f ``(x)

24.10.2016
1
TÜREV KAVRAMI
TANIM: f : A
olmak üzere
R , y=f(x) fonksiyonu ve a  A da sürekli
f ( x)  f (a )
lim
xa
x a
limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun
x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya
gösterilir.
df
dx
(a ) sembolleri ile
h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır.
f ( x)  f (a )
lim
x a
24.10.2016
xa
=
f (a  h)  f (a )
lim
h 0
h
olur.
2
ÖRNEK: f: R → R
, f(x)=x2 fonksiyonunun x=2
noktasındaki türevini bulalım.
ÇÖZÜM= f(x)=x2 fonksiyonu x=2 de süreklidir
f  ( 2 )  lim
f ( x)  f (2)
x 2
x2
x 4
( x  2 )( x  2 )
2
f ( 2 )  lim
24.10.2016
x 2
x2
 lim
x 2
x2
 4
3
SOLDAN SAĞDAN TÜREV
TANIM: A  R , a  A
1. lim
varsa
x a
_
f ( x)  f (a )
xa
Limitinin bir reel sayıdeğeri
bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi
denir ve f’(a-) şeklinde gösterilir.
2.
lim
xa

f( x ) f( a )
xa
Limitinin bir reel sayı değeri
varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan
türevi denir ve f’(a+) şeklinde gösterilir.
4
TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ
Teorem: A  R , a  A olmak üzere; f : A  R
fonksiyonu a
noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.
ÖNEMLİ UYARILAR
1. y=f(x) a  A , da türevli ise x=a da süreklidir.
2.f '(a) =f(a) ve f(x) fonksiyonu x=a da sürekli
olmalıdır ki f(x) x =a da türevli olsun
3.Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken
bu noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse
sağdan ve soldan türevlerini eşitliğine bakılır.
24.10.2016
5
Örnek:
x 2
2
f ( x) 
x 22
hangi noktalarda türevsizdir?
2
Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız
dolayısıyla süreksizdir.
x 2
2
f (x) 
x  x2
2
x=-1 ve x=2 noktalarında
süreksiz dolayısıyla türevsizdir.
24.10.2016
6
BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME
TANIM: a,b  R olmak üzere f : ( a , b )  R
fonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında
türevi varsa f fonksiyonu (a,b) aralığında
türevlidir. A  R olmak üzere
fonksiyonu A tanım kümesinin her
noktasında türevli ise f fonksiyonu tanımlı
kümesinde türevlidir.
f :A R
24.10.2016
7
TÜREV ALMA KURALLARI
1) f(x)= c
f’(x) = 0
2) f(x) = xn
f’(x) = n . xn-1
3) (c . f (x) )’ = c . f’(x)

4)  f ( x )  g ( x )   f ( x )  g ( x )
5)

 f ( x ). g ( x ) 
 f ( x ). g ( x )  g ( x ). f ( x )



6)  f ( x )   f ( x ). g ( x )  g 2 ( x ). f ( x )
 g ( x) 
7) ÖZEL DURUM:
24.10.2016
g ( x ) 
f (x) 
ax  b
cx  d
ise
f ( x ) 
ad  bc
( cx  d )
2
8
MUTLAK DEĞER FONKSİYONUN TÜREVİ
y  f ( x ) ise
  f  ( x ) , f ( x )  0 ise
y  
f ( x )  0 ise
 f ( x ) ,
NOT:
Mutlak değer içini sıfır yapan tek
katlı köklerde türev yoktur. Çift katlı
köklerde ise türev vardır.
ÖRNEK:
ÖRNEK:
24.10.2016
f(x)= |x2-4| fonksiyonunun
x= 2 deki türevi varsa
bulunuz
f(x)= |x2| fonksiyonunun x= 0
deki türevini inceleyiniz
9
BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ (zincir kuralı)
h ( x )  ( fog )( x ) ise

h ( x )  fog ( x )   f ( g ( x )). g ( x )
h ( x )  fogoh ( x )
dir
ise


h ( x )  ( gofoh )( x )   g ( f ( h ( x )) f ( h ( x )). h ( x )
SONUÇ:
dir .
y  f (t)
t  g(z)
z  h(x)
ise
dy
dx
24.10.2016

dy
dt
.
dt
dz
.
dz
dir .
dx
10
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
y
T
F(a+h)
A
F(a)

B
C

a
kesen
Y=f(x)
a+h
x
teğet
24.10.2016
11
mAB=tan  =
BC
AC

f (a  h)  f (a )
(a  h)  a

f (a  h)  f (a )
h
AB kirişinin eğimi h  0 için AT teğetinin eğimine eşit
olacağından
f (a  h)  f (a ) f ' (a )
mAT =
lim

h0
(a  h)  a
O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini
x=a noktasındaki teğetinin eğimi f
fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine
eşittir. İşte türevin geometrik anlamı da
budur.
24.10.2016
12
TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ
y
f(a)
Teğet
.
Y=f(x)
Normal
a
24.10.2016
x
13
A (a, f(a)) noktasından çizilen teğet denklemini
bulmak için önce eğim bulunur. Fonksiyonun bu
noktadaki türevi eğimi vereceğinden
y-f(a) =f'(a) . (x- a) teğet denklemi bulunur.
m t .m n   1
Anoktasındaki
normal denklemi ise
şöyle olur:
mn  
1
 
mt
y  f (a )  
1
f ' (a )
1
f ' (a )
24.10.2016
. (x-a)
14
Örnek: y= f(x)= -x2 +2x –3 parabolünün x=3 apsisli
noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini
bulalım.
Çözüm: x=3, y=-6 olur. f'(x)= -2x +2 olduğundan
teğetin eğimi: MT =f'(3)=(-2 . 3)+2 =-4
normalin eğimi: MN =-1/mT=-1/f'(3) =-1/-4 =1/4
Teğet denklemi: y-(-6)=-4(x-3) ,
y=-4x +6
Normal denklemi : y-(-6)=1/4(x-3) , y=x/4- 27/4
24.10.2016
15
ARTAN ve AZALAN
FONKSİYONLAR
i) Her x1, x2 A için, x1<x2 iken, f(x1)< f(x2) ise,
fonksiyonu, A kümesinde, artandır.
24.10.2016
16
m=tan= f ’(x1)>0 ise, f fonksiyonu (a,b)
aralığında artandır.
24.10.2016
17
ii) Her x1, x2 A için, x1<x2 iken, f(x1)> f(x2) ise, f
fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.
24.10.2016
18
m=tan= f ’(x1)<0 ise, f fonksiyonu (a,b)
aralığında azalandır.
24.10.2016
19
f:[a,b]R fonksiyonu,(a,b) aralığında artan ve türevli ise,
fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında
- artan bir
fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için
f’(x)>0’dır.
b
b
a
f’(x)
+++++
f(x)
artan
SONUÇ
f:[a,b]R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan
ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi
negatiftir.
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan
fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için,
f’(x)<0’dır.
aa
b
f’(x)
-----
f(x)
azalan
24.10.2016
22
Soru: f(x)=x2-2x fonksiyonunun artan veya
azalan olduğu aralıkları bulunuz?
Çözüm
::
Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları
bulabilmek için, türevinin işaretini incelemeliyiz.
-
f’(x)
f(x)=x2-2x  f’(x)= 2x-2
2x-2=0  x=1 olur.
24.10.2016
f(x)
1
-
+
+
azalan artan
23
Soru: R-{-2} için, f(x)=
mx  1
x  2
fonksiyonu-
nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır?
Çözüm :
Fonksiyonun daima artan olabilmesi için, f’(x)>0
olmalıdır.
f’(x)=
m .( x  2 )  1 .( mx  1)
Buradan
24.10.2016
(x  2)
2m  1
(x  2)
2
2
0

=
mx  2 m  mx  1
2m  1  0
(x  2)

2
m 
1
2
=
2m  1
(x  2)
2
bulunur.
24
y
-3
-2
Y=f(x)
4
x
Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3,4]
aralığındaki grafiğini görmektesiniz.Bu
grafiğe göre, f(x)’in türevinin pozitif veya
negatif olduğu aralıkları bulunuz?
24.10.2016
25
Çözüm :
a) [-3,-2) aralığında,
Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır.
b) (-2,4)
aralığında,
Fonksiyon artan olduğundan, f ‘(x) > 0’dır.
24.10.2016
26
y
Y=f’(x)
-3
-2 -1
0
1
2
3
4
x
Şekilde, y=f’(x) fonksiyonunun, [-3,4]
aralığındaki türevinin grafiğini
görmektesiniz. Grafiğe bakarak, f(x)’in
artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz?
24.10.2016
27
y
Çözüm :
a) [-3,-2) aralığında:
Y=f’(x)
-3 -2
-1 0 1 2 3 4
x
f’(x) > 0 olduğundan, f(x) bu aralıkta artan’dır.
b) (-2,0) aralığında:
f’(x) < 0 olduğundan, f(x) bu aralıkta azalan’dır.
c) (0,4] aralığında:
x=3 noktası hariç, f’(x) > 0
olduğundan,
f(x) bu aralıkta artan’dır.
24.10.2016
28
MAKSİMUM ve MİNUMUM
NOKTALARININ BULUNMASI
24.10.2016
29
1. YEREL MAKSİMUM NOKTASI:
Tanım: f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0(a,b) ve
 > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında en büyük
değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir
yerel maksimumu vardır.
f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri
denir.
a
f(x0)
f ’(x)
Y=f(x)
a
x0- 
x0
x o+ 
f(x)
b
x0
+
b
-
f(x0)
Maksimum
2. YEREL MİNİMUM NOKTASI:
Tanım:f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0(a,b) ve
 > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında en küçük
değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir
yerel minimumu vardır.
f(x0) değerine, fonksiyonun bir
denir.
yerel minimum degeri
a
Y=f(x)
a
f(x0)
x0
x o+ 
f ’(x)
f(x)
x0
-
b
+
f(x0)
b
Minimum
31
Sonuç:
Yerel f(b)
maksimum
a
+
+
+
+++ - +
c
24.10.2016
d
--
f(a) -
-
f(d)
f ’(x)>0
f(c)
-
+
+
+
+
+
+
+
y=f(x)
b
Yerel minimum
f ’(x)<0
f ’(x)>0
32
24.10.2016
33
Soru
:
f(x)= x3-3x2+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve
yerel minimum noktalarını bulunuz?
Cözüm:
Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz:
f’(x)= 3x2-6x = 0 
-
x1= 0 ve x2= 2
f’(x)
x1= 0  f(0)= 1
x2= 2  f(2)= -3
f(x)
24.10.2016
0
+
0
1
2
-
-
0
+
++
-3
34
Soru : y
-
+
+
+
+++
y=f ’(x)
+
+
-4 -2 –1 0
Cözüm :
f’(x) - -
+
+
+
3
5
x
--
-4
0
Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun türevinin grafiğini
görüyorsunuz. Bu grafiğe
bakarak, y=f(x) fonksiyonunun, yerel maksimum ve
yerel minimum noktalarını
bulunuz?
5
++
0
- -
f(x)
24.10.2016
35
. İKİNCİ TÜREVİN
GEOMETRİK ANLAMI
24.10.2016
36
f:[a,b] R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci mertebeden
türevli olsun:
y=f(x)
y
B
A

a

x1
x2 b
x
Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru
bakmaktadır.
a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne
dikkat ediniz.!
24.10.2016
37
y=f(x)
y
B
A

a

x1
x2
b
x
Bu teğetlerin eğimleri;
m1= tan=f’(x1)
ve
m2=tan=f’(x2)
  tan< tan  f’(x1) < f’(x2) ‘dir.
Yani;
x1< x2 için, f’(x1) < f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır.
f’24.10.2016
fonksiyonu artan olduğundan, türevi, f’’(x) > 0 ‘dır.38
Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim:
B
A


a x1
x2
b
a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat!
Bu teğetlerin eğimleri;
m1= tan=f’(x1) ve m2= tan =f’(x2) ‘dir.
24.10.2016
39
B
A


  tan> tan
a x1

x2
b
f’(x1) > f’(x2) ‘dir.
Yani;
x1< x2 için, f’(x1) > f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu
azalan’dır. f’ fonksiyonu azalan olduğundan, türevi,
f’’(x) < 0 ‘dır.
40
SONUÇ:
Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)< 0
oluyorsa, f fonksiyonunun bu
aralıktaki grafiğinin çukurluk
yönü aşağı doğrudur.
f’’(x)<
24.10.2016 0 Konkav
Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)> 0
oluyorsa, f fonksiyonunun bu
aralıktaki grafiğinin çukurluk
yönü yukarı doğrudur.
f’’(x)> 0 Konveks
Soru
:
f:R R, f(x)= x3+x2-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav
olduğu aralıkları araştırınız?
Çözüm :
Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz.
f’(x)=3x2+2x-2
f’’(x)=6x+2 = 0
- 
f’’(x)
-- -
-1/3
+ +
+
+
f(x)
x= -1/3
24.10.2016
42
Bir önceki örnekte görüldüğü gibi, fonksiyon
eğrisi, eğrilik yönünü bazı noktalarda
değiştirmektedir:
TANIM
Bir f fonksiyonunun grafiğinin, çukurluğunun yön
değiştirdiği ve fonksiyonun sürekli olduğu
noktaya,
Dönüm (büküm)
noktası
denir.
24.10.2016
43
Şekilleri dikkatle inceleyiniz!!!
f(x0)
a
0
f ’’(x)<0
f(x0)
x0
b
f ’’(x)>0
f ’’(x0)=0
Dönüm noktası
0 a
f ’’(x)>0
x0
b
f ’’(x)<0
f ’’(x0)=yok
Dönüm noktası
DİKKAT:
İkinci türevin işaret değiştirdiği nokta DÖNÜM
24.10.2016
noktasıdır.
44
Uygulamalar
24.10.2016
45
1. f: RR, f(x)= x4+x3-2x fonksiyonunun, konveks ve
konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını
bulunuz?
Çözüm :
f’(x)= 4x3+3x2-2
f’’(x)= 12x2+6x
İkinci türevin kökleri:
6x=0
12x2+6x=0
24.10.2016
6x(2x+1) = 0
Tablosunu yaparsak
x1= 0
(2x+1)= 0 x2=-1/2
46
f’’(x)= 12x2+6x
x
f’’(x)
-
+
-1/2
0
-
+
+
f(x)
konveks
konkav
Dönüm
noktası
24.10.2016
konveks
Dönüm
noktası
47
SORU 2.
f: RR, f(x)=(x-3)4 fonksiyonunun, varsa,
dönüm noktasını bulunuz?
Çözüm :
f’(x)=4(x-3)3
f’’(x)= 12(x-3)2
ve
12(x-3)2=0  x1=x2=3
x
f’’(x)
f(x)
24.10.2016
- 
+
3
+
+ 
konveks
konveks
X= 3 de Dönüm noktası varmıdır?
48
x=3 noktası, ikinci türevin kökü olduğu
halde, dönüm noktası değildir
Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir!
Yani; f’’(x0)=0 olması, x0 noktasının DÖNÜM
noktası olmasını gerektirmez!!!!
24.10.2016
49
24.10.2016
50
1.
lim
x
x2
2
x
 7 x  10
2
 3x  2
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
lim
x2
lim
x2
24.10.2016
x
2
x
2
x
2
x
2
 7 x  10
 3x  2
 7 x  10
 3x  2
=
=
lim
x2
0
0
belirsizliği var
2x  7
2x  3
=
2 .2  7
2 .2  3
=
3
1
 3
51
3.
lim
1  cos x
x π
limitinin değerini bulunuz?
sin x
Çözüm :
lim
x π
lim
x π
1  cos x
sin x
1  cos x
sin x
 sin π
24.10.2016
cos π
=
=
=
0
0
belirsizliği var
- sinx
cosx
lim
xπ
0
 1
=
0
52
4.
ln( x  1)
lim
x
e
x
 cos x
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
lim
x 
ln( x  1)
e  cos x
x
=


belirsizliği var
1
lim
x
24.10.2016
ln( x  1)
e
x
 cos x
=
0
lim
x 
x  1
ex - sinx
0

53
5. lim
x0
ln(sin x )
ln(sin 2 x )
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
lim
ln(sin x )
x0
ln(sin 2 x )
lim
x0
lim
x0
24.10.2016
=
ln(sin x )
ln(sin 2 x )


= lim
x0
cosx/sinx
=
2cos2x/sin2x
belirsizliği var
cosx/sinx
2cos2x/sin2x
lim Cosx.sin2x
x 0
2cos2x.sinx
54
6.
lim
x 
1
e
limitinin değerini bulunuz?
x
x
Çözüm :
1
lim
x 
e
x
x
=0


L’Hospital den
lim
x 
lim
x
1
e
x
x
e
x
x
=
=
lim
x
x
e
lim
x 1
e
x
x
=
=


e
1
= = 
1
55
Cosx.sin2x
lim
x  0 2cos2x.sinx
lim
x 0
24.10.2016
2.sinx.cos2x
2cos2x.sinx
=
2sinx.cosx
2 . cos
2
0
2 . cos( 2 . 0 )
2. 1
=
=1
2. 1
56
7.
lim x . sin  x2  limitinin değerini bulunuz?
x
Çözüm :
lim x . sin  x2  =  
x
sin(
lim
x
1
2
x
)
=
0
0
x
sin(
lim
x
1
x
24.10.2016
2
x
 2
)
= lim
x
x
2
 cos
 1
x
2
2
x
= lim 2 . cos( 2 / x ) =
x
57
2
8.
1 
 1
lim 


x1 x  1
ln x 

limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
1 
 1
lim 


x1 x  1
ln x 

1 
 1
lim 


x1 x  1
ln x 

24.10.2016
=
=
- 
 ln x  x  1 

lim 
x  1 ln x  ( x  1 )


=
0
0
58
L hospital uygularsak
 ln x  x  1 

lim 
x  1 ln x  ( x  1) 


=
lim
x1
1
1
x
x
 1
=
 ( x  1)  ln x
1  x
lim
x1
x
( x  1 )  x. ln x
=
lim
x1
1  x
=
( x  1)  x. ln x
0
0
x
:
24.10.2016
59
24.10.2016
60
SUNUMUZ BURADA SONA
ERMİŞTİR...
SEYFETTİN KESKİN
Matematik Öğretmeni
24.10.2016
61