ankara üniversitesi fen bilimleri enstitüsü doktora tezi sınır

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE OLAN DİFERENSİYEL
OPERATÖRLERİN SPEKTRAL ANALİZİ
M. Seyyit SEYYİDOĞLU
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2006
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
SINIR ŞARTLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE OLAN DİFERENSİYEL
OPERATÖRLERİN SPEKTRAL ANALİZİ
M. Seyyit SEYYİDOĞLU
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman : Prof.Dr. Elgiz BAYRAM
Bu çalışmada, L ile L2 (R+ ) uzayında
−y 00 + q(x)y = λ2 y
,
x ∈ R+
(α0 + α1 λ)y 0 (0) − (β 0 + β 1 λ)y(0) = 0
sınır değer problemi yardımıyla üretilen diferensiyel operatörü göstereceğiz. Burada
α0 , α1 , β 0 , β 1 sayıları α0 β 1 − α1 β 0 6= 0 şartını sağlayan kompleks sabitler, λ kompleks
parametre ve q kompleks değerli bir fonksiyondur.
Bu tez üç bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde, spektral analizin temel tanım ve teoremleri hatırlatılmıştır.
Orijinal sonuçlar üçüncü bölümde yer almaktadır.
Bu bölümde, analitik fonksiyonların birebirlik teoremleri kullanılarak, L opera- törünün
özdeğerleri ve spektral tekillikleri incelenmiştir. Ayrıca, L operatörünün sonlu sayıda
özdeğere ve spektral tekilliğe sahip olması için q fonksiyonu üzerindeki yeter şartlar
elde edilmiştir.
2006, 55 sayfa
Anahtar Kelimeler : Sturm-Liouville problemi, Spektral tekillik, Özdeğer, Jost
çözümü
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
SPECTRAL ANALYSIS OF DIFFERENTIAL OPERATORS WITH
BOUNDARY CONDITIONS DEPENDING ON THE EIGENPARAMETER
M. Seyyit SEYYİDOĞLU
Ankara University
Graduate School of Natural And Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor : Prof.Dr. Elgiz BAYRAM
In this study, we denote the operator generated in L2 (R+ ) by the boundary value
problem
−y 00 + q(x)y = λ2 y
0
,
x ∈ R+
(α0 + α1 λ)y (0) − (β 0 + β 1 λ)y(0) = 0
by L where q is a complex valued function, λ is a spectral parameter and α0 , α1 , β 0 , β 1
are complex constants with α0 β 1 − α1 β 0 6= 0.
This thesis consist of three chapters.
The first chapter has been devoted to the introduction.
In the second chapter, some basic definitions and main theorems of spectral analysis
have been recalled.
Our original results are contained in the third chapter.
In this chapter, using the uniqueness theorems of analytic functions, we investigate
the eigenvalues and the spectral singularities of L. Furthermore we have obtained
the sufficient conditions on q under which the operator L has a finite number of the
eigenvaules and spectral singularities.
2006, 55 pages
Key Words : Sturm-Liouville problem, Spectral singularity, Eigenvalue, Jost solution
ii
TEŞEKKÜR
Doktora çalışmamı yaptığım süre boyunca, büyük fedakarlık göstererek sabır ve
dikkatle çalışmalarımda bana rehberlik eden kıymetli hocam Sayın Prof.Dr. Elgiz
BAYRAM (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’a, her zaman yanımda olan sevgili
aileme ve tez çalışmalarım sırasında bilgilerinden istifade ettiğim arkadaşlarım Sayın
Dr. Harun KARSLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya ve Sayın Arş.Gör. Ali
ÇEVİK (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’e en içten teşekkürlerimi sunarım.
M. Seyyit SEYYİDOĞLU
Ankara, Aralık 2006
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET .............................................................................................................................. i
ABSTRACT .................................................................................................................. ii
TEŞEKKÜR ................................................................................................................. iii
SİMGELER DİZİNİ .................................................................................................... v
1. GİRİŞ ........................................................................................................................ 1
2. TEMEL KAVRAMLAR .......................................................................................... 5
3. SINIR ŞARTLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE OLAN DİFERENSİYEL
OPERATÖRLERİN SPEKTRAL ANALİZİ ........................................................ 9
3.1 Bazı Özel Çözümler ............................................................................................... 9
3.2 L Operatörü ve Rλ Resolvent Operatörü .......................................................... 11
3.3 L Operatörünün Spektrumu ve Spektral Tekillikleri ...................................... 12
3.4 L Operatörünün Spektrumunun ve Spektral Tekilliklerinin Yapısal
Özellikleri ............................................................................................................. 22
KAYNAKLAR ............................................................................................................ 52
ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................................ 55
iv
SİMGELER DİZİNİ
R
Reel sayılar cümlesi
R+
{x ∈ R : x > 0}
R∗
R − {0}
C
Kompleks sayılar cümlesi
C±
{z ∈ C : ± Im z > 0}
C±
{z ∈ C : ± Im z ≥ 0}
[x]
x reel sayısının tam değeri
σ(L)
L operatörünün spektrumu
σ d (L)
L operatörünün diskret (nokta) spektrumu
σ c (L)
L operatörünün sürekli spektrumu
σ ss (L)
L operatörünün spektral tekilliklerinin cümlesi
Rλ (L)
L operatörünün resolvent operatörü
D(L)
L operatörünün tanım cümlesi
N (L)
L operatörünün sıfır uzayı
R(L)
L operatörünün görüntü cümlesi
L∗
L operatörünün adjoint operatörü
m(A)
A kümesinin Lebesgue ölçüsü
©
ª
R∞
f : f : R+ → C, 0 |f (x)|2 dx < ∞
L2 (R+ )
AC(R+ )
{f : f : R+ → C, mutlak sürekli}
v
1. GİRİŞ
Bir diferensiyel operatörün özdeğerlerinin, özfonksiyonlarının ve spektral tekilliklerinin bulunması problemi fonksiyonel analiz ve matematiksel fizik gibi birçok alanda
karşımıza çıkmakta olup, diferensiyel operatörün tanım kümesinde bulunan bir fonksiyonun, operatörün özfonksiyonları cinsinden ifade edilmesi zaman zaman gerekli olabilmektedir. Son yıllarda özellikle kuantum mekaniğindeki gelişmelerle birlikte diferensiyel operatörlerin spektral analizinin yapılması daha bir önem kazanmıştır. Bu
sebeple, Sturm-Liouville, Klein-Gordon, Dirac ve Schrödinger diferensiyel denklemleri gibi bazı denklemler yardımıyla elde edilen diferensiyel operatörlerin spektral
analizi günümüze kadar bir çok matematikçinin araştırma konusu olmuştur.
Hilbert uzaylarında tanımlı lineer,sınırlı, selfadjoint operatörlerin spektral özellikleri
ile ilgili günümüze kadar bir çok çalışma yapılmış olup, bu çalışmalar artık neredeyse
fonksiyonel analiz kitaplarının temel konuları arasında yer almaktadır.
Bazı fiziksel problemlerin incelenmesi sırasında karşılaşılması sebebiyle, pratikte ilgilenilen operatörlerden biri diferensiyel operatörlerdir. Bu operatörler çoğunlukla, sınırsız
ve non-selfadjoint olarak karşımıza çıkmaktadır.
Non-selfadjoint diferensiyel denklemler yardımıyla tanımlanan singüler operatörlerin
spektral analizi ilk kez Naimark (1960) tarafından incelenmiştir. Naimark bu çalışmasında, h ∈ C ve q kompleks değerli bir fonksiyon olmak üzere L2 (R+ ) uzayında,
l0 (y) = −y 00 + q(x)y , x ∈ R+
(1.1)
diferensiyel ifadesi ve y 0 (0)−hy(0) = 0 sınır koşulu yardımıyla üretilen non-selfadjoint
Sturm-Liouville operatörünün spektrumunun, özdeğerler, spektral tekillikler ve sürekli
spektrumdan oluştuğunu göstermiştir. Ayrıca bu çalışmada, q potansiyel fonksiyonunun en az bir ε > 0 sayısı için
Z
0
∞
eεx |q(x)| dx < ∞
1
şartını sağlaması durumunda söz konusu operatörün spektral tekilliklerinin ve özdeğerlerinin sonlu sayıda olması gerektiği elde edilmiştir.
Krall (1965 a,b,c) tarafından, K ∈ L2 (R+ ) kompleks değerli bir fonksiyon ve α, β ∈ C
olmak üzere, L2 (R+ ) uzayında (1.1) diferensiyel ifadesi ve
0
αy (0) − βy(0) +
Z
∞
K(x)y(x)dx = 0
0
sınır şartı yardımıyla üretilen non-selfadjoint L1 operatörün spektral analizi ayrıntılı
bir şekilde incelenmiştir. Krall’ın yapmış olduğu bu çalışmada L∗1 adjoint operatörü bulunmuş, L1 ve L∗1 operatörlerinin özfonksiyonları cinsinden açılımları elde
edilmiştir.
p, q kompleks değerli fonksiyonlar ve p fonksiyonu R+ üzerinde sürekli diferensiyellenebilen bir fonksiyon olmak üzere, L2 (R+ ) uzayında
£
¤
l1 (y) = −y 00 + q(x)y + 2λp(x) − λ2 y , x ∈ R+
(1.2)
diferensiyel ifadesi ve
0
αy (0) − βy(0) +
Z
∞
K(x)y(x)dx = 0
0
sınır koşulu yardımıyla üretilen Kuadratik Schrödinger operatörler demetini L(λ) ile
gösterelim. Burada, α, β ∈ C, |α| + |β| 6= 0 olmak üzere K ∈ L2 (R+ ) olsun.
Bairamov et.al.(1997) ve Bairamov et. al. (1999 a,b,c) analitik fonksiyonların birebirlik teoremlerini kullanarak, L(λ) operatörünün özdeğerlerinin ve spektral tekilliklerinin sonlu sayıda ve katlarının sonlu olması için yeter şartları vermişlerdir. Yine
bu çalışmada, spektral tekilliklere ve özdeğerlere karşılık gelen esas fonksiyonlar elde
edilerek bu fonksiyonlar cinsinden bir spektral açılım verilmiştir.
Bairamov ve Çelebi (1999), (pn ) ve (qn ) kompleks terimli diziler olmak üzere l2 (N, C2 )
uzayında,
2
(2)
yn+1 − yn(2) + pn yn(1) = λyn(1)
(1)
−yn(1) + yn−1 + qn yn(2) = λyn(2)
(1)
denklem sistemi ve y0 = 0 sınır koşulu yardımıyla üretilen Dirac operatörünün
¡ √ ¢
sup (|pn | + |qn |) exp ε n < ∞ , ε > 0
n∈N
koşulu altında, özdeğerlerinin, spektral tekilliklerinin ve bunların katlarının sonlu
olduğunu göstererek bu operatör için bir spektral açılım vermişlerdir.
Bairamov et.al.(2001), (an ), (bn ) kompleks terimli diziler ve a0 = 1 olmak üzere l2 (N)
uzayında,
an−1 yn−1 − bn yn + an yn+1 = λyn
fark denklemi ve
X
hn yn = 0
n∈N
sınır şartı yardımıyla üretilen non-selfadjoint diskret operatörün özdeğerlerinin, spektral tekilliklerinin ve bunların katlarının sonlu olduğunu, 2π periyotlu analitik fonksiyonlar için verdikleri, Şeritte Birebirlik Teoreminden yararlanarak ispatlamışlardır.
Krall et.al.(2001), (bn ) kompleks terimli bir dizi olmak üzere, l2 (N) uzayında,
(ly)n = yn−1 + yn+1 + bn yn
fark ifadesi ve y0 = 0 sınır koşulu tarafından üretilen fark operatörünün Weyl-Titchmarsh fonksiyonunu incelemişler ve bu fonksiyon yardımıyla, operatörün Marchenko anlamında genelleştirilmiş spektral fonksiyonu arasında bir ilişki elde etmişlerdir.
Ayrıca Weyl-Titchmarsh fonksiyonunun Cauchy tipinde bir integral gösterimini bulmuşlar ve bu gösterimden yararlanarak bir spektral açılım vermişlerdir.
Dikkat edilirse yukarıdaki çalışmaların hepsinde, operatörleri tarif ederken kullanılan
3
sınır koşulları spektral parametreden bağımsızdır. Son yıllarda, sınır koşullarında
spektral parametre olan diferensiyel operatörler üzerinde çalışılmaya başlanmıştır.
Binding et.al.(2002 a,b), a ≥ 0, bk > 0 ve c1 < c2 < ... < cN olmak üzere,
−y 00 + q(x)y = λy
x ∈ [0, 1]
,
y(0) cos α = y 0 (0) sin α , α ∈ [0, π)
N
X
bk
y0
(1) = aλ + b −
y
λ − ck
k=1
sınır değer probleminin özdeğerlerinin mevcut olduğunu, bu özdeğerlerin reel ve basit
olması gerektiğini göstererek, özdeğerler ile ilgili asimptotik eşitlikler vermiştir.
q kompleks değerli bir fonksiyon, λ ∈ C spektral parametre ve α0 , α1 , β 0 , β 1 sayıları
α0 β 1 − α1 β 0 6= 0 şartını sağlayan kompleks sabitler olmak üzere,
−y 00 + q(x)y = λ2 y
,
x ∈ R+
Sturm-Liouville diferensiyel denklemi ve
(α0 + α1 λ)y 0 (0) − (β 0 + β 1 λ)y(0) = 0
sınır şartı yardımıyla L2 (R+ ) uzayında üretilen diferensiyel operatörü L ile gösterelim. Biz bu çalışmada, q potansiyel fonksiyonunun bazı şartları sağlaması durumunda, L operatörünün spektrumunu, özdeğerlerini ve spektral tekilliklerini elde
edecek ve bunların yapısal özelliklerini inceleyeceğiz.
4
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, ileride ihtiyaç duyacağımız bazı temel tanım ve teoremleri vereceğiz.
Tanım 2.1. X 6= {0} kompleks normlu bir uzay T : D(T ) ⊂ X → X lineer bir
operatör olsun. λ ∈ C olmak üzere Rλ (T ) = (T − λI)−1 operatörüne T nin resolvent
operatörü ya da kısaca resolventi denir (Lusternik 1974).
Tanım 2.2. Rλ (T ) operatörü mevcut, sınırlı ve tanım cümlesi X uzayında yoğun
ise, λ ∈ C sayısına T operatörünün regüler değeri denir. T operatörünün regüler
değerlerinden oluşan cümleye ise T nin resolvent cümlesi adı verilir (Lusternik 1974).
Tanım 2.3. Rλ (T ) mevcut olmayacak şekildeki λ kompleks sayılarının cümlesine T
operatörünün diskret spektrumu ya da nokta spektrumu adı verilir (Lusternik 1974).
Tanım 2.4. Rλ (T ) mevcut, sınırsız ve Rλ (T ) operatörünün tanım kümesi X uzayında yoğun olacak şekildeki λ kompleks sayılarının oluşturduğu kümeye T operatörünün sürekli spektrumu denir (Lusternik 1974).
Tanım 2.5. X bir kompleks vektör uzay ve T : X → X lineer bir operatör olsun. λ
kompleks sayısı için T x = λx denkleminin aşikar olmayan bir x ∈ X çözümü varsa
λ sayısına T operatörünün özdeğeri denir. Bu x çözümüne ise T operatörünün λ
özdeğerine karşılık gelen özfonksiyonu adı verilir (Lusternik 1974).
Tanım 2.6. Bir T operatörünün resolventinin çekirdeğinin kutup noktası olup,
sürekli spektrumda bulunan ve T operatörünün özdeğeri olmayan noktalara T operatörünün spektral tekillikleri adı verilir (Naimark 1960).
Tanım 2.7. A reel sayıların ölçülebilir bir altcümlesi ve x ∈ R olsun. x elemanının
ε komşuluğunu Bε (x) ve Lebesgue ölçüsünü m ile gösterecek olursak, A cümlesinin
x noktasındaki metrik yoğunluğu
D(x) = lim+
ε→0
m(A ∩ Bε (x))
m(Bε (x))
5
olarak tanımlanır (Goffman 1950).
Tanım 2.8. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X olsun. A cümlesi, X uzayındaki
kapalı cümlelerin sayılabilir birleşimi olarak ifade edilebiliyorsa A cümlesine bir Fσ
cümlesidir denir (Dugundji 1965).
Tanım 2.9. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X olsun. A cümlesi, hiçbir yerde yoğun
olmayan cümlelerin sayılabilir birleşimi olarak yazılabiliyorsa A kümesine I. kategoriden bir cümle adı verilir (Dugundji 1965).
Teorem 2.10. Özdeş olarak sıfır olmayan bir analitik fonksiyonun, analitiklik bölgesinin içindeki sıfırları (eğer varsa) ayrıktır (Dolzhenko 1979).
Teorem 2.11. Özdeş olarak sıfır olmayan bir analitik fonksiyonun, analitiklik bölgesinin içindeki sıfırlarının limit noktaları (eğer varsa) analitiklik bölgesinin sınırındadır (Dolzhenko 1979).
Teorem 2.12. Özdeş olarak sıfır olmayan bir analitik fonksiyonun, sonsuz katlı
sıfırları (eğer varsa) analitiklik bölgesinin sınırındadır (Dolzhenko 1979).
Teorem 2.13.(Privalov Teoremi): Açık üst düzlemde özdeş olarak sıfır olmayan,
analitik bir fonksiyonun reel eksendeki sıfırlarının Lebesgue ölçüsü sıfırdır (Dolzhenko
1979).
Teorem 2.14. (Gronoul Eşitsizliği): λ 6= 0 , Im λ ≥ 0 ve x ≥ 0 için aşağıdaki
eşitsizlik sağlanır.
µ
Z
|λs(x, λ)| ≤ exp x Im λ +
0
x
|q(ξ)| dξ
¶
(Naimark 1968).
Bu eşitsizlikdeki s fonksiyonunun tanımı kısım 3.1.de bulunabilir.
6
Teorem 2.15.(Genelleştirilmiş Minkowski Eşitsizliği): f fonksiyonu [a, b] × [c, d]
üzerinde integrallenebilir olsun. 1 ≤ p < ∞ ise,
ÃZ ¯Z
b¯
¯
¯
a
c
d
¯p !1/p Z
¯
f (x, y)dy ¯¯ dx
≤
c
d
µZ
b
a
¶1/p
dy
|f (x, y)| dx
p
eşitsizliği sağlanır. Burada integrasyon aralıkları sınırsız olabilir (Hardy 1934).
Teorem 2.16.(Riemann-Lebesgue Teoremi): f : [a, b] → C fonksiyonu ölçülebilir
olsun. Eğer f , [a, b] üzerinde integrallenebilir ise,
lim
|λ|→∞
Z
b
f (x)eiλx dx = 0
a
olur. İntegrasyon aralığı sınırsız olabilir (Titchmarsh 1939).
Teorem 2.17.(Beurling Teoremi): f fonksiyonu C+ da analitik, C+ da sürekli ve R
de Lipschitz şartını sağlayan bir fonksiyon olsun. Ayrıca E cümlesi, f fonksiyonunun
R deki sıfırlarının cümlesi olmak üzere m(E) = 0 ve
X
υ
|Iυ | log |Iυ | = −∞
olsun. Bu taktirde f fonksiyonu kapalı üst düzlemde özdeş olarak sıfırdır. Burada Iυ ,
E kümesinin tamamlayıcı aralıkları ve |Iυ | ise bu aralıkların uzunluklarını göstermektedir. Toplam, bütün sınırlı aralıklar üzerinden hesaplanmaktadır (Carleson 1952).
Teorem 2.18.(Pavlov Teoremi): f fonksiyonu C+ kümesinde her mertebeden türeve
¡
©
ª¢
sahip bir fonksiyon ve m E = x ∈ R : f (n) (x) = 0, ∀n ∈ N = 0 olsun.
¯ (n) ¯
¯f (z)¯ ≤ An
,
z ∈ C+ , n = 0, 1, 2, ...
eşitsizliği sağlanacak şekilde An sayıları mevcut ve
T (s) =inf
n
7
An sn
n!
olmak üzere
Z
log T (s)dm(E, s) = −∞
(2.1)
olsun. Ayrıca en az bir N pozitif reel sayısı için
Z
N
log |f (x)|
dx < ∞ ,
2
−∞ x + 1
Z
∞
N
log |f (x)|
dx < ∞
x2 + 1
ise f fonksiyonu kapalı üst düzlemde özdeş olarak sıfırdır (Pavlov 1975).
(2.1) ifadesindeki integral sıfır noktasını içeren herhangi bir aralık üzerinden alınmaktadır.
Teorem 2.19. Ölçülebilir bir S cümlesinin, Z nin her noktasındaki metrik yoğunluğu mevcut ve 0 ile 1 den farklı olsun. Bu taktirde m(Z) = 0 olup Z kümesi, I.
kategoridendir (Goffman 1950).
Teorem 2.20. Z bir Fσ cümlesi olmak üzere m(Z) = 0 olsun. Verilen bir γ ∈
(0, 1) sayısı için öyle bir ölçülebilir S cümlesi bulunabilir ki, S cümlesinin Z nin her
noktasındaki metrik yoğunluğu γ olur (Martin 1960).
8
3. SINIR ŞARTLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE OLAN
DİFERENSİYEL OPERATÖRLERİN SPEKTRAL ANALİZİ
3.1 Bazı Özel Çözümler
Bu kısımda, ilgileneceğimiz Sturm-Liouville diferensiyel denkleminin bazı özel çözümlerini vereceğiz. Bu çözümlere, bölüm 3.2 de resolvent operatörü hesap ederken
ihtiyaç duyacağız.
q kompleks değerli bir fonksiyon olmak üzere,
−y 00 + q(x)y = λ2 y
,
x ∈ R+
(3.1)
Sturm-Liouville diferensiyel denklemini göz önüne alalım.
s(x, λ) çözümü (3.1) denkleminin y(0, λ) = 0 , y 0 (0, λ) = 1 şartını sağlayan çözümü
olup
Z
sin λx
s(x, λ) =
+
λ
x
0
sin λ(x − t)
q(t)s(t, λ)dt
λ
Volterra integral denklemi ile verilir.
c(x, λ) ile (3.1) denkleminin y(0, λ) = 1 , y 0 (0, λ) = 0 şartını sağlayan çözümünü
göstereceğiz. Bu çözüm,
Z
c(x, λ) = cos λx +
x
0
sin λ(x − t)
q(t)c(t, λ)dt
λ
denklemi ile verilmektedir.
Jost çözümü olarak bilinen e(x, λ) ise (3.1) denkleminin λ ∈ C+ olmak üzere
e−iλx y(x, λ) → 1 , (x → ∞) koşulunu gerçekleyen çözümü olup
iλx
e(x, λ) = e
+
Z
x
∞
sin λ(t − x)
q(t)e(t, λ)dt
λ
şeklindeki integral denklemi gerçekler. s(x, λ) ve c(x, λ) çözümleri λ değişkenine göre
9
tam fonksiyonlardır. Jost çözümü ise C+ yarı düzleminde analitik, C+ kümesinde
sürekli ve L2 (R+ ) uzayının elemanıdır. Bu çözüm
Z
∞
x |q(x)| dx < ∞
0
koşulu altında
iλx
e(x, λ) = e
+
Z
∞
(3.2)
K(x, t)eiλt dt
x
şeklinde bir gösterime sahiptir. Buradaki K fonksiyonu
1
K(x, t) =
2
Z
1
+
2
∞
x+t
2
Z
1
q(ξ)dξ +
2
∞
x+t
2
Z
Z
x+t
2
Z
t+ξ−x
K(ξ, η)q(ξ)dηdξ
t+x−ξ
x
t+ξ−x
K(ξ, η)q(ξ)dηdξ
ξ
integral denklemini sağlar. (3.2) şartı altında K fonksiyonun birinci mertebeden
kısmi türevleri mevcut olup
1
Kx (x, t) = − q
4
1
−
2
µ
Z
x+t
2
∞
x+t
2
¶
1
−
2
Z
x+t
2
[K(ξ, t + x − ξ) + K(ξ, t − x + ξ)] q(ξ)dξ
x
K(ξ, t − x + ξ)q(ξ)dξ
(3.3)
ve
1
Kt (x, t) = − q
4
1
+
2
µ
Z
x+t
2
∞
x+t
2
¶
1
+
2
Z
x+t
2
[K(ξ, t − x + ξ) − K(ξ, t + x − ξ)] q(ξ)dξ
x
K(ξ, t − x + ξ)q(ξ)dξ
(3.4)
şeklindedir. Ayıca bu fonksiyonlar
|K(x, t)| ≤ Cη
µ
x+t
2
10
¶
(3.5)
¯ µ
µ
¶¯
¶
x+t
1 ¯¯ x + t ¯¯
q
|Kx (x, t)| ≤
¯ + Cη
4¯
2
2
(3.6)
¯ µ
µ
¶¯
¶
x+t
1 ¯¯ x + t ¯¯
q
|Kt (x, t)| ≤
¯ + Cη
4¯
2
2
(3.7)
eşitsizliklerini gerçeklerler. Burada η fonksiyonu
η(x) =
Z
∞
x
|q(ξ)| dξ
ile tanımlanmıştır. Yukarıdaki eşitsizliklerin kullanılmasıyla K(., .), Kx (., .), Kt (., .) ∈
L(R+ ) olduğu kolayca görülebilir.
3.2 L Operatörü ve Rλ Resolvent Operatörü
Bu bölümde, konumuza esas teşkil eden L operatörü ve onun resolvent operatörü
olan Rλ tanıtılacaktır. α0 , α1 , β 0, β 1 kompleks sabitler ve λ kompleks parametre
olsun. Ayrıca α0 β 1 − α1 β 0 6= 0 olduğunu kabul edelim. (3.1) diferensiyel denklemi
ve
(α0 + α1 λ)y 0 (0) − (β 0 + β 1 λ)y(0) = 0
(3.8)
sınır şartı yardımıyla L2 (R+ ) uzayında tanımlanan operatörü L ile gösterelim. Daha
açık ifade etmek gerekirse,
D(L) =









y 0 mevcut ve mutlak sürekli
y ∈ L2 (R+ ) : −y 00 + qy ∈ L2 (R+ )








(α0 + α1 λ)y (0) − (β 0 + β 1 λ)y(0) = 0 
0
olmak üzere, L(y) = −y 00 + qy şeklinde tarif edilen L : D(L) ⊂ L2 (R+ ) → L2 (R+ )
operatörünü göz önüne alalım. Kolayca görüleceği gibi (3.1) diferensiyel denklemin
y(0, λ) = α0 + α1 λ , y 0 (0, λ) = β 0 + β 1 λ başlangıç şartlarını sağlayan çözümü,
φ(x, λ) = (β 0 + β 1 λ)s(x, λ) + (α0 + α1 λ)c(x, λ)
11
ile verilebilir. L operatörünün resolvent operatörünü bulmak için f ∈ L2 (R+ ) için,
−y 00 + q(x)y − λ2 y = f (x)
(3.9)
diferensiyel denkleminin (3.8) sınır şartını sağlayan ve L2 (R+ ) uzayından olan bir
özel çözümünü elde etmemiz yeterlidir. (3.9) denklemine parametrelerin değişimi
metodunu uygulayarak
y(x, λ) = k1 (x, λ)φ(x, λ) + k2 (x, λ)e(x, λ)
şeklinde bir çözüm aranacak olursa, resolvent operatörü karakterize eden bu çözüm
y(x, λ) =
Z
∞
G(x, t; λ)f (t)dt
0
biçiminde elde edilir. Burada,

 − φ(t,λ)e(x,λ) , 0 ≤ t ≤ x
W (λ)
G(x, t, λ) =
φ(x,λ)e(t,λ)
 −
, x≤t<∞
W (λ)
W (λ) = (α0 + α1 λ)e0 (0, λ) − (β 0 + β 1 λ)e(0, λ)
olup G fonksiyonuna resolvent operatörün çekirdeği denir. Resolvent operatörü bundan sonra Rλ ile göstereceğiz.
3.3 L Operatörünün Spektrumu ve Spektral Tekillikleri
Bu bölümde, L operatörünün spektrumunu ve spektral tekilliklerini karakterize edeceğiz. Bunun için önce bazı eşitsizlikler elde edecek daha sonra bu eşitsizlikler
yardımıyla L operatörünün sürekli spektrumunu inşa edeceğiz.
Teorem 3.3.1. λ ∈ C+ ve x ∈ R+ ise,
¶
µ
Z x
1
|q(ξ)| dξ
|c(x, λ)| ≤ exp x Im λ +
|λ| 0
12
eşitsizliği sağlanır.
İspat.
c(x, λ) = cos λx +
Z
x
0
sin λ(x − t)
q(t)c(t, λ)dt
λ
ifadesi exp(iλx) ile çarpılır ve B(x, λ) = exp(iλx)c(x, λ) yazılırsa,
iλx
B(x, λ) = e
1
cos λx +
λ
Z
0
x
sin λ(x − t)eiλ(x−t) q(t)B(t, λ)dt
¶
µ
Z x
1
|q(t)B(t, λ)| dt
|q(x)B(x, λ)| ≤ |q(x)| 1 +
|λ| 0
|q(x)B(x, λ)|
≤ |q(x)|
Rx
1
1 + |λ| |q(t)B(t, λ)| dt
0
eşitsizliği bulunur. Her iki tarafının [0, x] aralığında integrali alınırsa,
¾
½
Z x
Z x
1
|q(t)B(t, λ)| dt
≤
|q(ξ)| dξ
|λ| ln 1 +
|λ| 0
0
1
1+
|λ|
Z
x
0
µ
Z
µ
Z
µ
Z
1
|q(t)B(t, λ)| dt ≤ exp
|λ|
1
|B(x, λ)| ≤ exp
|λ|
1
|exp(iλx)c(x, λ)| ≤ exp
|λ|
0
|q(ξ)| dξ
¶
|q(ξ)| dξ
¶
x
0
0
|q(ξ)| dξ
¶
x
x
¶
µ
Z x
1
|q(ξ)| dξ
|c(x, λ)| ≤ exp x Im λ +
|λ| 0
bulunur.
Böylece aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz.
Teorem 3.3.2. λ ∈ C+ olmak üzere, verilen her δ > 0 sayısı için öyle bir Cδ pozitif
13
sayısı bulunabilir ki |λ| ≥ δ olacak şekildeki her λ ve her x ∈ R+ için,
|c(x, λ)| ≤ Cδ ex Im λ
(3.10)
eşitsizliği sağlanır.
Teorem 3.3.3. λ ∈ C+ olmak üzere, verilen her δ > 0 sayısı için öyle bir Cδ pozitif
sayısı bulunabilir ki |λ| ≥ δ olacak şekildeki her λ ve her x ∈ R+ için,
|φ(x, λ)| ≤ (1 + |λ|) Cδ ex Im λ
(3.11)
eşitsizliği sağlanır.
İspat. Gronoul eşitsizliği ve (3.10) eşitsizliğinden |λ| ≥ δ > 0 için,
|φ(x, λ)| = |(β 0 + β 1 λ)s(x, λ) + (α0 + α1 λ)c(x, λ)|
≤ (|β 0 | + |β 1 λ|) |s(x, λ)| + (|α0 | + |α1 λ|) |c(x, λ)|
=
|β 0 |
|λs(x, λ)| + |β 1 | |λs(x, λ)| + |α0 | |c(x, λ)| + |α1 | |λ| |c(x, λ)|
|λ|
≤
|β 0 |
Cδ ex Im λ + |β 1 | Cδ ex Im λ + |α0 | Cδ ex Im λ + |α1 | |λ| Cδ ex Im λ
|δ|
≤ (1 + |λ|) Cδ ex Im λ
elde edilir.
Teorem 3.3.4. λ ∈ C+ ve
(Af)(x) = −
Z
0
x
φ(t, λ)e(x, λ)
f (t)dt
W (λ)
olsun. Bu takdirde f ∈ L2 (R+ ) ise Af ∈ L2 (R+ ) olur. Ayrıca öyle bir Cδ > 0
14
bulabiliriz ki, |λ| ≥ δ > 0 eşitsizliğini sağlayan bütün λ kompleks sayıları için
(1 + |λ|) Cδ
|W (λ)| Im λ
kAk ≤
(3.12)
gerçeklenir.
İspat. Elde ettiğimiz (3.11) eşitsizliği, Jost çözümü ile ilgili iyi bilinen
|e(x, λ)| ≤ Cδ e−x Im λ
|λ| ≥ δ
eşitsizliği ve Genelleştirilmiş Minkowsky eşitsizliği dikkate alınır ve τ = Im λ konursa,
kAf k =
≤
≤
(Z
∞
0
(Z
0
∞
0
(Z
0
¯ Z
¯
¯−
¯
·Z
x
0
∞
·Z
x
0
x
¯2 )1/2
¯
φ(t, λ)e(x, λ)
f (t)dt¯¯ dx
W (λ)
¸2 )1/2
|φ(t, λ)e(x, λ)|
|f (t)| dt dx
|W (λ)|
¸2
(1 + |λ|) Cδ eτ t Cδ e−τ x
|f (t)| dt
|W (λ)|
)1/2
dx
(1 + |λ|) Cδ
=
|W (λ)|
(Z
∞ ·Z x
e−τ (x−t) |f (t)| dt
(1 + |λ|) Cδ
=
|W (λ)|
(Z
∞ ·Z x
¸2 )1/2
e−τ u |f (x − u)| du dx
(1 + |λ|) Cδ
=
|W (λ)|
(Z
∞ ·Z ∞
(1 + |λ|) Cδ
≤
|W (λ)|
Z
·Z
0
0
0
∞
0
(1 + |λ|) Cδ
kf k
=
|W (λ)|
=
¸2
0
0
0
∞
∞
−2τ u
e
e−τ u du
0
1
(1 + |λ|) Cδ
kf k
τ
|W (λ)|
15
dx
)1/2
¯
¯ ¸2
¯
¯
e−τ u ¯fe(x − u)¯ du dx
0
Z
)1/2
¯
¯2 ¸1/2
¯e
¯
du
¯f (x − u)¯ dx
=
(1 + |λ|) Cδ
kf k
|W (λ)| Im λ
elde edilir. Burada fe fonksiyonu

 f (x) , x ≥ 0
fe(x) =
 0
, x<0
ile tanımlanır.
Teorem 3.3.5. λ ∈ C+ ve
(Bf )(x) = −
Z
∞
x
φ(x, λ)e(t, λ)
f (t)dt
W (λ)
olsun. Bu takdirde f ∈ L2 (R+ ) ise Bf ∈ L2 (R+ ) olur. Ayrıca öyle bir Cδ > 0
bulabiliriz ki, |λ| ≥ δ > 0 eşitsizliğini sağlayan bütün λ kompleks sayıları için
kBk ≤
(1 + |λ|) Cδ
|W (λ)| Im λ
(3.13)
olur.
İspat. Teorem 3.3.4 ün ispatında kullandığımız eşitsizlikler yardımıyla,
kBf k =
≤
≤
(Z
0
(Z
0
(Z
0
¯ Z
¯−
¯
∞¯
x
∞ ·Z ∞
x
∞ ·Z ∞
x
(1 + |λ|) Cδ
=
|W (λ)|
∞
¯2 )1/2
¯
φ(x, λ)e(t, λ)
f (t)dt¯¯ dx
W (λ)
¸2
|φ(x, λ)e(t, λ)|
|f (t)| dt
|W (λ)|
τx
−τ t
(1 + |λ|) Cδ e Cδ e
|W (λ)|
(Z
0
∞
·Z
x
16
∞
−τ (t−x)
e
)1/2
dx
¸2 )1/2
|f (t)| dt dx
¸2 )1/2
|f (t)| dt dx
(1 + |λ|) Cδ
=
|W (λ)|
(Z
(1 + |λ|) Cδ
≤
|W (λ)|
Z
∞
0
0
·Z
0
∞ ·Z ∞
(1 + |λ|) Cδ
kf k
≤
|W (λ)|
∞
¸2 )1/2
e−τ u |f (x + u)| du dx
−2τ u
e
0
Z
∞
¸1/2
du
|f (x + u)| dx
2
e−τ u du
0
=
1
(1 + |λ|) Cδ
kf k
τ
|W (λ)|
=
(1 + |λ|) Cδ
kf k
|W (λ)| Im λ
elde edilir.
(3.12) ve (3.13) eşitsizliklerinden aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz.
Teorem 3.3.6. λ ∈ C+ olmak üzere, öyle bir Cδ > 0 vardır ki, |λ| ≥ δ > 0
eşitsizliğini sağlayan bütün λ sayıları için,
kRλ k ≤
(1 + |λ|) Cδ
|W (λ)| Im λ
gerçeklenir.
Teorem 3.3.7. λ ∈ C+ için,
Ce−b Im λ
√
kRλ k ≥
|W (λ)| Im λ
olacak şekilde bir C > 0 vardır.
İspat.

 φ(x, λ) , 0 < x < b
fb (x) =

0
, b<x<∞
fonksiyonunu gözönüne alalım. fb ∈ L2 (R+ ) olduğu açıktır. Buna göre, b < x < ∞
17
için,
(Rλ fb ) (x) =
Z
∞
G(x, t; λ)fb (t)dt
0
=
Z
x
G(x, t; λ)fb (t)dt +
0
=
Z
Z
∞
G(x, t; λ)fb (t)dt
x
x
G(x, t; λ)fb (t)dt
0
= −
Z
= −
Z
x
φ(t, λ)e(x, λ)
fb (t)dt
W (λ)
b
e(x, λ)
|fb (t)|2 dt
W (λ)
0
0
e(x, λ)
= −
W (λ)
Z
e(x, λ)
= −
W (λ)
Z
= −
0
0
b
|fb (t)|2 dt
∞
|fb (t)|2 dt
e(x, λ)
kfb k2
W (λ)
olup buradan,
2
kRλ fb k
=
Z
∞
0
=
Z
0
≥
Z
=
Z
b
2
|(Rλ fb ) (x)| dx +
∞
b
b
|(Rλ fb ) (x)|2 dx
∞
Z
∞
b
|(Rλ fb ) (x)|2 dx
¯
¯2
¯ e(x, λ)
¯
2¯
¯−
kf
k
b
¯ W (λ)
¯ dx
18
|(Rλ fb ) (x)|2 dx
kfb k4
=
|W (λ)|2
Z
∞
b
|e(x, λ)|2 dx
(3.14)
bulunur. λ ∈ C+ olmak üzere e(x, λ) ∼ eiλx (x → ∞) asimptotik eşitliği dikkate
alınırsa, |e(x, λ)| ∼ e−x Im λ (x → ∞) olduğu görülür. Dolayısıyla yeterince büyük x
reel sayıları için,|e(x, λ)| ≥ 12 e−x Im λ olup,
Z
b
∞
2
|e(x, λ)| dx ≥
Z
b
0
1 −2x Im λ
dx
e
4
e−2b Im λ
8 Im λ
=
(3.15)
yazılabilir. (3.15) ifadesi (3.14) de yerine yazılırsa,
kRλ fb k2 ≥
kfb k4 e−2b Im λ
|W (λ)|2 8 Im λ
kRλ fb k
kfb k e−b Im λ
√
≥ √
kfb k
2 2 |W (λ)| Im λ
kRλ k ≥
Ce−b Im λ
√
|W (λ)| Im λ
elde edilir.
Teorem 3.3.8. R ⊂ σ(L) kapsama bağıntısı sağlanır.
İspat. Teorem 3.3.7 de ispat edilen eşitsizlikte Im λ sıfıra yaklaştırılırsa kRλ k → ∞
olur. Bu ise λ reel sayılarının resolvent cümleden olamayacağı anlamına gelir.
Teorem 3.3.9. λ ∈ R olmak üzere, L operatörünün L∗ adjoint operatörü,
−z 00 + q(x)z = λ2 z
,
x ∈ R+
(α0 + α1 λ)z 0 (0) − (β 0 + β 1 λ)z(0) = 0



sınır değer problemi yardımıyla L2 (R+ ) uzayında üretilen operatördür.
19
(3.16)
İspat. y, z, Ly, −z 00 + q(x)z ∈ L2 (R+ ) olsun.
hLy, zi =
Z
∞
[−y 00 (x) + q(x)y(x)] z(x)dx
0
= lim
b→∞
= lim
b→∞
= lim
b→∞
= lim
b→∞
= lim
b→∞
Z
b
[−y 00 (x) + q(x)y(x)] z(x)dx
0
½Z
0
½
½
½
b
00
−y (x)z(x)dx +
Z
b
0
¾
q(x)y(x)z(x)dx
¾
Z b
¯b Z b
0
¯
0
−y (x)z(x)¯ +
y (x)z(x) dx +
q(x)y(x)z(x)dx
0
0
0
0
¾
Z b
Z b
¯
¯b
0 ¯b
00
¯
−y (x)z(x)¯ + y(x)z(x) ¯ −
y(x)z(x) dx +
q(x)y(x)z(x)dx
0
0
0
0
0
Z b
¯
h
i ¾
−y (x)z(x) + y(x)z(x) ¯ +
y(x) −z 00 (x) + q(x)z(x) dx
0 ¯b
0
0
0
0
= y (0)z(0) − y(0)z(0) +
Z
∞
0
0
h
i
y(x) −z 00 (x) + q(x)z(x) dx
yazılabilir. (3.8) sınır şartı yardımıyla,
0
y 0 (0)z(0) − y(0)z(0)
=
0
β 0 + β 1λ
y(0)z(0) − y(0)z(0)
α0 + α1 λ
·
0
β + β 1λ
= y(0) 0
z(0) − z(0)
α0 + α1 λ
¸
eşitliği bulunur. Öyle ise (α0 + α1 λ)z 0 (0) − (β 0 + β 1 λ)z(0) = 0 alınırsa
0
y 0 (0)z(0) − y(0)z(0) = 0 olacağından hLy, zi = hy, L∗ zi elde edilir.
Teorem 3.3.10. λ ∈ R ise N (L∗ − λ2 I) = {0} olur.
İspat.
(3.16) sınır değer probleminin λ reel sayıları için tek çözümünün aşikar
çözüm olduğunu göstereceğiz. Kapalı üst yarıdüzlemdeki e(x, λ) ve kapalı alt yarıdüzlemdeki ee(x, λ) = e(x, −λ) Jost çözümleri, λ reel sayıları için (3.16) diferen20
siyel denkleminin temel çözümler sistemini oluşturduğundan, reel eksendeki keyfi bir
z(x, λ) çözümü
z(x, λ) = c1 e(x, λ) + c2 ee(x, λ)
şeklinde yazılabilir. e(x, λ) ve ee(x, λ) fonksiyonlarının x → ∞ için asimptotik eşitlikleri kullanılırsa,
z(x, λ) = c1 eiλx [1 + o(1)] + c2 e−iλx [1 + o(1)]
= c1 eiλx + c2 e−iλx + o(1)
olur. z(x, λ) çözümünün L2 (R+ ) uzayından olması için c1 = c2 = 0 olması gerektiği
görülür. Bu ise göstermek istediğimizdir.
Teorem 3.3.11. σ c (L) = R gerçeklenir.
İspat.
L2 (R+ ) = R(L − λ2 I) ⊕ N (L∗ − λ2 I)
olduğunu biliyoruz. Bu eşitlik ve teorem 3.3.10 dan,
D(Rλ ) = R(L − λ2 I)
= L2 (R+ )
yazılabilir. Teorem 3.3.8 de Rλ operatörünün λ reel sayıları için sınırsız olduğunu
göstermiştik. Böylece, σ c (L) = R elde edilir.
Sonuç olarak aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz.
Teorem 3.3.12.
D+ (λ) = (α0 + α1 λ)e0 (0, λ) − (β 0 + β 1 λ)e(0, λ)
0
D− (λ) = (α0 + α1 λ)e
e (0, λ) − (β 0 + β 1 λ)e
e(0, λ)
,
λ ∈ C+
,
λ ∈ C−
olmak üzere L operatörünün diskret spektrumu ve spektral tekilliklerinin cümlesi
21
sırasıyla
σ d (L) = {λ ∈ C+ : D+ (λ) = 0} ∪ {λ ∈ C− : D− (λ) = 0}
σ ss (L) = {λ ∈ R∗ : D+ (λ) = 0} ∪ {λ ∈ R∗ : D− (λ) = 0}
şeklindedir.
3.4 L Operatörünün Spektrumunun ve Spektral Tekilliklerinin Yapısal
Özellikleri
Bu kısımda ilk olarak, L operatörünün spektrumunun ve spektral tekilliklerinin cümlesinin bazı şartlar altında sınırlılığı elde edilecek, spektral tekilliklerin cümlesinin
Lebesgue ölçüsünün sıfır olduğu ispatlanacak daha sonra bu cümlelerin sonlu olması
için yeter şartlar verilecektir.
Teorem 3.4.1.
q ∈ AC(R+ ) ,
lim q(x) = 0 ,
x→∞
Z
0
∞
x2 |q 0 (x)| dx < ∞
olsun. Bu takdirde,
a) D+ (λ) = iα1 λ2 + [iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ + o(λ)
, λ → ∞ , λ ∈ C+
b) D− (λ) = −iα1 λ2 − [iα0 + α1 K(0, 0) + β 1 ] λ + o(λ) , λ → ∞ , λ ∈ C−
c) D+ fonksiyonu C+ da analitik, C+ da süreklidir.
d) D− fonksiyonu C− da analitik, C− da süreklidir.
İspat. Benzer olması sebebiyle sadece (a) ve (c) kısımlarının ispatlarını yapalım.
a) λ ∈ C+ olsun.
·
Z
D+ (λ) = (α0 + α1 λ) iλ +
∞
0
·
Z
−(β 0 + β 1 λ) 1 +
0
22
¸
Kx (0, t)e dt − K(0, 0)
∞
iλt
iλt
K(0, t)e dt
¸
= iα1 λ2 + [iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ − α0 K(0, 0) − β 0
−β 0
Z
+α0
Z
∞
0
∞
iλt
K(0, t)e dt − β 1 λ
iλt
Z
Kx (0, t)e dt + α1 λ
0
∞
K(0, t)eiλt dt
0
Z
∞
Kx (0, t)eiλt dt
0
ifadesinde λ → ∞ yapılırsa istenen sonuç elde edilir.
c) Jost fonksiyonu λ değişkenine göre C+ da analitik ve C+ da sürekli olduğundan
aynı özelliklere D+ fonksiyonu da sahiptir.
Teorem 3.4.2. Teorem 3.4.1 deki şartlar altında,
a) σ d (L) cümlesi sınırlıdır.
b) σ ss (L) cümlesi sınırlıdır.
c) m (σ ss (L)) = 0
d) D+ ve D− fonksiyonlarının reel eksendeki sıfırlarının cümlesi kapalıdır.
İspat.
Teorem 3.4.1. den D+ fonksiyonunun, kapalı üst yarıdüzlemde, yarıçapı
yeterince büyük bir çemberin dışında sıfırının olamayacağı görülür. Benzer durum
D− fonksiyonu için kapalı alt yarıdüzlemde geçerlidir. Dolayısıyla (a) ve (b) nin
ispatı açıktır. (c) nin ispatı Teorem 2.13 ün bir sonucudur. (d) nin ispatı ise D+ ve
D− fonksiyonlarının R deki sürekliliğinden kolayca elde edilir.
Teorem 3.4.3. Teorem 3.4.1 deki şartlar altında Kxt mevcuttur ve
integrali yakınsaktır.
R∞
0
|Kxt (0, t)| dt
İspat.
1
Kxt (x, t) = − q 0
8
µ
x+t
2
¶
1
−
2
Z
x
x+t
2
[Kt (ξ, t + x − ξ) + Kt (ξ, t − x + ξ)] q(ξ)dξ
23
1
− K
4
µ
¶ µ
¶
Z
1 ∞
x+t x+t
x+t
,
q
−
Kt (ξ, t − x + ξ)q(ξ)dξ
2
2
2
2 x+t
2
ifadesinden
1
Kxt (0, t) = − q 0
8
µ ¶
Z t
1 2
t
−
[Kt (ξ, t − ξ) + Kt (ξ, t + ξ)] q(ξ)dξ
2
2 0
1
− K
4
µ
¶ µ ¶
Z
1 ∞
t t
t
Kt (ξ, t + ξ)q(ξ)dξ
,
q
−
2 2
2
2 2t
olur. Bu eşitliğin [0, ∞) aralığında integrali alınırsa,
Z
0
∞
1
|Kxt (0, t)| dt ≤
8
Z
∞
0
1
2
Z
1
+
4
Z
+
0
0
¯ µ ¶¯
¯ 0 t ¯
¯q
¯ dt
¯
2 ¯
¯
¯
¯
¯
∞ ¯Z
0
t
2
¯
¯
¯
[Kt (ξ, t − ξ) + Kt (ξ, t + ξ)] q(ξ)dξ ¯ dt
¯
¯
¯ µ
¶¯ ¯ µ ¶¯
Z ∞ ¯¯Z ∞
¯
¯¯
¯
t
t
1
t
¯
¯
¯
¯K
¯
¯
q
dt +
Kt (ξ, t + ξ)q(ξ)dξ ¯ dt
,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 2
2
2 0 ¯ 2t
∞¯
= I1 + I2 + I3 + I4
yazılabilir. Burada I1 , I2 , I3 ve I4 ile eşitlikteki karşılıklı terimlerini gösteriyoruz. I1
integralinin yakınsaklığı açıktır.
I2
1
≤
2
Z
∞Z
1
≤
2
Z
∞Z
0
0
t
2
|Kt (ξ, t − ξ) + Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξdt
x
t
2
x
1
|Kt (ξ, t − ξ)| |q(ξ)| dξdt +
2
Z
0
∞
Z
0
t
2
|Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξdt
= I2,1 + I2,2
I2,1 ve I2,2 integrallerinin yakınsak olduklarını gösterirsek I2 integralinin de yakınsak
24
olduğu gösterilmiş olur. (3.4) eşitliği kullanılarak,
I2,1
1
=
2
Z
1
≤
8
Z
∞
0
Z
t
2
|Kt (ξ, t − ξ)| |q(ξ)| dξdt
x
∞
Z
t
2
0
0
1
+
4
Z
1
+
4
Z
1
+
4
Z
∞
Z
¯ µ ¶¯
¯
¯
¯q t ¯ |q(ξ)| dξdt
¯ 2 ¯
t
2
0
0
∞
Z
∞
Z
t
2
|K(s, t − 2ξ + s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
Z
t
2
|K(s, t − s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
ξ
t
2
0
0
t
2
ξ
0
0
Z
Z
∞
t
2
|K(s, t − 2ξ)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
eşitsizliği yazılabilir. Bu eşitsizlikteki ilk integral,
1
8
Z
∞
Z
0
0
t
2
¯ µ ¶¯
Z ∞ ¯ µ ¶¯
¯
¯
¯
t
t ¯¯
¯q
¯
dt
t ¯¯q
¯ 2 ¯ |q(ξ)| dξdt ≤ C
2 ¯
0
< ∞
ikinci integral,
1
4
Z
∞Z
0
t
2
0
Z
t
2
ξ
|K(s, t − 2ξ + s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
≤C
≤C
≤C
=C
Z
Z
Z
Z
∞
0
∞
0
∞
0
∞
0
Z
Z
Z
Z
t
2
0
t
2
0
Z
Z
t
2
η
0
t
2
η
0
t
2
η
ξ
t
2
η
ξ
¡ 2s−2ξ+t ¢
2
¡t¢
2
¡t¢£
2
¡t¢
2
|q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
|q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
η(ξ) + η
¡ t ¢¤
2
|q(ξ)| dξdt
η(ξ) |q(ξ)| dξdt + C
25
Z
∞
0
Z
t
2
0
η2
¡t¢
2
|q(ξ)| dξdt
≤C
≤C
≤C
Z
Z
Z
∞
0
∞
¡ ¢¤
¡ ¢£
η 2t η(0) + η 2t dt + C
η
0
∞
η
0
<∞
¡t¢
2
¡t¢
2
dt + C
Z
∞
η
0
¡t¢
2
Z
dt + C
∞
0
Z
Z
t
2
η
0
∞
η
0
¡t¢
2
|q(ξ)| dξdt
¡t¢£
¡ ¢¤
η(0) + η 2t dt
2
dt
üçüncü integral,
1
4
Z
∞Z
0
t
2
0
Z
t
2
ξ
|K(s, t − s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
≤C
≤C
=C
Z
Z
Z
∞
0
∞
0
∞
0
Z
Z
Z
Z
t
2
0
t
2
η
0
t
2
η
0
<∞
t
2
¡t¢
η
2
ξ
¡t¢£
2
¡t¢
2
|q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
η(ξ) + η
¡ t ¢¤
2
η(ξ) |q(ξ)| dξdt + C
dördüncü integral,
1
4
Z
∞Z
0
t
2
0
Z
∞
t
2
|K(s, t − 2ξ)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
≤C
≤C
≤C
Z
Z
Z
<∞
∞
0
∞
0
∞
0
Z
Z
η
t
2
η
0
∞
2
η
0
¡t¢
2
¡t¢
|q(ξ)| dξdt
¡t¢
2
|q(ξ)| dξdt
|q(ξ)| dξdt
dt
26
Z
∞
0
Z
t
2
0
η2
¡t¢
2
|q(ξ)| dξdt
olup, böylece I2,1 < ∞ olduğu görülür. Diğer taraftan,
I2,2
1
=
2
Z
≤ C
Z
≤ C
Z
≤ C
Z
0
∞Z
t
2
|Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξdt
0
∞
Z
t
2
η
0
0
∞
Z
∞
0
t + 2ξ
2
¶
|q(ξ)| dξdt
µ ¶
t
η
|q(ξ)| dξdt
2
t
2
0
0
µ
µ ¶·
µ ¶¸
t
t
η
η(0) + η
dt < ∞
2
2
olduğundan I2 ≤ I2,1 + I2,2 < ∞ elde edilir. Son olarak,
I3
1
=
4
Z
≤ C
Z
0
¯ µ
¶ µ ¶¯
t
t
t ¯¯
¯K
dt
,
q
¯
2 2
2 ¯
∞¯
∞
0
¯ µ ¶¯
¯
¯
¯q t ¯ dt
¯ 2 ¯
< ∞
I4
¯
¯
¯
¯
1
=
2
Z
∞ ¯Z ∞
1
≤
2
Z
∞Z ∞
≤ C
Z
= C
Z
0
0
t
2
∞
0
0
t
2
∞
Z
∞
t
2
¯
¯
¯
Kt (ξ, t + ξ)q(ξ)dξ ¯ dt
¯
|Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξdt
|q(ξ)| dξdt
µ ¶
t
dt
η
2
< ∞
olduğu dikkate alınırsa,
R∞
0
|Kxt (0, t)| dt < ∞ bulunur.
27
Teorem 3.4.4.
q ∈ AC(R+ ) ,
Z
lim q(x) = 0 ,
x→∞
∞
xn |q 0 (x)| dx < ∞
0
olduğunu kabul edelim. Bu durumda, her n ∈ N için
R∞
0
(∀n ∈ N)
xn |η(x)| dx < ∞ olur.
İspat.
Z
∞
Z
n
x η(x)dx =
0
∞
n
x
0
Z
=
=
∞
x
∞
0
Z
Z
Z
∞
x
∞
0
Z
1
=
n+1
|q(ξ)| dξdx
xn |q(ξ)| dξdx
ξ
xn |q(ξ)| dxdξ
0
Z
0
∞
ξ n+1 |q(ξ)| dξ
< ∞
Teorem 3.4.5. Teorem 3.4.4. deki şartların sağlandığını kabul edelim. Bu takdirde
R∞
bütün n doğal sayıları için 0 tn |Kxt (0, t)| dt < ∞ olur.
İspat.
µ ¶
Z t
t
1 2
−
[Kt (ξ, t − ξ) + Kt (ξ, t + ξ)] q(ξ)dξ
2
2 x
1
Kxt (0, t) = − q 0
8
1
− K
4
Z
0
∞
1
t |Kxt (0, t)| dt ≤
8
n
Z
1
+
2
µ
∞
0
Z
0
¶ µ ¶
Z
1 ∞
t t
t
,
q
−
Kt (ξ, t + ξ)q(ξ)dξ
2 2
2
2 2t
¯ µ ¶¯
¯
t ¯¯
dt
t ¯¯q 0
2 ¯
n
∞Z
0
t
2
tn |Kt (ξ, t − ξ) + Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξdt
28
1
+
4
Z
1
+
2
Z
¯ µ
¶¯ ¯ µ ¶¯
¯
t ¯¯
t t ¯¯ ¯¯
¯
q
dt
,
t ¯K
¯
¯
2 2
2 ¯
∞
n
0
0
∞Z ∞
t
2
tn |Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξdt
= J1 + J2 + J3 + J4
J1 integralinin yakınsak olduğu aşikardır. Önce J2 integraline bakalım.
J2
1
≤
2
Z
∞
Z
t
2
0
0
1
t |Kt (ξ, t − ξ)| |q(ξ)| dξdt +
2
n
Z
0
∞
Z
0
t
2
tn |Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξdt
= J2,1 + J2,2
yazılabilir. Kt fonksiyonu yerine yazılısa, J2,1 ifadesinin
J2,1
1
=
2
Z
∞Z
1
≤
8
Z
∞Z
0
0
t
2
0
t
2
0
1
+
4
Z
1
+
4
Z
1
+
4
Z
∞
¯ µ ¶¯
¯
t ¯¯
|q(ξ)| dξdt
t ¯¯q
2 ¯
n
t
2
0
0
∞
Z
∞
Z
0
Z
t
2
ξ
t
2
0
0
0
Z
tn |Kt (ξ, t − ξ)| |q(ξ)| dξdt
Z
t
2
ξ
t
2
Z
tn |K(s, t − 2ξ + s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
tn |K(s, t − s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
∞
t
2
tn |K(s, t − 2ξ)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
(3.17)
eşitsizliğini sağladığı görülür. (3.17) eşitsizliğinin sağındaki ilk integral yakınsaktır,
çünkü
1
8
Z
0
∞
Z
0
t
2
¯ µ ¶¯
Z ∞ Z t ¯ µ ¶¯
¯
¯
¯
2
t
t ¯¯
¯ |q(ξ)| dξdt ≤ C
dξdt
t ¯¯q
tn ¯¯q
¯
2
2 ¯
0
0
n
29
≤ C
Z
∞
n+1
t
0
¯ µ ¶¯
¯
¯
¯q t ¯
¯ 2 ¯
< ∞
elde edilir. (3.17) eşitsizliğinin sağındaki ikinci integral için
1
4
Z
∞Z
0
t
2
0
Z
t
2
ξ
tn |K(s, t − 2ξ + s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
≤C
≤C
≤C
=C
≤C
Z
Z
Z
Z
Z
∞
0
∞
0
∞
0
∞
0
∞
0
Z
Z
Z
Z
Z
t
2
0
t
2
0
t
2
0
t
2
Z
Z
Z
t
2
ξ
t
2
tn η
ξ
t
2
tn η
ξ
tn η
0
t
2
tn |K(s, t − 2ξ + s)| |q(s)| dsdξdt
tn η
0
<∞
¡ 2s+t−2ξ ¢
2
¡t¢
2
|q(s)| dsdξdt
|q(s)| dsdξdt
¡t¢£
¡ t ¢¤
η(ξ)
−
η
dξdt
2
2
¡t¢
2
dξdt
bulunur. (3.17) eşitsizliğinin sağındaki üçüncü integral için
1
4
Z
∞Z
0
t
2
0
Z
t
2
ξ
tn |K(s, t − s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
≤C
Z
<∞
∞
0
Z
t
2
0
Z
t
2
ξ
tn η
¡t¢
2
|q(s)| dsdξdt
elde edilir. (3.17) eşitsizliğinin sağındaki dördüncü integral için de
1
4
Z
∞Z
0
t
2
0
Z
∞
t
2
n
t |K(s, t − 2ξ)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt ≤ C
30
Z
∞Z
0
t
2
0
tn η
¡t¢
2
|q(ξ)| dξdt
≤C
Z
∞
0
Z
t
2
tn η
0
¡t¢
2
dt < ∞
olup, J2,1 integralinin yakınsak olduğu gösterilmiş olur. Şimdi J2,2 integralini inceleyelim.(3.4) eşitliği kullanılarak
J2,2
1
=
2
Z
1
≤
8
Z
∞
Z
t
2
0
0
∞
Z
t
2
0
0
1
+
4
Z
1
+
4
Z
1
+
4
Z
∞
Z
tn |Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξdt
¯ µ
¶¯
¯ t + 2ξ ¯
¯ |q(ξ)| dξdt
t ¯¯q
¯
2
n
t
2
0
0
∞
Z
∞
Z
t
2
Z
t+2ξ
2
ξ
t
2
0
0
t+2ξ
2
ξ
0
0
Z
Z
∞
t+2ξ
2
tn |K(s, t + s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
tn |K(s, t + 2ξ − s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
tn |K(s, t + s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
(3.18)
bulunur. (3.18) eşitsizliğinin sağındaki ilk integral,
1
8
Z
0
∞Z
t
2
0
¯ µ
¶¯
Z
¯ t + 2ξ ¯
¯ |q(ξ)| dξdt ≤ C
t ¯¯q
¯
2
n
∞
0
≤ C
Z
0
Z
0
∞
(3.18) eşitsizliğinin sağındaki ikinci integral,
Z
∞Z
0
t
2
0
Z
t+2ξ
2
ξ
tn |K(s, t + s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
≤C
Z
≤C
Z
∞
0
∞
0
Z
Z
t
2
0
t
2
0
Z
Z
t+2ξ
2
tn η
ξ
t+2ξ
2
ξ
tn η
¡ t+2s ¢
2
|q(s)| dsdξdt
¡ t+2ξ ¢
|q(s)| dsdξdt
2
31
n
t q
µ
t + 2ξ
2
¶
dξdt
· µ ¶
¸
t
+ η (t) dt
t η
2
< ∞
1
4
t
2
n
≤C
=C
≤C
≤C
Z
Z
Z
Z
∞
0
∞
0
∞
0
∞
Z
Z
Z
t
2
tn η
0
t
2
n
t η
0
t
2
n
t η
0
tn+1 η
0
<∞
¡
¢¤
¡ t+2ξ ¢ £
η (ξ) + η t+2ξ
dξdt
2
2
¡ t+2ξ ¢
2
¡t¢
2
¡t¢
2
η (ξ) dξdt + C
dξdt + C
Z
∞Z
0
Z
t
2
∞Z
t
2
0
0
tn η
0
tn η 2
¡t¢
2
¡ t+2ξ ¢
2
dξdt
dξdt
dt
(3.18) eşitsizliğinin sağındaki üçüncü integral,
1
4
Z
∞Z
0
t
2
0
Z
t+2ξ
2
ξ
tn |K(s, t + 2ξ − s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
≤C
Z
∞
0
Z
t
2
0
Z
t+2ξ
2
tn η
ξ
<∞
¡ t+2ξ ¢
2
|q(s)| dsdξdt
(3.18) eşitsizliğinin sağındaki dördüncü integral,
1
4
Z
∞Z
0
t
2
0
Z
∞
t+2ξ
2
tn |K(s, t + s)| |q(s)| |q(ξ)| dsdξdt
≤C
Z
≤C
Z
≤C
Z
≤C
Z
<∞
∞
0
∞
0
∞
0
∞
0
Z
Z
Z
Z
t
2
0
t
2
0
t
2
Z
Z
∞
t+2ξ
2
∞
t+2ξ
2
tn η
0
t
2
0
tn η
tn η
2
|q(s)| dsdξdt
tn η (t + ξ) |q(s)| dsdξdt
¡ t+2ξ ¢
2
¡t¢
2
¡ t+2s ¢
dξdt
dξdt
olup J2,2 integrali yakınsaktır. J2 ≤ J2,1 + J2,2 olduğundan J2 integrali de yakınsaktır.
Son olarak,
32
J3
1
=
4
Z
≤ C
Z
∞
0
∞
0
¯ µ
¶¯ ¯ µ ¶¯
¯
t ¯¯
t t ¯¯ ¯¯
¯
q
dt
,
t ¯K
2 2 ¯¯ 2 ¯
n
¯ µ ¶¯
¯
t ¯¯
dt
t ¯¯q
2 ¯
n
< ∞
J4
1
=
2
Z
≤ C
Z
≤ C
Z
∞
0
∞
0
∞
0
Z
Z
∞
t
2
∞
t
2
tn |Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξdt
tn |q(ξ)| dξdt
µ ¶
t
dt
t η
2
n
< ∞
olduğu dikkate alınırsa
R∞
0
tn |Kxt (0, t)| dt < ∞ elde edilir.
Teorem 3.4.6.
q ∈ AC(R+ ) ,
lim q(x) = 0 ,
x→∞
Z
∞
x2 |q0 (x)| dx < ∞
0
ve λ ∈ C+ − {0} olmak üzere D+ fonksiyonu,
D+ (λ) = iα1 λ2 + [iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ
−(α0 + iβ 1 )K(0, 0) − β 0 + iα1 Kx (0, 0)
−β 0
Z
0
∞
iλt
K(0, t)e dt − iβ 1
33
Z
0
∞
Kt (0, t)eiλt dt
Z
+α0
∞
iλt
Kx (0, t)e dt + iα1
0
Z
∞
Kxt (0, t)eiλt dt
(3.19)
0
şeklinde yazılabilir.
İspat.
D+ (λ) = iα1 λ2 + [iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ − α0 K(0, 0) − β 0
−β 0
Z
+α0
Z
∞
0
∞
iλt
K(0, t)e dt − β 1 λ
iλt
Z
Kx (0, t)e dt + α1 λ
0
∞
K(0, t)eiλt dt
0
Z
∞
Kx (0, t)eiλt dt
0
ifadesinde, başında λ katsayısı olan integrallere kısmi integrasyon uygulayalım.
D+ (λ) = iα1 λ2 + [iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ − α0 K(0, 0) − β 0
−β 0
Z
+α0
Z
∞
0
∞
iλt
K(0, t)e dt − β 1 λ
iλt
Z
K(0, t)eiλt dt
0
Kx (0, t)e dt + α1 λ
0
∞
Z
∞
Kx (0, t)eiλt dt
0
= iα1 λ2 + [iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ − α0 K(0, 0) − β 0
−β 0
Z
+α0
Z
∞
0
∞
0
¯∞
¸
Z
K(0, t)eiλt ¯¯
1 ∞
iλt
K(0, t)e dt − β 1 λ
Kt (0, t)e dt
¯ − iλ
iλ
0
0
iλt
·
¯
¸
Z
iλt ¯∞
K
1 ∞
(0,
t)e
x
iλt
iλt
¯
Kx (0, t)e dt + α1 λ
Kxt (0, t)e dt
¯ − iλ
iλ
0
0
·
= iα1 λ2 + [iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ − α0 K(0, 0) − β 0
−β 0
Z
0
∞
iλt
K(0, t)e dt − iβ 1 K(0, 0) − iβ 1
34
Z
0
∞
Kt (0, t)eiλt dt
+α0
Z
∞
iλt
Kx (0, t)e dt + iα1 Kx (0, 0) + iα1
0
Z
∞
Kxt (0, t)eiλt dt
0
olur. Burada, terimler uygun şekilde parantezlere alınırsa (3.19) elde edilir.
Teorem 3.4.7.
q ∈ AC(R+ ) ,
Z
lim q(x) = 0 ,
x→∞
∞
0
xn |q0 (x)| dx < ∞
(n ≥ 3)
ve λ ∈ C+ − {0} olsun. Bu takdirde n ≥ 3 için,
dn
[D+ (λ)] = −β 0
dλn
Z
(it)n K(0, t)eiλt dt
0
−iβ 1
+α0
∞
Z
∞
(it)n Kt (0, t)eiλt dt
0
Z
∞
(it)n Kx (0, t)eiλt dt
0
+iα1
Z
∞
(it)n Kxt (0, t)eiλt dt
0
eşitliği geçerlidir.
İspat.
Z
0
∞
n
t |K(0, t)| dt ≤ C
Z
0
∞
µ ¶
t
dt < ∞
t η
2
n
olduğunu Teorem 3.4.4 den biliyoruz.
Z
0
∞
n
t |Kt (0, t)| dt ≤
Z
∞
0
≤ C
Z
0
¯ µ ¶
µ ¶¯
¯1
t
t ¯¯
dt
+ Cη
t ¯¯ q
4
2
2 ¯
n
∞
¯ µ ¶¯
Z
¯
t ¯¯
¯
dt + C
t ¯q
2 ¯
n
0
< ∞
35
∞
µ ¶
t
dt
t η
2
n
(3.20)
olup benzer şekilde
alınırsa ispat biter.
R∞
0
tn |Kx (0, t)| dt < ∞ olur. Ayrıca Teorem 3.4.5. gözönüne
Teorem 3.4.8.
q ∈ AC(R+ ) ,
Z
lim q(x) = 0 ,
x→∞
∞
0
x2 |q 0 (x)| dx < ∞
ve λ ∈ C− − {0} olsun. Bu durumda D− fonksiyonu,
D− (λ) = −iα1 λ2 − [iα0 + α1 K(0, 0) + β 1 ] λ
+(−α0 + iβ 1 )K(0, 0) − β 0 − iα1 Kx (0, 0)
−β 0
Z
+α0
Z
∞
−iλt
K(0, t)e
dt + iβ 1
0
Z
∞
Kt (0, t)e−iλt dt
0
∞
−iλt
Kx (0, t)e
0
dt − iα1
Z
∞
Kxt (0, t)e−iλt dt
0
şeklinde yazılabilir.
İspat. Teorem 3.4.6 nın ispatına benzer şekilde,
0
e (0, λ) − (β 0 + β 1 λ)e
e(0, λ)
D− (λ) = (α0 + α1 λ)e
·
Z
= (α0 + α1 λ) −iλ +
∞
−iλt
Kx (0, t)e
0
·
Z
−(β 0 + β 1 λ) 1 +
∞
−iλt
K(0, t)e
0
¸
dt − K(0, 0)
¸
dt
= −iα1 λ2 + [−iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ − α0 K(0, 0) − β 0
−β 0
Z
0
∞
−iλt
K(0, t)e
dt − β 1 λ
Z
0
36
∞
K(0, t)e−iλt dt
(3.21)
+α0
Z
∞
−iλt
Kx (0, t)e
dt + α1 λ
0
Z
∞
Kx (0, t)e−iλt dt
0
= −iα1 λ2 + [−iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ − α0 K(0, 0) − β 0
−β 0
Z
+α0
Z
∞
−iλt
K(0, t)e
0
∞
¯∞
¸
Z
K(0, t)e−iλt ¯¯
1 ∞
−iλt
dt − β 1 λ −
Kt (0, t)e dt
¯ + iλ
iλ
0
0
·
−iλt
Kx (0, t)e
0
¯∞
¸
Z
Kx (0, t)e−iλt ¯¯
1 ∞
−iλt
dt + α1 λ −
Kxt (0, t)e dt
¯ + iλ
iλ
0
0
·
= −iα1 λ2 + [−iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ − α0 K(0, 0) − β 0
−β 1
Z
+α0
Z
∞
−iλt
K(0, t)e
dt + iβ 1 K(0, 0) + iβ 1
0
Z
∞
Kt (0, t)e−iλt dt
0
∞
−iλt
Kx (0, t)e
0
dt − iα1 Kx (0, 0) − iα1
Z
∞
Kxt (0, t)e−iλt dt
0
yazılabilir. Son olarak bulduğumuz eşitlik uygun şekilde parantezlere alınırsa (3.21)
elde edilir.
Teorem 3.4.9.
q ∈ AC(R+ ) ,
Z
lim q(x) = 0 ,
x→∞
∞
0
xn |q0 (x)| dx < ∞
(n ≥ 3)
ve λ ∈ C− − {0} olsun. n ≥ 3 için,
dn
[D− (λ)] = −β 0
dλn
Z
+α0
Z
∞
−iλt
n
(−it) K(0, t)e
dt + iβ 1
0
Z
∞
(−it)n Kt (0, t)e−iλt dt
0
∞
−iλt
n
(−it) Kx (0, t)e
0
eşitliği mevcuttur.
37
dt − iα1
Z
0
∞
(−it)n Kxt (0, t)e−iλt dt
İspat. Teorem 3.4.7 nin ispatınına benzer olarak yapılabilir.
Teorem 3.4.10.
q ∈ AC(R+ ) ,
Z
lim q(x) = 0 ,
x→∞
∞
x2 |q 0 (x)| dx < ∞
0
ve λ ∈ C+ − {0} ise,
D+ (λ) = iα1 λ2 + [iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ
−(α0 + iβ 1 )K(0, 0) − β 0 + iα1 Kx (0, 0) + o(1)
(λ → ∞)
asimptotik eşitliği sağlanır.
İspat. K, Kt , Kx ve Kxt fonksiyonları L1 (R+ ) uzayının elemanı olduklarından Teorem 2.16 (Riemann-Lebesgue teoremi) gereğince
lim
λ→∞
lim
λ→∞
Z
Z
∞
0
∞
iλt
K(0, t)e dt =
iλt
Kx (0, t)e dt =
0
lim
λ→∞
lim
λ→∞
Z
∞
Kxt (0, t)eiλt dt = 0
0
Z
∞
Kt (0, t)eiλt dt = 0
0
olur. Teorem 3.4.6 da elde ettiğimiz
D+ (λ) = iα1 λ2 + [iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ
−(α0 + iβ 1 )K(0, 0) − β 0 + iα1 Kx (0, 0)
−β 0
Z
+α0
Z
∞
0
∞
iλt
K(0, t)e dt − iβ 1
iλt
Z
Kx (0, t)e dt + iα1
0
∞
0
Z
0
38
Kt (0, t)eiλt dt
∞
Kxt (0, t)eiλt dt
eşitliğinde λ → ∞ yapılırsa
D+ (λ) = iα1 λ2 + [iα0 − α1 K(0, 0) − β 1 ] λ
−(α0 + iβ 1 )K(0, 0) − β 0 + iα1 Kx (0, 0) + o(1)
(λ → ∞)
bulunur.
Teorem 3.4.11.
q ∈ AC(R+ ) ,
Z
lim q(x) = 0 ,
x→∞
∞
x2 |q 0 (x)| dx < ∞
0
ve λ ∈ C− − {0} ise,
D− (λ) = −iα1 λ2 − [iα0 + α1 K(0, 0) + β 1 ] λ
+(−α0 + iβ 1 )K(0, 0) − β 0 − iα1 Kx (0, 0) + o(1)
(λ → ∞)
asimptotik eşitliği sağlanır.
İspat. Teorem 3.4.8 den
D− (λ) = −iα1 λ2 − [iα0 + α1 K(0, 0) + β 1 ] λ
+(−α0 + iβ 1 )K(0, 0) − β 0 − iα1 Kx (0, 0)
−β 0
Z
+α0
Z
∞
−iλt
K(0, t)e
dt + iβ 1
0
Z
∞
Kt (0, t)e−iλt dt
0
∞
−iλt
Kx (0, t)e
0
dt − iα1
Z
∞
Kxt (0, t)e−iλt dt
0
olduğunu biliyoruz. Burada λ → ∞ yapılır ve
lim
λ→∞
lim
λ→∞
Z
Z
0
∞
0
∞
iλt
K(0, t)e dt =
Kx (0, t)eiλt dt =
lim
λ→∞
lim
λ→∞
39
Z
∞
Z0 ∞
0
Kxt (0, t)eiλt dt = 0
Kt (0, t)eiλt dt = 0
dikkate alınırsa sonuç görülür.
Teorem 3.4.12.
q ∈ AC(R+ ) ,
lim q(x) = 0 ,
x→∞
Z
∞
0
x3 |q 0 (x)| dx < ∞
şartları sağlansın. Bu durumda
X
υ
|lυ | log |lυ | > −∞
olur. Burada lυ spektral tekilliklerin tamamlayıcı aralıklarını, mutlak değer işareti ise
aralıkların boyunu göstermektedir. Toplam sınırlı aralıklar üzerinden alınmaktadır.
İspat. f (λ) = (λ + i)−1 D+ (λ) fonksiyonunu göz önüne alalım. D+ fonksiyonu açık
üst düzlemde analitik, kapalı üst düzlemde sürekli olduğundan f fonksiyonu da aynı
özelliklere sahiptir. Açıkça görüleceği gibi f fonksiyonunun türevi
¯
¯d
¯
¯
¯
¯d
¯ |D+ (λ)| ¯ dλ
D
+ (λ)
¯ f (λ)¯ ≤
+
¯ dλ
¯
|λ + i|
|λ + i|2
eşitsizliğini sağlar. D+ fonksiyonu ∞ da ν(λ) = λ2 fonksiyonuna asimptotik olduğundan türevi de µ(λ) = λ ya asimptotik olacaktır. Dolayısıyla yukarıdaki eşitsizlikten
d
f (λ)
dλ
fonksiyonu C+ da sınırlı olup R de Lipschitz şartını sağlar. Son olarak f ve
D+ fonksiyonlarının sıfırlarının aynı olduğu dikkate alınırsa
X
|lυ | log |lυ | > −∞
X
|lυ | log |lυ | = −∞
υ
elde edilir. Çünkü,
υ
olsaydı Teorem 2.17 ye göre f fonksiyonu, buna bağlı olarak da D+ fonksiyonu kapalı
üst düzlemde özdeş olarak sıfır olacaktı. Halbu ki D+ fonksiyonu özdeş olarak sıfır
değildir. Böylece ispat tamamlanmış olur.
40
Şimdi, bazı şartlar altında L operatörünün özdeğerlerinin ve spektral tekilliklerinin
sonlu sayıda olduğunu ispat etmede ihtiyaç duyacağımız aşağıdaki eşitsizliği verelim.
Teorem 3.4.13.
q ∈ AC(R+ ) ,
şartları altında
lim q(x) = 0 ,
x→∞
Z
0
∞
x2 |q 0 (x)| dx < ∞
· µ ¶
µ ¶
µ ¶¸
t
t
t
0
+q
+η
|Kxt (0, t)| ≤ C q
2
2
2
(3.22)
eşitsizliği gerçeklenir.
İspat. (3.5) ve (3.7) eşitsizlikleri yardımıyla
Z
∞
t
2
|Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξ ≤
Z
1
=
4
∞
t
2
Z
+C
t
2
· ¯ µ
¶
µ
¶¯¸
1 ¯¯ 2ξ + t
2ξ + t ¯¯
q
+ Cη
¯ |q(ξ)| dξ
4¯
2
2
¯ µ
¶¯
¯
¯q 2ξ + t ¯ |q(ξ)| dξ
¯
¯
2
∞¯
Z
∞
η
t
2
µ
¶
2ξ + t
|q(ξ)| dξ
2
µ ¶
µ ¶
t
t
+ Cη
≤ Cη
2
2
µ ¶
t
≤ Cη
2
Z
¯ µ
µ ¶
¶¯ ¯ µ ¶¯
¯
¯¯
¯
¯K t , t ¯ ¯q t ¯ ≤ Cη t
¯
2 2 ¯¯ 2 ¯
2
t
2
0
|Kt (ξ, t − ξ) + Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξ
≤
≤
Z
Z
t
2
0
t
2
0
[|Kt (ξ, t − ξ)| + |Kt (ξ, t + ξ)|] |q(ξ)| dξ
¯ ¡
£ 1 ¯ ¡ t ¢¯
¡ ¢
¢¯
¡
¢¤
¯q
¯ + Cη t + 1 ¯q 2ξ+t ¯ + Cη 2ξ+t |q(ξ)| dξ
4
2
2
4
2
2
41
(3.23)
(3.24)
=
1
4
+ 14
Z
Z
t
2
0
t
2
0
¯ ¡ t ¢¯
¯q
¯ |q(ξ)| dξ + C
2
Z
¯ ¡ 2ξ+t ¢¯
¯q
¯ |q(ξ)| dξ + C
2
≤ C + Cη
¡t¢
2
+ Cη
¡t¢
2
+ Cη
£¯ ¡ ¢¯
¡ ¢¤
≤ C ¯q 2t ¯ + η 2t
t
2
η
0
Z
t
2
¡t¢
2
η
0
¡t¢
|q(ξ)| dξ
¡ 2ξ+t ¢
2
|q(ξ)| dξ
2
(3.25)
eşitsizlikleri elde edilir. (3.23),(3.24) ve (3.25) eşitsizlikleri
¯ µ ¶¯
Z t
1 ¯¯ 0 t ¯¯ 1 2
q
+
|Kxt (0, t)| ≤
|Kt (ξ, t − ξ) + Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξ
8¯
2 ¯ 2 0
¯ µ
¶¯ ¯ µ ¶¯
Z
t ¯¯ 1 ∞
t t ¯¯ ¯¯
1 ¯¯
q
+
,
|Kt (ξ, t + ξ)| |q(ξ)| dξ
+ ¯K
4
2 2 ¯ ¯ 2 ¯ 2 2t
ifadesinde yerine yazılırsa (3.22) eşitsizliğine ulaşılır.
Aşağıdaki teorem klasik Naimark teoreminin bir benzeridir.
Teorem 3.4.14. ε > 0 sayısı için
q ∈ AC(R+ ) ,
Z
lim q(x) = 0 ,
x→∞
∞
0
eεx |q 0 (x)| dx < ∞
(3.26)
olsun. Bu şartlar altında L operatörünün özdeğerleri ve spektral tekillikleri sonlu
sayıda olup sonlu katlıdır.
İspat.
Bunun için D+ ve D− fonksiyonlarının Im λ > − 2ε bölgesinde analitik
olduğunu göstereceğiz. İspatı D+ fonksiyonu için yapalım. Diğeri benzer şekilde
yapılabilir. (3.19) eşitliğinden D+ fonksiyonunun
2
D+ (λ) = iα1 λ + aλ + b +
Z
0
gösterimine sahip olduğunu biliyoruz. Burada
a = iα0 − α1 K(0, 0) − β 1
42
∞
f (t)eiλt dt
b = −(α0 + iβ 1 )K(0, 0) − β 0 + iα1 Kx (0, 0)
f (t) = −β 0 K(0, t) − iβ 1 Kt (0, t) + α0 Kx (0, t) + iα1 Kxt (0, t)
şeklindedir.
Z
0
∞
¯
¯
¯f (t)eiλt ¯ dt ≤ |β 0 |
Z
¯ ¯
|K(0, t)| ¯eiλt ¯ dt
∞
0
+ |β 1 |
Z
+ |α0 |
Z
+ |α1 |
Z
∞
0
∞
0
∞
0
¯ ¯
|Kt (0, t)| ¯eiλt ¯ dt
¯ ¯
|Kx (0, t)| ¯eiλt ¯ dt
¯ ¯
|Kxt (0, t)| ¯eiλt ¯ dt
(3.27)
eşitsizliğindeki son terimi göz önüne alalım. Bulduğumuz (3.22) eşitsizliği kullanılarak
Z
0
∞
¯ ¯
|Kxt (0, t)| ¯eiλt ¯ dt ≤ C
= C
Z
∞
0
Z
∞
0
+C
Z
0
yazılabilir. Buradaki ilk integral
Z
0
∞
µ ¶¸
·¯ µ ¶¯ ¯ µ ¶¯
¯ 0 t ¯ ¯
¯
¯ iλt ¯
¯q
¯ + ¯q t ¯ + η t
¯e ¯ dt
¯
2 ¯ ¯ 2 ¯
2
¯ µ ¶¯
Z ∞ ¯ µ ¶¯
¯ 0 t ¯ ¯ iλt ¯
¯
¯¯ ¯
¯q
¯q t ¯ ¯eiλt ¯ dt
¯ ¯e ¯ dt + C
¯
¯
¯
2
2 ¯
0
∞
µ ¶
t ¯¯ iλt ¯¯
e dt
η
2
¯ µ ¶¯
Z
¯ 0 t ¯ ¯ iλt ¯
¯q
¯ ¯e ¯ dt ≤
¯
2 ¯
0
= 2
¯ µ ¶¯
¯
¯q0 t ¯ e−t Im λ dt
¯
2 ¯
∞¯
Z
∞
0
= 2
Z
∞
0
≤ C
Z
43
0
|q 0 (u)| e−2u Im λ du
|q 0 (u)| eεu e−εu e−2u Im λ du
∞
e−(ε+2 Im λ)u du < ∞
ve ikinci integral
Z
∞
0
¯ µ ¶¯
Z ∞ ¯ µ ¶¯
¯
¯
¯¯ ¯
¯
¯q t ¯ ¯eiλt ¯ dt ≤
¯q t ¯ e−t Im λ dt
¯ 2 ¯
¯ 2 ¯
0
Z
= 2
∞
0
Z
= 2
∞
0
≤ C
Z
|q(u)| e−2u Im λ du
|q(u)| eεu e−εu e−2u Im λ du
∞
e−(ε+2 Im λ)u du
0
< ∞
olduğundan yakınsaktır. Üçüncü integralin yakınsaklığı ise aşağıdaki şekilde gösterilebilir.
Z
0
∞
µ ¶
Z ∞Z ∞
t ¯¯ iλt ¯¯
e dt =
η
|q(ξ)| e−t Im λ dξdt
t
2
0
2
=
Z
∞
0
≤ C
Z
= C
Z
Z
∞
t
2
∞
0
∞
Z
|q(ξ)| eεξ e−εξ e−t Im λ dξdt
∞
e−εξ e−t Im λ dξdt
t
2
t
e−ε 2 e−t Im λ dt
0
< ∞
Böylece
R∞
0
Kxt (0, t)eiλt dt integralinin Im λ > − 2ε bölgesinde düzgün yakınsak olduğu
gösterilmiş olur. (3.27) ifadesindeki ilk üç terim için ise (3.5),(3.6) ve (3.7) eşitR∞
sizlikleri kullanılarak benzer işlemler yapılabilir. Böylece 0 f (t)eiλt dt integralinin
Im λ > − 2ε bölgesinde λ ya göre düzgün yakınsak olduğu gösterilmiş olur. Dolayısıyla
D+ fonksiyonu Im λ > − 2ε bölgesinde analitiktir.
44
Dikkat edilirse (3.26) şartı D+ ve D− fonksiyonlarının sırasıyla üst yarıdüzlemden alt
yarıdüzleme ve alt yarıdüzlemden üst yarıdüzleme analitik devamını garanti etmektedir. Dolayısıyla L operatörünün özdeğerlerinin ve spektral tekilliklerinin sonluluğu
Teorem 3.4.14 de analitik devam tekniğinin bir sonucu olarak karşımıza çıkmaktadır.
Şimdi (3.26) şartından daha hafif olan
q ∈ AC(R+ ) ,
lim q(x) = 0 ,
x→∞
Z
∞
0
şartını göz önüne alalım. Burada ε ve δ üzerine
1
2
δ
eεx |q 0 (x)| dx < ∞
(3.28)
≤ δ < 1 ve ε > 0 koşullarını koy-
alım. Bu durumda D+ fonksiyonu C+ yarıdüzleminde analitik ve reel eksende sonsuz
mertebeden diferensiyellenebilir olmasına rağmen üst yarıdüzlemden alt yarıdüzleme
analitik devama sahip değildir. Benzer şekilde D− fonksiyonu da alt yarıdüzlemden
üst yarıdüzleme analitik olarak devam ettirilemez. Sonuç olarak (3.28) şartı altında
L operatörünün özdeğerlerinin ve spektral tekilliklerinin sonluluğu Teorem 3.4.14 de
kullanılan teknik ile gösterilemez.
Şimdi, M1± ve M2± cümlelerini
M1± = {λ : λ ∈ C± , D± (λ) = 0}
,
M2± = {λ : λ ∈ R , D± (λ) = 0}
olarak tarif edelim. Buna göre L operatörünün özdeğerlerini ve spektral tekilliklerini
kısaca
σ d (L) = M1+ ∪ M1−
,
σ ss (L) = M2+ ∪ M2− − {0}
(3.29)
şeklinde ifade edebiliriz. M3+ ve M4+ ile sırasıyla M1+ ve M2+ cümlelerinin limit nok+
talarının kümesini, M∞
ile ise D+ fonksiyonunun C+ daki sonsuz katlı sıfırlarının
−
cümlesini gösterelim. Son olarak M3− , M4− ve M∞
kümelerini benzer şekilde tanım-
layalım. Teorem 2.10-2.12 dikkate alınırsa
M1±
∩
±
M∞
±
M∞
⊂ M2±
=∅ ,
M3±
⊂
M2±
,
M4±
⊂
M2±
±
±
, M3± ⊂ M∞
, M4± ⊂ M∞
bağıntıları yazılabilir.
45



(3.30)
±
= ∅ olur.
Teorem 3.4.15. (3.28) şartı altında M∞
+
−
İspat. M∞
= ∅ olduğunu ispatlayalım. M∞
= ∅ olduğu benzer şekilde gösterilebilir.
(3.28) şartı altında D+ fonksiyonu C+ bölgesinde analitik ve reel eksende her mertebeden türeve sahiptir. Teorem 3.4.2 den dolayı öyle bir N > 0 reel sayısı bulabiliriz
ki
¯Z
¯
¯
¯
−N
−∞
¯
ln |D+ (λ)| ¯¯
dλ¯ < ∞
1 + λ2
¯Z
¯
¯
¯
,
∞
N
¯
ln |D+ (λ)| ¯¯
dλ¯ < ∞
1 + λ2
olur. (3.20) eşitliği ile (3.5)-(3.7) ve (3.22) eşitsizliklerinden
¯ n
¯
Z
¯d
¯
¯
¯
¯ dλn [D+ (λ)]¯ ≤ |β 0 |
∞
t |K(0, t)| e
0
+ |α0 |
Z
≤ C |β 0 |
Z
+ |β 1 |
Z
+ |α0 |
Z
−t Im λ
n
∞
t |Kx (0, t)| e
∞
tn |Kt (0, t)| e−t Im λ dt
0
dt + |α1 |
Z
0
∞
tn |Kxt (0, t)| e−t Im λ dt
µ ¶
t
t η
e−t Im λ dt
2
∞
n
0
µ ¶¸
· ¯ µ ¶¯
t ¯¯
t
1 ¯¯
q
+ Cη
t
e−t Im λ dt
¯
¯
4
2
2
∞
n
0
∞
µ ¶¸
· ¯ µ ¶¯
t ¯¯
t
1 ¯¯
q
+
Cη
t
e−t Im λ dt
¯
¯
4
2
2
n
0
+C |α1 |
−t Im λ
n
0
Z
dt + |β 1 |
Z
µ ¶¸
·¯ µ ¶¯ ¯ µ ¶¯
¯ 0 t ¯ ¯
t ¯¯
t
¯
¯
¯
+ ¯q
+η
e−t Im λ dt
t ¯q
¯
¯
2
2
2
∞
n
0
n+1
= C |β 0 | 2
Z
∞
un η(u)e−2u Im λ du
0
n+1
+ |β 1 | 2
Z
∞
n
·
¸
1
|q (u)| + Cη (u) e−2u Im λ du
4
n
·
¸
1
|q (u)| + Cη (u) e−2u Im λ du
4
u
0
n+1
+ |α0 | 2
Z
∞
u
0
n+1
+C |α1 | 2
Z
0
∞
un [|q0 (u)| + |q (u)| + η (u)] e−2u Im λ du
46
yazılabilir. Bu eşitsizliğin sağ tarafındaki terimler
Z
∞
−2u Im λ
n
u η(u)e
du =
0
Z
Z
∞
0
=
Z
un |q(ξ)| e−2u Im λ dξdu
u
Z
∞
0
ξ
un |q(ξ)| e−2u Im λ dudξ
0
Z
≤ C
∞
∞
0
Z
ξ
un |q(ξ)| dudξ
0
C
=
n+1
Z
C
=
n+1
Z
C
≤
n+1
Z
∞
ξ n+1 |q(ξ)| dξ
0
∞
δ
δ
ξ n+1 e−εξ eεξ |q(ξ)| dξ
0
∞
δ
ξ n+1 e−εξ dξ
0
C
=
(n + 1)δ
Z
∞
t
n+2
−1
δ
e−εt dt
0
¶
µ
n+2
C
− n+2
ε δ Γ
=
(n + 1)δ
δ
Z
0
∞
−2u Im λ
n
u |q(u)| e
du =
Z
∞
0
≤ C
Z
δ
δ
un e−εu eεu |q(u)| e−2u Im λ du
∞
δ
un e−εu du
0
¶
µ
n+1
C − n+1
ε δ Γ
=
δ
δ
ve
Z
0
∞
n
0
−2u Im λ
u |q (u)| e
¶
µ
C − n+1
n+1
du ≤ ε δ Γ
δ
δ
47
eşitsizliklerini sağlar.
£ n+1 ¤
δ
= s olmak üzere
¶
µ
¶
µ
C − n+1
n+1
n+1
δ
ε
= AΓ
Γ
δ
δ
δ
¶ µ
¶
n+1
n+1
−1 Γ
−1
= A
δ
δ
µ
¶µ
¶ µ
¶ µ
¶
n+1
n+1
n+1
n+1
−1
− 2 ...
−s Γ
−s
= A
δ
δ
δ
δ
µ
¶ n+1
δ
n+1
−1
≤ A
δ
µ
µ
n+1
≤ A
δ
≤ A(n + 1)
¶ n+1
δ
n+1
δ
n
1
= A(n + 1) δ (n + 1) δ
n
n
1
1
≤ A2 δ n δ 2 δ n δ
n
≤ Aan n δ
= Aan nn nn( δ −1)
1
≤ Aan en n!nn( δ −1)
1
≤ Aan n!nn( δ −1)
1
µ
¶
1
C
n+2
− n+2
ε δ Γ
≤ Aan n!nn( δ −1)
(n + 1)δ
δ
48
eşitsizlikleri dikkate alınırsa
¯ n
¯
¯d
¯
¯ n [D+ (λ)]¯ ≤ Aan n!nn( 1δ −1) = Bn
¯ dλ
¯
elde edilir. Şimdi
Bn sn
T (s) =inf
n
n!
ifadesini hesaplayalım. Bn burada yerine yazılırsa
³
´n
1
T (s) =inf asn δ −1
n
olur.
³
´x
1
−1
δ
h(x) = asx
diyelim. h fonksiyonunun x değişkenine göre türevi
i
h
³
´i
h
1
1
h0 (x) = ln as(ex) δ −1 exp x ln asx δ −1
δ
olacağından h0 (x) = 0 çözülürse x0 = e−1 (as)− 1−δ noktası elde edilir. Şimdi h
fonksiyonunun bu noktada yerel minimuma sahip olduğunu gösterelim.
h
³
´i · 1 − δ
³
´¸
1
1
2
−1
−1
+ ln as(ex) δ
h (x) = exp x ln asx δ
δx
00
eşitliğinde x0 noktası yerine konursa
00
h (x0 ) =
µ
¸
· µ
¶
¶
δ
δ
1
1
−
−1
− 1 e(as) 1−δ exp −
− 1 e (as) 1−δ > 0
δ
δ
elde edilir. Diğer taraftan
¸
· µ
¶
δ
1
− 1−δ
−1
− 1 e (as)
h(x0 ) = exp −
δ
olduğundan
· µ
¸
¶
δ
1
− 1−δ
−1
T (s) = A exp −
− 1 e (as)
δ
49
(3.31)
bulunur. D+ fonksiyonu özdeş olarak sıfır olmadığından Teorem 2.18’e göre
Z
¡ + ¢
> −∞
ln T (s)dm M∞,s
h
0
(3.32)
+
+
ifadesi M∞
cümlesinin s-komşuluğunu
olmalıdır. Burada h sabit bir reel sayı olup M∞,s
göstermektedir. (3.31), (3.32) de yerine yazılırsa
Z
h
0
¡ + ¢
δ
s− 1−δ dm M∞,s
<∞
(3.33)
δ
≥ 1 olduğundan (3.33) ifadesinin doğru olması için
olması gerektiği görülür. 1−δ
¡ + ¢
+
gerek ve yeter şart m M∞,s = 0 veya diğer bir ifadeyle M∞,s
= ∅ olmalıdır.
Teorem 3.4.16. (3.28) şartı altında L operatörünün sonlu sayıda özdeğeri ve spektral tekilliği vardır ve bunların katları sonludur.
İspat. Teoremi ispatlamak için D+ ve D− fonksiyonlarının sırasıyla C+ ve C− bölgelerinde sonlu sayıda sonlu katlı sıfırı olduğunu göstermeliyiz. Benzer olması sebebiyle işlemleri sadece D+ için yapacağız. (3.30) den M3+ = M4+ = ∅ olup sınırlı
M1+ ve M2+ cümlelerinin hiçbir limit noktası yoktur. Dolayısıyla D+ fonksiyonunun
+
= ∅ olduğundan bu sıfırlar sonlu katlı olmak
C+ da sonlu sayıda sıfırı vardır. M∞
zorundadır.
Teorem 3.4.17.
q ∈ AC(R+ ) ,
lim q(x) = 0 ,
x→∞
Z
0
∞
x2 |q 0 (x)| dx < ∞
şartları altında L operatörünün spektral tekilliklerinin cümlesi reel sayılar içinde I.
kategoriden bir cümledir.
İspat. D+ fonksiyonunun sürekliliğinden M2+ cümlesinin kapalılığı aşikardır. Aynı
zamanda Lebesgue ölçüsü sıfır olan bir Fσ cümlesidir. Teorem 2.20’ye göre reel
sayıların öyle bir ölçülebilir altcümlesini bulabiliriz ki bu cümlenin, M2+ kümesinin
her bir noktasındaki metrik yoğunluğu mevcut olup 0 ve 1 den farklıdır. Dolayısıyla
50
Teorem 2.19’dan M2+ cümlesinin I. kategoriden olduğu elde edilir. Benzer şekilde
M2− de I. kategoridendir. (3.29) dikkate alınırsa istenen gösterilmiş olur.
51
KAYNAKLAR
Bairamov, E., Çakar, Ö. and Çelebi, A.O. 1997. Quadratic pencil of Schrödinger
operators with spectral singularities. Discrete spectrum and principal functions. Jour. Math. Anal. Appl. 216; 303-320.
Bairamov, E.,Çakar, Ö. and Krall, A.M., 1999a. Spectrum and spectral singularities of a quadratic pencil of a Schrödinger operator with a general boundary
condition. J. Diff. Equation. 151; 252-267.
Bairamov, E., Çakar, Ö. and Krall, A.M. 1999b. An eigenfunction expansion for
a quadratic pencil of a Schrödinger operator with spectral singularities. J.
Diff. Equation. 151; 268-289.
Bairamov, E. and Çelebi, A.O. 1999. Spectrum and spectral expansion for the nonselfadjoint discrete Dirac operators. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 50;
371-384.
Bairamov, E., Çakar, Ö. and Krall, A.M. 2001. Non-selfadjoint differece operators
and Jacobi matrices with spectral singularities. Math. Nachr. 229; 5-14.
Binding, P.A., Browne, P.J. and Watson, B.A. 2002a. Sturm-Liouville problems with
boundary conditions rationally dependent on the eigenparameter I. Proc.
Edinb. Math. Soc. 45; 631-645.
Binding, P.A., Browne, P.J. and Watson, B.A. 2002b. Sturm-Liouville problems
with boundary conditions rationally dependent on the eigenparameter II.
J. Comput. Appl. Math. 148; 147-168.
Carleson, L. 1952. Sets of uniqueness for functions regular in the unit circle. Acta
Math. 87; 325-345.
Dolzhenko, E.P. 1979. Boundary value uniqueness theorems for analytic functions.
Math. Notes 26; 437-442.
Dugundji, J. 1965. Topology. Englewood Cliffs, NJ. Prentice-Hall.
52
Goffman, C. 1950. On Lebesgue’s density theorem. Proc. Amer. Math. Soc.Vol 1,
No 3, 384-388.
Hardy, G.H., Littlewood, J.E. and Polya, G. 1934. Inequalities. Cambridge University press.
Krall, A.M. 1965a. The adjoint of differential operator with integral boundary
conditions. Proc. AMS. 16; 738-742.
Krall, A.M. 1965b. A nonhomogenous eigenfunction expansion. Trans. AMS.
117; 352-361.
Krall, A.M. 1965c. Second order ordinary differential operators with general boundary conditions. Duke. Jour. Math. 32; 617-625.
Krall, A.M., Bairamov, E. and Çakar, Ö. 2001. Spectral analysis of non-selfadjoint
discrete Schrödinger operators with spectral singularities. Math. Nach.
231; 89-104.
Lusternik, L.A. and Sobolev, V.J. 1974. Elements of functional analysis. Translation
of elementy funktsional’nogo analiza.
Lyance, V.E. 1967. A differential operator with spectral singularities. I,II, AMS
Translations. 2 (60); 185-225, 227-283.
Marchenko,V.A. 1986. Sturm-Liouville operators and applications. Birkhauser Verlag, 367 p., Basel.
Martin, N.F.G. 1960. A note on metric density of sets of real numbers. Vol 11,
No 3; 344-347.
Naimark, M.A. 1960. Investigation of the spectrum and the expansion in eigenfunctions of a non-selfadjoint operator of second order on a semi-axis. AMS
Translations. 2 (16); 103-193.
Naimark, M.A. 1968. Linear differential operators. Part II. George G.Harrap&Com-
53
pany, 352 p., London.
Pavlov, B.S. 1975. On seperation conditions for spectral components of a dissipative
operator. Math. USSR Izvestiya. 9; 113-137.
Titchmarsh, E.C. 1939. The theory of functions. Oxford University press.
54
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: M.Seyyit SEYYİDOĞLU
Doğum Yeri
: İskenderun
Doğum Tarihi : 17. 06 .1970
Medeni Hali
: Evli ve 1 çocuklu
Yabancı Dili
: İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: İskenderun Belen Lisesi (1988)
Lisans
: Erciyes Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü (1994)
Yüksek Lisans : Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı (1995-1997)
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl
Pamukkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi (1995-2000)
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi (2000-...)
55