Chapter 1

Chapter 1
İçindekiler
Kendinizi Test Edin
10
xiii
Birinci Mertebeden Diferansiyel
Denklemler 565
10.1
Ayrılabilir Denklemler
566
10.2
Lineer Denklemler
10.3
Matematiksel Modeller
10.4
Çözümü Olmayan Çözüm Eğrileri
10.5
Euler Metodu
571
576
594
Bölüm 10’un Gözden Geçirilmesi
11
585
597
Vektörler ve 3 Boyutlu Uzay
11.1
2 Boyutlu Uzayda Vektörler
602
11.2
3 Boyutlu Uzayda Vektörler
608
11.3
Noktasal Çarpım
614
11.4
Vektörel Çarpım
622
11.5
3 Boyutlu Uzayda Doğrular
11.6
Düzlemler
11.7
Silindir ve Küreler
11.8
Dördüncü Dereceden Yüzeyler
601
629
634
640
Bölüm 11’in Gözden Geçirilmesi
643
650
ix
x
İçindekiler
12
Vektör Değerli Fonksiyonlar
12.1
Vektör Fonksiyonları
12.2
Vektör Fonksiyonlarının Kalkulüsü
12.3
Eğri Üzerinde Hareket
12.4
Eğrilik ve İvme
656
673
Kısmi Türevler
679
681
13.1
Çok Değişkenli Fonksiyonlar
13.2
Limit ve Süreklilik
13.3
Kısmi Türevler
682
13.4
Doğrusallaştırma ve Diferansiyeller
13.5
Zincir Kuralı
711
13.6
Yönlü Türev
718
13.7
Teğet Düzlem ve Normal Doğrusu
13.8
Çok Değişkenli Fonksiyonların Ekstremumları
13.9
En Küçük Kareler Yöntemi
688
695
13.10 Lagrange Çarpanları
Katlı İntegraller
703
724
728
735
737
Bölüm 13’ün Gözden Geçirilmesi
14
661
668
Bölüm 12’nin Gözden Geçirilmesi
13
655
744
749
14.1
İki Katlı İntegraller
750
14.2
Ardışık İntegraller
753
14.3
İki Katlı İntegrallerin Hesabı
757
14.4
Kütle Merkezi ve Momentler
764
14.5
Kutupsal Koordinatlarda İki Katlı İntegraller
768
İçindekiler
14.6
Yüzey Alanı
773
14.7
Üç Katlı İntegraller
14.8
Diğer Koordinat Sistemlerinde Üç Katlı İntegraller
14.9
Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme
776
Bölüm 14’ün Gözden Geçirilmesi
790
796
Vektörel İntegral Hesabı
15
783
801
15.1
Eğrisel İntegraller
802
15.2
Vektör Alanlarının Eğrisel İntegralleri
15.3
Yoldan Bağımsız Olma
15.4
Green Teoremi
15.5
Parametrik Yüzeyler ve Alan
15.6
Yüzey İntegralleri
15.7
Kıvrılma ve Diverjans
15.8
Stokes Teoremi
15.9
Diverjans Teoremi
808
815
824
830
839
845
851
856
Bölüm 15’in Gözden Geçirilmesi
863
Yüksek Mertebeden Diferansiyel
Denklemler 867
16
16.1
Birinci Mertebeden Tam Diferansiyel Denklemler
16.2
Homojen Lineer Denklemler
16.3
Homojen Olmayan Lineer Denklemler
16.4
Matematiksel Modeller
883
16.5
Kuvvet Serisi Çözümleri
891
872
Bölüm 16’nın Gözden Geçirilmesi
Ek
EK-1
Seçilmiş Teoremlerin İspatları
Kaynak Sayfaları
KS-1
Cebirin Tekrarı
KS-2
Geometri Formülleri
KS-2
Grafikler ve Fonksiyonlar
KS-4
EK-1
895
878
868
xi
xii İçindekiler
Trigonometrinin Özeti
KS-5
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Türev Alma
KS-7
KS-8
İntegral Formülleri
KS-9
“Kendi Kendinizi Test” İçin Cevaplar
CEV-1
Seçilmiş Tek Numaralı Problemlerin Cevapları
Dizin
DİZ-1
Fotoğraflar Hakkında
F-1
CEV-2
Kendinizi Test Edin xiii
Kendinizi Test Edin
Bütün cevaplar CEV-1 sayfasındadır.
Kalkulüs İçin Hazırlık
Genel Matematik
1. (Doğru/Yanlış) Va2 1 b2 5 a 1 b __________
2. (Doğru/Yanlış) a 7 0 için (a4>3)3>4 5 a’dır. __________
3. (Doğru/Yanlış) x fi 0 için x23>2 5
1
’tür. __________
x2>3
2n
1
5 n . __________
4n
2
5. (Boşluğu doldurunuz.) (1 2 2x)3 açılımında x2 nin katsayısı __________’dır.
6. Hesap makinesi kullanmadan (227)5>3 değerini hesaplayınız.
7. Aşağıdaki ifadeyi negatif üssü olmayan bir ifade olarak yazınız.
1
x 2 (x 2 1 4)21>22x 1 2xVx 2 1 4.
2
2
8. Kareyi tamamlayınız: 2x 1 6x 1 5.
4. (Doğru/Yanlış)
9. Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
(a) x 2 5 7x
(b) x 2 1 2x 5 5
(c)
1
1
2 50
2x 2 1
x
(d) x 1 Vx 2 1 5 1
10. Aşağıdaki ifadeleri tam olarak çarpanlarına ayırınız.
(a) 10x 2 2 13x 2 3
(b) x 4 2 2x 3 2 15x 2
(c) x 3 2 27
(d) x 4 2 16
Reel Sayılar
11. (Doğru/Yanlış) a 6 b ise bu takdirde a2 6 b2 dir. __________
12. (Doğru/Yanlış) V(29)2 5 29. __________
2a
6 0’dır. __________
13. (Doğru/Yanlış) a 6 0 ise bu takdirde
a
14. (Boşlukları doldurunuz.) Eğer 03x 0 5 18 ise x 5 _________ ya da x 5 _________ ’dir.
15. (Boşlukları doldurunuz.) Eğer a 2 5 negatif bir sayı ise, bu takdirde Za 2 5Z 5 _______’dır.
16. Aşağıdaki reel sayılardan hangileri rasyonel sayıdır?
(a) 0.25
(b) 8.131313 p
(c) p
22
(d)
(e) V16
(f) V2
7
1
(g) 0
(h) 29
(i) 1
2
V5
V3
22
( j)
(k)
(l)
2
11
V2
17. Verilen aralıkları uygun eşitsizliklerle eşleyiniz.
(i) (2, 4]
(ii) [2, 4)
(iii) (2, 4)
(a) 0x 2 3 0 6 1 (b) 0 x 2 3 0 # 1
(c) 0 # x 2 2 6 2
18. (22, 2) aralığını
(iv) [2, 4]
(d) 1 6 x 2 1 # 3
(a) Bir eşitsizlik olarak ve (b) Mutlak değeri içeren bir eşitsizlik olarak ifade ediniz.
19. Sayı doğrusu üzerinde (2 q , 21] ´ [3, q ) aralığının grafiğini çiziniz.
xiv Kendinizi Test Edin
20. 03x 2 1 0 7 7 eşitsizliğini sağlayan bütün reel sayılarını bulunuz. Çözümünüzü aralık
notasyonunu kullanarak yazınız.
21. x 2 $ 22x 1 15 eşitsizliğini çözünüz ve çözümünüzü aralık notasyonunu kullanarak
yazınız.
6
22. x # 3 2
eşitsizliğini çözünüz ve çözümünüzü aralık notasyonunu kullanarak
x12
yazınız.
Kartezyen Düzlem
23. (Boşluğu doldurunuz.) Eğer (a, b) üçüncü bölgede bir nokta ise, bu takdirde (a, b)
__________ bölgede bir noktadır.
24. (Boşluğu doldurunuz.) P1(2, 25) noktasını P2(8, 29) noktasına birleştiren doğru
parçasının orta noktası __________’dır.
25. (Boşlukları doldurunuz.) Eğer P1(x1, 3) noktasını noktasına birleştiren doğru parçasının
orta noktası (22, 6) ise, bu takdirde __________ ve __________’dır.
26. (Boşlukları doldurunuz.) (1, 5) noktası bir grafik üzerinde olsun. Eğer grafik aşağıdaki
özelliğe sahipse bu grafik üzerinde olan bir diğer noktanın koordinatlarını bulunuz:
(a) x-eksenine göre simetrik ise __________
(b) y-eksenine göre simetrik ise __________
(c) Orijine göre simetrik ise __________
27. (Boşlukları doldurunuz.) 0y 0 5 2x 1 4’ün grafiği x ve y-eksenlerini sırasıyla __________
ve __________ noktalarında keser.
28. Kartezyen düzlemin hangi bölgelerinde x>y oranı negatiftir?
29. Bir noktanın y-koordinatı 2’dir. Noktanın (1, 3) noktasına olan uzaklığı V26 ise noktanın
x-koordinatını bulunuz.
30. Çapının bitiş noktaları (23, 24) ve (3, 4) olan çemberin denklemini bulunuz.
31. Eğer P1, P2 ve P3 noktaları ŞEKİL KTE.1’de gösterildiği gibi aynı doğru üzerinde ise, bu
takdirde d(P1, P2), d(P2, P3), ve d(P1, P3) uzaklıklarını bulunuz.
P3
P1
y
ŞEKİL KTE.1
x
ŞEKİL KTE.2
grafik
Problem 32’deki
P2
Problem 31’deki grafik
32. Aşağıdaki denklemlerden hangisi ŞEKİL KTE.2’de verilen çemberi en iyi tanımlar? Ve
sembolleri sıfırdan farklı sabitleri temsil etmektedir?
(a) ax 2 1 by2 1 cx 1 dy 1 e 5 0
(b) ax 2 1 ay2 1 cx 1 dy 1 e 5 0
(c) ax 2 1 ay2 1 cx 1 dy 5 0
(d) ax 2 1 ay2 1 c 5 0
(e) ax 2 1 ay2 1 cx 1 e 5 0
Doğrular
33. (Doğru/Yanlış) 2x 1 3y 5 5 ve 22x 1 3y 5 1 doğruları diktir. __________
34. (Boşluğu doldurunuz.) 6x 1 2y 5 1 ve kx 2 9y 5 5 doğruları k 5 __________ ise
paraleldir.
35. (Boşluğu doldurunuz.) x-eksenini (24, 0) ve y-eksenini (0, 32) noktasında kesen bir
doğrunun eğimi __________’dır.
36. (Boşlukları doldurunuz.) 2x 2 3y 1 18 5 0 doğrusunun eğimi, x ve y-eksenlerini kestiği
noktalar sırasıyla __________, __________ ve __________’dır.
37. (Boşluğu doldurunuz.) Eğimi 25 olan ve y-eksenini (0, 3) noktasında kesen doğrunun
denklemi __________’dır.
38. (3, 28) noktasından geçen ve 2x 2 y 5 27 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini
bulunuz.
Kendinizi Test Edin xv
39. (23, 4) ve (6, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
40. Orjinden ve x 1 y 5 1 ve 2x 2 y 5 7 doğrularının grafiklerinin kesim noktasından
geçen doğrunun denklemini bulunuz.
41. Bir çemberin üzerinde bulunan bir P noktasındaki teğeti, P’den ve orjinden geçen,
doğruya dik olan doğrudur. ŞEKİL KTE.3’te belirtilen L teğetinin denklemini bulunuz.
(x 3)2 (y 4)2 4
y
L
P
ŞEKİL KTE.3
grafik
42. Verilen denklemleri ŞEKİL KTE.4’teki
(i) x 1 y 2 1 5 0
(ii)
(iv) y 2 1 5 0
(v)
(vii) x 1 10y 2 10 5 0
(viii)
(a)
y
(b)
x
4
Problem 41’deki
uygun grafiklerle eşleyiniz.
x1y50
(iii) x 2 1 5 0
10x 1 y 2 10 5 0
(vi) 210x 1 y 1 10 5 0
2x 1 10y 2 10 5 0
y
2
2
x
x
y
2
y
(e)
(f)
2
2
x
x
x
y
y
2
2
2
(g)
x
2
2
(d)
y
(c)
2
(h)
2
x
2
ŞEKİL KTE.4 Problem 42’deki grafik
2
y
2
x
2
Trigonometri
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
(Doğru/Yanlış) 1 1 sec 2 u 5 tan 2 u. __________
(Doğru/Yanlış) sin (2t) 5 2 sin t. __________
(Boşluğu doldurunuz.) 240 derecelik bir açı ___________ radyana denktir.
(Boşluğu doldurunuz.) p>12 radyanlık açı ___________ dereceye denktir.
(Boşluğu doldurunuz.) tan t 5 0.23 ise tan (t 1 p) 5 __________’dır.
Eğer sin t 5 13 ve t açısının bitiş noktası ikinci bölgede ise cos t’yi bulunuz.
ŞEKİL KTE.5’te verilen u açısının altı trigonometrik fonksiyonunun değerlerini bulunuz.
xvi Kendinizi Test Edin
5
␪ 3
4
ŞEKİL KTE.5
üçgen
50.
ŞEKİL KTE.6’da
Problem 49’daki
verilen b ve c uzunluklarını u açısı cinsinden ifade ediniz.
c
b
␪
10
ŞEKİL KTE.6
üçgen
Problem 50’deki
Logaritma
51. e(0.1)k 5 5 üstel ifadesindeki sembolünü logaritma olarak ifade ediniz.
52. log 64 4 5 13 logaritmik ifadesini denk bir üstel ifade olarak ifade ediniz.
53. log b 5 1 3 log b 10 2 log b 40 ifadesini tek bir logaritma olarak ifade ediniz.
log 10 13
54.
ifadesini hesaplamak için bir hesap makinesi kullanınız.
log 10 3
55. (Boşluğu doldurunuz) b3logb10 5 __________.
56. (Doğru/Yanlış) (log b x)(log b y) 5 log b(ylog b x). __________