∑ ( ) - SABİS

BÖLÜM IV
4.1. BĐR LĐNEER DÖNÜŞÜMÜN DETERMĐNANTI
V , K cismi üstünde bir vektör uzayı ve T : V → V lineer bir dönüşüm olsun.
V nin bir {a1 , a2 ,… , an } tabanını ϕ ile gösterelim. T : V → V lineer dönüşümüne,
ϕ tabanına göre bir matris karşılık geldiğini biliyoruz. Bu matrisi Tϕ ile
göstermiştik. Tϕ =  aij  olduğunu varsayalım.
n× n
n
T (a j ) = ∑ aij ai ,
1≤ j ≤ n
i =1
demektir. ϕ tabanı yerine V nin başka bir ϕ tabanı alındığında,
Tϕ = P −1.Tϕ .P
eşitliğini bulunduğunu ispatlamıştır. Buradaki P matrisi, ϕ ' = ϕ '1 , ϕ '2 ,…ϕ 'n
n
olmak üzere, α J = ∑ pijϕi eşitliklerinin belirlediği  pij  matrisidir.
n×n
( m)
det (Tϕ ' ) = det ( P −1 ⋅ Tϕ ⋅ P ) = det P −1 ⋅ det Tϕ ⋅ det P
= det Tϕ ⋅ det P ⋅ det P −1 = det Tϕ ⋅ det ( PP −1 )
= det Tϕ ⋅ det ( I n ) = det Tϕ
27
olur. Buna göre, V nin her ϕ tabanı için, det Tϕ sayısı değişmez kalır. Bu
gerçeğe dayanarak aşağıdaki tanımı yapabiliriz.
Tanım
4.1.1.
f (T ( a1 ) , T ( a2 ) ,… , T ( an ) ) = ( det T ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an )
lineer bir
dönüşüm ve ϕ1 , det ( G T ) = det ( G T ) ϕ = det ( Gϕ ⋅ T ϕ ) = det Gϕ ⋅ det T ϕ = det G ⋅ det T
nin bir tabanı olmak üzere, det Tϕ sayısına, T lineer dönüşümünün determinantı denir
ve det T biçiminde gösterilir. Kısaca,
det T = det Tϕ
(4.1.1)
dir.
Teorem 4.1.1. I v : V → V birim dönüşüm olduğuna göre,
det ( I v ) = 1
(4.1.2)
dir.
Đspat. I v : V → V birim dönüşüm olduğundan, V nin bir ϕ tabanına göre I v lineer
dönüşümünün matrisi
In
birim matrisidir.
det ( I n ) = 1
olduğunu biliyoruz.
det ( I v ) = det ( I n ) olduğundan, det ( I v ) = 1 olur.
Teorem 4.1.2. T ve G , V den V ye lineer dönüşümler olduğuna göre,
det ( G T ) = ( det G ) ⋅ ( det T )
dir.
(4.1.3)
28
Đspat. 2.4.4. Teoremden dolayı, V nin bir ϕ tabanına göre G T lineer dönüşümünün
matrisi, Gϕ ile T ϕ matrislerinin çarpımına eşittir. Kısaca,
( G T ) ϕ = Gϕ ⋅ T ϕ
dir. Buna göre,
det ( G T ) = det ( G T ) ϕ = det ( Gϕ ⋅ T ϕ ) = det Gϕ ⋅ det T ϕ = det G ⋅ det T
bulunur.
Teorem 4.1.3. T : V → V lineer dönüşümünün tersinin bulunması için gerek ve yeter
koşul, det T ≠ 0 olmasındır.
Đspat. T : V → V lineer dönüşümünün tersinin bulunduğunu varsayalım. T −1 T = I v
olduğundan, det (T −1 T ) = 1 olur. 4.1.1. ve 4.1.2. Teoreme göre, det (T −1 ) ⋅ det T = 1
elde edilir. Bu eşitlik,
det T ≠ 0
olduğunu gösterir. Ayrıca aynı eşitlikten
det (T −1 ) = ( det T )
−1
(4.1.4)
bulunur.
det T ≠ 0 olsun. V nin bir ϕ tabanını göz önüne alalım. det T (T ϕ ) = 0 olduğundan,
det (T ϕ ) ≠ 0 olur. Buna göre, T ϕ matrisinin tersi vardır. (T ϕ )
−1
matrisine karşılık gelen
lineer dönüşüm G olsun. Gϕ = (T ϕ ) demektir. u ∈ V için,
−1
( G T )( u )  ϕ = ( G T ) ϕ u ϕ = Gϕ ⋅ T ϕ ⋅ u ϕ = (T ϕ ) ⋅ u ϕ = u ϕ
−1
29
olduğundan, ( G T )( u ) = u olur. Demek ki, ( G T ) = I v dir. 2.2.3. Sonuca göre, T
lineer dönüşümünün tersi vardır ve T −1 = G dir. Sözlerle söylersek, T nin tersi, (T ϕ )
−1
matrisinin, ϕ tabanına göre belirttiği lineer dönüşümdür.
Teorem 4.1.4. f , n boyutlu bir V vektör uzayı üstünde alterne, n − lineer bir
fonksiyon olsun. T : V → V lineer bir dönüşüm ve {a1 , a2 ,… , an } kümesi V nin bir
tabanı ise,
f (T ( a1 ) , T ( a2 ) ,… , T ( an ) ) = ( det T ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an )
(4.1.5)
olduğunu gösteriniz.
Đspat. V nin {a1 , a2 ,… , an } tabanını ϕ ile gösterelim. Bu tabana göre T lineer
dönüşümünün matrisi T ϕ olsun. T ϕ = aij
n×n
olduğunu varsayalım.
n
T ( a j ) = ∑ aij ai
1≤ j ≤ n
i =1
demektir. det T = ( T ϕ ) olduğunu biliyoruz.
n
n
 n

f (T ( a1 ) , T ( a2 ) ,… , T ( an ) ) = f  ∑ ai1 j ai1 , ∑ ai2 j ai2 ,… , ∑ ain j ain 
i2 =1
in =1
 i1 =1

n
∑
=
i1 ,i2 ,…,in =1
(
ai11ai2 2 … ain n f ai1 , ai2 ,… , ain
)
 n

=  ∑ S (σ ) aσ (1)1aσ ( 2 )2 … aσ ( n ) n  ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an )
 σ ∈Sn

(
)
= det (Tϕ ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an )
= ( det T ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an )
30
olur.
Teorem 4.1.5. f , n boyutlu bir V vektör uzayı üstünde alterne, n − lineer bir
fonksiyon ve f ≠ 0 olsun. T : V → V lineer bir dönüşüm ise, her v1 , v2 ,… , vn ∈ V
için,
f (T ( v1 ) , T ( v2 ) ,… , T ( vn ) ) = ( det T ) ⋅ f ( v1 , v2 ,… , vn )
olduğunu gösteriniz.
n
Đspat: v j = ∑ hij ai eşitliklerinin belirlediği  hij  matrisini H ile gösterelim. (4.2.2)
i =1
eşitliğine göre,
f ( v1 , v2 ,… , vn ) = ( det H ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an )
olduğunu biliyoruz. f sıfır dönüşümü olmadığından, f ( a1 , a2 ,… , an ) ≠ 0 dır. Buna
göre,
det H =
f ( v1 , v2 ,… , vn )
f ( a1 , a2 ,… , an )
g ( v1 , v2 ,… , vn ) = f (T ( v1 ) , T ( v2 ) ,… , T ( vn ) )
(1)
(2)
eşitliğiyle tanımlı g dönüşümünün, v vektör üstünde alterne, n − lineer bir
fonksiyon olduğu kolayca görülebilir. Buna göre,
= ( det H ) ⋅ g ( a1 , a2 ,… , an )
(3)
ve
f (T ( a1 ) , T ( a2 ) ,… , T ( an ) ) = ( det T ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an )
dir. Sonuç olarak, yukarıdaki (3), (2), (4), (1) eşitliklerinden yararlanarak,
(4)
31
f (T ( v1 ) , T ( v2 ) ,… , T ( vn ) ) = g ( v1 , v2 ,… , vn )
= ( det H ) ⋅ g ( a1 , a2 ,… , an )
= ( det H ) ⋅ f (T ( a1 ) , T ( a2 ) ,… , T ( an ) )
= ( det H ) ⋅ ( det T ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an )
=
f ( v1 , v2 ,… , vn )
f ( a1 , a2 ,… , an )
⋅ ( det T ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an )
= ( det T ) ⋅ f ( v1 , v2 ,… , vn )
elde edilir.
4.2. CRAMER YÖNTEMĐ
Bilinmeyen sayısı denklem sayısına eşit olan lineer denklem sistemlerine
karesel lineer denklem sistemi denir. Daha açık olarak, n − bilinmeyenli n
denklemden oluşan karesel bir lineer denklem sistemi,
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2
⋮
⋮
⋮
⋮
(4.2.1)
⋮
an1 x1 + an 2 x2 + … + ann xn = bn
biçiminde bir denklem sistemidir. Bu denklem sisteminin katsayılar matrisi A ,
eşitliğin sağ yanındaki sayıların oluşturduğu sütun matrisi B ile gösterildiğinde,
yukarıdaki denklem sisteminin, AX = B denklemine denk olduğunu kolayca
görebilirsiniz.
Bu
kesimde,
AX = B
biçiminde
karesel
lineer
denklem
sistemlerinin
çözümlerinin bulunmasıyla ilgili bir kural vereceğiz. Aşağıdaki teorem, Cramer
yöntemi diye bilinen bu kuralı verir.
Teorem
4.2.1.
A,
n×n
biçiminde
bir
matris
olmak
üzere,
b1 A1 j + b2 A2 j + … + bn Anj denklemi verilsin. A matrisi tersinir ise, bu denklemin bir
ve yalnız bir çözümü vardır ve bu çözüm, 1 ≤ j ≤ n için,
32
xj =
a11
a12 ... a1(j-1) b1
a 21
a 22 ... a 2(j-1) b 2 a1(j+1) ... a 2n
1 .
det A .
.
a n1
.
.
.
a n2
.
.
.
.
.
.
... a n(j-1)
a1(j+1) ... a1n
.
.
.
.
.
.
b n a n (j+1)
.
.
.
...
.
.
.
a nn
eşitlikleriyle belirtilir. Buradaki gösterimi,
 a11

 a 21
.
det 
.
.

 a n1
a12 ... a1(j-1) b1
a 22 ... a 2(j-1) b 2
.
.
.
a n2
.
.
.
.
.
.
... a n(j-1)
.
.
.
bn
a1(j+1) ... a1n 

a1(j+1) ... a 2n 
.
. . 

.
. . 
.
. . 
a n (j+1) ... a nn 
anlamındadır.
Đspat. A matrisi tersinir olduğundan, A −1 matrisi vardır. Buna göre,
AX = B ⇔ A−1 ( AX ) = A−1 B
⇔ ( A−1 A ) X = A−1 B
⇔ X = A−1 B
bulunur. Böylece,
AX = B ⇔ X = A−1 B
(4.2.2)
33
elde ettik. Böyle olması, AX = B denkleminin bir ve yalnız bir çözümünün
bulunduğunu ve çözümün A−1 B olduğunu gösterir.
Şimdi, X vektörünün bileşenlerini belirteceğiz.
1
 1 ɶ
X = A−1 B = 
A ⋅ B =
Aɶ ⋅ B
det A
 det A 
(
)
eşitliğinden,
 A11
 x1 
x 
A
 2  = 1  12
 ⋮  det A  ⋮

 
 xn 
 A1n
A21 ⋯ An1  b1 
A22 ⋯ An 2  b2 
⋅
⋮ ⋮
⋮   ⋮
  
A2 n ⋯ Ann  bn 
 A11b1 + A21b2 + ⋯ + An1bn 


1  A12b1 + A22b2 + ⋯ + An 2bn 
=
det A  ⋮
⋮
⋮ 


 A1n b1 + A2 n b2 + ⋯ + Ann bn 
bulunur. Buna göre,
xj =
=
1
( A1 jb1 + A2 jb2 + ⋯ + Anjbn )
det A
1
( b1 A1 j + b2 A2 j + ⋯ + bn Anj )
det A
olur. b1 A1 j + b2 A2 j + … + bn Anj sayısının, A matrisinde, j − inci yerine B matrisi
konularak elde edilen determinantın, j − inci sütuna göre açılımı olduğunu
kolayca görebilirsiniz.
Teorem 4.2.2. n − bilinmeyenli m − denklemden oluşan AX = 0 denklemi verilsin.
rankA = r ise AX = 0 denkleminin çözüm kümesi K n uzayının n − r boyutlu bir alt
vektör uzayıdır.
34
Đspat. AX = 0 denkleminin çözüm kümesini H ile gösterelim. K n ve K m
uzaylarının doğal tabanlarına göre, A matrisinin belirttiği lineer dönüşüm
T :Kn → Km
olsun. x ∈ K n , x = ( x1 , x2 ,… , xn ) olmak üzere,
Tϕ ,θ ⋅ [ x ]ϕ = T ( x ) θ
olduğundan, A ⋅ [ x ]ϕ = T ( x ) θ olur.
[ x ]ϕ
 x1 
x 
=  2
⋮ 
 
 xn  n×1
olduğu apaçıktır. X = [ x ]ϕ olduğundan, AX = T ( x ) θ olur.
T −1 {0} = H
olduğunu
kolayca
görebilirsiniz.
Gerçekten,
AX = T ( x ) θ
eşitliğinden dolayı,
x ∈ T −1 {0} ⇔ T ( x ) = 0 ⇔ T ( x ) θ = 0 ⇔ AX = 0
dır. rankT + boyutT −1 {0} = boyutK n kümesi K n uzayının bir alt vektör uzayı
olduğundan, H kümeside alt vektör uzayıdır.
T lineer dönüşümünün rankı, A matrisinin rankına eşit olduğundan,
rankT + boyutT −1 {0} = boyutK n
eşitliğinden, boyutT −1 {0} = n − r elde edilir.
35
Sonuç 4.2.3.
n − bilinmeyenli
m − denklemden oluşan
AX = 0 denklemi
verilsin. AX = 0 denkleminin çözüm kümesinde sıfırdan farklı en az bir vektör
bulunması için gerek ve yeter koşul, rankA < n ve r < n olmasıdır.
Đspat. rankA = r olsun. AX = 0 denkleminin çözüm kümesine H diyelim. 4.2.2.
Teoreme göre H , n − r boyutlu bir alt vektör uzayıdır. r < n ise, boyutH > 0
olur. Buna göre, H alt vektör uzayında sıfırdan farklı en az bir vektör vardır.
Karşıt olarak, H alt vektör uzayında sıfırdan farklı en az bir vektör varsa,
boyutH > 0 demektir. Buradan r < n elde edilir.
Sonuç 4.2.4. n − bilinmeyenli n − denklemden oluşan AX = 0 denklemi verilsin.
AX = 0 denkleminin çözüm kümesinde sıfırdan farklı en az bir vektör bulunması
için gerek ve yeter koşul, det A = 0 olmasıdır.
Đspat: AX = 0 denklemi n − bilinmeyenli n − denklemden oluştuğundan, A
matrisi n × n biçimindedir. A matrisinin sütun vektörleri a1 , a2 ,… , an olsun.
det A = det ( a1 , a2 ,… , an ) demektir. Burada;
det A = 0 ↔ {a1 , a2 ,… , an }
↔ rankA < n
kümesi lineer bağımlı olur. 4.6.1. Sonuca göre, rankA < n önermesi, ( AX = 0
denkleminin çözüm kümesinde sıfırdan farklı en az bir vektör vardır) önermesine
denktir.
Teorem 4.2.5.
n − bilinmeyenli
m − denklemden oluşan
AX = B
denklemi
verilsin. AX = B denkleminin bir çözümü X 0 olsun. AX = 0 denkleminin
çözüm uzayı H ise AX = B denkleminin çözüm kümesi X 0 + H dir.
36
Đspat. AX = B denkleminin çözüm kümesi D olsun.
Y ∈ X 0 + H ise ∃u ∈ H için, Y = X 0 + u biçimindedir.
AY = A ( X 0 + u ) = AX 0 + Au = B + 0 = B
olur. Buna göre, X 0 + H ⊂ D dir.
Y ∈ D ise AY = B dir. Y − X 0 = u diyelim.
Au = A (Y − X 0 ) = AY − AX 0 = B − B = 0
olduğundan u ∈ H
olur. Buna göre, ∃u ∈ H için, Y = X 0 + u olur. Buradan
Y ∈ X 0 + H elde edilir. Demek ki, D ⊂ X 0 + H dır.
Bu teorem geometrik olarak şunu söyler: AX = B denkleminin bir çözümü
X 0 olduğuna göre, AX = B denkleminin çözüm kümesi, AX = 0 denkleminin
çözüm uzayının, X 0 vektörü ile ötelenmişidir.
n − bilinmeyenli m − denklemden oluşan
AX = B
(4.2.3)
lineer denklem sisteminin çözümlerinin bulunmasında Cramer yönteminden
aşağıdaki gibi yararlanılabilir:
A matrisinin rankı r olsun. Buna göre, A matrisinin r − inci basamaktan,
determinantı sıfırdan farklı olan karesel bir δ r alt matrisi bulunabilir. Ayrıca,
basamağı r den büyük olan bütün karesel alt matrislerin determinantı sıfırdır.
AX = B lineer denklem sisteminin tutarlı olması için,
rank [ AB ] = rankA
olması gerekir ve yeter (Burada [ AB ] ile, AX = B lineer denklem sisteminindeki
A ve B matrislerinin yan yana konulup yeni bir matris olarak düşünülmesinden
37
elde edilen matrisi gösterdik.). rankA = r olduğunu varsaymıştık. Buna göre,
AX = B lineer denklem sisteminin tutarlı olması için, AB matrisinin rankının r
olması gerek ve yeter koşuldur.
 a11

 a 21
.
δr = 
.
.

 a r1
a12 ... a1r 

a 22 ... a 2r 
.
. . 

.
. . 
.
. . 

a r2 ... a rr 
(4.2.4)
olduğunu varsayalım. Böyle değilse, denklem sistemindeki denklemlerin sıralarını
ve bilinmeyenlerin adlarını yeniden düzenleyerek, δ r böyle olacak biçimde yeni
bir denklem sistemi yazabiliriz. Bu yeni denklem sisteminin çözümleri
bulunduktan sonra ilk verilen denklem sisteminin çözümleri kolayca bulunur.
[ AB ]
matrisinin rankının r olması için, 1 ≤ h ≤ m − r olacak biçimdeki h
doğal sayılarına karşılık elde edilen,
δ r +h
 a11

 a 21
 .

= .
 .

 a r1

 a (r+h)1
a12 ...
a1r
a 22 ...
a 2r
.
.
.
.
.
.
. .
.
a r1 ... a rr
a (r+h)2 ... a (r+h)r
b1 

b2 
. 

. 
. 

br 

a b+h 
(4.2.5)
eşitliğiyle tanımlı δ r + h matrislerinin tümünün determinantının sıfır olmasının
gerek ve yeter olduğu kolayca görülebilir. Böylece şu sonucu elde etmiş olduk:
38
Sonuç 4.2.6. n − bilinmeyenli
m − denklemden oluşan
AX = B
denklemi
verilsin. AX = B denkleminin tutarlı olması için gerek ve yeter koşul, (4.2.5)
eşitliğiyle verilen δ r + h matrislerinin tümünün determinantının sıfır olmasıdır.
rankA = r olmak üzere, AX = B lineer denklem sistemi tutarlı ise Cramer
yönteminden yararlanarak şöyle çözülebilir:
Önce bilinmeyenleri adları ve denklemlerin yerleri, δ r matrisi sol üst köşedeki
r × r biçimindeki karesel matris olacak biçimde düzenlenir. Bu yapıldıktan sonra
elde edilen denklem sisteminin (4.2.3) sistemi olduğunu varsayalım. δ r matrisi,
(4.2.4) eşitliğindeki gibidir. Sonra,
a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + .... + a2 n xn = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(4.2.6)
ar1 x1 + ar 2 x2 + .... + arn xn = br
denklem sistemini göz önüne alalım. Bu denklem sisteminde xr +1 , xr + 2 ,… , xn
bilinmeyenlerin,
xr +1 = tr +1 , xr + 2 = tr + 2 ,..., xn = tn
biçiminde keyfi olarak seçildiğini varsayalım. Böylece,
a11 x1 + a12 x2 + .... + a1r xr = b1 − a1( r +1)t r +1 − ... − a1nt n
a21 x1 + a12 x2 + .... + arr xr = br − a2( r +1)t r +1 − ... − a2 nt n
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
.
.
.
.
..
ar1 x1 + ar 2 x2 + .... + arr xr = br − ar ( r +1)t r +1 − ... − arnt n
(4.2.7)
39
elemanlarının kümesi D olsun. Bu küme, (4.2.6) denklem sisteminin çözüm
kümesidir.
4.2.6. ve 4.2.3. Teoremlerden dolayı, D kümesi, K uzayında, n − r boyutlu bir alt
vektör uzayının ötelenmişidir. AX = B lineer denklem sistemi tutarlı olduğundan,
(4.2.6) denklem sisteminin D çözüm kümesindeki her eleman, geriye kalan
a( r +1)1 x1 + a( r +1)2 x2 + .... + a( r +1) n xn = br +1
a( r + 2)1 x1 + a( r + 2)2 x2 + .... + a( r + 2) n xn = br + 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
..
am1 x1 + am 2 x2 + .... + arn xn = bm
denklemlerin tümünü sağlar. Buna göre D kümesi (4.2.5) sisteminin de çözüm
kümesidir.
1 ≤ h0 ≤ m − r olacak biçimdeki belirli bir h0 sayısı için, det δ r + h ≠ 0 ise, D
kümesinin elemanları
a( r + ho )1 x1 + a( r + ho )2 x2 + .... + a( r +ho ) r xr + ... + a( r +ho ) n xn = br + ho
denklemini sağlamaz. Bu durumda, (4.2.5) lineer denklem sistemi tutarlı değildir.