arıza/kaza fonksiyonu ve ilgili dağılımlar

ARIZA/KAZA (HAZARD) FONKSİYONU
VE İLGİLİ DAĞILIMLAR:
GİRİŞ;
İstatistiğin günlük hayatla en yakından ilişkili ve en ilginç konularından birinden
bahsedeceğiz. Her gün duyduğumuz pek çok söz, bu bölümde en basit biçimi ile ele
alacağımız ARIZA/KAZA FONKSİYONU ve BAŞARISIZLIK ORANI kavramları ile yakından
ilişkilidir.
Matematik tanımlara geçmezden önce kullandığımız Arıza/Kaza Fonksiyonu terimi üzerinde
kısaca duracağız. Bu terimin batı dillerindeki karşıtı Hazard Function veya eşdeğeri.
Buradaki Hazard kelimesinin gelişimi, etimolojik sözlüklerin bir çoğuna göre, Arapça al zar
 İspanyolca azar  Fransızca hasart  İngilizce hazard biçiminde veriliyor ve talih
oyunlarında kayıp/zarar veya kaybetme olasılığı ya da genel olarak tehlike olasılığı biçiminde
açıklanıyor.
Türkçe’de bazı yazarlar bu kelimeyi aynen alarak Hazard Fonksiyonu biçiminde kullanıyor.
Burada günümüz türkçesine en yakın olduğunu düşündüğümüz ARIZA/KAZA FONSİYONU
terimini kullanacağız. Çünkü hayata başladığımız andan itibaren karşımıza çıkan hemen her
olumsuz şeyin bir ‘arıza veya kaza’ olduğunu düşünürüz. Örneğin sevmediğimiz birine
kazara rastlarız, trafikte kazara çarpışırız ya da yoldan çıkarız, sınavda kazara yanlış cevabı
yazarız, otobüste kazara bir gevezenin ya da bulaşıcı hastalığı olan birinin yanına otururuz,
Bilgisayarımız veya arabamız arızalanır. Elektrik ya da su kesilmesinin nedeni şebeke
arızasıdır... Bu örnekleri istediğimiz kadar çoğaltabiliriz.
Arıza/Kaza Fonksiyonu sözü biraz uzun; istenirse bu sözcüğü, örneğin, ARKAZ Fonksiyonu
biçiminde kısaltmak ve türkçeye HAZARD yerine kullanılacak bir kelime kazandırmak
mümkün. Biz yine Arıza/Kaza terimini kullanmaya devam edeceğiz.
İşte bu bölümde bu olumsuz olayların gerçekleşme (yani arızalanma veya kaza yapma)
olasılığını hesaplayacağız. Bu nedenle burada kullanacağımız ‘arıza/kaza’ kelimesini
tanımlayarak başlamalıyız.
ARIZA/KAZA: Bir sistemin ya da bir programın tümünün ya da bir bölümünün,
herhangibir nedenle, işlevini yapamaz hale gelmesi.
Kaza sözü ile genellikle sistemimizin dışındaki etmenlerin ortaya çıkardığı işlevsizlikleri
belirtirken; arıza deyince de sistemimizin kendi yapısından, ya da elemanlarının
herhangibirinden kaynaklanan işlevsizlikleri anlayacağız.
Burada söz edilen sistem bir canlı organizma ya da tamamen fiziksel bir yapı olabilir.
Program sözünden kasit ise planlanmış eylemlerdir.
Aslında kaza geçiren eleman ya da elemanların ait oldukları sistemi gözönüne alırsak
elemanlar için kaza olan olayın sistem için de bir arıza olduğunu hemen görebiliriz. Bunun en
1
güzel örneği kaza yapan bir ya da daha fazla aracın yolları tıkamasıdır. Kaza yapan araçlar
trafik sistemi için bir arıza oluşturmuştur.
İncelememize temel kavramları tanımlayarak ve bunların matematik ifadelerini yazarak
başlayacağız. Sonra bu ifadelerin pratikte nasıl kullanılabileceğini açıklamak amacı ile, daha
önce incelediğimiz Olasılık Dağılımlarından yararlanarak örnekler oluşturacağız.
Aşağıdaki çalışmamızda da göreceğimiz, veya günlük tecrübelerimizden bildiğimiz gibi
Arıza/Kaza olayları hemen bütün hallerde zamana bağlıdır. Dolayısı ile bu bölümde serbest
değişkenimiz zaman (t-) olacaktır.
Bu çalışmade Arıza/Kaza Fonksiyonu ve Başarısızlık Fonksiyonu kavramlarını eşanlamlı
kabul edeceğiz ve her iki terimi de kullanacağız. Bu iki terimin farkları ile ilgili son yıllarda
ileri sürülmüş değişik görüşler mevcut ise de henüz kesinleşmiş ve yaygınlaşmış bir ayrım
yoktur.
Aslında Arıza/Kaza Olasılığı kavramına daha önce de değinmiştik (Bkz. ÖZEL OLASILIK
DAĞILIMLARI). Burada bu konuyu daha sistemli ve daha ayrıntılı bir biçimde yeniden
inceleyeceğiz. Bu bize Özel Olasılık Dağılımları bölümünde yalnızca tanımını verdiğimiz
WEİBULL ve GAMMA Dağılımlarını daha yakından inceleme fırsatını da verecek.
Son olarak şunu da belirtelim. Günümüzde endüstrinin kullandığı ve bilimsel araştırmaların
ilgilendiği Arıza/Kaza Fonksiyonları bu bölümde verileceklere göre çok daha karmaşık ve
ayrıntılıdır. Ancak burada verilecek temel bilgilerin güncel Arıza/Kaza Fonksiyonlarını
anlamak için gerekli bir başlangıç olduğu düşünülmüştür.
2
ARIZA/KAZA FONKSİYONUNUN TANIMI:
Bu bölümde yalnızca sürekli Olasılık Fonksiyonlarından bahsedeceğiz. Süreksiz ya da kesikli
Olasılık Fonksiyonlarından sadece birini, üstel fonksiyon yardımı ile hesaplanabilen,
POISSON Dağılımını zaman zaman konu edeceğiz.
Ana fikri her ne kadar Arıza/Kaza Fonksiyonunu incelemek ise de daha önce (Bkz. Özel
Dağılım Fonksiyonları) sadece tanımlarını vermekle yetindiğimiz WEIBULL ve GAMMA
Dağılımlarını bu bölümde oldukça ayrıntılı bir biçimde ele alacağız. Bunun sebebi bu
dağılımların en geniş uygulama alanının burada inceleyeceğimiz Arıza/Kaza Fonksiyonu
olması. Diğer sözlerle bu bölüm, Normal Dağılım ve Uygulamaları Bölümü gibi. Özel
Dağılım Fonksiyonları Bölümünün devamı olarak düşünülebilir.
Şimdi biyolojik ya da fiziksel bir sistem ya da planlı bir olaylar süreci düşünelim. Bu sistem
ya da program için iki olasılık söz konusudur.
A: Bir t- anında sistem çalışamaz hale gelmiştir. (Arıza/Kaza oluşmuştur.)
B: Bir t- anında sistem çalışmaktadır. (Arıza/Kaza oluşmamıştır.)
Bu iki olasılığın birbirini engellediği, diğer sözlerle ikisinin birden aynı t- anında
gerçekleşemeyeceği açıktır. Öte yandan bir sistem için iki olasılık da her t- anı için geçerlidir.
Şu halde:
P[A B] = 1 : A ya da B den birisi mutlaka gerçekleşecektir.
P[A B] = 0 : A ve B birlikte gerçekleşemez.
Şimdi Arıza/Kaza fonksiyonu açısından ilginç olan noktaya geldik. Arıza/Kaza analizi için
incelediğimiz sistemin çalışabilir olması yani hiç olmazsa bir t- anı için B nin gerçekleşmiş
olması gereklidir. Diğer sözlerle zaten asla çalışamayacak şekilde oluşturulmuş bir sistem
için Arıza/Kaza analizi söz konusu olamaz. O halde Arıza/Kaza analizi ancak ‘çalışabilecek’
bir sistem için yapılacaksa çalışabilirlik yani P(B) bir ön koşuldur ve kaza analizi bir koşullu
olasılık problemidir.
Buna göre Arıza/kaza Fonksiyonunun (Başarısızlık Oranının) Olasılık formülünü şöyle ifade
edebiliriz:
P  A / B 
P  A  B
P B
Yukarıda A ve B yi tanımlarken bu iki olayın da, kendilerine özgü, bir t- anında
gerçekleşeceğini yani t- ye bağlı büyüklükler olduğunu söylemiştik. O halde bu ifade, yani
Arıza/Kaza Olasılığını t- ye bağlı bir fonksiyon olarak belirledik; bunu h(t) ile gösterelim.
ht  
P  At   Bt 
P Bt 
3
Bundan sonraki görevimiz bu eşitliğin sağ tarafını da matematik bir ifade haline getirmek.
Aşağıdaki çalışmamızı daha iyi anlamak için şuna dikkat etmeliyiz. A(t) ve B(t) nin aynı tanında gerçekleşemeyeceğini söyledik. Bu ana, örneğin, T diyelim. Yukarıdaki orantının
paydası, ancak, T civarındaki bir t aralığında sıfırdan farklı olabilir. Diğer sözlerle t < T
iken B(t) geçerlidir (sistem çalışıyor); t > T iken A(t) geçerlidir (sistem işlevsizdir). Şu halde
yukarıdaki orantı bir t- anı için değil fakat T civarındaki bir t aralığında anlamlıdır.
Kuşkusuz bu aralığı istediğimiz kadar küçültebiliriz; düğer sözlerle h(t) değerini ancak bir
t  0 limit işlemi ile bulabiliriz.
Önce P[B(t)] ye bakalım. B(t) sistemin çalışma durumudur. Yalnızca çalışan sistemleri
incelemek istediğimize göre başlangıç anında P[B(t=0)] = 1 olmak zorundadır. Ancak tbüyüdükçe yani t > 0 olan bir yerde sistem, bir sebeple, çalışamaz hale geleceğine göre
(Sonsuza kadar çalışabilecek canlı ya da cansız sistem bilmiyoruz.) bir yerde P[B(t>0)] = 0
olacaktır. Diğer sözlerle B(t=0) ve B(t>0) aralığındaki bütün t- değerleri için sistem
çalışmaktadır ya da daha renkli bir ifadeyle ‘yaşamaktadır’. Bu nedenle P[B(t)] yi temsil
etmek için kullanacağımız matematik ifadeye ÖMÜR (SURVİVAL) FONKSİYONU adını
veriyoruz ve S(t) ile gösteriyoruz.
Şu halde S(t) nin tanımını şöyle de yazabiliriz.
P[B(t)] = S(t)
veya t = T ile gözönüne aldığımız sistem ya da programın ömrünü gösterdiğimizi düşünürsek:
S t   P t  T   F t  

 f t dt
0
yazabiliriz. Burada:
f(t), birazdan belirleyeceğimiz şartlar altında, seçebileceğimiz bir fonksiyondur.
Kuşkusuz , gerçek hayatta, ele aldığımız sistem ister fiziksel ister organik olsun T
değerini bilmemiz olanaksızdır. Her t değerinde sistemimiz bir Arıza/Kaza
yaşayabilir. Zaten bu çalışmamızın amacı Arıza/Kaza olasılığını yani P(t=T+)
değerini hesaplamaktır.
f(t) öyle seçilmelidir ki S(t) fonksiyonu S(t = 0)=1 ve S(t  T+)=0 şartlarını sağlasın,
Şimdi h(t) ifadesindeki t>T terimine bakalım. Sistemimizin ömrünü T kabul ettiğimize göre
t > T sistemin herhangibir t+t > T anında arızalanacağını ya da kaza oluşacağını
göstermektedir. Çok küçük kabul edeceğimiz (t, t +  t) aralığında ise sistem çalışmaktayken
bir nedenle çalışamaz duruma geçmektedir.. Şu halde bu düşünceden yararlanarak
PAt   Bt 
olasılığının matematik ifadesini bulabiliriz.
4
Yalnız burada dikkat etmemiz gereken bir nokta var. Sistemin çalışabilir B konumundan
çalışamaz A konumuna geçmesi bir t+ noktasında gerçekleşecektir. Diğer sözlerle t = t+
anında sistemimiz hem A hem de B olasılıklarını gerçekleştirmektedir. Şu halde F(t+) değerini
hesaplamalıyız.
Halbuki verilen herhangi bir t- noktası için F(t) = 0 olduğunu Sürekli Olasılıkların temel
özelliklerinden biri olarak iyi biliyoruz.
Bu nedenle önce aşağıdaki gibi sonlu bir  t aralığındaki olasılığı hesaplayacağız., Buna
göre f(t+) değerini belirlemek için Taylor Serisini düşünelim:
 
f t   f t  
t '
1!
f ' t  
t ' 2
2!
f ' ' t   ...
Burada ( t)’ ,  t den de küçük bir aralıktır ve dolayısı ile bir ilk yaklaşım olarak
f(t+)  f(t)
kabul edebileceğimizi söylemektedir. Biz yine f(t+) yı kullanmaya devam edelim. Madem ki t,
t+ t aralığında sistemimiz hem çalışır hem de çalışamaz durumdadır. O halde:
    Bt   P t  t

P( t  t / t  T )  P A t



t  t
  f t dt  f t t
 t  t 

t
yazabiliriz. Bu, en sondaki, yaklaşık eşitlik ifadesi bir kabul içeriyor.
Kabul ediyoruz ki, integre edildiği zaman, f(t) nin biçimi bozulmayacak yani gene f(t)
biçiminde kalacak. Diğer sözlerle f(t) veya aşağıda belirleyeceğimiz S(t) fonksiyonları üstel
fonsiyon biçiminde fonksiyonlar olacak..
Böylece  t aralığında geçerli bir ifade bulduk.
Öte yandan, olasılıklar toplamının 1 olduğunu kabul eden temel kuralımızı hatırlarsak:
t>T için
S(t) = P[t>T]
ise
t T için:
St   PBt   1  Pt  T   1  F t 
olmak zorundadır. Bu son iki ifadeyi birleştirirsek t aralığında geçerli olmak üzere:
ht  
 
 
P  At   Bt  f t  t
f t  t


P Bt 
S t 
1  F t 
bağıntısını buluruz. Açıkça görüldüğü gibi bu ifade:
 t aralığında oluşacak Arıza/kazanın Ömür Fonksiyonuna bölünmesi ile elde edilmiştir.
Bu büyüklüğe ARIZA/KAZA ORANI ya da BAŞARISIZLIK ORANI adını veriyoruz.
5
Peki bu S(t) nin veya tanımında kullandığımız f(t) fonksiyonunun matematik ifadesi nedir?
Tabii ki S(t=0) = 1 ve S(t>0) = 0 şartlarını sağlayan sınırsız sayıda matematik ifade
bulunabilir. Örneğin S(t) = 1 – t (0  t  1) bunların en basitidir; ancak bunun gerçek
hayattaki kazaları açıklama yeteneği hemen hemen yoktur.
S(t) yi seçebilmek için f(t+) değeri için bir kabul yapacağız daha doğrusu yukarıda yaptığımız
kabulün limitte de geçerli olduğunu yani t0 için lim t0 ( f(t+)t  f(t) varsayacağız.
.Şu halde Başarısızlık Oranı ifademiz, t t+ veya t0 limitinde:
f t 
S t 
ht  
biçimini alacaktır. Ayrıca:
S(t) = 1 – F(t)

dS/dt = - dF/dt = - f(t)
olduğuna göre Başarısızlık Oranının son biçimi şöyle olacaktır.
ht  
ÖmürFonksiyonununTürevi  S t 

ÖmürFonksiyonu
S t 
Aslında yukarıda yaptığımız f(t+)  f(t) kabulü ve sonuçta elde ettiğimiz h(t) = - S’(t)/S(t)
bağıntısının doğrudan özetini yapmak istersek şunu söyleyebiliriz:
Arıza/Kaza fonksiyonu [S(t)] olarak üstel bir fonksiyon ya da üstel fonksiyon içeren bir
fonksiyon seçmek istiyoruz.
Nitekim Başarısızlık Oranını şöyle yazarak bunu hemen görebiliriz.
S' t  d
 lnS t    ht  olduğuna göre
S t  dt
 t

S t   exp   ht dt 
 0


Böylece Arıza/Kaza fonksiyonumuzun OLASILIK KÜTLE DAĞILIMINI elde etmiş olduk.
Artık bu ifadede yer alan h(t) için bazı kabuller yaparak çeşitli Arıza/Kaza Olasılık
Dağılımları elde edebiliriz.
Ancak daha önce Arıza/Kaza Fonksiyonumuzun OLASILIK YOĞUNLUK DAĞILIMI nı
bulmalıyız. Madem ki Olasılık Kütle Fonksiyonunu S ile gösterdik; o halde Olasılık Yoğunluk
Fonksiyonunu da s ile gösterelim.
st   S' t  
d
1  F t 
dt
6
S(t) için yukarıda bulduğumuz ifadeyi h(t) nin tanımında kullanarak:
 t

st   S' t   ht  exp   ht dt 
 0


ifadesini hemen yazabiliriz.
Böylece Arıza/Kaza Olasılık Dağılımı için hem Yoğunluk ve hem de Kütle Dağılımı
fonksiyonlarını elde ettik.
Bu ifadelerden hemen görüleceği gibi S(t) nin belirlenmesi için h(t) nin verilmesi gerek.
Arızaya Kadar Beklenen Ömür:
Yukarıdaki çalışmamız bizi hemen yeni bir kavrama götürüyor.
Varsayalım ki bir sistemin Ömür Fonksiyonu bilinen bir Dağılım Fonksiyonu f(t) cinsinden
ifade edilebilmektedir. İlk arızaya kadar geçecek zamanı Ömür Fonksiyonu cinsinden ifade
edebilir miyiz? Hemen cevaplayalım.
f(t) = - dS(t)/dt
olduğunu bulmuştuk. Öte yandan f(t) olasılık dağılımı için İstatistik Ortalama (Beklenen
Değer) ifadesinin :

   tf t dt
0
olduğunu biliyoruz. Bu iki denklemi birleştirir ve kısım kısım integrasyonla integre edersek:


    t S' t dt   tSt  0   S t dt

0
0
elde ederiz ve S(t)0 olduğuna göre:

Arızaya Kadar Beklenen Ömür:    t S' t dt 
0

0S t dt
olarak elde edilir.
Koşullu Ömür Fonksiyonu:
Ömür Fonksiyonunu çıkarırken, ancak çalışmakta olan sistemler için Ömür Fonksiyonu
yazabileceğimizi ve dolayısı ile Ömür Fonksiyonunun ancak koşullu bir olasılık problemi
olabileceğini belirtmiştik.
7
Şimdi yukarıdaki ifademizi biraz daha netleştirelim ve sistemimizin bir  zamanı kadar
çalıştığını ve Ömür fonksiyonumuzun bu t =  zamanından itibaren geçerli olmasını
isteyelim. Diğer sözlerle S(t/) veya S( + t) ifadesini bulmaya çalışalım. Bunu matematik
olarak yazalım.
S(t/) = P[Sistem  + t için çalışmaktadır / Sistem t   çalışmıştır]
S(t/) = P[T > + t / T >] = P[T > + t] / P[T >] = S( + t) / S(t)
t =  anına kadar çalışmış bir sistemin Ömür Fonksiyonu:
S(t/) = S( + t) / S(t)
ifadesini elde ettik. Bunu yorumlamazdan önce bir adım daha atalım.
f(t) = - dS(t)/dt
ifadesinde bu S(t/) yu kullanalım ve türevi alalım.
f t /    

d
d S   t 
S'   t S t   S   t S' t 
S t /    

2
dt
dt S t 
S t 
S'   t  S   t S' t 

2
S t 
S t 
t >  için S’(t) = 0 olacağına göre:
t =  anına kadar çalışmış bir sistem için Olasılık yoğunluk Fonksiyonu:
f t /    
S'   t  f   t 

S t 
S t 
biçiminde elde edilir.
8
SİSTEMLER İÇİN ÖMÜR FONKSİYONU:
Bu paragrafta birden fazla elemana sahip en basit sistemler için Ömür Fonksiyonunun nasıl
kurulduğunu inceleyeceğiz.
Aynı sistemde yer alan ve sistemin çalışması için herbirinin çalışması şart olan elemanların,
sistemi oluştururken, birbirlerine bağlanma şekillerini üç grupta ele alacağız.

Paralel Bağ

Seri Bağ

Karma Bağ
Bu adlandırma hemen elektrik/elektronik devrelerini çağrıştıracaktır. Gerçekten de
inceleciğimiz konu elektrik/elektronık mühendisleri için çok önemlidir. Bununla beraber
elektrik/elektronik devrelerine benzetebileceğimiz Kara/Hava/Deniz Yolu sistemleri, Hertürlü
İmalat Hatları, Kan Dolaşımı gibi Hava/Sıvı/Katı madde taşınan her türlü Biyolojik
Mekanizma ve daha pek çok sistem burada inceleyeceğimiz konu yardımı ile incelenebilir.
Paralel Bağlı İki elemanlı Sistem:
Basit bir yol şeması çizelim.
2
A
1
B
Soldan sağa aktığını düşündüğümüz trafik 1 ve 2 kollarına ayrıldıktan sonra tekrar birleşerek
devam etmektedir.
A ve B kesitleri arasındaki trafiği düşünüyoruz. Öncelikle şu açık saptamayı yapalım. 1 veya 2
yollarından yalnız biri kapanırsa sistem (trafik) yavaşlar ama çalışmaya devam eder, Bu
özellik bize şu tanımı yapma olanağı sağlar.
Paralel Bağ: Bütün elemanların durması (arızalanması) halinde sistemi durduran bağlanma,
Varsayalım ki bütün sistemin Ömür Fonksiyonu S(t) ve A-B arasında kalan bölümlerin ayrı
ayrı Ömür Fonksiyonları S1(t) ve S2(t) olsun ve de bir t- anında sistem tümüyle çalışıyor
olsun. Buna göre:
Tüm sistem için
9
S(t) = P(T>t) = 1 – P(T t)
1 ve 2 kolları için ise
S1(t) = P(T1>t) = 1 – P(T1 t) , S2(t) = P(T2>t) = 1 – P(T2 t)
yazabiliriz.
S(t) = P(T>t) = 1 – P(T t)
ifadesinde P(T t) birbirinden bağımsız iki elemanın da durması halinde gerçekleşecektir.
Yani:
P(T t) = P(Hem T1  t) hem de T2 t)
S(t) = P(T>t) = 1 – P[(Hem (T1  t) hem de (T2 t)]
anlamına gelmektedir. Ayrık ve bağımsız olayların birlikte gerçekleşmesi olasılığı ile ilgili
kuralımızı hatırlarsak şunu hemen yazabiliriz.
S(t) = 1 - [1 – S1(t)][1 – S2(t)] = S1(t) + S2(t) – S1(t)S2(t)
Böylece paralel bağlı iki elemandan oluşan bir sistemin Ömür Fonksiyonunu nasıl
yazabileceğimizi gördük. Açıkça görülüyor ki sistemimiz iki yerine n adet paralel bağlı
elemandan oluşsaydı bu ifade:
S(t) = 1 - [1 – S1(t)][1 – S2(t)]...[1 – Sn(t)]
biçimini alacaktı. Pratikte çok karşımıza çıkan bir özel hal S1 S2... fonksiyonlarının birbirine
eşit olmasıdır. Örneğin yukarıdaki 1 ve 2 yollarının aynı genişlikte ve aynı trafik özelliğinde
olması gibi... Bu durumda S1 = S2 =...Sn = S* yazarak:
S(t) = 1 - [1 – S*(t)]n
ifadesini elde ederiz.
Seri Bağlı İki Elemanlı Sistem:
Gene basit bir şema çizelim.
A
B
1
2
10
Yolumuz bu defa arka arkaya iki köprüden geçmektedir. Köprülerden yalnız birinin kapalı
olması halinde sistem çalışamaz olacaktır. Yukarıdaki gibi tanımımızı yapabiliriz.
Seri Bağ: Elemanlarından
durduran bağlama.
yalnızca birinin çalışmaması (arızalanması) halinde sistemi
Burada durum yukarıdakinden şöyle farklı. Köprülerden biri kapanınca diğeri açık da olsa
yol kapanıyor. Yani köprüler birbirinden bağımsız değil. Yalnızca her ikisinin de açık olduğu
hallerde yol açık. Öyleyse, yukarıdaki notasyonu kullanarak, hemen:
S(t) = P(T>t) = P(T1>t) P(T2>t) = S1(t) S2(t)
S(t) = P(T>t) = S1(t) S2(t)
yazabiliriz.
Açıktır ki böyle n köprü varsa:
S(t) = S1(t) S2(t)... Sn(t)
ve S1 = S2 =...Sn(t) = S*(t) ise
S(t) = [S*(t)]n
olacaktır.
Yukarıdaki olayı daha iyi anlamak için bir zar atma örneği düşünelim. Paralel bağlama iki
zarı aynı anda atıp toplamda, örneğin, 9 tutturmayı hedeflemek gibidir. Seri bağlama ise tek
zarla iki atış yapıp toplamda 9 tutturmak gibidir. Tek zarla ilk atışta 1 ya da 2 atmışsanız
ikinci atışa gerek kalmaz.
Karma Bağlı Sistemler:
Bu halde ikiden fazla eleman olması gerektiği açıktır. Sistemin bağlanma biçimine göre seri
ve paralel bağlı bölümleri ayrı ayrı incelenerek birbiriyle yine bağlanma biçimine göre
birleştirilecektir.
Aşağıda İlgili Dağılım Fonksiyonlarını incelerken örnek problemler de çözeceğiz.
Şimdi Arıza/Kaza Fonksiyonu için verilen bu genel ifadeleri kullanarak, uygulamada
kullanılan bazı Arıza/Kaza Fonksiyonlarını inceleyebiliriz.
11
HAFIZASIZ ARIZA/KAZA DAĞILIMI FONKSİYONLARI:
Bu paragrafta yukarıda verdiğimiz genel tanımın en basit örnekleri olan Üstel Dağılım ve
Poisson Dağılımlarını inceleyeceğiz.
ÜSTEL DAĞILIM/POISSON (GEOMETRİK) DAĞILIMI:
En iyi bilinen Kaza fonksiyonunu ÜSTEL DAĞILIMI örnek alarak çalışacağız. ÖZEL
OLASILIK DAĞILIMLARI bölümünde bu dağılımın POİSSON DAĞILIMI ile ilişkisini
açıklamıştık. Dolayısı ile söyleyeceklerimizin tamamı bu iki özel dağılım biçimi için de geçerli
olacaktır.
Daha önce (Özel Olasılık Dağılımları bölümünde) Üstel Dağılımı kısaca incelemiştik. Kaza
fonksiyonunun en basit ve ilk incelenen biçimi olan bu dağılım şöyle tanımlanmıştı.
f(t) = (1/)exp(-t/) , F(t) = 1 – exp(-t/) ,  = st. , 0  t  
Poisson Dağılımı için de
 e   k

f k    k! , k  0 ,1,2 ,3 ,....

  0 , k  0 ,1,2 ,3 ,...
tanımını kullanmıştık. Bu son bağıntıda ilk arıza anını belirleyen k = 1 değerini kullanırsak
Üstel Dağılım için verdiğimiz ifadenin Poisson Dağılımı için de (kesikli aralıklarla) aynen
geçerli olacağını görürüz. Birazdan göreceğiz ki bu iki Olasılık Dağılımı için de ilk ya da
n.nci kaza arasında fark yoktur ve dolayısı ile k = 1 almak bir kısıtlama değildir. Bu
açıklamaya göre Poisson Dağılımı için de (süreksizliği unutmamak şartı ile) aynı Olasılık
Dağılımı ifadelerini kullanabiliriz. Yani:
f(t) = exp(-t) , F(t) = 1 – exp(-t) ,  = st. , 0  t, t = 1,2,...
Bu nedenle aşağıda yalnızca Üstel Dağılımı ele alacağız ve temel tanımların daha iyi
anlaşılmasını sağlayabilmek için bunları bir de bu özel hal için yeniden açıklayacağız.
Diğer sözlerle bu paragrafın başlangıcı önceki paragraftaki genel ifadelerin Üstel Dağılım
özel halinde tekrarı niteliğinde olacaktır.
12
ÜSTEL/POİSSON DAĞILIMLI ÖMÜR FONKSİYONLARI:
Şimdi  = 1 için bu fonksiyonun tablosunu yapalım ve grafiğini çizelim.
t
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
f(t)=EXP(-t)
1
0,818731
0,67032
0,548812
0,449329
0,367879
0,301194
0,246597
0,201897
0,165299
0,135335
0,110803
0,090718
0,074274
0,06081
0,049787
F(t)=1-EXP(-t)
0
0,181269247
0,329679954
0,451188364
0,550671036
0,632120559
0,698805788
0,753403036
0,798103482
0,834701112
0,864664717
0,889196842
0,909282047
0,925726422
0,939189937
0,950212932
f(t)=EXP(-t)
F(t)=1-EXP(-t)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Önceki paragrafta verdiğimiz tanımları, herhangi  için Olasılık Yoğunluk ve Kütle
Fonksiyonu:
f(t) = (1/) exp(-1/ ve F(t) = 1 – exp(-1/)
olan bu fonksiyona uygularsak:
S(t) = 1 – F(t) = 1 – [1 – exp(-t/)]
P[B(t)] = S(t) = exp(-t/ )
İlginç bir sonuca ulaştık. Sistemimizin P[B(t)] çalışabilirlik ya da ömür (survival) olasılığını
Üstel Dağılımla ilişkilendirdik. O halde şimdi aynı sistemin P[A B] çalışabilir/çalışamaz
olasılığını da Üstel Dağılım yardımı ile –yeniden- açıklayabilmeliyiz.
Sistemimiz T noktasına kadar çalışır durumdadır; T noktasını geçtiği anda kaza gerçekleşmiş
ve sistem çalışamaz olmuştur. Şu halde t + t aralığında, t çok küçük olmak şartı ile,
aradığımız P[A B] olasılığı gerçekleşmiştir. Diğer sözlerle aradığımız S(t+) değeri S(t) ve
S(t+t) değerleri arasında bir yerdedir ve t nin çok küçük olması istenmektedir.
Şimdi S(t+t) için Taylor serisini kullanarak bir yaklaşım yapalım:
S t  t   S t  
t
1!
S' t  
t 2 S' ' t   ...
2!
Yalnızca birinci mertbeden terimi almamız yeterli çünkü t çok küçük
13
S t  t   S t  
t
1!
S' t 
Buna göre aradığımız noktada seçtiğimiz S(t) fonksiyonunun sürekli ve en az birinci
mertebeden türetilebilir olması gerektiği görülüyor. Örnek fonksiyonumuz S(t) = exp( - t/ )
bu şartı rahatlıkla sağlıyor.
Şu halde:
P  A  B  lim
t 0
S t  t   S t  dS t 

  1   exp t  
t
dt
ifadesine ulaşırız. Böylece sistemimizin çalışır/çalışmaz durumu için S(t) nin değil S’(t) nin
değerini kullanmamız gerektiği sonucuna varmış bulunuyoruz. Şu halde genel olarak
Arıza/Kaza Fonksiyonu:
ht  
 S t  1   exp t  

1
S t 
exp t  
yazabiliriz.
Yukarıdaki çalışmamızı bir de şöyle özetleyelim.
Varsayalım ki bir sistem için beklenen ömür T ve başarısızlık oranı h(t) verilmiştir. Bir an için
h(t) nin zamana bağlı bir fonksiyon olduğunu düşünelim. Bu bilinen h(t) ve T değerlerini
kullanarak herhangibir t- değerine kadar sorunsuz çalıştığını varsaydığımız elimizdeki
problem için bir koşullu olasılık bağıntısını bir dt aralığı için yazalım:
ht dt  P t  T  t  dt / t  T  
P t  T  t  dt 
P t  T 
Bu ifadeyi f(t) ve F(t) fonksiyonları cinsinden yazılımı:
ht dt  P t  T  t  dt / t  T  
dF t 
f t dt
d
dt
 ht  
  log1  F t 
1  F t 
1  F t 
dt
İki tarafını integre edelim.
t

log1  F t    ht dt  c  1  F t   e c exp  
0



0 ht dt 
t
S(t) = 1 – F(t) fonksiyonu için S(t=0) = 1 şartımızı hatırlarsak sonuç:
t
S t   exp   ht dt 
 0


olacaktır.
14
Eğer bu paragrafta kabul ettiğimiz gibi h(t) zamana bağlı olmayan yani sabit bir değere
sahipse ve bu değeri h(t) = 1/ olarak belirtmişsek
S(t) = exp(-t/ ),  > 0 0  t  
ifadesine tekrar ulaşırız.
Bu basit dağılım fonksiyonu için bazı temel istatistik parametreleri hesaplayalım.
İstatistik Ortalama/Beklenen Değer:
Tanım gereği


E  f t   tf t dt  t 1   exp t  dt
0
0
Bu ifadede, u =t ve dv = (1/ )exp(-t/ ) yazarak kısım kısım integrasyon yardımı ile kolayca
Beklenen Değer: E[f(t)] = 
sonucuna ulaşırız.
Varyans/Değişkenlik ve Standart Sapma:
Yine tanım gereği ve benzer işlemlerle
E 2  f t  

0
t 2 f t dt 

2
2
0 t 1   exp t  dt  2
VAR f t   E 2  f t   E f t    2
2
Değişkenlik: VAR[f(t)] =  2
Standart Sapma: SD[f(t)] = {VAR[f(t)}] = 
elde ederiz.
POİSSON DAĞILIMLI ÖMÜR FONKSİYONU:
Yukarıdaki analizi tamamen aynı yolu izleyerek Poisson Dağılımlı Ömür Fonksiyonu için de
yapabiliriz. Ancak daha önce bir tanım yapmamız ve inceleyeceğimiz olayların özelliklerini
belirleyerek matematik ifadelere dönüştürmeliyiz.
POISSON OLAYLARI:
Özelliklerini sıralayacağımız olayları kolayca anlayabilmek için ‘müşteri bekleyen bir
dükkan’, topun kendisine gelmesini bekleyen bir sporcu’, ‘çağrı merkezinde telefon bekleyen
bir çalışan’ veya bu fikrin ilk kullanıldığı gerçek tarihi olaydaki gibi ‘ atların tekmesini
bekleyen askeri bir seyisi’ düşünebiliriz.
15

t = 0 anında hiçbir olay olmamıştır.

Zaman t = 0 dan itibaren t aralıklarına bölünmüştür. Bu zaman dilimleri
birbirinden ayrık ya da birbiri ile çakışık değildir.

Her t aralığında gerçekleşen olaylar birbirinden bağımsızdır fakat aynı dağılım
özelliğine sahiptir.

Bir t aralığında gerçekleşen olayların sayısı yalnızca t nin uzunluğuna bağlıdır.

Şimdilik t = st. kabul edeceğiz ve HOMOJEN POISSON OLAYLARI nı
inceleyeceğiz. İleride Gamma Dağılımını incelerken bu t = st. şartına gerek
olmayacak.
Artık matematik ifadeleri kurabiliriz. Bu amaçla t nin kesikli değerler aldığını unutmayarak
ve POISSON Dağılımının tanımında m = t yazarak
 e mmk

P  X  k   f k    k! , k  0 ,1,2 ,3 ,....

  0 , k  0 ,1,2 ,3 ,...
ifadesini
 e t t k

, k  0 ,1,2 ,3,....
P  X  k   f k   
k!

 0 , k  0 ,1,2 ,3,...

biçimine getirelim.
Üstel Dağılımla bu dağılım arasında bir ilişki kurmak istiyoruz. O halde, yukarıdaki
kabullerimize uygun olarak, zamanı sıfırdan başlatalım ve ilk arızaya kadar olan aralığı
düşünelim.
P T  t  0   P ( Olayyok  k  0 ) 
e  t t 
 e t
0!
0
Ancak bir t = T  t +t anında bir olay gerçekleştiğini düşünürsek:
P t  T   P İlkolay  k  1  1  P k  0   1  e  t
Bu sonuç bizi doğrudan POISSON Dağılımı (k=0,1) için Ömür Fonksiyonuna götürür:
S(t) = exp(-t), 0  t, k =1,2, ... 
Ancak bazı noktalara dikkat etmemiz lazım.
16
a. Öncelikle k = 0 ya da 1 kabullerinin gerekli olmadığını belirtmeliyiz. Çünkü POISSON
Dağılımının temel kabulleri nedeniyle her olay kendisinden önceki olaya (k = 0 ) göre
yeni bir olay (k = 1 ) dır. Bu nedenle yukarıdaki ifadede k = 1,2,3,... yazılmıştır. Öte
yandan k = 0 ve 1 kullanarak yaptığımız bu çalışma POISSON Dağılımının bir özel hali
olan GEOMETRİK Dağılımı tanımlamaktadır.
b. Aslında bu analizi az aşağıda Gamma Dağılımını incelerken yeniden yapacağız ve orada
herhangibir k değeri için yukarıdaki Ömür Fonksiyonunun nasıl değiştiğini göreceğiz.
c. Zaten az ileride Üstel Dağılımın HAFIZASIZLIK Özelliğini göstermek için kullandığımız
yöntemin POISSON (k=0,1) Dağılımı için de geçerli olduğunu, dolayısı ile (a) da
söylediklerimizin her k için geçerli olduğunu göstereceğiz.
Poisson Dağılımı için temel istatistik büyüklükleri de hatırlayalım.
Beklenen Değer: E[f(t)] = 
Değişkenlik: VAR[f(t)] = 
Standart Sapma: SD[f(t)] = VAR[f(t)] = 
Üstel/Poisson Dağılımlı Arıza/Kaza Fonksiyonlarının Hafızasızlık Özelliği:
Aslında bu özelliği yukarıda ispat ettik. Hatırlayalım:
Arıza/Kaza Fonksiyonu: ht  
 S t  1   exp t  

1
S t 
exp t  
ifadesi açıkça gösteriyor ki bir arızadan ikinciye geçerken sistemin özelliklerinde bir değişme
olmadığı varsayılıyor. Çünkü yeni işlemeye başlayan bir sistemle, örneğin, onuncu arızadan
sonra çalıştırılan aynı sistem için aynı (sabit) Arıza/Kaza Oranı  geçerli varsayılıyor. Diğer
sözlerle, örneğin. onuncu kazadan çıkmış bir sistem sanki yeni işlemeye başlamış bir sistem
gibi düşünülüyor.
Bu özelliği matematik olarak bir de şöyle gösterebiliriz.
Varsayalım ki bir sistem n inci (n = 0, 1, 2,...) arızadan sonra t>T için hala işlemektedir.
Yukarıda yaptığımız gibi, bu sistem için koşullu olasılık ifadesini olasılık dağılımını
üstel/Poisson olarak kabulederek yazalım. Arıza/Kazanın t>T den sonra fakat t+t den önce
gerçekleştiğini düşündüğümüze göre:
P t  T  t  t  / T  t  
exp t    exp t  t   
 1  exp t  
exp t  
buluruz. Açıkça görülüyor ki yeni Arıza/Kaza olasılığı t- değerine bağlı değildir fakat, belki
de onuncu arıza/kazadan sonraki, herhangibir t- anında çalışmakta olduğunu varsaydığımız
bu sistemin hangi t zamanı kadar çalışmasını beklediğimize yani t ye bağlıdır.
17
Yukarıda yaptıklarımızın hepsini POISSON (k=0,1) Dağılımı halinde de yapabileceğimiz
açıktır.
Önceki arıza/kazaların etkisini görmeyen (bu nedenle birçok olayda gerçekçi olmayan) bu
özelliğinden ötürü Üstel/Poisson dağılımlı Arıza/Kaza Fonksiyonlarına HAFIZASIZ
ARIZA/KAZA FONKSİYONLARI denilmektedir.
Yalnızca iki tane hafızasız Arıza/Kaza Dağılımı biliyoruz.

Sürekli Dağılımlar içinde Üstel Dağılım.

Süreksiz Dağılımlar içinde Geometrik Dağılım
18
ÜSTEL DAĞILIMLA İLGİLİ PROBLEMLER:
1. Bir iş makinasının imalatçısı, makinasının her gün, arızalanmadan, sürekli olarak 8 saat
çalıştırılabileceğini söylüyor. Bu makinanın Arızalanma Olasılığının üstel fonksiyonla
ifade edilebileceği kabul edildiğine göre:

Bu makina için S(t) ömür fonksiyonunu yazınız; h(t), f(t) ve F(t) fonksiyonlarını
belirleyihiz, grafiklerini çiziniz.
Ömür fonksiyonu S(t) = exp(-t) olduğunu hemen yazabiliriz. Bu makina için 8 saatlik
bir arızasız çalışma garantisi veriliyor. Şu halde bu makina için arızasız çalışma
Beklenen Değeri: E[f(t)] = 8 alınabilir. Bu durumda
E[f(t)] =  = 8  1/ = 1/8 = 0,125 ve
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu = f(t) = 0,125exp(-0,125t) , 0  t  
Olasılık Kütle Fonksiyonu F(t) = 1 – S(t) = 1 – exp(-0,125t) , 0  t  
Ömür Fonksiyonu = S(t) = exp(-0,125t)
Arıza/Kaza Fonksiyonu: ht  
 S t 
 1   0 ,125
S t 
olarak bulunur.

Bu makina için bulduğunuz fonsiyonların grafiğini çiziniz.
S(t)
h(t)
f(t)
F(t)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Bu grafikler şu ana kadar yaptıklarımız için iyi bir yorumlama fırsatı getiriyor.
Ömür Fonksiyonu ve Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 1/8 = 0,125 lik bir ölçek farkı ile
sabit bir sayıdan başlayarak sıfıra yaklaşıyor.
Kaza Fonksiyonu 1/8 = 0,125 değerinde sabit kalıyor.
Olasılık Kütle Fonksiyonu 0 dan başlayarak 1 e yaklaşıyor.
19

Bu makinanın arızasız olarak 4 saat ve 12 saat arızasız çalışabilme olasılıklarını
hesaplayınız.
P(tT = 4) = S(t=4) = exp(-0.125x4)  0,606
P(tT = 12) = S(t=12) = exp(-0.125x12)  0,223

Bu makinanın 6 saat çalıştıktan sonra bir 6 saat daha arızasız çalışma olasılığını
bulunuz. Koşullu bir olasılık problemi; o halde, üstel fonksiyonun özelliklerini
kullanarak, hemen sonucu bulabiliriz:
P(t>T=12/t>T=6) = exp(-0.125x12)/ exp(-0.125x6) = exp[-0.125x(12-6)]
P(t>T=12/t>T=6) = exp(-0.125x6)  0,472
20
2. Bir ülkede ortalama ömür 70 yıl olarak kabul ediliyor.

Yeni doğan bir bireyin 10, 20, ... 100 yaşına erişme olasılıklarını hesaplayınız ve
grafiğini çiziniz. Tabii burada tek bir arıza veya kazadan söz ediyoruz: ölüm.
Doğumla ölüm arasında geçmesi beklenen süre  = 70 yıl olarak verildiğine göre
Ömür fonksiyonu:
S(t) = exp[(-1/70)t] = exp(-0,015t)
olacaktır. Buna göre:
t
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
exp(-0.015t)
1
0,860708
0,740818
0,637628
0,548812
0,472367
0,40657
0,349938
0,301194
0,25924
0,201897
Tabloyu ve grafiği şöyle okuyabiliriz. Bugün doğan bebeklerin %86 sı 10 yaşına, %74
ü 20 yaşına ... %20 si 100 yaşına erişecek. Birazdan bu problemi daha gerçekçi hale
getireceğiz.

Aynı ülkede 200 yıl önce ortalama omür 50 yıl olarak tahmin ediliyor. Aynı soruyu
yukarıdaki şıkla karşılaştırarak yanıtlayınız.
t
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
exp(-0.015t)
1
0,860708
0,740818
0,637628
0,548812
0,472367
0,40657
0,349938
0,301194
0,25924
0,201897
exp(-0,02t)
1
0,818730753
0,670320046
0,548811636
0,449328964
0,367879441
0,301194212
0,246596964
0,201896518
0,165298888
0,135335283
21
3. Bir caddede trafik yoğunluğunu belirlemek amacı ile aynı yöne giden araçların sayımı
yapılıyor ve 24 saatlik süresde 360 aracın geçiş yaptığı belirleniyor.

İlk aşamada bu araçların eşit aralıklarla geçtiğini düşünerek Ömür fonksiyonunu
yazınız.
POİSSON DAĞILIMI halinde de, olayın süreksizliğini unutmadan, Ömür
Fonksiyonunun S(t) = exp(-t) olduğunu hemen yazabiliriz. Ancak şuna dikkat
etmaliyiz. Önceki problemde arızalar arasındaki süre verilirken burada geçen
araçların yani bir anlamda arızaların sayısı veriliyor. Bu caddeden 24 saat içinde 360
aracın eşit(!) zaman aralıklarında geçtiğini varsaydığımıza göre bir saatte geçecek
araba sayısı için  = 360/24 = 15 araç/saat alınabilir. Bu durumda
S(t) = exp(-15t)
olarak bulunur.

Bu caddeden, bir araç geçtiği andan itibaren, ikinci bir aracın 20 dakika, 30 dakika ve
2 saat içinde geçmeme olasılıklarını hesaplayınız.
S(t=20/60  0.33) = exp(-15x0,33)  0,007
S(t=30/60  0.5) = exp(-15x0,5)  5,53x10-4
S(t=2) = exp(-15x2)  9x10-14
Görüldüğü gibi, yukarıdaki problemle karşılaştırınca, bu problemde araç geçmesi
sanki bir arızaya tekabül ediyor.

Şimdi aynı süreler için tersini soralım. 20, 30 dakika ve 2 saat içinde yeni bir aracın
geçme olasılığı nedir?
Olasılıklar toplamı 1 olacağına göre yanıt basittir.
1 - S(t= 0.33) = 1 - 0,007 = 0,993
1 - S(t= 0.5) = 1 - 5,53x10-4  1
1 - S(t=2) = 1 - 9x10-14  1

.
0  t  60 dakika için, 5 dakika aralarla 1 – S(t) diyagramını çiziniz
1-EXP(-15T)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
5
10
15
20
25
22
30
35
40
45
50
55
60
4. Gerçek hayatta Beklenen Değer/İstatistik Ortalama, yukarıdaki problemlerde olduğu gibi,
baştan verilemez. Bir makinaya 8 saatlik çalışma garantisi vermek imalatçının senelerce
uğraştıktan sonra yapabileceği birşeydir. Benzer şekilde, ve ikinci problemde işaret
edildiği gibi Beklenen Ömür tahmini, İstatistikçilerin senelerine mal olmuş çalışmaların
sonucudur. Şimdi biraz daha gerçeğe benzeyen –hayali- bir problem çözelim.
Ekonomik zorluklar içerisindeki bir ülkenin para biriminin bir gram altının, aynı para
birimi cinsinden, değerine oranı 12 ay boyunca aşağıdaki tabloda verildiği gibi
değişmiştir.
Ay
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,85 0,70 0,65 0,57 0,40 0,34 0,30 0,28 0,26 0,25 0,25
Bu değişimin üstel dağılımla uyumlu olduğunu varsayarak(!) bu olaydan birbirinden
tamamen farklı iki problem çıkarabiliriz.

Bu ülkenin para biriminin önümüzdeki aylar içinde nasıl değişeceğini araştırabiliriz.
Kuşkusuz bu bir Olasılık problemi değildir ve incelememizin dışında kalmaktadır.
Ancak Olasılık problemi ile sıkça karıştırıldığı için ve farknıı belirginleştirmek amacı
ile bir çözümü verilecektir. Bu, açıkça bir Eğri Uydurma problemidir ve değişimin
gerçekten bir üstel değişim olduğu kabulü ile
Gerçek Değişimin Yaklaşımı = exp[-0,175604(1-t)]
gibi bir ifadeyle bir çözüm elde edilebilir. Aşağıda bu çözümün tablosu ve grafiği
verilmiştir.
Gerçek
Değer
Ay
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
0,85
0,7
0,65
0,57
0,4
0,34
0,3
0,28
0,26
0,25
0,25
G.D.Yaklaş.
1
0,83895
0,703837
0,590484
0,495387
0,415605
0,348672
0,292518
0,245408
0,205885
0,172728
0,14491
Aslında burada incelediğimiz problemle doğrudan ilgisi olmayan bu sonucun fena bir
yaklaşım olmadığı tablodan ve grafikten görülmektedir.
Tekrar belirtelim yukarıdaki tablo ya da grafik olasılık hesaplamamaktadır. Sadece
para birimi değerinin 1 gram altına göre nasıl değişeceğini tahmin eden bir
matematik ifade belirlemektedir. Şimdi buradan, sanki bu problemi çözmemişiz gibi
davranarak, bir olasılık problemi çıkaralım.
23

Bu para birimi için 1 gram altına eşit kalma olasılığını tahmin eden ve Üstel olduğu
kabul edilen Ömür Fonksiyonu yaklaşımını yazınız ve gerçek değerle birlikte grafiğini
çiziniz.
Bu problem bir kesikli olasılık (yani bir Poisson) dağılımıdır. Gerçek değerin
ortalamasını (Beklenen Değeri) bulmalıyız ve bu değeri  olarak kabul etmeliyiz.
Aşağıdaki tabloda bu işlem özetlenmiş ve bulunan   0,4875.. değeri ile grafikler
çizilmiştir. Bu problem için Ömür Fonksiyonu
S(t) = exp[(1-t)*0,4875...],
0 < t = 1,2,..
biçiminde yazilabilir.
Gerçek
Değer
Ay
1
0,85
0,7
0,65
0,57
0,4
1
0,61416
0,377192
0,231656
0,142274
0,087379
7
8
9
10
11
12
0,34
0,3
0,28
0,26
0,25
0,25
0,4875
0,053665
0,032959
0,020242
0,012432
0,007635
0,004689
G.D.Ortal.

Olasılık
1
2
3
4
5
6
Bu ülke para biriminin bir gram altın değerinde kalma olasılığını t = 5, 10, 15 için
hesaplayınız.
S(t=5) = exp[(1-5)*0.4875..] = 0,14227
S(t=10) = exp[(1-10)*0.4875..] = 0,012432
S(t=15) = exp[(1-15)*0.4875..] = 0.001086

Aynı para biriminin 4,5 ay sonra 1 gram altına eşit kalma olasılığını hesaplayınız.
Yukarıda da belirtildiği gibi t = 4,5 için ömür fonksiyonunu kullanmaya hakkımız yok.
Yapabileceğimiz en iyi şey S(t=4) ve S(t=5) değerleri arasında bir enterpolasyon
uygulamaktır. En basit enterpolasyon olan ortalama almak yolu ile soruya yanıt
verelim.
S t  4 ,5  
S t  4   S t  5  0,231656  0,142274

 0,186965
2
2
24
5. Bir sekreter çalan telefona ortalama 2 saniye içinde cevap vermektedir.

Telefona en çok 10 saniye içinde cevap verme olasılığını bulunuz.
 = 2 verilmiş; o halde 1/ = 0,5 F(t;0,5) = 1 - exp(-0,5t)
t = T = 10 verilmiş; o halde
P(t  T = 10) = 1 - exp(-0,5*10) = 1 – e-5  0,9932
Bu sonuçla şu soruya da cevap verebiliriz. 10 saniye içinde cevap vermeme olasılığını
bulunuz
P(t > T = 10) = exp(-0,5*10)  0,0067

Bu sekreterin telefona 3 ila 5 saniye arasında cevap verme olasılığını bulunuz.
P(3  t  5) = P(t  T = 5) - P(t  T = 3) = [1 - exp(-0,5*5)] – [1 - exp(-0,5*3)]
P(3  t  5) = exp(-0,5*3) - exp(-0,5*5) = 0,223 - 0,082 = 0,141

Bu sekreterin telefon performansı ile ilgili Ömür ve Başarısızlık Fonksiyonlarını
yazınız.
Tanımları kullanarak hemen:
f(t) = (1/)exp(-t/) = 0,5exp(-0,5t) F(t) = 1 - exp(-0,5t)
Ömür Fonksiyonu S(t) = 1 – F(t) = exp(-0,5t) h(t) = f(t)/F(t) = 0,5

Aynı numaralı telefona, iki ayrı cihazla, cevap verebilen ve özellikleri yukarıdakine
eşit iki sekreter olması halinde telefon performansının Ömür Fonksiyonunu yazınız.
Bu fonksiyonu kullanarak P(t  T = 10) değerini yeniden hesaplayınız.
Sekreterlerin paralel çalıştıklarını düşünebiliriz; n = 2 için paralel sistem halinde,
Ömür Fonksiyonunun, yukarıdaki bir sekreterlik halini S*(t) ile ve iki sekreterin
birlikte çalışması halini S(t) ile göstererek:
S(t) = 1 - [1 – S*(t)] n = 1 - [1 – S*(t)] 2 = S*(t)2 – 2S*(t) = [exp(-0,5t)] 2 – 2*exp(-0,5t)
biçiminde hemen yazabiliriz.
P(t > T = 10) = S(t=10) = 1 – { [exp(-0,5*10)] 2– 2*exp(-0,5t)}
P(t > T = 10) = 1 - { 4,53999E-05 -2*0,0067} = 0,013430494
P(t  T = 10) = 0,986569506
25
6. Bir futbol takımının kalecisi genelde kaleyi bulan 7 şuttan 6 sını kurtarabilmektedir. Yani
ortalama olarak 1/7  0,15 düzeyinde ‘arıza’ yapmaktadır. Ancak maçın başlangıcındaki
‘soğuk’ dönemde başarısızlık (arıza) oranının 1 den 0,15 düzeyine h(t)=exp(-0,2t)
formülüne uygun olarak ulaştığı gözlemlenmiştir.

0  t  10 aralığını t = 1 aralığı ile inceleyiniz. Bu bölge için Ömür Fonksiyonunu
yazınız.
Belirtilen bölge için hesap yaparak grafik çizelim.
h(t)=exp(0,2t)
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0,8187308
0,67032
0,5488116
0,449329
0,3678794
0,3011942
0,246597
0,2018965
0,1652989
0,1353353
h(t) = exp(-0,2t) verildiğine göre
t
t
 1
exp 0 ,2t   1
S t   exp h t dt   exp exp(-0,2t) dt   exp
 0

 0

 0 ,2



sonucunu hemen yazabiliyoruz. Üstel fonksiyonun üstel fonksiyonu alınarak belirlenen
bir Ömür Fonksiyonu bulduk, Son yıllarda bilimsel literatürde üstünde önemle
durulan bu ‘Üstüstel’ Ömür Fonksiyonları bu makalenin sınırları dışında kaldığı için
konuyu burada bırakacağız.

Biz yine kalecimize dönelim ve artık  = 7  1/ = 0,15 değerini kullanarak bu
kaleci için f, F, S ve h eğrilerini çizelim.
f(t:0,15) = 0,15exp(-0,15t),
F(t;0,15) = 1 – exp(-0,15t),
h(t;0,15) =  = 0,15 = f(t;0,15)/S(t;0,15)
S(t;0,15) = 1- F(t;0,15) = exp(-0,15t),
t
10
20
30
40
50
60
70
80
90
f(t;0,15)
0,03347
0,007468
0,001666
0,000372
8,3E-05
1,85E-05
4,13E-06
9,22E-07
2,06E-07
F(t;0,15)
S(t;0,15)
0,77687
0,950213
0,988891
0,997521
0,999447
0,999877
0,999972
0,999994
0,999999
0,22313
0,049787
0,011109
0,002479
0,000553
0,000123
2,75E-05
6,14E-06
1,37E-06
26
h(t;0,15)
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
Tablodaki son sütun h(t) = f(t)/S(t) şeklinde kontrol amaçlı hesaplanmıştır.
Büyüklükleri dolayısı ile ilgili eğrileri iki ayrı grafikte göstereceğiz.

Kalecimizin sportif karakteristiğini sürekli bir fonksiyonla yani Üstel Fonksiyonla
belirtmemiz doğaldır. Öte yandan kalede top bekleyen kalecinin oyundaki durumu tam
bir POISSON Olayı örneğidir. Çünkü maç boyunca rakip takımın bütün
oyuncularından ve bazen kendi takımının bazı oyuncularından, herhangi anlarda
gelebilecek şutları beklemek durumundadır. Şu halde kalecinin top yakalama işlevi
süreksiz (kesikli) bir olaydır. Şimdi bir maçta kaleye 40 top gönderildiğini varsayalım
ve bunu POISSON Dağılımı ile ifade edelim.
 = 40/90 = 0,44 S(t) = exp(-0,44t), 10  t  90
Sorumuzu sormadan önce bir noktaya daha dikkat çekelim. Kaleye top gönderen
oyuncu ile kaleci, bir sistemin, seri bağlanmış iki elemanı gibi çalışmaktadır. Çünkü
kimse kaleye top göndermezse kaleci bir işe yaramaz; ya da kaleci gelen topların
tümünü yakalarsa top göndermenin anlamı olmaz.
Şimdi sorumuzu soralım: Kalecimizin gol yeme olasılığı ne kadardır?
Yukarıda seri bağlılık için basit bir analiz yapmıştık. Hemen uygulayalım.
S(t) = P(T>t) = S1(t) S2(t) = [exp(-0,15t)][ exp(-0,44t)]
Örneğin 40.ncı dakikadan sonra kalecimizin ‘arıza’ yapma yani gol yeme olasılığı:
S(40) = P(T>40) = [exp(-0,15*40)][ exp(-0,44*40)] = 0,0025* 2,3*10-8 = 5,6*10-11
olacaktır.
27
NORMAL DAĞILIMLI ÖMÜR FONKSİYONU:
Ömür Fonksiynu olarak kullanıldığında Normal Dağılım veya Lognormal Dağılım, gerçek
problemleri incelemede pek başarılı değil. Bazı toplumsal araştırmalar ya da çok sayıda
bileşeni olan sistemlerin Arıza/Kaza Problemlerinin incelenmesinde kısıtlı bir kullanım
alanları var.
Yine de kısaca ele alalım.
Öncelikle temel fonksiyonlarımızı yazalım.
Normal Dağılımla ilgili Olasılık Yoğunluk ve Kütle Fonksiyonları şöyle verilmişti.
: İstatistik Ortalama ya da Beklenen Değer
: Standart Sapma
değerlerini göstermek üzere:
 t   2 
f t ;  ,   
exp  
 t  R,  t  
2 2 
 2

1
F t :  ,   
1
 t    
1  erf 


2
  2 
t  R,  t  
Bu bölümde incelediğimiz iki fonksiyon, bu ifadeleri kullanarak şöyle yazılabilir.
Ömür Fonksiyonu : S(t) = 1 – F(t)
Başarısızlık Oranı: h(t) = f(t)/S(t)
Normal Dağılımla ilgili çalışmamızdan biliyoruz ki F için kapalı bir formülümüz yok ve onu
sayısal değeri verilmiş her  ve  için nokta nokta hesaplamak zorundayız. Bu yüzden Ömür
Fonksiyonunu ya da Başarısızlık Oranını ancak ukarıdaki biçimde yazabiliyoruz.
Şimdi bu fonksiyonları gözümüzde canlandırabilmek için keyfi olarak  = 6,  = 4
değerlerini seçelim ve, örneğin 0  t  20 için tablolarını hazırlayarak grafiklerini çizelim.
28
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
f(t:6,4)
F(t:6,4)
S(t)
h(t)
0,032379
0,045662
0,060493
0,075284
0,088016
0,096667
0,099736
0,096667
0,088016
0,075284
0,060493
0,045662
0,032379
0,021569
0,013498
0,007935
0,004382
0,002273
0,001108
0,000507
0,000218
0,066807201
0,105649774
0,158655254
0,226627352
0,308537539
0,401293674
0,5
0,598706326
0,691462461
0,773372648
0,841344746
0,894350226
0,933192799
0,959940843
0,977249868
0,987775527
0,993790335
0,997020237
0,998650102
0,999422975
0,999767371
0,933193
0,89435
0,841345
0,773373
0,691462
0,598706
0,5
0,401294
0,308538
0,226627
0,158655
0,10565
0,066807
0,040059
0,02275
0,012224
0,00621
0,00298
0,00135
0,000577
0,000233
0,034697
0,051056
0,0719
0,097346
0,12729
0,16146
0,199471
0,240888
0,285269
0,332194
0,381284
0,432204
0,484669
0,538437
0,593304
0,649101
0,705686
0,762943
0,820775
0,879099
0,937848
S(t)
h(t)
f(t:6,4)
F(t:6,4)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Bu grafiği önceki paragrafta verdiğimiz Üstel Dağılımlı Olasılık grafiği ile karşılaştırırsak
bazı ilginç farklar görürüz. Bunları kısaca özetleyelim.
 t = 0 anında Üstel Dağılımlı Ömür Fonksiyonu tam 1 değerini alırken Normal
Dağılım halinde bu değer 1 den küçük. Bunu şöyle yorumlayabiliriz. Yeni
oluşturulmuş ya da imal edilmiş bir sistemin ‘çalışır’ olması olasılığı Normal Dağılım
kabul edildiğinde 1 den küçük. Diğer sözlerle, yukarıdaki örneğe göre, fabrikadan
yeni çıkan 100 üründen ancak 93 tanesi mutlaka ‘çalışır’ olacaktır.
 t > 0 için Üstel Dağılım halinde h(t) değeri t = 0 daki değerine eşit kalırken Normal
Dağılım halinde bu değerin hızla büyüdüğü görülmektedir. Buna göre Üstel Dağılım
29
halinde yeni ya da onarılmış (veya çalıştırılmış) sistemlerin farkı yoktur. Normal
Dağılım halinde ise onarılmış (veya çalıştırılmış) şiştemler için Arıza/Kaza oranı hızla
büyümektedir.
 t > 0 için t- büyüdükçe her iki dağılım halinde de f(t)  0, F(t) 1 ve S(t)  0
değerlerine yaklaşılmaktadır. Ancak h(t) değeri Üstel Dağılım halinde sabit olduğu
fakat Normal Dağılım halinde hızla arttığı için Normal Dağılımda S(t)  0 daha
çabuk gerçekleşmektedir.
İlk bakışta Normal Dağılım kabulünün daha gerçekçi olduğu görülüyor. Ancak sayısal
uygulanalarda Normal Dağılımın da yetersiz kaldığı ortaya çıkınca çok daha karmaşık ve
ilginç Dağılım Fonksiyonlarına ihtiyaç duyulmuştur. Aşağıdaki paragraflarda bunlardan
bazılarını inceleyeceğiz.
30
NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ PROBLEMLER:
1. Bir kentte her ay kent sorunlarını tartışmak ve kararlaştırmak amacı ile toplantılar
yapılıyor. Toplantıya katılanların sayısı 100 kişi ve biliniyor ki tartışılan konu ne olursa
olsun ortalama 40 kişi ileri sürülen önerilere itiraz ediyor. Normal Dağılıma uygun
değiştiği kabul edilen itirazcı sayısının standart sapması 15.
Şıklara geçmezden önce şunu belirtelim. Bir toplantıda ileri sürülen teklife itiraz etmekle
aleyhinde oy kullanmak mutlaka birebir eşleştirilemez. Diğer sözlerle bireyler hiç
hoşlanmadıklarını beyan ettikleri bir öneriye ‘kerhen’ olumlu oy verebilirler veya çok
beğendikleri bir öneri için aleyhte oy kullanabilirler. Politika dünyasının neşesi işte.

Toplantı ile ilgili Ömür (Karar) Fonksiyonunu ve Başarısızlık Oranını yazınız,
grafiklerini çiziniz.
Herhangibir karara itiraz edenlerin sayısını, zamana doğrudan bağımlı olmadığı için,
x- ile gösterelim. Normal Dağılım sözkonusu olduğu için 0  x  100 için  =40 ve
 = 15 değerlerini kullanarak f(x:40,15) ve F(x:40,15) tablo ve grafiklerini nokta
nokta çizdikten sonra
S(x) = 1 – F(x) ve h(x) = f(x)/S(x)
formüllerini kullanarak tablo ve grafiklerimizi, aşağıdaki gibi, hazırlayabiliriz.
X
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
f(x:40,15)
F(x:40,15)
S(x)
h(x)
0,00076
0,003599
0,010934
0,021297
0,026596
0,021297
0,010934
0,003599
0,00076
0,000103
8,92E-06
0,003830381
0,022750132
0,09121122
0,252492538
0,5
0,747507462
0,90878878
0,977249868
0,996169619
0,99957094
0,999968329
0,99617
0,97725
0,908789
0,747507
0,5
0,252493
0,091211
0,02275
0,00383
0,000429
3,17E-05
0,000763
0,003683
0,012031
0,02849
0,053192
0,084345
0,119876
0,158214
0,198344
0,239637
0,281707
f(x:40,15)
F(x:40,15)
S(x)
h(x)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
10
20
30
40
31
50
60
70
80
90
100

Bulduğunuz sonuçları yorumlayın.
Yukarıda yaptığımız işlem sadece formülleri yazmak ve hesaplamaktan ibaret. Şimdi
bulduklarımızın anlamını açıklamaya çalışalım. Tablodaki satırlara göre devam
edelim.
x = 0 ise yani ortadaki teklife hiç kimse itiraz etmemişse teklifin ret olasılığı
F(x=0:40,15) = 0,003830381 ve kabul olasılığı S(x=0) = 1 – F = 0,99617,
başarısızlık olasılığı h(x=0) = 0,000763. İlginç bir sonuç. Teklife kimse itiraz etmiyor.
Ama ret edilme olasılığı küçük fakat sıfır değil. Tabii bunun iki sebebi olabilir:
birincisi yukarıda belirttğimiz gibi oy verme ve itiraz etme birebir eş olmayabilir.
Bizim açımızdan ikinci sebep daha önemli ve yaptığımız Normal Dağılım kabulünün
sonucu. Eğe bu analizi Üstel Dağılım kabulü ile yapsaydık sıfır itiraz tam da sıfır
olumsuz oy demek olacaktı.
x = 40 halini alalım. Yine ilginç bir sonuç. F(x=40:40,15) = 0,5 ve kabul olasılığı
S(x=40) = 1 – F = 0,5, başarısızlık olasılığı h(x=0) = 0,053192. Yüz kişilik bir
toplantıda önerilen karara 40 kişinin itiraz etmesi halinde, Normal Dağılım kabulü
altında, kararın kabul ya da reddi olasılığı eşit!
x = 100: ise toplantıya katılan herkesin öneriye itiraz ettiğini düşünüyoruz ve önerinin
ret olasılığı F = 0,999968329, kabul olasılığı S = 0,0000316709.
32
2.
Bir otobüs şirketi 40 kişilik otobüslerle şehirler arası çalışmaktadır. Yolcu sayısının
Normal Dağılıma uygun değiştiği varsayılan otobüslerin ortalama doluluk oranı 30,
standart sapması 8 dir.

Bu şirketle ilgili Ömür Fonksiyonunu ve Başarısızlık Oranını, bir otobüs için, yazınız
ve grafiklerini çiziniz.
Önceki problemde izlediğimiz yoldan giderek tablo ve grafiklerimiz aşağıdaki gibi
bulunabilir.
x
0
5
10
15
20
25
30
35
40
f(x:30,8)
F(x:30,8)
S(x)
h(x)
4,41E-05
0,000378
0,002191
0,008598
0,022831
0,04102
0,049868
0,04102
0,022831
8,84173E-05
0,000889025
0,006209665
0,030396362
0,105649774
0,265985529
0,5
0,734014471
0,894350226
0,999912
0,999111
0,99379
0,969604
0,89435
0,734014
0,5
0,265986
0,10565
4,40784E-05
0,000378118
0,002204728
0,008867834
0,025528182
0,055884622
0,09973557
0,154219371
0,216102078
f(x:30,8)
F(x:30,8)
S(x)
h(x)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0

5
10
15
20
25
30
35
40
Bu tablo ve grafiği yorumlayınız.
Otobüsümüz 40 kişilik olduğu için tablo ve grafiğimizi 0  x  40 arasında çizdik.
Tablo ve grafiğimiz ilginç.
x  30 değerine kadar Ömür Fonksiyonu S(x)  0.5 değerini alıyor.
x = 40 içinse S(x) = 0,10 oluyor.
Şu halde, bu problem için, S(x) Ömür Fonksiyonu Otobüsün kalkmama olasılığını ya
da kalkış saati belli olan bir otobüste yer bulma olasılığını gösteriyor. Örneğin 25 kişi
bilet aldıktan sonra otobüsün kalkmama olasılığı veya bilet bulma olasılığı 0,73
olarak görünüyor.
33
3. Bir akarsu debisi bir yıl boyunca ölçülüyor. Sonuçlar100m3 lük veriler haline getirildikten
sonra Aylık Ortalama Debi ve Standart Sapma hesaplanarak, aşağıdaki gibi,
tablolanıyor.
DEBİ
M^3/SN
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ort.D.

debi/100m^3
211
2,11
381
3,81
583
5,83
723
7,23
662
6,62
585
5,85
503
5,03
437
4,37
352
3,52
285
2,85
190
1,9
132
1,32
420,3333 4,203333333
St.S.
1,860194136
Değişk.
3,460322222
Tabloya uygun Normal Dağılım için f,F,S,h fonksiyonlarını yazarak grafiklerini
çiziniz.
Tablonun alt satırlarında verilen değerlerden bulunan Ortalama Değer ve Standart
Sapma yazılmıştır. Bunları tanımlarda yerine koyarak ve normal dağılım için f ve F
yerine n ve N harflerini kullanarak:
nt ;  ,   
 t  4 ,2 2 
 t  4.2   
1

 


exp  
N
t
:

,


1

erf
,


2
2
1,9 2
 21,9  
 1,9 2  
1
S=1–N,
t
debi/100m^3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2,11
3,81
5,83
7,23
6,62
5,85
5,03
4,37
3,52
2,85
1,9
1,32
h=n/S
n(t;4,2,1,9)*10
N(t;4,2,1,9)
S(t;4,2,1,9)
h(t;4,2,1,9)
0,508398406
1,074045718
1,720038527
2,088095711
1,921584324
1,340495352
0,708872285
0,284162982
0,086350295
0,019891016
0,003473337
0,000459763
0,046070495
0,123453498
0,263831023
0,458083498
0,663141675
0,828274462
0,929716682
0,977249868
0,994236709
0,998865779
0,99982751
0,999979807
0,953929505
0,876546502
0,736168977
0,541916502
0,336858325
0,171725538
0,070283318
0,022750132
0,005763291
0,001134221
0,00017249
2,01927E-05
0,053295176
0,122531516
0,233647244
0,385316871
0,570442878
0,780603377
1,008592515
1,249060807
1,498281019
1,753715645
2,013640043
2,276870779
Grafiklerde kaybolmaması için n yerine 10*n değeri kullanılmıştır.
34
debi/100m^3
S(t;4,2,1,9)
n(t;4,2,1,9)*10
h(t;4,2,1,9)
N(t;4,2,1,9)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Grafiğe baktığımız zaman (n ile gösterilen) Normal Dağılım Yoğunluk Fonksiyonunun
yıllık debi dağılımını oldukça iyi izlediğini görüyoruz. Tabii grafikte 1 den büyük
değerler alıyormuş gibi görünmesi n yerine 10*n almamızdan kaynaklanıyor. S,
beklediğimiz gibi 9. ncu aydan sonra hızla sıfıra yaklaşıyor. Buna karşılık gittikçe
büyüyen bir Başarısızlık Oranı (h) görüyoruz.
35
4. Yukarıdaki (3.ncü) problemi zamana göre değil fakat akarsuyun debisini esas alarak
çözünüz.

Verilen dağılımın ortalaması ve standart sapması değişmez. Sadece serbest
değişkenimizin t- değil fakat d- ile göstereceğimiz debi olması gerekir. Buna göre
fonksiyonlarımızı yeniden hesaplayarak grafiklerimizi çizebiliriz.
nt ;  ,   
 t  4 ,2 2 
 t  4.2   
1
 
, N t :  ,    1  erf 
exp  
2 
2
1,9 2
 21,9  
 1,9 2  
1
S=1–N,
debi
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
h=n/S
n(d;420,186)*100
N(d;420,186)
S(d;420,186)
0,016756941
0,029656693
0,048827827
0,074787462
0,106563114
0,141254314
0,174186003
0,199821171
0,213248733
0,211713294
0,195535904
0,168004769
0,13428683
0,09985319
0,069072819
0,04444973
0,011970819
0,023336956
0,042677144
0,073304634
0,118445063
0,180364073
0,259411334
0,353330554
0,4571855
0,564067628
0,666441287
0,757700465
0,833413366
0,891874601
0,933886326
0,961984429
0,988029181
0,976663044
0,957322856
0,926695366
0,881554937
0,819635927
0,740588666
0,646669446
0,5428145
0,435932372
0,333558713
0,242299535
0,166586634
0,108125399
0,066113674
0,038015571
n(d;420,186)*100
S(d;420,186)
h(d;420,186)*100
0,01696
0,030365
0,051005
0,080703
0,120881
0,172338
0,235199
0,309
0,392857
0,485656
0,586211
0,693376
0,806108
0,923494
1,044758
1,169251
N(d;420,186)
h(d;420,186)*100
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750
Bu akarsuyun debisinin sıfırdan büyük olma olasılığını bulunuz.
36
Debinin sıfırdan büyük olma olasılığı yani akarsuyumuzda su bulunma olasılığı:
P(d > 0) = S(d = 0) = 0,98
Tabii akarsunun kuruma olasılığı da P(d = 0) = 1 – 0,98 = 0,02 olacaktır.

Bu akarsuyun her zaman en az 200m3 su sağlama olasılığını bulunuz.
P(d > 200) = S(d = 200) = 0,88
Tabii 200m3 ten az su sağlama olasılığı da P(d < 200) = 1 – 0,88 = 0,12 olur.
37
WEİBULL DAĞILIMLI ÖMÜR FONKSİYONU:
Bu paragrafta, en çok kullanılan Ömür Fonksiyonlarından biri olan WEİBULL dağılımlı
Ömür Fonksiyonunu inceleyeceğiz. WEİBULL Dağılımının ilginç bir hikayesi var. WEİBULL
çalışmasını önce ünlü bir İstatistik dergisine göndermiş ve ‘ilginç ama yararsız’ denilerek
yayımlanması reddedilmiş. Sonra ‘Bilmemneredeki erkeklerin boylarının dağılımı’, ‘Bezelye
tanelerinin boyutlarının dağılımı’, ‘Çeliğin Akma Noktası dağılımı’ gibi örneklerle ASME
(Amerikan Makina Mühendisleri Dergisi) ye göndermiş. Bu dergide yayım tarihi olan 1951
den günümüze WEİBULL Dağılımı ile ilgili çalışmaların sayısı binlerceye ulaşmış durumda!
Yukarıdaki paragraflarda şunu görmüştük: Başarısızlık Oranı h(t) üstel dağılım halinde sabit
bir değerde kalırken, normal dağılımda sürekli artıyordu. İşte WEİBULL dağılımının en
önemli yararı bazı parametreler için azalan, sabit kalan ve artan h(t) değerleri bulmamıza
olanak sağlamasıdır.
Bu amaca ulaşmak için WEİBULL Dağılımında, Üstel dağılımda bir sabitten ibaret olan 
(t) = ()t( - 1)
biçiminde iki parametreli bir fonksiyon olarak tanımlanır. Böylece tanımlanan (t) nin


 < 1 için (t) azalan ve
 > 1 için (t) artan
bir fonksiyon olduğu hemen görülüyor.
WEİBULL Dağılımını aşağıdaki gibi tanımlamıştık (Bkz. Özel Dağılımlar).
Şimdi tanımımızı tekrar verelim;  > 0 ve  > 0 sabit ve gerçel sayılar olmak üzere:.


  t  1 exp  t  ,   0 ,   0 , t  0
f t ;  ,    
 0, t  0

Bu çalışmada, yukarıdaki tanımda  
1

ve t 
t

yazılarak elde edilen
    t     1 
  t  
   
exp      ,  0 ,   0 , t  0
f t ; ,        
    

 0, t  0

tanımını kullanacağız. Görüldüğü gibi iki ( ve  ) parametreli bir olasılık dağılımı
sözkonusu.
Aslında WEIBULL Dağılımının biraz daha genel bir biçimi:

1

ve
38
t
t 

koyarak şöyle yazılabilir.
 
 t  
 

f t , ,  ,     

 




 1
  t     
t  0 veya 
exp   
 , 
      ve  0 ,    
 0, t  0
Bu ise üç parametreli bir dağılımdır. Bu parametreler genellikle şöyle adlandırılır:



 : Biçim parametresi veya bazen WEİBULL eğimi
 : Ölçek parametresi
 : Zaman(t-) ekseninde yer belirleyici
Aşağıdaki çalışmamızda daha çok iki parametreli ve f(t;, ) biçiminde yazılmış ikinci
ifadeyi kullanacağız.
Bu iki ifadeden ilkinde  =1 aldığımızı düşünelim:

  t 
1
 1
 exp t     exp     ,    0 ,   1, t  0
f t ; ,    

 
   

 0, t  0

bağıntısını elde ederiz ki, açıkça görüldüğü gibi bu, Üstel Dağılım fonksiyonudur. Şu halde
WEİBULL Dağılımı Üstel Dağılımın genelleştirilmiş bir biçimidir.
İki parametreli hal için Olasılık Yoğunluk Fonksiyonunu yeniden yazalım ve Olasılık Kütle
Fonksiyonunu hesaplayalım.
   t 
f t ; ,      
    
   1
  t  
exp     
    

F t ; ,     f t ; ,  dt  
0

t
t
0 t
 1
  t  
exp      dt
    
Bu integrasyon işleminde t = u yazarsak  t-1 = du/dt veya du =  t-1dt elde ederiz. Bunu
yerine koyduğumuzda integralimiz:
F t ; ,   
1

 u
exp  
0
 

t

 u
du   exp  

 
t

 t
  1  exp  
 
0
 t
F t ; ,    1  exp  
 
39


biçiminde elde edilmiş olur.
Daha ileri gitmeden önce WEİBULL Dağılımının bazı  ve  değerleri için grafiklerini
çizelim.
t
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
f(t;1,0,5)
f(t;1,1)
0
0,348652
0,18394
0,119957
0,085955
0,065061
0,051073
0
0,60653066
0,367879441
0,22313016
0,135335283
0,082084999
0,049787068
f(t;1,0,5)
f(t;1,1)
f(t;1,3)
f(t;1,7)
0
0
0,661873 0,108523837
1,103638 2,575156088
0,230972 3,02913E-06
0,004026 1,15235E-53
3,07E-06 1,4468E-262
5,07E-11
0
f(t;1,3)
f(t;1,7)
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,5
t
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
1
1,5
F(t;1,0,5)
F(t;1,1)
0
0,506931
0,632121
0,706167
0,756883
0,794259
0,823079
0
0,39346934
0,632120559
0,77686984
0,864664717
0,917915001
0,950212932
F(t;1,0,5)
F(t;1,1)
2
F(t;1,3)
2,5
3
F(t;1,7)
0
0
0,117503 0,007782062
0,632121 0,632120559
0,965782 0,999999962
0,999665
1
1
1
1
1
F(t;1,3)
F(t;1,7)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,5
1
1,5
40
2
2,5
3
Grafiklere baktığımızda F(t;, ) eğrisinin t < 1 bölgesinde   1 için dışbükey fakat  > 1
için içbükey bir biçim aldığını kabaca gözlemliyoruz. Diğer sözlerle t = 0 civarında F(t;, )
eğrisinin eğimi  ya bağlı olarak hızla değişmektedir ve bu nedenle  için bazen WEIBULL
Eğimi tabiri kullanılmaktadır. Bu özelliğin Başarısızlık Oranı üzerindeki etkisini birazdan
göreceğiz. Ayrıca  > 1 için F(t;, ) eğrisinin kazandığı ‘S’ biçimi bu dağılımın
karakteristik özelliklerinden biridir.
Şimdi WEIBULL Dağılımının bazı istatistik özelliklerini anımsayalım.
İstatistik Ortalama (Beklenen Değer):

E  f t ; ,     tf t ; ,  dt  
0



0
  t  
t exp      dt
    

Bu integrali hesaplamak için  fonksiyonunun tanımını hatırlamalıyız.

     t   1e  t dt
0
İntegralde u = t ve du = t-1dt bağıntılarını kullanarak işlemleri yaparsak:
E  f t ; ,     ( 1 
1

)
sonucuna ulaşırız.
Varyans (Değişkenlik):
Tamamen yukarıdaki gibi integrasyonda u = t ve du = t-1dt bağıntılarını kullanarak ve
aşağıdaki ifadedeki şşlemleri yaparak:
V  f t ; ,   

0

t f t ; ,  dt  

2

0 t
 1
  t  
2
exp      dt   1  1 /  
    
2
 
2  
1  
V  f t ; ,        1      1    
  
  
 


2
sonucuna ulaşırız.
WEIBULL Dağılımının, belki de, en kullanışsız yanı bu son iki bağıntıdır. Çünkü gerçek
hayatta bize bir parametreye (örneğin t-) bağlı olarak bir seri sayı verilir ve biz bu sayıların
İstatistik Ortalamasını, Değişkenliğini ve Standart Sapmasını bulduktan sonra uygun
41
gördüğümüz Olasılık Dağılımının parametrelerini bu büyüklükler yardımı ile hesaplama
yoluna gideriz. Fakat yukarıdaki iki formülü kullanarak. verilmiş E ve V değerleri için  ve
değerlerini bulmak,  fonksiyonunun kapalı bir formülü olmadığı için. kolayca yapılamaz.
Bu yüzden aşağıdaki peoblemlerde yalnızca  ve değerleri verilmiş örnekleri inceleyeceğiz.
Artık WEIBULL Dağılımı için Ömür ve Başarısızlık Oranı fonksiyonlarını yazabiliriz.
Ömür Fonksiyonu : S(t) = 1 – F(t)



 t 
 t


S t ; ,    1  F t ; ,    1  1  exp     exp  
  
 



 t
S t ; ,    exp  
 

Başarısızlık Oranı: h(t) = f(t)/S(t)
ht ; ,   
f t ; ,  

S t ; ,  
 1
  t  
exp     
        t   1
   

    
 t
exp  
 
   t 
  
    
   t 
ht ; ,      
    
  1

   1
t

WEİBULL Dağılımına başlarken Üstel Dağılımın  = st. olan değerini (t) = ( )t( - 1) olarak
değiştireceğimizi söyleyerek başlamıştık ve

1

ve t 
t

dönüşümünü kullanmıştık. Hemen görüyoruz ki h(t) için başlangıçta kabul ettiğimiz
h(t) = (t) = ( )t( - 1)
bağıntısına geri döndük.
42
Tepsi (Küvet) Biçimli Hata Eğrisi:
Yukarıda WEIBULL Dağılımı halinde elde edilen Başarısızlık Oranı eğrisinin eğiminin



 < 1 için (t) azalan
 = 0 için sabit kalan
 > 1 için (t) artan
değerler aldığını belirtmiştik.
Canlı veya cansız herhangibir sistemin bütün ömrü düşünüldüğünde bir çok işlevinde
Başarısızlık Oranı eğrisinin önce hatalarının (Arıza, Kaza, Başarısızlık...) azaldığı sonra
aşağı yukarı sabit kaldığı ömrün sonuna doğru tekrar yükseldiği gözlemlenebilir. Örneğin
konuşmayı öğrendiğimiz ilk yıllarda gittikçe azalan oranda fakat çok sayıda başarısızlık
yaparız. Sonraları hatalarımız azalır ve seyrekleşerek çok küçük bir değerde sabitleşir.
Yaşlandığımızda çeşitli nedenle hatalarımız artma eğilimi gösterir. Bu yürüme, yüzme, yemeiçme, okuma, düşünme gibi pek çok işlemimiz için geçerlidir. Yeni aldığımız bir otomobil
belli bir süre (rodaj süresi) kısıtlı kullanılmalıdır. Sonra uzun bir süre Başarısızlık Oranı
küçük bir değerde sabit kalır. Uzun süre kullanılan otomobilin Başarısızlık Oranı hızla
yükselir.
Bu gözlem bizi Tepsi (Küvet) Eğrisi düşüncesine getirir. Bir şekil çizerek konuyu daha açık
hale getirelim
A
D
B
C
t
Şekil üzerinden takip edersek:

AB eğrisi  < 1 değerine sahiptir. Buraya, örneğin ‘Alışma’ ya da ‘Isınma’ evresi
diyebiliriz.

BC doğrusu  = 0 değeri için ortaya çıkar. Bu aslında Üstel Dağılım Başarısızlık
Eğrisi ne tekabül eder. Bu bölüme Normal Hal ya da Rejim Hali diyebiliriz.

CD eğrisi  > 1 değerleri için elde edilir. Bu hali de ‘İhtiyarlık’ ya da ‘Yıpranmışlık’
dönemi olarak adlandırabiliriz.
43
Başarısızlık Oranı Eğrisinin bu değişken eğim özelliği yalnızca WEIBULL Dağılımına has
değildir. Bu özelliğe ship olan bir çok Dağılım bulunabilir. Nitekim az sonra inceleyeceğimiz
Gamma Dağılımında da bu özelliği bulacağız.
Tabii AB, BC, CD bölgelerinde farklı Dağılımlar kullanmalıyız. Uygulamada BC bölümü için
Üstel Dağılımın kullanılması standarttır. AB ve CD bölümleri için ise en çok kullanılan
dağılımlar WEIBULL ve Gamma Dağılımlarıdır.
44
WEIBULL DAĞILIMI İLE İLGİLİ PROBLEMLER:
1. Bir kreşte yeni yürümeye başlayan çocukların ellerini kullanmadan adım atarak
geçirdikleri süreler ölçülüyor ve çocukların hiç düşmeden ayakta kaldıkları sürenin 15
dakikayı geçmesi halinde artık o çocuk ‘yürüyebilir’ kabul ediliyor.

Bütün çocukların 0 dan 15 dakika ayakta kalmak için geçirdikleri zamanların
ortalaması 9 dakika olarak ölçülüyor. Buna göre çocukların ‘Yürüyebilme Ömür
Fonsiyonu’nu yazınız.
Problem böyle sorulduğunda WEİBULL değil fakat Üstel Dağılım problemi
oluşturuyor; çünkü sabit bir E = 9 dakikalık ortalama verilmiş. Yukarıdaki Üstel
Dağılım problemlerinden yararlanarak sonucu hemen yazabiliriz.
 = 1/E = 1/9  0,111  S(t) = exp(-0,111t)

Ayrıntılara daha çok dikkat eden bir gözlemci çocukların 0 – 15 dakika arasındaki
ayakta kalamama sürelerinin h(t;2,0,7) = 0,35(0,5t)(-0,3) olduğunu saptıyor. Buna
göre Ömür Fonksiyonunu yazınız.
Problemin ifadesi WEİBULL Dağılımını kullanabileceğimizi gösteriyor.
 = 1/0,5 = 2 ,  - 1 = - 0,3   = 0,7 alarak bu kabule uygun
   t 
ht ; ,      
    
  1

   1
t

 0 ,7  t 
ht ; ,    
 
 2  2 
0 ,7 1
 0 , 3 
 0 ,35 0 ,5 t 
Ömür Fonksiyonu:
 t
S t ; ,    exp  
 

S t ;2 ,0 ,7   exp( ( 0 ,5 t )0 ,7 )

Bulduğunuz WEİBULL Dağılımı için f, F, S ve h eğrilerini 1  t  10, (t = 1)
aralığında hesaplayarak grafiğini çiziniz.
45
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(t;2,0,7)
F(t;2,0,7)
S(t;2,0,7)
h(t;2,0,7)
f/S
0,232829
0,128758
0,082113
0,056007
0,039801
0,029098
0,021728
0,016495
0,012691
0,009874
0,459668375
0,632120559
0,735046579
0,802990789
0,850303367
0,884405775
0,909600758
0,928568464
0,94306352
0,954277708
0,540332
0,367879
0,264953
0,197009
0,149697
0,115594
0,090399
0,071432
0,056936
0,045722
0,430900545
0,35
0,309913623
0,284288339
0,265880228
0,251728083
0,24035194
0,230913884
0,222897034
0,215961852
0,430900545
0,35
0,309913623
0,284288339
0,265880228
0,251728083
0,24035194
0,230913884
0,222897034
0,215961852
F+S
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(Tablonun en sağındaki iki sütun bulunan değerlerin kontrolu için eklenmiştir.)
f(t;2,0,7)
F(t;2,0,7)
S(t;2,0,7)
h(t;2,0,7)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1

2
3
4
5
6
7
8
9
10
WEİBULL Dağılımı için İstatistik Ortalama/Beklenen Değer büyüklüğünü bularak
önceki İstatistik Ortalama değer olan 9 la karşılaştırınız.
E f t ; ,     ( 1  1 /  )
E f t ;2 ,0 ,7   2 ( 1  1 / 0 ,7 )  2 2,428   2 x1,26  2 ,52
Buradaki (2,428)  1,26 değeri ilgili tablodan alınmıştır.
Tamamen hayal ürünü olan bu örnekteki Üstel ve WEİBULL yaklaşımlarına ait
ortalamaların yakın çıkması en çok problemi uyduranı şaşırtacaktı!
46
2. Bir otomobil üreticisi onbeş yıl önce ürettiği otomobillerin son beş yıl içinde hurdaya
çıkış dağılımının h(t;1,0,4) = 0,4 t -0,6 olduğunu ve  = 1,  - 1= - 0,6   = 0,4
parametre değerlerine sahip WEİBULL Dağılmına uygun ‘hurdalaştığını’ belirliyor.

Bu otomobiller için f, F, S, h fonksiyonlarını yazınız ve grafiklerini çiziniz.
   t 
f t ; ,      
    
 1
  t  
exp       0 ,4 t 0 ,6 exp  t 0 ,4
    



 t
F t ; ,    1  exp    1  exp  t 0 ,4
 


 t
S t ; ,    exp    exp  t 0 ,4
 
   t 
ht ; ,      
    
t
1
2
3
4
5
  1




   1
t
 0 ,4 t  0 ,6


f(t;1,0,4)
F(t;1,0,4)
S(t;1,0,4)
h(t;1,0,4)
f/S
0,147152
0,070532
0,043836
0,030526
0,022695
0,632120559
0,732733211
0,788143384
0,824672763
0,850976898
0,367879441
0,267266789
0,211856616
0,175327237
0,149023102
0,4
0,263901582
0,206912743
0,174110113
0,152292315
0,4
0,263901582
0,206912743
0,174110113
0,152292315
(Tablonun en sağındaki sütun bulunan rakamların kontrolu için hesaplanmıştır.)
47
3. Bir orman arazisine dikilen ağaçların ilk 5 yılda h(t;0,5,0,2) bağıntısına uygun olarak
kayba uğradığı belirleniyor.

Bu ağaçlar için f, F, S, h fonksiyonlarını yazınız ve grafiklerini çiziniz.
   t 
f t ; ,      
    
  1
  t     0 ,2  t  0 ,8
  t  0 ,2 
exp       
exp
 


 
0 ,5  
      0 ,5  0 ,5 
 


  t  0 ,2 
 t
F t ; ,    1  exp    1  exp  
 


0
,
5
 


 

  t  0 ,2 
 t
S t ; ,    exp    exp  
 
  0 ,5  
 


   t 
ht ; ,      
    
 1

  1
0 ,2
t

t 0 ,2 1  0 ,23 t 0 ,8

0 ,2

0 ,5 
Yukarıdaki ifadeler, tabii ki, basitleştirilenilir. Ancak iyi bir bilgisayar işletim sistemi
yalnızca t- nin değerleri ile  ve  parametrelerini kullanarak aşağıdaki tabloyu ve
grafikleri bir kaç dakika içinde hesaplayabilir. Burada yaptığımız da budur.
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(t;0,5,0,2)
F(t;0,5,0,2)
S(t;0,5,0,2)
h(t;0,5,0,2)
0
0,1194932
0,0334642
0,0134239
0,0063856
0,003369
0,0019083
0,0011392
0,0007083
0
0,893122
0,957671
0,979204
0,988577
0,993262
0,995819
0,997304
0,998208
1
0,106878
0,042329
0,020796
0,011423
0,006738
0,004181
0,002696
0,001792
0
1,118033989
0,790569415
0,645497224
0,559016994
0,5
0,456435465
0,422577127
0,395284708
Bu tablonun söyledikleri ilginç. İlk sene (yani fidanların toprağa gömüldüğü sıfırıncı
sene) Başarısızlık Oranı sıfır. Bu da, insan ya da hayvan biri fidanları sökmedikçe,
çok doğal; yaklaşımımız şimdilik gerçekçi. İkinci yıl fidanlarımızın yaklaşık %10 u
çeşitli nedenlerle ölüyor. Ağaçlarla uğraşanlar bilir bu oldukça gerçekçi hattâ biraz
iyimser bir tablo. O halde ikinci sene için de yaklaşımımız oldukça gerçekçi. 7 ve 8 nci
yıllarda Başarısızlık oranımız yaklaşık 0,4 gibi bir değerde sabitleniyor. h(t) nin bir
süre sonra belli bir değerde sabit kalması da beklenen bir şeydir ve dolayısı ile bu da
gerçekçi sayılabilir. Ancak 0,4 çok yüksek bir oran ve herhangibir canlı topluluğunun
0,4 oranında eksilmesi fevkalade haller dışında beklenemez. Dolayısı ile
yaklaşımımızın limit değeri gerçekçi değil.
Bir an için daha gerçekçi bir değere yaklaştığımızı ve h(t) nin sabit kaldığını
düşünelim. Bu sabit h(t) değeri ortaya çıktığı andan itibaren artık WEİBULL
48
Dağılımını değil fakat Üstel Dağılımı kullanabilir ve hesap işlemlerimizi
basitleştirebiliriz. Pratikte en çok yapılan da budur.
Şimdi grafiklerimizi çizelim.
f(t;0,5,0,2)
F(t;0,5,0,2)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
S(t;0,5,0,2)
5
6
7
8
7
8
h(t;0,5,0,2)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0

1
2
3
4
5
6
Bu dağılım için İstatistik Ortalamayı hesaplayınız.
E  f t ; ,     ( 1  1 /  )
E  f t ;0 ,5 ,0 ,2   0 ,5  1  1 / 0 ,2   0 ,5  6   0 ,5 * 5!  60
49
GAMMA DAĞILIMLI ÖMÜR FONKSİYONU:
Gamma Dağılımını ve bazı temel özelliklerini daha önce kısaca incelemiştik. (Bkz. Özel
Dağılımlar) Öncelikle oradaki bilgilerimizi buraya aktaralım.
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu:
 
 p x
 p  1  x



x
e
 x  p  1
e ,x  0
f  x ; , p     p
  p

0, x  0
Aşağıdaki çalışmamızda Gamma Fonksiyonunun mühendislik, ekonomi ve sağlık
problemlerinde kullanılan biçimini tercih edeceğiz ve notasyonumuzu buna göre x- yerine tve  = 1/ yazarak azıcık değiştireceğiz. Buna göre:
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu:
f t ; p ,  
1
 t
t  p  1 exp   , t  0
p
  p 
 
Burada


p>0 Biçim Parametresi
>0 Ölçek Parametresi
olarak adlandırılacaktır. Bu notasyonu kullanarak aşağıdaki ifadeleri hemen yazabiliriz.
Olasılık Kütle Fonksiyonu:
1
 t
  p, 
  p   
F t ; p ,  
İstatistik Ortalama (Beklenen Değer):
E[f(t;p,)] = p
Varyans (Değişkenlik):
V[f(t;p,)] = p 2
Aynı notasyonu kullanarak  ve  tanımlarını da yazalım.
  p 
1

p

t
 p  1e  t  dx
0
50
Üst Gamma Parçası:   p , t   
  p, t   
Alt Gamma Parçası:
1

p
1

p

x
 p1e t  dt
t
t
x
 p1e t  dt
0
  p , t      p , t      p
Artık Ömür Fonksiyonunu ve Başarısızlık Oranını yazabiliriz. Bu amaçla
f t ; p ,  
1
 t
t  p  1 exp   ,
p
  p 
 
F t ; p ,  
1
 t
  p, 
  p   
ifadelerini Ömür Fonksiyonu ve Başarısızlık Oranı tanımlarında kullanarak:
Ömür Fonksiyonu:
S t ; p ,   1  F t ; p ,   1 
Başarısızlık Oranı:
ht ; p ,   
  p, t  
  p
 p1
f t ; p ,   t  
exp  t  

S t ; p ,  
  p    p, t  
bağıntılarını hemen elde ederiz.
Gamma Dağılımı ile ilgili önceki çalışmamızdan (Bkz.Özel Dağılım Fonksiyonları) bir bilgiyi
daha buraya alacağız.
ERLANG DAĞILIMI:
Gamma Dağılımının çok önemli bir özel hali p bir tamsayı olduğu zaman karşımıza çıkar.
Bunu da kısaca gözden geçirelim.
Biçim parametresi p nin bir tamsayı olması halinde

t p
  p    y p e  y dy  
 p!
t

p

t  p1
t
e t t k
 ...   1e t 
 p  1!
 p  k !
1!

k 0

bağıntısının geçerli olduğunu göstermiştik; bu bize Olasılık Yoğunluk veKütle Fonksiyonunu
aşağıdaki gibi basitleştirmek şansı veriyor.
f t ; p ,   
k t k  1
k  1!
exp  t  
t  k 1 exp t  
k  1!
51
k
p1

1t
1t
F t ; p ,   1 
  exp t    1  exp t  
 
k!   
k!   
k 0
k p


k
ERLANG Dağılımı halinde Ömür Fonsiyonu:

1 t
S t ; p ,    1  F t ; p ,    exp  t  
 
k!   
k p

k
ERLANG Dağılımı halinde Başarısızlık Oranı:
ht ; p ,  
t  k  1 exp t  
k  1!

1 t
exp  t  
 
k!   
k p

k
t   p  1 exp t  
k  1!

k

1
exp t    t 
 p  k !   
 k  1! k
p
 t   p  1
ht ; p ,  
exp t  
  p
52
 t   p  1

exp  t  
  p
GAMMA DAĞILIMI İLE İLGİLİ PROBLEMLER:
1. Bir ülkede tarım çalışanlarının uğradığı (her türlü) kazaların t- ayları göstermek üzere
f(t;2,5)/100 Gamma Dağılımına uygun bir biçimde gerçekleştiği düşünülüyor.
 f, F, S, h fonksiyonlarını yazınız ve grafiklerini çiziniz. p=2 o halde ERLANG Dağılımı
(n+1) = n(n)  (2) = 1(1) = 1
olduğuna göre:
f t ; p ,  
1
1
 t
 t
t  p  1 exp   
t 2  1 exp  
p
2
  p 
    2 5
 5
f(t;2,5) = 0,04t exp(-0,2t)
k
p1
k
2 1
1 t
1
0 ,2 t 
F t ; p ,    1 
  exp t    1  exp  0 ,2 t 
k!   
k!
k 0
k 0


 1  1  0 ,2 texp  0 ,2 t 
F t ;2 ,5   1  1  0 ,2texp 0 ,2t 
St ;2 ,5   1  Ft ;2 ,5 )  1  0 ,2texp 0 ,2t 
ht ;2 ,5  
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f t ;2 ,5 
0,04t exp(-0,2t)
0,04t


S t ;2 ,5  1  0 ,2 texp 0 ,2 t  1  0 ,2 t
f(t;2,5)
F(t;2,5)
S(t;2,5)
h(t;2,5)
0,032749
0,053626
0,065857
0,071893
0,073576
0,072287
0,069047
0,064607
0,059508
0,054134
0,048753
0,043545
0,017523096
0,061551935
0,121901381
0,191207864
0,264241117
0,337372728
0,408167283
0,475069037
0,537163105
0,59399415
0,645429893
0,691558959
0,982477
0,938448
0,878099
0,808792
0,735759
0,662627
0,591833
0,524931
0,462837
0,406006
0,35457
0,308441
0,033333333
0,057142857
0,075
0,088888889
0,1
0,109090908
0,116666666
0,123076919
0,128571426
0,133333333
0,1375
0,141176471
f(t;2,5)
F(t;2,5)
S(t;2,5)
h(t;2,5)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
53
6
7
8
9
10
11
12
 f(t;2,5)/100 ifadesinin paydasındaki 100, ülke çapındaki kaza sayısının 100 e
bölünerek istatistiklere konulduğunu göstermektedir. Buna göre 3.ncü aydaki ve ilk üç
aydaki kaza sayısı olasılığını bulunuz.
f(t=3;2,5) = 100*0,065857 = 6,58
F(t3;2,5) = 100*0,264241117 = 26,42
Bir işçinin üçüncü ayda kazaya uğrama olasılığı % 6,58, ilk üç ayda kazaya uğrama
olasılığı % 26,42
 Bir işçinin ‘hiç bir’ kazaya uğramaksızın altıncı aya ve sene sonuna kadar çalışabilme
olasılığını bulunuz.
Tabii Ömür fonksiyonuna bakacağız.
S(t=6;2,5) = 100*0,662627 = 66  % 66
S(t=12;2,5) = 100*0,308441 = 30  % 30
 Bu dağılımla ilgili beklenen değer (İstatistik Ortalama) ve Değişkenlik (Varyans)
değerlerini bulunuz.
İstatistik Ortalama (Beklenen Değer):
E[f(t;p,)] = E[f(t;2,5)] = p = 2*5 = 10
Varyans (Değişkenlik):
V[f(t;p,)] = V[f(t;2,5)] = p 2 = 2*52 = 50
54
2. Bir kaza sonucu bir nehre zehirli atık karışıyor. Karışma noktasından nehir akış hızıyla
bir gün sonraki bir noktadan iki günde bir örnek alınarak nehirdeki kirliliğin f(t;5,3)
gamma dağılımı ile orantılı değiştiği belirleniyor.
 f, F, S, h fonksiyonlarını yazınız ve grafiklerini çiziniz. p= 5 ERLANG Dağılımı
(n+1) = n!  (5) = 4! = 4*3*2*1 = 24
olduğuna göre:
1
1
t4
 t
 t
 t


p  1
5  1
f t ; p ,  
t
exp   
t
exp   
exp  
p
5
  p 
    5 3
 3  5832
 3
p1
k
k
5 1
1t
1
0 ,33t 
F t ; p ,   1 
  exp t    1  exp 0 ,33t 
k
!

k
!


k 0
k 0




F t ;5 ,3   1  1  0 ,2 t  0 ,5 0 ,33t   0 ,17 0 ,33t   0 ,0420 ,33t  exp 0 ,33t 

2
3
4

S t ;5 ,3  1  0 ,2t  0 ,50 ,33t   0 ,17 0 ,33t   0 ,0420 ,33t  exp 0 ,33t 
ht ;2 ,5  
2

3
4
t4
5832 1  0 ,2 t  0 ,5 0 ,33t   0 ,17 0 ,33t   0 ,0420 ,33t 
2
3
4

Görüldüğü gibi p büyüdükçe formüllerdeki terimler hızla artıyor. Tabii buradaki bazı
yarım bırakılan işlemleri de yaparak formülleri azıcık daha kısaltabiliriz ve
hesaplama işlemine geçebiliriz.
Ancak çözüme devam etmek için, herzaman yaptığımız gibi, bilgisayarlarda hazır
bulunan programları kullanmayı tercih edeceğiz.
Aşağıdaki tablo ve grafikler (aslına bakarsanız yukarıdakiler de) bu yolla
hazırlanmıştır.
55
t
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
f(t;5,3)
F(t;5,3)
S(t;5,3)
h(t;5,3)
0
0,001409
0,011571
0,030075
0,0488
0,061169
0,065122
0,061942
0,054253
0,044618
0,034915
0,026245
0,019084
0,013496
0,00932
0,006306
0,004191
0,002742
0,00177
0,001128
0,000711
0
0,000632521
0,011781922
0,052653017
0,132171706
0,243505809
0,371163055
0,499211896
0,615929624
0,7149435
0,794372753
0,855304598
0,900367599
0,932694044
0,955293425
0,970747312
0,981114544
0,987953862
0,992399609
0,995251762
0,997060179
1
0,999367
0,988218
0,947347
0,867828
0,756494
0,628837
0,500788
0,38407
0,285057
0,205627
0,144695
0,099632
0,067306
0,044707
0,029253
0,018885
0,012046
0,0076
0,004748
0,00294
0
0,001409443
0,011708745
0,031746032
0,056232839
0,080859046
0,103559869
0,123689559
0,141258428
0,156521739
0,169795142
0,181381203
0,19154508
0,200510385
0,208462551
0,215554406
0,221911829
0,227638753
0,232821342
0,237531384
0,241829013
F(t;5,3)
S(t;5,3)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
f(t;5,3)
h(t;5,3)
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
56
 Bu dağılım için Beklenen Değeri ve Değişkenliği hesaplayınız.
İstatistik Ortalama (Beklenen Değer):
E[f(t;p,)] = E[f(t;5,3)] = p = 5*3 = 15
Varyans (Değişkenlik):
V[f(t;p,)] = V[f(t;5,3)] = p 2 = 5*32 = 45
57
3. Yukarıdaki iki problemde p tamsayı olduğu için f ve F için, uzun da olsa açık formüller
yazabildik. Bu problemde p = 0,2 değerini kullanacağız ve formüllerimiz ancak sayısal
yöntemlerle hesaplanabilen ve simgesel ,  işaretlerini içeren biçime girecek. Ayrıca p
< 1 seçtiğimiz için Başarısızlık Oranı nın azalmasını da gözlemleyebileceğiz.
Bir otomobil fabrikası ürettiği araçların arızalanma olasılığını ‘rodaj’ döneminde p = 0,2,
ve  = 7 değerleri ile Gamma Dağılımına uygun değiştiğini düşünüyor. Satılan
otomobillerin %85 inin ‘rodaj  1000Km’ dönemini geçtiğini bilerek bu süreyi 10 eşit
zaman dilimine ayırarak aşağıdaki tablo ve grafikleri elde ediyor.
1
1
 t
 t
t  p  1 exp    f t ;0 ,2 ,7  
t 0 ,2  1 exp  
p
0 ,2
  p 
 0 ,2 
 
 7
1
1
t
 t

F t ; p ,   
  p ,   F t ;0 ,2 ,7  
  0 ,2 , 
  p   
 0 ,2  
7
f t ; p ,  
St ;0 ,2 ,7   1  F t ;0 ,2 ,7  ,
t
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
2,1
2,4
2,7
3
ht ;0 ,2 ,7   f t ;0 ,2 ,7  / St ;0 ,2 ,7 
f(t;0,2,7)
F(t;0,2,7)
S(t;0,2,7)
h(t;0,2,7)
0,370492
0,203865
0,141207
0,107471
0,086129
0,071317
0,060398
0,052002
0,04534
0,039927
0,575976899
0,657027363
0,707656794
0,744524701
0,773350462
0,796845657
0,816526521
0,833335166
0,847900194
0,86066363
0,424023
0,342973
0,292343
0,255475
0,22665
0,203154
0,183473
0,166665
0,1521
0,139336
0,873753124
0,59440461
0,483017659
0,420671885
0,380011671
0,351049246
0,329193163
0,312013907
0,298094955
0,286549847
f(t;0,2,7)
F(t;0,2,7)
S(t;0,2,7)
h(t;0,2,7)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
58
1,8
2,1
2,4
2,7
3
 Bu dağılım için Beklenen Değeri ve Değişkenliği hesaplayınız.
İstatistik Ortalama (Beklenen Değer):
E[f(t;p,)] = E[f(t;0.2,7)] = p = 0.2*7= 1,4
Varyans (Değişkenlik):
V[f(t;p,)] = V[f(t;0,2,7)] = p 2 = 0,2*72 = 9,8
59
5. Normal Dağılımı kullanarak çözdüğümüz Akarsu problemini bu defa Gamma Dağılımı
yardımı ile yenden çözeceğiz.
Bir akarsu debisi bir yıl boyunca ölçülüyor. Sonuçlar100m3 lük veriler haline getirildikten
sonra Aylık Ortalama Debi ve Standart Sapma hesaplanarak, aşağıdaki gibi,
tablolanıyor.
DEBİ
M^3/SN
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ort.D.
debi/100m^3
211
2,11
381
3,81
583
5,83
723
7,23
662
6,62
585
5,85
503
5,03
437
4,37
352
3,52
285
2,85
190
1,9
132
1,32
420,3333 4,203333333
St.S.
1,860194136
Değişk.
3,460322222
 Bu Akarsu debisi problemi için f(g), F(G), S, h fonksiyonlarını bularak grafiklerini
çiziniz.
Bu problemde İstatistik Ortalama ve Değişkenlik değerleri eldeki gözlem sonucundan
hesaplanmış ve yukarıdaki tabloda gösterilmiştir. Bize düşen Gamma Dağılımının
parametrelerini bu değerleri kullanarak hesaplamaktır. Yapalım:
İstatistik Ortalama (Beklenen Değer):
E[f(t;p,)] = p  4,2
Varyans (Değişkenlik):
V[f(t;p,)] = p 2  3,5
Bu bağıntılardan hemen
 = 3,5/4,2  0,8232...  0,82
p = 4,2/0,82  5,1058...  5,1
Şu halde aradığımız fonksiyonlar şöyle belirlenmiş oldu.
60
f t ; p ,   
1
 p 1  exp   t 
t


  p  p
 
 g t ;5 ,1,0 ,82  
F t ; p ,  
1
 5 ,10 ,82 
5 ,1
t 

t 5 ,11 exp 

 0 ,82 
1
1
t 

 t
  p ,   G t ;5 ,1,0 ,82  
  5 ,1,

  p   
 5 ,1 
0 ,82 
St ;5 ,1,0 ,82  1  Gt ;5 ,1,0 ,82  ,
ht ;5 ,1,0 ,82  gt ;5 ,1,0 ,82 / St ;5 ,1,0 ,82
Artık tablolarımızı hazırlayarak grafiklerimizi çizebiliriz. Bir karşılaştırma
yapabilmek amacı ile önce Normal Dağılım (n ve N) ile Gamma Dağılımı (g ve G)
tablo ve grafiklerini birlikte ele alalım.
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
DEBİ M^3/SN
debi/100m^3
211
381
583
723
662
585
503
437
352
285
190
132
2,11
3,81
5,83
7,23
6,62
5,85
5,03
4,37
3,52
2,85
1,9
1,32
n(t;4,2,1,9)*10
N(t;4,2,1,9)
g(t;5,1,0,82)*10
G(t;5,1,0,82)
0,508398406
1,074045718
1,720038527
2,088095711
1,921584324
1,340495352
0,708872285
0,284162982
0,086350295
0,019891016
0,003473337
0,000459763
0,046070495
0,123453498
0,263831023
0,458083498
0,663141675
0,828274462
0,929716682
0,977249868
0,994236709
0,998865779
0,99982751
0,999979807
0,290953598
1,473734657
2,294912027
2,204892627
1,625889706
1,014160691
0,563587295
0,287806607
0,137783967
0,062686927
0,02736904
0,011549555
0,007075
0,092068
0,288123
0,519547
0,712885
0,843971
0,921288
0,962575
0,983038
0,99261
0,996884
0,998723
Grafik çizerken yalnızca Olasılık Yoğunluk Dağılımlarını kullanalım.
debi/100m^3
n(t;4,2,1,9)*10
g(t;5,1,0,82)*10
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Grafikten hemen görüldüğü gibi bu hayali problem için Normal Dağılım Gamma
Dağılımından daha iyi bir yaklaşım sağlıyor.
Şimdi artık bu problem için f(g), F(G), S, h fonksiyonlarını hesaplayalım ve
grafiklerini çizelim.
61
t
debi/100m^3
g(t;5,1,0,82)*10
G(t;5,1,0,82)
S(t;5,1,0,82)
h(t;5,1,0,82)
2,11
3,81
5,83
7,23
6,62
5,85
5,03
4,37
3,52
2,85
1,9
1,32
0,290953598
1,473734657
2,294912027
2,204892627
1,625889706
1,014160691
0,563587295
0,287806607
0,137783967
0,062686927
0,02736904
0,011549555
0,007075395
0,092067971
0,288123391
0,519547251
0,712885319
0,843970612
0,921288451
0,962574915
0,983037975
0,992609667
0,996884436
0,998722718
0,992924605
0,907932029
0,711876609
0,480452749
0,287114681
0,156029388
0,078711549
0,037425085
0,016962025
0,007390333
0,003115564
0,001277282
0,293026878
1,623177297
3,223749733
4,589197649
5,662858142
6,499805615
7,160160123
7,690205877
8,123085011
8,482287236
8,784617693
9,042290946
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
debi/100m^3
g(t;5,1,0,82)*10
G(t;5,1,0,82)
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
S(t;5,1,0,82)
8
9
10
11
12
10
11
12
h(t;5,1,0,82)
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
62
7
8
9