Doğal Sayılar - KONYA / SELÇUKLU

ATAT Ü R K A N A D O L U
LİSESİ
MATEMATİK
Doğal Sayılar
Üzerine Kısa Çalışmalar
KONYA \ SELÇUKLU ©2017
7
7.1
DOĞAL SAYILAR
Doğal Sayılar Kavramı
İlkel toplumlarda sayı düşüncesi yoktu. Bu toplumlarda insanlar nicelikleri anlatırken farklı
sözcükler, deyimler kullanmışlardır. Sayı kavramını bağımsız olarak kullanamamışlardır. Kullandıkları sözcükler, deyimler eşyalarıyla ilintilidir. Örneğin “iki tahta”, “iki ağaç” için kullandıkları sözcükler, deyimler farklılık göstermiştir. Eşyalardan bağımsız olarak sayı kavramına erişememişlerdir.
Uygarlık ilerledikçe aynı çokluktaki nesneleri belirtmek için soyutlama yolu ile sayı kavramına erişmişler ve bunları belirli sembollerle göstermeye başlamışlardır. Soyutlama yolu ile elde ettikleri sayıları göstermek için kullandıkları bu sembollere rakam denir.
Sayılar kurulur iken temel olarak doğal sayılar kullanılacaktır. Doğal sayılar kümesi, Dedekind-Peano aksiyomlarını (belitlerini) gerçekleyen bir kümedir. Bu belitleri, doğal sayılar kümesi
sağladığından, sıfır (0) bu kümenin elemanı değildir. Fakat sıfırın, doğal sayılar kümesinin bir
elemanı olup olmadığı halen tartışma konusudur. Sayma sayılar kümesi nedir?
7.2
Dedekind-Peano Belitleri (Aksiyomları)
Dedekind-Peano belitleri aşağıda verilmiştir:
Belit 1: 1, bir doğal sayıdır.
Belit 2: Her n doğal sayısı için S(n)  n  1 eşitliği ile verilen bir doğal sayı vardır. S(n) sayısına n sayısının ardışığı denir.
Belit 3: Ardışığı 1 olan hiçbir doğal sayı yoktur.
Belit 4: S(n)  S(m) ise n  m olur.
Belit 5: S(n) sayısı kendinden önceki hiçbir sayıya eşit değildir.
7.3
Doğal Sayılar
Tanım (DOĞAL SAYILAR)
Sonlu kümelerin eleman sayılarını belirten sayılara, doğal sayılar denir. Doğal sayılar kümesi N sembolü ile gösterilir.
A   kümesinin elemanı olmadığından s(A)  0 dır.
A   kümesinin bir tane elemanı olduğundan s(A)  1 dir.
A  ,  kümesinin iki tane elemanı olduğundan s(A)  2 dir.
A  , ,  kümesinin üç tane elemanı olduğundan s(A)  3 dir.
A  , , ,  kümesinin dört tane elemanı olduğundan s(A)  4 dir.
Doğal sayılar kümesi, N  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,     liste yöntemi ile gösterilir. Her
doğal sayının bir ardışığı vardır. 1 in ardışığı 2, 2 nin ardışığı 3, 3 ün ardışığı 4, ....., n in ardışığı n  1
 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, , n, n  1,  liste yöntemiyle
dir. Böylece doğal sayılar kümesi,
gösterilir.
Doğal Sayılar
 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, , n, n  1, 
dir.

 0 dir.



, sayma sayıları kümesi olarak adlandırılır.

ve

Örnek 1: A  x 
 1, 2, 3, 4, 5, 6, , n, n  1, 
0  x  5 kümesinin eleman sayısını bulunuz.
Yanıt 1:
A kümesini liste biçiminde yazarsak, A  1, 2, 3, 4 elde edilir. Bu kümenin eleman sayısı da
s(A)  4 dür.
Örnek 2: A  x 
0  x  5 kümesinin eleman sayısını bulunuz.
Yanıt 2:
A kümesini liste biçiminde yazarsak, A  0, 1, 2, 3, 4, 5 elde edilir. Bu kümenin eleman sayısı da s(A)  6 dür.
ALIŞTIRMALAR
1. Sonlu kümeye, doğal sayıları kullanarak bir
örnek veriniz.
2. A  x  0  x  10 kümesini liste biçi-
3. A  2, 3, 4, 5, 6 kümesini ortak özelik yöntemiyle gösteriniz.
minde gösteriniz.
7.4
Sayma Sayılar Kümesi
Tanım (SAYMA SAYILAR KÜMESİ)

 1, 2, 3, 4,  kümesine sayma sayılar kümesi denir.
ğal sayılar kümesi de denir.
Örnek 1:




, kümesine pozitif do-

 0 dir.
nedir?
Yanıt 1:
   0, 1, 2, 3, 4,   1, 2, 3, 4,  olduğundan
Örnek 2:



nedir?
Yanıt 2:

   1, 2, 3, 4,   1, 2, 3, 4,  olduğundan





dir.
ALIŞTIRMALAR
1.
2.
3.
3






kümesi nedir?
kümesi nedir?
kümesi nedir?
4. 1, 2, 3 
5. 1, 2, 3 
6.



kümesi nedir?
kümesi nedir?
 1, 2, 3 kümesi nedir?
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
Çift Doğal Sayılar Kümesi
7.5
Tanım (ÇİFT DOĞAL SAYILAR)
n
olmak üzere
2 n
sayılarına çift doğal sayılar denir ve
Ç
Ç
kümesi ile
 x x  2n, n 

veya
Ç
 0, 2, 4, 6, 
biçiminde gösterilir.
Örnek 1: A  x x  2n, 0  n  10, n 
 kümesini liste biçiminde yazınız.
Yanıt 1:
0  n  10 olduğundan n in her bir değeri için bir x değeri vardır.
n0
n 1
n2
n 3
 x0
 x2
 x4
 x6
n4
n 5
n6
n7




n  8  x  16
n  9  x  18
n  10  x  20
x 8
x  10
x  12
x  14
Buradan A  0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 elde edilir.
Örnek 2: Üç ardışık çift doğal sayının toplamı 228 ise en büyüğü ile en küçüğünün toplamı
ve farkı kaçtır?
Yanıt 2:
Ardışık üç doğal sayı: 2n, 2n  2, 2n  4 olacaktır. Bu durumda
2n  2n  2  2n  4  228
 6n  6  228  6n  222  n  37 bulunur.
Ardışık üç çift sayının en büyüğü : 2n  6 : 2  37  6  80
Ardışık üç çift sayının en küçüğü : 2n
: 2  37  74
Ardışık üç çift sayının en büyüğü ile en küçüğü farkı : 2n  6  2n : 2n  6  2n  6
Başka bir hesapla, en büyük sayı ile en küçük sayı farkı : 80  74  6 elde edilir.
ALIŞTIRMALAR
1.

Ç
nedir?
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
2.
Ç

nedir?
4
Doğal Sayılar
Tek Doğal Sayılar Kümesi
7.6
Tanım (TEK DOĞAL SAYILAR)
n  N olmak üzere
2  n 1
sayılarına tek doğal sayılar denir ve N T kümesi ile
N T  x x  2n  1, n  N
veya
N T  1, 2, 3,          
biçiminde gösterilir.
Örnek 1: Ardışık üç tek doğal sayının toplamı 231 ise en küçük ve en büyük doğal sayıyı
bulunuz.
Yanıt 1:
Ardışık üç doğal sayı : 2n  1, 2n  3, 2n  5 dir. Buradan
2n  1  2n  3  2n  5  231  6n  9  231  6n  222  n  37 bulunur.
Ardışık üç doğal sayının en küçüğü : 2n  1 : 2  37  1  75
Ardışık üç doğal sayının en büyüğü : 2n  5 : 2  37  5  79
Örnek 2: Ardışık iki tek doğal sayının çarpımı 195 tir. Bu sayıları bulunuz.
Yanıt 2:
195 sayısının çarpanları 195  1315 tir. Bu sayılar 13 ve 15 tir.
ALIŞTIRMALAR
1.
7.7

T
nedir?
2.
T

nedir?
Doğal Sayılarda Bazı Özelikler
Doğal sayıların özelikleri:
1.
2.
3.
4.
5.
5
Yansıma Özeliği
Simetri Özeliği
Geçişme Özeliği
Toplamada Sadeleştirme Özeliği
Çarpmada Sadeleştirme Özeliği
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
7.7.1
Yansıma Özeliği
Tanım (YANSIMA ÖZELİĞİ)
a  için a  a dır. Buna yansıma özeliği denir.
Örnek 1: 1
7.7.2
ise 1  1 dir.
Simetri Özeliği
Tanım (SİMETRİ ÖZELİĞİ)
a,b 
için a  b ise b  a dır. Buna simetri özeliği denir.
Örnek 1: 2
7.7.3
için 2  2 ise 2  2 dir.
Geçişme Özeliği
Tanım (GEÇİŞME ÖZELİĞİ)
a,b,c 
için a  b ve b  c ise a  c dır. Buna geçişme özeliği denir.
Örnek 1: x, y,z  , (x  y)  ( y  z)  x  z olur.
7.7.4
Toplamada Sadeleştirme Özeliği
Tanım (TOPLAMADA SADELEŞTİRME ÖZELİĞİ)
a,b,c  için a  b  a  c  b  c dir. Buna toplamada sadeleştirme özeliği denir.
Örnek 1: 2, 3 sayıları için 2  2  2  3  2  3 olur.
Örnek 2: 5, 15 sayıları için 5  5  5  15  5  15 dir.
7.7.5
Çarpmada Sadeleştirme Özeliği
Tanım (ÇARPMADA SADELEŞTİRME ÖZELİĞİ)
a,b,c 
için a  b  a  c  b  c (c  0) dir. Buna çarpmada sadeleştirme özeliği
denir.
Örnek 1: 2, 3 sayıları için 2  2  2  3  2  3 olur.
Örnek 2: 12, 13 sayıları için 12  12  12  13  12  13 olur.
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
6
Doğal Sayılar
7.8
Sayıların Eşitliği
Tanım (SAYILARIN EŞİTLİĞİ)
Değerleri aynı olan sayılara eşit sayılar, değerleri farklı olan sayılara ise eşit olmayan sa-
yılar denir.
Örnek 1: 2  2, 4  4, 5  5 ve 3  3 eşit sayılardır. 2  3, 5  6 ve 9  1 eşit değildir.
7.9
Eşitliğin Özelikleri
Eşitliğin özelikleri:
1. Yansıma Özeliği
2. Simetri Özeliği
3. Geçişme Özeliği
Doğal sayılar kümesinde eşitlik bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özeliklerine sahip
olduğundan, eşitlik bir denklik bağıntısıdır.
7.9.1
Yansıma Özeliği
Tanım (YANSIMA)
a 
için a  a dır. Buna yansıma özeliği denir.
Örnek 1: 21
7.9.2
için 21 21 dir.
Simetri Özeliği
Tanım (SİMETRİ ÖZELİĞİ)
a,b 
için a  b ise b  a dır. Buna simetri özeliği denir.
Örnek 1: x, y 
7.9.3
, x  y  y  x olacaktır.
Geçişme Özeliği
Tanım (GEÇİŞME ÖZELİĞİ)
a,b,c 
için a  b ve b  c ise a  c dır. Buna geçişme özeliği denir.
Örnek 1: x, y,z  , (a  b)  (b  c)  a  c olacaktır.
7
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
7.10
Doğal Sayılar Kümesinde İşlemler
Doğal sayılar kümesinde işlemler:
1.
2.
3.
4.
7.10.1
Toplama İşlemi
Çıkarma İşlemi
Çarpma İşlemi
Bölme İşlemi
Toplama İşlemi
Tanım (TOPLAMA İŞLEMİ)
A, B kümeleri için A  B   olmak üzere s(A)  a, s(B)  b ve s(A  B)  c ise c ye, a
ile b nin toplamı denir ve a  b  c ile gösterilir. Toplamı bulma işlemine toplama işlemi denir.
Örnek 1: E  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 ve F  a, b, c, d, e kümeleri için s(E  F) nedir?
Yanıt 1:
E  F  a, b, c, d, e, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 dir. s(E  F)  12 bulunur.
E ve F kümeleri ayrık kümeler olduğundan E  F   dir. Bu durumda
s(E  F)  s(E)  s(F) olacağından s(E  F)  7  5  12 dir.
Örnek 2: x  25  13 açık önermesinin N deki doğruluk kümesinin boş küme olduğunu gösteriniz.
Yanıt 2:
Aşağıdaki işlemler yapılırsa
x  25  13


x  12  13  13
(x  12)  13  13
25  12  13
(Toplamada birleşme)

x  12  0
(Toplamada sadeleştirme)

(x  0  12  0) dir.
12  0 önermesi yanlış olduğundan
x  0  12  0
açık önermesinin N deki doğruluk kümesi boş kümedir. Buna göre
x  25  13
açık önermesinin doğruluk kümesi boş küme () dir.
Örnek 3: x  12  5 açık önermesinin doğal sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
8
Doğal Sayılar
Yanıt 3:
Aşağıdaki işlemler yapılırsa
x  12  5
 x 75 5
(12  7  5)
 x7 0
(Toplamada birleşme)
hiçbir doğal sayının 7 ile toplamı 0 olamayacağından böyle bir doğal bulunamaz. Bundan dolayı çözüm kümesi boş kümedir. Yani Ç   veya Ç    biçiminde ifade edilir.
Toplama İşleminin Özelikleri
7.10.1.1
Toplama işlemi, kümelerde  işlemi üzerinden tanımlandığından, toplama işleminin özelikleri:
1.
2.
3.
4.
5.
Kapalılık Özeliği
Değişme Özeliği
Birleşme Özeliği
Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği
Sadeleştirme Özeliği
7.10.1.1.1 Kapalılık Özeliği
Tanım (KAPALILIK ÖZELİĞİ)
a,b 
için a  b 
olduğundan kapalılık özeliği vardır.
Örnek 1: Doğal sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalı mıdır?
Yanıt 1:
Toplam işlemi için doğal sayılarda bazı sayıları seçersek
1, 3 için 1  3  4 
5, 3 için 5  3  8 
13, 15 için 13  15  28 
19, 35 için 19  35  54 
Buradan x, y 
için x  y 
21, 39 için 21  39  60 
125, 305 için 125  305  430 
149, 401 için 149  401  550 
558, 387 için 558  387  945 
olduğundan doğal sayılar kümesi toplama işlemine göre
kapalıdır.
Örnek 2: 10 ve 25 sayıları için 10  25 
yani 10  25  35 bu da 35
olacaktır.
7.10.1.1.2 Değişme Özeliği
Tanım (DEĞİŞME ÖZELİĞİ)
a,b 
için a  b  b  a olduğundan değişme özeliği vardır.
Örnek 1: Doğal sayılar kümesinin toplama işlemine göre değişme özeliği var mıdır?
9
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
Yanıt 1:
Toplama işlemi için doğal sayılarda bazı sayıları seçersek
1, 3 için 1  3  3  1
5, 3 için 5  3  3  5
13, 15 için 13  15  15  13
19, 35 için 19  35  35  19
21, 39 için 21 39  39  21
125, 305 için 125 305  305 125
149, 401 için 149  401 401 149
558, 387 için 558 387  387  558
Buradan x, y  için x  y  y  x olduğundan doğal sayılar kümesinin toplama işlemine
göre değişme özeliği vardır.
Örnek 2: 10 ve 25 sayıları için 10  25  25  10 buradan 35  35 olacaktır.
7.10.1.1.3 Birleşme Özeliği
Tanım (BİRLEŞME ÖZELİĞİ)
a,b,c 
için a  (b  c)  (a  b)  c olduğundan birleşme özeliği vardır.
Örnek 1: 2  (17  21)  (2  17)  21 işleminin doğru olduğunu gösteriniz.
Yanıt 1:
Eşitlik iki parça olarak incelenirse, yani 2  (17  21) ve (2  17)  21
Sol kısım:
2  (17  21)  2  (38)
 2  38
 40
Sağ kısım:
(2  17)  21  (19)  21
 19 21
 40
40  40 olduğundan 2  (17  21)  (2  17)  21 işleminin doğru olduğu gösterilmiş olur.
Örnek 2: 10, 25 ve 30 sayıları için
10  (25  30)  (10  25)  30


10  55  35  30
65  65
olacaktır.
7.10.1.1.4 Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği
Tanım (BİRİM (ETKİSİZ) ELEMAN ÖZELİĞİ)
a  ve 0 için 0  a  a  0  a olduğundan birim (etkisiz) eleman özeliği vardır.
Örnek 1: Doğal sayılar kümesinde toplama () işleminin birim (etkisiz) elemanı sıfır (0)
dır.
Örnek 2: 5  0  0  5  5 olduğunda sıfır (0) , doğal sayılar kümesinde toplama () işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
10
Doğal Sayılar
7.10.1.1.5 Sadeleştirme Özeliği
Tanım (SADELEŞTİRME ÖZELİĞİ)
a,b,c 
için a  b  a  c  b  c olduğundan sadeleştirme özeliği vardır.
Örnek 1: 2, 6 ve 4 için 2  2  2  4  2  4  6 olacaktır.
Örnek 2: 3, 5 sayıları için 3  5  3  5  8 olacaktır.
Örnek 3: 8  2  2  x açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.
Yanıt 3:
8 2  2 x
82  x 2



(Değişme özeliği)
(Sadeleştirme özeliği)
8  2  x  2
8x
Doğruluk kümesi: 8 dir.
Örnek 4: (x  5)  4  15 açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.
Yanıt 4:
(x  5)  4  15




(x  5)  4  11  4
(x  5)  11
x  5  6  5
x6
(Sadeleştirme özeliği 15  11 4 )
(Sadeleştirme özeliği)
Doğruluk kümesi: 6 dir.
Örnek 5: x  9  2 açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.
Yanıt 5:
x 9  2



x 72 02
x  7  2  0  2
x7 0
(Tanım 9  7  2 )
(Sadeleştirme özeliği)
Doğal sayılar kümesinde böyle bir sayı yoktur.
Doğruluk kümesi:  dir.
7.10.2
Çıkarma İşlemi
Tanım (ÇIKARMA İŞLEMİ)
a,b  için a  b  x olacak şekilde bir x doğal sayısına a dan b nin çıkarılması ile elde
edilen fark denir. x  a  b ile gösterilir. Farkı bulma işlemine çıkarma işlemi denir.
x a b  a  bx
dir.
11
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
Örnek 1: 6  5  11 olduğundan 5  11 6 veya 6  11 5 dir.
Örnek 2: x  2  4 açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.
Yanıt 2:
Aşağıdaki işlemler yapılırsa
x24


x 2  22
x2
elde edilir. Buna göre x  2  4 açık önermesinin doğruluk kümesi Ç  2 dir.
Çıkarma İşleminin Özelikleri
7.10.2.1
Çıkarma işleminin, toplama işleminde olduğu gibi özelikleri yoktur.
7.10.3
Çarpma İşlemi
Tanım (ÇARPMA İŞLEMİ)
A, B kümeleri için s(A)  a, s(B)  b ve s(A  B)  c ise c doğal sayısına a ve b doğal sayılarının çarpımı denir. Çarpımı bulmak için yapılan işleme çarpma işlemi denir.
a  b  c eşitliğinde a ve b sayılarına çarpan, c sayısına ise çarpım denir.
Örnek 1: Z  1,2,3 ve Y  a, b, c, d kümeleri için s(Z)  3 ve s(Y)  4 olur.
Z  Y  (1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a ), (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b), (3, c), (3, d)
s(Z  Y)  12 olacaktır. Bu durumda
s(Z  Y)  s(Z)  s(Y) olduğundan s(Z)  s(Y)  12 dir.
Buradan 3  4  12 olduğu görülür.
Çarpma İşleminin Özelikleri
7.10.3.1
Çarpma işlemi, kümelerde birleşim işlemi () üzerinden tanımlandığından, çarpma işleminin özelikleri:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Kapalılık Özeliği
Değişme Özeliği
Birleşme Özeliği
Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği
Yutan Eleman Özeliği
Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği
Çıkarma İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
12
Doğal Sayılar
7.10.3.1.1 Kapalılık Özeliği
Tanım (KAPALILIK ÖZELİĞİ)
a,b 
için a  b 
olduğundan kapalılık özeliği vardır.
Örnek 1: Doğal sayılar kümesinin çarpma işlemine göre kapalı mıdır?
Yanıt 1:
Çarpma işlemi için doğal sayılarda bazı sayıları seçersek
1, 3 için 1 3  3 
5, 3 için 5  3  15 
13, 15 için 13 15  195 
19, 35 için 19  35  665 
Buradan x, y 
21, 39 için 21 39 
125, 305 için 125  305  819 
149, 401 için 149  401  59749 
558, 387 için 558  387  215946 
için x  y 
olduğundan doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre
kapalıdır.
Örnek 2: 3, 5 ile doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin kapalılık özeliğine örnekleyiniz.
Yanıt 2:
3  5  15 
veya 5  3  15 
olduğundan kapalılık özeliğine örneklenmiş olur.
7.10.3.1.2 Değişme Özeliği
Tanım (DEĞİŞME ÖZELİĞİ)
a,b 
için a  b  b  a olduğundan değişme özeliği vardır.
Örnek 1: Doğal sayılar kümesinin çarpma işlemine göre değişme özeliği var mıdır?
Yanıt 1:
Çarpma işlemi için doğal sayılarda bazı sayıları seçersek
1, 3 için 1 3  3 1
5, 3 için 5  3  3  5
13, 15 için 1315  1513
19, 35 için 19  35  3519
Buradan x, y 
göre değişme özeliği vardır.
21, 39 için 21 39  39  21
125, 305 için 125 305  305125
149, 401 için 149 401 401149
558, 387 için 558 387  387 558
için x  y  y  x olduğundan doğal sayılar kümesinin çarpma işlemine
Örnek 2: 5, 6 sayıları için değişme özeliğini uygulayınız.
Yanıt 2:
5 6  65
 30  30
olduğundan değişme özeliği gösterilmiş olur.
13
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
7.10.3.1.3 Birleşme Özeliği
Tanım (BİRLEŞME ÖZELİĞİ)
a,b,c 
için a  (b  c)  (a  b)  c olduğundan birleşme özeliği vardır.
Örnek 1: 2, 3 ve 7 sayıları için birleşme özeliğini uygulayınız.
Yanıt 1:
2  (3  7)  (2  3)  7
 2  (21)  (6)  7
2  21  6  7


42  42
olduğundan birleşme özeliği gösterilmiş olur.
Örnek 2: 5, 9 ve 25 sayıları için birleşme özeliğini uygulayınız.
Yanıt 2:
5  (9  25)  (5  9)  25
 5  (225)  (45)  25

5  225  45 25

1125 1125
7.10.3.1.4 Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği
Tanım (BİRİM (ETKİSİZ) ELEMAN ÖZELİĞİ)
a  ve 1 için a 1  1 a  a olduğundan birim (etkisiz) eleman özeliği vardır. Birim (etkisiz) eleman 1 (bir) dir.
Örnek 1: 5 1  1 5  5 olduğundan etkisiz (birim) eleman 1 (bir) dir.
Örnek 2: 751  1 75  75 olduğundan etkisiz (birim) eleman 1 (bir) dir.
7.10.3.1.5 Yutan Eleman Özeliği
Tanım (YUTAN ELEMAN)
a  ve 0
man 0 (sıfır) dır.
için a  0  0  a  0 olduğundan yutan eleman özeliği vardır. Yutan ele-
7.10.3.1.6 Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği
Tanım (TOPLAMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELİĞİ)
a, b, c 
olmak üzere,
a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
eşitliğine çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır, denir.
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
14
Doğal Sayılar
a, b, c 
olmak üzere,
(b  c)  a  (b  a )  (c  a )
eşitliğine çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır, denir.
Örnek 1: 2, 3 ve 5 için toplama işlemi üzerine dağılma özeliğini uygulayınız.
Yanıt 1:
Toplama işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özeliği, 2  (3  5)  2  3  2  5 ve
(3  5)  2  3  2  5  2 nin uygulaması yapılırsa:
2  (3  5)  2  3  2  5
2  (8)  6  10
2  8  16
16  16
(3  5)  2  3  2  5  2
(8)  2  6  10
8  2  16
16  16
sonuçları elde edilir.
7.10.3.1.7 Çıkarma İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği
Tanım (ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELİĞİ)
a, b, c 
olmak üzere,
a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
eşitliğine çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır, denir.
a, b, c 
olmak üzere,
(b  c)  a  (b  a )  (c  a )
eşitliğine çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır, denir.
Örnek 1: 2, 3 ve 5 için çıkarma işlemi üzerine dağılma özeliğini uygulayınız.
Yanıt 1:
Çıkarma işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özeliği, 2  (3  5)  2  3  2  5 ve
(3  5)  2  3  2  5  2 nin uygulaması yapılırsa:
2  (3  5)  2  3  2  5
2  (2)  6  10
 4  4
(3  5)  2  3  2  5  2
(2)  2  6  10
 4  4
sonuçları elde edilir.
15
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
7.10.4
Bölme İşlemi
Tanım (BÖLME İŞLEMİ)
a,b  ve b  0 için a  b  x olacak şekilde bir x doğal sayısı varsa, x sayısına a nın b ye
bölümü denir. b sayısına a nın bir çarpanı veya böleni denir.
a  b  x  x  a : b veya x 
a
biçiminde gösterilir.
b
b sayısı a sayısının bir böleni olduğundan bu da b a biçiminde gösterilir ve “b böler a” diye
okunur.
Örnek 1: Her x 
x : 1  x olur.
için x  1 x ve 1  0 olduğundan 1 x olacaktır. Bölme tanımına göre
Örnek 2: Her x 
0 : x  0 olur.
için 0  x  0 ve x  0 olduğundan x 0 olacaktır. Bölme tanımına göre
7.10.4.1
Bölme İşleminin Özelikleri
Bölme işleminin hiçbir özeliği yoktur. Kapalı değildir, değişme özeliği yoktur, birleşme özeliği yoktur.
7.10.5
Kalanlı Bölme
Tanım (KALANLI BÖLME)
a,b 
ve a  0 için
b  q  a  k ve 0  k  a
olacak biçimde bir tek a doğal sayısı ve bir tek k doğal sayısı vardır. k  0 ise bölmeye kalanlı bölme denir. q sayısına bölüm, k sayısına kalan denir.
Örnek 1: 35  8  4  3 ve 0  3  4 olduğundan 35 sayısının 8 sayısına bölümünden elde
edilen: bölüm 4 ve kalan 3 dür.
Örnek 2: 40 sayısının 7 sayısına bölümünden elde edilecek bölüm ve kalan nedir?
Yanıt 2:
Kalanlı bölme tanımı kullanılırsa: b  q  a  k ve 0  k  a olacaktır. Buradan
40  7  5  5 ve 0  5  7 olduğundan bölüm 5, kalan 5 dir.
Örnek 3: 487 sayısının 7 sayısına bölümünden elde edilecek bölüm ve kalan nedir?
Yanıt 3:
Kalanlı bölme tanımı kullanılırsa: b  q  a  k ve 0  k  a olacaktır. Buradan
487  7  69  4 ve 0  4  7 olduğundan bölüm 69, kalan 4 dür.
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
16
Doğal Sayılar
Kural: Bir a sayısının m ile bölümünden kalan x, bir b sayısının m ile bölümünden kalan y ise
1. a  b sayısının m ile bölümünden kalan x  y dir.
2. a  b sayısının m ile bölümünden kalan x  y dir.
Eğer x  y veya x  y sayısı m sayısından büyük ise tekrar m sayısına bölünerek kalan bulunur.
Örnek 3: a sayısının 5 ile bölümünden kalan 2, b sayısının 5 ile bölümünden kalan 3 ise
a  b ve a  b sayılarının 5 ile bölümünden kalanları bulunuz.
Yanıt 3:
a  b için kural 1, a  b için kural 2 kullanılırsa:
a  b için kalanlar toplamı 2  3  5 dir. 5  5 olduğundan, 5 tekrar 5 ile bölünürse kalan 0
a  b için kalanlar çarpımı 2  3  6 dır. 6  5 olduğundan, 6 tekrar 5 ile bölünürse kalan 1
Örnek 4: a sayısının 5 ile bölümünden kalan 2, b sayısının 5 ile bölümünden kalan 3 ise
a  b ve a  b sayılarının 5 ile bölümünden kalanları bulunuz.
Yanıt 4:
Bir önceki örnekte yanıt verilmiştir. Biz burada kuralı kullanmadan özüm yapacağız. Kalanlı
bölme tanımı kullanılırsa:
a  5  x  2 ve b  5  y  3 olacaktır.
a  b  5 x  2  5 y  3
 5  (x  y)  5
 5  (x  y  1)  0
a  b  (5  x  2)  (5  y  3)
 25 x  y  15 x  10  y  6
 5(5xy  3x  2y  1)  1
Kalan 0 dır.
Kalan 1 dir.
Buradan, a  b sayısının 5 ile bölümünden kalan 0, a  b sayısının 5 ile bölümünden kalan 1
olduğu bulunur.
7.11
Doğal Sayıların Kuvveti
Tanım (SAYININ KUVVETİ)
a  ve n   olmak üzere, n tane a sayının çarpımına, a sayısının n inci kuvveti denir. a n biçiminde gösterilir. a sayısına taban, n sayısına üs veya kuvvet denir. a n , “a nın n inci kuvveti” veya “a üssü n” biçiminde okunur. Özel olarak; x 2 : “x kare” ve x 3 : “x küp” diye okunur.
a  ve n  1 ise a 1  a
a  , a  0 ve n  0 ise a 0  1
a  0 ve n  0 ise 0 n  0
a  ve n  1 ise a a
a
 a
  
 
a  a n
n tan e
gösterilir.
17
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
Örnek 1: 2  1, (15) , 3  0, (75)  1
0
0
0
Örnek 2:
20  1
21  2
22  2  2  4
23  2  2  2  8
2 4  2  2  2  2  16
25  2  2  2  2  2  32
0
50  1
51  5
52  5  5  25
53  5  5  5  125
54  5  5  5  5  625
55  5  5  5  5  5  3125
150  1
151  15
152  15 15  225
153  151515  3375
154  15 151515  50625
Örnek 3: 2 4  2 4 işleminin sonucu kaçtır?
Yanıt 3:
Aşağıdaki işlemler yapılırsa,
2 4  2  2  2  2  2 4  16
Bu durumda,
24  24  2  2  2  2  2  2  2  2
 16 16
0
Örnek 4: 53  53 işleminin sonucu kaçtır?
Yanıt 4:
Aşağıdaki işlemler yapılırsa
53  5  5  5  53  125
Bu durumda
53  53  5  5  5  5  5  5
 125 125
 250
7.11.1
Üslü Doğal Sayılarda Çarpma İşleminin Özelikleri
Doğal sayılarda çarpma işleminin özelikleri:
x, y,n,m 
ve x  0 , y  0 için
1. x n  x m  x n m
2. x n  yn  (x  y)n
3. (x m )n  x mn
4. x m 
1 xm

 x mn
xn xn
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
18
Doğal Sayılar
Örnek 1: 25  215  20  29 ifadesinin değerini bulunuz.
Yanıt 1:
Birinci özelik: x n  x m  x n m özeliği kullanılırsa
25  215  20  29  251509  229 bulunur.
Örnek 2: 65  25  38 ifadesinin değerini bulunuz.
Yanıt 2:
İkinci özelik: x n  yn  (x  y)n ve birinci özelik: x n  x m  x n m özelikleri kullanılırsa
65  25  38  (2  3) 5  25  38
İkinci özelik: x n  yn  (x  y)n
 25  35  25  38
İkinci özelik: x n  yn  (x  y)n
 25  25  35  38
 255  358
 210  313
Birinci özelik için değişme özeliği
Birinci özelik: x n  x m  x n m
Birinci özelik: x n  x m  x n m
65  25  38  210  313 sonucu elde edilir.
Örnek 3: (23 ) 5 ifadesinin değerini bulunuz.
Yanıt 3:
Üçüncü özelik: (x m )n  x mn özeliği kullanılırsa
(23 ) 5  235  215 bulunur.
Örnek 4:
1 12
 3 ifadesinin değerini bulunuz.
35
Yanıt 4:
Dördüncü özelik: x m 
1 xm
 n  x m n özeliği kullanılırsa
n
x
x
1 12 312
 3  5  3125  37
5
3
3
7.12
Doğal Sayılarda Sıralama
Tanım (SIRALAMA)
a,b  a  x  b eşitliğini sağlayan bir x  sayısı varsa a  b dir. a  b ifadesi “a sayısı b sayısından küçüktür” denir ve kısaca a  b ifadesi “a küçüktür b” diye okunur. Buda aşağıdaki
ifadelerden biri ile belirtilir.
a  b  ba
19
veya a  b  a  x  b .
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
Örnek 1: 20  35 midir?
Yanıt 1:
20  35 dür. Çünkü, 20  15  35 dir.
7.12.1
Sıralamanın Özelikleri
Sıralamanın özelikleri:
1.
2.
3.
4.
5.
7.12.1.1
Üç Hal Kuralı
Geçişme Özeliği
Toplama İşleminin Sadeleşme Özeliği
Küçük Sayıların Toplamı, Büyük Sayıların Toplamından Küçük Olma Özeliği
Çarpma İşleminin Sadeleşme Özeliği
Üç Hal Kuralı
Tanım (ÜÇ HAL KURALI)
a,b 
için a  b , a  b veya a  b durumlarından biri doğrudur.
Örnek 1: 2, 3 için üç halden biri geçerli olacağından sırasıyla 2  3, 2  3 ve 2  3
durumlarından biri doğru olacaktır. Buda 2  3 durumunun doğru olduğunu gösterir.
7.12.1.2
Geçişme Özeliği
Tanım (GEÇİŞME ÖZELİĞİ)
a,b,c  için a  b ve b  c ise a  c dir.
Örnek 1: 5, 19, 8
7.12.1.3
için 5  8 ve 8  19 ise 5  19 olur.
Toplama İşleminin Sadeleşme Özeliği
Tanım (TOPLAMADA SADELEŞME ÖZELİĞİ)
a,b,c 
için a  b  a  c  b  c dir.
Örnek 1: 3, 5 ve 7 sayıları için toplamada sadeleşme özeliğini uygulayınız.
Yanıt 1:
37

35  7 5
olur.
Örnek 2: x  50  480 açık önermesinin çözüm kümesini bulunuz.
Yanıt 2:
Aşağıdaki işlemler yapılırsa, ilgili satırda toplamada sadeleştirme işlemi yapılmış olacaktır.
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
20
Doğal Sayılar
x  50  480  x  50  430  50
 x  430
(480  430  50)
(Toplamada sadeleştirme)
bu durumda çözüm kümesi
Ç  430
olarak bulunur.
7.12.1.4
Küçük Sayıların Toplamı, Büyük Sayıların Toplamından Küçük Olma
Özeliği
Tanım (KÜÇÜK OLMA ÖZELİĞİ)
a,b,c,d 
için a  b ve c  d ise a  c  b  d dir.
Örnek 1: (2  5)  (7  12) 
2  7  5  12  9  17 dir.
Örnek 2: (15  20)  (20  35)  15  20  20  35  35  55 olur.
7.12.1.5
Çarpma İşleminin Sadeleşme Özeliği
Tanım (ÇARPMADA SADELEŞME ÖZELİĞİ)
a,b 
, c

için a  b  a  c  b  c dir.
Örnek 1: 3, 5 ve 7 sayıları için çarpmada sadeleşme özeliğini uygulayınız.
Yanıt 1:
35 
7.13
3 7  5 7
Doğal Sayıların Çözümlenmesi
Tanım (ÇÖZÜMLEME)
Bir a doğal sayısının basamaklarının sayı değerleri a 0 , a1 , a 2 , a 3 ,  , a n  10 olmak üzere
a  ( a n      a 3a 2 a1a 0 )10  a 0100  a1101  a 2102  a 3103      a n 10n 1
biçiminde yazılırsa a sayısının çözümlemesi yapılmış olur.
Örnek 1: İki basamaklı bir sayının rakamlarının yerleri değiştirildiğinde sayı 36 artıyor. Sayının rakamları farkı kaçtır?
Yanıt 1:
Sayıyı xy olarak alırsak:
yx  xy  36  10y  x  (10x  y)  36
 10y  x  10x  y  36
21
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
 9y  9x  36
 9( y  x)  36
9 ( y  x ) 36


9
9
 yx  4
Sayının rakamları arasındaki fark
yx  4
bulunur.
7.14
Taban Aritmetiği
Tanım (TABAN ARİTMETİĞİ)
Bir a doğal sayısının basamaklarının sayı değerleri a 0 , a1 , a 2 , a 3 ,  , a n  x olmak üzere
a  ( a n      a 3a 2 a1a 0 ) x  a 0 x 0  a1x1  a 2 x 2  a 3 x 3      a n x n 1
biçiminde yazılırsa a sayısının çözümlemesi yapılmış olur. Buradaki x sayısına taban denir. a sayısı,
x tabanına göre yazılmış olur. Yapılacak işlemlere taban aritmetiği denir.
Örnek 1: 25 sayısını 10 tabanına göre yazınız.
Yanıt 1:
Burada a  25, a 0  5 ve a 1  2 , x  10 olur. Bu durumda,
25  5 100  2 101
elde edilir.
Örnek 2: 293 sayısını 10 tabanına göre yazınız.
Yanıt 2:
Burada a  293, a 0  3, a 1  9 ve a 2  2 ve x  10 olur. Bu durumda,
293  3 100  9 101  2 102
elde edilir.
Örnek 3: 423 sayısını 5 tabanına göre yazınız.
Yanıt 3:
Burada a  423, a 0  3, a 1  2 ve a 2  4 ve x  5 olur. Bu durumda,
423  3  50  2  51  4  52
elde edilir.
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
22
Doğal Sayılar
Örnek 4: 753 sayısını 8 tabanına göre yazınız.
Yanıt 4:
Burada a  753, a 0  3, a 1  5 ve a 2  7 ve x  8 olur. Bu durumda,
753  3  80  5  81  7  82
elde edilir.
Doğal Sayının Basamakları
7.14.1
Tanım (DOĞAL SAYININ BASAMAKLARI)
Bir sayının her rakamının bulunduğu sıraya, doğal sayının basamakları denir.
Örnek 1: 25 sayısı kaç basamaklıdır?
Yanıt 1:
25 sayısı, 2 ve 5 rakamlarından oluştuğundan iki basamaklıdır.
Örnek 2: 354 sayısı kaç basamaklıdır?
Yanıt 2:
354 sayısı, 3, 5 ve 4 rakamlarından oluştuğundan üç basamaklıdır.
10 Tabanından Başka Bir Tabana Geçiş
7.14.1.1
Tanım (10 TABANINDAN BAŞKA BİR TABANA GEÇİŞ)
10 tabanında verilen sayı istenen tabana ardışık olarak bölünür ve son bölümden başlamak
koşulu ile geriye doğru kalanlar yan yana getirilir. Elde edilen sayı, 10 tabanından başka bir tabana geçiş sağlanmış olur.
Örnek 1: (15)10 sayısını 2 tabanında eşiti nedir?
Yanıt 1:
10 tabanında verilen 15 sayısı, yeni taban olan 2 tabanına ardışık olarak bölünürse:
15  7  2  1
7  3 2 1
3  1 2  1
1  0  2 1
Kalan: 1
Kalan: 1
Kalan: 1
Kalan: 1
Bölüm: 7
Bölüm: 3
Bölüm: 1
Bölüm: 0
Bölüm 0 (sıfır) bulunduğundan aranan 2 tabanındaki sayı bulunmuştur. Tersten yazılırsa:
(1111) 2 sayısı bulunur. Bu durumda,
(15)10  (1111) 2
elde edilir.
Örnek 2: (17)10 sayısını 3 tabanında eşiti nedir?
23
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
Yanıt 2:
10 tabanında verilen 17 sayısı, yeni taban olan 3 tabanına ardışık olarak bölünürse:
17  5  3  2
5  1 3  2
1  0  3 1
Kalan: 2
Kalan: 2
Kalan: 1
Bölüm: 5
Bölüm: 1
Bölüm: 0
Bölüm 0 (sıfır) bulunduğundan aranan 3 tabanındaki sayı bulunmuştur. Tersten yazılırsa:
(122) 3 sayısı bulunur. Bu durumda,
(17)10  (122) 3
elde edilir.
Örnek 3: (19)10 sayısını 3 tabanında eşiti nedir?
Yanıt 3:
10 tabanında verilen 19 sayısı, yeni taban olan 3 tabanına ardışık olarak bölünürse:
19  6  3  1
6  23 0
2  03 2
Kalan: 1
Kalan: 0
Kalan: 2
Bölüm: 6
Bölüm: 2
Bölüm: 0
Bölüm 0 (sıfır) bulunduğundan aranan 3 tabanındaki sayı bulunmuştur. Tersten yazılırsa:
(201) 3 sayısı bulunur. Bu durumda,
(19)10  (201) 3
elde edilir.
ALIŞTIRMALAR
1. (71)10 sayısının 3 tabanında eşiti nedir?
2. (75)10 sayısının 4 tabanında eşiti nedir?
3. (7)10 sayısının 2 tabanında eşiti nedir?
7.14.1.2
4. (237)10 sayısının 4 tabanında eşiti nedir?
5. (7895)10 sayısının 7 tabanında eşiti nedir?
6. (753)10 sayısının 6 tabanında eşiti nedir?
Herhangi Bir Tabandan 10 Tabanına Geçiş
Tanım (HERHANGİ BİR TABANDAN 10 TABANINA GEÇİŞ)
Herhangi bir tabandaki sayı, tabanına göre çözümlendiğinde elde edilen sayı 10 tabanındaki
sayıdır. Yapılan bu işleme herhangi bir tabandan 10 tabanına geçiş denir.
Örnek 1: (1342) 5 sayısının 10 tabanındaki eşitini bulunuz.
Yanıt 1:
Tanıma göre,
(1342) 5  1 53  3  52  4  51  2  50
 1125  3  25  4  5  2 1
 125  75  20  2
 222
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
24
Doğal Sayılar
Örnek 2: (326) 7 sayısının 10 tabanındaki eşitini bulunuz.
Yanıt 2:
(326) 7  3  7 2  2  71  6  7 0
 3  49  2  7  6 1
 147  14  6
 167
ALIŞTIRMALAR
1. (37)8 sayısının 10 tabanındaki eşitini bulu- 3. (1100101) 2 sayısının 10 tabanındaki eşitini
nuz.
bulunuz.
2. (5216) 7 sayısının 10 tabanındaki eşitini bulu- 4. (578) 9 sayısının 10 tabanındaki eşitini bulunuz.
nuz.
7.15
Bir Tabana Göre İşlem
Herhangi bir tabanda aşağıdaki işler yapılacaktır.
1.
2.
3.
4.
7.15.1
Toplama
Çarpma
Çıkarma
Bölme
Toplama
Herhangi bir tabanda verilen sayıların toplanmasına örnekler:
Örnek 1: (34) 6  (25) 6 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 1:
(34) 6 :
(25) 6 :
Birler Basamağı : 4
Birler Basamağı :+ 5
Toplam
: 9

9  1 6  3
Bu durumda kalan 3, elde 1 vardır.
9  (13) 6
(34) 6
 (25) 6
(* * 3) 6
(34) 6 :
(25) 6 :
25
Onlar Basamağı
Onlar Basamağı
Toplam
Elde
Toplam
:
:+
:
:+
:
3
2
5
1
6

6  1 6  0
6  (10) 6
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
Bu durumda kalan 0, elde 1 vardır.
(34) 6
 (25) 6
(103) 6
(34) 6  (25) 6  (103) 6 sonucu elde edilir.
Örnek 2: (34) 7  (25) 7 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 2:
(34) 7 :
(25) 7 :
Birler Basamağı : 4
Birler Basamağı :+ 5
Toplam
: 9

9  1 7  2
Bu durumda kalan 2, elde 1 vardır.
9  (12) 7
(34) 7
 (25) 7
(* * 2) 7
(34) 7 :
(25) 7 :
Onlar Basamağı
Onlar Basamağı
Toplam
Elde
Toplam
:
:+
:
:+
:+
3
2
5
1
6

6  07  6
Bu durumda kalan 6, elde 0 vardır.
6  (06) 7
(34) 7
 (25) 7
(62) 7
(34) 7  (25) 7  (62) 7 sonucu elde edilir.
Örnek 3: (34)8  (25)8 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 3:
(34) 8 :
(25) 8 :
Birler Basamağı : 4
Birler Basamağı :+ 5
Toplam
: 9

9  1 8  1
Bu durumda kalan 1, elde 1 vardır.
9  (11) 8
(34) 8
 (25) 8
(* *1) 8
(34) 8 :
(25)8 :
Onlar Basamağı
Onlar Basamağı
Toplam
Elde
Toplam
:
:+
:
:+
:+
3
2
5
1
6
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

6  08  6
6  (06) 7
26
Doğal Sayılar
Bu durumda kalan 6, elde 0 vardır.
(34) 8
 (25) 8
(61) 8
(34)8  (25)8  (61)8 sonucu elde edilir.
Örnek 4: (34) 9  (25) 9 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 4:
(34) 9 :
(25) 9 :
Birler Basamağı : 4
Birler Basamağı :+ 5
Toplam
: 9

9  1 9  0
Bu durumda kalan 0, elde 1 vardır.
9  (10) 9
(34) 9
 (25) 9
(* * 0) 9
(34) 9 :
(25) 9 :
Onlar Basamağı
Onlar Basamağı
Toplam
Elde
Toplam
:
:+
:
:+
:
3
2
5
1
6

6  09  6
Bu durumda kalan 6, elde 0 vardır.
6  (06) 9
(34) 9
 (25) 9
(60) 9
(34) 9  (25) 9  (60) 9 sonucu elde edilir.
7.15.2
Çarpma
Herhangi bir tabanda verilen sayıların çarpımına örnekler:
Örnek 1: (34) 6  (25) 6 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 1:
(34) 6 :
(25) 6 :
Birler Basamağı : 4
Birler Basamağı :* 5
Çarpım
: 20
Bu durumda kalan 2, elde 3 vardır.

20  3  6  2
20  (32) 6
(34) 6
* (25) 6
(* * 2) 6
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
27
Doğal Sayılar
(34) 6 :
(25) 6 :
Onlar Basamağı
Birler Basamağı
Çarpım
Elde
Toplam
:
:*
:
:+
:
3
5
15
3
18

18  3  6  0
Bu durumda kalan 0, elde 3 vardır.
18  (30) 6
(34) 6
* (25) 6
(302) 6
(34) 6 :
(25) 6 :
Birler Basamağı : 4
Onlar Basamağı :* 2
Çarpım
: 8

8  1 6  2
Bu durumda kalan 2, elde 1 vardır.
8  (12) 6
(34) 6
* ( 25) 6
(302) 6
 (* * 2) 6
(34) 6 :
(25) 6 :
Onlar Basamağı
Onlar Basamağı
Çarpım
Elde
Toplam
:
:*
:
:+
:
3
2
6
1
7

7  1 6  1
Bu durumda kalan 1, elde 1 vardır.
7  (11) 6
(34) 6
* (25) 6
(302) 6
 (112) 6
Toplama işlemi yapılırsa:
(34) 6
* ( 25) 6
(302) 6
 (112) 6
(1422) 6
(34) 6  (25) 6  (1422) 6 sonucu elde edilir.
Örnek 2: (34) 7  (25) 7 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 2:
(34) 7 :
(25) 7 :
Birler Basamağı : 4
Birler Basamağı :* 5
Çarpım
: 20
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

20  2  7  6
20  (26) 7
28
Doğal Sayılar
Bu durumda kalan 6, elde 2 vardır.
(34) 7
* (25) 7
(* * 6) 7
(34) 7 :
(25) 7 :
Onlar Basamağı
Birler Basamağı
Çarpım
Elde
Toplam
:
:*
:
:+
:
3
5
15
2
17

17  2  7  3
Bu durumda kalan 3, elde 2 vardır.
17  (23) 7
(34) 7
* (25) 7
(236) 7
(34) 7 :
(25) 7 :
Birler Basamağı : 4
Onlar Basamağı :* 2
Çarpım
: 8

8  1 7  1
Bu durumda kalan 1, elde 1 vardır.
8  (11) 7
(34) 7
* ( 25) 7
( 236) 7
 (**1) 7
(34) 7 :
(25) 7 :
Onlar Basamağı
Onlar Basamağı
Çarpım
Elde
Toplam
:
:*
:
:+
:
3
2
6
1
7

7  1 7  0
Bu durumda kalan 0, elde 1 vardır.
7  (10) 7
(34) 7
* ( 25) 7
( 236) 7
 (101) 7
Toplama işlemi yapılırsa:
(34) 7
* ( 25) 7
( 236) 7
 (101) 7
(1246) 7
(34) 7  (25) 7  (1246) 7 sonucu elde edilir.
Örnek 3: (34)8  (25)8 işleminin sonucu nedir?
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
29
Doğal Sayılar
Yanıt 3:
(34)8 :
(25)8 :
Birler Basamağı : 4
Birler Basamağı :* 5
Çarpım
: 20

20  2  8  4
Bu durumda kalan 4, elde 2 vardır.
20  (24)8
(34) 8
* (25) 8
(* * 4) 8
(34)8 :
(25)8 :
Onlar Basamağı
Birler Basamağı
Çarpım
Elde
Toplam
:
:*
:
:+
:
3
5
15
2
17

17  2  8  1
Bu durumda kalan 1, elde 2 vardır.
17  (21)8
(34) 8
* (25) 8
(214) 8
(34) 8 :
(25) 8 :
Birler Basamağı : 4
Onlar Basamağı :* 2
Çarpım
: 8

8  1 8  0
Bu durumda kalan 0, elde 1 vardır.
8  (10)8
(34) 8
* (25) 8
( 214) 8
 (* * 0) 8
(34) 8 :
(25) 8 :
Onlar Basamağı
Onlar Basamağı
Çarpım
Elde
Toplam
:
:*
:
:+
:
3
2
6
1
7
Bu durumda kalan 7, elde 0 vardır.

7  08  7
7  (07)8
(34) 8
* (25) 8
( 214) 8
 (70) 8
Toplama işlemi yapılırsa:
(34) 8
* ( 25) 8
( 214) 8
 (70) 8
(*14) 8
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
30
Doğal Sayılar
(214) 8 :
(70) 8 :
Yüzler Basamağı : 2
Onlar Basamağı :+ 7
Toplam
: 9

9  1 8  1
Bu durumda kalan 1, elde 1 vardır.
9  (11) 8
(34) 8
* ( 25) 8
( 214) 8
 (70) 8
(1114) 8
(34)8  (25)8  (1114)8 sonucu elde edilir.
Örnek 4: (34) 9  (25) 9 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 4:
(34)8 :
(25)8 :
Birler Basamağı : 4
Birler Basamağı :* 5
Çarpım
: 20

20  2  9  2
Bu durumda kalan 2, elde 2 vardır.
20  (22) 9
(34) 9
* (25) 9
(* * 2) 9
(34)8 :
(25)8 :
Onlar Basamağı
Birler Basamağı
Çarpım
Elde
Toplam
:
:*
:
:+
:
3
5
15
2
17

17  1 9  8
Bu durumda kalan 8, elde 2 vardır.
17  (18) 9
(34) 9
* (25) 9
(182) 9
(34) 8 :
(25) 8 :
Birler Basamağı : 4
Onlar Basamağı :* 2
Çarpım
: 8
Bu durumda kalan 8, elde 0 vardır.

8  09 8
8  (08) 9
(34) 9
* ( 25) 9
(182) 9
 (** 8) 9
(34) 8 :
(25) 8 :
Onlar Basamağı : 3
Onlar Basamağı :* 2
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
31
Doğal Sayılar
Çarpım
: 6

6  09  6
Bu durumda kalan 6, elde 0 vardır.
6  (06) 9
(34) 9
* ( 25) 9
(182) 9
 (68) 9
Toplama işlemi yapılırsa:
(34) 9
* ( 25) 9
(182) 9
 (68) 9
(** 2) 9
(282) 9 :
(68) 9 :
Onlar Basamağı : 8
Birler Basamağı :+ 8
Toplam
: 16

16  2  8  0
Bu durumda kalan 0, elde 2 vardır.
16  (20) 9
(34) 9
* ( 25) 9
(182) 9
 (68) 9
(* * 02) 9
(282) 9 :
(68) 9 :
Yüzler Basamağı :
Onlar Basamağı :+
Toplam
:
Elde
:+
Toplam
:
2
6
8
2
10

10  1 9  1
Bu durumda kalan 1, elde 1 vardır.
10  (11) 9
(34) 9
* ( 25) 9
(182) 9
 (68) 9
(1102) 9
(34) 9  (25) 9  (1102) 9 sonucu elde edilir.
7.15.3
Çıkarma
Herhangi bir tabanda verilen sayıların çıkarılmasına örnekler:
Örnek 1: (34) 6  (25) 6 işleminin sonucu nedir?
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
32
Doğal Sayılar
Yanıt 1:
(34) 6 :
(25) 6 :
(34) 6
:
Birler Basamağı :
Birler Basamağı :
Fark
Onlar Basamağı :
4  ALTILIK alındı  4  6  10
5
- 5
5
2
 ALTILIK alındı.
(34) 6
 (25) 6
(05) 6
(34) 6  (25) 6  (5) 6 sonucu elde edilir.
Örnek 2: (34) 7  (25) 7 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 2:
(34) 7 :
(25) 7 :
Birler Basamağı : 4  YEDİLİK alındı  4  7  11
Birler Basamağı :- 5
- 5
Fark
:
6
Birler basamakları farkı:
(34) 7
 (25) 7
(*6) 7
(34) 7 :
(25) 7 :
Onlar Basamağı : 2
Onlar Basamağı :- 2
Fark
: 0
 YEDİLİK alındı.
Fark işlemi yapılırsa:
(34) 7
 (25) 7
(06) 7
(34) 7  (25) 7  (6) 7 sonucu elde edilir.
Örnek 3: (34)8  (25)8 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 3:
(34) 8 :
(25) 8 :
Birler Basamağı : 4  SEKİZLİK alındı 
Birler Basamağı : 5
Fark
:
Birler basamakları farkı:
4  8  12
- 5
7
(34) 8
 (25) 8
(*7) 8
(34) 8 :
(25) 7 :
33
Onlar Basamağı : 2
Onlar Basamağı :- 2
 SEKİZLİK alındı.
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
Fark
: 0
Fark işlemi yapılırsa:
(34) 8
 (25) 8
(07) 8
(34)8  (25)8  (7)8 sonucu elde edilir.
Örnek 4: (34) 9  (25) 9 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 4:
(34) 9 :
(25) 9 :
Birler Basamağı : 4  DOKUZLUK alındı  4  9  13
Birler Basamağı : 5
- 5
Fark
:
8
Birler basamakları farkı:
(34) 9
 (25) 9
(*8) 9
(34) 9 :
(25) 7 :
Onlar Basamağı : 2
Onlar Basamağı :- 2
Fark
: 0
 DOKUZLUK alındı.
Fark işlemi yapılırsa:
(34) 9
 (25) 9
(08) 9
(34) 9  (25) 9  (8) 9 sonucu elde edilir.
7.15.4
Bölme
Herhangi bir tabanda verilen sayıların bölünmesine örnekler:
Örnek 1: (34) 6 : (25) 6 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 1:
Siz yapınız.
Örnek 2: (34) 7 : (25) 7 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 2:
Siz yapınız.
Örnek 3: (34)8 : (25)8 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 3:
Siz yapınız.
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
34
Doğal Sayılar
Örnek 4: (34) 9 : (25) 9 işleminin sonucu nedir?
Yanıt 4:
Siz yapınız.
7.16
Asal Sayılar
Tanım (ASAL SAYI)
Bir (1) ve kendisinden başka kalansız böleni olmayan ve 1 den büyük doğal sayılara asal
sayı denir.
Örnek 1: 8 asal bir sayı mıdır?
Yanıt 1:
8 sayısının bölenleri 1, 2, 4 ve 8 dir. Dolayısıyla, 8 asal bir sayı değildir.
Örnek 2: 5 asal bir sayı mıdır?
Yanıt 2:
5 sayısının bölenleri 1 ve 5 dir. Dolayısıyla, 5 asal bir sayıdır.
Örnek 3: Asal ve çift tam sayılar kümesini bulunuz.
Yanıt 3:
Asal ve çift tam sayılar kümesi:  2, 2 dir.
ALIŞTIRMALAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
12 asal bir sayı mıdır?
115 asal bir sayı mıdır?
17 asal bir sayı mıdır?
29 asal bir sayı mıdır?
117 asal bir sayı mıdır?
257 asal bir sayı mıdır?
7.16.1
7. 2297 asal bir sayı mıdır?
8. 539, 267 ve 781 sayılarından hangileri asal
sayıdır?
9. Birbirinden farklı olan iki asal sayının aralarında asal olduğunu gösteriniz.
Asal Çarpanlar
Tanım (ASAL ÇARPANLAR)
a bir doğal sayı olmak üzere x, y, z asal sayılar ve n, m, p doğal sayıları için a  x n  y m  z p
yazılışına a sayısının asal çarpanları biçiminde yazılışıdır ve x, y, z sayılarına a doğal sayısının asal
çarpanları denir.
Örnek 1: 15 sayısının asal çarpanları biçiminde yazınız.
Yanıt 1:
15 sayısının asal çarpanları yanda bulunmuştur.
Asal çarpanlar biçimi: 15  31  51
Asal çarpanlar biçimindeki 3 ve 5, 15 sayısının asal çarpanlarıdır.
35
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
Örnek 2: 1400 sayısının asal çarpanları biçiminde yazınız.
Yanıt 2:
1400 sayısının asal çarpanları yanda bulunmuştur.
Asal çarpanlar biçimi: 1400  23  52  71
Asal çarpanlar biçimindeki 2, 5 ve 7, 1400 sayısının asal çarpanlarıdır.
ALIŞTIRMALAR
1. 1213 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
2. 23135 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
3. 1247 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
7.16.2
4. 3568 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
5. 65874 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
6. 253 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
Aralarında Asal Sayılar
Tanım (ARALARINDA ASAL SAYILAR)
Bir (1) den başka ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir.
Örnek 1: 9 ve 16 sayıları aralarında asal sayılar mıdır?
Yanıt 1:
9 sayısının bölenlerinin kümesi: B9  1, 3, 9
16 sayısının bölenlerinin kümesi: B16  1, 2, 4, 8, 16
B9  B16  
1 olduğundan, 9 ve 16 sayıları aralarında asal sayılardır.
Örnek 2: 9 ve 6 sayıları aralarında asal sayılar mıdır?
Yanıt 2:
9 sayısının bölenlerinin kümesi: B9  1, 3, 9
6 sayısının bölenlerinin kümesi: B6  1, 2, 3, 6
B9  B6  1, 3  1 olduğundan, 9 ve 6 sayıları aralarında asal sayılar değildir.
ALIŞTIRMALAR
1. 8191 ve 4307 sayılarından her biri asal mıdır?
Bu sayılar aralarında asal mıdır?
7.17
2. 179 ve 937 sayılarından her biri asal mıdır?
Bu sayılar aralarında asal mıdır?
Bölünebilme Kuralları
Bölünebilme kuralları kalansız bölme içindir. Kalansız bölme tam bölünebilirlik anlamında-
dır.
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
36
Doğal Sayılar
7.17.1
2 İle Bölünebilme
Teorem (2 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir sayının 2 ile bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul birler basamağındaki rakamın sayı
değerinin 2 ile bölünebilmesidir.
Basit bir anlatımla, birler basamağındaki rakamı, çift (0, 2, 4, 6, 8) olan doğal sayılar 2 ile
(kalansız) bölünür.
Örnek 1: 300, 500, 556, 758 doğal sayıları 2 ile (kalansız) bölünür. Çünkü doğal sayıların
birler basamağındaki rakamlar çift doğal sayıdır.
Örnek 2: 23, 75, 141, 257 doğal sayıları 2 ile (kalansız) bölünmez. Çünkü doğal sayıların
birler basamağındaki rakamlar tek doğal sayıdır.
Örnek 3: 25a doğal sayısının 2 ile (kalansız) bölünebilmesi için a nın alabileceği değerler
nedir?
Yanıt 3:
25a doğal sayısının 2 ile (kalansız) bölünebilmesi için a rakamının çift doğal sayı olması
gerekir. Buda a sayısının alacağı değerler 0, 2, 4, 6, 8 olacaktır.
Örnek 4: 2a5b doğal sayısının 2 ile (kalansız) bölünebilmesi için a ve b rakamlarının alabileceği değerler nelerdir?
Yanıt 4:
2 ile (kalansız) bölünebilme kuralı sayının birler basamağındaki rakamın çift sayı olmasını
gerektirdiğinden a rakamı ne olursa olsun bölünebilme şartı b rakamına bağlıdır. Buradan
Birler basamağındaki rakam b olduğundan alacağı değerler 0, 2, 4, 6, 8 dir. a nın alacağı değerler ise 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olacaktır.
7.17.2
3 İle Bölünebilme
Teorem (3 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir doğal sayının 3 ile bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul, o sayının rakamları toplamının 3 ile bölünebilmesidir.
Basit bir anlatımla, bir doğal sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı, 3 yada 3 ün katı
olan doğal sayılar 3 ile (kalansız) bölünür.
Örnek 1: 2002 doğal sayısı 3 ile (kalansız) bölünür mü?
Yanıt 1:
Bir doğal sayının 3 ile bölünebilmesi için sayının rakamları toplamı 3 veya 3 ün katı olmalıdır. Bu durumda 2  0  0  2  4 olduğundan 4, 3 ün katı olmadığından 2002 doğal sayısı 3 ile (kalansız) bölünemez.
Örnek 2: 2589 doğal sayısı 3 ile (kalansız) bölünür mü?
Yanıt 2:
37
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
2589 doğal sayısının rakamları toplamı : 2  5  8  9  24 tür. 24, 3 ün katı olduğundan
2589 doğal sayısı 3 ile (kalansız) bölünür.
Örnek 3: 2a35 doğal sayısının 3 ile (kalansız) bölünmesi için a doğal sayısının alabileceği
değerler nelerdir?
Yanıt 3:
2a35 doğal sayısının rakamları toplamı : 2  a  3  5  10  a dır.
10 a sayısının 3 ün katı olabilmesi için bu toplamın 12, 15, 18 olması gerekmektedir. Bu
sayıların elde edilebilmesi için
10  a  12

a2
10  a  15

a 5
10  a  18

a 8
buradan a  2 , a  5 veya a  8 olmalıdır.
7.17.3
4 İle Bölünebilme
Tanım (4 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir doğal sayının birler ve onlar basamağındaki rakamların oluşturduğu iki basamaklı sayı 4
ile (kalansız) bölünebiliyorsa, bu doğal sayı 4 ile (kalansız) bölünür.
7.17.4
5 İle Bölünebilme
Teorem (5 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir sayının 5 ile bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul birler basamağındaki rakamın sayı
değerinin 5 ile bölünebilmesidir.
Basit bir anlatımla, bir doğal sayının birler basamağındaki rakam 0 veya 5 ise bu doğal sayı
5 ile (kalansız) bölünür.
7.17.5
6 İle Bölünebilme
Tanım (6 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir doğal sayı hem 2 ile hem de 3 ile bölünebiliyorsa 6 ile (kalansız) bölünür.
7.17.6
8 İle Bölünebilme
Tanım (8 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir doğal sayının son üç basamağındaki sayı (yüzler, onlar ve birler basamaklarındaki rakamlar) ile (kalansız) bölünüyorsa, bu doğal sayı 8 ile (kalansız) bölünür.
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
38
Doğal Sayılar
7.17.7
9 İle Bölünebilme
Teorem (9 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir doğal sayının 9 ile bölünebilmesi için gerekli ve yeter koşul, o sayının rakamları toplamının 9 ile bölünebilmesidir.
Basit bir anlatımla, bir doğal sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 ve 9 un katı ise bu
doğal sayı 9 ile (kalansız) bölünür.
7.17.8
10 İle Bölünebilme
Tanım (10 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam sıfır ise bu doğal sayı 10 ile (kalansız) bö-
lünür.
7.17.9
11 İle Bölünebilme
Tanım (11 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir doğal sayının 11 ile bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul bu sayının birler basamağından itibaren tek numaralı basamaklardaki rakamların sayı değerleri toplamı ile çift numaralı basamaklardaki rakamların sayı değerleri toplamı farkının 11 ile bölünebilmesidir.
Basit bir anlatımla, bir doğal sayının basamaklarındaki rakamlar, sağdan sola doğru birer basamak atlayarak sayı değerleri toplanır ve bu toplamdan, arada kalan basamaklardaki rakamların sayı
değerleri toplamı çıkarılır. Elde edilen fark, 0 (sıfır) veya 11 in katı ise bu doğal sayı 11 ile (kalansız)
bölünür.
7.17.10 12 ile Bölünebilme
Tanım (12 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir doğal sayı hem 3 hem de 4 ile tam olarak bölünebiliyorsa, sayı 12 ile bölünür.
(3 ile 4 sayıları aralarında asal sayılardır.)
7.17.11 13 İle Bölünebilme
Tanım (13 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir c doğal sayısının basamakları a 0 , a1 , a 2 , a 3 ,  , a n için c  a 0 a1a 2 a 3    a n olmak üzere
c  10(a 0 a1a 2 a 3    a n 1 0)  a n
biçiminde yazıldığında
a 0 a1a 2 a 3    a n 1 0  4a n
sayısı 13 ile tam bölünüyor ise sayı 13 ile bölünür.
39
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
7.17.12 15 ile Bölünebilme
Tanım (15 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir doğal sayı hem 3 hem de 5 ile tam olarak bölünebiliyorsa, sayı 15 ile bölünür.
(3 ile 5 sayıları aralarında asal sayılardır.)
7.17.13 17 İle Bölünebilme
Tanım (17 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir c doğal sayısının basamakları a 0 , a1 , a 2 , a 3 ,  , a n için c  a 0 a1a 2 a 3    a n olmak üzere
c  10(a 0 a1a 2 a 3    a n 1 0)  a n
biçiminde yazıldığında
a 0 a1a 2 a 3    a n 1 0  5a n
sayısı 17 nin katı ise sayı 17 ile bölünür.
7.17.14 19 İle Bölünebilme
Tanım (19 İLE BÖLÜNEBİLME)
Bir c doğal sayısının basamakları a 0 , a1 , a 2 , a 3 ,  , a n için c  a 0 a1a 2 a 3    a n olmak üzere
c  10(a 0 a1a 2 a 3    a n 1 0)  a n
biçiminde yazıldığında
a 0 a1a 2 a 3    a n 1 0  2a n
sayısı 19 un katı ise sayı 19 ile bölünür.
7.18
Bölme Algoritması
Tanım (BÖLME ALGORİTMASI)
a,b
ve a  0 ise
b  aq  r, 0  r  a
olacak şekilde ve tek türlü belirlenen q,r 
vardır.
Örnek 1: b  299 ve a  23 ise b  aq  r olacak şekilde q ve r yi bulunuz.
Yanıt 1:
299 sayısı 23 sayısına bölünürse
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
40
Doğal Sayılar
299  2313  10
olur. Bu durumda,
q  13 ve r  10
bulunur.
7.19
Ortak Bölenlerin En Büyüğü (OBEB)
Tanım (ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ (OBEB))
Bir a doğal sayısının tam bölenlerinin kümesi A ve bir b doğal sayısının tam bölenlerinin
kümesi B ise A  B kümesinin en büyük elemanına, a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) denir.
7.20
Ortak Katların En Küçüğü (OKEK)
Tanım (ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ (OKEK))
Bir a doğal sayısının tam katlarının kümesi A ve bir b doğal sayısının tam katlarının kümesi
B ise A  B kümesinin en küçük elemanına, a ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı
(EKOK) denir.
7.21
Doğal Sayının Bölenlerinin Sayısı
Tanım (DOĞAL SAYININ BÖLENLERİNİN SAYISI)
a doğal sayısı için a1 , a 2 , a 3 ,     asal sayı ve x1 , x 2 , x 3 ,      N olmak üzere
a  a1x1  a 2x 2  a 3x3    
şeklinde ise a doğal sayısının bölenlerinin sayısı (x1  1)  (x 2  1)  (x 3  1)     dir.
7.22
Doğal Sayının Bölenlerinin Toplamı
Tanım (DOĞAL SAYININ BÖLENLERİNİN TOPLAMI)
a doğal sayısı için a1 , a 2 , a 3 ,     asal sayı ve x1 , x 2 , x 3 ,      N olmak üzere
a  a1x1  a 2x 2  a 3x3    
şeklinde ise a doğal sayısının bölenlerinin toplamı
41
a 1x1 1  1 a 2x 2 1  1 a 3x 3 1  1


    dir.
a1  1
a 2 1
a 3 1
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
Doğal Sayılar
7.23
Doğal Sayının Bölenlerinin Çarpımı
Tanım (DOĞAL SAYININ BÖLENLERİNİN ÇARPIMI)
a doğal sayısı için a1 , a 2 , a 3 ,     asal sayı ve x1 , x 2 , x 3 ,      N olmak üzere
a  a1x1  a 2x 2  a 3x3    
şeklinde ise a doğal sayısının bölenlerinin sayısı k  (x1  1)  (x 2  1)  (x 3  1)     ise a doğal sayısının
bölenlerinin çarpımı a k 2 dir.
7.24
Grup
Tanım (GRUP)
A  N bir küme ve bu küme üzerinde tanımlı bir  işlemi olmak üzere, A kümesi  işlemiyle birlikte
1) Kapalılık özeliği
2) Birleşme özeliği
3) Etkisiz (birim) eleman özeliği
4) Ters eleman özeliği
özelikleri varsa (A, ) sistemine grup denir.
7.24.1
Kapalılık Özeliği
Tanım (KAPALILIK ÖZELİĞİ)
x, y  A olmak üzere (x  y)  A olduğundan kapalılık özeliği vardır.
7.24.2
Birleşme Özeliği
Tanım (BİRLEŞME ÖZELİĞİ)
x, y, z  A olmak üzere
x  ( y  z)  (x  y)  z
olduğundan birleşme özeliği vardır.
7.24.3
Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği
Tanım (ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN ÖZELİĞİ)
x  A olmak üzere
x e  e x  x
olduğundan etkisiz (birim) eleman özeliği vardır ve etkisiz (birim) eleman “e” dir.
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri
42
Doğal Sayılar
7.24.4
Ters Eleman Özeliği
Tanım (TERS ELEMAN ÖZELİĞİ)
x  A olmak üzere
x  y  yx  e
olduğundan ters eleman özeliği vardır ve x elemanının ters y dir.
Ters eleman x 1 biçiminde gösterilir ve bu “x elemanının tersi” olarak okunur.
Örnek 1: Doğal sayılar kümesinin toplama işlemine göre bir grup oluşturup oluşturmadığını
araştırınız.
Yanıt 1:
Doğal sayılar kümesinin toplama işlemine göre bir grup oluşturması için 4 özeliği gerçeklemesi gerekmektedir. Sırayla bu özelikler:
1. Kapalılık Özeliği : a,b  için a  b  olduğundan kapalıdır.
2. Birleşme Özeliği : a,b,c  için (a  b)  c  a  (b  c) olduğundan birleşme özeliği
vardır.
3. Birim Eleman Özeliği : a  A ve birim eleman 0 A olmak üzere a  0  0  a olduğundan 0 (sıfır) birim elemandır.
4. Ters Eleman Özeliği : a  A için a nın tersi a   A ise a  a   a   a  0 olacaktır. Fakat
doğal sayılar kümesinde a  a   0 ve a   a  0 işlemlerini doğrulayacak a  bulunmadığından ters eleman özeliği yoktur.
Doğal sayılar kümesi toplama işlemine göre bir grup oluşturmaz.
Örnek 2: Doğal sayılar kümesinin çarpma işlemine göre bir grup oluşturup oluşturmadığını
araştırınız.
7.25
Değişmeli Grup
Tanım (DEĞİŞMELİ GRUP)
A
miyle birlikte
bir küme ve bu küme üzerinde tanımlı bir  işlemi olmak üzere, A kümesi  işle-
1) Kapalılık özeliği
2) Değişme özeliği
3) Birleşme özeliği
4) Etkisiz (birim) eleman özeliği
5) Ters eleman özeliği
özelikleri varsa (A, ) sistemine değişmeli grup denir.
Başka bir anlatımla, bir grup değişme özeliğine sahip ise bu gruba değişmeli grup denir.
Örnek 1: Doğal sayılar kümesinin toplama işlemine göre bir grup oluşturup oluşturmadığını
araştırınız.
43
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri