ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Şafak KABALCI
YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY)
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2005
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY)
Şafak KABALCI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu tez ....../....../2005 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeler Tarafından
Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir.
İmza :.......................................
İmza:................................
İmza:………………...........
Prof. Dr. Bilal VATANSEVER
Doç. Dr. Hayrullah AYIK
Yrd. Doç. Dr. Ersin KIRAL
DANIŞMAN
ÜYE
ÜYE
Bu tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında Hazırlanmıştır.
Kod No : ................................
Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ
Enstitü Müdürü
İmza ve Mühür
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların
kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ..................................................................................................................................І
ABSTRACT.................................................................................................................ІІ
TEŞEKKÜR................................................................................................................ІІІ
1. GİRİŞ........................................................................................................................1
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER........................................................................2
3. MONOİD OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE
GRUPLARIN ETKİNLİĞİ.......................................................................................6
4. YARIGRUP OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE
MONOİDLERİN ETKİNLİĞİ…………………………………………………...10
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP ETKİNLİĞİ……………………..13
5.1. Bazı Etkin Grupların Yarıgrup Etkinliği……………………………………..13
5.2. Dihedral Grupların Direk Çarpımlarının Yarıgrup Etkinliği………………...18
5.3. PSL ( 2, p ) nin Yarıgup Etkinliği……………….............................................30
KAYNAKLAR...........................................................................................................44
ÖZGEÇMİŞ............................................................................................................... 46
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY)
Şafak KABALCI
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman : Prof. Dr. Bilal VATANSEVER
Yıl : 2005, Sayfa: 46
Jüri : Prof. Dr. Bilal VATANSEVER
Doç. Dr. Hayrullah AYIK
Yrd. Doç. Dr. Ersin KIRAL
Bu tezde monoid olarak düşünüldüğünde
olarak düşünüldüğünde monoidlerin etkinliği
incelenmiştir. Ayrıca etkin oldukları bilinen bazı
dihedral grupların direk çarpımının ve PSL(2, p)
araştırıldığı çalışmalar tasnif edilmiştir.
grupların etkinliği ve yarıgrup
ile ilgili yapılan çalışmalar
grupların yarıgrup etkinliği ile
grubunun yarıgrup etkinliğinin
Anahtar Kelimeler: Yarıgruplar, Deficiency, Etkinlik, İkinci Homoloji Grubu
I
ABSTRACT
MSc THESIS
EFFICIENCY OF SEMIGROUPS (EFFICIENCY)
Şafak KABALCI
DEPARTMANT OF MATHEMATICS
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
UNIVERSITY OF ÇUKUROVA
Supervisor : Prof. Dr. Bilal VATANSEVER
Year : 2005, Pages: 46
Jury : Prof. Dr. Bilal VATANSEVER
Assoc. Prof. Dr. Hayrullah AYIK
Asist. Pof. Dr. Ersin KIRAL
In this thesis we review the study of the efficiency of groups as monoids and
efficiency of monoids as semigroups. In addition we survey the semigroup efficiency
of some certain groups which is known as efficient groups. Moreover we review the
semigroup efficiency of direct powers of dihedral groups and PSL(2, p) groups.
Key Words: Semigroups, Deficiency, Efficiency, Second Homology Group
II
TEŞEKKÜR
Bu tezin hazırlanmasında yardımlarını esirgemeyen, danışman hocam Sayın
Prof. Dr. Bilal VATANSEVER’e, desteklerinden dolayı tüm Matematik Bölümü
personeline ve aileme teşekkürlerimi sunarım.
III
1. GİRİŞ
Şafak KABALCI
1. GİRİŞ
Yarıgruplarda etkinlik probleminden önce 1907 de Schur un yaptığı
çalışmayla gruplarda etkinlik ortaya çıkmıştır. Schur 1907 de hiçbir sonlu grubun
sonlu minimal takdiminin deficiencysinin grubun ikinci homoloji grubunun
rankından küçük olmadığını göstermiş ve bu takdimin deficiencysi ile ikinci
homoloji grubunun rankının eşit olduğu durumda ise grubun etkin olacağı
söylenmiştir. Aksi halde grup etkin değildir. Birçok grup ailelerinin etkin olduğu
bilinmektedir. ( Baik and Pride, 1997; Campbell and Robertson, 1980; Campbell ve
diğerleri, 1990b).
Sonra Steve Pride sonlu bir M monoidi için P = ⟨ A | R ⟩ takdimi sonlu olmak
üzere R − A ≥ rank ( H 2 ( M ) ) olduğunu göstermiştir. Eğer R − A = rank ( H 2 ( M ) )
eşitliği sağlanıyorsa M etkin bir monoiddir. Ayrıca bir S yarıgrubu için sonlu bir
yarıgrup takdimi S 1 monoidi için monoid takdimi olacağından ⟨ A | R ⟩ sonlu S
yarıgrubunun sonlu bir takdimi ise
(
(
)
R − A ≥ rank H 2 ( S 1 ) olur. Benzer olarak
)
eğer R − A = rank H 2 ( S 1 ) ise S etkin bir yarıgruptur.
Bir grup için üç tane deficiencyden söz edebiliriz. Ayrıca bir monoid için de 2
tane deficiency vardır. (2. Bölüm Temel Tanım ve Teoremler; Tanım 2.8. de
bahsedilmiştir.)
Yapılan çalışmalarda sonlu bir G grubunun grup olarak etkin olması için
gerek ve yeter koşulun monoid olarak da etkin olması olduğu gösterilmiştir. (Ayık,
1998) Bu çalışmaların incelenmesi tezin 3. bölümünü oluşturmaktadır. Her monoidin
yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkin olmak zorunda olmadığı (Ayık, 1998)
tarafından gösterilmiştir. Bunu gösteren bir örnek 4. bölümde yer almaktadır.
Ayrıca bazı çalışmalar göstermiştir ki belirli etkin gruplar yarıgrup olarak
düşünüldüğünde de etkindir. Tezin 5. bölümünde incelenen bu çalışmalar Ayık,
1998, de yer almıştır. Böylece bu çalışmada yarıgruplarda etkinlik problemiyle ilgili
yapılan
araştırmalar
incelenerek
okuyucunun
oluşturulmuştur.
1
ulaşabileceği
bir
kaynak
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Şafak KABALCI
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Bu bölümde yarıgruplar ve yarıgruplarda etkinlik ile ilgili bazı temel tanım ve
teoremler vereceğiz.
Tanım 2.1. S boştan farklı bir küme olsun. S üzerinde tanımlanan "o " ikili işlemi
birleşme özelliğine sahipse ( S , o ) e bir yarıgrup denir.
Tanım 2.2. S bir yarıgrup olsun. ∀s ∈ S için 1s = s1 = s olacak şekilde 1 ∈ S mevcut
ise S ye monoid denir.
Tanım 2.3. S bir monoid olsun. ∀s ∈ S için ss ' = s ' s = 1 olacak şekilde s ' ∈ S var
ise S ye bir grup denir.
Tanım 2.4. A boş olmayan bir küme (alfabe) olsun. a1 ,K , an ∈ A için w = a1 K an
ise w ya uzunluğu n olan A üzerinde bir kelime denir.
A boş olmayan bir küme ve A+ da A üzerinde boş olmayan tüm sonlu
kelimelerin ( w ∈ A+ için w nın uzunluğu n olmak üzere n < ∞ ise w sonlu kelimedir)
bir kümesi olsun. Yani,
A+ = { a1 K an | ai ∈ A, n ∈ Ν }
Her ( a1 K am )∈ A+ ve ( b1 K bn ) ∈ A+ için,
( a1 K am ) ( b1 K bn ) =
a1 K am b1 K bn
ikili işlemi ile A+ bir yarıgrup olup buna A üzerinde serbest yarıgrup denir.
2
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Şafak KABALCI
A bir küme ve A+ , A üzerinde serbest yarıgrup olsun. A+ dan elde edilen
monoide serbest monoid denir. A∗ ile gösterilir. Boş kelime A∗ ın birim elemanını
temsil eder.
Tanım 2.5. A bir alfabe olsun. A+ , A üzerinde serbest yarıgrup olsun. R ⊆ A+ × A+
olacak şekildeki R bağıntısı için ⟨ A | R ⟩ ikilisine bir yarıgrup takdimi denir. Benzer
şekilde R ⊆ A∗ × A∗ olmak üzere ⟨ A | R ⟩ ikilisine bir monoid takdim denir.
Tanım 2.6. S, ⟨ A | R ⟩ yarıgrup takdimi tarafından tanımlanan yarıgrup ve T de A
tarafından gerilen bir yarıgrup olsun. Eğer ∀ ( u , v ) ∈ R için R deki bağıntıların tümü
T de sağlanıyorsa T ye S nin homomorfik imajı denir.
Tanım 2.7. ⟨ A | R ⟩ takdiminde A ve R sonlu ise bu takdime sonlu takdim denir.
Tanım 2.8. Sonlu bir yarıgrup (monoid ya da grup) takdimi P = ⟨ A | R ⟩ nin
deficiencysi
R − A dır ve def (P) ile gösterilir. Sonlu takdim edilmiş bir S
yarıgrubunun deficiencysi,
def S ( S ) = min{ def ( P ) | P, S için sonlu bir takdim }
şeklinde verilir. Sonlu takdim edilmiş bir M monoidi için monoid deficiencysi de,
def M ( M ) = min{ def ( P ) | P, M için sonlu bir takdim }
şeklindedir. Sonlu takdim edilmiş bir G grubunun deficiencysi ise,
defG ( G ) = min{ def ( P ) | P, G için sonlu bir takdim }
3
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Şafak KABALCI
şeklinde verilir. Bu durumda bir G grubu için 3 tane deficiency vardır. def S ( G ) ,
def M ( G ) ve defG ( G ) . Benzer şekilde bir M monoidi için de 2 tane deficiencyden
bahsedebiliriz; def S ( M ) ve def M ( M ) .
Teorem 2.1. Eğer S sonlu takdime sahip sonlu bir yarıgrup ise bu durumda
def S ( S ) ≥ 0
dır. Fakat bunun tersi doğru değildir. Yani def S ( S ) ≥ 0 ise sonlu takdimli S
yarıgrubu sonlu olmak zorunda değildir. Sonlu da olabilir sonsuz da olabilir.
Şimdi tüm bölümler boyunca faydalanacağımız bir teorem verelim. (Ayık,
1998; Teorem 1.8)
Teorem 2.2. P = ⟨ A | R ⟩ bir yarıgrup takdimi olsun. S, P tarafından tanımlanan
yarıgrup ve G, P tarafından tanımlanan grup olsun. P yi grup takdimi olarak
düşündüğümüzde
( i ) Eğer S sonlu ise bu durumda G, S nin homomorfik imajıdır.
( ii )
Eğer S bir grup ise bu durumda G, S ye izomorftur.
Teorem 2.3. Bir G grubu için her yarıgrup takdimi bir grup takdimi (Teorem 2.2)
olduğundan def S ( G ) ≥ defG ( G ) ve def M ( G ) ≥ defG ( G ) dir.
Tanım 2.9. Sonlu ⟨ A | R ⟩ grup takdimi sonlu bir G grubunu tanımlıyorsa,
R − A ≥ rank ( H 2 ( G ) )
olduğu Rotman, 1967 de Sonuç 10.17 den bilinmektedir. Eğer sonlu bir G grubu
4
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Şafak KABALCI
R − A = rank ( H 2 ( G ) )
olacak şekilde bir grup takdimine sahip ise G grubuna etkindir denir. ⟨ A | R ⟩
takdimine de etkin grup takdimi denir.
Yakın zamanda Steve Pride tarafından M sonlu monoidinin sonlu ⟨ A | R ⟩
monoid takdimi için
R − A ≥ rank ( H 2 ( M ) )
olduğu gösterildi.
Tanım 2.10. P = ⟨ A | R ⟩ sonlu takdimi sonlu bir G grubu (monoidi) için bir
yarıgrup takdimi olsun. Eğer def (P) = rank ( H 2 ( G ) ) ise G grubu (monoidi)
yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkindir denir.
Şimdi 5. bölümde kullanacağımız birkaç tanım verelim:
Tanım 2.11. Herhangi bir G grubunun merkezliyeni
Z ( G ) = { z ∈ G | zg = gz , ∀g ∈ G }
şeklinde tanımlanır. (Johnson, 1990)
Tanım 2.12.
[G, G ] = { [ a, b] = aba −1b−1 | a, b ∈ G }
grubuna G nin türetilmiş alt
grubu denir. G ' ile gösterilir.
Tanım 2.13. Eğer G = G ' ise G grubuna perfect grup denir.
5
3. MONOİD OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE
GRUPLARIN ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
3. MONOİD OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE GRUPLARIN ETKİNLİĞİ
Sonlu takdimli bir G grubu için sonlu bir monoid takdimi P = ⟨ A | R ⟩ olsun.
Bu takdimi grup takdimi olarak düşünürsek eğer bu grup monoid olarak etkin ise
grup olarak da etkindir diyebiliriz. Bu bölümde ise etkin grupların monoid olarak
düşünüldüğünde de etkin olduğunu ispatlayacağız. Böylece bir G grubunun grup
olarak etkin olması için gerek ve yeter koşulun monoid olarak da etkin olması olduğu
ispatlanmış olacak. Şimdi bölümün esas teoremini ispatlamadan önce bu ve sonraki
bölümler boyunca kullanacağımız teknik bir lemmanın ispatını verelim.
Lemma 3.1. P = ⟨ A | R ⟩ bir yarıgrup takdimi ve e, A + da bir kelime olsun.
(i) Eğer ∀ a ∈ A için ea = a (sol birim) ve u a a = e (sol ters) olacak şekilde
u a ∈ A + var ise bu durumda P, e birimli bir grup tanımlar.
(ii) Eğer ∀ a ∈ A için ae = a (sağ birim) ve a u a = e (sağ ters) olacak şekilde
u a ∈ A + var ise bu durumda P, e birimli bir grup tanımlar.
İspat: (i) ∀ a ∈ A için ae = a ve a u a = e olduğunu göstermek yeterlidir. (i) nin
hipotezinden ∀ a ∈ A için
(au a )2 ≡ a ( u a a) u a = ae u a
'
'
≡ a ( e a ' ) ua = a a ' ua ≡ a ua
'
'
elde edilir. Burada a ' ∈ A, u a ∈ A∗ ve u a ≡ a ' u a dir. ai ∈ A olmak üzere
u a ≡ a1 … a n olsun. Bu durumda (i) nin hipotezinden bazı u i ∈ A + için,
u1 a1 = ... = u n a n = e
6
3. MONOİD OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE
GRUPLARIN ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
elde edilir.
un ...u1 ( ua a ) a1...an = un ...u1 ( ea1 ) ...an = un ...u1a1...an
= u n ...u 2 (ea 2 )...a n = u n ...u 2 a 2 ...a n = …= u n a n = e
olduğundan, u a ≡ a1 … a n ve (i) nin hipotezinden
a u a = (ea )u a = ( un ...u1ua aa1...an ) aua ≡ un ...u1ua ( aua )
2
= un ...u1ua aua ≡ un ...u1 ( ua a ) a1...an = e
elde edilir. Ayrıca
ae = a ( ua a ) ≡ ( aua ) a = ea = a
olup istenilen elde edilir.
(ii) Benzer şekilde ispatlanır.
■
Teorem 3.1. PG = A | R G grubu için sonlu bir grup takdimi olsun.
PM = A, A' | R ' , aa 'a = 1
monoid takdimini düşünelim. A' = { a ' | a ∈ A } A nın bir kopyası ve R' , R nin her
bağıntısında a −1 (eğer varsa) yerine aa ' koyularak elde edilmiş olsun. O halde PM ,
G yi monoid olarak tanımlar. Bu durumda G nin grup olarak etkin olması için gerek
ve yeter koşul G nin monoid olarak etkin olmasıdır.
İspat: aa ' = aa ' (aa ' a ) ≡ ( aa ' a ) a ' a = a ' a olduğundan
7
3. MONOİD OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE
GRUPLARIN ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
a 2 a ' = aaa' = aa' a = 1 = a' aa = a ' a 2
olup a 2 nin a ' nün tersi ve aa ' nün a nın tersi olduğu sonucunu çıkarırız. Bu
durumda Lemma 3.1 den PM bir grup tanımlar. Bu grubun G grubuna izomorf
olduğu açıktır.( Teorem 2.2 (ii) )
■
G monoid olarak düşünüldüğünde etkin ise monoid takdimini grup takdimi
olarak düşünerek grup olarak da etkin olduğu söylenebilir. def( PG ) = def( PM )
olduğundan eğer G grubu grup olarak düşünüldüğünde etkin ise monoid olarak
düşünüldüğünde de etkindir.
Şimdi etkin grupların monoid olarak etkinliği ile ilgili başka bir ispat verelim.
Bu ispat sadece sonlu gruplar içindir fakat önceki teoremdeki monoid takdiminde
şimdi verilecek olan monoid takdiminden birkaç geren fazla kullanılmıştır.
Teorem 3.2. δ G = ⟨ A | R ⟩ sonlu G grubu için sonlu bir takdim olsun. Bu durumda G
δ G nin deficiencysi ile aynı olan A + 1 gerenli bir monoid takdimine sahiptir.
Dahası G deficiencysi R + 1 olan A + 1 gerenli bir yarıgrup takdimine sahiptir.
İspat: δ G = ⟨ A | R ⟩ A = {a1 , K , a n } üzerinde sonlu bir grup takdimi olsun. G sonlu
olduğu için R ≥ n dir (G sonlu olduğundan def (δ G ) ≥ 0 dır) ve n tane bağıntının
u i a1 K a i = 1 (1 ≤ i ≤ n )
formunda olduğunu varsayabiliriz.(r = s ⇔ rs −1 = 1 ⇔ rs −1 (a1 K a i ) a1 K a i = 1)
−1
δ M = A, b | R ' , a1 K a n b = 1
8
3. MONOİD OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE
GRUPLARIN ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
monoid takdimini düşünelim. R' , R nin her bir bağıntısında eğer varsa a i−1 ile
(ai +1 K a n ba1 K ai −1 )
in yer değiştirilmesiyle elde edilmiş olsun. Şimdi her gerenin
bir sol tersi olduğunu gösterelim.
(ai +1 K a n ba1 K ai −1 ) ai
= ( u i a1 K a i ) (a i +1 K a n ba1 K a i −1 a i )
≡ ui ( a1 K anb ) a1 K ai = ui a1 K ai = 1
ve a1 K a n b = 1 olduğundan her gerenin bir sol tersi mevcuttur. Bu durumda Lemma
3.1 den δ M bir grup tanımlar. Bu grubun G grubu olduğu açıktır ve ispat teoremin
ilk kısmını tamamlar. m, a1 in derecesi ve R '' R' de 1 görünen her bağıntıdaki 1 ile
a1m nin yer değiştirilmesi ile elde edilmiş olan
δ S = A, b | R '', a1 K anb = a1m , a1m ai = ai , (1 ≤ i ≤ n ) aimb = b
yarıgrup takdimini düşünelim. a1m nin δ S tarafından tanımlanan S yarıgrubu için bir
sol birim olduğu açıktır. Şimdi. a1m a i +1 = a i +1 ve u i a1 K a i = a1m olduğundan
(ai +1 K a n ba1 K ai −1 ) ai
= (a1m ai +1 K a n ba1 K ai )
= ( ui a1 K ai ) ai +1 K an ba1 K ai ≡ ui ( a1 K anb ) a1 K ai
= ui ( a1m a1 ) a2 K ai = u i a1 K ai = a1m
ve a1 K a n b = a1m bağıntısından her gerenin bir sol tersi olduğu görülür. Bu durumda
Lemma 3.1 den S bir gruptur. G nin S ye izomorf olduğu açıktır.
■
Bu teorem de
A + 1 geren kullanılmıştır. Teorem 3.2 de ise bu teoremden
farklı olarak 2 A gerenli bir takdim kullanılmıştı. Ayrıca gerçekten δ S takdiminin
geren sayısı A + 1 ve bağıntı sayısı R + A + 2 olup def (δ S ) = R + 1 dir.
9
4. YARIGRUP OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE
MONOİDLERİN ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
4. YARIGRUP OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE MONOİDLERİN
ETKİNLİĞİ
Sonlu bir monoidin monoid etkinliği ve yarıgrup etkinliği arasında bağlantı
kuran bir sonuç yoktur. Etkin monoidler yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkin
olmayabilirler. Şimdi bunu gösteren bir örnek vereceğiz.
Örnek 4.1. Derecesi 2 olan sıfır yarıgrubuna 1 biriminin eklenmesiyle elde edilmiş
ve x3 = x 2 ile Z = { 1, x, x 2 } monoidini düşünelim. Z monoidi monoid olarak
düşünüldüğünde etkindir fakat yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkin değildir.
İspat: ⟨ a | a 3 = a 2 ⟩ monoid takdimi Z yi monoid olarak tanımlar ve Z etkin bir
monoiddir. ( Bu takdimin deficiencysi 0 dır.) Eğer ⟨ A | R ⟩ Z için bir yarıgrup
takdimi ise R > A olduğunu gösterip Z nin etkin olmadığını ispatlayacağız.
Farzedelim ki w = w ( w ∈ A+ ) aşikar bağıntısı ya da a ∈ A ve w ∈ ( A {a} ) olmak
+
üzere ( w = a )∈ R formunda bir bağıntı olmasın. (Eğer varsa deficiencyi düşürmeden
bu tip bağıntı veya gerenler elenebilir.)
Z nin her geren kümesi {1, x} i içerdiğinden,
A 1 = { a ∈ A | π ( a ) = 1 } ve A2 = { b ∈ A | π ( b ) = x }
kümeleri π A+ dan Z ye doğal homomorfizm olmak üzere A nın boş olmayan alt
kümeleridir. Bu durumda boş olabilen
A3 = A − ( A1 ∪ A2 ) = { c ∈ A | π ( c ) = x 2 }
10
4. YARIGRUP OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE
MONOİDLERİN ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
kümesini alalım. a ∈ A1 ve d ∈ A elemanlarını düşünelim öyle ki ad = d bağıntısı Z
de sağlansın. Bu durumda wd ≥ 2 olan wd = d formunda bir bağıntı vardır. ( R deki
varsayımdan dolayı.) Şimdi,
R1 = {( wa = a ) ∈ R | a ∈ A1} , R 2 = {( wb = b ) ∈ R | b ∈ A2 } ,
R 3 = {( wc = c ) ∈ R | c ∈ A3 }
kümelerini tanımlayalım. Varsayımdan dolayı Ri ≥ Ai
( i = 1, 2,3)
dir. Bu kümeler
R nin ayrık alt kümeleridir. a ∈ A1 ve wa = a olduğundan wa ∈ A+ olmalı. b ∈ A2 ve
wb = b olduğundan wb ∈ A1∗bA1∗ olmalıdır.
Sonuç olarak b3 = b 2 ( b ∈ A2 ) bağıntılarının Z de sağlandığını görebiliriz.
Bundan dolayı
b 3 ≡ α1 , α 2 , K , α n ≡ b 2
α i ler (1 ≤ i ≤ n ) A+ dan gelmek üzere A+ da bir dizi vardır. Öyle ki bu dizide α i +1
R den bir bağıntı uygulamak suretiyle α i den elde edilmiştir. w ∈ ( A1 ∪ A2 )
+
kelimelerinden hiç birine R3 den hiçbir bağıntı uygulayamayız. b3 e R1 ∪ R2 den
bağıntı uygulamak b lerin sayısını değiştirmez ve bunlar ( A1 ∪ A2 ) da w kelimesini
+
meydana getirdiği için
( r = s ) ∈ R − ( R1 ∪ R2 ∪ R3 )
de bir bağıntımız olmak
zorundadır. Bu da R > A olmasını gerektirir. Bundan dolayı Z iddia edildiği gibi
etkin olmayan bir yarıgruptur.
■
Bu örnekten x3 = x 2 ile { 1, x, x 2 } monoidi için bir minimal yarıgrup takdimi
verilebilir.
11
4. YARIGRUP OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE
MONOİDLERİN ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
⟨ a, b | a 3 = a 2 , baba = a, b 2 = b ⟩
S bir yarıgrup olsun. Eğer S nin yarıgrup takdimini monoid takdimi olarak
düşünürsek S 1 = S ∪ {1 } i tanımlar. Yukarıdaki örnek gösterir ki S etkin olmasına
rağmen S 1 etkin olmayan bir yarıgrup olabilir. ( ⟨ a | a 3 = a 2 ⟩ yarıgrup takdimi
derecesi 2 olan Z 2 sıfır yarıgrubunu tanımladığından Z 2 etkin bir yarıgruptur.)
Bununla beraber bu genelde doğru değildir. Şöyle ki etkin bir S yarıgrubu vardır
hatta S 1 de etkin bir yarıgruptur. Bunun için,
⟨ a | a n +1 = a ⟩
takdimiyle verilen derecesi n olan Cn devirli grubunu düşünelim. İddia ediyoruz ki,
Cn e bir birim eklenmesiyle elde edilmiş ( a n artık birim değil.)
⟨ a, b | a n +1 = a, ab = a, ba = a, b 2 = b ⟩
takdimi ile Cn1 yarıgrubu da etkin bir yarıgruptur. Gerçekte,
⟨ a, b | ba n +1b = a, b 2 = b ⟩
yarıgrup takdimi Cn1 i tanımlar. Gerçekten,
ab = ba n +1bb = ba n +1b = a
ba = bba n +1b = ba n +1b = a
ayrıca a n +1 = aa n −1a = ( ba ) a n −1 ( ab ) ≡ ba n +1b = a olup iddia ispatlanır.
12
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP OLARAK
DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
5.1. Bazı Belirli Etkin Grupların Yarıgrup Olarak Düşünüldüğünde
Etkinliği
G bir grup olmak üzere G için her yarıgrup takdimi aynı zamanda bir grup
takdimidir. Bu da gösterir ki G yarıgrup olarak etkin ise yarıgrup takdimi grup
takdimi olarak düşünülürse grup olarak da etkindir. Tersine etkin bir grubun yarıgrup
olarak düşünüldüğünde de etkin olup olmadığı genel olarak ispatlanmamış olmasına
rağmen belirli etkin gruplar yarıgrup olarak düşünülüp etkinlikleri incelenmiştir. Bu
bölümde etkin oldukları bilinen sonlu değişmeli gruplar, derecesi 2n olan D2 n (n çift
olduğunda ve n = 3,5,7,9 için) dihedral gruplar ve derecesi 4n olan quaternion
grupların yarıgrup etkinlikleri incelenecektir.
Teorem 5.1.1. Sonlu değişmeli gruplar yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkindir.
Daha kesin olarak sonlu değişmeli bir grup
PS = ⟨ a1 ,K , a r | a1q1 +1 = a1 , a1q1 = a j j , a1 a j a1q1 −1 = a j , a k al = al a k , (2 ≤ j ≤ r ,
q
2 ≤ k < l ≤ r )⟩
r ≥ 1 ve q j her j = 1, K, r − 1 için q j +1 i bölecek şekilde bir minimal yarıgrup
takdimine sahiptir.
İspat: r ranklı sonlu değişmeli G grubu q j >1 dereceli (1 ≤ j ≤ r ) her j (1 ≤ j ≤ r − 1)
için q j +1 i böldüğü devirli grupların direk çarpımı olarak ifade edilebilir. (Rotman,
1994) Dahası G sonlu r (r − 1) 2 ikinci homoloji grubunun rankına sahiptir.
(Karpilovsky, 1987). Aşağıda verilen G nin standart grup takdiminin
PG = ⟨ x1 ,K , x r | x j j = 1(1 ≤ j ≤ r ), x j x k = x k x j (1 ≤ j < k ≤ r ) ⟩
q
13
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
deficiencysi def (PG ) = r (r − 1) 2 + r − r = r (r − 1) 2 olup G nin grup olarak etkin
olduğunu gösterir. Şimdi PS nin bir grup tanımladığını gösterelim. Bunun için
a1 a j = a j a1
(2 ≤
j ≤ r ) , a1q1 in birim ve her bir a j nin tersinin a j j
q −1
(1 ≤
j ≤ r)
olduğunu göstermek yeterlidir. PS nin ilk üç grup bağıntısından,
q
a1 a j = a1q1 +1 a j = a1 a1q1 a j = a1 a j j a j = a1 a j a1q1 ≡ a1 a j a1q1 −1 a1 = a j a1
elde edilir. Şimdi değişmelilikten j = 1, K, r için,
a j a1q1 = a j a1 a1q1 −1 ≡ a1 a j a1q1 −1 = a j = a1q1 a j
q −1
bulunur. Bundan dolayı a1q1 bir birimdir ve her j = 1, K, r olmak üzere a j j , a j için
bir terstir. Böylece PS bir grup tanımlar. Bu grubun PG tarafından tanımlanan
değişmeli G grubu olduğu açıktır. def( PS )= r (r − 1) 2 olduğundan G grubu yarıgrup
olarak düşünüldüğünde etkindir.
■
Teorem 5.1.2. D2 n dihedral grubu aşağıdaki gibi yarıgrup olarak takdim edilebilir
P = ⟨ a, b | a 3 = a, a 2 = b n , ab n −1 a = b ⟩
n çift olduğunda P minimal bir takdimdir ve D2 n yarıgrup olarak etkindir.
İspat: İlk bağıntıdan a 2 a = a = aa 2 , birinci ve üçüncü bağıntılardan,
a 2b = a 2 ( ab n −1a ) ≡ a 3b n −1a = ab n −1a = b = ab n −1a 3 ≡ ( ab n −1a ) a 2 = ba 2
14
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
olur ve bundan dolayı da a 2 P takdimiyle tanımlanan yarıgrup için bir birimdir. İlk
ve ikinci bağıntılardan a nın tersi kendisidir ve b n −1 , b nin tersidir, bu da gösterir ki P
takdimi D2 n yarıgrubunu tanımlar. n çift olmak üzere D2 n nin ikinci homoloji grubu
derecesi 2 olan devirli grup olup def(P)=rank( H 2 (C 2 ) ) olduğundan D2 n etkin bir
yarıgruptur.
■
n tek olduğunda D2 n nin ikinci homoloji grubu aşikar grup olduğundan
(Karpilovsky, 1987), n nin tek olması durumunda P, D2 n için gerekli olan minimal
takdim değildir. Bununla birlikte n tek olması durumunda D2 n için deficiencysi 0
olan bir minimal takdimin olduğunu biliyoruz. Örneğin,
⟨ x, y | x 2 = y n , x −1 y − (n +1) 2 xy (n +1) 2 = y ⟩
grup takdimi n tek olduğunda D2 n i tanımlar. ( Ayık, 1998; Teorem 1.42).
Lemma 5.1.1. P = ⟨ a, b | ababa = a , ab n −1 a n − 2 = b ⟩ yarıgrup takdimi G n ( Gn bir
Coxeter grubunun bölüm grubu, bkz. Ayık, (1998), sayfa 32) grubunu tanımlar ve n
tek sayısı için D2 n , Gn nin homomorfik imajıdır. Ayrıca n = 3,5,7,9 için Gn ≅ D2 n
dir ve bu durumda n = 3,5,7,9 için D2 n yarıgrup olarak etkindir.
İspat:
(ab )2 b = (ab )2 (ab n−1a n−2 ) ≡ (ababa ) b n−1a n−2 = ab n−1a n −2 = b
olduğundan ve birinci bağıntıdan (ab ) bir sol birimdir.
2
(aba b
2
n −1
a n −3 ) a ≡ aba (ab n −1 a n − 2 )= (ab )
15
2
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
olduğundan aba 2 b n −1 a n −3 , a nın bir sol tersi ve aba, b nin bir sol tersidir. Bundan
dolayı Lemma 3.1 den P takdimi Gn grubunu tanımlar. Şimdi D2 n nin, Gn nin
homomorfik imajı olduğunu göstermek için
ab n −1 a n − 2 = b
ve
ababa = a
bağıntılarının D2 n de sağlandığını göstereceğiz öyle ki bu, Teorem 5.1.2 deki
takdimin bir sonucudur. n tek olduğundan n = 2k-1 alınırsa,
a n − 2 = a 2 k −3 ≡ a 3 a 2 k − 6 = a 2 k −5 ≡ K ≡ a 3 a 2 k − 2 k = a 3 = a
olduğundan ve a 3 = a bağıntısından
ab n −1 a n − 2 = ab n −1 a =b
elde edilir. a 2 = b n bağıntısından,
ababa = aba ( ab n −1a ) a ≡ aba 2b n −1a 2
= abb n b n −1b n ≡ ab 3n = a (a 2 )
3
≡ aa 3 a 3 = a 3 = a
olur ve istenilen elde edilir. Diğer bir ifadeyle n tek sayı iken D2 n , Gn nin
homomorfik imajıdır. Bir koset sayma programı n =3,5,7,9 için Gn = D2 n olduğunu
gösterir. Bundan dolayı D2 n , n = 3,5,7,9 için yarıgrup olarak etkindir.
■
n > 9 olduğunda Gn in hangi grup olduğu bilinmemektedir ve hatta kullanılan
koset sayma programı n > 9 iken Gn in derecesini hesaplayamadığından n > 9 için
Gn in derecesi bile bilinmemektedir. Ayrıca n tek ve n > 9 iken D2 n için deficiencysi
0 olan bir takdimin olup olmadığı da henüz bilinmemektedir.
16
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
Şimdi derecesi 4n olan genelleştirilmiş Qn quaternion grubunun yarıgrup
olarak düşünüldüğünde etkinliğini verelim. Qn için,
PQ = ⟨ a, b | a 2 n = 1 , a n = b 2 , b −1 ab = a −1 ⟩
takdimi bir grup takdimidir. ( Johnson, 1990 ).
Teorem 5.1.3. P1 = ⟨ a, b | aba=b, ba n −1b = a ⟩ yarıgrup takdimi 4n dereceli
genelleştirilmiş Qn quaternion grubunu tanımlar.
İspat: Birinci bağıntıdan,
a n −1ba n −1 ≡ a n − 2 ( aba ) a n − 2 = a n − 2ba n − 2 = K = aba = b
(1)
elde edilir. İkinci bağıntı ve (1) den
a n = ( ba n −1b ) a n −1 ≡ b ( a n −1ba n −1 ) = b 2
(2)
(2) den, ikinci bağıntı ve birinci bağıntıdan,
a 2 n b ≡ aa n a n −1b ≡ ab 2 a n −1b = ab ( ba n −1b ) = aba = b
elde edilir ve hatta
( )
a 2 n a = b 4 a ≡ b b 2 ba = ba n ba ≡ ba n −1 ( aba ) = ba n −1b = a
dir. Böylece a 2 n in bir sol birim olduğu sonucuna varılır. (2 ) den b nin sol tersinin
b 3 ve a nın sol tersi a 2 n −1 olup Lemma 3.1 den a 2 n sol birimi ile P1 bir grup
17
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
tanımlar. a 2 n grup için birim olduğundan ve a n = b 2 grupta sağlandığından bu grup
aşağıdaki grup takdimi ile verilebilir.
⟨ a, b | aba=b, ba n −1b = a , a n = b 2 , a 2 n = 1 ⟩
≅ ⟨ a, b | b −1 ab = a −1 , ba n −1b = a , a n = b 2 , a 2 n = 1 ⟩ .
Ayrıca,
ba n −1b = ba n ( b −1 ab )b = b b 2 b −1 ab 2 ≡ b 2 a b 2 = a 2 n +1 = a
bağıntısı Qn de sağlandığından aslında bu grup genelleştirilmiş Qn quaternion
grubudur. P1 in deficiencysi 0 olduğundan Qn in yarıgrup olarak düşünüldüğünde
etkin olduğu sonucuna ulaşılır.
■
O halde Qn için bu etkin grup takdimi aynı zamanda bir yarıgrup takdimidir.
Genelde birim eleman ve ters elemanlar içermeyen grup takdimleri aynı grup için bir
yarıgrup takdimi olmaz. (örneğin Robertson and Ünlü, 1992 ).
5.2. Dihedral Grupların Direk Çarpımlarının Yarıgrup Olarak
Düşünüldüğünde Etkinliği
Önceki bölümde n çift iken D2 n dihedral grubunun yarıgrup olarak
düşünüldüğünde etkin olduğu gösterildi. Bu bölümde n > 9 ve n tek iken D2 n in
etkin olduğu ispatlanamamıştır fakat m ≥ 2 olmak üzere keyfi n ve m sayıları için
D2mn
direk çarpımının yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkin olduğu ispatı
verilecektir. Bir teknik lemma ile başlayalım.
Lemma 5.2.1 ⟨ A | R ⟩ ve ⟨ B | Q ⟩ sırasıyla G ve H gruplarının yarıgrup takdimleri
olsun. Bu durumda G × H direk çarpımı
18
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
B = ⟨ A, B | R, Q, C, e = f ⟩
yarıgrup takdimi ile tanımlanır. C = { ab = ba | a ∈ A + , b ∈ B + } dir. Ayrıca e ∈ A +
ve f ∈ B + sırasıyla G ve H ın birim elemanlarını temsil eden iki kelimedir.
İspat: S, B tarafından tanımlanan yarıgrup olsun. e = f bağıntısından e nin S nin
birimi olduğu açıktır.
a ∈ A için wa ∈ A + ⊆ ( A ∪ B ) kelimesi vardır öyle ki wa a = e ve
+
b ∈ B için wb ∈ B + ⊆ ( A ∪ B ) kelimesi vardır öyle ki wb b = f = e dir.
+
Lemma 3.1 den B bir grup tanımlar ve açıktır ki bu istenilen G × H direk çarpım
grubudur.
■
B nin son bağıntısı etkin grupların direk çarpımının yarıgrup olarak
düşünüldüğünde etkin olduğunun ispatının, grup iken yapılan ispattan daha zor
olmasına neden olur.( Her m ve n için derecesi 2n olan D2 n dihedral grubunun D2mn
direk çarpımının grup olarak etkin olduğu Campbell ve diğerleri, (1990a), da
ispatlanmıştır.)
Aşağıdaki teoremi ispatlamak için önceki lemmaya başvuracağız:
Teorem 5.2.1. Herhangi m, n ≥ 1 için n çift olduğunda D2mn direk çarpımı yarıgrup
olarak düşünüldüğünde etkindir.
İspat: Teorem 5.1.2 de D2 n için aşağıdaki yarıgrup takdimi verilmişti.
⟨ a, b | a 3 = a, a 2 = b n , ab n −1 a = b ⟩
19
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
Önceki lemmadan tümevarımla herhangi m ve n pozitif tamsayıları için D2mn ,
P2 = ⟨ ai , bi | ai3 = ai , ai2 = bin , ai bin −1 ai = bi ,
a k al = al a k , a k bl = bl a k , bk al = al bk , bk bl = bl bk ,
a 2j = a12 (1 ≤ i ≤ m, 2 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k < l ≤ m ) ⟩
(3)
(4)
(5)
ile takdim edilebilir. (4 ) deki bağıntıların her biri m(m − 1) 2 tane olup
def (P2 ) = (3m + 4m(m − 1) 2 + m − 1) − 2m = 2m 2 − 1 .
Campbell ve diğerleri, (1990a), da D2mn nin Schur çarpanının rankı
( ( ))
rank H 2 D
m
2n
1 2 ( m 2 − m ) ,
= 
2
,
2m − m
n tek ise
n çift ise
olarak hesaplanmıştır. Bu durumda P2 , n çift olduğunda m = 1 olması durumu hariç
herhangi m ve n pozitif tamsayılar için D2mn in etkin bir takdimi değildir. Bununla
beraber n in çift olması durumunu P2 için kullanarak etkin bir takdim kurabiliriz.
2 ≤ j ≤ m için (4 ) , (5) ve (3) bağıntılarından,
a1a j a1 = a12 a j = a 2j a j ≡ a 3j = a j
olup
a1 a j a1 = a j ,
(2 ≤
j ≤ m)
20
(6)
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
bağıntısı elde edilir. 2 ≤ j ≤ m için a 3j = a j ve a1 a j = a j a1 bağıntılarının (6) .
bağıntı ve diğer bağıntıların bir sonucu olduğunu gösterelim. Gerçekten (5) , (6 ) ve
(3) den,
a 3j = a12 ( a1a j a1 ) ≡ a13a j a1 = a1a j a1 = a j
(2 ≤
j ≤ m)
ve (6 ) , (5) , (3) den 2 ≤ j ≤ m için,
a1a j = a1 ( a1a j a1 ) ≡ a12 a j a1 = a 3j a1 = a j a1
elde edilir. Bundan dolayı
(m − 1)
tane olan (6 ) daki bağıntıları ekleyerek ve
gereğinden fazla olan (2m − 2 ) tane bağıntıyı atarak D2mn için
P3 = ⟨ ai , bi | a13 = a1 , a12 = b1n , a1b1n −1 a1 = b1 , a1 a j a1 = a j ,
a 2j = b nj , a j b nj −1a j = b j , a 2j = a12 , a k ' al ' = al ' a k ' ,
a k bl = bl a k , bk al = al bk , bk bl = bl bk
(1 ≤ i ≤ m, 2 ≤ j ≤ m, 2 ≤ k
'
< l ' ≤ m,1 ≤ k < l ≤ m ) ⟩
takdimini elde ederiz.
def (P3 ) = 2m 2 − 1 − (m − 1) = 2m 2 − m
olur ve n çift olduğunda rank (H 2 (D2mn )) = 2m 2 − m olduğundan D2mn nin etkin bir
yarıgrup olduğu sonucuna varılır.
■
Şimdi n nin tek olması durumunda D2mn nin yarıgrup etkinliğini araştıracağız.
Önce aşağıdaki sonucu verelim.
21
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
Önerme 5.2.1. n tek olmak üzere D2 n × D2 n için,
P4 = ⟨ x, y | x 2 n y = y , (x n y ) x = x , (xy ) x 2 n = y 2 n ⟩
2
2
takdimi etkin bir yarıgrup takdimidir.
İspat: Önce P4 ün bir grup tanımladığını gösterelim. 2. ve 1. bağıntılardan,
x 2 n +1 ≡ x 2 n x = x 2 n (x n y ) 2 x ≡ x n (x 2 n y )(x n y )x = (x n y ) 2 x = x
(7 )
ve x 2 n y = y olduğundan x 2 n bir sol birimdir.
Şimdi her pozitif k tamsayısı için,
y k x n y k = yx n y
olduğunu gösterelim. Gerçekten P4 ün 1. ve 2. bağıntılarından,
y 2 xn y 2 = y ( x2n y )
( x y) x
n
2n
y ≡ yx n ( x n y ) xx 2 n −1 y = yx n x 2 n y = yx n y .
2
Bundan dolayı k üzerinde tümevarımla y k x n y k = yx n y eşitliği elde edilir. k =2n için,
(8)
y 2 n x n y 2 n = yx n y
elde edilir. 3. bağıntı ve (7 ) den,
y 2 n = ( xy ) x 2 n = ( xy ) x 4 n = y 2 n x 2 n
2
2
bağıntısına ulaşılır.
22
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
Bu bağıntı, (8) numaralı bağıntı ve 2. bağıntı kullanılarak,
(x
n
y 2 n ) ≡ (x n y 2 n )x n y 2 n = (x n y 2 n )x n y 2 n x 2 n = x n ( yx n y ) x 2 n
2
≡ ( xn y ) x2n = x2n .
2
elde edilir. Bu da gösterir ki (x n y 2 n x n y 2 n −1 ) kelimesi y için ve x 4 n −1 kelimesi x için
bir sol terstir. Lemma 3.1 den x 2 n birimi ile P4 bir grup tanımlar. Bu grup aşağıdaki
2
için bir grup
takdime sahiptir. Aşağıdaki takdimde n nin tek olması durumunda D2n
takdimidir (Ayık, 1998 Lemma 1.46).
( )
⟨ x, y | x 2 n = 1 , x n y
2
= 1 , (xy ) = y 2 n ⟩
2
2
)) = 1 olduğundan D2n2 nin yarıgrup
Hem P4 ün deficiencysi 1 hem de rank (M (D2n
olarak etkin olduğu sonucuna varılır.
■
3
Şimdi n nin tek olması durumunda D2n
için etkin bir yarıgrup takdimi
vereceğiz.
3
Önerme 5.2.2. n tek olmak üzere D2n
için
P5 = ⟨ a, x, z | zazaz = z , (xz n ) = a 2 , x 2 n −1 ax = a, x n −1 z = zx n +1 ,
2n
z n −1 xz n +1 = x, x 2 n = a 2 ⟩
takdimi etkin bir yarıgrup takdimidir.
2
İspat: İlk önce P5 in (az ) birimi ile bir grup olduğunu göstereceğiz. Bunun için
Lemma 3.1 e başvuracağız. Gerçekten 5. ve 1. bağıntılardan
23
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
x (az ) = ( z n −1 xz n +1 ) (az ) ≡ z n −1 xz n zazaz = z n −1 xz n +1 = x
2
2
ve bu bağıntı ile 3. bağıntıdan
a (az ) = x 2 n −1ax ( az 2 ) = x 2 n −1 ax = a
2
elde edilir. Bu bağıntılardan ve 1. bağıntıdan (az )
2
P5 tarafından tanımlanan Bn
yarıgrubunun bir sağ birimidir.
Şimdi gerenler için sağ tersleri bulacağız. azaz = (az ) olduğundan a nın sağ
2
tersinin zaz olduğu açıktır. z n − 2 xz n +1 x 2 n − 2 axzaz nin z nin sağ tersi ve x 2 n − 2 axzaz nin
x in sağ tersi olduğunu ispatlayacağız. Gerçekten P5 teki 5. ve 3. bağıntılardan
z ( z n − 2 xz n +1 x 2 n − 2 axzaz ) ≡ ( z n −1 xz n +1 ) x 2 n − 2 axzaz
= ( x 2 n −1ax ) zaz = (az )
2
elde edilir. 3. bağıntıdan
x ( x 2 n − 2 axzaz ) ≡ ( x 2 n −1ax ) zaz = ( az )
2
bağıntısı elde edilir. Bundan dolayı Bn in aşağıdaki grup takdimiyle bir grup olduğu
sonucuna ulaşılır.
( )
2n
= a 2 , x 2 n −1 ax = a,
x n −1 z = zx n +1 , z n −1 xz n +1 = x, x 2 n = a 2 ⟩
⟨ a, x, z | azaz = 1 , xz n
24
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
Şimdi a 4 = x 4 n = 1 bağıntılarının Bn de sağlandığını göstereceğiz. Gerçekten
3. ve 6. bağıntılardan,
a 2 = ( x 2 n −1 ax )( x 2 n −1 ax ) ≡ x 2 n −1 ax 2 n ax = x 2 n −1 a 4 x ≡ x 2 n −1 x 4 n x = x 6 n = a 6
olur ve böylece,
(9)
a4 = x4n = 1
bağıntısı elde edilir. 4. bağıntıdan ve (9) dan
x n −1 zx 3n −1 ≡ (x n −1 z )x 3n −1 = zx n +1 x 3n −1 = zx 4 n = z
ve hatta herhangi bir k için,
z = x n −1 zx 3n −1 = x n −1 ( x n −1 zx 3n −1 ) x 3n −1 ≡ x 2 n − 2 zx 6 n − 2 = K = x kn − k zx 3kn − k
elde edilir. Özel olarak k = n için,
(10)
x n (n −1) zx n (3n −1) = z
bağıntısını elde ederiz. n tek olduğundan n = 4m+1 ya da n = 4m+3 dır. Eğer n =
4m+1 ise (9) dan
n ( 4 m +1) −1)
x n( n −1) = x (
= x 4 mn = 1
ve
x
n ( 3 n −1)
n 3( 4 m +1) −1)
n 12 m + 2 )
≡x (
≡x (
≡ x12 mn x 2 n = x 2 n
25
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
olur ve böylece
(10)
Şafak KABALCI
dan x 2 n = 1 elde edilir. ( x n( n −1) zx n(3 n −1) = 1zx 2 n = zx 2 n = z
olduğundan x 2 n = 1 ) Eğer n = 4m + 3 ise (9) dan,
n 3( 4 m + 3) −1)
x n( 3 n −1) ≡ x (
≡ x12 mn +8 n = x 4( 3 m + 2 )n = 1
ve
x
n ( n −1)
≡x
n( 4 m + 2 )
≡ x 4 mn x 2 n = x 2 n
ve böylece (10) dan x 2 n = 1 elde edilir. ( x n( n −1) zx n(3 n −1) = x 2 n z1 = x 2 n z = z olduğundan
x 2 n = 1 .) Bundan dolayı a 2 = x 2 n = 1 bağıntısı Bn de sağlanır. Ayrıca x 2 n −1ax = a
bağıntısı ax = xa bağıntısı ile yer değiştirebilir. Böylece Bn için aşağıdaki grup
takdimini elde edilmiş olur. Aynı zamanda bu grup takdimi n nin tek olması
3
içinde bir takdimdir. (Ayık, 1998; Lemma 1.46).
durumunda D2n
( )
⟨ a, x, z | ( az ) = 1 , xz n
2
2n
= 1, ax = xa,
x n −1 z = zx n +1 , z n −1 xz n +1 = x, x 2 n = a 2 = 1 ⟩
Bu grup takdimi Campbell ve diğerleri, (1990a), da verilen etkin grup takdimi
değildir. Campbell ve diğerleri, (1990a), da x 2 n = 1 bağıntısının gereksiz olduğu
3
gösterilmiştir. Bu gereksiz bağıntı atılırsa D2n
için Campbell ve diğerleri, (1990a),
da verilen etkin grup takdimi elde edilir.
■
Şimdi n nin tek olması durumunda genel hali verelim.
Teorem 5.2.3. n tek ve m ≥ 2 olmak üzere herhangi m ve n tam sayıları için D2mn
direk çarpımı yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkindir.
26
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
İspat: İlk önce m çift sayısı için D2mn in yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkin
2
nin etkin P4 yarıgrup takdimine
olduğunu ispatlayacağız. Önerme 5.2.1 den D2n
sahip olduğunu biliyoruz. Lemma 5.1.1 den herhangi t pozitif tam sayısı için
aşağıdaki yarıgrup takdimi D22nt yi tanımlar.
(
⟨ xi , yi | xi2n yi = yi , xin yi
)
2
xi = xi , ( xi yi ) xi2 n = yi2 n , xk xl = xl xk ,
2
xk yl = yl xk , yk xl = xl yk , yk yl = yl yk , x 2j n = x12 n ,
(1 ≤ i ≤ t ,1 ≤ k < l ≤ t , 2 ≤
j ≤ t) ⟩
x1 y j = y j x1 , x 2j n = x12 n ve x 2n
j yj = yj (2 ≤ j ≤ t )
bağıntıları D22nt de sağlandığından
(11)
x1 y j x12 n −1 = x12 n y j = x 2j n y j = y j
elde ederiz.
Şimdi x1 y j = y j x1 ve x 2n
j yj = yj
(2 ≤
j ≤ t ) bağıntılarının diğer bağıntıların
ve (11) numaralı bağıntıların bir sonucu olduğunu gösterelim. İlk önce 2. ve 1.
bağıntılardan ( i = 1 için)
x12 n +1 = x12 n ( x1n y1 ) x1 = x1n ( x12 n y1 ) x1n y1 x1 = ( x1n y1 ) x1 = x1
2
2
elde edilir. (11) den x 2j n = x12 n ve x12 n +1 = x1 bağıntılarından ( 2 ≤ j ≤ t ) için,
2n
2 n −1
x 2n
) = x12n+1 y j x12n−1 = x1 y j x12n−1 = y j
j y j = x1 ( x1 y j x1
27
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
sağlanır ve ayrıca,
2 n −1
y j x 2n
) x12n ≡ x1 y j x14n−1 ≡ x1 y j x12n+1 x12n−2 = x1 y j x12n−1 = y j
j = ( x1 y j x1
elde edilir. Bu gerçekten, x 2j n = x12 n ve (11) den
x1 y j = x1 ( y j x 2j n ) = x1 y j x12 n ≡ ( x1 y j x12 n −1 ) x1 = y j x1
elde edilir. Bundan dolayı x1 y j x12 n −1 = y j
(2 ≤
j ≤ t ) bağıntılarını ekleyerek ve
x 2j n y j = y j ve x1 y j = y j x1 ( 2 ≤ j ≤ t ) bağıntılarını çıkararak n tek olmak üzere D22nt
için aşağıdaki takdimi
P6 = ⟨ xi , yi | x12 n y1 = y1 , ( x1n y1 ) x1 = x1 , ( x1 y1 ) x12 n = y12 n ,
2
2
x1 y j x12 n−1 = y j , ( x nj y j ) x j = x j , ( x j y j ) x 2j n = y 2j n ,
2
2
xk xl = xl xk , xk ' yl ' = yl ' xk ' , yk xl = xl yk , yk yl = yl yk , x 2j n = x12 n ,
(1 ≤ i ≤ t ,1 ≤ k < l ≤ t, 2 ≤ k
'
< l ' ≤ t, 2 ≤ j ≤ t ) ⟩
elde ederiz. P6 takdiminin deficiencysi ( 2t 2 − t ) ve n tek olmak üzere D22nt nin Schur
çarpanının rankı da
( 2t
2
− t ) oluğundan D22nt yarıgrup olarak düşünüldüğünde
etkindir.
Şimdi de (m tek ve m ≥ 3 ) için D2mn nin etkin olduğunu ispatlayalım.
3
m = 2t + 3 ve t ≥ 0 olsun. Eğer t = 0 ise Önerme 5.2.4 den D2n
ün yarıgrup
olarak düşünüldüğünde etkin olduğunu biliyoruz. Eğer t ≥ 1 ise Lemma 5.1.1 den
3
için P5 takdimini ve D22nt için P6 takdimini kullanarak D22nt + 3 = D22nt × D23n ü
D2n
yarıgrup olarak tanımlayan
28
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
( )
⟨ a, x, z , xi , yi | zazaz = z , xz n
2n
Şafak KABALCI
= a 2 , x 2 n −1 ax = a, x n −1 z = zx n +1 , x 2 n = a 2 ,
z n −1 xz n +1 = x, x12 n y1 = y1 , ( x1n y1 ) x1 = x1 , ( x1 y1 ) x12 n = y12 n ,
2
2
x1 y j x12 n−1 = y j , ( x nj y j ) x j = x j , ( x j y j ) x 2j n = y 2j n ,
2
2
xk xl = xl xk , xk ' yl ' = yl ' xk ' , yk xl = xl yk , yk yl = yl yk ,
axi = xi a , ayi = yi a , xxi = xi x , xyi = yi x , zxi = xi z , zyi = yi z
(
)
xi2 n = x 2 n 1 ≤ i ≤ t ,1 ≤ k < l ≤ t , 2 ≤ k ' < l ' ≤ t , 2 ≤ j ≤ t ⟩
yarıgrup takdimini düşünelim. Bu takdimin deficiencysi 2t 2 + 5t + 4 dür. Bununla
birlikte D22nt + 3 ün Schur çarpanının rankı ( 2t + 3)( 2t + 2 ) 2 = 2t 2 + 5t + 3 ( Campbell
ve diğerleri, 1990a), olduğundan bu takdim etkin değildir.
Etkin bir takdim elde edebilmek için önce xy1 x 2 n −1 = y1 bağıntısının
xy1 = y1 x , x12 n = x 2 n ve x12 n y1 = y1 bağıntılarının bir sonucu olduğunu gösterelim.
Geçekten,
xy1 x 2 n −1 = y1 xx 2 n −1 ≡ y1 x 2 n = x 2 n y1 = x12 n y1 = y1
elde edilir. x 2 n +1 = x bağıntısının yukarıdaki takdimin ilk 6 bağıntısının bir sonucu
olduğu Önerme 5.2.2 deki x 2 n = 1 bağıntısının elde edilişinin ispatına benzer bir
ispatla görülebilir. x 2 n +1 = x , x12 n = x 2 n ve yeni bağıntı xy1 x 2 n −1 = y1 den x12 n y1 = y1
ve xy1 = y1 x bağıntıları gereksizdir. Gerçekten,
x12 n y1 = x12 n ( xy1 x 2 n −1 ) = x 2 n +1 y1 x 2 n −1 = xy1 x 2 n −1 = y1
ve
y1 x12 n = ( xy1 x 2 n −1 ) x12 n = xy1 x 2 n +1 x 2 n − 2 = xy1 x 2 n −1 = y1
29
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
olduğundan,
xy1 = xy1 x12 n = xy1 x 2 n −1 x = y1 x
elde edilir. Bundan dolayı x12 n y1 = y1 ve xy1 = y1 x bağıntıları yeni tek xy1 x 2 n−1 = y1
bağıntısı ile yer değiştirilebilir ve böylece D22nt + 3 nin yarıgrup olarak düşünüldüğünde
etkin olduğu sonucuna varılır.
■
5.2.1 ve 5.2.3 teoremlerinden aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz.
Teorem 5.2.4. D2mn direk çarpımı m ≥ 2 için etkin bir yarıgruptur.
5.3. PSL(2, p) nin Yarıgrup Olarak Düşünüldüğünde Etkinliği
PSL(2, p) nin grup iken etkinliği birçok makalede çalışılmıştır (Beetham.
1971; Sunday, 1972; Zassenhaus, 1969). Bu bölümde tüm p asal sayıları için PSL(2,
p) nin yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkin olduğunu ispatlayacağız. p tek asal
sayısı için PSL(2, p) nin (etkin olmayan) bir grup takdimiyle başlayalım.
(
P ( G, p ) = ⟨ x, y | x 2 = 1, y p = 1, ( xy ) = 1, xy 4 xy ( p +1) 2
3
)
2
= 1⟩
(Bu takdim Ayık, 1998; Teorem 1.44 deki takdimden elde edilmiştir.)
Şimdi PSL(2, p) için Teorem 5.3.2 de yararlı olacak etkin olmayan bir
yarıgrup takdimi verelim.
Lemma 5.3.1. p tek bir asal sayı olsun. Bu durumda
G p = ⟨ x, y | x3 = x, y p = x 2 , ( xy ) = x 2 , xy p −1 xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2 = y ⟩
3
30
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
takdimi PSL(2, p) için bir yarıgrup takdimidir.
İspat: Sonuncu ve ilk bağıntılardan
x 2 y = x3 y p −1 xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2 = xy p −1 xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2 = y
elde edilir. İkinci bağıntıdan x 2 merkezliyenin elemanıdır ve bu durumda x 2 G p
tarafından tanımlanan S p yarıgrubu için bir birimdir. Ayrıca x ve y nin tersleri
sırasıyla x ve y p −1 dir. Bu da gösterir ki S p gerçekte bir gruptur. Aşağıda verilen
takdim S p için bir grup takdimidir.
G p ' = ⟨ x, y | x 2 = 1, y p = 1, ( xy ) = 1, y −1 xy p −1 xy 3 xy (
3
G p ' nün ilk 3 bağıntısından,
y −1 xy p −1 xy −1 = y −1 x −1 y −1 x1 y −1 = x ,
elde edilir ve G p ' nün son bağıntısından,
1 = y −1 xy p −1 xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
= ( y −1 xy p −1 xy −1 ) y 4 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
p +1 2
p +1 2
= ( y −1 x −1 y −1 x1 y −1 ) y 4 xy ( ) xy 4 xy ( )
(
= xy 4 xy ( p +1) 2
)
2
bağıntısı P ( G, p ) nin son bağıntısı olarak elde edilir.
31
p +1) 2
xy 4 xy ( p +1) 2 = 1 ⟩
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
Şimdi G p ' nün son bağıntısının P ( G, p ) nin bağıntılarının bir sonucu
(
olduğunu gösterelim. y p −1 x 2 y = y p −1 y = 1 , xy 4 xy ( p +1) 2
)
2
= 1 ve ( xy ) = y p = x 2 = 1
3
bağıntılarından
xy p −1 xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2 = xy p −1 x ( y p −1 x 2 y ) y 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
(
= xy p −1 xy p −1 x xy 4 xy ( p +1) 2
)
2
= xy p −1 xy p −1 x
= xy p −1 x ( xyxyx ) x
≡ xy p −1 x 2 yxyx 2 = y
elde edilir. Bundan dolayı
G p ve P ( G, p ) izomorf gruplar tanımlar ve bu da
gösterir ki S p ≅ PSL(2, p) dir.
■
Şimdi PSL(2, p) nin etkin bir takdimini içeren ve bir grup tanımlayan
deficiencysi 1 olan bir yarıgrup takdimi vereceğiz.
Lemma 5.3.2. Aşağıdaki,
H(p,k) = ⟨ x, y | y p = x 2 , yxyxy = x , xy kp −1 xy 3 xy (
p +1) 2
xy 4 xy ( p +1) 2 = y ⟩
yarıgrup takdimi her pozitif k sayısı ve her bir p tek asal sayısı için x 2 ( xy 2 ) birimi
p
ile bir grup tanımlar.
İspat: 1. bağıntıdan x 2 ve y p nin her ikisinin de merkezliyen elemanlar olduğunu
gözlemleyelim. O halde
(
x 2 k +3 xy 4 xy ( p +1) 2
)
2
(
= y p( k +1) x xy 4 xy ( p +1) 2
)
2
= y kp +1 y p −1 x 2 y 4 xy ( p +1) 2 xy 4 y ( p +1) 2
32
(x
2
= y p olduğundan )
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
= y kp +1 x 2 y p −1 y 4 xy ( p +1) 2 xy 4 y ( p +1) 2
= y kp +1 x3 x y 3 xy ( p +1) 2 xy 4 y ( p +1) 2
( x 2 merkezliyen
eleman olduğundan)
2
( x = y p olduğundan )
= yxy kp x 2 x y 3 xy ( p +1) 2 xy 4 y ( p +1) 2
( y p merkezliyen
eleman olduğundan)
= yxyx 2 y kp −1 x y 3 xy ( p +1) 2 xy 4 y ( p +1) 2
( x 2 merkezliyen
eleman olduğundan)
olup sonuncu bağıntı ve 2. bağıntıdan,
(
x 2 k +3 xy 4 xy ( p +1) 2
)
2
= yxyx xy kp −1 x y 3 xy ( p +1) 2 xy 4 y ( p +1) 2 = yxyxyx = x
(12 )
elde edilir ve hatta
(
x 4 yxy = x 4 yx xy kp −1 xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
)
( 3.bağıntıdan )
= x 4 y kp x x 2 y 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
( x 2 merkezliyen
eleman olduğundan)
(x
p +1 2
p +1 2
= x 4 y kp x y p −1 y 4 xy ( ) xy 4 xy ( )
(
= xy p −1 y kp x3 xy 4 xy ( p +1) 2
)
2
2
= y p olduğundan )
( x 2 ve y p merkezliyen
eleman olduğundan)
(
= xy p −1 x 2 k +3 xy 4 xy ( p +1) 2
)
(y
2
p
= x 2 olduğundan )
elde edilir. x 2 merkezliyen eleman olduğundan ve (12 ) den
(
x 4 yxy = yxyx 4 = xy p −1 x 2 k +3 xy 4 xy ( p +1) 2
33
)
2
= xy p −1 x
(13)
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
elde edilir. Ayrıca 1. bağıntıdan ve y p merkezliyen eleman olduğundan
x 2 k + 2 yxy ≡ x 2 k − 2 ( x 4 yxy ) = y p( k −1) xy p −1 x = xy kp −1 x
olur ve böylece son bağıntıdan
yx 2 k + 2
( xy xy(
4
p +1) 2
)=x
2
2k +2
(
y xy 4 xy ( p +1) 2
)
2
= x 2 k + 2 y xy y 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
= xy kp −1 x y 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2 = y
(14 )
2. bağıntıdan herhangi k ∈ Ν için
( yxy )
k
xy k = x
bağıntısına sahip oluruz. Özel olarak
( yxy )
p −1
(15)
xy p −1 = x
elde edilir. 3. ve 1. bağıntıdan,
y ( xy 2 )
p −1
≡ ( yxy )
=
p −1
(( yxy )
y
p −1
)
xy p −1 y
p ( k −1)
xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
= xy p( k −1) xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
p +1 2
p +1 2
= x 2 k y 3 xy ( ) xy 4 xy ( )
olur ve soldan xy ile çarparak,
34
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
xyy ( xy 2 )
p −1
( xy )
2
p
Şafak KABALCI
= xyx 2 k y 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
(
)
= x 2 k xy 4 xy ( p +1) 2
2
(16 )
elde edilir. Bundan dolayı (12 ) ve (14 ) den
(
x 3 ( xy 2 ) = x 3 x 2 k xy 4 xy ( p +1) 2
p
)
(
2
yx 2 ( xy 2 ) = yx 2 x 2 k xy 4 xy ( p +1) 2
p
(
= x 2 k +3 xy 4 xy ( p +1) 2
)
2
)
2
(
= yx 2 k + 2 xy 4 xy ( p +1) 2
=x
)
2
=y
olur ve böylece
x3 ( xy 2 ) = x ve yx 2 ( xy 2 ) = y
p
p
(17 )
olduğundan x 2 ( xy 2 ) nin bir sağ birim olduğu görülür. Şimdi
p
y ( xy 2 ) = ( xy 2 ) y
p
p
olduğunu gösterelim. Son ve ilk bağıntılardan:
yxy = yx 2 y kp −1 xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
= y kp xy p −1 y 4 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
(
= xy p −1 x 2 k −1 xy 4 xy ( p +1) 2
)
2
eşitliği elde edilir. Şimdi bu eşitliğin her iki tarafını soldan ( yxy )
y ( xy 2 )
p −1
xy ≡
( yxy ) ( yxy ) = ( yxy )
p −1
35
p −1
(
p −1
ile çarparsak,
xy p −1 x 2 k −1 xy 4 xy ( p +1) 2
)
2
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
elde edilir ve böylece (15 ) ve (16 ) dan
y ( xy 2 )
p −1
(
xy = x 2 k xy 4 xy ( p +1) 2
) = ( xy )
2
2
p
olur. Sağdan y ile çarparsak,
y ( xy 2 )
p −1
xyy = ( xy 2 ) y
p
y ( xy 2 ) = ( xy 2 ) y
p
p
(18)
elde edilir. x ( xy 2 ) nin x in sağ tersi olduğu açıktır. Şimdi de y nin sağ tersinin
p
x 2 ( xy 2 )
p −1
(
xy olduğunu gösterelim. İlk bağıntıdan ve (18 ) den,
y x 2 ( xy 2 )
p −1
)
xy = y ( xy 2 )
p −1
= y ( xy 2 )
p −1
xx 2 y
( x 2 merkezliyen eleman olduğundan)
xy p +1
≡ y ( xy 2 ) y p −1
p
= y p ( xy 2 )
= x 2 ( xy 2 )
( (18) den )
p
p
elde edilir.
Bu durumda Lemma 3.1 den H(p,k) nın bir grup tanımladığı sonucuna
varılır.
■
H(p,k), H(p,k) yarıgrup takdimi tarafından tanımlanan grubu göstersin.
Lemma 5.3.3. Tüm tek k sayıları ve tüm p tek asal sayıları için, eğer x gereni x 4 = 1
i sağlarsa bu durumda x 2 = 1 H(p,k) da sağlanır.
İspat: Öncelikle x 4 = 1 i kabul etmeden
36
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
(19 )
y p −1 = xyxyx
olduğunu gösterelim.
(
y p −1 = y p −1 x 2 k + 2 xy 4 xy ( p +1) 2
)
( (14 ) den )
2
(
= x ( xy p −1 x ) x 2 k −1 xy 4 xy ( p +1) 2
= x ( yxyx ) x
4
2 k −1
( xy xy
4
(
≡ xyxyx 2 k +3 xy 4 xy ( p +1) 2
( p +1)
)
2
)
2
)
( x 2 merkezliyen
eleman olduğundan)
2
( (13) den )
2
= xyxyx
( (12 ) den )
elde edilir. Sonra H(p,k) nın son ve ilk bağıntısından
yxy = yx 2 y kp −1 xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
= yy p y kp −1 xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
≡ y p( k +1) xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
= x 2 k +3 y 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
eşitliğini elde ederiz.
Şimdi x 4 = 1 olduğu varsayalım. Bu durumda k tek olduğundan x 2 k +3 = x dir
ve böylece
yxy = x 2 k +3 y 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2 = xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2 .
(13)
ve x 4 = 1 den
xy p −1 x = x 4 yxy = yxy = xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
37
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
elde edilir. Yukarıdaki eşitliği soldan y 2 p −3 x 3 ile çarparak ve x 4 = y 2 p = 1 olduğunu
kullanarak
y 2 p −3 x 3 xy p −1 x = y 2 p −3 x 3 xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
y 3 p − 4 x = xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2
p +1 2
p +1 2
y p − 4 x = xy ( ) xy 4 xy ( )
elde edilir. Şimdi bu eşitliği sağdan x 2 y p −1 x 3 ile çarparak
y p − 4 x x 2 y p −1 x 3 = xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2 x 2 y p −1 x 3
( 20 )
y p − 4 x 3 y p −1 x 3 = xy ( p +1) 2 xy 4 x 3 y ( 3 p −1) 2 x3
eşitliği elde edilir.
y p − 4 x 3 y p −1 x 3 = y p − 4 x y p −1 x
(x
2
merkezliyen eleman ve x 4 = 1olduğundan )
( (19 ) dan )
= y p − 4 x xyxyx x
(x
= y 2 p −3 xyx 2
2
= y p olduğundan )
( 2. bağıntıdan )
= y 2 p −3 yxyxyyx 2
≡ y 2( p −1) xyxy 2 x 2
= ( y 2 p −2 x ) y ( x3 y 2 )
olduğundan ( 20 ) den, u = xy ( p +1) 2 x ve v = x3 y ( 3 p −1) 2 x 3 olmak üzere
(y
2 p −2
x ) y ( x 3 y 2 ) = uy 4 v
elde edilir. vu = x3 y 2 y 2 p − 2 x = x3 y 2 p x = x3 y 2 p x = x3 x 4 x = 1 olduğundan
(( y
2 p −2
)
x ) y ( x 3 y 2 ) = ( uy 4u −1 )
p
p
38
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
eşitliğinden
(y
2 p −2
x ) y p ( x3 y 2 ) = uy 4 p u −1 =1
olduğu görülür ve böylece istenen
(y
2 p −2
x ) y p ( x3 y 2 ) = y 2 p x 4 y p = y p = x 2 = 1
elde edilir.
■
Bu bölümün ana teoreminden önce
kullanışlı bir teorem belirtelim.
(Campbell ve diğerleri, 1980).
G nin bir örten (covering) grubu C öyle bir gruptur ki, M ( G ) , G nin Schur
çarpanını göstermek üzere,
C A ≅ G , A ≤ C ' ∩ Z ( G ) ve A = M ( G )
özelliğini sağlayacak şekilde bir A alt grubuna sahiptir.
SL ( 2, p ) grubu PSL ( 2, p ) grubunun örten grubu olduğu açıktır.
Teorem 5.3.1. G sonlu bir perfect grup olsun. B ≤ H ' ∩ Z ( H ) olmak üzere
G ≅ H B olduğunu varsayalım. Bu durumda G tek bir C örten grubuna sahiptir ve
H C nin homomorfik imajıdır.
İspat ve daha fazla detay için Campbell ve diğerleri, (1980) e bakınız.
39
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
Teorem 5.3.2. Her bir p asal sayısı için PSL ( 2, p ) yarıgrup olarak düşünüldüğünde
etkindir. Bununla birlikte tüm p tek asal sayıları için,
PSL ( 2, p ) ≅ H ( p ,11)
dir.
İspat: PSL(2, 2) ≅ D6 ve D6 etkin olduğundan ( D6 nın etkinliği için Lemma 5.1.1 e
bakınız) PSL(2, 2) yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkindir. Her bir p tek asalı için
H(p,k) grubunu kullanacağız.
yxyxy = ( x 2 y ) xyxy = x ( xy 3 ) = x 3 = x
olduğundan ( Lemma 5.3.1 e bakınız) her k ve her p tek asalı için PSL(2, p), H(p,k)
Bazı k lar için x3 = x ( ya da x 2 = 1 ) H(p,k) da
nın homomorfik imajıdır.
sağlanıyorsa bu durumda PSL(2, p) H(p,k) ya izomorftur. Bundan dolayı PSL(2, p)
nin etkin olduğunu ispatlamak için x 3 = x bağıntısının bazı k0 lar için H(p, k0 ) da
sağlandığını göstermek yeterlidir.
Öncelikle PSL(2, 3) ≅ H(3,1) olduğunu gösterelim.
H(3,1) ≅ ⟨ x, y | y 3 = x 2 , yxyxy = x , xy 2 xy 3 xy 2 xy 4 xy 2 = y ⟩
ve x 2 ( xy 2 ) ün birim olduğunu hatırlayalım. Yukarıdaki ilk ve son bağıntıdan,
3
x3 = xy 3 = ( xy 2 ) xy 2 xy 3 xy 2 xy 4 xy 2 ≡ ( xy 2 ) yxy 2 xy 4 xy 2
3
= x 2 ( xy 2 ) yxy 2 xyxy 2
3
olup x 2 ( xy 2 ) = 1 olduğundan ve ikinci bağıntıdan
3
40
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
x3 = yxy 2 xyxy 2 ≡ yxy ( yxyxy ) y = yxyxy = x
bulunur. Ayrıca bir koset sayma programı kullanılarak H(3,1) ≅ H(3,11) olduğu elde
edilebilir.
Şimdi p ≥ 5 tek asalları için H = H(p,11) grubunu düşünelim. H ın perfect
( H H ' aşikar gruptur) bir grup olduğunu gösterelim.
H H' ≅
≅
≅
≅
⟨ x, y | y p = x 2 , y 3 x = 1 , y12 p + 6 x 5 = 1 , xy = yx ⟩
⟨ y | y p + 6 = 1, y12 p −9 = 1 ⟩
⟨ y | y p + 6 = 1, y 81 = 1 ⟩
{1}
Burada eğer p ≠ 3 ise p + 6 ve 81 in ortak bölenlerinin en büyüğü 1 dir. (( G G ' )
hakkında daha geniş bilgi için Johnson, 1976 ve Johnson, 1990 a bakınız.)
Bundan dolayı x 2 ∈ H ' = H ve x 2 merkzliyenin elemanıdır öyle ki B
B ≤ H ' ∩ Z ( H ) özelliğini sağlar ve x 2 tarafından üretilir. Lemma 5.3.1 den
H B = ⟨ x, y | y p = x 2 = 1, yxyxy = x , xy kp −1 xy 3 xy (
p +1) 2
xy 4 xy ( p +1) 2 = y ⟩
= ⟨ x, y | y p = x 2 = 1, yxyxy = x , xy p −1 xy 3 xy ( p +1) 2 xy 4 xy ( p +1) 2 = y ⟩
≅ PSL(2, p)
olduğundan Teorem 5.3.1 e göre H, PSL(2, p) ya da SL(2, p) dir. Her iki durumda da
x 4 = 1 H da sağlanıp Lemma 5.3.3 den x 2 = 1 H da sağlandığından istenilen
PSL(2, p) ≅ H B ≅ H
elde edilir.
41
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
Hatırlatma: H(p,k) nın perfect olması için gerek ve yeter koşul 2k + 5 ile p + 6 nın
aralarında asal olmasıdır. k nın değeri her p sayısı için 2k + 5 3 ün kuvveti olacak
şekildedir.
Genelde her tek k sayısı için PSL(2, p) ≅ H(p,k) doğru değildir. Hatta H(p,k)
ve PSL(2, p) nin dereceleri bile farklı olabilir. Örneğin H ( 5,3) = 11× PSL ( 2,5 )
dir.
Son olarak, PSL(2,p) yarıgruplarının direk çarpımlarının etkinliğinin
düşünülmesinde öncülük yapan etkin yarıgrup örnekleri verilecektir. (Ayık, 1998 ).
Örnek 4.3.1. Aşağıdaki
⟨ a, b | a 7 = a , ( a 3b ) = a 6 , ( a 2b ) b5 = b ⟩
2
2
yarıgrup takdimi PSL ( 2, 2 ) × PSL ( 2, 2 ) yi tanımlar. Bundan dolayı
PSL ( 2, 2 ) × PSL ( 2, 2 )
yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkindir.
İspat: Yukarıdaki son ve ilk bağıntılar aşağıdaki eşitlikte kullanılarak
a 6b = a 6 ( a 2b ) b5 ≡ a 7 ( aba 2b ) b5 = ( a 2b ) b5 = b
2
2
a 6 nın bir sol birim olduğu , a 5 in de a nın sol tersi olduğu ve a 3ba 3 ün b nin sol
tersi olduğu görülür. Bu durumda Lemma 3.1 den yukarıdaki takdim a 6 birimi ile bir
grup tanımlar. O halde bu grup aşağıdaki
⟨ a, b | a 6 =1 , ( a 3b ) = 1, ( a 2b ) b 4 = 1 ⟩
2
2
42
5. BELİRLİ ETKİN GRUPLARIN YARIGRUP
OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE ETKİNLİĞİ
Şafak KABALCI
grup takdimiyle verilebilir. Bu takdim PSL ( 2, 2 ) × PSL ( 2, 2 ) için etkin bir takdimdir.
(Campbell ve diğerleri, 1990b ye bakınız). Bundan dolayı PSL ( 2, 2 ) × PSL ( 2, 2 )
yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkindir.
■
PSL ( 2, 2 ) ≅ D62 olduğundan PSL ( 2, 2 ) nin etkinliği 5.2.3. önermesinden
2
2
bulunur.
Örnek 4.3.2. ⟨ a, b | a 4 = a , b3 = a 3 , ( ab ) b = b, bab 2 a 2ba = ab ⟩ yarıgrup takdimi
6
PSL ( 2,3) × PSL ( 2,3) ü tanımlar. Bundan dolayı
PSL ( 2,3) × PSL ( 2,3)
yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkindir.
İspat: İlk ve üçüncü bağıntılar kullanılarak,
a 3b = a 3 ( ab ) b ≡ a 4b ( ab ) b = ( ab )( ab ) b = b
6
5
5
eşitliği elde edilir. İkinci bağıntıdan a 3 ün birim eleman, a nın tersinin a 2 ve b nin
tersinin b 2 olduğu sonucuna varılır. Bundan dolayı a 3 birimi ile yukarıdaki takdim
bir grup tanımlar. O halde bu grup aşağıdaki
⟨ a, b | a 3 =1 , b3 = 1 , ( ab ) = 1, bab 2 a 2ba = ab ⟩
6
grup takdimiyle verilebilir. Bu takdim PSL ( 2,3) × PSL ( 2,3) için etkin bir takdimdir.
(Campbell ve diğerleri, 1990b ye bakınız).
43
KAYNAKLAR
AYIK, H., 1998. Presentations and Efficiency of Semigroups. Ph. D. Thesis,
University of St. Andrews, 182s.
AYIK, H., CAMPBELL, C.M., O’CONNOR, J.J., and RUSKUC, N., 2000.
Minimal Presentations and Efficiency of Semigroups. Semigroup Forum, 60:
231-242.
BAIK, Y.G., and PRIDE S.J., 1997. On the Efficiency of Coxeter Groups. Bull.
London Math. Soc., 29: 32-36.
BEETHAM, M.J., 1971. A Set of Generators and Relations for the group PSL(2,q),
q odd. J. London Math. Soc., 2: 554-557
CAMPBELL, C.M., and ROBERTSON, E.F., 1980. A Deficiency Zero
Presentation for SL(2,p). Bull. London Math. Soc., 12: 17-20.
CAMPBELL, C.M., and ROBERTSON, E.F., WILLIAMS, P.D., 1990a. On the
Efficiency of Some Powers of Groups. Groups Canberra (1989), Lecture
Notes in Math., Spriger Verlag,1456: 106-113.
CAMPBELL, C.M., and ROBERTSON, E.F., WILLIAMS, P.D., 1990b.
Efficient Presentations of the Groups PSL(2,p)× PSL(2,p), p prime. J. London
Math. Soc.,(2) 41:69-77.
JOHNSON, D.L., 1976. Presentations of Groups. London Math. Soc. Lecture Notes,
22, Cambridge University Pres, Cambridge.
JOHNSON, D.L., 1990. Presentations of Groups. London Math. Soc. Student Texts,
15, Cambridge University Pres, Cambridge, 202s.
ROBERTSON, E.F., ÜNLÜ Y., 1992. On Semigroup Presentations. Proc. of
Edinburgh Math. Soc., 36: 55-68.
SUNDAY, J.G., 1972. Presentations of the groups PSL(2,m) and SL(2,m). Cand. J.
Math., 24: 1129-1131.
ZASSENHAUS, H.J., 1969. A Presentation of the Groups PSL(2,p) with three
defining relations. Canad. J. Math., 21: 310-311.
ROTMAN, J.J., 1994. An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag,
New York, Berlin, Heidelberg.
44
KARPILOVSKY, G., 1987. The Schur Multiplier. London Math. Soc. Monographs
New Series 2, Claredon Pres, Oxford.
45
ÖZGEÇMİŞ
16.12.1980 yılında Afşin’de doğdum. İlk ve orta öğrenimimi Dörtyol’da,
liseyi İskenderun’da tamamladım. 1998 yılında 19 Mayıs Üniversitesi Matematik
Bölümü’nde lisans öğrenimime başladım. 2002 yılında Çukurova Üniversitesi
Matematik Bölümü’nde yüksek lisansa başladım.
46