8.10.2014 1

8.10.2014 1
EME 3105
Giriş
2
Sistem Simülasyonu
Önümüzdeki 2 hafta simulasyon girdilerinin
modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli
dağılımlar hatırlatılacaktır.
Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I
Ders 4
Olasılık Dağılımı
Rassal Degiskenler
3
4
Tanım: Rassal Degisken, örnek uzaydaki deney sonuçlarını
gerçel bir sayıya atayan bir fonksiyondur.
S örnek Uzay
ω1
ω2
Olasılık
Dağılımı
Rassal
Değisken
X(ω1)
ω4
ω5
ω6
Gerçel Sayılar
Örnek Uzay
ω3
X: Her ω ∈S'ye gerçel bir sayı atar.
1 Sayı
Olasılık
8.10.2014 Kesikli Rasgele Değişkenin
Olasılık Fonksiyonu
Kesikli Rasgele Değişkenin
Dağılım Fonksiyonu
6
Tanım: X, sonlu sayıdaki x1, x2, …, xN değerlerini f(xi)=P(X=xi),
Tanım: (Dağılım fonksiyonu) Bir X rasgele
i=1, 2,…, N olasılıkları ile alabilen kesikli rasgele değişken
olsun. Bu durumda aşağıdaki koşulları sağlayan f(x)
değişkeninin dağılım fonksiyonu F(x) ile gösterilir ve
fonksiyonuna X’in olasılık fonksiyonu denir.
X’in x’e eşit ya da daha küçük olması olasılığıdır.
1. f ( x) ≥ 0, tüm x'ler için
N
F ( x) = P( X ≤ x) = ∑ f ( xi )
∑ f(x ) = 1
2.
i
i=1
xi ≤ x
X=x
x1
x2
…
xN
f(x)=P(X=x)
f(x1)
f(x2)
…
f(xN)5
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
7
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
8
d
Tanım : X, şekilde gösterilen (−∞, ∞) aralığında tanımlanan
P(c < X < d ) =
c
sürekli rasgele değişken olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan
f (x) egrisi, x-ekseni ve x=c, x=d dogruları ile sınırlı alandır.
f(x) fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk
fonksiyonu denir.
Histogram of C2
f(x)
Normal
Mean
StDev
N
1,156
2,981
1000
1. f ( x) ≥ 0,
-∞ < x < ∞
+∞
Density
2. ∫ f ( x)dx = 1,
∫ f (x) dx
P ( c < X < d ) = P ( c ≤ X ≤ d ) = P ( c ≤ X < d ) = P (c < X ≤ d )
olduğuna dikkat etmeliyiz.
f(x)
Histogram of C2
Normal
Sürekli X rasgele değişkeninin
belli bir x değeri alması olasılığı
sıfırdır.
P(X=x)=0
Mean
StDev
N
0
c
C2
d
x
( f(x) eğrisi altında kalan ve
x-ekseni ile sınırlanan alan 1’e
eşittir. )
Density
−∞
c
0
2 C2
d
x
1,156
2,981
1000
8.10.2014 Sürekli Rasgele Değişkenin
Dağılım Fonksiyonu
9
Rasgele Değişkenlerin
Beklenen Değeri ve Varyansı
10
E( X ) = ∑ x. f (x)
Tanım: (Dağılım Fonksiyonu) X, f(x) olasılık yoğunluk
X:Kesikli Rassal Degisken
x
fonksiyonuna sahip sürekli rasgele değişken olsun.
V ( X ) = E ⎡⎣( X − E[ X ])2 ⎤⎦
X’in dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır.
x
F ( x) = P( X ≤ x) =
∫
E [Y ] =
f ( s)ds
+∞
∫ y. f (y)dy
Y:Sürekli Rassal Degisken
−∞
−∞
+∞
V[Y]= ∫ ( y − E [Y ]) f (y)dy
2
−∞
Yaygın Kesikli Dağılımlar (1)
Yaygın Kesikli Dağılımlar (2)
11
Dağılım,
X rassal Degişkeni
Bernoulli (p)
Tek denemedeki basarı sayısı
12
Olasılık Fonksiyonu
f(x)
f (x) = p .(1− p) , x = 0,1
x
1−x
Binom (n,p)
n tane Bernoulli denemesindeki
basari sayisi
Geometrik (p)
Sıralı bernoulli denemelerinde ilk
basarıya kadarki deneme sayısı
Negatif Binom (k,p)
Sirali Bernoulli denemelerinde
k’ninci basariya kadarki deneme
sayisi
⎛ n ⎞ x n−x
f (x) = ⎜
⎟ .p .q ,x=0,1,2,...,n
⎝ x ⎠
f (x) = q x−1.p,
x = 1,2,...
⎛ x −1 ⎞ k
x−k
f (x) = ⎜
⎟ .p .(1− p)
⎝ k −1 ⎠
x=k, k+1,...
E[X] ve V[X]
µ = E( X ) = p
σ 2 = p.q = p.(1− p)
µ = E( X ) = np
σ 2 = npq
E( X ) =
1
q
,σ2 = 2
p
p
Dağılım,
X rassal Degişkeni
Olasılık Fonksiyonu
f(x)
Poisson (λ)
Belli bir zaman süresince gerçekleşen
olayların sayısı
Kesikli Düzgün (a,b)
f (x) =
e− λ .λ x
, x=0,1,2,... λ >0
x!
1
b−a
x = a,a + 1,...,b ; a ≤ b
f (x) =
Kesikli Düzgün
µ = E( X ) = k / p
f (x) =
σ 2 = kq / p 2
3 1
, x = x1 , x2 ,..., x N
N
E[X] ve V[X]
µ = E( X ) = λ
σ2 =λ
(b + a)
2
(b − a + 1)2 − 1
σ2 =
12
µ = E( X ) =
µ = E( X ) =
σ2 =
N −1
12
2
N +1
2
8.10.2014 Örnek
a) Binom Dağılımı (4;0,8)
13
14
Bir pastane günde belli bir tip yaş pastadan kaç adet pişirmesi
⎛ n ⎞ x n−x
f (x) = ⎜
⎟ .p .q ,x=0,1,2,...,n
⎝ x ⎠
gerektiğini belirlemeye çalışmaktadır. Pastaneye belirtilen yaş pastadan
almak için bir günde gelen müşteri sayısının dağılımı
a)  (n=4, p=0.8) parametreli Binom dağılıma uymaktadır.
⎛ 4 ⎞
0
4−0
4
f (0) = P( X = 0) = ⎜
⎟ .(0,8) .(0,2) = 1.1.(0,2) = 0,0016
⎝ 0 ⎠
b)  Ortalaması 4 olan Geometrik dağılıma uymaktadır.
c)  (k=3, p=0.9) parametreli Negatif Binom dağılıma uymaktadır.
d)  λ= 3 parametreli Poisson dağılıma uymaktadır.
e)  min.=0, max.=4 parametreli Kesikli Düzgün dağılıma uymaktadır.
5 günde gelen toplam müşteri sayısını simüle edin.
Rassal Sayılar:
0.7213
0.5409
0.2267
0.9235
0.0521
⎛ 4 ⎞
1
4−1
3
f (1) = P( X = 1) = ⎜
⎟ .(0,8) .(0,2) = 4.(0,8)(0,2) = 0,0256
⎝ 1 ⎠
⎛ 4 ⎞
2
4−2
2
2
f (2) = P( X = 2) = ⎜
⎟ .(0,8) .(0,2) = 6.(0,8) (0,2) = 0,1536
⎝ 2 ⎠
⎛ 4 ⎞
3
4−3
3
1
f (3) = P( X = 3) = ⎜
⎟ .(0,8) .(0,2) = 4.(0,8) (0,2) = 0,4096
⎝ 3 ⎠
⎛ 4 ⎞
4
4−4
4
f (4) = P( X = 4) = ⎜
⎟ .(0,8) .(0,2) = 1.(0,8) 1 = 0,4096
⎝ 4 ⎠
a) Binom Dağılımı (4;0,8) (devam)
15
⎧0,0016
⎪
⎪⎪0,0256
f (x) = ⎨0,1536
⎪0,4096
⎪
⎪⎩0,4096
16
, x=0
, x=1
, x=2
, x=3
, x=4
x
f(x)
F(x)
0
0,0016
0,0016
1
0,0256
0,0272
0,016< RS <=0,0272
2
0,1536
0,1808
0,0272< RS <=0,1808
3
0,4096
0,5904
0,1808< RS <=0,5904
4
0,4096
1
0,5904< RS <1
RS
Talep
0,7213
4
0,5409
3
0,2267
3
0,9235
4
a) Binom Dağılımı (4;0,8)
Minitab Olasılık Hesaplamaları
RS Atama
0< RS <=0,016
0,0521
1
Toplam
15
4 8.10.2014 17
a) Binom Dağılımı (4;0,8)
Minitab Birikimli Olasılık Hesaplamaları
a) Binom Dağılımı (4;0,8)
Minitab Ters Fonksiyondan Değer Hesaplama
18
P(X ≤ x) = 0,016 ise x=?
19
a) Binom Dağılımı (4;0,8)
Minitab Olasılık Grafiği
20
a) Binom Dağılımı (4;0,8)
Minitab Ampirik Birikimli Olasılık Grafiği
5 8.10.2014 b) Geometrik Dağılım (E[X]=4)
b) Geometrik Dağılım (E[X]=4) (devam)
22
21
x
f(x)
F(x)
RS Atama
1
0,25
0,25
0< RS <=0,25
2
0,1875
0,4375
0,25< RS <=0,4375
3
0,1406
0,5781
0,4375< RS <=0,5781
RS
Talep
f (1) = (0,75) .(0,25) = 0,25
f (7) = (0,75)7−1.(0,25) ≈ 0,0445
4
0,1055
0,6836
0,5781< RS <=0,6836
0,7213
5
f (2) = (0,75)2−1.(0,25) = 0,1875
f (8) = (0,75)8−1.(0,25) ≈ 0,0334
5
0,0791
0,7627
0,6836< RS <=7627
0,5409
3
0,0593
0,8220
0,7627< RS <=8220
0,2267
1
f (3) = (0,75)3−1.(0,25) = 0,14062
f (9) = (0,75)9−1.(0,25) ≈ 0,0250
6
7
0,0445
0,8665
0,8220< RS <=8665
0,9235
9
f (4) = (0,75) .(0,25) ≈ 0,10547
f (10) = (0,75)10−1.(0,25) ≈ 0,0188
8
0,0334
0,8999
0,8665< RS <=8999
0,0521
1
f (5) = (0,75) .(0,25) ≈ 0,0791
f (11) = (0,75)11−1.(0,25) ≈ 0,0141
9
0,0250
0,9249
0,8999< RS <=0,9249
Toplam
19
10
0,0188
0,9437
0,9249< RS <=9437
11
0,0141
0,9578
0,9437< RS <=0,9578
12
0,0106
0,9684
0,9578< RS <=0,9684
>12
0,0316
1
RS>0,9684
f (x) = q x−1.p,
x = 1,2,...
E( X ) =
1−1
4−1
5−1
f (6) = (0,75)6−1.(0,25) ≈ 0,0593
1
q
,σ2 = 2
p
p
4=
1
→ p=0,25
p
f (12) = (0.75)12−1.(0,25) ≈ 0,0106
..
.
Negatif Binom Dağılımı (3;0.9)
b) Geometrik Dağılım (E[X]=4) (devam)
24
⎛ x −1 ⎞ k
x−k
f (x) = ⎜
,
⎟ .p .(1− p)
⎝ k −1 ⎠
x=k, k+1,...
k = 3; p = 0.9
⎛ 3−1 ⎞
3
3−3
f (3) = ⎜
⎟ .(0,9) .(0,1) = 0,729
⎝ 3−1 ⎠
⎛ 4 −1 ⎞
3
4−3
f (4) = ⎜
⎟ .(0,9) .(0,1) = 0,2187
⎝ 3−1 ⎠
⎛ 5−1 ⎞
3
5−3
f (5) = ⎜
⎟ .(0,9) .(0,1) ≈ 0,0437
⎝ 3−1 ⎠
⎛ 6 −1 ⎞
3
6−3
f (6) = ⎜
⎟ .(0,9) .(0,1) ≈ 0,0073
⎝ 3−1 ⎠
⎛ 7 −1 ⎞
3
7−3
f (7) = ⎜
⎟ .(0,9) .(0,1) ≈ 0,0011
⎝ 3−1 ⎠
.
.
.
Günde en az 3 müşteri gelir.
6 8.10.2014 Negatif Binom Dağılımı (3;0.9)
d) Poisson Dağılımı (λ=3)=
25
26
x
f(x)
F(x)
RS Atama
3
0,729
0,729
0< RS <=0,729
4
0,2187
0,9477
0,729< RS <=0,9477
5
0,0437
0,9914
0,9477< RS <=0,9914
6
0,0073
0,9987
0,9914< RS <=0,9987
7
0,0011
0,9998
0,9987< RS <=0,9998
>7
0,0002
1
f (x) =
e− λ .λ x
, x=0,1,2,... λ >0
x!
𝑓(0) =
𝑒 −3 30
= 0,049787 0!
0,9998< RS <1
RS
Talep
0,7213
3
0,5409
3
0,2267
3
0,9235
4
0,0521
3
Toplam
16
d) Poisson Dağılımı (λ=3)=
d) Poisson Dağılımı (λ=3)=
27
28
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
F(x)
0,04979
0,19915
0,42319
0,64723
0,81526
0,91608
0,96649
0,98810
0,99620
Rassal Sayı Atama
0< RS <=0,04979
0,04979< RS <=0,19915
0,19915< RS <=0,42319
0,42319< RS <=0,64723
0,64723< RS <=0,81526
0,81526< RS <=0,91608
0,91608< RS <=0,96649
0,96649< RS <=0,98810
0,98810< RS <=0,99620
10
11
12
13
0,99890
0,99971
0,99998
1
0,99620< RS <=0,99890
0,99890< RS <=0,99971
0,99971< RS <=0,99998
RS>0,99998
RS
Talep
0,7213
5
0,5409
4
0,2267
3
0,9235
7
0,0521
2
Toplam
21
7 8.10.2014 d) Kesikli Düzgün Dağılım (0;4)
d) Kesikli Düzgün Dağılım (0;4)
29
f (x) =
1
,
b− a
x = a,a + 1,...,b ; a ≤ b
f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = f (4) =
(a = 0,b = 4)
1
1
= = 0,20
5− 0 5
x
f(x)
F(x)
RS Atama
0
0,20
0,20
0< RS <=0,20
1
0,20
0,40
0,20< RS <=0,40
2
0,20
0,60
0,40< RS <=0,60
3
0,20
0,80
0,60< RS <=0,80
4
0,20
1
8 0,80< RS <1
RS
Talep
0,7213
3
0,5409
2
0,2267
1
0,9235
4
0,0521
0
Toplam
10