B - SABİS

Olasılığın Elemanları
IST 108 Olasılık ve İstatistik
Bahar 2016
Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Bir olayın olasılığı bize ne anlatır?
 Verilen bir olasılığın manası nedir?
 Örnek: Tavlada düşeş atma olasılığı %2,8’dir. Ne demektir
0,028 (daha doğrusu 1/36)?
2
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Örnek Uzay (Sample Space)
 Deney: Biri mavi ve biri beyaz iki zar atıyoruz.
 X ve Y sırasıyla mavi ve beyaz zarı attığımızda üste kalan
yüzdeki nokta sayısı olsun. Bu durumda P(X+Y=6)=5/36 ne
demektir?
Bu deneyin (X, Y) çıktılarının örnek uzayı
3
1, 1
2, 1
3, 1
4, 1
5, 1
6, 1
1, 2
2, 2
3, 2
4, 2
5, 2
6, 2
1, 3
2, 3
3, 3
4, 3
5, 3
6, 3
1, 4
2, 4
3, 4
4, 4
5, 4
6, 4
1, 5
2, 5
3, 5
4, 5
5, 5
6, 5
1, 6
2, 6
3, 6
4, 6
5, 6
6, 6
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Matematiksel olasılık
teorisinde örnek uzay
(sample space) kavramı
vardır. Teorik olarak her bir
çıktı eşit olasılığa (ağırlığa)
sahiptir. Bu deney için her
çıktı 1/36 olasılığa sahitir.
Bu nedenle X+Y=6 olan 5
durum olduğundan
P(X+Y=6)=5/36 olur.
Tekrarlanabilir Deney
(Repeatable Experiment)
 Maalesef, karmaşık problemler için örnek uzay çıkartıp
istenen olayı gerçekleyen her sonucu sayamayız.
 Bir olayın olasılığını anlamak için “deney defteri” örneğini
kullanacağız.
4
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Tekrarlanabilir Deney
(Repeatable Experiment)
Deney Defteri
Deney no
Sonuç (Mavi, Beyaz)
Mavi+Beyaz=6?
2, 6
Hayır
3, 1
Hayır
6
3, 4
Hayır
7
5, 1
Evet
8
3, 6
Hayır
9
2, 5
Hayır
1
2
3
4
5
5
• Bu deney defterine göre
yapılan ilk 9 deneyden ikisi (2/9)
sorduğumuz soruya (X+Y=6 ?)
Evet sonucunu veriyor.
Olasılık basitçe şöyle ifade edilebilir:
1, 1
Hayır
• Fakat eğer bu deneyi çok çok
İlgilendiğiniz
olayın
deney
fazladefterinde
sayıda tekrarlasa idik
4, 2
Evet
sonucunda
Evet yazan satırların
gerçekleştiği
satırların
oranı.
1, 1
Hayır
toplam deney sayısını oranı
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
5/36 olacaktı.
• Örneğin bu deneyi 720 kere
tekrar etseydik eğer, yaklaşık
olarak 720*5/36=100 satırda
Evet yazacaktı.
Tanımlar
 Deney defteri örneğinden yola çıkarak olasılığın bazı genel
kavramlarını rahatlıkla tanımlayabiliriz.
 Olay: Eğer A deneyin muhtemel boolean (evet yada hayır)
çıktılarından biri ise biz A’ya olay diyebiliriz. Bir önceki
deneyimizde bazı olay örnekleri
 X+Y=6
 X=1
 Y=3
 X-Y=4
 Rastgele Değişken: Bir rastgele değişken bir deneyin sayısal
çıktılarından biridir. Örneğimizdeki X ve Y gibi. X+Y, 2XY, ya
da sin(XY)’de birer rastgele değişkendir.
6
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Tanımlar
 Deney defteri örneğinden yola çıkarak olasılığın bazı genel
kavramlarını rahatlıkla tanımlayabiliriz.
 İlgilendiğimiz bir A olayını deney defterinde yeni bir sütün gibi
düşünebiliriz. k. satırda (k=1,2,3,…) bu sütün için, A olayının deneyin k.
tekrarında oluşup oluşmamasına göre Evet yada Hayır yazacaktır.
 İlgilendiğimiz bir A olayı için P(A) bir çok deney sonucunda (uzun-koşumlu)
Evet yazan satırların oranı olacaktır.
 A ve B iki ayrı olay olsun (B bu durumda yeni bir sütun oluyor deney
defterinde). Deney defterine bir sütün daha ekleyelim, bu yeni olay da “A ve
B” olsun ve sadece hem A hem de B olayı için Evet yazdığında bu sütunda
Evet yazsın. Bu durumda P(A ve B) bu son sütundaki Evet yazan satırların
uzun-koşumlu sonucu olacaktır.
7
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Tanımlar
 Deney defteri örneğinden yola çıkarak olasılığın bazı genel
kavramlarını rahatlıkla tanımlayabiliriz.
 Verilen A ve B olayları için, deney defterinde “A veya B” adında başka bir
sütun daha düşünelim. Her satırda bu sütün için A ve B olaylarından en az
biri için Evet yazdığında Evet yazacaktır. Bu durumda P(A veya B) bu son
sütundaki Evet yazan satırların uzun-koşumlu sonucu olacaktır.
 Verilen A ve B olayları için, deney defterinde “A |B” adında başka bir sütun
daha düşünelim. Bu sütundaki her bir satırda:
 Eğer B olayı Hayır ise Uygulanmaz yazacaktır.
 Eğer bu satırda B olayı için Evet diyorsa, bu durumda bu sütun için A
olayının Evet yada Hayır olmasına göre Evet yada Hayır yazacaktır.
Bu durumda P(A |B) bu son sütundaki Evet yazan satırların B sütununa evet
yazan satırlara uzun-koşumlu oranı olacaktır , yani B olayı olduğunda
A’nın olma olasılığı (2. Hafta daha fazla bahsedeceğiz…).
8
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Olasılığın bazı özellikleri
 Her hangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır.
 Bir olayın olmama olasılığı 1’den olma olasılığı çıkarılarak
bulunur.
 Eğer A olayı B olayını kapsıyorsa, A olayının olma olasılığı B
olayından daha büyüktür.
 P(A veya B)=P(A)+P(B)-P(A ve B)
9
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Değişik gösterimler
 P(A) , P[A] yada P{A} olarak da gösterilebilir.
 Eğer X bir rastgele değişken ise P(X) bir şey ifade etmez,
ama P(X=3) X rastgele değişkenin 3’e eşit olma olasılığını
anlatır.
 P(A ve B), P(A  B) yada P(AB) olarak da gösterilebilir.
 P(A veya B), P(A  B) olarak da gösterilebilir.
 A olayın olmama durumu A , A’ veya Ac olarak gösterilebilir
ve P(A)=1-P(A’).
10
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık
Hatırlatmalar
 Permütasyon
 Birbirinden farklı n sayıda element için n! sayıda sıralama
yapılabilir.
 n sayıda elementten n1 tanesi birbirinin aynı, n2 tanesi birbirinin
aynı, …, ve nr tanesi birbirinin aynı ise n!/(n1! n2!... nr!) tane
farklı sıralama yapılabilir.
 Kombinasyon
 n tane elementten seçilecek içerisinde r element içeren grup
sayısı
11
n
n!
  
 
( n  r )! r !
r
© Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık