dη 1 = ... = dη s = ∑ dxα ∧ dyα α =1 dır. Böylece üzerindeki (φ , ξα ,η α , g ) yapısıyla birlikte E 2n + s bir S-manifold olur. n ⎛ ∂ ∂ ⎞ s α ∂ Burada X = ∑ ⎜ X i dır. +Yi ⎟+∑Z ∂xi ∂yi ⎠ α =1 ∂zα i =1 ⎝ 4.1.Lemma ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir S-manifold olsun. ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) üzerinde ∇ , Levi-Civita konneksiyonu, φ , f-yapı, ξα , 1 ≤ α ≤ s , vektör alanları olmak üzere ∀X ∈ Γ (TM ) için ∇ X ξα = −φ X (4.1) 69 dir. İspat ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için ( 0 = Lξα g ) ( X , Y ) = ξ g ( X , Y ) − g ([ξ α α ( , X ] , Y ) − g ( X , [ξα , Y ]) ) ( ) ( ) = g ∇ξα X , Y + g X , ∇ξα Y − g ∇ξα X , Y + g ( ∇ X ξα , Y ) ( ) − g X , ∇ξα Y + g ( X , ∇Y ξα ) = g ( ∇ X ξα , Y ) + g ( X , ∇Y ξα ) dır. Buradan; g ( ∇ X ξα , Y ) = − g ( X , ∇Y ξα ) (4.2) olduğundan g anti-simetriktir. II. temel formun ve S-manifoldun tanımından; Φ ( X , Y ) = g ( X , φ (Y ) ) = dη α ( X , Y ) = − g (φ ( X ) , Y ) dir. 2dη α ( X , Y ) = X η α (Y ) − Yη α ( X ) − η α ([ X , Y ]) = Xg (Y , ξα ) − Yg ( X , ξα ) − g ([ X , Y ] , ξα ) = g (Y , ∇ X ξα ) − g ( X , ∇Y ξα ) Eş. 4.2 ve Eş. 4.3’ den (4.3) 70 2dη α ( X , Y ) = 2 g ( ∇ X ξα , Y ) ⇒ dη α ( X , Y ) = g ( ∇ X ξα , Y ) = − g (φ ( X ) , Y ) dir. ∀Y ∈ Γ (TM ) için g non dejenere olduğundan ∇ X ξα = −φ ( X ) olur. 4.1. Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir S-manifold olsun. ( M , φ , ξα ,η α , g ) üzerinde , ∇ , Levi-Civita konneksiyonu, φ , f-yapı, ξα , 1 ≤ α ≤ s , vektör alanları ve ξα ların dual 1-formları η α olmak üzere ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için, s ( ∇ X φ ) Y = ∑ ( g (φ X , φY ) ξα + η α (Y ) φ 2 ( X ) ) (4.4) α =1 dir. İspat Teorem 3.3.’ de dφ = 0 ve N 1 = N 2 = 0 olduğu yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılırsa; s g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = ∑ {dη α (φ X , Y )η α ( Z ) − dη α (φ Z , X )η α (Y )} α =1 s = ∑ {Φ (φ X , Y )η α ( Z ) − Φ (φ Z , X )η α (Y )} α =1 s = ∑ { g (φ X , ΦY )η α ( Z ) − g (φ Z , ΦX )η α (Y )} α =1 s { } = ∑ g ( g (φ X , ΦY ) ξα − φ 2 ( X )η α (Y ) , Z ) α =1 bulunur. ∀Z ∈ Γ (TM ) için g non dejenere olduğundan; 71 s ( ∇ X φ ) Y = ∑ ( g (φ X , φY ) ξα + η α (Y ) φ 2 ( X ) ) α =1 dir. 4.1. Teorem ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir S-manifold olsun. ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) üzerinde , ∇ , Riemann konneksiyonu, φ , f-yapı, ξα , 1 ≤ α ≤ s , vektör alanları ve ξα ların dual 1-formları η α ve Φ II. temel form olmak üzere ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için s ⎛⎛ ⎞ ⎞ 2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = g ⎜ ⎜ [φ , φ ] + 2∑ ξα ⊗ dη α ⎟ (Y , Z ) , φ X ⎟ α =1 ⎠ ⎝⎝ ⎠ s +2∑ {Φ (φY , X )η α ( Z ) − Φ (φ Z , X )η α (Y )} (4.5) α =1 İspat Önerme 3.1.’ den ispat kolayca yapılır. 4.2. Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir S-manifold olsun. L , M üzerinde Lie türevi olmak üzere, ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için, (L φX dir. η α ) (Y ) = ( LφY X ) ( X ) (4.6) 72 İspat (L φX η α ) (Y ) = φ X η α (Y ) − η α ([φ X , Y ]) = φ Xg (Y , ξα ) − g ([φ X , Y ] , ξα ) = g ( ∇φ X Y , ξα ) + g (Y , ∇φ X ξα ) − g ( ∇φ X Y , ξα ) + g ( ∇Y φ X , ξα ) = g (Y , ∇φ X ξα ) + g ( ∇Y φ X , ξα ) (*) bulunur. Diğer taraftan 2dη α (φ X , Y ) = φ X η α (Y ) − Yη α (φ X ) − g ([φ X , Y ] , ξα ) = g ( ∇φ X Y , ξα ) + g (Y , ∇φ X ξα ) − g ( ∇Y φ X , ξα ) − g (φ X , ∇Y ξα ) − g ( ∇φ X Y , ξα ) + g ( ∇Y φ X , ξα ) = g (Y , ∇φ X ξα ) − g (φ X , ∇Y ξα ) = g (Y , ∇φ X ξα ) + g ( ∇Y φ X , ξα ) olur. (*) ve (**) dan (L η α ) (Y ) = 2dη α (φ X , Y ) = 2Φ (φ X , Y ) (L η α ) ( X ) = 2dη α (φY , X ) = 2Φ (φY , X ) φX φY olduğu görülür. Buradan, (L φX dir. η α ) (Y ) = ( LφYη α ) ( X ) (**) 73 4.3.Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir S-manifold olsun. α ∈ {1,.., s} için hα tensör alanı aşağıdaki eşitlikleri sağlar; (i ) hα , simetrik tensör alanıdır, ( ii ) hα ξ β = 0, β ∈ {1,..., s} . İspat ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için, hα : Γ (TM ) → Γ (TM ) X → hα ( X ) = 1 Lξ φ 2 α ( ) ( X ) = 12 ( L φ ( X ) − φ L X ) ξα ξα dir. ( i ) hα ( X ) = 1 Lξ φ ( X ) − φ Lξα X 2 α ( ) ( = 1 ∇ξα φ X − ∇φ X ξα − φ ∇ξα X − φ ( ∇ X ξα ) 2 = 1 ∇ξα φ X + φ 2 ( X ) − φ∇ξα X − φ 2 ( X ) 2 = 1 ∇ξα φ X − φ∇ξα X 2 ( ) ( ( ) 1 g ∇ξα φ X − φ∇ξα X , Y 2 ( ) (*) dir. Buradan g ( hα ( X ) , Y ) = ) ) 74 = { 1 g ( ∇ξα φ X , Y ) − g −φ∇ξα X , Y 2 ( )} olur. Burada ∀α {1,..., s} için X = ξ β ya da Y = ξ β konulduğunda özdeş sıfır olacaktır. η α ([φ X , Y ]) + η α ([ X , φY ]) = g ( ∇φ X Y , ξα ) − g ( ∇Y φ X , ξα ) + g ( ∇ X φY , ξα ) − g ( ∇φY X , ξα ) = g ( ∇φ X ξα , Y ) − g ( ∇Y ξα , φ X ) + g ( ∇ X ξα , φY ) − g ( ∇φY ξα , X ) = − g (φ 2 X , Y ) + g (φY , φ X ) − g (φ X , φY ) + g (φ 2Y , X ) =0 (*) da X ve Y ξα ya dik ise; (L φX η α ) (Y ) = ( LφYη α ) ( X ) (4.7) dir. g ( hα ( X ) , Y ) = (( 1 g Lξα φ X , Y 2 ) {( ) = 1 g ∇ξα φ X , Y − g φ∇ξα X , Y 2 = 1 α η ( ∇φ X Y ) + η α ( ∇ X φ Y ) 2 = 1 α η ( ∇ Y φ X ) + η α ( ∇φ Y X ) 2 = 1 g Lξα φ Y , X 2 ) ( { } { } (( ) = g ( hα (Y ) , X ) ) )} 75 olup hα simetriktir. ( ii ) hα ξ β = 1 Lξ φ ξ β 2 α ( ) 1 Lξ φξ β − φ Lξα ξ β 2 α ( = ) =0 dir. 4.4.Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir S-manifold olsun. O halde ∀X ∈ Γ (TM ) ve ∀α ∈ {, 2,..., s} için (i ) s ∇ X ξα − ∑η β ( ∇ X ξα ) ξ β = −φ hα ( X ) − φ ( X ) ( ii ) (4.8) β =1 hα ( X ) = { 1 φ ( ∇ X ξα ) − ∇φ ( X )ξα 2 } (4.9) dir. İspat Önerme 4.2.’ den ∀X , Z ∈ Γ (TM ) ve ∀α ∈ {, 2,..., s} için (( ) ) 2 g ( ( ∇ X φ ) ξα , Z ) = − g φ Lξα φ Z , φ ( X ) − 2 g (φ ( X ) , φ ( Z ) ) (( ) ) s = − g Lξα φ ( Z ) , X − 2 g ( X , Z ) + 2∑η β ( X )η β ( Z ) β =1 76 dir. hα simetrik olduğundan (( ) ) s 2 g ( ( ∇ X φ ) ξα , Z ) = − g Lξα φ X , Z − 2 g ( X , Z ) + 2∑η β ( X ) g (ξ β , Z ) β =1 olur. ∀Z ∈ Γ (TM ) için g non-dejenere olduğundan; ( s ) 2 ( ∇ X φ (ξα ) − φ∇ X ξα ) = − Lξα φ X − 2 X + 2∑η β ( X ) ξ β β =1 −2φ ( ∇ X ξα ) = −2hα ( X ) + 2φ 2 ( X ) −φ ( ∇ X ξα ) = −hα ( X ) + φ 2 ( X ) bulunur. Her iki tarafa φ uygulanırsa −φ 2 ( ∇ X ξα ) = −φ ( hα ( X ) ) + φ 3 ( X ) s ∇ X ξα − ∑η β ( ∇ X ξα )ξ β = −φ ( hα ( X ) ) − φ ( X ) β =1 dır. Gerçektende; (( ) ) (( ) ) (( ) ) ) ) s g φ Lξα φ Z , φ ( X ) = g Lξα φ Z , X − ∑η β β =1 (( L φ ) ( Z ) )η ξα s β (X ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ( ) = g Lξα φ Z , X − ∑η β ( X ) η β Lξα φ ( Z ) − η β φ Lξα Z (( β =1 s = g Lξα φ Z , X − ∑η β ( X ) η β ∇ξα φ ( Z ) − η β ∇φ ( Z )ξα ( β =1 ) −η β φ∇ξα Z + η β (φ∇ Z ξα ) (( ) ) ) s = g Lξα φ Z , X − ∑η β ( X ) η β ∇ξα φ ( Z ) − η β (φ 2 ( Z ) ) ( β =1 ) −η β φ∇ξα Z + η β (φ 2 ( Z ) ) (( ) ) s ) ( ( ) = g Lξα φ Z , X − ∑η β ( X ) η β ∇ξα φ ( Z ) +η β (φ 2 ( Z ) ) β =1 ) 77 (( ) ) ( ( s = g Lξα φ Z , X − ∑η β ( X ) − g ∇ξα ξ β , φ ( Z ) ( + g φ∇ξα ξ β , Z (( ) = g Lξα φ Z , X β =1 ) )) ) dir. ( ii ) 1 Lξ φ 2 α ( ) ( X ) = 12 ( L ξα φ ( X ) − φ ( Lξα X ) ) ( = 1 ∇ξα φ ( X ) − ∇φ ( X )ξα − φ∇ξα X + φ∇ X ξα 2 = 1 ∇ξα φ ( X ) − φ 2 ( X ) − φ∇ξα X + φ 2 ( X ) 2 = 1 ∇ξα φ ( X ) − φ∇ξα X 2 ( ( ) ) ) dir. 4.2.Teorem ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir S-manifold olsun. Bu durumda α ∈ {1, 2,..., s} için ξα vektör alanı bir Killing vektör alanıdır ⇔ hα = 0 İspat Lξα Φ = diξα Φ + iξα d Φ = 0 ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için; ( L Φ ) ( X ,Y ) = ξ Φ ( X ,Y ) − Φ ( L ξα α ξα ) ( X , Y − Φ X , Lξα Y ) 78 ( ) ( = ξα Φ ( X , Y ) − dη α Lξα X , Y − dη α X , Lξα Y ( ) ( ( ) ( ) ( = ξα Φ ( X , Y ) − g Lξα X , φ (Y ) − g X , φ Lξα Y )) ) ( ( ) ) = ξα Φ ( X , Y ) − g Lξα φ (Y ) , X − g X , Lξα φ (Y ) + g X , Lξα φ Y ( ( ) ) = ξα Φ ( X , Y ) + g X , Lξα φ Y (4.10) ⇒ ξα bir Killing vektör alanı olsun. Yani Lξα g = 0 olduğundan ( ( ) ) ( g X , Lξα φ Y = Lξα Φ ) ( X ,Y ) = 0 dir. ∀X ∈ Γ (TM ) için g non-dejenere olduğundan Lξα φ = 1 hα = 0 ⇒ hα = 0 2 bulunur. ⇐ Karşıt olarak hα = 0 ise ∀β ∈ {1, 2,..., s} için Eş. 4.1.11 den; ( L g ) ( X , φ (Y ) ) = ( L Φ ) ( X , Y ) = 0 ξα ξα olur. ( Lξα g ) s ⎛ ⎞ 2 = Φ − + X , φ Y L X , Y η β (Y ) ξ β ⎟ = 0 ( ( ) ) ξα ⎜ ∑ β =1 ⎝ ⎠ ( ) ( 0 = − Lξα g s ) ( X , Y ) + ∑η β (Y ) ( Lξ η β ) ( X ) β =1 α 79 s ( L g ) ( X , Y ) = ∑η ( Y ) ( L ξα β β =1 ξα ηβ )( X ) =0 dır. Gerçektende; (L ξα η β ) = ( d D iξ α + iξ α D d ) (η β ) ( ) = d iξα η β + iξ α ( dη β ) = d (η β (ξα ) ) + 2dη β (ξα , Y ) ) ( ( ( = −2 g ( Y , ∇ ξ ) = 2 g ∇ξα ξ β , Y + g ξα , ∇ξα Y ξβ )) α =0 dır. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için Lξα g = 0 olduğundan ξα bir Killing vektör alanıdır. 4.5.Önerme: M 2n+ s bir K-manifold olsun. O halde M üzerinde ∀X , Y ∈ Γ (TM ) ve ∀α , β ∈ {1, 2,..., s} için (i ) ℜ ( X , ξα ) Y = ∇ X ∇Y ξα − ∇ ∇ X Y ξα (4.11) ( ii ) ℜ (ξα , X , ξ β , Y ) = − g ( ∇ X ξ β , ∇Y ξα ) (4.12) ( iii ) K (ξα , X ) = ∇ X ξα (4.13) ( iv ) ℜ (ξα , φ ( X ) , ξ β , φ (Y ) ) = ℜ (ξα , X , ξ β , Y ) dir. 2 (4.14) 80 İspat ( i ) ξα bir Killing vektör alanı olduğundan; Lξα ∇ X Y − ∇ X Lξα Y = ∇ Lξ X Y α [ξα , ∇ X Y ] − ∇ X [ξα , Y ] = ∇[ξ , X ]Y α ∇ξα ∇ X Y − ∇∇ X Y ξα − ∇ X ∇ξα Y + ∇ X ∇Y ξα = ∇[ξα , X ]Y [ξα , X ]Y − ∇[ξ , X ]Y = −∇ X ∇Y ξα + ∇∇ Y ξα α X dır. Teorem 2.8. ve Teorem 2.2’ den; R ( X , ξα ) Y = ∇ X ∇Y ξα − ∇ ∇ X Y ξα olur. ( ii ) Teorem 2.2. ve ( i ) ’ den ℜ (ξα , X , ξ β , Y ) = g ( ℜ (ξα , X ) ξ β , Y ) ( = g ℜ (ξ β , Y ) ξα , X ) ( = − g ℜ (ξ β , Y ) X , ξα ( = g ℜ (Y , ξ β ) X , ξα ( ) ) ) = − g ∇∇Y X ξ β , ξα + g ( ∇Y ∇ X ξ β , ξα ) ( ) = g ∇ξα ξ β , ∇Y X + g ( ∇Y ∇ X ξ β , ξα ) dır. ξα Killing vektör alanı olduğundan; ℜ (ξα , X , ξ β , Y ) = g ( ∇Y ∇ X ξ β , ξα ) 81 = − g ( ∇Y ξα , ∇ X ξ β ) = − g ( ∇ X ξ β , ∇ Y ξα ) dir. ( iii ) ( i ) ’ den; K (ξα , X ) = ℜ (ξα , X , X , ξα ) = g ( ℜ (ξα , X ) X , ξα ) = − g ( ℜ (ξα , X ) ξα , X ) = − g (ξα , X , ξα , X ) = g ( ∇ X ξα , ∇ X ξα ) = ∇ X ξα 2 dir. ( iv ) ( ℜ (ξα , φ ( X ) , ξ β , φ (Y ) ) = g ℜ (ξα , φ ( X ) ) ξ β , φ (Y ) s ) = g ( ℜ (ξα , X ) ξ β , Y ) − ∑η γ ( ℜ (ξα , X ) ξ β )η γ (Y ) γ =1 = g ( ℜ (ξα , X ) ξ β , Y ) = ℜ (ξα , X , ξ β , Y ) dir. Gerçektende; ( η γ ( R (ξα , X ) ξ β ) = η γ ∇ξα ∇ X ξ β − ∇ ∇ξα X ξ β ) ( ( ) = g ∇ξα ∇ X ξ β , ξγ − g ∇ ∇ξ X ξ β , ξγ ( ) ( α ) = − g ∇ξα ξγ , ∇ X ξ β + g ∇ξγ ξ β , ∇ξα X ) 82 =0 4.5.Önerme (M 2n+ s , φ , ξα ,η α , g ) bir K-manifold olsun. ( M 2 n + s , φ , ξα ,η α , g ) bir S-manifold ise s ℜ ( X , Y ) ξα = ∑ {η α ( X ) φ 2 (Y ) − η α (Y ) φ 2 ( X )} (4.15) α =1 dır. İspat Eş. 4.1’ den; ℜ ( X , Y ) ξα = ∇ X ∇Y ξα − ∇Y ∇ X ξα − ∇[ X ,Y ]ξα = −∇ X φ (Y ) + ∇Y φ ( X ) + φ ([ X , Y ]) = − ( ∇ X φ ) Y − φ ( ∇ X Y ) + ( ∇Y φ ) X + φ ( ∇Y X ) + φ ( ∇ X Y ) − φ ( ∇Y X ) = − ( ∇ X φ ) Y + ( ∇Y φ ) X dir. Önerme 4.1.’ den s { ℜ ( X , Y ) ξα = ∑ g (φ (Y ) , φ ( X ) ) ξα + η α ( X ) φ 2 (Y ) − g (φ ( X ) , φ (Y ) ) ξα α =1 −η α (Y ) φ 2 ( X )} s = ∑ {η α ( X ) φ 2 (Y ) − η α (Y ) φ 2 ( X )} α =1 dir. Sonuç: (M 2n+ s , φ , ξα ,η α , g ) bir K-manifold olsun. ( M 2 n + s , φ , ξα ,η α , g ) bir S-manifold ise 83 ℜ ( X , ξα ) Y = − ( ∇ X φ ) Y (4.16) dir. İspat: g ( ℜ ( X , Y ) ξα , Z ) = g ( ℜ (ξα , Z ) X , Y ) g (η α ( X ) φ 2 (Y ) − φ 2 ( X )η α (Y ) , Z ) = g ( ℜ (ξα , Z ) X , Y ) η α ( X ) g (φ 2 (Y ) , Z ) − g (Y , ξα ) g (φ 2 ( X ) , Z ) = g ( ℜ (ξα , Z ) X , Y ) ( ) g g ( X , ξα ) φ 2 ( Z ) − g (φ 2 ( X ) , Z ) ξα , Y = g ( ℜ (ξα , Z ) X , Y ) η α ( X ) φ 2 ( Z ) − g (φ 2 ( X ) , Z ) ξα = ℜ (ξα , Z ) X elde edilir. 84 5.INDEFINTE ALMOST S-MANİFOLDLAR VE INDEFINITE S- MANİFOLDLAR 5.1.Indefinite Almost S-Manifold 5.1.Tanım ( 2n + s ) -boyutlu bir çatılandırılan manifold ( M , φ , ξα ,η α ) olsun. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) ve ∀α ∈ {1..., s} için s g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = g ( X , Y ) − ∑ ε αη α ( X )η α (Y ) (5.1) g ( X , ξα ) = ε αη α ( X ) (5.2) α =1 şartlarını sağlayan M üzerinde indeksi ν ( 0 < ν < 2n + s ) olan bir yarı-Riemann metriği g varsa ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) ’ ye indefinite metrik f-manifold (ya da çatılandırılan indefinite metrik manifold) denir. Burada ε α = ∓1 olup, her bir ξα ya spacelike ya da timelike vektör alanıdır. 5.1.Teorem ( 2n + s ) -boyutlu bir çatılandırılan manifold ( M ,φ , ξ α ,η α ) ve h1 M üzerinde yarı- Riemann metrik olsun. O halde M üzerinde Eş. 5.1 de tanımlanan ( 0, 2 ) tipinde simetrik tensör alanı g mevcuttur. İspat: İlk olarak ilk tane yarı-Riemann metrik tanımlayalım; 85 h1 = −ε α α h0 , α = h0 (ξα , ξα ) ve ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için s h ( X , Y ) = h1 (φ 2 ( X ) , φ 2 (Y ) ) + ∑ ε αη α ( X )η α (Y ) α =1 olarak tanımlansın. Burada; η α ( X ) = ε α h ( X , ξα ) ve h (ξα , ξα ) = ε α dır. O halde M de {ξ1 ,..., ξ s } dağılımı mevcuttur. {ξ1 ,..., ξ s } dağılımının tümleyen dağılımı D1 ile gösterilirse ∀X ∈ Γ ( D1 ) için s s ⎛ ⎞ s h ( X , X ) = h1 ⎜ − X + ∑η α ( X ) ξα , − X + ∑η α ( X ) ξα ⎟ + ∑ ε αη α ( X )η α ( X ) α =1 α =1 ⎝ ⎠ α =1 = h1 ( X , X ) dır. Burada h1 ( X , ξα ) = 0 ve h1 (ξα , ξα ) = −ε α dır. Böylece h, D’ de h1 ile aynı indeksli M üzerinde bir yarı-Riemann metrik g ( X ,Y ) = s 1⎧ ⎫ α α ⎨ h ( X , Y ) + h (φ ( X ) , φ (Y ) ) + ∑η ( X )η (Y ) ⎬ 2⎩ α =1 ⎭ ve g (φ ( X ) , φ ( Y ) ) = s s 1⎧ ⎛ ⎞⎫ α , , h φ X φ Y h X η X ξ Y η α ( Y ) ξα , ⎟ ⎬ + − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ⎨ ∑ ∑ α ⎜ 2⎩ α =1 α =1 ⎝ ⎠⎭ 86 s = g ( X , Y ) − ∑ ε αη α ( X )η α (Y ) α =1 dir. 5.1.Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir indefinite metrik f-manifold olsun. O halde ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için aşağıdaki eşitlik sağlanır 2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = 3d Φ ( X , φ (Y ) , φ ( Z ) ) − 3d Φ ( X , Y , Z ) + g ( N 1 (Y , Z ) , φ ( X ) ) s { + ∑ ε α N 2 (Y , Z )η α ( X ) + 2dη α (φ (Y ) , X )η α ( X ) α =1 } −2dη α (φ ( Z ) , X )η α (Y ) (5.3) İspat: İspat Teorem 3.3.’ den kolayca görülür. 5.2.Tanım ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir çatılandırılan indefinite metrik manifold olsun. M ’ nin temel formu Φ = dη α ise ( M , φ , ξα ,η α , g ) ye bir indefinite almost S-manifold denir. 5.2.Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir indefinite almost S-manifold olsun. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) ve ∀α ∈ {1,..., s} için 87 η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ = η α ⎡⎣φ (Y ) , X ⎤⎦ dir. İspat: Sonuç 3.3.’ den kolayca görülür. 5.3.Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) s bir indefinite almost S-manifold ve η = ∑ ε αη α α =1 ∀X , Y ∈ Γ (TM ) ve ∀α , β ∈ {1,..., s} için (i ) 2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = g ( N 1 (Y , Z ) , φ ( X ) ) + 2 g (φ (Y ) , φ ( X ) )η ( Z ) −2 g (φ ( Z ) , φ ( X ) )η (Y ) ( ii ) ∇ξα φ = 0 ( iii ) ∇ξα ξ β = 0 dir. İspat: Önerme 3.1.’ den kolayca görülür. 5.4.Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir indefinite almost S-manifold olsun. O halde; olsun. 88 (i ) ∀α ∈ {1,..., s} için hα = ( ii ) ∀α , β ∈ {1,..., s} ( iii ) ∀α ∈ {1,..., s} 1 Lξ φ simetriktir 2 α için hα (ξ β ) = 0 için hα φ + φ hα = 0 dir. İspat: Önerme 3.3.’ den kolayca görülür. 5.5.Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir indefinite almost S-manifold olsun. ∀X ∈ Γ (TM ) ve ∀α ∈ {1,..., s} için ∇ X ξα = −ε α φ ( X ) − φ ( hα ( X ) ) dir İspat: Önerme 3.2.’ den kolayca görülür. 5.6.Önerme s ( ) ( M , φ , ξα ,η α , g ) bir indefinite almost S-manifold, ξ = ∑ ξα ve η = g X , ξ olsun. α =1 ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için 89 ( ∇ X φ )(Y ) + ( ∇φ ( X )φ ) (φ (Y ) ) = 2 g (φ ( X ) , φ (Y ) ) ξ + η (Y ) φ 2 ( X ) −η ( X ) φ 2 (Y ) dir. İspat: Önerme 3.4.’ den kolayca görülür. Sonuç: ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir indefinite almost S-manifold olsun. O halde ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için ( i ) ( ∇ X φ )(Y ) + ( ∇φ ( X )φ ) (φ (Y ) ) = 2 g ( X , Y ) ξ ( ii ) ( ∇ X φ ) (φ ( X ) ) = ( ∇φ ( X )φ ) ( X ) s dir. Burada ξ = ∑ ξα dır. α =1 İspat: Sonuç 3.3.’ den kolayca görülür. 5.2.Indefinite S-Manifold 5.3.Tanım ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) indefinite almost S-manifoldu normal ise indefinite S-manifold denir. ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) ’ ye 90 5.6. Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir indefinite S-manifold olsun. O halde ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için s ( ∇ X φ ) Y = ∑ { g (φ ( x ) , φ (Y ) ) ξα + η α (Y ) φ 2 ( X )} (5.4) α =1 dir. İspat: Önerme 5.1.’ den kolayca görülür. 5.2.Sonuç: ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir indefinite S-manifold olsun. Bu durumda ∀α ∈ {1,..., s} için ∇ X ξα = −ε α φ ( X ) dir. İspat: Lemma 4.1.’ den kolayca görülür. 5.8. Önerme ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir indefinite S-manifold olsun. ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için (5.5) 91 s ( ∇ X Φ )(Y , Z ) = ∑ {η α (Y ) g (φ ( X ) , φ (Y ) ) − η α ( Z ) g (φ ( X ) , φ (Y ) )} (5.6) α =1 dir. İspat: Eş. 5.4.’ de ( ∇ X Φ )(Y , Z ) = g (Y , ( ∇ X φ ) Z ) kullanılarak Eş. 5.6 kolayca görülür. 92 6. ε α -ALMOST S-MANİFOLDLAR 6.1. ε α -Almost S-Manifold 6.1.Tanım ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) , ( 2n + s ) -boyutlu bir indefinite almost S-manifold olsun. ∀α ∈ {1,..., s} için ε α = g (ξα , ξα ) = ∓1 ise ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) ye bir ε α -almost S manifold denir. 6.1.Teorem ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) ε α -almost S-manifold olsun. Bu durumda ( i ) φ (ξα ) = 0 , ( ii ) η α φ = 0 , dir. İspat: s ( i ) φ 2 (ξα ) = −ξα + ∑η β (ξα ) ξα β =1 =0 bulunur. Buradan φ (ξα ) = −φ 3 (ξα ) = −φ (φ 2 (ξα ) ) = 0 elde edilir. ( iii ) rankφ = 2n 93 ( ii ) Eş. 3.1 ve Eş. 3.5’ den ∀V ∈ Γ (TM ) için φ 3 (V ) = −φ (V ) dir. Diğer taraftan Eş. 3.6’ dan ηα φ = 0 elde edilir. ( iii ) Eş. 3.5’ dan ∀α ∈ {1,..., s} için çekφ = Sp {ξ1 ,..., ξ s } dir. Buradan boyçekφ = s olur. Bu durumda rankφ = 2n dir. 6.2.Tanım ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) normal çatılandırılan metrik manifold olsun. ( M , φ , ξα ,η α , g ) bir ε α -almost S-manifold denir. 94 6.2.Teorem ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) ε α -almost S-manifold ve h1 M üzerinde yarı-Riemann metrik olsun. Bu durumda M üzerinde Eş. 5.1’ de tanımlanan ( 0, 2 ) tipinde g simetrik tensör alanı her zaman mevcuttur. İspat: 5.1. Teorem’ den kolayca görülür. 6.3.Tanım ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) ε α -almost S-manifold olsun. ( i ) ∀α ∈ {1,..., s} ( ii ) için ε α = +1 ve ν = 2r ise M ye spacelike almost S-manifold ∀α ∈ {1,..., s} için ε α = 1 ve ν = 2r + 1 ise M ye timelike almost S-manifold denir. 6.3.Teorem ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) f . pk -yapı bir ε α -S-manifolddur ⇔ s ( ∇ X φ ) Y = ∑ { g ( X , Y ) ξα − ε αη α (Y ) X }, α =1 ∀X , Y ∈ Γ (TM ) dir. Burada ∇ Levi-Civita konneksiyondur. Sonuç: ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) ε α -almost S-manifold olsun. O halde (6.1) 95 ∇ X ξα = −ε α φ ( X ) , ∀X ∈ Γ (TM ) (6.2) dir. İspat: Eş. 6.1’de Y = ξα konulursa Eş. 6.2 elde edilir. Sonuç ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) bir ε α -S manifold olsun. M üzerinde ∀α ∈ {1,..., s} için ξα karakteristik vektör alanları Killing vektör alanıdır. İspat: ( L Φ ) ( X , Y ) = ξ Φ ( X , Y ) − Φ ([ξ ξα α α , X ] , Y ) − Φ ( X , [ξα , Y ]) ( = ξα g ( X , φ (Y ) ) − g ([ξα , X ] , φ (Y ) ) − g X , φ ([ξα , Y ]) ( = Lξα g ) ( X , φ (Y ) ) dir. Burada Lξα φ = 0 dir. Fakat Lξα Φ = diξα Φ + iξα d Φ ( i Φ ) = Φ (ξ ξα α ,X)=0 dır. Diğer taraftan ( L g ) ( X ,η (Y ) ξ ) = ξ (η (Y )η ( X ) −η (Y )η ([ξ ξα β β α β β β β α , X ]) ) ) 96 ( ) −η β (Y ) g X , ⎡⎣ξα , ξ β ⎤⎦ −ξα (η β (Y )η β ( X ) ) ( = η β (Y )η β ( X ) − η β (Y )η β ([ξα , X ]) − η β (Y )η β ⎡⎣ξα , ξ β ⎤⎦ ) =0 burada Lξα η β = 0 ve Lξα ξ β = 0 dır. Böylece ( L g ) ⎛⎜⎝ X ,φ (Y ) + ∑η (Y ) ξ s ξα α =1 β β ⎞ ⎟=0 ⎠ dır. s φ + ∑η β ⊗ ξ β non-singular olduğundan Lξα g = 0 olarak bulunur. α =1 6.2. ε α -Almost S-Manifoldlar İçin Örnekler Örnek (Spacelike Almost S-Manifoldlar): IR 2 n + s üzerindeki koordinat sistemi ( xi , yi , zα ) = ( x1 ,..., xn , y1 ,..., yn , z1 ,..., zs ) olsun. r ≠ 0, r ≤ n, r ≠ s için özel halini incelenecektir. Burada; ⎧⎪−1, 0 ≤ i ≤ r ⎪⎩+1, ( r + 1) ≤ i ≤ n εi = ⎨ olmak üzere, ∀α ∈ {1, 2,..., s} için ε α = +1 dır. ηα = ε α ⎧⎪ r n r n ⎫⎪ 1 ⎧⎪ ⎫⎪ ⎨dzα − ∑ ε i yi dxi − ∑ ε i* yi* dxi* ⎬ = ⎨dzα + ∑ yi dxi − ∑ yi* dxi* ⎬ 2 ⎩⎪ i =1 i =1 i* = ( r +1) i* = ( r +1) ⎭⎪ 2 ⎩⎪ ⎭⎪ 97 1-formu göz önüne alınsın. Burada ξα = 2ε α η α (ξ β ) = r n ⎞ 1⎛ ⎜ dzα + ∑ yi dxi − ∑ yi* dxi* ⎟ ⎟ 2 ⎜⎝ i =1 i* = ( r +1) ⎠ ∂ ∂ =2 ∂zα ∂zα ⎛ ∂ ⎜⎜ 2 ⎝ ∂zβ için ⎞ ⎟⎟ = δαβ ⎠ olduğu görülür. Ayrıca φ endomorfizmine karşılık gelen matris ⎡ ⎢ ⎢ ⎢[ 0] ⎢ n× n φ ( X ) = ⎢ −In ⎢ ⎢ ⎢[ 0 ] ⎢ s× n ⎣⎢ In [0]n×n ⎡ε1 y1...ε s ys ys +1... yn ⎤ ⎢............................ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ε1 y1...ε s ys ys +1... yn ⎥⎦ s×n ⎤ ⎥ ⎥ [ 0]n×s ⎥⎥ [ 0]n×s ⎥ ⎥ ⎥ 0 [ ]s × s ⎥ ⎥ ⎦⎥ ( 2 n + s )×( 2 n + s ) ⎡ Xi ⎤ ⎢ X ⎥ ⎢ i* ⎥ ⎢ X n +i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ X n + i* ⎥ ⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦ ( 2 n + s )×1 dir. Buradan ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ −In ⎢ 2 φ (X ) = ⎢ [ 0]n×n ⎢ ⎢ ⎡ −ε1 y1... − ε s ys − ys +1... − yn ⎤ ⎥ ⎢ ⎢............................ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ... ... y y y y − − − − ε ε ⎢⎣ ⎣ 1 1 s s s +1 n ⎦ s× n ⎡ −In ⎢ φ ( X ) = ⎢[ 0]n×n ⎢[ 0 ] ⎣ s× n 2 [0]n×n −In [ 0 ]s × n ⎡ Xi ⎤ [ 0]n×s ⎤ ⎢⎢ X i* ⎥⎥ [ 0]n×s ⎥⎥ ⎢ X n+i ⎥ ⎢ ⎥ − I s ⎥⎦ ⎢ X n +i* ⎥ ⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦ [0]n×n −In [ 0 ]s × n ⎤ ⎥ ⎥ [ 0]n×s ⎥⎥ [ 0]n×s ⎥ ⎥ ⎥ [ 0 ]s × s ⎥ ⎥ ⎥⎦ ( 2 n + s )×( 2 n + s ) ⎡ Xi ⎤ ⎢ X ⎥ ⎢ i* ⎥ ⎢ X n +i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ X n + i* ⎥ ⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦ ( 2 n + s )×1 98 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ [0]n×n ⎢ +⎢ [0]n×n ⎢ ⎢ ⎡ −ε1 y1... − ε s ys − ys +1... − yn ⎤ ⎥ ⎢ ⎢............................ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ y y y y ... ... − − − − ε ε s s s +1 n ⎦ s×n ⎣⎢ ⎣ 1 1 [0]n×n [0]n×n [ 0 ]s × n ⎡ ⎤ [0]1×r ⎢ ⎥ [ 0]1×( n−r ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [0]1×r ⎡ Xi ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ X ⎥ ⎢ ⎥ 0 [ ] 1×( n − r ) ⎢ i* ⎥ ⎢ ⎥ n = − ⎢ X n +i ⎥ + ⎢ r ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −∑ ε i yi X i − ∑ yi* X i* + X 2 n +1 ⎥ X ⎢ n +i* ⎥ ⎢ i =1 i* = ( r +1) ⎥ ⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦ ⎢ ................................................... ⎥ ⎢ r ⎥ n ⎢ ⎥ ⎢ −∑ ε i yi X i − * ∑ yi* X i* + X 2 n + s ⎥ i = ( r +1) ⎣ i =1 ⎦ ⎡ ⎤ [ 0]1×r ⎥ ⎡ Xi ⎤ ⎢ [0]1×( n−r ) ⎥ ⎢ X ⎥ ⎢ * ⎢ ⎥ ⎢ i ⎥ 0]1×r [ ⎢ ⎥ = − ⎢ X n +i ⎥ + ⎢ ⎥ 0 [ ] ⎢ ⎥ 1×( n − r ) X ⎢ ⎥ * ⎢ n +i ⎥ r n ⎢ ⎥ ⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦ − ε y X − ⎢ ∑ i i i * ∑ yi* X i* + X 2 n +α ⎥ i =( r +1) ⎣ i =1 ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎡ Xi ⎤ [ 0]n×s ⎥⎥ ⎢⎢ X i* ⎥⎥ [ 0]n×s ⎥ ⎢ X n+i ⎥ ⎥ ⎥⎢ X ⎥ ⎢ n + i* ⎥ I s ⎥ ⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦ ⎥ ⎦⎥ 99 ⎡ Xi ⎤ ⎢ X ⎥ ⎢ i* ⎥ 1 ⎛ = − ⎢ X n +i ⎥ + ⎜ X 2 n +α ⎢ ⎥ 2 ⎜⎝ ⎢ X n + i* ⎥ ⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦ 1⎛ = − X + ⎜ X 2 n +α 2 ⎜⎝ ⎡[ 0]⎤ ⎢ ⎥ ⎢[ 0]⎥ ⎢[ 0]⎥ ⎢ ⎥ r n ⎞ ⎢[ 0]⎥ − ∑ ε i yi X i − ∑ yi* X i* ⎟ ⎟⎢ 2 ⎥ i =1 i* = ( r +1) ⎠⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎡[ 0]⎤ ⎢ ⎥ ⎢[ 0]⎥ ⎢[ 0]⎥ r n ⎞ ⎢⎢[ 0]⎥⎥ − ∑ ε i yi X i − ∑ ε i* yi* X i* ⎟ ⎟⎢2⎥ i =1 i* = ( r +1) ⎠⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ s = − X + ∑ ε αη α ( X ) ξα α =1 bulunur. Burada ηα ( X ) = εα ⎛ r n ⎞ − − dz y dx ε ⎜ α ∑ i i i ∑ ε i* yi* dxi* ⎟ 2 ⎝ i =1 i* = r +1 ⎠ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜Xj ⎟ X + X j* + X n+ j + X n + j* + 2 n+ β ⎜ ∂x j ∂x j* ∂y j ∂yj * ∂zβ ⎟ ⎝ ⎠ r n ⎞ 1⎛ = ⎜ X 2 n + β δαβ − ∑ ε i yi X jδ ij − ∑ ε i* yi* X j* δ i* j* ⎟ 2⎝ i =1 i* = r +1 ⎠ r n ⎞ 1⎛ = ⎜ X 2 n +α − ∑ ε i yi X i − ∑ ε i* yi* X i* ⎟ 2⎝ i =1 i* = r +1 ⎠ 100 dir. Indefinite “g” metriğini bulunacaktır εα g= r εα i =1 2 ∑ ε i ( dxi 2 + dyi 2 ) + 2 r s ∑ ε i ( dxi 2 + dyi 2 ) + ∑ εαη α ⊗η α * * * α =1 i =1 dir. Burada; 1⎛ 4⎝ r η α ⊗η α = ⎜ dzα − ∑ ε i yi dxi − i =1 n ∑ε i* = r +1 i * r n ⎞ ⎞⎛ yi* dxi* ⎟ ⎜ dzβ − ∑ ε j y j dx j − ∑ ε j* y j* dx j* ⎟ ⎜ ⎟ j= j* = r +1 ⎠⎝ ⎠ r n r 1 ⎧⎪ ⊗ − ⊗ − ⊗ − dz dz ε y dz dx ε y dz dx ε i yi dxi ⊗ dzβ ⎨ α ∑ ∑ j* j * α ∑ j j j β α j* 4 ⎪⎩ j =1 i =1 j* = r +1 = r r i , j =1 i =1 + ∑ ε iε j yi y j dxi ⊗ dx j + ∑ ε i yi n + ∑ i* = r +1 ε i yi * s * ∑ ε j y j dxi ⊗ dx j − ∑ j* = r +1 ε j y j dxi ⊗ dx j − * ∑ * * n ∑ε i* = r +1 i* yi* dxi* ⊗ dzβ ⎫⎪ s * j =1 n ε i ε j yi y j dxi ⊗ dx j ⎬ * i* , j* = r +1 * * * * * ⎪⎭ dir O halde g tekrar yazılırsa; ε α ⎧⎪ r n r r + ∑ ( ε iδ ij + ε iε j yi y j ) dxi ⊗ dx j + ∑ ε i yi i , j =1 + r ⎨dzα ⊗ dzβ − ∑ ε j y j dzα ⊗ dx j − ∑ ε j* y j* dzα ⊗ dx j* − ∑ ε i yi dxi ⊗ dzβ 4 ⎪⎩ j =1 i =1 j* = r +1 g= n ∑ i* = r +1 + ε i yi * i =1 r * ∑ ε j y j dxi ⊗ dx j + * j =1 n ∑ε i* = r +1 i* n ∑ i* , j* = r +1 ( n ∑ ε j y j dxi ⊗ dx j − * j* = r +1 * * ) n ∑ε i* = r +1 i* r yi* dxi* ⊗ dzβ ε i δ i j + ε i ε j yi y j dxi ⊗ dx j + ∑ ε i dyi ⊗ dyi * * * * * * ⎫ dyi* ⊗ dyi* ⎬ ⎭ bulunur. g indefinite metriğine karşılık gelen matris * * * i =1 101 ⎡ε iδ ij + ε iε j yi y j ⎢ ⎢ ε yε y i i j* j* ⎢ εα ⎢ [ g ] = ⎢ [ 0]r×r 4 ⎢ [ 0] ( n − r )×r ⎢ ⎢ [ A] ⎣ ε i yiε j y j * [0]r×r * ε i δ i j + ε i ε j yi y j * * * * * * [ 0]r×( n−r ) [ 0]( n−r )×( n−r ) [ B] * [0]r×( n−r ) [ 0]( n−r )×r [0]( n−r )×( n−r ) ε iδ ij [0]r×( n−r ) [ 0]( n−r )×r ε i δ i j [0]s×r [0]s×( n−r ) * * * [ A] ⎤ ⎥ T [ B ] ⎥⎥ [0]r×s ⎥⎥ [ 0]( n−r )×s ⎥⎥ δαβ ⎥ ⎦ ( 2 n + s )×( 2 n + s ) T dir. Buradaki A ve B matrisleri sırasıyla; ⎡ −ε1 y1 ⎢ . [ A] = ⎢⎢ . ⎢ ⎣ −ε1 y1 ⎡ −ε r +1 yr +1 ⎢ . [ B ] = ⎢⎢ . ⎢ ⎣ −ε r +1 yr +1 . . . −ε r yr ⎤ . . . . ⎥⎥ . . . . ⎥ ⎥ . . . −ε r yr ⎦ s×r ⎧⎪−1, 0 ≤ i ≤ r dir. ε i = ⎨ ⎪⎩+1, ( r + 1) ≤ i ≤ n . . . −ε n yn ⎤ . . . . ⎥⎥ . . . . ⎥ ⎥ . . . −ε n yn ⎦ s×( n − r ) ve ∀α ∈ {1, 2,..., s} için ε α = +1 olduğu göz önüne alınarak g matrisi tekrar yazılırsa; ⎡ −δ ij + yi y j ⎢ ⎢ − yi y j* 1⎢ [ g ] = ⎢ [ 0]r×r 4⎢ ⎢ [ 0]r ×( n − r ) ⎢ yj ⎢⎣ − yi y j* δ i j + yi y j * * * * [ 0]( n−r )×r [ 0]( n−r )×( n−r ) − y j* yi ⎤ [0]r×r [ 0]( n−r )×r ⎥ [0]r×( n−r ) [ 0]( n−r )×( n−r ) − yi ⎥ ⎥ −δ ij [ 0]( n−r )×r [ 0 ]s × r ⎥ ⎥ δi j [ 0]r×( n−r ) [0]s×( n−r ) ⎥ ⎥ δαβ ⎥ [0]r×s [ 0]( n−r )×s ⎦ ( 2 n + s )×( 2 n + s ) * * * elde edilir. Sonuç olarak ( IR22rn + s , φ , ξα ,η α , g ) bir spacelike-S-manifolddur. 102 6.1.Önerme ( IR 2n+ s 2r , φ , ξα ,η α , g ) spacelike almost S-manifold için s g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = g ( X , Y ) − ∑ ε αη α ( X )η α (Y ) α =1 dir. İspat İspat yapılırken aşağıdaki eşitlikler göz önüne alınılacaktır. g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = ⎡⎣φ ( X ) ⎤⎦ T [ g ] ⎡⎣φ (Y )⎤⎦ g ( X , Y ) = [ X ] [ g ][Y ] T olmak üzere ⎡ ⎢ ⎢ ⎢[ 0] ⎢ n× n ⎡⎣φ ( X ) ⎤⎦ = ⎢ − I n ⎢ ⎢ ⎢[ 0 ] ⎢ n×s ⎣⎢ In [0]n×n ⎡ε1 y1...ε s ys ys +1... yn ⎤ ⎢............................ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ε1 y1...ε s ys ys +1... yn ⎥⎦ n×s ⎤ ⎥ ⎥ [ 0]s×n ⎥⎥ [ 0]s×n ⎥ ⎥ ⎥ 0 [ ]s × s ⎥ ⎥ ⎦⎥ ⎡ Xi ⎤ ⎢ X ⎥ ⎢ i* ⎥ ⎢ X n +i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ X n + i* ⎥ ⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦ 103 r ⎡ ⎤ X n +i ∑ ⎢ ⎥ i =1 ⎢ ⎥ n ⎢ ⎥ X n + i* ∑ ⎢ ⎥ i* = r +1 ⎢ ⎥ r ⎢ ⎥ −∑ X i =⎢ ⎥ i =1 ⎢ ⎥ n ⎢ ⎥ − ∑ X i* ⎢ ⎥ i* = r +1 ⎢ ⎥ n ⎢ r ⎥ ⎢ ∑ ε i yi X n +i + ∑ ε i* yi* X n +i* ⎥ i* = r +1 ⎣ i =1 ⎦ dir. Burada vektör alanları s X = ∑ Xi i =1 n s s ∂ ∂ ∂ ∂ + ∑ X i* + ∑ X n+i + ∑ X n + i* ∂xi i* = s +1 ∂xi* i =1 ∂xn +i i* =1 ∂xn +i* ve s Y = ∑ Yi i =1 n s s ∂ ∂ ∂ ∂ + ∑ Yi* + ∑ Yn +i + ∑ Yn +i* ∂xi i* = s +1 ∂xi* i =1 ∂xn +i i* =1 ∂xn +i* olmak üzere ⎡ r ⎤ ⎢ −∑ Yn +i ⎥ ⎢ i =1 ⎥ ⎢ n ⎥ ⎢ *∑ Yn +i* ⎥ i = r +1 ⎥ 1⎢ r ⎢ ⎥ g ⎡ φ Y ⎤ = [ ] ⎣ ( )⎦ 4 ⎢ ∑ Yi ⎥ ⎢ i =1 ⎥ ⎢ r ⎥ ⎢ −∑ Yi* ⎥ ⎢ i* =1 ⎥ ⎢ [ 0] ⎥ ⎣ ⎦ olur. Buradan 104 r ⎡ ⎤ X n +i ∑ ⎢ ⎥ i =1 ⎢ ⎥ n ⎢ ⎥ X n + i* ∑ ⎢ ⎥ i* = r +1 ⎢ ⎥ r ⎥ T 1⎢ −∑ X i ⎡⎣φ ( X ) ⎤⎦ [ g ] ⎡⎣φ (Y ) ⎤⎦ = ⎢ ⎥ 4⎢ i =1 ⎥ n ⎢ ⎥ − ∑ X i* ⎢ ⎥ i* = r +1 ⎢ ⎥ n ⎢ r ⎥ ⎢ ∑ ε i yi X n +i + ∑ ε i* yi* X n +i* ⎥ i* = r +1 ⎣ i =1 ⎦ = = T ⎡ r ⎤ ⎢ −∑ Yn +i ⎥ ⎢ i =1 ⎥ ⎢ n ⎥ ⎢ *∑ Yn +i* ⎥ ⎢ i = r +1 ⎥ ⎢ r ⎥ ⎢ ∑ Yi ⎥ ⎢ i =1 ⎥ ⎢ r ⎥ ⎢ −∑ Yi* ⎥ ⎢ i* =1 ⎥ ⎢ [ 0] ⎥ ⎣ ⎦ n r n ⎫ 1⎧ r − + − + X Y X Y X Y * * ⎨ ∑ n +i n +i ∑ n +i n +i ∑ i i ∑ X i* Yi* ⎬ 4 ⎩ i =1 i =1 i* = r +1 i* = r +1 ⎭ n ⎫ 1⎧ r − + + X Y X Y X i* Yi* + X n +i* Yn +i* ⎬ ⎨ ∑( i i ∑ n +i n + i ) 4 ⎩ i =1 i* = r +1 ⎭ ( ) bulunur. Ayrıca r r n r ⎡ ⎤ Yi y y Y y y Y yiY2 n +α ⎥ − + − + * * ∑ ∑ ∑ ∑ i j i i j i ⎢ i =1 i =1 i =1 i* = r +1 ⎢ ⎥ r n n n ⎢ ⎥ ⎢ −∑ yi y j* Yi + ∑ Yi* + ∑ yi* y j* Yi* − ∑ yi* Y2 n +α ⎥ i* = r +1 i* = r +1 i* = r +1 ⎢ i =1 ⎥ r ⎥ 1⎢ −∑ Yn +i [ g ][Y ] = ⎢ ⎥ 4⎢ i =1 ⎥ n ⎢ ⎥ Yn +i* ⎢ ⎥ ∑ i* = r +1 ⎢ ⎥ r n ⎢ ⎥ y jYi − ∑ y j* Yi* + Y2 n +α ⎢ ⎥ ∑ ⎢⎣ ⎥⎦ i =1 i* = r +1 [ X ] [ g ][Y ] = T r n r r 1⎧ 1 ⎨−∑ X iYi + ∑ yi y j X iYi − ∑ yi y j* X iYi* + ∑ yi X iY2 n +α − ∑ yi* y j X i* Yi 4 ⎩ i= i =1 i =1 i =1 i* = r +1 105 + n ∑ i* = r +1 X i* Yi* + n ∑ i* = r +1 r + ∑ y j X 2 n +α Yi − i =1 = r r i =1 i =1 yi* y j* X i* Yi* − ∑ yi* X i* Y2 n +α − ∑ Yn +i X n +i + n ∑ i* = r +1 X n +i* Yn +i* ⎫ y j* X 2 n +α Yi* + X 2 n +α Y2 n +α ⎬ i* = r +1 ⎭ n ∑ n r n 1⎧ 1 ⎨−∑ ( X iYi + X n +iYn +i ) + ∑ X i* Yi* + X n +i* Yn +i* + ∑ yi y j X iYi − ∑ yi y j* X iYi* 4 ⎩ i= i =1 i* = r +1 i* = r +1 ( r r i =1 i =1 + ∑ yi X iY2 n +α − ∑ yi* y j X i* Yi + − n ∑ i* = r +1 ) r r i =1 i =1 yi* y j* X i* Yi* − ∑ yi* X i* Y2 n +α + ∑ y j X 2 n +α Yi ⎫ y j* X 2 n +α Yi* + X 2 n +α Y2 n +α ⎬ i* = r +1 ⎭ n ∑ olur ve sonuç olarak s g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = g ( X , Y ) − ∑ ε αη α ( X )η α (Y ) α =1 eşitliği bulunur. Ayrıca ( IR22rn + s , φ , ξα ,η α , g ) spacelike almost S-manifoldunun ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , , , ⎜⎜ ⎝ ∂xi ∂xi* ∂yi ∂yi* ∂zα ∀α ∈ {1, 2,..., s} için ⎞ ⎧⎪−1, 0 ≤ i ≤ r , ε α = +1 ⎟⎟ doğal tabanından başka ε i = ⎨ ⎪⎩+1, ( r + 1) ≤ i ≤ n ⎠ 106 ⎛ ⎜ ⎝ ϕ1 = ⎜ Ei = 2 r ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ , Ei* = 2 , φ ( Ei ) = 2 ⎜ + ∑ ε i yi ⎟, ∂yi ∂yi* ∂zα ⎠ ⎝ ∂xi i =1 n ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂ ⎞ + ∑ ε i* yi* , ξα = 2ε α ⎟ ⎟ ⎜ ∂x * i*= r +1 ∂zα ⎟⎠ ∂zα ⎠ ⎝ i φ ( Ei ) = 2 ⎜ * ⎛ ⎜ ⎝ ϕ1 = ⎜ Ei = 2 φ ( Ei * ) r ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ − ∑ yi , Ei* = 2 , φ ( Ei ) = 2 ⎜ ⎟, ∂yi ∂yi* ⎝ ∂xi i =1 ∂zα ⎠ n ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂ ⎞ = 2⎜ + ∑ yi* , ξα = 2 ⎟ ⎟ ⎜ ∂x * i*= r +1 ∂zα ⎟ ∂zα ⎠ ⎝ i ⎠ tabanı da alınabilir. Vektör alanları i* i X = X Ei + X Ei* + X n +i En +i + X n + i* En +i* + X 2 n +α E2 n +α ve i* i Y = Y Ei + Y Ei* + Y n +i En + i + Y n + i* En +i* + Y 2 n +α E2 n +α olmak üzere ϕ1 bazının bir ortonormal baz olduğu gösterilecektir. εα ⎧ g ( Ei , E j ) = r ( ) n ( ⎨∑ dxk ( Ei ) dxk ( E j ) + dyk ( Ei ) dyk ( E j ) + ∑ dxk * ( Ei ) dxk * ( E j ) 4 ⎩ k =1 k * = r +1 )} s dyk * ( Ei ) dyk * ( E j ) + ∑ ε αη α ( Ei )η α ( E j ) = 1⎧ r ⎫ ⎨∑ ε k 2δ ki 2δ kj ⎬ 4 ⎩ k =1 ⎭ = ε iδ ij = −δ ij α =1 107 ( ) g Ei* , Ei* = εα ⎧ ( r ( ) ( ) ( )) ( ) ⎨∑ ε k dxk Ei* dxk E j* + dyk * Ei* dyk * E j* 4 ⎩ k =1 + ∑ ε ( dx ( E ) dx n k* k * = r +1 k* k* i* ( E ) +dy ( E ) dy ( E ))} j* k* i* k* j* ( ) ( ) s + ∑ ε αη α Ei* η α E j* α =1 = { 1 ε * 2δ * * 2δ * * 4 k ki k j } = ε * δ i* j* i = δ i* j * ( ) g φ ( Ei ) , φ ( E j ) = εα ⎧ ( s ( ) ( ⎨∑ ε k dxk (φ ( Ei ) ) dxk φ ( E j ) + dyk (φ ( Ei ) ) dyk φ ( E j ) 4 ⎩ k =1 + n ∑ε k * = r +1 k * ( dx k )) (φ ( E ) ) dx (φ ( E ) ) + dy (φ ( E ) ) dy (φ ( E ) ) )⎬ ⎫ * i k j * ( s + ∑ ε αη α (φ ( Ei ) )η α φ ( E j ) α =1 k i * k j * ⎭ ) 1⎧ r ⎫ = ⎨∑ ε k 2δ ki 2δ kj ⎬ 4 ⎩ k =1 ⎭ = ε iδ ij = −δ ij ( ) ( )) ( g φ Ei* , φ E j* + r ∑ε k * = r +1 k* εα ⎧ r ( ( ( ) ) dx (φ ( E ) ) + dy (φ ( E ) ) dy (φ ( E ) ) ) ⎨∑ ε k dxk φ Ei* 4 ⎩ k =1 = k j* k ( dx (φ ( E )) dx (φ ( E )) + dy (φ ( E )) dy (φ ( E )))⎫⎬⎭ k* i* k* s j* k* i* ( ( )) ( ( )) + ∑ ε αη α φ Ei* η α φ E j* α =1 k* j* i* k j* 108 ⎫ 1⎧ s ⎨ ∑ ε k * 2δ k *i* 2δ k * j* ⎬ 4 ⎩ k * =1 ⎭ = = ε i* δ i* j* = δ i* j * εα ⎧ g (ξα , ξ β ) = ( r ⎨∑ ε k dxk (ξα ) dxk (ξ β ) + dyk (ξα ) dyk (ξ β ) 4 ⎩ k =1 n ∑ + )} s ε k ( dxk (ξα )dxk (ξ β ) + dyk (ξα ) dyk (ξ β ) + ∑ ε γη γ (ξα )η γ (ξ β ) * k * = r +1 ) * * * * γ =1 s = ∑ δ γα δ γβ γ =1 = δαβ ( ) g Ei , E j* = εα ⎧ ( r ( )) ( ) ⎨∑ ε k dxk ( Ei ) dxk E j* + dyk ( Ei ) dyk E j* 4 ⎩ k =1 + n ∑ε k * = r +1 k* ( dx k* ( Ei ) dxk * ( E ) + dy j* k* ( ) ( Ei ) dyk * ( E ))} j* ( ) s + ∑ ε αη α ( Ei )η α E j* α =1 =0 ( ) g Ei , φ ( E j ) = εα ⎧ ( r ( ⎨∑ ε k dxk ( Ei ) dxk φ ( E j ) + dyk ( Ei ) dyk φ ( E j ) 4 ⎩ k =1 + )) ∑ ε ( dx ( E )dx (φ ( E ) ) + dy ( E ) dy (φ ( E ) ) )} n k * = r +1 s k* k* i ( + ∑ ε αη α ( Ei )η α φ ( E j ) α =1 =0 j k* ) k* i k* j 109 g ( Ei , ξ β ) = εα ⎧ ( r ) n ( ⎨∑ ε k dxk ( Ei ) dxk (ξ β ) + dyk ( Ei ) dyk (ξ β ) + ∑ ε k * dxk * ( Ei )dxk * (ξ β ) 4 ⎩ k =1 k * = r +1 )} s + dyk * ( Ei ) dyk * (ξ β ) + ∑ ε αη α ( Ei )η α (ξ β ) , α =1 =0 ( ) ( ( )) + dy ( E ) dy (φ ( E ))) ( ε ⎧ r g ⎛⎜ Ei , φ E * ⎞⎟ = α ⎨∑ ε k dxk ( Ei ) dxk φ E j* j ⎝ ⎠ 4 ⎩ k =1 n ∑ ε ( dx ( E )dx + k * = r +1 k* k* i k* k i (φ ( E )) + dy j* k k* j* ( Ei ) dyk (φ ( E j * )) ⎞⎟⎠⎪⎬⎭⎪ ⎫ * ( ( )) s + ∑ ε αη α ( Ei )η α φ E j* α =1 =0 ( ) g Ei* , φ ( E j ) = εα ⎧ ( ( ) ( r ) ( ) ( ⎨∑ ε k dxk Ei* dxk φ ( E j ) + dyk Ei* dyk φ ( E j ) 4 ⎩ k =1 )) ∑ ε ( dx ( E )dx (φ ( E ) ) + dy ( E ) dy (φ ( E ) ) )} n + k * = r +1 k* k* i* ( ) ( s j k* + ∑ ε αη α Ei* η α φ ( E j ) α =1 k* i* j k* ) =0 ( ) ( ( ( )) + dy ( E ) dy (φ ( E ))) ε ⎧r g ⎛⎜ Ei* , φ E * ⎞⎟ = α ⎨∑ ε k dxk Ei* dxk φ E j* j ⎝ ⎠ 4 ⎩ k =1 ( ) ∑ ε ( dx ( E )dx n + k * = r +1 s k* k* ( ) i* k* (φ ( E )) +dy ( ( )) + ∑ ε αη α Ei* η α φ E j* α =1 =0 k j* i* k k* ( E ) dy i* j* k* (φ ( E )))} j* 110 ( ) g Ei* , ξ β = εα ⎧ ( ( ) r ) ( ) ( ( ) n ⎨∑ ε k dxk Ei* dxk (ξ β ) + dyk Ei* dyk (ξ β ) + ∑ ε k * dxk * Ei* dxk * (ξ β ) 4 ⎩ k =1 k * = r +1 )} ( ) s ( ) + dyk * Ei* dyk * (ξ β ) + ∑ ε αη α Ei* η α (ξ β ) α =1 =0 ( ( )) = ε4 ⎧⎨⎩∑ ε ( dx (φ ( E )) dx (φ ( E )) + dy (φ ( E ) ) dy (φ ( E ))) g φ ( Ei ) , φ E j* r α k k =1 + k i k n ∑ ε ( dx (φ ( E ) )dx k* k * = r +1 i k* k j* k* i (φ ( E )) +dy j* k* k j* (φ ( E ) ) dy i k* (φ ( E )))} j* ( ( )) s + ∑ ε αη α (φ ( Ei ) )η α φ E j* α =1 =0 g (φ ( Ei ) , ξ β ) = εα ⎧ ( r ⎨∑ ε k dxk (φ ( Ei ) ) dxk (ξ β ) + dyk (φ ( Ei ) ) dyk (ξ β ) 4 ⎩ k =1 + ) ∑ ε ( dx (φ ( E ) )dx (ξ β ) + dy (φ ( E ) ) dy (ξ β ) )} n k* k * = r +1 i k* i k* k* k* s + ∑ ε αη α (φ ( Ei ) )η α (ξ β ) α =1 =0 ( ( ) ( ) ) = ε4 ⎧⎨∑ ε ⎩ g φ Ei* , φ E j* r α k =1 + k ( dx (φ ( E )) dx (ξ r ∑ε k * = r +1 s k* k k i* ( dx (φ ( E )) dx k* ( ( )) i* + ∑ ε αη α φ Ei* η α (ξ β ) α =1 =0 k* β ) + dy (φ ( E ) ) dy (ξ ) ) k k i* β (ξ ) + dy (φ ( E ) ) dy (ξ ) )⎬ ⎫ β k* i* k* β ⎭ 111 olduğundan ϕ1 tabanı ortogonaldir. Örnek (Timelike Almost S-Manifoldlar): IR 2 n + s üzerindeki koordinat sistemi ( xi , yi , zα ) = ( x1 ,..., xn , y1 ,..., yn , z1 ,..., zs ) olsun. r ≠ 0, r ≤ n, r ≠ s özel hali incelenecektir. Burada; ⎧⎪−1, 0 ≤ i ≤ r olmak üzere , ∀α ∈ {1, 2,..., s} için ε α = −1 ⎪⎩+1, ( r + 1) ≤ i ≤ n εi = ⎨ dır. r n ⎫⎪ ⎫⎪ 1 ⎧⎪ η = ⎨dzα − ∑ ε i yi dxi − ∑ ε i* yi* dxi* ⎬ = − ⎨dzα + ∑ yi dxi − ∑ yi* dxi* ⎬ 2 ⎪⎩ 2 ⎩⎪ i =1 i =1 i* = ( r +1) i* = ( r +1) ⎭⎪ ⎭⎪ α ε α ⎧⎪ r n 1-formları göz önüne alınsın. Burada ξα = 2ε α 1⎛ 2⎝ r η α (ξ β ) = − ⎜ dzα + ∑ yi dxi − ⎜ i =1 ∂ ∂ = −2 ∂zα ∂zα ⎞⎛ ∂ yi* dxi* ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ∂zβ i* =( r +1) ⎠⎝ n ∑ için ⎞ ⎟⎟ = −δ αβ ⎠ olduğu görülür. Ayrıca φ endomorfizmine karşılık gelen matris spacelike almost Smanifoldlardaki gibi benzer şekilde 112 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢[ 0] ⎢ n× n ⎢ −In ⎢ ⎢ ⎢[ 0 ] ⎢ n×s ⎣⎢ ⎤ ⎥ ⎥ [ 0]s×n ⎥⎥ [ 0]s×n ⎥ ⎥ ⎥ [ 0 ]s × s ⎥ ⎥ ⎦⎥ ( 2 n + s )×( 2 n + s ) In [0]n×n ⎡ε1 y1...ε s ys ys +1... yn ⎤ ⎢............................ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ε1 y1...ε s ys ys +1... yn ⎥⎦ n×s olarak bulunur. Benzer şekilde s φ 2 ( X ) = − X + ∑ ε αη α ( X ) ξα α =1 dir ve indefinite g metriği ⎡ −δ ij + yi y j ⎢ ⎢ − yi y j* 1⎢ [ g ] = − ⎢ [0]r×r 4⎢ ⎢ [ 0]r×( n − r ) ⎢ yj ⎢⎣ − yi y j* δ i j + yi y j * * * * [0]( n−r )×r [0]( n−r )×( n−r ) − y j* ( yi ⎤ [0]r×r [0]( n−r )×r ⎥ [0]r×( n−r ) [0]( n−r )×( n−r ) − yi ⎥ ⎥ −δ ij [0]( n−r )×r [0]s×r ⎥ ⎥ δi j [0]r×( n− r ) [ 0 ]s × ( n − r ) ⎥ ⎥ δ αβ ⎥ [0]r×s [0]( n−r )×s ⎦ ( 2 n + s )×( 2 n + s ) * * * ) olur. Sonuç olarak IR22(nn+−sr )+1 , φ , ξα ,η α , g bir timelike almost S-manifolddur. 6.2. Önerme ( IR ( 2n+ s 2 n − r ) +1 ) , φ , ξα ,η α , g timelike almost S-manifoldu için s g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = g ( X , Y ) − ∑ ε αη α ( X )η α (Y ) α =1 113 dir. Ayrıca ( M , φ , ξα ,η α , g ) bir timelike almost S-manifoldunun ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , , , ⎜⎜ ⎝ ∂xi ∂xi* ∂yi ∂yi* ∂zα ⎞ ⎧⎪−1, 0 ≤ i ≤ r , ε α = −1 ⎟⎟ doğal tabanından başka ε i = ⎨ + + ≤ ≤ 1, 1 r i n ( ) ⎪ ⎩ ⎠ ∀α ∈ {1, 2,..., s} için ⎛ ⎜ ⎝ ϕ2 = ⎜ Ei = 2 r ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ , Ei* = 2 , φ ( Ei ) = 2 ⎜ + ∑ ε i yi ⎟, ∂yi ∂yi* ∂zα ⎠ ⎝ ∂xi i =1 n ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂ ⎞ + ∑ ε i* yi* ⎟⎟ , ξα = 2ε α ⎟ ∂zα ⎠ ∂zα ⎠ ⎝ ∂xi* i*= r +1 φ ( Ei ) = 2 ⎜ ⎜ * ⎛ ⎜ ⎝ ϕ2 = ⎜ Ei = 2 r ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ , Ei* = 2 , φ ( Ei ) = 2 ⎜ − ∑ yi ⎟, ∂yi ∂yi* ⎝ ∂xi i =1 ∂zα ⎠ n ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂ ⎞ + ∑ yi* , ξα = −2 ⎟ ⎟ ⎜ ∂x * i*= r +1 ∂zα ⎟ ∂zα ⎠ ⎝ i ⎠ φ ( Ei ) = 2 ⎜ * tabanı da alabiliriz. Burada spacelike almost S-manifold da olduğu gibi g ( Ei , Ei ) = δ ij ( ) g Ei* , E j* = −δ i* j* ( ) g φ ( Ei ) , φ ( E j ) = δ ij ( ( ) ( ) ) = −δ g φ Ei* , φ E j* g (ξα , ξ β ) = δαβ i* j * 114 olur ayrıca ( ) ( ) ( ( )) = g ( E ,ξ ) = 0 ( ) ( ( )) = g ( E ,ξ ) = 0 g Ei , E j* = g Ei , φ ( E j ) = g Ei , φ E j* β i g ( Ei* , E j ) = g Ei* , φ ( E j ) = g Ei* , φ E j* i* β ) ( ( ) ) = g (φ ( E ) , ξ ) = 0 g (φ ( E ) , E ) = g (φ ( E ) , E ) = g (φ ( E ) , φ ( E ) ) = g (φ ( E ) , ξ ) = 0 ( g (φ ( Ei ) , E j ) = g φ ( Ei ) , E j* = g φ ( Ei ) , φ E j* i* j i* ( j* ) ( i* ) ( j ( )) = 0 g ( ξ β , E j ) = g ξ β , E j* = g ξ β , φ ( E j ) = g ξ β , φ E j* olduğundan ϕ2 tabanı ortogonaldir. β i i* β 115 7.INDEFINITE ε α -S-MANİFOLDLARIN REAL HİPERYÜZEYLERİ ( 2n + s ) -boyutlu bir indefinite ε α -S manifold ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) ve M , M nin non- dejenere real hiperyüzeyi olsun. M ’ nin normal vektör alanı N ve ξ s +1 = φ N olmak üzere φ X = fX + w ( X ) N (7.1) dir. Burada w ( X ) = g ( X , N ) dir. Şimdi reel hiperyüzeye ait bazı eşitlikler elde edilecektir. η α ( N ) = ε α ( N , ξα ) = 0 (7.2) s g (ξ s +1 , ξ s +1 ) = g (φ N , φ N ) = g ( N , N ) − ∑ ε αη α ( N )η α ( N ) , (7.3) g ( N , N ) = ε N = ε s +1 (7.4) α =1 ve g (ξ s +1 , N ) = g (φ N , N ) = 0 (7.5) dir. Ayrıca ( g (ξ s +1 , ξα ) = g (φ N , ξα ) = − g ( N , φζ α ) = 0, ξ s +1 ∈ Γ T M ) (7.6) s g (φ X , ξ s +1 ) = g (φ X , φ N ) = g ( X , N ) − ∑ ε αη α ( X )η α ( N ) = 0 α =1 ve (7.7) 116 g (φ X , N ) = g ( fX + w ( X ) N , N ) = g ( fX , N ) + w ( X ) g ( N , N ) (7.8) dır. Böylece w ( X ) = g (φ X , N ) = − g ( X , αφ N ) = − g ( X , ξ s +1 ) = −ε s +1η s +1 ( X ) (7.9) olup φ X = fX − ε s +1η s +1 ( N ) (7.10) dir. Burada η s +1 ( X ) = ε s +1 g ( X , ξ s +1 ) = ε s +1 g ( X , φ N ) (7.11) 7.1.Önerme ( 2n + s ) -boyutlu indefinite ε α -S manifold ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) olsun. M nin real hiperyüzeyi M üzerinde (1,1) tipinde tensör alanı f olmak üzere s +1 f 2 = − I + ∑η α ⊗ ξα α =1 dir. İspat Eş. 7.10’ dan φ 2 ( X ) = φ ( fX ) − η s +1 ( X ) φ ( N ) (7.12) 117 = f 2 ( X ) − η s +1 ( fX ) N − η s +1 ( X ) ( fN − η s +1 ( N ) ) N = f 2 ( X ) − η s +1 ( X ) fN − ε s +1 g ( fX , ξ s +1 ) N = f 2 ( X ) − η s +1 ( X ) ξ s +1 − ε s +1 g (φ X , ξ s +1 ) + ε s +1η s +1 ( X ) g ( N , ξ s +1 ) N = f 2 ( X ) − η s +1 ( X ) ξ s +1 dir. Buradan f 2 ( X ) = φ 2 ( X ) + η s +1 ( X ) ξ s +1 s = − X + ∑η α ( X ) ξα + η s +1 ( X ) ξ s +1 α =1 s +1 = − X + ∑η α ( X ) ξα α =1 olur. 7.2.Önerme ( 2n + s ) -boyutlu indefinite εα -S manifold real hiperyüzeyi M üzerinde (1,1) ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) olsun. O halde M nin tipinde tensör alanı f , M üzerinde bir f − yapıdır. Yani; f3+ f =0 dır. İspat Eş. 7.13’ den ∀X ∈ Γ (TM ) için; (7.13) 118 s +1 f 3 ( X ) = − f ( X ) + ∑η α ( X ) f (ξα ) = − f ( X ) α =1 dır. 7.1. Teorem ( 2n + s ) -boyutlu indefinite ε α -S manifold ( M , φ , ξα ,η α , g ) ve M , M ’ nin real hiperyüzeyi olsun. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için g , M nin anti-simetrik yarı-Riemann metriği olmak üzere; (i ) f (ξα ) = 0 , ( ii ) η α D f = 0, ( iii ) rankf = 2n dir. İspat ( i ) Eş. 7.1’ den ( ii ) f (ξα ) = 0 dır. ( ηα D f = 0 ( iii ) ) Eş. 7.10, Önerme 7.1.’ den ∀W ∈ Γ T M ve ∀α ∈ {1,..., s, s + 1} için f lineer bir dönüşüm olduğundan ( rankf + boyçekf = boyΓ T M ) dir. ∀α ∈ {1,..., s, s + 1} için ξα ∈ çekf , ξα lineer bağımsız olup 119 çekf = Sp {ξ1 ,..., ξ s +1} dir. Buradan boyçekf = s + 1 dir. Bu durumda ( ) rankf = boyΓ T M − boyçekf = 2 ( n − 1) dir. 7.2. Teorem (M 2n+ s (M ( , φ , ξα ,η α , g ) 2 n −1) + s +1 ε α -S-manifoldunun indefinite bir hiperyüzeyi ) , φ , ξα ,η α , g bir indefinite ε α -S-manifolddur. İspat Teorem 7.1.’ den ε α -S-manifoldun bazı şartları Önerme 7.1., Önerme 7.2. ve sağlanır. Şimdi Eş. 7.3’ den 1 Xη s +1 (Y ) − Yη s +1 ( X ) − η s +1 ([ X , Y ]) 2 { dη s +1 ( X , Y ) = = } { ( 1 ε s +1 g ( ∇ X Y , φ ( N ) ) + g (Y , ∇ X φ ( N ) ) − ε s +1 g ( ∇Y X , φ ( N ) ) 2 ) ) ( ( + g ( X , ∇ X φ ( N ) ) − ε s +1 g ( ( ∇ X Y − ∇Y X ) , φ ( N ) ) 1 = ε s +1 g (Y , ∇ X φ ( N ) ) − g ( X , ∇Y φ ( N ) ) 2 ( ) )} 120 1 = ε s +1 g (Y , −φ ( X ) ) − g ( X , −φ (Y ) ) 2 ( ( ) 1 = ε s +1 g (Y , − f ( X ) ) − g ( X , − f (Y ) ) 2 ) = ε s +1 g ( X , fY ) ispat tamamlanır. 7.3.Önerme ( 2n + s ) -boyutlu indefinite ε α -S manifold ( M , φ , ξα ,η α , g ) ve M , M ’ nin real hiperyüzeyi olsun. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için g , M nin anti-simetrik yarı-Riemann metriği olmak üzere; g ( fX , Y ) + g ( X , fY ) = 0 dir. İspat Eş. 7.12’ den g ( fX , Y ) = g (φ X + η s +1 ( X ) N , Y ) = g (φ X , Y ) + η s +1 ( X ) g ( N , Y ) = − g ( X , φY ) dır. Benzer şekilde g ( X , fY ) = g ( X , Y + η s +1 (Y ) N ) . (7.14) 121 = g ( X , φY ) + η s +1 (Y ) g ( X , N ) = g ( X , φY ) ( ) dır. Böylece ispat tamamlanır. Herhangi bir X ∈ Γ T M için s X = PX + ∑η α ( X ) ξα (7.15) α =1 dir. PX ∈ D = Im φ , s η α ( X ) ξα ∈ D ∑ α ⊥ = çekφ dir. =1 Burada P , D = Im φ ’ ye dik izdüşüm fonksiyonudur. (M ( 2 n − s ) + s +1 , f , ξα ,η α , g ) üzerinde η α 1-formları η α ( X ) = ε α g ( X , ξα ) (7.16) şeklindedir. Buradan, η α (ξ β ) = δαβ , f 2 ( X ) = − X + η α ( X ) ξ s +1 (7.17) dır ve Eş. 6.3’ den s +1 g ( fX , fY ) = g ( X , Y ) − ∑ ε αη α ( X )η α (Y ) α =1 elde edilir. 7.3.Teorem Indefinite ε α -S-manifold ( M , φ , ξα ,η α , g ) ’nin real hiperyüzeyi M olsun. Bu (7.18) 122 ( ) durumda ∀X , Y ∈ Γ T M için s +1 ( i ) ( ∇ X f ) Y = ∑ {ε α g ( AX , Y ) ξα − η α (Y ) AX } (7.19) ( ii ) ( ∇ Xη α ) Y = ε α g ( fAX , Y ) (7.20) α =1 dır. İspat ( i ) ∀α ∈ {1,..., s, s + 1} ( ) ve ∀X ∈ Γ T M için; AX = f ( ∇ X ξα ) (7.21) dır. Burada A, (1,1) tipinde tensör alanıdır. Buradan fAX = −∇ X ξα (7.22) Buradan ( s +1 ) f ∇ X ξα = − AX + ∑η α ( AX ) ξα (7.23) α =1 olup (( ) ) s +1 g ∇ X f Y , Z = ∑ {dη α ( fY , X )η α ( Z ) − dη α ( fZ , X )η α ( X )} dır. Diğer taraftan α =1 (7.24) 123 (( ) ( ) ) ) ( g ∇ X f Y , Z = g ∇ X ( fY ) − f ∇ X Y , Z (7.25) dir. Eş. 7.25’ de Y yerine ξα konulursa (( ) ) ( ( ) ) g ∇ X f ξα , Z = − g f ∇ X ξα , Z (7.26) olur. Eş.7.24’ de Y yerine ξα konulursa (( ) ) s +1 g ∇ X f ξα , Z = −∑ dη α ( fZ , X ) (7.27) α =1 bulunur. Benzer şekilde (( ) ) ( ( ) ) g ∇ X f ξα , Y = − g f ∇ X ξα , Y (7.28) olur. Eş. 7.24’ de Eş. 7.27 ve Eş. 7.28 yerlerine konulursa (( ) ) s +1 {( ( ) ) ( ( ) ) g ∇ X f Y , Z = −∑ g f ∇ X ξα , Y η α ( Z ) − g f ∇ X ξα , Z η α (Y ) , Z α =1 { ( ( ) ) } ⎛ s +1 ⎞ = g ⎜ ∑ ε α g f ∇ X ξα , Y ξα − f ∇ X ξα η α (Y ) , Z ⎟ ⎝ α =1 ⎠ ( ) elde edilir. g metriği non-dejenere ve Eş. 7.22’ den ( ∇ f ) Y = ∑ {ε s +1 X α =1 s +1 { α ( ((∇ ξ ) ,Y )ξ ) − f (∇ ξ )η (Y )} g f X α α X α } = ∑ ε α g ( AX , Y ) ξα − η α (Y )( AX ) α =1 α } 124 bulunur. ( ii ) η α (Y ) nin kovaryant türevi alınırsa ( ) g (∇ ∇ X (η α (Y ) ) = ∇ X ε α g (Y , ξα ) ( ∇ η ) (Y ) + η ( ∇ Y ) = ε X α α X α X ) ( Y , ξα + ε α g ∇ X ξα , Y ) dir. Böylece ( ∇ η ) (Y ) = ε X α α g ( ∇ X ξα , Y ) = ε α g ( fAX , Y ) . dır. 7.3.Teorem M , indefinite ε α -S-manifoldun real hiperyüzeyi olsun. O halde aşağıdaki eşitlikler sağlanır. (i ) f M ’ de paraleldir ( ii ) η α M ’ de paraleldir ( iii ) ξα M ’ de paraleldir ( iv ) A (1,1) tipinde bir tensör alanı olmak üzere s +1 AX = ∑ {η α ( AX ) ξα } , ∀X ∈ Γ (TM ) α =1 dir. 125 İspat ( i ) ⇒ ( ii ) f , M ’ de paralel olsun. O halde Eş. 7.20’ den ( s +1 ) { 0 = ∇ X f Y = ∑ η α (Y ) AX − ε α g ( AX , Y ) ξα α =1 } s +1 dir. Eğer Y yerine ξα alınırsa, AX = ∑ ε α g ( AX , Y ) ξα olur. Böylece α =1 s +1 fAX = ∑ ε α g ( AX , Y ) f (ξα ) = 0 α =1 olup, buradan (∇ η )Y = ε X α α ( fAX , Y ) = 0 olur. Yani η α 1-formları M ’ de paraleldir. ( ii ) ⇒ ( iii ) η α , M ’ de paralel olsun. Eş. 7.20 ve Eş. 7.21’ den ∀Y ∈ Γ (TM ) için (∇ η )Y = ε X α α g ( fAX , Y ) = 0 dir. g non-dejenere bir metrik olduğundan fAX = 0 = −∇ X ξα olur. Yani ξα vektör alanları M ’ de paraleldir. ( iii ) ⇒ ( iv ) 126 Eş. 7.22’ den ∇ X ξα = − fAX = 0 dır. Böylece f 2 ( X ) = 0 olur. Buradan s +1 AX = ∑η α ( AX ) ξα α =1 dır. ( iv ) ⇒ ( i ) Eğer Eş. 7.19’ da Y yerine ξα konulursa (∇ f )ξ X α =0 olur. 7.3.Teorem Indefinite ε α -S-manifold ( M ,φ ,ξ α ,η α , g ) nin real hiperyüzeyi M olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir. (i ) M bir ε α -S-manifolddur. ( ii ) ξα ( iii ) karakteristik vektör alanları Eş. 6.1.2’ yi sağlar A , (1,1) tipinde bir tensör alanı olmak üzere s +1 AX = ε α X − ∑ {η α ( Aξα ) − ε α }η α ( X ) ξα α =1 dır. (7.29) 127 İspat ( i ) ⇒ ( ii ) Eş. 7.19’ da Y yerine ξα konulursa s +1 (∇ f ) ξ = ∑{g ( X , ξ X α α =1 α ) ξα − ε αη α (ξα ) X } (7.30) olur, diğer taraftan (∇ f )ξ X α ( = ∇ X ( f ξα ) − f ∇ X ξα ) (7.31) olup Eş. 7.30 ve Eş. 7.31’ den ( s +1 ) − f ∇ X ξα = ∑ {ε αη α ( X ) − ε α X } α =1 ve buradan ∇ X ξα = −ε α fX (7.32) bulunur. ( ii ) ⇒ ( iii ) Eş. 7.15 ve Eş. 7.33’ den ⎛ s +1 ⎞ ⎛ s +1 ⎞ ⎝ α =1 ⎠ ⎝ α =1 ⎠ ε α f ⎜ PX + ∑η α ( X ) ξα ⎟ = f ⎜ PAX + ∑η α ( AX ) ξα ⎟ olur. Buradan, ε α fPX = fPAX ε α PX = PAX (7.34) 128 7.1.2.Teorem’ de X yerine ξα konulursa s +1 Aξα = ∑ ε α g ( AX , ξα ) ξα (7.35) α =1 olacaktır. Eş. 7.33, Eş. 7.34 ve Eş. 7.35 kullanılırsa s +1 AX = PAX + ∑ ε α g ( AX , ξα ) ξα α =1 = ε α PX + = ε α PX + = ε α PX + = ε α PX + = ε α PX + s +1 ε α g ( AX , ξα ) ξα ∑ α =1 s +1 ε α g ( X , Aξα ) ξα ∑ α =1 s +1 ⎛ s +1 ⎞ α =1 ⎝ α =1 ⎠ ∑ εα g ⎜ X , ∑η α ( Aξα ) ξα ⎟ ξα s +1 ε α g ( X , ξα )η α ( Aξα ) ξα ∑ α =1 s +1 ε αη α ( X )η α ( Aξα ) ξα ∑ α =1 s +1 s +1 α =1 α =1 = ε α PX −∑ ε αη α ( PX ) ξα + ∑ ε αη α ( Aξα )η α ( PX ) ξα s +1 + ∑ ε αη α ( X )η α ( Aξα ) ξα α =1 s +1 s +1 s +1 α =1 α =1 α =1 = ε α PX −∑ ε αη α ( PX ) ξα + ∑ ε αη α ( Aξα )η α ( PX ) ξα −∑ ε αη α ( X ) ξα s +1 s +1 + ∑ ε αη α ( X )η α ( Aξα ) ξα + ∑ ε αη α ( Aξα )η α ( Aξα )η α (ξα ) ξα α =1 α =1 s ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ε α ⎜ PX − ∑η α ( X ) ξα ⎟ −ε αη α ⎜ PX − ∑η α ( X ) ξα ⎟ ξα α =1 α =1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s ⎛ ⎞ +η α ( Aξα )η α ⎜ PX − ∑η α ( X ) ξα ⎟ ξα α =1 ⎝ ⎠ s s +1 = ε α X − ∑ (η α ( Aξα ) − ε α )η α ( X ) ξα α =1 bulunur. 129 ( iii ) ⇒ ( i ) Eş. 7.19 ve Eş. 7.29’ dan s +1 ( ∇ f ) Y = ∑ {η X α α =1 (Y ) AX − ε α g ( AX , Y ) ξα } s +1 s +1 ⎧ = ∑ ⎨η α (Y ) AX − ∑ (η α ( Aξα − ε α )η α ( X ) ξα ) α =1 ⎩ α =1 s +1 ⎛⎛ ⎞ ⎞ ⎫⎪ −ε α g ⎜ ⎜ ε α X − ∑ (η α ( Aξα ) − ε α )η α ( X ) ξα ⎟ , Y ⎟ ξα ⎬ α =1 ⎠ ⎠ ⎪⎭ ⎝⎝ s { = ∑ g ( X , Y ) ξα − ε αη α (Y ) X α =1 elde edilir. } 130 KAYNAKLAR 1. Aktan N., “S-Manifoldların Geometrisi Üzerine”, Osmangazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 32-40 (2006). 2. Bejancu A. ve Duggal K.L., “Real Hypersurfaces of Indefinite Kaehler Manifolds”, Internat, J. Math. Sci., 3: 545-556 (1993). 3. Bejancu A. ve Duggal K.L., “Lightlike Submanifolds of Semi-Riemannian Manifolds and Application”, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Boston London, 211-223 (1996). 4. Blair D.E., “Geometry of Manifolds With Structural Group U ( n ) × θ ( s ) ”, J.Diff.Geom. 4:155-167 (1970). 5. Blair D.E., Terlizzi L.D., Konderak J.J., “A Darboux Theorem Generalized Contact Manifolds”, Note di Matematica, 2: 147-152 (2006). 6. Blair D.E., “Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds”, Progess in Math., 203:31-115 (2001). 7. Brickell F. ve Clark R.S., “Differentiable Manifolds”, Van Nostrand, London, 5-19 1(970). 8. Brunetti L. ve Pastore A.M., “Curvature of a Class of Indefinite Globally Farmed f -Manifolds”, Bull. Math. Soc. Sci. Math.Roumanie Tome , 3:183204 (2008). 9. Chen B.Y., “Geometry of Submanifolds”, Marcel Dekker NY, 154-163 (1973). 10. Cabrerizo J.L., Fernandez L.M. ve Fernandez M., “The Curvature Tensor Fields on f -Manifolds with Complemented Frames”, An. Şt. Univ. “Al. I. Cuza” laşi Matematica, 36: 151-162 (1990). 11. Cabrerizo J.L., Fernandez L.M. ve Fernandez M., “A Classification of Certain Submanifolds of an S -Manifold”, Annales Polinici, Mathematici Liv., 2:117-123 (1991). 12. Cabrerizo J.L., Fernandez L.M. ve Fernandez M., “On normal CRSubmanifolds of S -Manifolds”, Colloquim Mathematicum, 64:203-214 (1993). 13. Dileo G. and Lotta A., “On The Structure and Symmetry Properties of Almost S -Manifolds”, Geometriae Dedicata, 191-211 (2005). 131 14. Duggal K.L., Ianus S. ve Pastore A..M., “Maps Interchanging f-structures and Their Harmonicity”, Acta Appli, Maths., 67:91-115 (2001). 15. Goldberg S.I. ve Yano K., “On Normal Globally Framed f-Manifolds”, Tohoku Math. Jour., 22:362-370 (1970). 16. Hacısalihoğlu H.H., “Diferensiyel Geometri”, İnönü Ünv. Fen Edebiyat Fak. Yayınları 2:75-97,(1983). 17. Ishihara S. , “Normal Structure f satisfying f 3 + f = 0 ”, Kodai Math. Sem. Rep., 18:36-47 (1966). 18. Ishihara S. ve Yano K., “On Integrability Conditions of a Structure f Satisfying f 3 + f = 0 ”, Quart, J, Math, Oxford (2), 15:217-222 (1964). 19. Kobayashi M. ve Tsuchiya S., “Invarriant Submanifolds in an f -Manifold With Complemented Frames”, Kodai Math. Sem. Rep., 24: 430-450 (1972). 20. Mihai I., “CR-Submanifolds of a framed f -Manifold”, Stud. Cerc. Math., 35:127-136 (1983). 21. Kobayashi M., “Semi-Invariant Submanifolds in an Complemented Frames”, Tensor, 51:155-178 (1990). f -Manifold With 22. Lotta A. ve Pastore A.M., “The Tanaka-Webster Connection For Almost S Manifolds and Cartan Geometry”, Archivum Mathematicum. 40: 47-61 (2004). 23. O’Neill B., “Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Academic Pres”, New York London, 215-257 (1983). 24. Sahikh De.U.C., A.A. ve Biswas, “On φ -Recurrend Sasakian Manifolds”, Novi Sad J. Math., 2: 43-48 (2003). 25. Terlizzi L.D. ve Pastore A.M., “Some results on K-manifolds”, Balkan Journal of Geometry ant Its Applications, 7:43-62 (2002). 26. Terlizzi L.D., “On The Curvature of a Generalization of Contact Metric Manifolds”, Acta Math, Hungar, 3:225-239 (2006). 27. Yano K. ve Kon M., “Structure on Manifolds”, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 3:252-286 (1984). 132 ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Soyadı, adı : SAĞBAŞ, Duygu Uyruğu : T.C. Doğum tarihi ve yeri : 11.04.1984 Ankara Medeni hali : Bekar Telefon : 0 (538) 968 72 65 e-mail : [email protected]. Eğitim Derece Eğitim Birimi Mezuniyet Tarihi Lisans Anadolu Üniversitesi / İşletme Bölümü 2008 Lisans Ankara Üniversitesi / Matematik Bölümü 2007 Lise Ankara Gazi Lisesi 2001 İş Deneyimi Yıl Yer Görev 2008-2009 Yeni Aşama Dersaneleri Öğretmen 2009-… Kızılay PTT Genel Müdürlüğü Memur Yabancı Dil İngilizce Hobiler Yüzme, Ebru Sanatı, Gitar Çalmak, Kitap Okumak