X - SABİS

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma
BSM 445 Kuyruk Teorisi
Güz 2014
Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Bir olayın olasılığı bize ne anlatır?
 Verilen bir olasılığın manası nedir?
 Örnek: Tavlada düşeş atma olasılığı %2,8’dir. Ne demektir
0,028 (daha doğrusu 1/36)?
2
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Örnek Uzay (Sample Space)
 Deney: Biri mavi ve biri beyaz iki zar atıyoruz.
 X ve Y sırasıyla mavi ve beyaz zarı attığımızda üste kalan
yüzdeki nokta sayısı olsun. Bu durumda P(X+Y=6)=5/36 ne
demektir?
Bu deneyin (X, Y) çıktılarının örnek uzayı
3
1, 1
2, 1
3, 1
4, 1
5, 1
6, 1
1, 2
2, 2
3, 2
4, 2
5, 2
6, 2
1, 3
2, 3
3, 3
4, 3
5, 3
6, 3
1, 4
2, 4
3, 4
4, 4
5, 4
6, 4
1, 5
2, 5
3, 5
4, 5
5, 5
6, 5
1, 6
2, 6
3, 6
4, 6
5, 6
6, 6
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Matematiksel olasılık
teorisinde örnek uzay
(sample space) kavramı
vardır. Teorik olarak her bir
çıktı eşit olasılığa (ağırlığa)
sahiptir. Bu deney için her
çıktı 1/36 olasılığa sahitir.
Bu nedenle X+Y=6 olan 5
durum olduğundan
P(X+Y=6)=5/36 olur.
Tekrarlanabilir Deney
(Repeatable Experiment)
 Maalesef, karmaşık problemler için örnek uzay çıkartıp
istenen olayı gerçekleyen her sonucu sayamayız.
 Bir olayın olasılığını anlamak için “deney defteri” örneğini
kullanacağız.
4
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Tekrarlanabilir Deney
(Repeatable Experiment)
Deney Defteri
Deney no
1
2
3
4
5
5
Sonuç (Mavi, Beyaz)
Mavi+Beyaz=6?
2, 6
Hayır
• Bu deney defterine göre
yapılan ilk 9 deneyden ikisi (2/9)
sorduğumuz soruya (X+Y=6 ?)
Evet sonucunu veriyor.
3, 1
Hayır
Olasılık
basitçe şöyle
ifade edilebilir:
1, 1
Hayır
• Fakat eğer bu deneyi çok çok
İlgilendiğiniz
olayın
deney
fazladefterinde
sayıda tekrarlasa idik
4, 2
Evet
sonucunda
Evet yazan satırların
gerçekleştiği
satırların
oranı.
1, 1
Hayır
toplam deney sayısını oranı
6
3, 4
Hayır
7
5, 1
Evet
8
3, 6
Hayır
9
2, 5
Hayır
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
5/36 olacaktı.
• Örneğin bu deneyi 720 kere
tekrar etseydik eğer, yaklaşık
olarak 720*5/36=100 satırda
Evet yazacaktı.
Tanımlar
 Deney defteri örneğinden yola çıkarak olasılığın bazı genel
kavramlarını rahatlıkla tanımlayabiliriz.
 Olay: Eğer A deneyin muhtemel boolean (evet yada hayır)
çıktılarından biri ise biz A’ya olay diyebiliriz. Bir önceki
deneyimizde bazı olay örnekleri
 X+Y=6
 X=1
 Y=3
 X-Y=4
 Rastgele Değişken: Bir rastgele değişken bir deneyin sayısal
çıktılarından biridir. Örneğimizdeki X ve Y gibi. X+Y, 2XY, ya
da sin(XY)’de birer rastgele değişkendir.
6
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Tanımlar
 Deney defteri örneğinden yola çıkarak olasılığın bazı genel
kavramlarını rahatlıkla tanımlayabiliriz.
 İlgilendiğimiz bir A olayını deney defterinde yeni bir sütün gibi
düşünebiliriz. k. satırda (k=1,2,3,…) bu sütün için, A olayının deneyin k.
tekrarında oluşup oluşmamasına göre Evet yada Hayır yazacaktır.
 İlgilendiğimiz bir A olayı için P(A) bir çok deney sonucunda (uzun-koşumlu)
Evet yazan satırların oranı olacaktır.
 A ve B iki ayrı olay olsun (B bu durumda yeni bir sütun oluyor deney
defterinde). Deney defterine bir sütün daha ekleyelim, bu yeni olay da “A ve
B” olsun ve sadece hem A hem de B olayı için Evet yazdığında bu sütunda
Evet yazsın. Bu durumda P(A ve B) bu son sütundaki Evet yazan satırların
uzun-koşumlu sonucu olacaktır.
7
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Tanımlar
 Deney defteri örneğinden yola çıkarak olasılığın bazı genel
kavramlarını rahatlıkla tanımlayabiliriz.
 Verilen A ve B olayları için, deney defterinde “A veya B” adında başka bir
sütun daha düşünelim. Her satırda bu sütün için A ve B olaylarından en az biri
için Evet yazdığında Evet yazacaktır. Bu durumda P(A veya B) bu son
sütundaki Evet yazan satırların uzun-koşumlu sonucu olacaktır.
 Verilen A ve B olayları için, deney defterinde “A |B” adında başka bir sütun
daha düşünelim. Bu sütundaki her bir satırda:
 Eğer B olayı Hayır ise Uygulanmaz yazacaktır.
 Eğer bu satırda B olayı için Evet diyorsa, bu durumda bu sütun için A
olayının Evet yada Hayır olmasına göre Evet yada Hayır yazacaktır.
Bu durumda P(A |B) bu son sütundaki Evet yazan satırların B sütununa evet
yazan satırlara uzun-koşumlu oranı olacaktır , yani B olayı olduğunda
A’nın olma olasılığı (2. Hafta daha fazla bahsedeceğiz…).
8
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Olasılığın bazı özellikleri
 Her hangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır.
 Bir olayın olmama olasılığı 1’den olma olasılığı çıkarılarak
bulunur.
 Eğer A olayı B olayını kapsıyorsa, A olayının olma olasılığı B
olayından daha büyüktür.
 P(A veya B)=P(A)+P(B)-P(A ve B)
9
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Değişik gösterimler
 P(A) , P[A] yada P{A} olarak da gösterilebilir.
 Eğer X bir rastgele değişken ise P(X) bir şey ifade etmez,
ama P(X=3) X rastgele değişkenin 3’e eşit olma olasılığını
anlatır.
 P(A ve B), P(A  B) yada P(AB) olarak da gösterilebilir.
 P(A veya B), P(A  B) olarak da gösterilebilir.
 A olayın olmama durumu A , A’ veya Ac olarak gösterilebilir
ve P(A)=1-P(A’).
10
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Hatırlatmalar
 Permütasyon
 Birbirinden farklı n sayıda element için n! sayıda sıralama
yapılabilir.
 n sayıda elementten n1 tanesi birbirinin aynı, n2 tanesi birbirinin
aynı, …, ve nr tanesi birbirinin aynı ise n!/(n1! n2!... nr!) tane
farklı sıralama yapılabilir.
 Kombinasyon
 n tane elementten seçilecek içerisinde r element içeren grup
sayısı
11
n
n!
  
 r  (n  r )!r!
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Koşullu Olasılık
 Verilen A ve B olayları için, deney defterinde “A |B” adında başka
bir sütun daha düşünelim. Bu sütundaki her bir satırda:
 Eğer B olayı Hayır ise Uygulanmaz yazacaktır.
 Eğer bu satırda B olayı için Evet diyorsa, bu durumda bu sütun için A olayının
Evet yada Hayır olmasına göre Evet yada Hayır yazacaktır.
 Bu durumda P(A |B) bu son sütundaki Evet yazan satırların B
sütununa evet yazan satırlara uzun-koşumlu oranı olacaktır , yani B
olayı olduğunda A’nın olma olasılığı.
12
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
P(AB) ve P(A|B)
 Genelde P(AB) ve P(A|B) karıştırılır. İki zar atma örneğimizde X
ilk zarda gelen nokta sayısını ve Y ikinci zarda gelen nokta sayısını
ifade ediyordu. A olayı X=1 ve B olayı X+Y=6 olsun Bu örnek için
P(AB) =1/36 iken P(A|B)=1/5 olacaktır. Yani;
 Deneyin birçok tekrarından sonra yaklaşık olarak deney defterindeki
satırların 1/36’sında A (yani X=1) ve B (yani X+Y=6) olayı için Evet
yazacaktır.
 Deneyin birçok tekrarından sonra, eğer sadece B’nin Evet yazdığı
satırlara bakarsak, bu satırların 1/5’inde A olayı için Evet yazacaktır.
 P(A|B), B olayı olduğunda A’nın koşullu olasılığıdır.
13
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Koşullu Olasılık Formülü
A ve B’nin aynı anda olma olasılı, ama ne zaman?
P( AB )
P( A B) 
P( B)
B olayı
olduğunda!!!
14
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Formüle başka bir açı
P( AB )
P( A B) 
P( B)
Yani iki olayın aynı anda olma
olasılığı, birinin (diğeri verildiğinde)
koşullu olasılığı ile diğer olayın olma
olasılığının çarpımıdır.
15
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
P( AB )  P( B) P( A B)
P( AB )  P( A) P( B A)
Baye’s Formülü
P( A)  P( AB )  P( AB )
 P( A B) P( B)  P( A B ) P( B )
 P( A B) P( B)  P( A B )1  P( B)
16
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Baye’s Formülü
P( B A) P( A)
P( AB )
P( A B) 

P( B)
P( B A) P( A)  P( B A ) P( A )
17
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Ayrık olaylar (Disjoint Events)
 Eğer iki olay aynı anda oluşamıyorsa bunlara ayrık olaylar
denir.
 Deney defteri örneğimizde bu durum şöyle ifade edilebilir.
Eğer iki olay (A olayı ve B olayı) için deney defterinin hiçbir
satırında aynı anda Evet yazması mümkün değilse bu olaylar
ayrık olaylardır. Diğer bir deyişle “A ve B” olayı için bütün
satırlarda hayır yazacaktır P(AB)=0.
 Eğer A ve B ayrık olaylarsa P(A veya B)=P(A)+P(B).
 Normalde P(A veya B)=P(A)+P(B) – P(AB). Ayrık olaylar için
P(AB)=0 olduğundan
18
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Bağımsız olaylar
(Independent Events)
 İki olay (A ve B olayları) eğer şu koşulu sağlıyorlarsa
bağımsız olaylar olarak adlandırılır; P(AB)=P(A)P(B).
 Bağımsız olmayan olaylar bağımlı olaylar olarak adlandırılır.
Bu durumda genel kural geçerlidir; P(AB)=P(A)P(B|A).
 P(AB)’yi hesaplarken, olayların bağımsız olup olmadığını
nereden bileceğiz?
 Eğer P(B|A)=P(B) ise bu olaylar bağımsızdır.Yani B olayı A’nin
gerçekleşip gerçekleşmemesinden etkilenmiyorsa bağımsızdır.
 Örnek: İki zar atma örneğimizde mavi zarda gelen sayının 2 olması
(X=2) ile beyaz zarda gelen sayının 3 olması (Y=3) birbirinden
bağımsızdır. Peki X=2 ile X+Y=5 olayları bağımsız mıdır?
19
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Bağımsız olayların özellikleri
 Eğer A ve B bağımsız olaylar ise o zaman A ve B’ de bağımsız
olaylardır.
 Üç olay A, B ve C, aşağıdaki koşulları sağlıyorlarsa
birbirlerinden bağımsız olaylardır.
 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
 P(AB)=P(A)P(B)
 P(AC)=P(A)P(C)
 P(BC)=P(B)P(C)
20
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Rastgele Değişkenler, Beklenti ve
Varyans
Rastgele Değişkenler
(Random Variables)
 Bir deney gerçeklendiğinde çoğunlukla deneyin tüm sonuçlarından
ziyade deneyin çıktılarının bazı fonksiyonları ile ilgileniriz.
 Örneğin zar deneyinde iki zar toplamının 7 olup olmadığı ile
ilgileniriz ve 7 toplamının nasıl olduğu ile ilgilenmeyiz.
İlgilendiğimiz bu numerik (sayısal) değeri olan fonksiyonlara
bağımsız değişken denir.
 Mavi zar-beyaz zar deneyinde mavi zarın gösterdiği sayı X ve beyaz
zarın gösterdiği sayı Y ise aşağıdakiler birer rastgele değişken
örneğidir.
•X
•Y
• X+Y
22
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
• sin(XY)
• 2(XY)
• X-Y
• X2Y
• √Y
Kesikli Rastgele Değişkenler
 Bir rastgele değişkenin alabileceği değerler sınırlı sayıda
(countable) ise, bu değişken kesikli rastgele değişken
olarak tanımlanır.
 Bir kesikli değişkenin muhtemel değerlerden birini alma
ihtimalini gösteren fonksiyona olasılık kütle fonksiyonu
denir.
p X (a)  P{X  a}
23
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Olasılık Kütle Fonksiyonu
(Probability Mass Function)
 Olasılık kütle fonksiyonu (pmf) sayılabilir miktarda a değeri
için pozitiftir. Bir diğer deyişle, eğer x1 , x2 , değerleri X
rastgele değişkenin mevcut değerleri ise,
p X ( xi )  0 i  1,2,
p X ( x)  0 tum diger x degerler icin
 X rastgele değişkeni xi değerlerinden birini alacağından,

p
i 1
24
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
X
( xi )  1
Olasılık Kütle Fonksiyonu
İki zar deneyi
 İki zar deneyimizde X mavi zar üstündeki ve Y de beyaz zar üzerindeki
noktaları ifade ediyordu. Yeni bir rastgele değişken tanımlayalım.
 Z=X+Y
pZ(z)
1/6
5/36
5/36
1/9
1/9
1/12
1/12
1/18
1/18
1/36
1
25
2
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
1/36
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
z
Yığılmalı (Kümülatif) Dağılım Fonksiyonu
(Cumulative Distribution Function)
 Bazen bir rastgele değişkenin aldığı bir değeri değil de
herhangi bir değerden küçük olma (yada bir değer aralığı
içince olma) ihtimali ile ilgileniriz. Bunun için yığılmalı
dağılım fonksiyonunu (cdf) kullanırız.
FX (a)  P{X  a}
FX (a) 
p
her x  a
X
( x)
Yani a değerine kadar olan (a dahil) X’in tüm muhtemel
değerlerine eşit olma olasılıkları toplamı.
26
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Yığılmalı Dağılım Fonksiyonu
İki Zar Deneyi
FZ(z)
Örneğin iki zarda gelen sayılar
toplamının 8 veya daha düşük olma
ihtimali 13/18’dir.
5/6
11/12
35/36
1
13/18
13/18-1/6=10/18
7/12
Peki 5 ile 8 arasında olma
ihtimali nedir?
1-13/18=5/18
5/12
Peki 9 veya daha büyük
olma ihtimali nedir?
5/18
1/36
1
27
2
1/12
1/6
z
3
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ortak Dağılımlı (Jointly Distributed)
Rastgele Değişkenler
 Bir deneyde bazen teker teker rastgele değişkenler yerine
birden fazla rastgele değişken arasındaki ilişki ile ilgileniriz.
 Örneğin bilgisayar ağlarındaki internet trafiği ile ilgili bir
deneyde, özel bir gün(dem) sebebi ile artan tweet, FB post sayısı
ile demografik istatistikler (örneğin bu sosyal ağ trafiğini
oluşturan kişilerin yaş ortalaması) arasında ilişki ile ilgileniyor
olabiliriz.
 Ortak yığılmalı dağılım fonksiyonu iki rastgele değişken
arasındaki ilişkiyi tanımlar:
FX ,Y ( x, y)  P{X  x, Y  y}
28
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Ortak Dağılımlı
Rastgele Değişkenler
 İki rastgele değişkenin ortak cdf’i verildiğinde birine ait cdf
(en azından teoride) elde edilebilir.
FX ( x)  P{ X  x}
 P{ X  x, Y  }
 FX ,Y ( x, )
 Aynı şekilde:
FY ( y)  FX ,Y (, y)
29
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Ortak Dağılımlı
Rastgele Değişkenler
 İki rastgele değişkenin ortak pmf’i şöyle tanımlanır.
p X ,Y ( xi , y j )  P{X  xi , Y  y j }
 Aynı şekilde ortak pmf bilindiğinde, rastgele değişkenlerden
birinin pmf’i bulunabilir.
p X ( xi )  P{ X  xi }


 P  X  xi , Y  y j 
 j

  P{ X  xi , Y  y j }
j
  p X ,Y ( xi , y j )
j
30
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Aynı şekilde
pY ( y j )   p X ,Y ( xi , y j )
i
Bağımsız Rastgele Değişkenler
 Eğer iki rastgele değişken birbirinden bağımsızsa
P{X  a, Y  b}  P{X  a}P{Y  b}
Yani X değişkeninin a’dan düşük olması ve Y değişkeninin b’den
düşük olması birbirinden bağımsız olaylardır. Bu durumda;
FX ,Y (a, b)  FX (a) FY (b)
Aynı şekilde pmf için
p X ,Y (a, b)  p X (a) pY (b)
31
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Dağılım Fonksiyonun Özellikleri
Bu özelliklerde FX ( x  ) ve FX ( x  ) ifadeleri şu limitleri ifade
etmektedir.
FX ( x  )  lim FX ( x   ) FX ( x  )  lim FX ( x   )   0  0
1.
FX ()  1 FX ()  0
Azalmayan bir fonksiyondur Eğer x1  x2 ise FX ( x1 )  FX ( x2 ) .
3. Eğer FX ( x0 )  0 ise her x  x0 için FX ( x)  0 .
2.
32
4.
P{X  x}  1  FX ( x)
5.
Sağdan devamlıdır.
6.
P{x1  X  x2 }  FX ( x2 )  FX ( x1 )
7.
P{ X  x}  FX ( x)  FX ( x  )
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
FX ( x  )  FX ( x)
ve
P{x1  X  x2 }  FX ( x2 )  FX ( x1 )
Beklenti (Expectation) yada
Beklenen Değer (Expected Value)
 Olasılık teorisinde çok önemli konseptlerinden biri bir
rastgele değişkenin beklenen değeridir. Ayrık bir rastgele
değişkenin beklenen değeri
E[ X ]   xi P{ X  xi } 
i
 xp
x : p X ( x ) 0
X
( x)
 Diğer bir deyişle, X’in beklenen değeri X’in alabileceği olası
değerlerin ağırlıklı ortalamasıdır (her muhtemel değerin
ağırlığı o X’in o değere eşit olma olasılığıdır).
33
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Beklenti yada
Beklenen Değer
 Örnek:
1
p(0)  ,
4
3
p(1) 
4
1 3 3
E[ X ]  0   1  
4 4 4
0
34
Beklenen değer
İki muhtemel değerden
1’e daha yakın.
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
1
Bir Rastgele Değişkenin
Fonksiyonun Beklentisi
 Diyelim ki bir rastgele değişkenin pmf ve cdf fonksiyonları
verilmiş olsun. Ama bazen bir bu rastgele değişkenin (X) bir
fonksiyonu ile ilgileniriz (g(X)).
 g(X)’in kendisi de bir rastgele değişken olduğu için, bir pmf
ve cdf vardır ve X’in fonksiyonlarından üretilebilir. Örnek;


p(0)  0.2,
Y  X 2,
p(1)  0.5,
p(2)  0.3. E[ X 2 ] nedir?
pY (0)  P{Y  0 2 }  0.2,
pY (1)  P{Y  12 }  0.5,
pY (4)  P{Y  2 2 }  0.3
E[ X 2 ]  E[Y ]  0(0.2)  1(0.5)  4(0.3)  1.7
35
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Bir Rastgele Değişkenin
Fonksiyonun Beklentisi
 Her ne kadar bu yöntem teoride işe yarasa da, bu işin daha
kolay bir yolu var.
E[ g ( X )]   g ( x) p X ( x)
x
 Bir önceki örnek için;
E[ X 2 ]  02 (0.2)  12 (0.5)  22 (0.3)  1.7
 Lineer fonksiyonlar için bu özelliğin doğal bir sonucu;
E[aX  b]  aE[ X ]  b
36
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Beklenti = Ortalama
= İlk Moment
 Beklentiye aynı zamanda ortalama (mean) yada ilk moment
de denir. Bir rastgele değişkenin n. momenti E[ X n ] şeklinde
gösterilir ve ayrık rastgele değişkenler için aşağıdaki şekilde
hesaplanır.
E[ X n ]   x n p( x)
x
37
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Varyans
 Verilen bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu
özetleyen ölçütler oldukça fayda sağlamaktadır. Bu anlamda
beklenen değer değişkenin ağırlıklı ortalamasını vererek bir
fikir verir.
 Fakat beklenen değer değişkenin varyasyonu, diğer bir
deyişle yayılımı hakkında bir bilgi vermez. Şu üç değişkene
bir göz atalım;
 W = 0, 1 olasılıkla
 Y = -1, ½ olasılıkla ve Y = 1, ½ olasılıkla
 Z = -100, ½ olasılıkla ve Z = 100, ½ olasılıkla
 Bu 3 değişken için de beklenti 0’dır. Ama yayılımları farklıdır.
38
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Varyans
 Varyans rastgele değişkenin beklenen değerinden (E[X]= )
ne kadar uzağa yayılım yaptığını gösterir ve şu şekilde
ölçülür;
Var ( X )  E[( X   ) 2 ]
 Alternatif bir varyans hesaplama tekniği;
Var ( X )  E[( X   ) 2 ]
 E[ X 2  2 X   2 ]
 E[ X 2 ]  E[2 X ]  E[  2 ]
 E[ X 2 ]  2E[ X ]   2
 E[ X 2 ]   2
39
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Var ( X )  E[ X 2 ]  ( E[ X ])2
Kesikli Rastgele Değişkenler
ve Özellikleri
Kesikli Rastgele Değişken
 Bir rastgele değişkenin alabileceği değerler sınırlı sayıda
(countable) ise, bu değişken kesikli rastgele değişken
olarak tanımlanır.
p X ( x )  P{ X  x}
FX ( x )  P{ X  x}
41
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Kesikli Rastgele
Değişken Dağılımları
 Bernoulli ve Binomial Rastgele Değişkenler
 Poisson Rastgele Değikenler
42
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Bernoulli Rastgele Değişkeni
 Bir deneyin sonucu «başarılı» yada «başarısız» olarak
sınıflandırabildiğini varsayalım. X rastgele değişkeni için
deney başarılı olduğunda 1 değerini, başarısız olduğunda da
0 değerini alsın. Eğer p deneyin başarılı olma ihtimali ise,
 Bu şekilde tanımlanmış rastgele değişkene Bernoulli
rastgele değişkeni denir (0 ≤ p ≤ 1).
43
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Binomial Rastgele Değişkeni
 Şimdi de, benzer bir şekilde, her birinin başarılı olma
ihtimali p olan n adet deney düşünelim.
 Eğer X rastgele değişkeni başarılı deney sayısı ise bu
değişkene Binomial rastgele değişken denir ve bu
değişkenin parametreleri (n, p) ile gösterilir.
 Örneğin Bernoulli rastgele değişkeni, (1, p) Binomial
rastgele değişkenidir.
44
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Binomial Rastgele Değişken
Olasılık Kütle Fonksiyonu
n adet bağımsız deneyden i tanesinin başarılı olma ihtimali?
i tanesinin başarılı olma ihtimali?
n-i tanesinin başarısız olma ihtimali?
Kaç farklı i deney kombinasyonu oluşturabiliriz?
45
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Binomial Rastgele Değişkenin
Beklentisi ve Varyansı
E[ X ]  np
Var ( X )  np(1  p)
46
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Binomial Rastgele Değişkenin
cdf hesaplama

47
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Poisson Rastgele Değişken
 Çok fazla bağımsız değişken için deneyin başarılı olma sayısı
yaklaşık olarak Poisson rastgele değişken ile bulunur.
Parametresi λ ile ifade edilir.
p x (i )  e


i
i!
E[ X ]  
Var ( X )  
48
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Sürekli Rastgele Değişkenler
ve Özellikleri
Sürekli Rastgele Değişkenler
 Bir rastgele değişken, sayısız miktarda muhtemel değerler
alabilir. Örneğin bir trenin belirli bir istasyona varış zamanı
veya bir transistorun yaşam süresi gibi. Bu tür rastgele
değişkenler sürekli rastgele değişken olarak adlandırılır
 X sürekli rastgele değişkeninin bir reel sayılar kümesi B
içinde olma olasılığı şöyle ifade edilir.
P{ X  B}   f ( x)dx
B
 f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu (probability distribution
function - pdf) olarak adlandırılır.
50
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Sürekli Rastgele
Değişkenlerin Özellikleri
 X rastgele değişkeni, mutlaka (-∞, ∞) arasında bir değere
eşit olacağından

1  P{ X  (, )}   f ( x)dx

 B = [a, b] olarak tanımlarsak,
b
P{ X [a, b]}  P{a  X  b}   f ( x)dx
a
 Eğer a=b olursa
a
P{ X [a, a]}  P{ X  a}   f ( x)dx  0
a
a
P{ X  a}  P{ X  a}  F (a)   f ( x)dx

51
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
cdf ve pdf
 Yani X sürekli rastgele değişkenin sabit değere eşit olma
ihtimali sıfırdır. Bu durumda;
a
P{ X  a}  P{ X  a}  F (a)   f ( x)dx

 Eşitliğin iki tarafının da türevini alırsak;
F (a)
 f (a)
a
 f(a) bize rastgele değişkenin a değerinin etrafında olma
ihtimalini verir.
52
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Beklenti
 Bir X sürekli rastgele değişkenin beklentisi şöyle ifade edilir.

E[ X ]   xf ( x)dx

 X rastgele değişkenin bir fonksiyonun beklentisi ise

E[ g ( X )]   g ( x) f ( x)dx

 Eğer bu fonksiyon lineer ise
E[aX  b]  aE[ X ]  b
53
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Varyans
 Varyans sürekli rastgele değişkenlerde de aynıdır.Yani;
Var ( X )  ( E[( X   ) 2 ])
 ya da alternatif olarak;
Var ( X )  E[ X 2 ]  ( E[ X ])2
54
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Uniform (Tekdüze) dağılım
 Bir X rastgele değişkeni [α, β] aralığında uniform bir şekilde
dağıtılmış ise, bu rastgele değişkene ait pdf:
 1

f ( x)     

 0
 x
x   veya x  
1/(β-α)
α
55
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
β
Uniform (Tekdüze) dağılım
 pdf‘in altında kalan alan 1 olması gerekir.



f ( x)dx  


1
1
dx 
 
 

 dx  1
 [α, β] aralığında olan bir [a, b] alt aralığı için
P{a  X  b}  
b
a
56
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
1
f ( x)dx 
 
ba
a dx    
b
Uniform (Tekdüze) dağılım
Beklenti

E[ X ]   xf ( x)dx  



x
dx
 
 2   2 (    )(    )


2(    )
2(    )
 

57
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
2
Uniform (Tekdüze) dağılım
Beklenti

E[ X ]   xf ( x)dx  



x
dx
 
 2   2 (    )(    )


2(    )
2(    )
 

58
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
2
Uniform (Tekdüze) dağılım
Beklenti

E[ X ]   xf ( x)dx  



x
dx
 
 2   2 (    )(    )


2(    )
2(    )
 

59
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
2
Uniform (Tekdüze) dağılım
2. Moment ve Varyans

E[ X 2 ]   x 2 f ( x)dx  



x2
dx
 
 3   3  2     2


3(    )
3
Var ( X )  E[ X 2 ]  ( E[ X ]) 2

    
2
3
(   )2

12
60
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
2
(   )

4
2
Normal (Gaussian) Dağılım
 Bir X rastgele değişkeni, aşağıdaki pdf’e sahipse, bu rastgele
değişken için, μ ve σ2 parametreleri ile normal olarak
dağılmıştır deriz ve şu şekilde gösteririz: X ~ N ( , 2 )
1
( x   ) 2 / 2 2
f ( x) 
e
2 
 Bu fonksiyon μ’nün etrafında simetrik olan ve maksimum
değeri x = μ olduğunda 1/σ√2π olarak gerçekleşen çan
şeklinde bir eğridir.
61
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Normal (Gaussian) Dağılım
62
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Image courtesy: wikipedia.org
Normal (Gaussian) Dağılım
 Normal dağılım 1773’de Fransız matematikçi Abraham
DeMoivre tarafından, Binomial rastgele değişkenleri n çok
büyük olduğunda yakınsamak için geliştirilmiştir.
 Bu yakınsama daha sonra Laplace tarafından daha da
geliştirilmiş ve Merkezi Limit Teoremi oluşturulmuştur.
 Pratikte bir çok rastgele olayın, en azından yaklaşık olarak,
normal dağılımı izlediği görülmüştür.
 Bir insanın boyu, bir gaz içerisindeki bir molekülün herhangi bir
doğrultudaki hızı, fiziksel bir ölçümde hata sayısı, veri
iletiminde sinyal bozulma miktarı, vb.
63
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Normal (Gaussian) Dağılım
Beklenti


1
 ( x   ) 2 / 2 2
E[ X ]   xf ( x) 
xe



 
2
x x 

1
1
 ( x   ) 2 / 2 2

(
x


)
e




2  
2 


e
 ( x   ) 2 / 2 2

y  x


1
1
 y 2 / 2 2
 ( x   ) 2 / 2 2

ye

e





2  
2



0

64
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık

 f ( x ) dx1
Normal (Gaussian) Dağılım
Varyans

1
2  ( x   ) 2 / 2 2
Var ( X )  E[( X   ) ] 
(x  ) e


 
2

2
y ( x   ) / 
2

2
2

2



2  y2 / 2
y e
dy
 ye  y 2 / 2    e  y 2 / 2 dy 





kıısm integral
1   y2 / 2

e
dy


 
2
2
1
 2
65
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Normal (Gaussian) Dağılım
Lineer fonksiyon
 Y=AX+B ise
 E[Y]=Aμ+B
 Var(Y)=A2σ2
66
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Üssel (Exponential) Rastgele
Değişken
 Bir rastgele değişken, aşağıdaki pdf’e sahipse bu rastgele
değişkene üssel rastgele değişken denir.
e  x
f ( x)  
 0
x0
x0
 Bu durumda cdf;
F ( x)  1  e x
67
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Üssel (Exponential) Rastgele
Değişken
 Üssel rastgele değişken pratikte genelde bazı spesifik olaylar
oluşana kadar geçen süreyi ifade etmek için kullanılır.
Örneğin; şimdiden başlayarak
 Bir deprem oluşuncaya kadar geçen süre,
 Yeni bir savaş başlayıncaya kadar geçen süre,
 Size gelen ilk yanlış aramaya kadar geçen süre, vb.
 Üssel rastgele değişken hafızasızdır (memoryless).
68
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Üssel (Exponential) Rastgele
Değişken: Beklenti ve Varyans
E[ X ]  1 / 
Var ( X )  1 / 
2
69
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık