Lognormal Dağılım

IE 303T
Sistem Benzetimi
1
LECTURE 5: OLASILIK TEKRAR2
03-Nov-16
Review of the Last Lecture
2
 Random Variables
 Beklenen Değer ve Varyans
 Moment
 Kesikli Dağılımlar
 Bernoulli Dağılımı
 Binom Dağılımı
 Geometrik Dağılımı
 Negatif Binom Dağılımı
 Poisson Dağılımı
03-Nov-16
İçerik
3
 Sürekli Dağılımlar








Uniform Dağılım
Üssel Dağılım
Gamma ve Erlang Dağılımı
Weibull Dağılımı
Normal Dağılımı
Üçgen Dağılımı
Lognormal Dağılımı
Kesikli Normal Dağılımı
 Konvolüsyon
 Ampirik Dağılımlar
 Maksimum Likelihood Tahminleyicis
03-Nov-16
Uniform Dağılımı
03-Nov-16
Üssel Dağılımı
λ oran
parametresi
olarak
bilinmektedir.
Zaman başı
beklenen olay sayısı
03-Nov-16
Üssel Dağılımı
6
Üssel dağılım hafızasızlık özelliğine (memoryless
property) sahiptir.
Koşullu olasılık??
Örnek: X bir parçanın (batarya, ampül, bilgisayar çipi, vb) ömrünü
ifade etsin ve ekonomik ömrü üssel dağılımı takip etsin. Hafızasızlık
özelliğine göre eğer parça s saattir kullanımdaysa, parçanın t saat
daha kullanımda kalması olasılığı, yeni parçnın t saat kullanılma
olasılığı ile eşittir.
Sadece üssel dağılım ve geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir.
03-Nov-16
Gamma Dağılımı
Analitik formu yok.
β ve λ parametreleri şekil (shape) ve oran (rate) parametreleri olarak
bilinir. Alternatif parametrizasyonlar da kullanılabilir.
Gamma fonksiyonu, Γ(β), Gamma dağılımının olasılık dağılım fonksiyonu
olarak kullanılır ve faktöryel fonksiyonunun genel versiyonu olarak
düşünülebilir.
Tamsayı β için,
03-Nov-16
Gamma Dağılımı
03-Nov-16
Erlang Dağılımı
9
Tamsayı β için Gamma fonksiyonu faktoriyel olur ve β adet
özdeş, ortalaması 1/λ olan üssel dağılımın toplamı haline
gelir. β=1 için Gamma(β,λ) dağılımı üssel dağılımdır.
Poisson dağılımı, gelişler arası sürenin üssel dağılım olan varışları sayar.
Dolayısıyla Erlang ve Poisson dağılımları arasında bir ilişki vardır:
S=[0,x] aralığını alalım. X~ Erlang(k,λ) ve Y~Poisson(λx) olarak tanımla.
en az k özdeş üssel dağılımın (λ parametreli) S içinde var olması
demektir. Dolayısıyla S içindeki üssel dağılım sayısı k’e eşit veya büyük olmalıdr.
03-Nov-16
Weibull Dağılımı
10
Gamma dağılımına benzer olarak, ilk iki dağılım parametresi, α ve β, scale and
shape parameterleridir. Üçüncü parametre, ν, ise lokasyon parametresidir.
β = 1 ve ν = 0 için Weibull dağılımı, üssel dağılıma dönüşür, λ = 1/α .
03-Nov-16
Weibull Dağılımı
03-Nov-16
Normal Dağılım
Daha önce μ
Recall that μ is
lokasyon ve σ
location, σ is
ölçü (scale)
the scale
parametresi
parameter for
olduğunu
Normal Distr.
ifade etmiştik.
03-Nov-16
Normal Dağılım
13
Normal dağılımla gerçekleştirilen hesaplamalar için,
standard normal dağılımı (μ=0, σ=1) kullanıyoruz.
Normal dağılımın olasılıkları şu şekilde hesaplanır:
https://mhekimoglushinyapps.shinyapps.io/app2/
03-Nov-16
Normal Dağılım
Normal dağılım pdf
03-Nov-16
Üçgen Dağılım
15
Üçgen dağılımın üç parametresi a≤b≤c, sırasıyla minimum, mode ve maksimum
değerlerini verir.
03-Nov-16
Lognormal Dağılım
Lognormal Dağılım
Lognormal dağılım Normal dağılımın dönüştürülmesinden elde edilir. Y eğer
parametreleri μ ve σ olan Normal dağılım ise, X=eY, lognormal dağılımı verir. Elde
edilen dağılımın ortalaması m ve varyansı v2 ise aşağıdaki formülle hesaplanabilir:
03-Nov-16
Lognormal Dağılım
03-Nov-16
Kırpılmış (Truncated) Normal Dağılım
18
a ve b kırpılma alanını verir ve ,
ana dağılımın parametreleridir.
Çıkış Noktası: Kırpılma alan dışındaki değerler için olasılığı 0’a eşitle, geri kalan
olasılıkları da uygun şekilde güncelle.
Beklene Değer (μ) ve Varyans (σ)
03-Nov-16
Truncated Normal Distribution
(a=0, b=∞)
03-Nov-16
Konvolüsyon
20
Şimdiye kadar rassal dağılımları inceledik: İki rassal
değişkenin toplamı için ne söylenebilir?
Varsayalım ki rassal değişkenler X ve Y, ve dağılımları f(x), g(y); Ωx ve Ωy
setlerinin üzerinde tanımlanmış olsun.
X and Y kesikli ise:
İki rassal, bağımsız A ve B değişkenleri
için
X ve Y sürekli ise:
03-Nov-16
Konvolüsyon
21
Example: X ~ Pois(λ) ve Y~Pois(μ). Z=X+Y dağılımı nedir?
Example: Eğer W~Exp(λ),
V=W+W ~ Erlang(2,λ) gösteriniz.
Erlang dağılımı:
03-Nov-16
Maximum Likelihood Tahminleyicisi
22
Şimdiye kadar dağılımları ve linear kombinasyonları nı konuştuk. Ama
veriden dağılım parametresini nasıl tahmin edebiliriz??
Example: For his simulation project Harry collects data for the number
of people arriving to D/K building of the university between 8-10 am.
He assumes that number of arrivals follows Poisson distribution with
parameter λ. How to estimate λ?
Eğer, xi , dağılım fonksiyonu f(x,θ) olan bir dağılımdan geliyorsa,
likelihood fonksiyonu aşağıdaki gibidir:
L(θ) maksimize eden
θ değerine maximum
likelihood
tahminleyicisi denir
03-Nov-16
.
Maximum Likelihood Tahminleyicisi
23
 EğerHarry 5 gün için aşağıdaki veriyi topladıysa, λ
için tahminleyici nedir?
Day1
Day2
Day3
Day4
Day5
#of Arrival
2
3
4
2
5
Örneklem ortalaması Poisson için MLE tahminleyicisidir.
X~Poisson(λ),
03-Nov-16
Ampirik Dağılımlar
24
 Ampirik dağılımlar, parametreleri gözlemlenmiş değerleri
olan dağılımlarıdır. Ampirik dağılımlar özellikle parametrik
dağılımların(Normal, Poisson vs.) iyi bir fit sağlamadığı
durumlarda kullanılır.
 Ampirik dağılımların önemli bir özelliği de örneklemde
gözlemlenen değer aralığının dışında bir değerin elde
edilememsidir.
 Bu duruma göre avantaj veya dez avantaj olabilir.
Örnek: Yerel bir restorana müşteriler 1 ile 8 arasındaki guruplar
halinde gelmektedirler. 300 farklı müşteri gurubu gözlenmiş
ve ekte verilen ampirik dağılım elde edilmiştir:
03-Nov-16
Ampirik Dağılımlar
25
03-Nov-16
Ampirik Dağılımlar
26
03-Nov-16
Dağılımlar için Excel Komutları
27
03-Nov-16
Dağılımlar için Excel Komutları
28
03-Nov-16
Dağılımlar için Excel Komutları
29
03-Nov-16
30
Ders 5 Sonu
Gelecek Ders
Random Number Generation (Chapter 7)
03-Nov-16