05.10.2013 1

05.10.2013 Sürekli Rassal Değişkenlerin
Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar
1
EME 3105
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Sistem Simülasyonu
Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I
Ders 5
Sürekli Dağılımlar (1)
Sürekli Dağılımlar (2)
3
Dağılım
4
Birikimli Dagilim Fonksiyonu
F(x)
x−a
b−a
Normal (µ,σ2)
Kapalı form yok
Uniform (a,b)
a<x<b
E[X]
a+b
2
µ
V[X]
(b − a)
12
1− e− λ x
e− kλ x (k λ x)n
1− ∑
n!
n=0
k−1
Erlang (λ, k)
Gamma (β,α)
k pozitif tamsayı ise , Erlang k
Degilse
, Kapalı form yok
1/ λ
1/ λ2
k /λ
k / λ2
αβ
αβ
2
β ⎛ 1⎞
Γ⎜ ⎟
α ⎝α⎠
α
1− e−( x/β )
Weibull (β,α)
Kapali form yok
σ2
E[X]
Birikimli Dagilim Fonk.
F(x)
Dağılım
2
Üstel (λ)
Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım
Normal Dağılım
Üstel (Exponential) Dağılım
Erlang Dağılımı
Gamma Dağılımı
Weibull Dağılımı
Lognormal Dağılım
Beta Dağılımı
Üçgen (Triangular) Dağılım
(
Lognormal
(µl,σl2)
µ = ln µl / σ l2 + µl2
(
σ = ln (σ + µ
2
2
l
2
l
Beta (α1,α2)
Kapali form yok
Üçgensel
a=minimum
b= maksimum
m= mode
⎧
(x − a)2
⎪
⎪ (b − a )( m − a )
⎨
(b − x)2
⎪ 1−
⎪
(b − a )(b − m )
⎩
1 )
)/µ )
2
l
a≤x≤m
m≤x≤b
e
µ+
σ2
2
V[X]
β
α
2
2
⎪⎧ ⎛ 2 ⎞ 1 ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎪⎫
⎨2Γ ⎜⎝ ⎟⎠ − ⎜ Γ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎟ ⎬
α
α ⎝ α ⎠ ⎪⎭
⎪⎩
e
2
2 µ +σ 2 ⎛⎜ eσ −1⎞⎟
⎝
⎠
α1
α1 + α 2
α 1α 2
(α 1 + α 2 )2 (α 1 + α 2 + 1)
a+b+m
3
a 2 + b 2 + m 2 − ab − am − bm
18
05.10.2013 Normal Dağılım ve Lognormal Dağılım
Sürekli Düzgün Dağılım ve Üçgensel Dağılım
5
6
Sürekli Düzgün Dağılım
Üçgensel Dağılım
Normal Dağılım
Üstel Dağılım ve Erlang Dağılımı
7
Üstel Dağılım ve Weibull Dağılımı
8
Üstel Dağılım
Lognormal Dağılım
Erlang Dağılımi
2 05.10.2013 Gelişlerarası Süre ve Servis Süresinin
Modellenmesi (1)
Beta Dağılımı
9
10
Teorem: Olayların gerceklesmesi ortalaması
λ(olay/br.zaman) olan poisson sürecine uyuyorsa,
olayların olusları arasında geçen süre ortalaması
1/λ (br.zaman/olay) olan Üstel dağılıma uyar.
Örnek: Müşteriler sisteme ortalaması
10 (müşteri/saat) olan Poisson Sürecine uygun olarak
geliyorsa, müşteri gelişleri arasında geçen süre
ortalaması 1/10 (saat/musteri) olan Üstel dağılıma
uyar.
Gelişlerarası Süre ve Servis Süresinin
Modellenmesi (2)
11
Gelişlerarası Süre ve Servis Süresinin
Modellenmesi (3)
12
•  Eğer süreler tamamen rassalsa, simulasyonda
çoğu zaman Üstel dağılımla modellenir.
•  Süreleri modellemek için Gamma ve Weibull
dagilimlari da kullanilabilir (Üstel dağılım, bu iki
dağılımın özel bir durumudur).
•  Pratikte servis süreleri Üstel Dağılımın
açıklayabildiginden daha uzunsa, servis süresinin
modellenmesinde Weibull dağılımı daha uygun
olabilir.
•  Sürekli Rassal Değişkenleri modellemede Normal
Dağılım kullanılırken negatif değerler alabildiği
göz önünde bulundurulmalıdır.
3 05.10.2013 Arızaya Kadarki Sürenin Modellenmesi (1)
13
Arızaya Kadarki Sürenin Modellenmesi (2)
14
Arıza zamanları Üstel, Gamma ve Weibull gibi bir
cok dağılımla modellenebilir.
•  Eğer arızalar tamamen rassal olarak oluyorsa,
a r ı z a ya k a d a r k i s ü r e Ü s t e l d a ğ ı l ı m l a
modellenebilir.
•  Gamma dağılımı, her parçanın arızaya kadarki
sürelerinin üstel oldugu yedek parcaların
bulundurulduğu durumda modellemede kullanılır.
Sistemde bir çok parça varsa ve arıza seri bağlı bir çok
parcadaki hatalardan dolayı oluşuyorsa genellikle
arızaya kadarki süreyi modellemek icin Weibull
dağılımı uygundur. Çoğu arıza aşınmadan kaynaklanıyorsa, normal dağılım
modelleme için oldukça uygun olabilir. Bazı parça tipleri için arızaya kadarki süreleri
modellemek için Lognormal dağılım kullanılabilir. Veri Seti Yetersiz yada Veri Yoksa
15
Gelişlerarası yada servis süresinin rassal oldugu
biliniyorsa, fakat dağılımıyla ilgili bilgi yoksa
Rassal degiskenin en küçük, en büyük ve en sık
gerçekleşen
değerleri
hakkında
varsayım
yapılabılıyorsa
Ceşitli dağılım formlari sağladiği için veri yoksa Beta dağılıma da
kullanılabilir.
4