ÖKLİD DIŞI GEOMETRİLER Rönesans sonrası Avrupa`da, Kopernik

ÖKLİD DIŞI GEOMETRİLER
Rönesans sonrası Avrupa'da, Kopernik'le başlayan, Kepler, Galileo ve Newton'la 17.
yüzyılda doruğuna ulaşan bilimsel devrim, kökleri Helenistik döneme uzanan bir olaydır. O
dönemin seçkin bilginlerinden Aristarkus, güneş-merkezli astronomi düşüncesinde Kopernik'i
öncelemişti; Arşimet yaklaşık iki bin yıl sonra gelen Galileo'ya esin kaynağı olmuştu; Öklid
çağlar boyu yalnız matematik dünyasının değil, matematikle yakından ilgilenen hemen
herkesin gözünde özenilen, yetkin bir örnekti. Öklid, M.Ö. 300 sıralarında yazdığı 13 ciltlik
yapıtıyla ünlüdür. Bu yapıt, geometriyi (dolayısıyla matematiği) ispat bağlamında
aksiyomatik bir dizge olarak işleyen, ilk kapsamlı çalışmadır. 19. yüzyıl sonlarına gelinceye
kadar alanında tek ders kitabı olarak akademik çevrelerde okunan, okutulan Elementler'in,
kimi yetersizliklerine karşın, değerini bugün de sürdürdüğü söylenebilir .
(Öklid)
Egeli matematikçi Öklid'in kişisel yaşamı, aile çevresi, matematik dışı uğraş veya
meraklarına ilişkin hemen hiçbir şey bilinmemektedir. Bilinen tek şey; Iskenderiye Kraliyet
Enstitüsü'nde dönemin en saygın öğretmeni; alanında yüzyıllar boyu eşsiz kalan bir ders
kitabının yazarı olmasıdır. Eğitimini Atina'da Platon'un ünlü akademisinde tamamladığı
sanılmaktadır. O akademi ki giriş kapısında, ''Geometriyi bilmeyen hiç kimse bu kapıdan içeri
alınmaz!'' levhası asılıydı.
Öklid'in bilimsel kişiliği, unutulmayan iki sözünde yansımaktadır: Dönemin kralı I.
Ptolemy, okumada güçlük çektiği Elementler'in yazarına, "Geometriyi kestirmeden
öğrenmenin yolu yok mu?'' diye sorduğunda, Öklid "Özür dilerim, ama geometriye giden bir
kral yolu yoktur'' der. Bir gün dersini bitirdiğinde öğrencilerinden biri yaklaşır, ''Hocam,
verdiğiniz ispatlar çok güzel; ama pratikte bunlar neye yarar?'' diye sorduğunda, Öklid kapıda
bekleyen kölesini çağırır, "Bu delikanlıya 5-10 kuruş ver, vaktinin boşa gitmediğini görsün!''
demekle yetinir .
Yunanca bir sözcük olan geometri, anlam olarak yerin ölçülmesi demektir. Geometri
çok eski çağlardan bu yana vardı. Ancak bu bilgiye geometri adı ilk kez eski Yunanlılarca
verilmiş olup, ondan sonra aksiomlara dayalı bir bilgi haline gelerek, halen de
kullanılmaktadır. Euclides’in M.Ö. 300 yılında yazdığı “Elementler, Grekçe Στοιχεῖα” adlı 13
ciltten oluşan kitap, geometrinin sistemli bir bilgi haline gelmesine öncülük etmiştir. Herkesin
bildiği gibi, bizlere de eğitimimiz boyunca öğretilen geometri, Euclid’ in ortaya koyduğu bu
düzlem geometridir. Euclid düzlem geometrisinde temel elemanlar noktalar ile doğrulardır.
Ne var ki, içinde yaşadığımız doğadaki hiç bir yüzey bir düzlem olmadığı gibi, çizgiler de
Euclid’ in tanımını yaptığı doğru niteliğinde olmayıp eğriler biçimindedir.
Aksiyom ispata gerek olmayan temel gerçekler anlamını taşır. Postulat'ın aksiyomdan
farkı ise aksiyomlar tüm bilimler için geçerli iken postulat'lar özel bir bilim dalı için
geçerlidir. İyi bir bilimsel çalışma ne kadar az aksiyom'a ihtiyaç duyduğuna göre belirlenir.
Günümüz dünyasında aralarında postulatla fark gözetilmeksizin hepsine aksiyom
denmektedir. Aksiyometik sistem içinde yazılan kitaplar da, öncelikle aksiyom ve tanımları
verilir, ardından da her bir problemin ispatları verilerek çözülür. İspatı verilmeyen bir çözüm
yöntemi başka bir problemin çözümünde kullanılmaz. Öklid 13 ciltten oluşan
Elementeler'inde toplam 5 postulat kullanmıştır. Bu postulatlar:
1.
2.
3.
4.
5.
Herhangi iki nokta arasına bir doğru çizilebilir.
Bir doğru sonsuza kadar uzatılabilir.
Çember bir merkez ve bir uzaklıkla tanımlanır.
Tüm dik açılar eşittir.
Başka iki doğruyu kesen bir doğru, bu iki doğru ile aynı tarafta, toplamları 180 o den
küçük açılar oluşturursa, iki doğru bu açıların bulunduğu tarafta kesişirler.
Öklid geometrisi düzlemlerde ve Dünya yüzeyi gibi eğik olmakla birlikte eğikliğin
göz ardı edilebileceği küçük ölçeklerde doğru işlemekle birlikte, gerçek hayatta karşılaşılan
geometri problemleri aslında Öklid dışı geometrinin konusunu oluşturuyorlar. Öklit bu
aksiyomları ile geometriyi kendi içinde çelişkisiz ve tutarlı bir bilim durumuna getirmiştir.
Bilimdeki gelişmeler ve dünyanın düz olduğu görüşünün çok gerilerde kalması öklit
geometrisinin sınırlarının zorlanmasına yol açtı. Fizikçiler artık küresel bir dünyadan
bahsediyordu ve matematiğin buna uyum sağlaması gerekiyordu. Bu ihtiyaç öklit dışı
geometrilerin ortaya çıkmasına yol açtı. Yukarıdaki aksiyomları okuduğunuz anda hemen
farkına varıyorsunuz, Paralellik Aksiyomu olarak anılan 5. postulat diğerlerine pek de
benzemiyor... Ki Öklid'de bu aksiyomdan pek hoşnut kalmamış ve ilk 28 ispatta
kullanmamıştır. Aslında bugün okullarımız da okutulan ve Playfair aksiyomu olarak anılan
çözüm hemen bir yüzyıl sonra Proclus tarafından verilmiştir : "Bir doğrunun dışındaki bir
noktadan kendisine ancak bir paralel çizilebilir." 5. postulanın kabul edilebilir bir tanımı
yapılmış olasına rağmen matematikçiler bu konu üzerinde çalışmaya devam etmişler.
Ömer Hayyam ile Tûsî’nin Euclid’in paralel doğru teorisiyle ilgili beşinci postulatın
incelenmesi yeni bir devrin başladığını gösterir. Ömer Hayyâm’ın Fî Şerhi mâ Eşkale min
Müsaderat Kitabı Euclid (Euclid Elemanlarının Zorluğu Üzerine) adlı yapıtı bir anlamda
Euclid dışı geometrilere açılan ilk kapıdır. Bu Müslüman geometri alimleri ile kitapları,
Rönesanstan sonra Avrupa’da yetişenlere rehberlik ettiler. Batıda geometrinin gelişmesi, doğu
ile aralarındaki bağın yeniden kurulması, ancak Rönesansla olanak kazandı. Euclid’in
paraleller postulatının ilk eleştirmenleri, bu postulatın doğruluğundan değil, açık bir noktanın
olmayışından şüphelendiler. Bu nedenle postulatı bir tarafa bırakarak, açıklığı olan başka bir
postulatı ortaya koymaya çalıştılar. Aynı problemi 13. yüzyılda İranlı Matematikçi Nasireddin
Tusi de yeniden ele aldı. On sekizinci asırda paraleller postulatı üstüne Avrupa’da Papaz
Sacheri, Legender, Lambert gibi matematikçiler de uğraştı. Bilim tarihinde bir çok konuda
olduğu gibi bu konuda da bir birinden bağımsız eş zamanlı çalışmalar gerçekleşmiş. Janos
Bolyai, Macar matematikçi Farkas Bolyai'nin oğlu. Asıl mesleği askerlik. Bu konu üzerindeki
çalışmalarını babasının kitabında ek olarak yayınlatmış ve ünlü matematikçi Gauss'un
arkadaşı olan babasından makalesini Gauss'a göstermesini rica etmiştir. Gauss'un buna cevabı
ise bu konuda kendisinin bunu önceden ispatladığı fakat yayınlamadığıdır. Bunu öğrenen
Janos Bolyai kırılmış ve matematiği bırakmıştır. Gerçekten de Gauss bunu ispatlaya bilmek
için üç dağın zirvesinin oluşturduğu üçgenin iç açılarını ölçerek toplamayı
denemiştir. Lobachevsky ise Kazan'da kendi haline bir matematik öğretmeni iken yaptığı
çalışmaları küçük bir broşür olarak yayınlamıştır. 19. asırda Alman Matematikçi Gauss
tarafından çeşitli çalışmalar yapıldı. Bu araştırmalardaki başarısızlık, bu postulatın “kabul
edilebilir” özellikteki açık önermelerden faydalanarak ispat edilemeyeceği düşüncesini ortaya
koydu.
Çok geçmeden bu düşünce Janos Bolyai (1832) de, Nikolai Ivanovch Lobachevsky
(1855) de “paraleller postulatı” yerine “Lobacevski postulatı” nı (Bir doğruya bir doğru
dışındaki her noktadan iki paralel çizilebileceğini kabul eden postulat) koyarak, yeni bir
geometri kurulabileceğinin farkına vardılar. Böyece “Hiperbolik Geometri” denilen yeni bir
geometrinin temelleri atılmış oldu. Karl Friedrich Gauss da bu alanda çalıştı, ancak
çalışmalarını gizli tuttu. Sonrasında Eugenio Beltrami modeller sağladı, bu modelleri
kullanarak eğer Euclid Geometrisi tutarlıysa hiperbolik geometrinin de tutarlı olduğunu
kanıtladı. Daha sonra Georg Friedrich Bernhard Riemann paralelliğini kabul etmeyen “Eliptik
Geometri”nin temellerini attı.
Hiperbolik geometri Öklid geometrisinden bir aksiomla ayrılır. Öklit'in paralellik
aksiomunun tersini doğru olarak kabul eden geometride bir doğrunun dışındaki bir noktadan
birden çok (sonsuz) tane paralel doğru geçebilir. Ayrıca bir üçgenin iç açıları toplamı her
zaman iki tane dik açıdan küçüktür. Hiperbolik geometride (Lobachevsky, Bolyai, Gauss
geometrileri) geometrik resimlerin, traktrice ya da traktrix denen bir hiperbolün 360 derece
dönmesinden elde edlen, borozana benzeyen bir yapının dış yüzüne çizildiği varsayılır.
Böylece geometrik resimler içbükey bir düzleme çizilmiş olurlar. Burada geometrik yapıların,
söz gelimi bir üçgenin kenarları içe dönük eğriler biçiminde görünürler. Buna bağlı olarak
üçgenin iç açıları, Euclid üçgeninkinden daha dardır. Buna bağlı olarak hiperbolik
geometrideki üçgenlerin iç açılarının toplamı 180 dereceden daha ufaktır. Buna karşılık
eliptik geometride (Riemann eometrisi) resimlerin, br elipsoidin ya da bir kürenin dış yüzüne
çizildiği kabul edilir. Bu durumda çizilen üçgenin kenarları dışa dönük eğrilerden oluşur. Bu
yüzden bu üçgenin iç açıları Euclid üçgeninkinden büyük olacağından, eliptik geometride bir
üçgenin
iç
açıları
toplamı
180
dereceden
daha
büyüktür.
(hiperbolik
geometri
örnekleri)
Örnek vermek gerekirse:
Newyork ile Madrid arasındaki en kısa mesafeyi nasıl gösterirsiniz? Öklitçi düşünce
tarzına göre harita üzerinde Madrid ve Newyork arasında düz bir çizgi çizersiniz. Bir uçakla
bu çizgi üzerinde yol alırsanız 3707 mil yol gidersiniz. Ancak büyük çember boyunca
uçarsanız yani kuzeydoğuya yönelip, sonra yavaş yavaş güneydoğuya yönelirseniz kat
ettiğiniz mesafe 3605 mil olacaktır. Bu yolun yerküreyi düz gösteren harita üzerindeki
görüntüsü aldatıcıdır.
(eliptik geometri örneği)
Dünya gibi cisimler külteçekimi denilen kuvvet yüzünden çok eğrilmiş uzayda,
jeodezik denilen, doğru çizgiye en yakın yolu izlediklerinden eğik yörüngeler üzerinde
hareket ederler. En ünlü jeodezi Gauss’undur. Gauss’tan önce Euler, Lagrange ve Monge bazı
eğrisel yüzeyleri incelemişlerdi. Fakat, Gauss daha genel olarak incelemiş ve diferansiyel
geometrinin birinci büyük devresi böylece doğmuştu.
(Bernhard Riemann)
İkinci devre 1854 yılında Riemann geometrisi ile olmuştur. 1854’te G.F.Bernhard
Riemann, Öklit’in 5. aksiyomunun tersini kabul ederek: “Bir noktadan dışındaki bir doğruya
hiçbir paralel doğru çizilemez” şeklinde ve “bir doğru parçası doğrusal bir çizgi üzerinde
sürekli uzatılabilir” aksiyomunu da “bir doğru sınırsızdır ama sonsuz değildir” (yani doğrunun
başlangıç ve bitiş noktaları yoktur ama uzunluğu sonsuzdur) şeklinde değiştirdi. Böylece
küresel ya da Eliptik Geometri’yi kurdu. B.Riemann’ın aksiyomları tüm doğruların büyük
çemberler olduğu kürenin yüzeyindeki geometride gerçekleşebilir (Büyük çember: merkezi
kürenin merkezi olan kürenin yüzeyindeki bir çemberdir. Küresel geometrideki doğrular iki
noktada kesişen büyük çemberlerdir. Bu yüzden hiçbir doğru paralel değildir). B.Riemann’ın
kurduğu bu eliptik geometri geliştirdiği n-boyutlu eğri uzun kavramı ve bulduğu “iki nokta
arasındaki uzaklığı tanımlamanın bir geometri kurmak için yeterli olduğu” gerçeği yeni bir
dönüm noktası olmuştur. 20. yy’ın başında A.Einstein’in geliştirdiği genel görelilik kuramı ile
Riemann geometrisi arasındaki uyum, başlangıçta yararsız bulunan Öklit dışı geometrilerin
üstünlüğünün ilk adımını oluşturdu. Analiz ve diferensiyel geometri dalında bilime çok
önemli katkıları olan Alman matematikçi Riemann’ın bilime bu katkıları daha sonra
geliştirilen rölativite teorisinin geliştirilmesinde de önemli rol oynamıştır. Riemann’ın Öklit
dışı geometrinin üzerine yaptığı çalışmalar için Einstein 60 yıl sonra şöyle diyecekti: “Bu
yoruma çok önem veriyorum, bundan haberim olmasaydı görelilik kuramını hiçbir zaman
geliştiremeyecektim.” Düz ayna anlayışı üzerine kurulmuş Öklit geometrisi Einstein’a kadar
fizikçilerin kullandığı matematiğin temelini oluşturmuştur. Einstein ile Riemann’ın eliptik
geometrisinin ön plana çıktığı görülmektedir.
Euclid dışı geometrilerin gelişiminin fizik için çok önemli olduğu, yirminci yüzyılda
kanıtlanmıştır. Işık hızının sınırının belirli olmasına karşın, hiperbolik geometrinin
kullanılması bazı hız artışlarını gerekli kılmıştır. Einstein’ nin görecelik (relativity) kuramı
uzayı genellikle düz olarak tanımlar (Euclidian görüş), Fakat uzay, maddenin bulunduğu
(galaksiler, nebulalar) kıyı kesimlerinde eliptiktir (Euclid- dışı görüş). Demek ki evren bir
elipsoidin dış çeperinde yerleşmiş olarak bulunmaktadır. Uzayın sürekli olarak genişliyor
olması yüzünden [Hubble Sabiti ], maddenin bulunmadığı uzay bölgesi (elipsoidin iç kesimi)
hiperbolik model kullanılarak tanımlanabilir. Eğimin nokta nokta değiştiği kıyı kesiminde
Riemann geometrisi geçerlidir. Hubble Sabiti, Edwin Hubble'ın keşfiyle ortaya çıkan, onun
adıyla anılan kozmolojik bir sabittir. Hubble Sabitinin değeri Megaparsek başına 3,26 milyon
ışık yılıdır. Galaksileri gözlemleyen Edwin Hubble, onların ışıklarının kırmızıya kayma
oranlarından hızları ile dünyaya olan uzaklıklarını hesaplamıştır. Bu hızların uzaklıklarına
oranının hep sabit olduğunu görmüştür. İşte bu sabit Hubble Sabitidir. Bu oranın sabitliğinden
yola çıkılarak evrenin homojen olup genişlediği, çünkü ancak homojense sabit bir genişleme
oranı olduğu modeli ortaya atılmıştır. Bugün bu tez büyük ölçüde bilim adamlarınca kabul
edilen evren modelidir.
Kaynakçalar:
http://www.deu.edu.tr/UploadedFiles/Birimler/18280/36-39_pdf.pdf
http://huygun.blogspot.com/2005/02/klid-d-geometri.html
http://www.genbilim.com/content/view/4672/37/
http://www.ozkanserdar.com/index.php?view=article&catid=31%3Agenel&id=75%3
Aeuclid&format=pdf&option=com_content
http://www.genbilim.com/index.php?option=com_content&task=view&id=6508