ege üniversitesi fen bilimleri enstitüsü

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
(YÜKSEK LİSANS TEZİ)
BİTOPOLOJİK UZAYLAR ÜZERİNE
Güzide AKKOYUN
Matematik Anabilim Dalı
Bilim Dalı Kodu: 403.03.01
Sunuş Tarihi: 03.06.2009
Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Oya Bedre ÖZBAKIR
Bornova - İZMİR
III
Sayın Güzide AKKOYUN tarafından Yüksek Lisans Tezi olarak
sunulan “Bitopolojik Uzaylar Üzerine” başlıklı bu çalışma E. Ü. Lisansüstü
Eğitim Öğretim Yönetmeliği ile E. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Eğitim Öğretim
Yönergesi’nin ilgili hükümleri uyarınca tarafımızdan değerlendirilerek
savunmaya değer bulunmuş ve 03.06.2009 tarihinde yapılan tez savunma
sınavında aday oybirliği/oyçokluğu ile başarılı bulunmuştur.
İmza:
Jüri Üyeleri:
Jüri Başkanı
: Yrd. Doç. Dr. Oya ÖZBAKIR
Üye
: Prof. Dr. Gülhan ASLIM
Üye
: Yrd. Doç. Dr. Bedia AKYAR MOELLER
V
ÖZET
BİTOPOLOJİK UZAYLAR ÜZERİNE
AKKOYUN, Güzide
Yüksek lisans Tezi Matematik Bölümü
Tez Yöneticisi : Yrd. Doç. Dr. Oya Bedre ÖZBAKIR
Haziran 2009, 47 sayfa
Bu tez esas olarak üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tez
konusu tanıtılmış, bitopolojik uzay kavramının oluşum sürecinden
bahsedilmiştir.
İkinci bölümde bitopolojik uzaylarda bazı küme özellikleri
verilmiştir. (1,2)*- yarı – kapalı ve (1,2)* yarı- genelleştirilmiş kapalı
kümelerin tanımlanan diğer kümelerle ilişkisi çalışılmıştır. Buna ek
olarak bazı teoremlere ve örneklere yer verilmiştir. Daha sonra bu
kümeler yardımıyla oluşturulan (1,2)* - süreklilik terimleri tanıtılmıştır.
Üçüncü bölümde, (1,2)* - C küme tanıtılmış ve örneklerle
desteklenmiştir. Tez içinde tanıtılan diğer kümelerle ilişkisi incelenmiştir.
Daha sonra bu aileler yardımıyla (1,2)* - A, (1,2)* - B, (1,2)* - C
süreklilikler tanımlanmıştır. Tez, karşıt örneklerle desteklenmiştir.
Anahtar kelimeler: (1,2)* - sg- kapalı küme, (1,2)* - g – sürekli
fonksiyon, (1,2)* - sg – sürekli fonksiyon, (1,2)* - A küme, (1,2)* - B
küme, (1,2)* - C küme, (1,2)* - A süreklilik, (1,2)* - B süreklilik,
(1,2)* - C süreklilik.
VI
VII
ABSTRACT
ON BITOPOLOGICAL SPACES
AKKOYUN, Güzide
Mcs. in Mathematics Department
Supervisor : Yrd. Doç. Dr. Oya Bedre ÖZBAKIR
June 2009, 47 pages
This thesis essentially consists of three chapters. In the first
chapter, the subject of thesis is introduced and the development of the
bitopological space is mentioned.
In the second chapter, some set properties are given. The relation of
defined sets with (1,2)*- semi – closed and (1,2)* semi- generalized
closed sets is studied. In addition, some theorems and examples are
mentioned. Then, (1,2)* - continuities are introduced with the help of
(1,2)*- semi – closed and (1,2)* semi- generalized closed sets.
In the third chapter, (1,2)* - C sets are introduced and they were
supported with examples. The relations with the other sets introduced in
the thesis before are examined. Then, (1,2)* - A, (1,2)* - B, (1,2)* - C
continuties are introduced with the help of these families. Thesis was
supported with contrary examples.
Key words : (1,2)* - sg- closed set, (1,2)* - g – continuous map,
(1,2)* - sg – continuous map, (1,2)* - A set, (1,2)* - B set, (1,2)* - C
set, (1,2)* - A continuity, (1,2)* - B continuity, (1,2)* - C continuity.
VIII
IX
TEŞEKKÜR
Tez konumu veren, seminerlerde önemli açıklamalarda bulunan
değerli destek, teşvik ve yardımlarını esirgemeyen Sayın Hocam Yrd. Doç.
Dr. Oya Bedre ÖZBAKIR’ a en içten teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca iki
yıldır burs aldığım TÜBİTAK’ a desteklerinden dolayı teşekkür ederim.
Benden sevgisini ve desteğini esirgemeyen ailem; babam Halil
AKKOYUN, annem Emine AKKOYUN ve ablalarım Gülbanu AKKOYUN
KAYMAK ve Gülşah TAHİROVİÇ’e, yüksek lisans yaşamım süresince
yardımını esirgemeyen arkadaşlarıma teşekkürü bir borç bilirim.
X
XI
İÇİNDEKİLER
ÖZET....................................................................................................... V
ABSTRACT............................................................................................ VII
TEŞEKKÜR............................................................................................ IX
İÇİDEKİLER .......................................................................................... XI
1. GİRİŞ .................................................................................................. 1
2. BİTOPOLOJİK UZAYLARDA BAZI KÜME ÖZELLİKLERİ ....... 3
2.1. Bitopolojik Uzaylarda (1,2)*- Yarı – Kapalı ve (1,2)*- Yarı –
Genelleştirilmiş Kapalı Kümeler ..................................................... 3
2.2 Bitopolojik Uzaylarda Bazı Fonksiyon Özellikleri........................... 19
3. BİTOPOLOJİK UZAYLARDA (1,2)* - A, t, B, h, C KÜMELER .. 27
SONUÇ ................................................................................................... 44
KAYNAKLAR DİZİNİ .......................................................................... 45
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................ 47
XII
1
1. GİRİŞ
Teorik ve uygulamalı matematikte değişik yapılarla verilen
kümelerle ilgilenilmiştir. İnceleme sürecinde, ortaya atılan bir problemi
çözerken bazen bir kümeyi belirli bir yapıda göz önüne almanın yeterli
olmadığı görülmüştür. Çözüme ulaşmak için, bir küme üzerinde ilave bir
yapının tanımlanma ihtiyacı doğmuştur. Bu fikirden yola çıkarak
topolojik uzaylarda kullanılan teoriler bitopolojik uzaylara taşınmıştır.
Bitopolojik uzaylarda çalışmanın en büyük yararı; tek ve aynı küme
üzerinde iki veya daha fazla yapının göz önüne alınması ile,
matematiksel kavramların uzaylar üzerinde ayırt edilmesini sağlamasıdır.
Ayrıca, iki veya daha fazla yapıyı göz önüne alarak, aynı anda birkaç
yapıda incelenmesi gereken matematiksel öğelerin çalışılmasını da
kolaylaştırır.
Bitopolojik uzaylar ilk defa, J. C. Kelly tarafından 1963 yılında
yayınladığı “Bitopolojik Uzaylar” adlı makalesinde incelenmiştir. Kelly
bu makalede, X kümesini boştan farklı herhangi bir küme, τ1 ve τ2
topolojilerini de X üzerinde herhangi iki topoloji olarak alarak
bitopolojik uzayı (X, τ1, τ2) üçlüsü ile tanıtmıştır. Bu makale bitopolojik
uzaylar teorisi üzerine yapılan temel bir çalışma olarak kabul edilir.
Bitopoljik uzaylarda özel kümeler ele alınarak pek çok çalışma
yapılmıştır. Bu özel kümelerden bazıları; (1,2)* - α – açık, (1,2)* - yarı –
açık, (1,2)* - ön açık ve regüler (1,2)* - açık kümelerdir. İlk olarak 2004
yılında O. Ravi ve M. Lellis Thivagar (1,2)* - α – açık, (1,2)* - yarı –
açık ve (1,2)* - ön – açık kümeleri bize tanıttı. 2005 yılında ise (1,2)*
genelleştirilmiş kapalı küme terimini tanıttılar. 2006 yılında ise (1,2)* yarı – açık kümeleri kullanarak, (1,2)* - yarı genelleştirilmiş kapalı küme
özelliklerini incelediler.
2
2008 yılında O. Ravi, M. Lellis Thivagar ve Erdal Ekici yukarıda
adı geçen kümelerin genelleştirilmiş formları olan (1,2)* - A küme,
(1,2)* - t küme, (1,2)* - B küme, (1,2)* - h küme ve (1,2)* - C kümeleri
ele aldılar.
Sonuç olarak tanımlanan bu yeni kümeler yardımıyla bazı
bitopolojik süreklilikler tanımlanmış ve (1,2)* - süreklilik, (1,2)* - g –
süreklilik, (1,2)* - sg – süreklilik, (1,2)* - A süreklilik, (1,2)* - B
süreklilik ve (1,2)* - C süreklilik kavramları elde edilmiştir.
Bu tezin amacı da tanımlanan bu yeni sınıfların çeşitli
karakterizasyonlarını sunarak, bitopolojik uzaylarda tanımlanan diğer
kavramlarla ilişkilerini araştırmaktır.
3
2. BİTOPOLOJİK
ÖZELLİKLERİ
UZAYLARDA
BAZI
KÜME
2.1 Bitopolojik Uzaylarda (1,2)*- Yarı – Kapalı ve (1,2)*Yarı – Genelleştirilmiş Kapalı Kümeler
Tanım 2.1.1: X boştan farklı bir küme, τ1 ve τ2 X üzerinde farklı
iki topoloji olsunlar. (X, τ1, τ2) sıralı üçlüsüne bir bitopolojik (ikili
topolojik) uzay denir.
(J. C. Kelly, 1963)
Tanım 2.1.2: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve S⊂ X olsun.
A∈ τ1 ve B∈ τ2 olmak üzere S = A ∪ B şeklinde yazılabiliyorsa S alt
kümesine τ1τ2 açık kümedir denir.
τ1τ2 açık kümenin tümleyenine de τ1τ2 kapalı kümedir denir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Tanım 2.1.3: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olsun.
a) A kümesini içeren tüm τ1τ2 kapalı kümelerin kesişimine A’nın
τ1τ2 kapanışı denir ve
τ1τ2 cl(A) = ∩{F : A ⊂ F, F τ1τ2 kapalı}
şeklinde gösterilir.
b) A kümesinin içerdiği tüm τ1τ2 açıkların birleşimine A’nın τ1τ2 içi
denir ve
4
τ1τ2 int(A) = ∪ {F : F ⊂ A, F τ1τ2 açık}
şeklinde gösterilir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Aşağıda τ1τ2 açık ve kapalı kümelere ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.1.1: X ={a, b, c}, τ1 = {Ø, X, {a}} ve τ2 = {Ø, X, {b}}
olsun. Bu durumda, τ1τ2 açık kümeler {Ø, X, {a}, {b},{a,b}} ve τ1τ2
kapalı kümeler {Ø, X, {b.c}, {a,c},{c} } olarak elde edilir.
Önerme 2.1.1: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay, A ⊂ X olsun. Bu
durumda aşağıdaki koşullar sağlanır:
a) τ1int(A) ⊂ τ1τ2 int(A) ve τ2 int(A) ⊂ τ1τ2 int(A).
b) τ1τ2 cl(A) ⊂ τ1cl(A) ve τ1τ2 cl(A) ⊂ τ2 cl(A).
c) τ1τ2 cl(A ∩B) ⊂ τ1τ2 cl(A) ∩ τ1τ2 cl(B).
5
d) τ1τ2 int(A) ∪ τ1τ2 int(B) ⊂ τ1τ2 int(A ∪ B).
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
İspat: a) x ∈ τ1int(A) olsun. Bu durumda, x ∈ ∪ {F : F ⊂ A,
F∈ τ1} olur. F ∈ τ1 , Ø ∈ τ2 olarak seçildiğinde F = F ∪ Ø şeklinde
yazılabildiğinden, F kümesi τ1τ2 açık olur. O halde x ∈ ∪ {F : F ⊂ A, F
τ1τ2 açık} bulunur. O halde x ∈ τ1τ2 int(A) dır.
Diğer önermeler de benzer şekilde ispatlanır.
Aşağıda Önerme 2.1.1 (a) şıkkının tersinin geçerli olmadığına ait
bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.1.2: X ={a, b, c}, τ1 = {Ø, X,{a}} ve τ2 = {Ø, X,{b}}
olsun. Bu durumda τ1τ2 açıklar {Ø, X,{a},{b}, {a,b}} ve τ1τ2 kapalılar
{Ø, X, {b,c}, {a,c}, {c}} olarak bulunur. τ1τ2 int({a,b}) = {a,b} ve
τ1int({a,b}) = {a} olduğundan, τ1τ2 int({a,b}) ⊄ τ1int({a,b})
Uyarı 2.1.1: τ1τ2 açık kümeler bir topoloji belirtmek zorunda
değildir. (O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Aşağıda buna ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.1.3: X ={a, b, c}, τ1 = {Ø, X, {a,b}} ve τ2 = {Ø, X,
{b,c}} olmak üzere, A = {a,b} ve B = {b,c} kümeleri τ1τ2 açıktır. Fakat,
A ∩ B = {b} τ1τ2 açık değildir.
6
Tanım 2.1.4: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olmak
üzere,
a)
A (1,2)*- α – açık kümedir : ⇔ A ⊆ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2
int(A))
b)
A (1,2)*- yarı – açık kümedir : ⇔ A ⊆ τ1τ2 cl(τ1τ2 int(A))
c)
A (1,2)*- ön – açık kümedir : ⇔ A ⊆ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A))
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
d) A regüler (1,2)*- açık kümedir : ⇔ A = τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A))
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Tanım 2.1.5: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olmak üzere,
a) A (1,2)*- α – kapalı kümedir : ⇔ τ1τ2 cl(τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A))) ⊆ A,
b)
A (1,2)*- yarı – kapalı kümedir : ⇔ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A)) ⊆ A,
7
c)
A (1,2)*- ön – kapalı kümedir : ⇔ τ1τ2 cl(τ1τ2 int (A)) ⊆ A,
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
d) A regüler (1,2)*- kapalı kümedir : ⇔ A = τ1τ2 cl(τ1τ2 int(A)).
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Tanım 2.1.6 : a) (X, τ1, τ2) bitopolojik uzayındaki bütün (1,2)*α – açık, (1,2)*- yarı – açık ve (1,2)*- ön – açık kümelerin ailesi sırasıyla
(1,2)*-αO(X), (1,2)*-SO(X) ve (1,2)*-PO(X) ile gösterilir. (O. Ravi, M.
Lellis Thivagar, 2006)
X uzayındaki tüm regüler (1,2)*- kapalı kümelerin ailesi de
(1,2)*-RC(X) ile gösterilir. (O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
b) A kümesini içeren tüm (1,2)*- yarı – kapalı kümelerinin
kesişimine A’nın (1,2)*yarı– kapanışı denir ve
(1,2)*-scl(A) = ∩{F : A ⊂ F, F (1,2)*- yarı – kapalı }
şeklinde gösterilir.
c) A kümesinin içerdiği tüm (1,2)*- yarı – açık kümelerin
birleşimine A’nın (1,2)*- yarı – içi denir ve
(1,2)*-sint(A) = ∪ {F : F ⊂ A, F (1,2)*- yarı – açık}
şeklinde gösterilir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
8
Tanım 2.1.7: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olsun.
(1,2)*-scl(A) = A ise A kümesine A kümesine (1,2)*- yarı – kapalı küme
denir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Teorem 2.1.2: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olsun. Bu
durumda aşağıdaki eşitlikler sağlanır:
a) (1,2)*-scl(A) = A ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A))
b) (1,2)*-sint(A) = A ∩ τ1τ2 cl(τ1τ2 int (A))
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
İspat: a) ( ⇒ ): A ⊂ A ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A)) olduğunu biliniyor.
Her iki tarafın (1,2)*- yarı – kapanışı alınırsa, (1,2)*-scl(A) ⊂ (1,2)*scl(A ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A))) olur.
Eğer A ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A)) kümesinin (1,2)*- yarı – kapalı
olduğunu gösterilirse ispat tamamlanır.
τ1τ2 cl (A ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A))) ⊂ τ1τ2 cl (A) ∪ τ1τ2 cl (τ1τ2
int(τ1τ2 cl (A))) ⊂ τ1τ2 cl (A) ∪ τ1τ2 cl (τ1τ2 cl (A)) = τ1τ2 cl (A)
9
Her iki tarafın τ1τ2 içi alınırsa, τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl
(A)))) ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A)) ⊂ A ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A)) bulunur.
Tanım 2.1.5 (b)’ den A ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A)) kümesi (1,2)*- yarı –
kapalı olur. Tanım 2.1.7’ den (1,2)*-scl(A ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A))) = A
∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A)) bulunur. O halde,
(1,2)*-scl(A) ⊂ (1,2)*-scl(A ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A))) = A ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A))
elde edilir.
( ⇐ ): A ⊂ (1,2)*-scl(A) olduğundan τ1τ2 cl (A) ⊂ τ1τ2 cl((1,2)*scl(A)) olur. Her iki tarafın τ1τ2 içi alınırsa;
τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A)) ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl ((1,2)*-scl(A)) = τ1τ2 int((1,2)*scl(A) ⊂ (1,2)*-scl(A) olur. O halde,
A ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A)) ⊂ A ∪ (1,2)*-scl(A) = (1,2)*-scl(A)
elde edilir.
Tanım 2.1.8: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olsun. A
kümesini kapsayan her F τ1τ2 açık küme için τ1τ2 cl (A) ⊂ F
sağlanıyorsa, A’ya (1,2)* genelleştirilmiş kapalı ((1,2)*g-kapalı) küme
ve tümleyenine de (1,2)*g-açık küme denir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Uyarı 2.1.2: (1,2)*g-kapalı iki kümenin arakesiti (1,2)*g-kapalı
olmak zorunda değildir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
10
Aşağıda buna ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.1.4: X = {a, b, c}, τ1 = {Ø, X,{b}} ve τ2 = {Ø, X} olsun.
Bu durumda τ1τ2 açık kümeler {Ø, X,{b}} ve τ1τ2 kapalı kümeler de
{Ø, X,{a,c}} olur. A = {a, b} kümesi alınırsa, τ1τ2 cl({a, b}) = X ve {a,
b} kümesini kapsayan tek τ1τ2 açık küme X için τ1τ2 cl({a, b}) = X ⊂ X
olduğundan A kümesi (1,2)*g-kapalıdır.
B = {b,c} kümesi alınırsa, τ1τ2 cl({b,c}) = X ve {b,c} kümesini
kapsayan tek τ1τ2 açık küme X için τ1τ2 cl({b,c}) = X ⊂ X olduğundan
B kümesi (1,2)*g-kapalıdır.
{a, b} ∩ {b,c} = {b} için τ1τ2 cl({b}) = X , {b}⊂ {b} τ1τ2 açık
kümesi için X ⊄ {b} olduğundan {b}kümesi (1,2)*g-kapalı küme
değildir.
Tanım 2.1.9: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olsun. A
kümesini kapsayan her F, (1,2)*- yarı – açık kümesi için (1,2)*scl(A)
⊂ F sağlanıyorsa A kümesine (1,2)* yarı- genelleştirilmiş kapalı
((1,2)*sg-kapalı) küme ve tümleyenine de (1,2)* yarı- genelleştirilmiş
açık küme denir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Sonuç 2.1.1: (1,2)*sg-kapalı iki kümenin arakesiti de (1,2)*sgkapalı olur.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
11
Uyarı 2.1.3: (1,2)*sg-kapalı iki kümenin birleşimi (1,2)*sg-kapalı
olmak zorunda değildir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Aşağıda Uyarı 2.1.3’ e ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.1.5: X ={a, b, c}, τ1 = {Ø, X, {a},{b},{a,b}} ve τ2 = {Ø,
X} olsun. {a} ⊂ G olacak şekilde herhangi bir G, (1,2)*- yarı – açık
küme alınsın.
(1,2)*-scl({a}) = {a} olur. Çünkü, τ1τ2 int(τ1τ2 cl ({a})) = {a}
olduğundan {a} kümesi (1,2)* yarı-kapalıdır. Hipoteze göre {a} ⊂ G
olduğundan, (1,2)*-scl({a}) ⊂ G bulunur. O halde, {a} kümesi
(1,2)*sg-kapalıdır.
Benzer şekilde {b} kümesi de (1,2)*sg-kapalı bulunur. Fakat
{a} ∪ {b} = {a,b} için, (1,2)*-scl({a,b}) = X ⊄ {a,b} ∈ (1,2)*-SO(X)
olduğundan {a,b} kümesi (1,2)*sg-kapalı değildir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
12
Uyarı 2.1.4: Verilen tanımlar yardımıyla aşağıdaki diyagram elde
edilir:
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Önerme 2.1.2: Her τ1τ2 kapalı küme (1,2)* yarı-kapalı kümedir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
İspat: A⊂ X alt kümesi τ1τ2 kapalı olsun. O halde τ1τ2 cl (A) = A
olur. τ1τ2 int(A) ⊂ A olduğundan, τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A)) ⊂ A bulunur,
yani A kümesi (1,2)* yarı-kapalıdır.
13
Uyarı 2.1.5: (1,2)* yarı-kapalı bir küme τ1τ2 kapalı olmak zorunda
değildir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Aşağıda Uyarı 2.1.5’ e ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.1.6: X ={a, b, c}, τ1 = {Ø, X, {a}} ve τ2 = {Ø, X} olmak
üzere τ1τ2 int(τ1τ2 cl ({b})) = Ø ⊂ {b} olduğundan {b}, (1,2)* yarı-kapalı
kümedir, fakat τ1τ2 kapalı değildir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Önerme 2.1.3: Her τ1τ2 kapalı küme (1,2)*g-kapalıdır.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
İspat: A⊂ X alt kümesi τ1τ2 kapalı olsun. O halde τ1τ2 cl (A) = A
olur. A kümesini kapsayan F τ1τ2 açık kümesi alınsın. τ1τ2 cl (A) = A ve
hipotezden A⊂ F olduğundan, A kümesi (1,2)*g-kapalıdır.
Uyarı 2.1.6: (1,2)*g-kapalı bir küme τ1τ2 kapalı olmak zorunda
değildir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Aşağıda Uyarı 2.1.6’ ya ait bir örnek verilmiştir:
14
Örnek 2.1.7: X ={a, b, c}, τ1 = {Ø, X, {a}} ve τ2 = {Ø, X} olmak
üzere, A = {a,b} olarak alınsın. τ1τ2 cl ({a,b}) = X ve A ⊂ F olacak
şekildeki tek τ1τ2 açık küme F = X olduğundan τ1τ2 cl ({a,b}) = X ⊂ X
bulunur. O halde A kümesi (1,2)*g-kapalıdır. Fakat τ1τ2 kapalı değildir.
Önerme 2.1.4: Her (1,2)* yarı-kapalı küme (1,2)*sg-kapalıdır.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
İspat: A ⊂ X kümesi (1,2)* yarı-kapalı olsun. A kümesini
kapsayan herhangi bir (1,2)* yarı-açık F alt kümesini alınsın. A kümesi
(1,2)* yarı-kapalı olduğundan, (1,2)*-scl(A) = A dır. Hipoteze göre A ⊂
F olduğundan, (1,2)*-scl(A) ⊂ F elde edilir. O halde, A kümesi
(1,2)*sg-kapalıdır.
Uyarı 2.1.7: (1,2)*sg-kapalı bir küme (1,2)* yarı-kapalı olmak
zorunda değildir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Aşağıda Uyarı 2.1.7’ ye ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.1.8: X ={a, b, c}, τ1 = {Ø, X, {a, b}} ve τ2 = {Ø, X,
{b,c}} olmak üzere A = {a,c} kümesi (1,2)*sg-kapalıdır. Bunu
göstermek için, A ⊂ G olacak şekilde herhangi bir (1,2)* yarı-açık G alt
kümesi alınsın.
{a,c} kümesini kapsayan tek (1,2)* yarı-kapalı küme X olduğundan,
(1,2)*-scl({a,c}) = X bulunur.
15
{a,c} kümesi (1,2)* yarı-açık olmadığından, {a,c} ⊂ G olacak şekildeki
tek (1,2)* yarı-açık küme G = X dir.
(1,2)*-scl({a,c}) = X ⊂ X olduğundan {a,c} kümesi (1,2)*sg-kapalıdır.
Fakat {a,c} kümesi (1,2)* yarı-kapalı değildir.
Uyarı 2.1.8: (1,2)*g-kapalı küme ve (1,2)*sg-kapalı küme olma
kavramları birbirinden bağımsızdır.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Aşağıda buna ait örnekler verilmiştir:
Örnek 2.1.9: X ={a, b, c}, τ1 = {Ø, X, {a}} ve τ2 = {Ø, X} olmak
üzere A = {a, b} kümesi alınsın. τ1τ2 cl({a, b}) = X olur.
{a, b} ⊂ F olacak şekildeki tek τ1τ2 açık F kümesi F = X dir.
τ1τ2 cl({a, b}) = X ⊂ X olduğundan, {a, b} kümesi (1,2)*g-kapalıdır.
Fakat {a, b} kümesi (1,2)*sg-kapalı değildir.
(1,2)*-scl({a, b}) = ∩ {F : {a,b} ⊂ F, F (1,2)* yarı-kapalı} tanımı
ve {a,b} kümesini kapsayan tek (1,2)* yarı-kapalı kümenin X olması göz
önüne alınırsa (1,2)*-scl({a, b}) = X olarak bulunur.
G = {a, b} olarak alınsın. τ1τ2 cl(τ1τ2 int ({a,b})) = X ve {a, b} ⊂
X olduğundan, G = {a, b} kümesi (1,2)* yarı-açıktır.
O halde, {a, b} kümesini kapsayan en az bir G = {a, b}, (1,2)*
yarı-açık kümesi için (1,2)*-scl({a,b}) = X ⊄ {a, b} olduğundan {a, b}
kümesi (1,2)*sg-kapalı değildir. Bu da (1,2)*g-kapalı bir kümenin
(1,2)*sg-kapalı olmak zorunda olmadığını gösterir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
16
Örnek 2.1.10: X ={a, b, c}, τ1 = {Ø, X, {a},{b},{a,b}} ve τ2 = {Ø,
X} olmak üzere, A = {a} kümesi (1,2)*sg-kapalıdır. Bunu göstermek için
{a} ⊂ G olacak şekilde herhangi bir (1,2)* yarı-açık G alt kümesi
alınsın. (1,2)*-scl({a}) = {a} olur. Hipotezden {a} ⊂ G olduğundan
(1,2)*-scl({a}) ⊂ G olur. O halde A = {a} kümesi (1,2)*sg-kapalıdır.
Fakat A = {a} kümesi (1,2)*g-kapalı değildir. Çünkü, {a} kümesini
kapsayan en az bir F = {a, c}, τ1τ2 açık kümesi için τ1τ2 cl({a}) = X ⊄ {a,c}
olur.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Lemma 2.1.1: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olsun. Bu
durumda,
(1,2)*- sint [(1,2)*-scl(A) – A] = Ø olur.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
İspat: (1,2)*-sint [(1,2)*-scl(A) – A] = (1,2)*-sint[(1,2)*-scl(A) ∩
A ] ⊂ (1,2)*-scl(A) ∩ Ac ⊂ Ac elde edilir. Buradan (1,2)*-sint [(1,2)*c
scl(A) – A] ∩ A ⊂ Ac ∩ A = Ø olur. O halde (1,2)*-sint[(1,2)*-scl(A) –
A] = Ø olur.
Teorem 2.1.2: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A, B ⊂ X olsun.
A kümesi (1,2)*sg-kapalı ve A ⊂ B ⊂ (1,2)*-scl(A) ise B kümesi de
(1,2)*sg-kapalı olur.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
17
İspat: B ⊂ F olacak şekilde herhangi bir (1,2)* yarı-açık F alt
kümesi alınsın. A, (1,2)*sg-kapalı ve A ⊂ B ⊂ F olduğundan (1,2)*scl(A) ⊂ F olur. Hipoteze göre, B ⊂ (1,2)*-scl(A) olduğundan, (1,2)*scl(B) ⊂ (1,2)*-scl(A) elde edilir. (1,2)*-scl(A) ⊂ F ise, (1,2)*-scl(B)
⊂ F bulunur. B ⊂ F olacak şekilde herhangi bir (1,2)* yarı-açık F alt
kümesi için (1,2)*-scl(B) ⊂ F olduğundan, B kümesi (1,2)*sg-kapalıdır.
Özellik: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olmak üzere
X - (1,2)*-sint(A) = (1,2)*-scl(X - A) dir.
İspat: Teorem 2.1’ den X - (1,2)*-sint(A) = X ∩ [A ∩ τ1τ2 cl(τ1τ2
int (A))]c olarak yazılabilir.
X ∩ [A ∩ τ1τ2 cl(τ1τ2 int (A))]c = X ∩ [A c ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A c)]
= (X ∩ A c) ∪ (X ∩τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A c))
= (X ∩ A c) ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (A c))
= (X – A) ∪ τ1τ2 int(τ1τ2 cl (X - A))
= (1,2)*-scl(X - A)
Teorem 2.1.3: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A, B ⊂ X olsun.
A kümesi (1,2)*sg-açık ve (1,2)*-sint(A) ⊂ B ⊂ A ise B kümesi de
(1,2)*sg-açıktır.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
18
İspat: (1,2)*-sint(A) ⊂ B ⊂ A ise, X – A ⊂ X - B ⊂ X - (1,2)*sint(A) = (1,2)*-scl(X - A) bulunur. A kümesi (1,2)*sg-açık olduğundan
X – A (1,2)*sg-kapalıdır. Teorem 2.1.2’ den X – B kümesi (1,2)*sgkapalı olur. O halde, B kümesi (1,2)*sg-açıktır.
Teorem 2.1.4: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olmak
üzere A kümesinin (1,2)*sg-açık olması için gerek ve yeter koşul, F ⊂ A
olacak şekilde herhangi bir (1,2)* yarı-kapalı F alt kümesi için F ⊂
(1,2)*-sint(A) olmasıdır.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
İspat.: (⇒): A⊂ X ve A kümesinin (1,2)*sg-açık olsun. F ⊂ A
olacak şekilde herhangi bir (1,2)* yarı-açık F alt kümesi alınsın. Bu
durumda, X – A kümesi (1,2)*sg-kapalı olur. Böylece F ⊂ A için X –A
⊂ X – F elde edilir. F kümesi (1,2)* yarı-kapalı olduğundan, X – F
kümesi (1,2)* yarı-açıktır. (1,2)*sg-kapalı küme olma tanımına göre,
(1,2)*-scl(X - A) ⊂ X – F olarak bulunur.
(1,2)*-scl(X - A) = X - (1,2)*-sint(A) ⊂ X – F ise, X ∩ [(1,2)*sint(A)] c ⊂ X ∩ Fc olur. Buradan da, F ⊂ (1,2)*-sint(A) elde edilir.
(⇐): F ⊂ A olacak şekilde herhangi bir (1,2)* yarı-kapalı F alt
kümesi için F ⊂ (1,2)*-sint(A) olsun. F ⊂ A için X – A ⊂ X – F dir.
19
F ⊂ (1,2)*-sint(A) için X - (1,2)*-sint(A) ⊂ X – F olur. Buradan
da (1,2)*-scl(X - A) ⊂ X – F elde edilir. Bu durumda, X – A kümesi
(1,2)*sg-kapalı, A kümesi de (1,2)*sg-açıktır.
2.2 Bitopolojik Uzaylarda Bazı Fonksiyon Özellikleri
Tanım 2.2.1: (X, τ1, τ2) ve (Y, σ1, σ2 ) birer bitopolojik uzay ve
f : X → Y bir fonksiyon olsun.
a) f , (1,2)* - süreklidir : ⇔ Y’ nin her σ1 σ2 açık V kümesi için f -1
(V), X’ in τ1τ2 açık kümesidir. (O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici,
2008)
b) f , (1,2)* sg- süreklidir : ⇔ Y’ nin her σ1 σ2 kapalı V kümesi
için f -1 (V), X’ in (1,2)* sg- kapalı kümesidir. (O. Ravi, M. Lellis
Thivagar, 2006)
c) f , (1,2)* g- süreklidir : ⇔ Y’ nin her σ1 σ2 kapalı V kümesi
için f -1 (V), X’ in (1,2)* g- kapalı kümesidir. (O. Ravi, M. Lellis
Thivagar, 2006)
Tanım 2.2.2: (X, τ1, τ2) ve (Y, σ1, σ2 ) birer bitopolojik uzay ve f :
X → Y bir fonksiyon olsun. Y’ nin her σ1 σ2 açık V kümesi için f -1 (V),
X’ in (1,2)* yarı – açık kümesi oluyorsa, f fonksiyonuna (1,2)* yarı –
sürekli fonksiyon denir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
20
Uyarı 2.2.1: f : X → Y fonksiyonunun (1,2)* yarı – sürekli
fonksiyon olması için gerek ve yeter koşul, Y’ nin her σ1 σ2 kapalı
kümesinin f altındaki ters görüntüsünün X içinde (1,2)* yarı – kapalı
olmasıdır.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Uyarı 2.2.2: (X, τ1, τ2), (Y, σ1, σ2 ) ve (Z, U1, U2 ) birer bitopolojik
uzay ve f : X → Y , g: Y → Z fonksiyonları (1,2)* sg- sürekli olsun.
Bu durumda g ° f : X → Z bileşke fonksiyonu (1,2)* sg- sürekli olmak
zorunda değildir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Aşağıda Uyarı 2.2.2’ ye ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.2.1: X = Y = Z = {a, b, c}, τ1 = { Ø, X, {a}, {c}, {a,c}}
ve τ2 = { Ø, X, {a}} olsun. Bu durumda, { Ø, X, {a}, {c}, {a,c}}
kümeleri τ1τ2 açık kümeler ve { Ø, X, {b,c}, {a,b}, {b}} kümeleri τ1τ2
kapalı kümelerdir.
σ1 = { Ø, Y, {a,b}} ve σ2 = { Ø, Y} olmak üzere, σ1σ2 açık kümeler { Ø,
Y, {a,b}} ve σ1σ2 kapalı kümeler de { Ø, Y, {c}} olur.
U1 = { Ø, Z, {a}} ve U2 = { Ø, Z, {b}} olmak üzere, U1U2 açık kümeler
{ Ø, Z, {a}, {b}, {a,b}} ve U1U2 kapalı kümeler { Ø, Z, {b,c}, {a,c},
{c}} olur.
f : X → Y , g: Y → Z fonksiyonları birim fonksiyonlar olsun. σ1σ2
kapalı {c} kümesi için, f -1 ({c}) = {c} olur. τ1τ2 int(τ1τ2 cl ({c})) = {c}
olduğundan {c} kümesi (1,2)* yarı-kapalıdır. Bu durumda (1,2)*-scl({c})
21
= {c} olur. Hipoteze göre {c} ⊂ F olduğundan, (1,2)*-scl({c}) ⊂ F
bulunur. O halde, {c} kümesi (1,2)*sg-kapalıdır.
f -1 (Ø) = Ø ∈ (1,2)* SGCL(X) ve f -1 (Y) = X ∈ (1,2)*
SGCL(X) olduğundan, f fonksiyonu (1,2)*sg – süreklidir. Benzer
şekilde g fonksiyonun da (1,2)*sg – sürekli olduğu açıktır.
Fakat g ° f : X → Z bileşke fonksiyonu (1,2)*sg – sürekli değildir.
Çünkü, G = {a,c} U1U2 kapalı kümesi alındığında (g ° f) -1 ({a,c}) = {a,c}
için (1,2)*scl({a,c}) = X olur. (1,2)*-scl({a,c}) = X ⊄ {a,c} ∈ (1,2)*SO(X) olduğundan, {a,c} kümesi (1,2)*sg-kapalı değildir. Bu da g ° f
fonksiyonun (1,2)*sg – sürekli olmadığını gösterir. (O. Ravi, M. Lellis
Thivagar, 2006)
Uyarı 2.2.3: (X, τ1, τ2), (Y, σ1, σ2 ) ve (Z, U1, U2 ) birer
bitopolojik uzay ve f : X → Y , g: Y → Z fonksiyonları (1,2)* gsürekli olsun. Bu durumda g ° f : X → Z bileşke fonksiyonu (1,2)* gsürekli olmak zorunda değildir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Aşağıda Uyarı 2.2.3’ e ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.2.2: X = Y = Z = {a, b, c}, τ1 = { Ø, X, {a,b}} ve τ2
= { Ø, X} olsun. Bu durumda, {Ø, X, {a,b}} kümeleri τ1τ2 açık kümeler
ve { Ø, X, {c}} kümeleri τ1τ2 kapalı kümelerdir.
σ1 = { Ø, Y, {a}} ve σ2 = { Ø, Y} olmak üzere, σ1σ2 açık kümeler
{ Ø, Y, {a}} ve σ1σ2 kapalı kümeler de { Ø, Y, {b,c}} olur.
22
U1 = { Ø, Z, {a,c}} ve U2 = { Ø, Z} olmak üzere, U1U2 açık
kümeler { Ø, Z, {a,c}} ve U1U2 kapalı kümeler { Ø, Z, {b}} olur.
f : X → Y , g: Y → Z fonksiyonları birim fonksiyonlar olsun. Bu
durumda, f ve g fonksiyonlarının (1,2)* g – sürekli fonksiyonlar olduğu
açıktır. U1U2 kapalı {b} kümesini alınsın. (g ° f) -1 ({b}) = {b} için, τ1τ2
cl({b}) = X olur. {b} ⊂ {a,b} olacak şekilde en az bir {a,b} τ1τ2 açık
kümesi için τ1τ2 cl({b}) = X ⊄ {a,b} olduğundan, {b} kümesi (1,2)*
g – kapalı değildir. O halde g ° f fonksiyonu (1,2)* g – sürekli değildir.
Uyarı 2.2.4: (1,2)* yarı – sürekli iki fonksiyonun bileşkesi (1,2)*
yarı – sürekli olmak zorunda değildir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Aşağıda Uyarı 2.2.4’ e ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.2.3: X = Y = Z = {a, b, c}, τ1 = { Ø, X, {b}, {b,c}} ve
τ2 = { Ø, X, {a}} olsun. Bu durumda, { Ø, X, {a}, {b}, {a,b}, {b,c}}
kümeleri τ1τ2 açık kümeler ve { Ø, X, {b,c}, {a,c}, {c},{a}} kümeleri
τ1τ2 kapalı kümelerdir.
σ1 = { Ø, Y, {a}, {a,b}} ve σ2 = { Ø, Y, {a}} olmak üzere, σ1σ2
açık kümeler { Ø, Y, {a}, {a,b}} ve σ1σ2 kapalı kümeler de { Ø, Y,
{b,c},{c}} olur.
U1 = { Ø, Z, {a,b}} ve U2 = { Ø, Z, {b,c}} olmak üzere, U1U2 açık
kümeler { Ø, Z, {a,b}, {b,c}} ve U1U2 kapalı kümeler { Ø, Z, {c}, {a}}
olur.
f : X → Y birim fonksiyon ve g: Y → Z, g(a) = b, g(b) = a, g(c) = c
olarak tanımlansın. f ve g fonksiyonlarının (1,2)* yarı – sürekli olduğu
23
açıktır. Fakat g ° f : X → Z bileşke fonksiyonu (1,2)* yarı – sürekli
değildir. Çünkü, U1U2 açık {b,c} kümesi alınırsa, (g ° f) -1 ({b,c}) = {a,c}
olur. τ1τ2 cl(τ1τ2 int({a,c})) = {a} ve {a,c} ⊄ {a} olduğundan {a,c}, X
içinde (1,2)* yarı – açık değildir. O halde g ° f fonksiyonu (1,2)* yarı –
sürekli değildir. (O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Uyarı 2.2.5: Yukarıda yapılan Tanım 2.2.1 ve Tanım 2.2.2
yardımıyla aşağıdaki diyagram elde edilir:
(1,2)* g-sürekli
←
←
←
/
/
(1,2)* sürekli
(1,2)* yarı-sürekli
(1,2)* sg-sürekli
→
→
→
/
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Önerme 2.2.1: Her (1,2)* yarı – sürekli fonksiyon, (1,2)* sg –
süreklidir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
İspat: (X, τ1, τ2) ve (Y, σ1, σ2 ) birer bitopolojik uzay ve f : X →
Y (1,2)* yarı – sürekli bir fonksiyon olsun. V ⊂ Y σ1 σ2 kapalı kümesi
alınsın. f, (1,2)* yarı – sürekli fonksiyon olduğundan Uyarı 2.2.1’ den
dolayı f -1 (V), X içinde (1,2)* yarı – kapalı olur. Önerme 2.1.4’ den
dolayı f -1 (V), (1,2)* sg – kapalı kümedir. O halde f fonksiyonu (1,2)*
sg – süreklidir.
24
Uyarı 2.2.6: (1,2)* sg – sürekli bir fonksiyon (1,2)* yarı – sürekli
olmak zorunda değildir. (O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Aşağıda Uyarı 2.2.6’ ya ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.2.4: X ={a, b, c}, τ1 = {Ø, X, {a,b}} ve τ2 = {Ø, X}
olmak üzere {Ø, X, {a,b}} kümeleri τ1τ2 açık kümeler, {Ø, X, {c}} de
τ1τ2 kapalı kümelerdir. Y ={a, b, c}, σ1 = { Ø, Y, {a}} ve σ2 = { Ø, Y,
{a,b}} olmak üzere { Ø, Y, {a}, {a,b}} σ1σ2 açık kümeler ve { Ø, Y,
{b,c}, {c}} σ1σ2 kapalı kümelerdir. f : X → Y birim fonksiyon olsun. f
fonksiyonunun (1,2)* sg – sürekli olduğu açıktır. Fakat f fonksiyonu
(1,2)* yarı – sürekli değildir. Gerçekten de, {a} σ1σ2 açık kümesi için
f -1 ({a}) = {a}olur. τ1τ2 cl(τ1τ2 int({a})) = Ø ve {a} ⊄ Ø olduğundan
f, (1,2)* yarı – sürekli değildir. (O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
Önerme 2.2.2: Her (1,2)* sürekli fonksiyon, (1,2)* yarı süreklidir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
İspat: (X, τ1, τ2) ve (Y, σ1, σ2 ) birer bitopolojik uzay ve f : X →
Y (1,2)* sürekli bir fonksiyon olsun. V ⊂ Y σ1 σ2 açık kümesi alınsın.
f, (1,2)* sürekli bir fonksiyon olduğundan, f -1 (V), τ1τ2 açık olur. τ1τ2
açık her küme (1,2)* yarı – açık olduğundan f -1 (V), (1,2)* yarı – açık
kümedir. O halde f, (1,2)* yarı – süreklidir.
Uyarı 2.2.7: (1,2)* yarı – sürekli bir fonksiyon (1,2)* sürekli
olmak zorunda değildir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
25
Aşağıda Uyarı 2.2.7’ ye ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.2.5: X = {a, b, c} = Y olmak üzere X ve Y üzerindeki
topolojiler sırasıyla, τ1 = {Ø, X, {a}}, τ2 = {Ø, X} ve σ1 = { Ø, Y,
{a},{a,b}}, σ2 = { Ø, Y, {a}} olsun. Bu durumda, τ1τ2 açık ve τ1τ2 kapalı
kümeler sırasıyla {Ø, X, {a}} sınıfı ve {Ø, X, {b,c}} sınıfıdır. Ayrıca
{ Ø, Y, {a},{a,b}} kümeleri σ1 σ2 açık ve { Ø, Y, {b,c},{c}} kümeleri de
σ1 σ2 kapalı olur.
f : X → Y birim fonksiyon olarak alınsın. f fonksiyonunun (1,2)* yarı
– sürekli olduğu açıktır. Fakat f, (1,2)* - sürekli değildir. Çünkü {a,b},
σ1σ2 açık kümesi alındığında f -1 ({a,b}) = {a,b} olur. {a,b} kümesi τ1τ2
açık olmadığından, f fonksiyonu (1,2)* sürekli değildir. (O. Ravi, M.
Lellis Thivagar, 2006)
Önerme 2.2.3: Her (1,2)* sürekli fonksiyon (1,2)* g –
süreklidir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
İspat: (X, τ1, τ2) ve (Y, σ1, σ2 ) birer bitopolojik uzay ve f : X →
Y (1,2)* sürekli bir fonksiyon olsun. V ⊂ Y σ1 σ2 kapalı kümesi alınsın.
f, (1,2)* sürekli bir fonksiyon olduğundan, f -1 (V) ⊂ X τ1τ2 kapalı
olur. Önerme 2.1.3’ den τ1τ2 kapalı her kümenin (1,2)* g - kapalı
olduğu biliniyor. O halde f -1 (V) kümesi (1,2)* g – kapalı kümedir. Yani,
f fonksiyonu (1,2)* g – süreklidir.
Uyarı 2.2.8: (1,2)* g – sürekli bir fonksiyon (1,2)* sürekli olmak
zorunda değildir.
(O. Ravi, M. Lellis Thivagar, 2006)
26
Aşağıda Uyarı 2.2.8’ e ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 2.2.6: X ={a, b, c}, τ1 = {Ø, X, {a}} ve τ2 = {Ø, X} olmak
üzere {Ø, X, {a}} τ1τ2 açık kümeler, {Ø, X, {b,c}} de τ1τ2 kapalı
kümelerdir. Y = {p,q}, σ1 = { Ø, Y, {p}} ve σ2 = { Ø, Y} olmak üzere
{ Ø, Y, {p}} σ1 σ2 açık kümeler ve { Ø, Y, {q}} kümeleri de σ1 σ2 kapalı
kümelerdir. f : X → Y olmak üzere f(a) = f(c) = q ve f(b) = p şeklinde
tanımlansın. f fonksiyonunun (1,2)* g – sürekli olduğu açıktır. Fakat f,
(1,2)* sürekli değildir. Çünkü, {q}, σ1 σ2 kapalı kümesi alındığında f -1
({q}) = {a,c} τ1τ2 kapalı küme değildir. (O. Ravi, M. Lellis Thivagar,
2006)
27
3. BİTOPOLOJİK UZAYLARDA (1,2)* - A, t, B, h, C
KÜMELER
Tanım 3.1: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve S⊂ X olsun.
a) M kümesi τ1τ2 açık ve N kümesi regüler (1,2)* - kapalı olmak üzere,
S kümesi S = M ∩ N şeklinde ifade edilebiliyorsa, S kümesi (1,2)* - A
kümedir.
b) Eğer τ1τ2 int(τ1τ2 cl (S)) = τ1τ2 int(S) oluyorsa S kümesi (1,2)* - t
kümedir.
c) M kümesi τ1τ2 açık ve N kümesi (1,2)* - t küme olmak üzere, S
kümesi S = M ∩ N şeklinde ifade edilebiliyorsa, S kümesi (1,2)* - B
kümedir.
d) Eğer τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int( (S))) = τ1τ2 int(S) oluyorsa, S
kümesi (1,2)* - h kümedir.
e) M kümesi τ1τ2 açık ve N kümesi (1,2)* - h küme olmak üzere, S
kümesi S = M ∩ N şeklinde ifade edilebiliyorsa, S kümesi (1,2)* - C
kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Aşağıdaki örnekler tezin devamında kullanılmak için verilmiştir:
Örnek 3.1: X = {a, b, c}, τ1 = {Ø, X,{a}} ve τ2 = {Ø, X, {b}}
olsun. Bu durumda τ1τ2 açık kümeler {Ø, X,{a}, {b}, {a,b}} ve τ1τ2
28
kapalı kümeler de {Ø, X,{b,c}, {a,c}, {c}} olur. (O.Ravi, M. Lellis
Thivagar, E. Ekici, 2008)
Örnek 3.2: X = {a, b, c}, τ1 = {Ø, X,{a}, {a,b}} ve τ2 = {Ø, X,
{c}} olsun. Bu durumda τ1τ2 açık kümeler {Ø, X,{a}, {c}, {a,b}, {a,c}}
ve τ1τ2 kapalı kümeler de {Ø, X,{b,c}, {a,b}, {c}, {b}} olur. (O.Ravi, M.
Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Örnek 3.3: X = {a, b, c}, τ1 = {Ø, X,{a,b}} ve τ2 = {Ø, X, {b,c}}
olsun. Bu durumda τ1τ2 açık kümeler {Ø, X,{a,b}, {b,c}} ve τ1τ2 kapalı
kümeler de {Ø, X,{c}, {a}} olur. (O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici,
2008)
Teorem 3.1: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A, B ⊂ X , A ve B
kümeleri (1,2)* - t küme olsun. Bu durumda A ∩ B kümesi de (1,2)* - t
küme olur.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: A ⊂ τ1τ2 cl(A) olduğu biliniyor. O halde, A ∩ B ⊂ τ1τ2
cl(A ∩ B) olur. Her iki tarafın τ1τ2 içi alınırsa,
τ1τ2 int(A ∩ B) ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A ∩ B))
elde edilir …. (1)
Önerme 2.1.1 (c)’ den τ1τ2 cl(A ∩ B) ⊂ τ1τ2 cl(A) ∩ τ1τ2 cl(B)
olduğu biliniyor. Buradan, τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A ∩ B) ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A) ∩
τ1τ2 cl(B)) elde edilir. A ve B (1,2)* - t küme olduğundan, τ1τ2 int(τ1τ2
cl(A)) = τ1τ2 int(A) ve τ1τ2 int(τ1τ2 cl(B)) = τ1τ2 int(B) eşitliği vardır.
Buradan da,
29
τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A ∩ B) ⊂ τ1τ2 int(A) ∩ τ1τ2 int(B) = τ1τ2 int(A ∩ B)
elde edilir …. (2)
(1) ve (2) den τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A ∩ B) = τ1τ2 int(A ∩ B) bulunur. Yani,
A ∩ B kümesi (1,2)* - t kümedir.
Uyarı 3.1: İki (1,2)* - t kümenin birleşimi (1,2)* - t küme olmak
zorunda değildir. (O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Aşağıda Uyarı 3.1’ e ait bir örnek verilmiştir:
Örnek 3.4: X = {a, b, c}, τ1 = {Ø, X,{a}} ve τ2 = {Ø, X, {c}}
olsun. Bu durumda τ1τ2 açık kümeler {Ø, X,{a}, {c}, {a,c}} ve τ1τ2
kapalı kümeler de {Ø, X,{b,c}, {a,b}, {b}} olur.
A = {a} kümesi için, τ1τ2 int(τ1τ2 cl({a}) = {a} ve τ1τ2 int({a}) =
{a} olduğundan, A kümesi (1,2)* - t kümedir.
B = {c} kümesi için τ1τ2 int(τ1τ2 cl({c}) = {c} = τ1τ2 int({c})
olduğundan, B kümesi (1,2)* - t kümedir.
Fakat {a} ∪ {c} = {a,c} için, τ1τ2 int(τ1τ2 cl({a, c}) = X , τ1τ2
int({a, c}) = {a,c}, τ1τ2 int(τ1τ2 cl({a, c}) ≠ τ1τ2 int({a, c}) olduğundan,
{a,c} kümesi (1,2)* - t küme değildir.
Uyarı 3.2: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A, B ⊂ X , A ve B
kümeleri (1,2)* - h küme olsun. Bu durumda A ∩ B kümesi de (1,2)* - h
kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
30
Uyarı 3.3: İki (1,2)* - h kümenin birleşimi (1,2)* - h küme olmak
zorunda değildir. Gerçekten de Örnek 3.1’de τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int({a}))
= {a} ve τ1τ2 int({a}) = {a} olduğundan, {a} kümesi (1,2)* - h kümedir.
Benzer şekilde, τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int({b})) = {b} = τ1τ2 int({b})
olduğundan, {b} kümesi (1,2)* - h kümedir.
Fakat {a} ∪ {b} = {a,b} için, τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int({a, b})) = X , τ1τ2
int({a, b}) = {a,b}, τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int({a, b})) ≠ τ1τ2 int({a, b})
olduğundan, {a,b} kümesi (1,2)* - h küme değildir.
Uyarı 3.4: Verilen tanımlar sonucunda aşağıdaki diyagram elde
edilir:
(1,2)* - A küme
↑
0
(1,2)* - C küme
←
↑
(1,2)* - h küme
←
(1,2)* - B küme
(1,2)* - t küme
↑
τ1,2 – açık
↑
←
(1,2)* - yarı – açık
→
(1,2)* - α – açık
↑
←
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
regüler (1,2)* - açık
↓
→
(1,2)* - ön açık
31
Teorem 3.2: Her τ1,2 – açık küme (1,2)* - A kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: S, τ1,2 – açık küme olsun. X, regüler (1,2)* - kapalı olmak
üzere S = S ∩ X olarak yazılabildiğinden, S kümesi (1,2)* - A kümedir.
Uyarı 3.5: Teorem 3.2 nin tersi genellikle doğru değildir.
Gerçekten de Örnek 3.1deki {b,c} kümesi (1,2)* - A kümedir fakat τ1,2 –
açık küme değildir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Teorem 3.3: Her τ1,2 – kapalı küme (1,2)* - t kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: S, τ1,2 – kapalı olsun. τ1τ2 cl (S) = S dir. Buradan da τ1τ2
int(τ1τ2 cl (S)) = τ1τ2 int(S) eşitliği elde edilir. O halde S kümesi (1,2)* - t
kümedir.
Uyarı 3.6: Teorem 3.3 ün tersi genellikle doğru değildir.
Gerçekten de Örnek 3.1 de {a} kümesi (1,2)* - t kümedir fakat τ1,2 –
kapalı değildir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Teorem 3.4: Her regüler (1,2)* - açık küme (1,2)* - t kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: S regüler (1,2)* - açık küme olsun. Bu durumda S = τ1τ2
int(τ1τ2 cl (S)) dir. Buradan, τ1τ2 int(S) = τ1τ2 int(τ1τ2 int(τ1τ2 cl (S))) =
τ1τ2 int(τ1τ2 cl(S)) elde edilir. O halde, S kümesi (1,2)* - t kümedir.
32
Uyarı 3.7: Teorem 3.4 ün tersi genellikle doğru değildir.
Gerçekten de Örnek 3.1’de {c} kümesi (1,2)* - t kümedir fakat regüler
(1,2)* - açık değildir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Teorem 3.5: Her regüler (1,2)* - açık küme τ1,2 – açıktır.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: Herhangi bir S, regüler (1,2)* - açık küme alınsın. Bu
durumda S = τ1τ2 int(τ1τ2 cl (S)) olur. Buradan, τ1τ2 int(S) = τ1τ2 int(τ1τ2
int(τ1τ2 cl (S))) = τ1τ2 int(τ1τ2 cl (S)) = S elde edilir. O halde, S kümesi
τ1,2 – açıktır.
Uyarı 3.8: Teorem 3.5 in tersi genellikle doğru değildir. Gerçekten
de Örnek 3.1 de A = {a,b} kümesi τ1,2 – açıktır. Fakat regüler (1,2)* açık küme değildir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Teorem 3.6: Her (1,2)* - t küme, (1,2)* - B kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: S, (1,2)* - t küme olsun. X , τ1,2 – açık küme ve S = X ∩ S
olarak yazılabildiğinden, S kümesi (1,2)* - B kümedir.
Uyarı 3.9: Teorem 3.6 nın tersi genellikle doğru değildir.
Gerçekten de Örnek 3.7 de{a} kümesi (1,2)* - B kümedir, fakat (1,2)* t küme değildir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
33
Teorem 3.7: Her τ1,2 – açık küme (1,2)* - B kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: S, τ1,2 – açık olsun. S = S ∩ X olacak şekilde X, (1,2)* - t
küme ve S kümesi τ1,2 – açık olduğundan, S kümesi (1,2)* - B küme
olarak bulunur.
Uyarı 3.10: Teorem 3.7’nin tersi genellikle doğru değildir.
Gerçekten de Örnek 3.1 de{c} kümesi (1,2)* - B kümedir fakat τ1,2 –
açık değildir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Teorem 3.8: Her τ1,2 – kapalı küme (1,2)* - B kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: Teorem 3.3 den τ1,2 – kapalı her kümenin (1,2)* - t küme
olduğu biliniyor. Teorem 3.6’ dan da her (1,2)* - t kümenin (1,2)* - B
küme olduğu bilindiği için ispat tamamlanır.
Teorem 3.9: Her (1,2)* - A küme (1,2)* - B kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: S, (1,2)* - A küme olsun. Bu durumda S = M ∩ N olacak
şekilde τ1,2 – açık M kümesi ve regüler (1,2)* - kapalı N kümesi vardır.
Teorem 3.5 den regüler (1,2)* - kapalı N kümesi τ1,2 – kapalıdır. Teorem
3.3 gereğince de (1,2)* - t kümedir. M kümesi τ1τ2 açık ve N kümesi
(1,2)* - t küme olmak üzere, S kümesi S = M ∩ N şeklinde ifade
edilebildiğinden, S kümesi (1,2)* - B küme olur.
34
Uyarı 3.11: Teorem 3.9 un tersi genellikle doğru değildir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Gerçekten de Örnek 3.1 de {c}, (1,2)* - B kümedir fakat (1,2)* A küme değildir. Bunu göstermek için, {c} kümesini elde edecek
arakesitler göz önüne alınırsa;
i) {c}= {c} ∩ X olmak üzere X τ1,2 – açıktır fakat {c} ≠ τ1τ2
cl(τ1τ2 int({c})) olduğundan {c} kümesi regüler (1,2)* - kapalı değildir.
ii) {c} = {a,c} ∩ {b,c} olmak üzere ne {a,c} ne de {b,c} kümeleri
τ1,2 – açık değildir.
iii) {c} = {c} ∩ {a,c} olmak üzere {c} kümesi ne regüler (1,2)* kapalı, ne de τ1,2 – açıktır.
iv) {c} = {c} ∩ {b,c} olmak üzere {c} kümesi ne regüler (1,2)* kapalı, ne de τ1,2 – açıktır.
{c} kümesi herhangi iki τ1,2 – açık ve regüler (1,2)* - kapalı kümenin
arakesiti şeklinde yazılamadığından (1,2)* - A küme değildir.
Teorem 3.10: Her (1,2)* - t küme (1,2)* - h kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: S, (1,2)* - t küme olsun. τ1τ2 int(S) ⊂ S olduğu biliniyor.
Her iki tarafın τ1τ2 kapanışı alınırsa, τ1τ2 cl(τ1τ2 int(S)) ⊂ τ1τ2 cl(S)
bulunur. Buradan da, τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int(S))) ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(S)) =
τ1τ2 int(S) elde edilir. Diğer taraftan, τ1τ2 int(S) ⊂ τ1τ2 cl(τ1τ2 int(S))
olduğu biliniyor. Her iki tarafın τ1τ2 içi alınırsa, τ1τ2 int(S) ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2
35
cl(τ1τ2 int(S))) elde edilir. O halde, τ1τ2 int(S) = τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2
int(S))) bulunur. O halde, S kümesi (1,2)* - h kümedir.
Uyarı 3.12: Teorem 3.10 un tersi genellikle doğru değildir.
Gerçekten de Örnek 3.3 de A = {b} kümesi (1,2)* - h kümedir, fakat
(1,2)* - t küme değildir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Teorem 3.11: Her (1,2)* - h küme (1,2)* - C kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: S, (1,2)* - h küme olsun. X τ1,2 – açık ve S (1,2)* - h küme
olmak üzere, S = S ∩ X şeklinde yazılabildiğinden S kümesi (1,2)* - C
kümedir.
Uyarı 3.13: Teorem 3.11 in tersi genellikle doğru değildir.
Gerçekten de Örnek 3.2’de A = {a} olarak alınsın. {a} kümesi τ1,2 – açık
ve X (1,2)* - t küme olacak şekilde {a} = {a}∩ X şeklinde yazılabilir.
Buradan {a} kümesinin (1,2)* - C küme olduğu görülür. Fakat {a}
kümesi (1,2)* - h küme değildir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Teorem 3.12: Her τ1,2 – açık küme (1,2)* - C kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: S, τ1,2 – açık küme olsun. S kümesi τ1τ2 açık ve X, (1,2)* - h
küme olmak üzere, S kümesi S = X ∩ S şeklinde ifade edilebildiğinden,
S kümesi (1,2)* - C küme olur.
36
Uyarı 3.14: Teorem 3.12 nin tersi genellikle doğru değildir.
Gerçekten de Örnek 3.1’de {c} kümesi (1,2)* - C kümedir fakat τ1,2 –
açık değildir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Teorem 3.13: Her (1,2)* - B küme (1,2)* - C kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: S, (1,2)* - B küme olsun. Bu durumda M kümesi τ1τ2 açık
ve N kümesi (1,2)* - t küme olmak üzere, S kümesi S = M ∩ N şeklinde
ifade edilebilir. Teorem 3.10’ dan her (1,2)* - t kümenin (1,2)* - h küme
olduğu biliniyor. O halde M kümesi τ1τ2 açık ve N kümesi (1,2)* - h
küme olmak üzere, S kümesi S = M ∩ N şeklinde yazılabilir. O halde, S
kümesi (1,2)* - C kümedir.
Uyarı 3.15: Teorem 3.13 ün tersi genellikle doğru değildir.
Gerçekten de Örnek 3.3 de A = {b} kümesi (1,2)* - C kümedir fakat
(1,2)* - B küme değildir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Uyarı 3.16: (1,2)* - yarı – açık küme ve (1,2)* - A küme olma
kavramlarının birbirinden bağımsız kavramlardır.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Aşağıda Uyarı 3.16’ ya ait örnekler verilmiştir:
37
Örnek 3.5: X = {a, b, c}, τ1 = {Ø, X,{a},{b,c}} ve τ2 = {Ø, X,
{b}, {a,c}} olsun. Bu durumda τ1τ2 açık kümeler {Ø, X, {a}, {b}, {a,b},
{b,c}, {a,c}} ve τ1τ2 kapalı kümeler de {Ø, X, {b,c}, {a,c}, {c}, {a},
{b}} olur. {c} kümesi τ1τ2 açık ve X ∈ (1,2)* - RC(X) olmak üzere {c}
= {c} ∩ X şeklinde ifade edilebildiğinden, {c} kümesi (1,2)* - A
kümedir. Fakat {c} ⊄ τ1τ2 cl(τ1τ2 int({c})) olduğundan, (1,2)* - yarı –
açık değildir. (O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Örnek 3.6: X = {a, b, c}, τ1 = {Ø, X,{a}} ve τ2 = {Ø, X} olsun. Bu
durumda τ1τ2 açık kümeler {Ø, X,{a}} ve τ1τ2 kapalı kümeler de {Ø,
X,{b,c}} olur. {a,b} ⊂ τ1τ2 cl(τ1τ2 int({a,b})) olduğundan, (1,2)* - yarı –
açık kümedir. Fakat {a,b} kümesi (1,2)* - A küme değildir. (O.Ravi, M.
Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Teorem 3.14: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A, B ⊂ X , A,
(1,2)* - t küme ve A ⊂ B ⊂ τ1τ2 cl(A) olsun. Bu durumda B kümesi de
(1,2)* - t küme olur.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: B ⊂ τ1τ2 cl(B) olduğu biliniyor. Buradan,
τ1τ2 int(B) ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(B)) ….. (i)
elde edilir.
Hipotezden, B ⊂ τ1τ2 cl(A) dır. Her iki tarafın τ1τ2 kapanışı alınırsa,
τ1τ2cl(B) ⊂ τ1τ2 cl(A) olur. τ1τ2 int(τ1τ2 cl(B)) ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A)) =
τ1τ2 int(A) dır. (A, (1,2)* - t küme olduğundan) Ayrıca, τ1τ2 int(A) ⊂
τ1τ2 int(B) olduğundan,
τ1τ2 int(τ1τ2 cl(B)) ⊂ τ1τ2 int(B)) ….. (ii)
bulunur.
38
(i) ve (ii) den τ1τ2 int(B) = τ1τ2 int(τ1τ2 cl(B)) elde edilir. O halde, B
kümesi (1,2)* - t kümedir.
Teorem 3.15: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olsun. A
kümesinin regüler (1,2)* - açık olması için gerek ve yeter koşul, A
kümesinin (1,2)* - ön - açık ve (1,2)* - t küme olmasıdır.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: ( ⇒ ): A kümesi regüler (1,2)* - açık olduğundan A = τ1τ2
int(τ1τ2 cl(A)) olur. Buradan, A ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A)) olur, yani A
kümesi (1,2)* - ön – açıktır. Teorem 3.4’e göre A kümesi (1,2)* - t
kümedir.
( ⇐ ): A kümesi (1,2)* - ön - açık olduğundan A ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A))
yazılabilir. Ayrıca A kümesinin (1,2)* - t küme olmasıyla τ1τ2 int(τ1τ2
cl(A)) = τ1τ2 int(A) ⊂ A elde edilir. O halde A = τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A)) dır.
Yani, A kümesi regüler (1,2)* - açıktır.
Teorem 3.16: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olsun. A
kümesinin τ1,2 – açık olması için gerek ve yeter koşul, A kümesinin hem
(1,2)* - α – açık, hem de (1,2)* - A küme olmasıdır.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: ( ⇒ ): A kümesi τ1,2 – açık olsun. Teorem 3.2’den A kümesi
(1,2)* - A kümedir. A ⊂ τ1τ2 cl(A) olduğu biliniyor. Buradan, τ1τ2
int(A) ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A)) elde edilir. τ1τ2 int(A) = A olduğundan A ⊂
τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int(A))) bulunur. O halde, A kümesi (1,2)* - α –
açıktır.
39
( ⇐ ): A kümesi hem (1,2)* - α – açık, hem de (1,2)* - A küme olsun. A
kümesi (1,2)* - A küme olduğundan, A = M ∩ N şeklinde yazılır.
Burada M τ1τ2 açık ve N regüler (1,2)* - kapalıdır. A kümesi (1,2)* - α –
açık olduğundan,
M ∩ N ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int(M ∩ N)))
= τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int(M) ∩ τ1τ2 int(N)))
= τ1τ2 int(τ1τ2 cl(M ∩ τ1τ2 int(N))
⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(M) ∩ τ1τ2 cl(τ1τ2 int(N))
= τ1τ2 int(τ1τ2 cl(M) ∩ N)
Buradan da,
M ∩ N ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(M)) ∩ τ1τ2 int(N) ..… (i)
elde edilir.
A = M ∩ N = (M ∩ N) ∩ M yazılabilir. (i) yardımıyla,
(M ∩ N) ∩ M ⊂ (τ1τ2 int(τ1τ2 cl(M) ∩ τ1τ2 int(N)) ∩ M
⊂ (τ1τ2 cl(M) ∩ τ1τ2 int(N)) ∩ M
= M ∩ τ1τ2 int(N)
= τ1τ2 int(M) ∩ τ1τ2 int(N)
= τ1τ2 int(M ∩ N)
elde edilir.
A = M ∩ N ⊂ τ1τ2 int(M ∩ N) ve τ1τ2 int(A) ⊂ A olduğundan, A kümesi
τ1,2 – açıktır.
40
Teorem 3.17: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olsun.
A kümesinin τ1,2 – açık olması için gerek ve yeter koşul, A kümesinin hem
(1,2)* - α – açık, hem de (1,2)* - B küme olmasıdır.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: ( ⇒ ): A kümesi τ1,2 – açık olsun. Teorem 3.7 den A
kümesinin (1,2)* - B küme ve Teorem 3.16 dan da (1,2)* - α – açık
olduğu elde edilir.
( ⇐ ): A kümesi hem (1,2)* - α – açık, hem de (1,2)* - B küme olsun. A
kümesi (1,2)* - B küme olduğundan A = M ∩ N şeklinde yazılabilir.
Burada M kümesi τ1τ2 açık ve N kümesi (1,2)* - t kümedir. Teorem 3.6’
dan A kümesi (1,2)* - B kümedir. M = X ve N = A alınırsa, A = X ∩ A
şeklinde ifade edilebilir. Ayrıca, A kümesi (1,2)* - α – açık olduğundan
(1,2)* - ön – açıktır. O halde A = X ∩ A ⊂ X ∩ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(A)) = X
∩ τ1τ2 int(A) olur. (A, (1,2)* - t küme olduğundan) Buradan da A ⊂ τ1τ2
int( X ∩ A) = τ1τ2 int(A) bulunur. τ1τ2 int(A) ⊂ A olduğundan, A
kümesi τ1,2 – açıktır.
Teorem 3.18: (X, τ1, τ2) bir bitopolojik uzay ve A⊂ X olsun. A
kümesinin τ1,2 – açık olması için gerek ve yeter koşul, A kümesinin hem
(1,2)* - α – açık, hem de (1,2)* - C küme olmasıdır.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
İspat: ( ⇒ ): A kümesi τ1,2 – açık olsun. Teorem 3.12 den A
kümesi (1,2)* - C kümedir. Teorem 3.16’dan da A kümesinin (1,2)* - α –
açık olduğu açıktır.
41
( ⇐ ): A kümesi hem (1,2)* - α – açık, hem de (1,2)* - C küme olsun. A
kümesi (1,2)* - C küme olduğundan M kümesi τ1τ2 açık ve N kümesi
(1,2)* - h küme olmak üzere, A kümesi A = M ∩ N şeklinde ifade
edilebilir. A kümesi (1,2)* - α – açık olduğundan,
A ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int(A))) = τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int(M ∩ N)))
= τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int(M) ∩ τ1τ2 int(N)))
= τ1τ2 int(τ1τ2 cl(M ∩ τ1τ2 int(N))
⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(M) ∩ τ1τ2 cl(τ1τ2 int(N)))
= τ1τ2 int(τ1τ2 cl(M)) ∩ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(τ1τ2 int(N)))
= τ1τ2 int(τ1τ2 cl(M)) ∩ τ1τ2 int(N)
Buradan da,
A ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(M)) ∩ τ1τ2 int(N)
elde edilir.
A = M ∩ N = M ∩ (M ∩ N) = M ∩ A
⊂ M ∩ (τ1τ2 int(τ1τ2 cl(M)) ∩ τ1τ2 int(N))
= M ∩ τ1τ2 int(N)
(M ⊂ τ1τ2 int(τ1τ2 cl(M)))
= τ1τ2 int (M ∩ N)
= τ1τ2 int(A)
Buradan, A ⊂ τ1τ2 int(A) bulunur. Ayrıca τ1τ2 int(A) ⊂ A olduğundan
A kümesi τ1,2 – açıktır.
42
Tanım 3.2: (X, τ1, τ2) ve (Y, σ1, σ2 ) birer bitopolojik uzay ve f :
X → Y bir fonksiyon olsun.
a) f , (1,2)* - α - süreklidir : ⇔ Y’nin her σ1 σ2 açık V kümesi için
f -1 (V), X uzayında (1,2)* - α – açık kümedir
b) f , (1,2)* - A süreklidir : ⇔ Y’nin her σ1 σ2 açık V kümesi için
f -1 (V), X uzayında (1,2)* - A kümedir.
c) f , (1,2)* - B süreklidir : ⇔ Y’nin her σ1 σ2 açık V kümesi için
f -1 (V), X uzayında (1,2)* - B kümedir.
d) f , (1,2)* - C süreklidir : ⇔ Y’nin her σ1 σ2 açık V kümesi için
f -1 (V), X uzayında (1,2)* - C kümedir.
(O.Ravi, M. Lellis Thivagar, E. Ekici, 2008)
Teorem 3.19: (X, τ1, τ2) ve (Y, σ1, σ2 ) birer bitopolojik uzay ve
→
f:X
Y bir fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdaki koşullar denktir:
(i) f fonksiyonu (1,2)* - süreklidir.
(ii) f fonksiyonu (1,2)* - α - sürekli ve (1,2)* - A süreklidir.
(iii) f fonksiyonu (1,2)* - α - sürekli ve (1,2)* - B süreklidir.
(iv) f fonksiyonu (1,2)* - α - sürekli ve (1,2)* - C süreklidir.
İspat : (i) ⇒ (ii) : f fonksiyonu (1,2)* - sürekli olsun. Bu
durumda, Y’nin her σ1 σ2 açık V kümesi için f -1 (V), τ1,2 – açıktır.
Teorem 3.16 dan f -1 (V) hem (1,2)* - α – açık, hem de (1,2)* - A küme
olur. O halde f fonksiyonu hem (1,2)* - α - sürekli, hem de (1,2)* - A
süreklidir.
43
(ii) ⇒ (iii) ve (iii) ⇒ (iv) önermeleri Teorem 3.9 ve Teorem 3.13’den
açıktır.
(iv) ⇒ (i): f fonksiyonu (1,2)* - α - sürekli ve (1,2)* - C sürekli olsun.
Bu durumda Y’ nin her σ1 σ2 açık V kümesi için f -1 (V), X içinde (1,2)*
- α – açık küme ve (1,2)* - C kümedir. Teorem 3.18’ den f -1 (V) kümesi
τ1,2 – açıktır. O halde, f fonksiyonu (1,2)* - süreklidir.
44
SONUÇ:
Bu tezde ilk olarak bitopolojik uzaylarda ortaya atılmış olan (1,2)*
- yarı – kapalı, (1,2)* - yarı genelleştirilmiş – kapalı kümelerin ve daha
sonra da (1,2)* - C kümelerin özellikleri incelenmiştir. Bu kavramlardan
yararlanarak (1,2)* - genelleştirilmiş – sürekli, (1,2)* - yarı
genelleştirilmiş – sürekli ve (1,2)* - C sürekli fonksiyonlar ele alınmıştır.
Bununla birlikte, bu kavramları karakterize eden teoremler, aralarında
bulunan bağlantılar detaylı olarak incelenmiş ve uygun düzenlemelerle
açıklık getirilmiştir.
Bu çalışmada tanımlanan süreklilikler yardımı ile daha pek çok
sürekliliğin ayrışımının elde edilebileceği düşünülmektedir. Özellikle
bitopolojik uzaylarda tanımlanan süreklilikler yardımı ile birçok yeni
çalışma yapılmaktadır. Bu çalışmaların bitopolojik uzayların uygulama
alanını genişleteceği düşünülmektedir.
45
KAYNAKLAR DİZİNİ
Dochviri, I., 2006, Some Comments On Regular and Normal
Bitopological Spaces, Ukrainian Mathematical Journal Vol 58,
No: 12, 1720-1724p.
Dvalishvili, B. P., 2005, Bitopological Spaces: Theory, Relations With
Generalized Algebraic Structures, and Applications, North –
Holland Mathematical Studies,. 199, 1-16p.
El – Monsef, M. E., Thivagar, M. and Ravi, O.,
Bitopological (1,2)* - Quotient Mappings, preprint.
Remarks On
El – Tantawy, Abu – Donia, H. M., 2004, Some Bitopological Concepts
Based On The Alternative Effects of Closure and Interior Operator,
Chaos, Solitons and Fractals , 19, 1119- 1129p.
Ivanov, A. A., 1993, Problems Of The Theory Of Bitopological Spaces
II (Russian), Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg.. Otdel. Mat. Inst.
Steklov. (POMI), 208, Issled. Topol. 7, 5-67p; English trans.: J.
Math . Sci., 1996, 81, No: 2, 2465-2496p.
Ivanov, A. A., 1995, Problems Of The Theory Of Bitopological Spaces
III (Russian), Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg.. Otdel. Mat. Inst.
Steklov. (POMI), 231, Issled. Po Topol. 8, 9-54p; English trans.: J.
Math . Sci. (New York), 1998, 91, No: 6, 3339-3364p.
Ivanov, A. A., 1998, Problems Of The Theory Of Bitopological Spaces
(Russian), Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov.
(LOMI), 167, Issled. Topol. 6, 190, 5-62p; English trans.: J. Soviet
Math., 1990, 52, No: 1, 2759-2790p.
46
KAYNAKLAR DİZİNİ (devam)
Küçük, Y., 1983, İkili Topolojik Uzaylar, Hacettepe Üni. Fen Bilimleri
Enstitüsü. , 1- 15p.
Kelly, J.C., 1963, Bitopological Spaces, Proc. London Math. Soc., s313, 71-89p.
Ravi, O. ve Thivagar, M., 2006, A bitopological (1,2)* Semi –
generalised Continuous Maps, Bull. Malays. Sci. Soc. (2), 29(1),
79-88p.
Ravi, O., Thivagar, M. and Ekici, E., 2008, Decompositions Of (1,2)*
- Continuity and Complete (1,2)* - Continuity In Bitopological
Spaces, Analele Universitatii Oredea Fasc. Mathematica, Tom
XV, 29 – 37p.
Ravi, O., Thivagar, M. and Ekici, E., 2008, On Extensions Of Semi –
Pre Open Sets In Bitopological Spaces, On Decompositions of
Continuity and Some Weaker Forms of Continuity, Kochi J. Math.,
3,, 55-66p.
Ravi, O., Thivagar, M. and Ekici, E., 2008, On (1,2)* - Sets and
Decompositions Of Bitopological (1,2)* - Continuous Mappings,
Kochi J. Math., 3, 181-189p.
Thivagar, M. L., RajaRajeswari, R., Ponmani, S. A., Ekici, 2008,
Remarks On Ultra Nodec Spaces, Analele Universitatii de Vest,
Timişora Seria Mathematica – Informatica, XLVI, 1, 153-164p.
47
ÖZGEÇMİŞ
17.05.1985 yılında Antalya’da doğdu. İlköğrenimini Antalya
Barbaros İlkokulu’nda, ortaokul ve lise öğrenimini ise Antalya Hacı
Malike Mehmet Bileydi Anadolu Lisesi’nde tamamladı. 2003 yılında
öğrenimine başladığı Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik
Bölümü Cebir ve Geometri Ağırlıklı Lisans öğretim programından 2007
yılında mezun oldu. Aynı yıl Ege Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik
Bölümü, Topoloji Ana Bilim Dalı’nda yüksek lisans öğrenimine başladı.
Halen bu alandaki yüksek lisans eğitimine devam etmektedir.