ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

ÖABT
2015
Soruları yakalayan
komisyon tarafından
hazırlanmıştır.
ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ
ÖABT
İLKÖĞRETİM
MATEMATİK
ANALİZ
DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Editör:
Doç. Dr. Hakan Efe
Konu Anlatımı
Özgün Sorular
Ayrıntılı Çözümler
Test Stratejileri
Çıkmış Sorular
Editör: Doç. Dr. Hakan Efe
ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Analiz-Diferansiyel Denklemler
ISBN 978-605-364-967-0
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© Pegem Akademi
Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
1.Baskı: Şubat 2015, Ankara
Proje-Yayın Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu
Dizgi-Grafik Tasarım: Gülnur Öcalan
Türkçe Redaksiyon: Elif Külah
Bengisu İyiiş
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti
İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A
Yenimahalle/ANKARA
(0312-394 55 90)
Yayıncı Sertifika No: 14749
Matbaa Sertifika No: 13987
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA
Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60
Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.net
E-ileti: [email protected]
ÖN SÖZ
Sevgili Öğretmen Adayları,
ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört
kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız
Analiz ve Diferansiyel Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı
(KPSS) İlköğretim Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek
için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen
adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.
Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması
yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı
maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.
Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı
açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test
sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek
olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.
Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve
önerilerinizi [email protected] adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz. Kitabımızın
hazırlanmasında emeği geçen Sayın Kerem Köker, Fikret Hemek, Ayşegül Eroğlu ve
Dizgicimiz Gülnur Öcalan'a teşekkürü bir borç biliriz.
Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet
içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...
Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER
MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri,
Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.
Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik
disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
Genel Yüzde
Alan Bilgisi Testi
Yaklaşık Yüzde
% 80
1 - 40
a. Analiz
% 28
b. Cebir
% 18
c. Geometri
% 18
d. Uygulamalı Matematik
% 16
Alan Eğitimi Testi
% 20
Soru Numarası
41 - 50
Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile
ilgili verilen bu bilgiler 2013-2014 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek
olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER
ÖN SÖZ�� v
1. KISIM
1. BÖLÜM: ANALİZE GİRİŞ
Sayılar��5
Doğal Sayılar�� 5
Rasyonel Sayılar�� 5
Tümevarım Yöntemi�� 5
Lineer (Doğrusal) Nokta Kümeleri�� 6
Mutlak Değer�� 7
Komşuluk�� 7
Yığılma Noktası�� 7
Tam Değer�� 8
Fonksiyonlar��8
Bazı Özel Fonksiyonlar�� 9
Fonksiyonun Grafiği�� 10
Trigonometri��12
Bazı Trigonometrik Değerler�� 12
Bazı Trigonometrik Bağıntılar�� 12
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar�� 14
Hiperbolik Fonksiyonlar�� 15
2. BÖLÜM: LİMİT
Limit��17
Bir Fonksiyonun Limiti�� 19
Tek Yönlü Limitler�� 21
Süreklilik��21
Bazı Sürekli Fonksiyon Örnekleri�� 21
Süreksizlik Çeşitleri�� 22
Sürekli Fonksiyonların Özellikleri�� 22
Düzgün Süreklilik�� 23
3. BÖLÜM: TÜREV
Türev��27
Türev Almada Genel Kurallar�� 27
Trigonometrik Fonksiyonların Türevi�� 28
Ters Fonksiyonun Türevi�� 28
Logaritma Fonksiyonunun Türevi�� 29
Üstel Fonksiyonunun Türevi�� 30
Logaritmik Türev Alma�� 30
Hiperbolik Fonksiyonların Türevi�� 30
vi
Parametrik Fonksiyonlar Türevi�� 30
Kapalı Fonksiyonların Türevi�� 31
Yüksek Mertebeden Türevler�� 31
Türevin Geometrik Anlamı�� 32
Türevle İlgili Teoremler�� 33
Belirsiz Şekiller�� 37
Diferansiyeller�� 38
Eğri Çizimleri�� 40
Düşey Asimptot�� 40
Yatay Asimptot�� 41
Eğri veya Eğik Asimptot�� 41
4. BÖLÜM: İNTEGRAL
Belirsiz İntegral��45
Bazı Fonksiyonların İntegralleri�� 45
İntegral Alma Yöntemleri�� 45
Değişken Değiştirme�� 45
Kısmi İntegrasyon Yöntemi�� 49
İndirgenme Bağıntıları�� 50
Rasyonel Fonksiyonların İntegrali�� 54
Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali�� 56
Binom İntegralleri�� 61
Çözümlü Sorular�� 62
Belirli İntegral��65
İntegralde Alan Hesabı�� 66
İntegralde Hacim Hesabı�� 69
Eğri Uzunluğunun Hesabı�� 71
Dönel Yüzeyin Alanı�� 72
5. BÖLÜM: GENELLEŞTİRİLMİŞ İNTEGRALLER
Genelleştirilmiş İntegraller�� 77
I. Çeşit��77
Kararlaştırma Testi�� 77
Kararlaştırma Testinin Limit Formu�� 77
2. Çeşit��78
Kutupsal Koordinatlar�� 79
Kutupsal Koordinatlarda Eğri Çizimi�� 81
Gül Eğrilerinin Çizimi�� 84
Kutupsal Koordinatlarda Alan Hesabı�� 85
Seriler��85
Geometrik Seri�� 86
Seriler İçin Yakınsaklık Testleri�� 87
vii
İntegral Testi�� 87
Oran Testi�� 88
Kök Testi�� 88
Limit Testi�� 89
Alterne Serileri�� 89
Kuvvet Serileri��90
Fonksiyonların Seriye Açılması�� 91
Analiz Uygulama�� 92
Fonksiyon Dizi ve Serileri�� 95
Düzgün Yakınsaklık ve İntegral�� 97
Düzgün Yakınsaklık ve Türev�� 97
Fonksiyon Serilerinin Düzgün Yakınsaklığı�� 98
6. BÖLÜM: n - BOYUTLU UZAY
n - Boyutlu Uzay��105
n
R in Topolojisi�� 106
Vektör Değerli Fonksiyonlar�� 109
Vektör Değerli Fonksiyonların Limit ve Sürekliliği�� 110
n
R de Eğriler�� 111
Vektör Değerli Fonksiyonların Türev ve İntegralleri�� 112
Eğri Uzunluğu�� 114
Çok Değişkenli Fonksiyonlar�� 116
Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit�� 118
Süreklilik��120
Kısmi Türevler��121
Yüksek Mertebeden Kısmi Türevler�� 123
Zincir Kuralı�� 124
Yönlü Türevler��126
Kapalı Fonksiyonların Türevi�� 127
Normal Doğrusunun Denklemini Bulma�� 130
Maksimum ve Minimum�� 130
Yan Şartlı Ekstremumlar�� 133
Bölge Dönüşümleri�� 136
Fonksiyonel Bağımlılık�� 138
Skaler ve Vektör Alanları�� 139
Çok Katlı İntegraller��143
İki Katlı İntegralin Hesabı�� 145
İntegral İşareti Altında Türev Alma�� 146
İki Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme�� 150
İki Katlı İntegrallerin Uygulamaları�� 154
Çözümlü Test 1�� 159
Çözümler�� 161
Çözümlü Test 2�� 164
Çözümler�� 166
Çözümlü Test 3�� 168
viii
Çözümler�� 170
Çözümlü Test 4�� 173
Çözümler�� 175
Çözümlü Test 5�� 177
Çözümler�� 179
Çözümlü Test 6�� 181
Çözümler�� 183
Çözümlü Test 7�� 186
Çözümler�� 188
Çözümlü Test 8�� 190
Çözümler�� 192
Çözümlü Test 9�� 195
Çözümler�� 198
Çözümlü Test 10�� 201
Çözümler�� 204
Çözümlü Test 11�� 207
Çözümler�� 209
Çözümlü Test 12�� 212
Çözümler�� 214
Çözümlü Test 13�� 217
Çözümler �� 220
Çözümlü Test 14�� 223
Çözümler�� 226
Çözümlü Test 15�� 229
Çözümler�� 232
Çözümlü Test 16�� 234
Çözümler�� 236
Çözümlü Test 17�� 241
Çözümler�� 243
Çözümlü Test 18�� 245
Çözümler�� 247
Çözümlü Test 19�� 249
Çözümler�� 251
Çözümlü Test 20�� 255
Çözümler�� 259
ix
2. KISIM
1. BÖLÜM: DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Diferansiyel Denklemler�� 271
Giriş�� 271
Diferansiyel Denklemlerin Çözümü�� 272
Genel ve Özel Çözümler�� 273
Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması�� 275
2. BÖLÜM: DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER
Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler�� 279
Değişkenlerine Ayrılabilir Hâle Getirilebilen Denklemler�� 280
Homojen Diferansiyel Denklemler�� 281
Homojen Diferansiyel Denklemlerin Çözümü�� 281
Homojen Hâle Dönüştürülebilir Diferansiyel Denklemler�� 282
Tam Diferansiyel Denklemler�� 284
İntegrasyon Çarpanı Yardımı ile Diferansiyel Denklem Çözümü�� 286
Lineer Denklemler��288
Lineer Diferansiyel Denklemin Çözüm Yöntemi�� 288
Bernoulli Denklemleri��290
Riccati Denklemi��291
3. BÖLÜM: BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Birinci Mertebeden n. Dereceden Diferansiyel Denklemler�� 295
Türeve, x'e veya y'ye Göre Çözülebilen Denklemler�� 295
Türeve Göre Çözülebilen Denklemler�� 295
x'e Göre Çözülebilen Denklemler�� 296
y'ye Göre Çözülebilen Denklemler�� 296
Clairaut Denklemi��297
Lagrange Denklemi��298
İndirgenebilir İkinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler�� 299
4. BÖLÜM: YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Yüksek Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler�� 303
Mertebe İndirgeme��304
Sabit Katsayılı Denklemler�� 305
Farklı Reel Kökler��305
Katlı Reel Kökler��306
Kompleks Kök��306
x
Homojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler�� 309
Belirsiz Katsayılar Yöntemi�� 309
Parametrelerin Değişim Yöntemi�� 313
Cauchy-Euler Denklemi�� 315
Çözümlü Test 1�� 317
Çözümler�� 319
Çözümlü Test 2�� 323
Çözümler�� 326
Çözümlü Test 3�� 330
Çözümler�� 333
Çözümlü Test 4�� 337
Çözümler�� 340
Çözümlü Test 5�� 344
Çözümler�� 347
1. KISIM
5
SAYILAR
N için; 32n+2 – 2n+1
n
-
denir.
m, n
kümesi denir.
32.1+2 – 21+1 = 34 – 22
Z = & ... − 2, − 1, 0, 1, 2, ... 0
1 44 2 44 3 \
Z−
Z+ = N
= Z , $0. , Z
−
p, q
-
+
n = k için; 32.k+2 – 2k+1 = 7.p
Z ve q
n = k + 1 için; 3
-
Q
32k+4 –2k+2
.9–
2k+1
= 32k+2
p
' : p, qd Z, q ! 0 1
q
m
m Z için m
!Q
1
= 7.p
.2
k+1 .
2
= 7 . 32k+2 + 2 . 32k+2 – 2 . 2k+1
2k + 2 − 2 k + 1 )
= 7 . 32k+2 + 2. (13444
4244443
7p
Z1Q
= 7 . 32k+2 + 2 . 7 . p
I
I
=
–
32k+2
p
2k+1+1
= 7. ( 3 2k + 2 + 2p ) = 7p'
144424443
Q=R
p' d Z
n
35–1 < 5!
Teorem:
n–1 <
N ve n H
n!
34 < 5!
-
D
D
-
D iken k + 1
n = k için; 3k–1
Sonuç:
n = k + 1 için; 3k+1–1
3k
D = {n
k
N ve p
p (p − 1) . (p − 2) ...(p − k + 1)
p
e o=
k!
k
denir.
1
1
3
1 1
1
3
. c − 1 mc − 2 m
.c − m.c − m
1
3 1
1
2
2
2
2
f2p= 2 2
=
= 6 = · =
6
3!
6 6 6 12
3
6
n. (n − 1)... (n − k + 1)
n
n!
b l=
=
k!
(n − k) !. k!
k
n
n
b l b l
0
n
1
{x
n
n
b l=b
l
n−k
k
{
n
n
n+1
b l+b
l=c
m
k−1
k
k
G xG
{
n
k
k > n iken b l 0
{
G
{x: –
R
n
<x< }=R
N
n
n
n
n
n
n−1
n−1
.b + ... + e
+ e o . bn
o. a . b
` a + b j = e o. a + e o. a
n−1
0
1
n
n
Her x
A için x G
x
-
A için x H
Aksiyom:
-
(m
Z ise m + 1
n = k için;
k
k
0
k
1
= c m .a k + c m .a k − 1 .b + ... + c
k+1
m .a.b k − 1 +
k−1
k
c m .b k ... ^ I h
k
n = k + 1 için;
k+1
= c k + 1 m .a k + 1 + c k + 1 m .a k + 1 − 1 .b + ...
0
1
k+1
k+1
m .a.b k + 1 − 1 + c
m . b k + 1 .... (II)
+c
k+1−1
k+1
-
k
k
^ I h = c m .a k . ^a + bh + c m .a k − 1 .b. ^a + bh + ... +
0
1
k
k
c
m .a.b k − 1 . (a + b) + c m .b k . ^a + bh
k−1
k
k
k
k
k
= c m .a k + 1 + c m a k .b + c m .a k .b + c m .a k − 1 .b 2 + ...
0
0
1
1
c
k
k
k
k
m .a 2 .b k − 1 + c
m .a.b k + c m .b k .a + c m .b k + 1
k−1
k−1
k
k
g
A
7
R ve f
B = {1 : r
Q, r > 0}
r
K = {x d R: x − a 1 f} = ` a − f, a + f j
f
K
1444442444443
denir.
a–f
a
a+f
denir.
1.
x
2.
A için x #
> 0 için
x
x+
A
1.
x
2.
f, f
A için x $ b
> 0 için
x
x – < b dir.
f > 0, A «
a =)
de
a $0
f
f
a; a $ 0
− a; a 1 0
a =0+a=0
−a = a
G O K
– G O K
aGb
aGb
3& a Gb
a.b
A
1
' : n d N1
n
a . b
a
, (b
b
a
b
Teorem:
Teorem:
-
R
1. –O K G
G O K
2. OK K –ObKO G O
O KGb
O K$b
–b G
$b
K G K K + KbK
Gb
-
G –b
Sonuç:
limsup A
1
O 1
veya
lim A ,
n
2
nO G O 1K + O 2K +
..... O nK
liminf A
veya
lim A
8
Fonksiyon
1. A = {(–1)n : n ∈ N} olsun.
A ve B iki küme f A’dan B’ye bir bağıntı olsun (f ⊂ AXB).
1.x ∈ A için (x, y) ∈ f olacak şekilde y ∈ B var ve
limsupA = 1
liminfA = –1
2. B = {sinn: n ∈ N} olsun
lim B = 1
lim B = − 1
Tam Değer
Bir a ∈ R’nin tam değeri diye a’dan büyük olmayan en
büyük tam sayıya denir ve "a, ile gösterilir.
2.
(x, y) ∈ f ve (x, z) ∈ f iken y = z
ise f’ye A’dan B’ye bir fonksiyon denir.
f: A
B
ve
A
f
B
biçiminde göste-
rilir.
Buna göre, "− π, = − 4, "e, = 2 dir.
Buradan A’ya f’nin tanım kümesi B’ye değer kümesi de-
2. ∀x ∈ R için x = "x, + t; olacak şekilde t ∈ [0, 1) vardır.
1. ∀x ∈ R için x H "x,
3. ∀ m ∈ Z için "m, = m dir.
4. a, b ∈ R için $a + b . $ $a . + $b . dır.
nir.
f: A " B
x " y = f` x j
Tanımından f’nin A’dan B’ye bir fonksiyon olması için
A’nın bir elemanı B’de birden çok elemanla eşleşmemelidir.
Tanım:
'
x−1
1 = 1 denklemini çözelim.
x
x−1
12
1#
x
1
−1
i. 1 G 1 − & 0 G
&x10
x
x
1
1
ii. 1 − 1 2 & > − 1 & x 1 − 1
x
x
Ç.K = (–∞,–1 )
f, g: A → B iki fonksiyon olsun.
∀ x∈A için f(x) = g(x) ise f ve g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir ve f = g ile gösterilir.
f, g : R → R f(x) = x2 – 1 ; g(x) = (x – 1) . (x + 1) olmak
üzere, f = g dır.
H f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerlerine f’nin sıfırları
FONKSİYONLAR
(kökleri) denir.
(x, y) = {{x} , {x, y}} kümesine bir x ile y’nin sıralı ikilisi
Tanım:
denir. (x, y) ≠ (y, x), (x = y)
f, g : A → B iki fonksiyon olsun.
(x, y) = (u, v) ⇒ x = u , y = v dir.
(f " g) (x) = f(x) " g(x)
Örnek
(f . g) (x) = f(x) . g(x)
(f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) ≠ 0
A ≠ ∅ ≠ B herhangi iki küme olmak üzere;
(c . f) (x) = c . f(x) , c ∈ R
AXB = {(a, b) : a ∈ A , b ∈ B} dir.
şeklinde tanımlanır.
H AXB ≠ BXA (A ≠ B)
H AX ∅ = ∅
H AXB nin her bir alt kümesine A’dan B’ye bir bağıntı
denir.
H AXA nın her bir alt kümesine A’da bir bağıntı denir.
Tanım:
f : X → Y bir fonksiyon ve
A ⊂ X , B ⊂ Y olsun. f(A) = {f(x) | x ∈ A} kümesine A’nın f
altındaki görüntüsü ve
f–1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B} kümesine B’nin f altındaki ters
görüntüsü denir.
9
H Ters fonksiyon olmadan da ters görüntü olabilir.
Özdeşlik (Birim) Fonksiyonu
Teorem:
f: A → A
f : X → Y bir fonksiyon A, B ⊂ X olsun. Bu durumda,
a)A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B)
∀x ∈ A için f(x) = x ise f ye birim fonksiyon denir.
IA ile gösterilir.
b) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)
c)f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B)
Bileşke Fonksiyon
Teorem:
f: A → B, g: B → C fonksiyonları veriliyor.
f : X → Y bir fonksiyon E, F ⊂ Y olsun.
g fonksiyonu f(A)’nın her bir y = f(x) elemanını C’nin bir
a) E ⊂ F ⇒ f–1 (E) ⊂ f–1(F)
z = g (f(x))’e dönüştürür. Böylece A’nın her bir x elema-
b)
f–1
f–1(E)
(E ∩ F) =
c)f–1(E
∪ F) =
f–1(E)
∩
f–1(F)
nını C nin bir z = g(f(x)) elemanına dönüştüren yeni bir
∪
f–1
fonksiyon elde edilmiş olur.
(F)
Bu fonksiyona f ile g nin bileşkesi denir ve gof ile gös-
d)f–1(E =F) = f–1(E) = f–1 (F)
terilir.
e)f–1(Ft) = (f–1(F))t (Ft : F nin tümleyeni)
Buna göre (gof) (x) = g (f(x)) olur. g ≠ f olmak üzere ge-
f)f–1(∅) = ∅
nelde gof ≠ fog dir.
Bazı Özel Fonksiyonlar
Tanım:
Tanım:
f : A ⊂ R → R biçimindeki fonksiyona reel değişkenli ve
f : A Æ B bir fonksiyon olsun.
reel değerli fonksiyon denir.
“f bire–birdir ⇔ ∀x, y ∈ A x ] y ise f (x) ] f (y) "
Eğer; f: A → B fonksiyonu,
“f bire–birdir ⇔ ∀ x, y ∈ A f(x) = f(y) ⇒ x = y”
∀ x ∈ A için f(x) = c (c: sabit) ise f’ye sabit fonksiyon denir.
Eğer ; f(A) = B ise f’ye örten fonksiyon denir. Buna göre,
“f örtendir ⇔ ∀ y ∈ B için f(x) = y olacak şekilde en az bir
x ∈ A vardır.”
f : (–∞, 0] → [0, ∞) , f(x) = x2 fonksiyonunun
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Yani f(A) ⊂ B dir.
1 : 1 ve örten olduğunu gösterelim.
2
2
1 – 1 lik; ∀ x1, x2 ∈ (–∞,0] olsun f(x1) = f(x2) & x 1 = x 2
& x1 = x2
f: R → [0, ∞), f(x) = x2 örten olduğunu gösteriniz.
∀ y ∈ [0,∞) için;
& f , 1: 1 dir.
örtenlik : “ f örtendir ⇔ ∀ y ∈ [0, ∞) için f(x) = y olacak
şekilde en az bir x ∈ (–∞, 0] vardır.
f(x) = y ⇒ x2 = y
x2 = y ⇒ x = " y ∈ R olduğu için f örtendir.
⇒ x = − y ∈ (–∞, 0] olup böylece f örtendir.
Ters Fonksiyon
f: R → R, f(x) = 2x + 1 örten olduğunu gösteriniz.
∀ y ∈ R için; 2x + 1 = y ⇒ 2x = y–1 ⇒ x =
olduğu için f örtendir.
y−1
dR
2
f : X → Y bire–bir ve örten olsun eğer
(fog)(y) = y ve (gof)(x) = x ise g’ye f’nin tersi denir ve
g = f–1 ile gösterilir.
fof–1 = IY
f–1 o f = IX olur.
10
f: ^− 3, 0@
1: 1
örten
–1
60, 3h , f (x) = x 2
1: 1
örten
f: A
f (x) = x 2 = y & x = − y
B ise A c B
& f −1 (x) = − x
S
Q veya S
{1, 2, ..., n} , n
N kümesine
NOT
denir.
R
G
Gf
1
–1
A}
–1
-
R
3
1:1
x3
3
x3
3
-
=0
2
Z
] 1; f (x) 2 0
]
[ 0 ; f (x) = 0
]]
− 1; f (x) 1 0
\
2
n
o
1
n
n
p:RÆR
n
nx
1
o
o
o
o
x
x3
x=
3
y
f(x) = x3
denir.
Tf
O
p (x)
q (x)
f (x)
y
x
m
$ x d R ; q (x) ! 0 .
.
o
-
11
Tam Değer Fonksiyonu
f(x) = x – $x. fonksiyonunun esas periyodunu bulalım.
∀ m ∈ Z+ için f(x + m) = x + m – "x + m,
f:A⊂R→R
f(x) = $x. biçiminde tanımlı fonksiyona
tam değer fonksiyonu denir.
= x + m – "x, − m
= f(x)
olup m ∈ Z+ lerin en küçüğü 1 olduğundan esas periyodu
1’dir.
f (x) = '
x−1
1 eşitliği ile verilen f:[–2,1] → R fonksiyonu2
nun grafiğini çizelim.
[–2,1) aralığında
Mutlak Değer Fonksiyonu
x−1
ifadesinin bir tamsayı olması için
2
x in –1 veya 1 olması gerekir.
Tanım:
O halde inceleme [–2, –1), [–1, 1] aralıklarında yapıla-
f : A ⊂ R Æ R bir fonksiyon olsun.
f (x) = f (x) = *
caktır.
f (x) ; f (x) H 0
i. –2 # x< –1 ⇒ '
− f (x) ; f (x) 1 0
biçiminde tanımlanan OfO fonksiyonuna f’nin mutlak değer
fonksiyonu adı verilir.
ii. –1 # x < 1 & )
x−1
1 =−2
2
x−1
3=−1
2
olur. x = 1 için f(x) = 0 dır.
G OfO = {(x, f(x)) : x ∈ A}
y
= {(x, f(x)) : x ∈ A , f(x) H 0} ∪ {(x, –f(x)) : x ∈ A, f(x)
< 0}
–2
–1
O
x
Yani OfO’nin grafiğini çizmek için;
–1
1. f(x) in grafiği çizilir.
–2
2. x– ekseninin altında kalan kısmın x eksenine göre
simetriği alınır.
β = $^x, y h : x = y + 1 . 1 R 2 bağıntısının grafiğini çizi-
niz.
i. x H 0 ve y H 0 ⇒ x = y + 1 ⇒ y = x – 1
ii. x < 0 ve y H 0 ⇒ –x = y + 1 ⇒ y = –x – 1
iii. x < 0 ve y < 0 ⇒ –x = –y + 1 ⇒ y = x + 1
iv. x H 0 < ve y < 0 ⇒ x = –y + 1 ⇒ y = –x + 1
f: [–2, 2] → R, f(x) = x – "x, fonksiyonunun grafiğini çizelim.
i. –2 # x < –1 için; "x, = − 2 & − "x, = 2 ; f (x) = x + 2
ii. –1 # x < 0 için ; "x, = − 1 & − "x, = 1 ; f (x) = x + 1
iii. 0 # x < 1 için ; "x, = 0 & − "x, = 0 ; f (x) = x
iv. 1 # x < 2 için ; "x, = 1 & − "x, = − 1 ; f (x) = x − 1
v. x = 2 için ; f(x) = 0
y
y
2
1
1
–1
O
1
–1
x
–2
–1 O
1
2
x
12
x
$2x.
A için –x
-
x
i.
0 # 2x
1
1
ii. –1 # x
iii.
1
2 #
iv. 0 ≤ x
v.
1
2
1
0# x
x
2
"2x, = − 2
2
.
"2x, = − 1
x
1
için f ^xh "2x,
2
0
y
1
y
2
sin0 = 0
1 br
1
–1 –1
P
–1
O
1
–1
x
1
2
t
O
1
x
cos π 2 = cos 90° = 0
sin π 2 = sin 90° = 1
–1
–2
A
R
x1, x2
E ve x1
x2
x1, x2
E ve x1
x2
1
-
2
r
= 45°
4
1
B
-
2
30° 30°
1
x1, x2
E ve x1
x2
1 #
3
2
2
60°
x 1 , x2
E ve x1
x2
1 $
y
O
B
2
1
2
C
Derece Radyan
=
180°
π
y
y
sin2
O
x
O
cos
π
π 1
= sin =
3
6 2
tan
π
=
3
cot
π
1
π
=
; cot =
3
6
5
3 ; tan
3
x
O
π
π
= cot = 1
4
4
1
π
=
6
3
2
π
π
sin = cos =
3
6
2
60°
H
y
x
tan
C
A
1
π
π
1
2
= cos =
=
4
4
2
2
2
1
R, E
sin
x
2x
=1
13
2x
– sin2x = 1 – 2sin2
tan x + tan y
1 − tan x. tan y
2x
–1
2 tan x
-
1 tan 2 x
y
y = sinx fonksiyonunu
sin : R $ 8− 1, 1 B
1
: x $ sin x = y = f (x)
– 2r – 3r
2
–r
r
2
O
r
r
2
3r
2
2r
x
–1
2
y
1
3r
O
r
x
2r
r
2
2
–1
sin : :
−π π
, D $ 6− 1, 1@
2 2
:x
y = Arccosx + x = cosy
0 # y # r , - 1# x # 1
& f − 1 (x) = Arc sin x
$:
r r
, D
2 2
c
−1
2π
m=
3
3
&^2k − 1h
1
2
d
?
1
π
= sin x & x =
2
6
− 2
−π
n=
2
4
π
; k d Z0 $ R
2
sin x
cos x
−π
2
-
y
r
–1
y
2
O
–r
1
2
x
– 3r
2
–r
2
O
r
2
3r
x
2

ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Related documents

Products

Support

ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib