EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU

19.11.2013
Sürekli Rassal Değişkenlerin
Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar
1
EME 3105
•
•
•
•
•
•
•
•
•
SİSTEM SİMÜLASYONU
Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II
Ders 5
Sürekli Dağılımlar (1)
Sürekli Dağılımlar (2)
3
Dağılım
4
Birikimli Dağilim Fonksiyonu
F(x)
Uniform (a,b)
x- a
b- a
Normal (µ,σ2)
Kapalı form yok
Üstel (λ)
1- å
n=0
Gamma (β,α)
a<x<b
1- e- l x
k-1
Erlang (λ, k)
Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım
Normal Dağılım
Üstel (Exponential) Dağılım
Erlang Dağılımı
Gamma Dağılımı
Weibull Dağılımı
Lognormal Dağılım
Beta Dağılımı
Üçgen (Triangular) Dağılım
- kl x
e
E[X]
a+ b
2
(b - a)2
12
m
s2
1/ l
(kl x)
n!
n
k pozitif tamsayı ise , Erlang k
Değilse
, Kapalı form yok
V[X]
1/ l2
Birikimli Dağılım Fonk.
F(x)
Dağılım
k / l2
ab
ab 2
1- e-(x/b )
Kapalı form yok
(
Lognormal
(µl,σl2)
m = ln ml / s l2 + ml2
(
)
s 2 = ln (s l2 + ml2 ) / ml2
Beta (α1,α2)
k/l
b æ 1ö
Gç ÷
a èaø
a
Weibull (β,α)
Üçgensel
a=minimum
b= maksimum
m= mode
1
m+
)
Kapalı form yok
ì
(x - a)2
ï
ï ( b - a) ( m- a)
í
(b - x)2
ï 1ï
( b - a) ( b - m)
î
a £x£m
m£x£b
V[X]
E[X]
e
s2
2
b 2 ìï æ 2 ö 1 æ æ 1 ö ö
Gç ÷
í2G ç ÷ a îï è a ø a çè è a ø ÷ø
2
üï
ý
ï
ý
2
2 m +s 2 æç es -1ö÷
è
ø
e
a1a 2
a1
a1 + a 2
(a 1 + a 2 )2 (a1 + a 2 +1)
a+ b+ m
3
a2 + b2 + m2 - ab - am- bm
18
19.11.2013
Normal Dağılım ve Lognormal Dağılım
Sürekli Düzgün Dağılım ve Üçgensel Dağılım
5
6
Sürekli Düzgün Dağılım
Üçgensel Dağılım
Normal Dağılım
Üstel Dağılım ve Erlang Dağılımı
7
Üstel Dağılım ve Weibull Dağılımı
8
Üstel Dağılım
Lognormal Dağılım
Erlang Dağılımı
2
19.11.2013
Beta Dağılımı
Normal Dağılım
9
Tanım: Sürekli bir X rasgele değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi ise
X normal dağılımı sahiptir denir.
1  x 


 
1
f ( x) 
.e 2  
 2

2
,-<x<, -<  ,  2  0
Normal dağılımı ortalaması:µ ve
varyansı: σ2
olan
X~N(µ, σ2)
simgesiyle göstereceğiz.

f(z)
Standart Normal Eğrinin Özellikleri
Standart Normal Tablo
Z
Z
Örnek: Belli bir üniversitedeki erkek öğrencilerin ağırlıkları 68,5
kg. ortalamalı ve 2,3 kg standart sapmalı normal dağılıma
sahiptir.
a) Bu üniversitede herhangi bir erkek öğrencinin 72 kg. dan
daha ağır olması olasılığı nedir?
z=1,52
P(Z<1,52)=0,9357
P(Z1>1,52)=0,0643
b) Üniversitedeki erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70
kg. ve 72 kg. Arasındadır?
3
19.11.2013
Standart Normal Tablo
z=1,52
(Düzgün Dağılım)
Tanım : X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıda verildiği gibiyse X rassal
değişkeni [a,b] kapalı aralığında düzgün dağılıma sahiptir.
P(Z<1,52)=0,5+0,4357
=0,9357
(Düzgün Dağılım)
f ( x)  f ( x; a, b) 
(Düzgün Dağılım)
Örnek: Belli bir üniversitedeki erkek öğrencilerin ağırlıkları
minimum 68, maksimum 74 kg. olan düzgün dağılıma
uymaktadır.
a) Bu üniversitede herhangi bir erkek öğrencinin 72 kg. dan
daha ağır olması olasılığı nedir?
b) Üniversitedeki erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70
kg. ve 72 kg. Arasındadır?
4
1
ba
axb
19.11.2013
Üstel Dağılımın Hafızasızlık Özelliği
Üstel Dağılımın Hafızasızlık Özelliği
17
18
Örnek:
ìï l .e- l x
x>0
f (x) = í
0
baska
yerlerde
ïî
Varsayalım ki X marka florasan lambaların ömrü λ=0,5
yıl parametreli üstel dağılıma uyan bir rassal değişken olsun.
Rasgele seçilen bir X marka florasan lambanın
a) Beklenen ömrü ne kadardır? (Diğer bir deyişle bu lambanın ortalama
ömrü ne kadardır?)
b) Lambanın 1 yıldan daha kısa bir sürede tükenme olasılığı nedir?
c) Lambanın ömrünün en az 1,5 yıl olması olasılığı nedir?
d) Lambanın 1 yıldır çalıştığını varsayın. Lambanın en az 1,5 yıl daha
çalışması olasılığı nedir?
ì x - lt
- lx
x ³ 0 için
ï l .e dt = 1- e
F(x) = P( X £ x) = í ò0
ï 0
x<0 için
î
Bu durumda P( X > x) = e- l x bulunur.
(Üstel dağılımın hafızasızlık özelliği gereğince c ve d sıkkının yanıtı aynı
olmalıdır.)
Üstel Dağılımın Hafızasızlık Özelliği
Üstel Dağılımın Hafızasızlık Özelliği
19
20
X : Lambanın ömrünü göstersin (yıl).
X : Lambanın ömrünü göstersin (yıl).
X~Üstel(l = 0.5)
X~Üstel(l = 0.5)
d)P(X > 1,5) = ?
a)E[ X ] = ?
E[ X ] = m =
+¥
+¥
ò x. f (x)dx = ò x.le
-¥
-lx
+¥
dx =
-¥
ò x.0.5e
-0.5 x
0
b)P(X < 1) = ?
1
P(X < 1) =
ò
x=0
l
= 2yıl
p(X > 1,5) = P(X < 1,5) = 1- F(1,5) = 1- (1- e-(0,5).(1,5) )
= e -0,75 » 0, 47
b)P(X > 2,5 X > 1) = ?
1
f (x)dx =
dx =
1
ò 0.5e
-0.5.1
-0.5
dx = 1- e
x=0
P(X < 1) = F(1) = 1- e- l x = 1- e-0.5 » 0.40
P(X > 2,5 X > 1) = P(X > 1,5) (Hafızasızlık Özelligi)
P(X > 1,5) » 0, 47 (c sıkkından)
5
19.11.2013
Gelişlerarası Süre ve Servis Süresinin
Modellenmesi (1)
21
Gelişlerarası Süre ve Servis Süresinin
Modellenmesi (2)
22
Teorem:
Olayların
gerceklesmesi
ortalaması
λ(olay/br.zaman) olan poisson sürecine uyuyorsa,
olayların olusları arasında geçen süre ortalaması
1/λ (br.zaman/olay) olan Üstel dağılıma uyar.
• Eğer süreler tamamen rassalsa, simulasyonda
çoğu zaman Üstel dağılımla modellenir.
• Süreleri modellemek için Gamma ve Weibull
dagilimlari da kullanilabilir (Üstel dağılım, bu iki
dağılımın özel bir durumudur).
Örnek:
Müşteriler
sisteme
ortalaması
10 (müşteri/saat) olan Poisson Sürecine uygun olarak
geliyorsa, müşteri gelişleri arasında geçen süre
ortalaması 1/10 (saat/musteri) olan Üstel dağılıma
uyar.
Gelişlerarası Süre ve Servis Süresinin
Modellenmesi (3)
23
Arızaya Kadarki Sürenin Modellenmesi (1)
24
• Pratikte servis süreleri Üstel Dağılımın
açıklayabildiginden daha uzunsa, servis süresinin
modellenmesinde Weibull dağılımı daha uygun
olabilir.
• Sürekli Rassal Değişkenleri modellemede Normal
Dağılım kullanılırken negatif değerler alabildiği
göz önünde bulundurulmalıdır.
Arıza zamanları Üstel, Gamma ve Weibull gibi bir
cok dağılımla modellenebilir.
• Eğer arızalar tamamen rassal olarak oluyorsa,
arızaya
kadarki
süre
Üstel
dağılımla
modellenebilir.
• Gamma dağılımı, her parçanın arızaya kadarki
sürelerinin üstel oldugu yedek parcaların
bulundurulduğu durumda modellemede kullanılır.
6
19.11.2013
Veri Seti Yetersiz yada Veri Yoksa
Arızaya Kadarki Sürenin Modellenmesi (2)
25
26
Sistemde bir çok parça varsa ve arıza seri bağlı bir çok parcadaki
hatalardan dolayı oluşuyorsa genellikle arızaya kadarki süreyi
modellemek icin Weibull dağılımı uygundur.
Gelişlerarası yada servis süresinin rassal oldugu biliniyorsa, fakat
dağılımıyla ilgili bilgi yoksa
Rassal degiskenin en küçük, en büyük ve en sık gerçekleşen değerleri
hakkında varsayım yapılabılıyorsa
Çoğu arıza aşınmadan kaynaklanıyorsa, normal dağılım modelleme için
oldukça uygun olabilir.
Bazı parça tipleri için arızaya kadarki süreleri modellemek için Lognormal
dağılım kullanılabilir.
Ceşitli dağılım formlari sağladiği için veri yoksa Beta dağılıma da kullanılabilir.
7