1. ve 2. Dereceden Eşitsizlikler

EŞİTSİZLİKLER
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
f(x) = a.x + b İKİ TERİMLİSİNİN İŞARETİ
Tanım: a, b ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere f ( x ) = ax + b ifadesine birinci dereceden bir değişkenli iki terimli
denir. ax + b = 0 denkleminin kökü x = −
b
dır. Bu iki terimlinin işaret incelemesi aşağıdaki tabloda
a
gösterilmiştir.
x
f ( x ) = ax + b
−
−∞
b
a
a ’nın işaretinin tersi
+∞
a ’nın işaretinin aynı
Soru: f ( x ) = 2 x − 5 iki terimlisinin işaretini inceleyiniz.
Soru: f ( x ) = −3x − 1 iki terimlisinin işaretini inceleyiniz.
Soru: f ( x ) = 3 − 2 x iki terimlisinin işaretini inceleyiniz.
Uyarı: ax + b > 0 , ax + b ≥ 0 , ax + b < 0 , ax + b ≤ 0 eşitsizliklerinden herhangi birinin çözüm kümesini
bulmak için f ( x ) = ax + b iki terimlisinin işaretini incelemek ve eşitsizliği sağlayan gerçel sayı aralığını
belirtmek gerekir.
Soru: 2 x + 6 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: −3 x + 6 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Soru:
2 x − 1 3x + 2
≤
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
3
6
Uyarı: Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir gerçel sayı ile çarpıldığında ya da bölündüğünde eşitsizlik yön
değiştirir.
1
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
f(x) = a.x2 + b.x + c ÜÇTERİMLİSİNİN İŞARETİ
Tanım: a, b, c ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere f ( x ) = ax 2 + bx + c ifadesine ikinci dereceden bir değişkenli iki
terimli denir. Burada f ( x ) = ax 2 + bx + c üçterimlisinin işareti, ∆ = b 2 − 4.a.c ’nin durumuna göre incelenir.
1.Durum: ∆ > 0 ise ax 2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 , x2 olsun.
f ( x ) = ax 2 + bx + c = ( mx + n )( kx + f ) olur. Burada m.k = a olduğundan,
−∞
x
x1
( mx + n )
m ’nin işaretinin tersi
( kx + f )
k ’nın işaretinin tersi
f ( x ) = ax 2 + bx + c
−∞
x
f ( x ) = ax 2 + bx + c
m ’nin işaretinin aynı
a ’nın işaretinin tersi
x1
a ’nın işaretinin aynı
m ’nin işaretinin aynı
k ’nın işaretinin aynı
k ’nın işaretinin tersi
a ’nın işaretinin aynı
+∞
x2
a ’nın işaretinin aynı
+∞
x2
a ’nın işaretinin tersi
a ’nın işaretinin aynı
2.Durum: ∆ = 0 ise ax 2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 = x2 = −
x
x1 = x2 =
−∞
f ( x ) = ax 2 + bx + c
b
olsun.
2a
−b
2a
a ’nın işaretinin aynı
+∞
a ’nın işaretinin aynı
3.Durum: ∆ < 0 ise ax 2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökü yoktur.
x
f ( x ) = ax 2 + bx + c
+∞
−∞
a ’nın işaretinin aynı
2
Soru: f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 üçterimlisinin işaretini inceleyiniz.
Çözüm:
x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1) → x1 = −1 ∨ x2 = 3 bulunur.
Bu değerleri tabloda yerine yazacak olursak;
−∞
x
x2 − 2 x − 3
−1
−
+
+∞
3
+
Olarak bulunur.
Soru: f ( x ) = 9 x 2 + 12 x + 4 üçterimlisinin işaretini inceleyiniz.
Soru: f ( x ) = −2 x 2 + x − 5 üçterimlisinin işaretini inceleyiniz.
Uyarı: ax 2 + bx + c > 0 , ax 2 + bx + c ≥ 0 , ax 2 + bx + c < 0 , ax 2 + bx + c ≤ 0 eşitsizliklerinden herhangi birinin
çözüm kümesini bulmak için f ( x ) = ax 2 + bx + c üçterimlisinin işaretini incelemek ve eşitsizliği sağlayan
gerçel sayı aralığını ya da aralıklarını belirtmek gerekir.
Soru: x 2 − 3 x + 2 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: −3 x 2 + 5 x − 2 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
−3 x 2 + 5 x − 2 = ( 3 x − 2 )( − x + 1) → x1 =
x
−3 x 2 + 5 x − 2
2
∨ x2 = 1 olur.
3
2
3
−∞
−
+∞
1
+
−
Çözüm
Çözüm
2
2



Ç =  x ∈ ℝ : −∞ < x < ∨ 1 < x < ∞  veya Ç =  −∞,  ∪ (1, ∞ ) veya
3
3



2 
Ç = ℝ −  ,1 olarak da ifade edilebilir.
3 
3
Soru: x 2 − 4 x + 4 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: − x 2 + 3 x − 3 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: 3 x 2 − 2 x + 4 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
3 x 2 − 2 x + 4 = 0 ⇒ ∆ = ( −2 ) − 4.3.4 ise, ∆ = 4 − 48 = −44 < 0 olup, denklemin reel kökleri yoktur.
2
Buna göre, a = 3 > 0 olduğundan işaret tablosu aşağıdaki gibi bulunur.
−∞
x
+∞
+
3x 2 − 2 x + 4
+
+
+
+
İşaret tablosundan da görüldüğü gibi 3 x 2 − 2 x + 4 ≤ 0 denklemini sağlayan hiçbir x ∈ ℝ sayısı yoktur.
Yani çözüm kümesi Ç = ∅ dir.
Soru: ( x 2 − x ) ( x + 3) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
f ( x ) = ( x 2 − x ) ( x + 3) = x ( x − 1)( x + 3) → x1 = 0 ∨ x2 = 1 ∨ x3 = −3 olur.
Elde edilen kökleri tabloda yerine yazacak olursak;
−∞
x
−3
+∞
1
0
x+3
−
+
+
+
x
−
−
+
+
x −1
−
−
−
+
f ( x)
Çözüm
−
+
−
+
Çözüm
Buna göre; Ç = ( −∞, −3) ∪ ( 0,1) olur.
* Burada her bir kök atlandığında f ( x ) denkleminin işaretinin değiştiğine dikkat ediniz.
4
ÇARPIM VE BÖLÜM BİÇİMİNDEKİ EŞİTSİZLİKLER
P ( x).Q( x)
biçimindeki bir ifadenin işareti incelenirken, R ( x ) ≠ 0 olmak üzere P ( x ) , Q ( x ) ve
R ( x)
R ( x ) polinomlarının ayrı ayrı işaretleri incelenip aynı tabloda yazılarak, bu işaretler çarpılır veya bölünür.
f ( x) =
(x
f ( x) =
Soru:
2
+ 3 x − 10 )(1 − x 2 )
x+2
ifadesinin işaretini inceleyiniz.
Çözüm:
x 2 + 3 x − 10 = 0 → x1 = −5, x2 = 2
1 − x 2 = 0 → x3 = 1, x4 = −1
x + 2 = 0 → x5 = −2
−1
−2
−5
−∞
x
1
+∞
2
+
−
−
−
−
+
1 − x2
−
−
−
+
−
−
x+2
−
−
+
+
+
+
f ( x)
+
−
+
−
+
−
x 2 + 3 x − 10
Paydayı sıfır yapan sayılar
tabloda çift çizgi ile gösterilir.
Soru:
(x
2
− 5x ) ( x + 2)
4 − x2
> 0 ifadesinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
x 2 − 5 x = 0 → x1 = 0, x2 = 5
x + 2 = 0 → x3 = −2
4 − x 2 = 0 → x4 = 2, x5 = −2
x
−∞
−2
2
0
+∞
5
+
+
−
−
+
4 − x2
−
+
+
−
−
x+2
−
+
+
+
+
f ( x)
+
+
−
+
−
x2 − 5x
Paydayı sıfır yapan sayılar tabloda çift çizgi ile gösterilir.
Ayrıca, tabloda “-2” nin sağ ve solunda işaretinin aynı
olduğuna dikkat ediniz.
5
PRATİK KURAL:
1. Tüm çarpan ya da bölenlerin gerçel kökleri bulunarak, büyüklük sırasına göre tabloya yerleştirilir.
2. Tüm çarpan ya da bölenlerin en büyük dereceli terimlerinin işaretleri alınıp çarpılır ve bulunan işaret
tablonun en sağındaki bölmeye yazılır.
3. Tek katlı köklerin soluna sağındaki işaretin tersi, çift katlı köklerin soluna sağındaki işaretin aynısı
yazılarak tablonun işareti tamamlanır.
Soru:
(x
+ x − 2 ) (1 − x )
2
x2 + x
(1 − x ) ( x + 2 )
5
−x2 ( 2 − x )
2
Soru:
> 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
3
≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
3
1
≤
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
x −1 x + 1
Soru:
2
1
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
x
Soru: x <
Çözüm:
x−
1
x2 −1
<0→
< 0 şeklinde düzenlenerek işaret incelemesi yapılır.
x
x
Buna göre; x 2 − 1 = 0 → x1 = 1, x2 = −1 ve paydanın kökü ise x3 = 0 olur.
x
x2 − 1
x
−∞
−
−1
0
+
−
Çözüm
+∞
1
Çözüm
+
Buna göre çözüm kümemiz; Ç = ( −∞, −1) ∪ ( 0,1) olur.
( 2 − x ) ( x − 1)
4
Soru:
Soru:
Soru:
x +1
(−x
2
5
≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
− 4 )( x 2 − 4 )
2x
x +1 + 2
x +1
≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
6
EŞİTSİZLİK SİSTEMİ
İki ya da daha çok eşitsizliğin oluşturduğu sisteme eşitsizlik sistemi denir. Sistemdeki tüm
eşitsizliklerinin çözüm kümelerinin kesişimine (ara kesitine) eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.
Soru:
x2 − x − 6 ≤ 0 
 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
x 2 − 5 x + 4 > 0
Çözüm:
x 2 − x − 6 = 0 ⇒ x1 = −2, x2 = 3
x 2 − 5 x + 4 = 0 ⇒ x1 = 4, x2 = 1 her iki denklemi de sağlayan aralıklarla bakılmalı.
Buna göre tablo aşağıdaki gibi düzenlenebilir.
x
x2 − x − 6
x2 − 5x + 4
−∞
+
+
−2
1
−
−
+
+
−
−
Çözüm Kümesi 1
Çözüm Kümesi 2
+∞
4
3
+
+
Ç.K. 2
Ç .K1 ∩ Ç.K 2
Her iki denklemi de sağlayan değerler kümesi
bu eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi olur.
Ç.K1 ∩ Ç.K 2 = { x ∈ ℝ : −2 ≤ x < 1} = [−2,1)
Soru:
x2 − 6
< 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
x
Çözüm:
x2 − 6
x2 − 6
< 1 ise, −1 <
< 1 olur.
x
x
Burada bizim iki farklı eşitsizliğin çözüm kümesini incelememiz gerekir.

x2 − x − 6
< 0

x
Yani 2
 denklem sisteminin çözüm kümesini araştıracağız.
x + x−6
> 0

x
x2 + x − 6
= 0 → x1 = −3, x2 = 2 olur. Ayrıca x3 = 0 değeri de paydayı sıfır yapar.
x
7
x2 − x − 6
= 0 → x1 = 2, x2 = 3 olur. Ayrıca x3 = 0 değeri de paydayı sıfır yapar.
x
Tabloyu aşağıdaki gibi düzenleyecek olursak,
x
−∞
x − x−6
x
−
x2 + x − 6
x
−
−3
−2
0
+∞
3
2
2
Ç.K. 1
−
+
Ç.K. 2
+
−
+
−
Ç.K. 1
+
−
+
+
Ç.K. 2
Ç .K1 ∩ Ç.K 2
Ç .K1 ∩ Ç.K 2
Ç.K . = ( −3, −2 ) ∪ ( 2,3) bulunur.
Sorular:
Aşağıdaki eşitsizlik ve eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.
x2 + x − 6
1.
≤0
− x2 ( 4 − x2 )
(x
2.
2
− 4 x − 5) ( 2 − x )
− x3 − x 2
3x − 1
≥1
x2 − 1
4. x + 1 > x3 + 1
5.
2x −1
7. 2 ≤
<3
x+3
4− x
>0
x+3
8.
x+2
≤0
x−6
x3 − 1 < 0


4
2
10. x + x ≥ 0 
2 − x ≥ x 2 
2
≤0
3.
6.
( x + 2) ( x2 − 5x + 6)
3− x
5 x − 7 ≤ 3x 

2x + 5 > 1 
x +1
>0
x −1
9.
x
<1
x −1





x−2

>0 

6− x
11.

−4
< 0
x 2 − 16






12. 2 x − 4 < x + 2 < x 2
8
≥0
MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER
A) f ( x ) < m ise
1. f ( x ) ≥ 0 ⇒ f ( x ) < m veya
2. f ( x ) < 0 ⇒ − f ( x ) < m ⇒ f ( x ) > − m dir.
Buradan f ( x ) < m → − m < f ( x ) < m bulunur.
B)
f ( x ) > m ise
1. f ( x ) ≥ 0 ⇒ f ( x ) > m veya
2. f ( x ) < 0 ⇒ − f ( x ) > m ⇒ f ( x ) < − m dir.
Buradan f ( x ) > m ⇒ f ( x ) < − m veya f ( x ) > m bulunur.
Soru: 2 x + 3 < 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: 1 − 2 x ≥ 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: x − 1 < x + 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: x − 3 ≤ x + 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.(Her iki tarafın karesini alarak)
Soru: x 2 + x − 2 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.( Genel yöntemi kullanarak.)
Sorular:
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
1.
4x −1 ≤ 3
6.
2. 3 − 2 x > 11
7.
3. x 2 − 2 x − 15 < 0
8.
4.
5.
x +1 ≤ 2x −1
x2 + 3 ≤ 7
9.
x +1 + x − 2 ≤ x + 3
x2 − 6 x + 9 ≤ 5
2x −1 − 3 ≤ 8
x−3
x −3
<0
10. 9 ≤ ( 2 x + 1) ≤ 16
2
9
ax2 + bx + c = 0 DENKLEMİNİN KÖKLERİNİN İŞARETİ
ax 2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel sayı olan kökleri x1 , x2 ve x1 < x2 olsun. x1.x2 =
c
b
, x1 + x2 = −
a
a
ve ∆ = b 2 − 4ac olmak üzere;
 −b
 a = x1 + x2 < 0 ⇒ x1 > x2

 −b
⇒  = x1 + x2 > 0 ⇒ x1 < x2
a
 −b
 a = x1 + x2 = 0 ⇒ x1 = x2

1.
c
= x1.x2 < 0 ⇒
a
2.
c
b
= x1.x2 = 0 ⇒ x1 = 0 , x2 = −
a
a
x1 < 0 < x2
∆ < 0 ⇒ gerçel kök yok

 b

c
 − a = x1 + x2 < 0 ⇒ x1 ≤ x2 < 0
3.
= x1.x2 > 0 ⇒ 
a
 ∆≥0 ⇒ b
− = x + x > 0 ⇒ 0 < x ≤ x

1
2
1
2
 a

Uyarılar:
1. ax 2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel köklerinin varlığını ve işaretini bulmak istediğimizde, ∆ ,
ifadelerinin işaretini sırasıyla incelemekte yarar vardır.
c
2. < 0 ⇒ ∆ > 0 dır.
a
3. ∆ < 0 iken kökler karmaşık sayıdır. Karmaşık sayılar sıralanamaz.
Bütün bu ifadeleri daha düzenli bir şekilde tablo halinde gösterecek olursak;
∆<0
∆ = 0 (Eşit iki
kök vardır.)
Denklemin reel kökü yoktur.
x1 + x2 > 0 → x1 = x2 > 0 (Eşit iki pozitif kökü vardır.)
x1 + x2 = 0 → x1 = x2 = 0
x1 + x2 < 0 → x1 = x2 < 0 (Eşit iki negatif kökü vardır.)
x1 + x2 > 0 → x1 > x2 > 0 (Pozitif iki
x1.x2 > 0 ise kökler
kökü vardır.)
aynı işaretlidir.
∆ > 0 (Farklı
x1.x2 = 0 ise köklerden
iki kökü
vardır.)
birisi 0 dır.
x1.x2 < 0 ise kökler zıt
işaretlidir.
x1 + x2 > 0 ise, küçük kök sıfırdır.
x1 + x2 < 0 ise, büyük kök sıfırdır.
x1 + x2 > 0 ise, x1 < 0 < x2 ve x1 < x2
x1 + x2 = 0 ise, x1 < 0 < x2 ve x1 = x2
x1 + x2 < 0 ise, x1 < 0 < x2 ve x1 > x2
10
c b
,−
a a
Soru:
a) 2 x 2 − x + 5 = 0 b) 3 x 2 − 5 x − 4 = 0 c) x 2 − 3 x + 1 = 0
çözmeden, gerçel köklerinin varlığını ve işaretini inceleyiniz.
d) 2 x 2 + 9 x + 5 = 0 denklemlerini
Soru: ( m − 1) x 2 − 2 ( m + 1) x + m + 3 = 0 denkleminin birbirinden farklı iki pozitif gerçel kökünün olabilmesi
için m hangi aralıkta olmalıdır?
Çözüm:



c

x1.x2 = > 0  olmalıdır. Buna göre;
a

b

x1 + x2 = − > 0 
a

∆>0
b 2 − 4.a.c = 4m2 + 8m + 4 − 4. ( m 2 + 2m − 3) = 16 daima pozitiftir.
m+3
2m + 2
> 0 ve
> 0 olmalıdır.
m −1
m −1
Buna göre tabloyu aşağıdaki gibi düzenleyebiliriz.
x
∆
m+3
m −1
2m + 2
m −1
−3
−∞
−1
+
+
+
Ç.K. 2
+
−
−
+
+
−
Ç.K. 3
Ç. K. 1
+∞
1
+
+
Ç.K. 2
+
Ç.K. 3
Ç.K.
Ç.K.
Genel Çözüm Kümemiz her üç eşitsizliği de gerçekleyen
aralık olacaktır. Yani;
Ç = ( −∞, −3) ∪ (1, ∞ )
olur.
Soru: ( m − 2 ) x 2 + 2mx + m − 3 = 0 denkleminin birbirinden farklı negatif iki gerçel kökünün olabilmesi için m
hangi aralıkta olmalıdır? ( ( 3, ∞ ) )
( m − 1) x 2 − ( m − 5) x + m − 3 = 0 denkleminin kökleri x1 , x2 dir.
aralıkta olmalıdır? ( (1,3) ) (Not: x1.x2 < 0 iken ∆ > 0 olduğunu hatırlayınız.)
Soru:
11
x1 < 0 < x2 ve x1 > x2 ise m hangi
Soru: ( m + 2 ) x 2 + ( m + 4 ) x − 2m + 4 = 0 denkleminin kökleri arasında x1 < 0 < x2 ve x1 < x2 koşullarını
sağlayan m değerleri hangi aralıktadır?
Soru: x 2 + ( m + 1) x − m − 1 = 0 denkleminin köklerinin varlığını ve işaretini m ’nin değerine göre inceleyiniz.
Soru:
( m − 2 ) x 2 − 2 ( m − 1) x + m − 3 < 0
eşitsizliği ∀x ∈ ℝ için sağlanıyorsa, m ’nin değer aralığını bulunuz.
Sorular:
1.
( m − 3) x 2 − 2 ( 3m − 4 ) x + 7m − 6 = 0
denkleminin köklerinin varlığını ve işaretini inceleyiniz.
Çözüm:
∆ = 4. ( 3m − 4 ) − 4. ( m − 3) . ( 7 m − 6 ) = 8m 2 + 12m − 8 bulunur. Bu denklemin köklerini
2
9 m2 − 24 m +16
7 m 2 − 27 m +18
inceleyecek olursak;
4 ( 2m 2 + 3m − 2 ) = 4 ( m + 2 )( 2m − 1) → m1 = −2, m2 =
x1.x2 =
1
bulunur.
2
b 2 ( 3m − 4 )
c 7m − 6
=
ve x1 + x2 = − =
eşitsizliklerini bir tabloda yazacak olursak;
a m−3
a
m−3
x
∆
7m − 6
m−3
3m − 4
m−3
−∞
6
7
1
2
−2
4
3
+∞
3
+
−
+
+
+
+
+
+
+
−
−
+
+
+
+
+
−
+
Bu tablodan aşağıdaki sonuçları çıkartabiliriz;
1 6
i. m ∈ ( −∞, −2 ) ∪  ,  ∪ ( 3, ∞ ) ise, x1 > x2 > 0 olur.
2 7
1

ii. m ∈  −2,  ise, denklemin reel kökü yoktur.
2

6 4
iii. m ∈  ,  ise, x1 < 0 < x2 ve x1 < x2 olur.
7 3
4 
iv. m ∈  ,3  ise, x1 < 0 < x2 ve x1 > x2 olur.
3 
2. 3mx 2 − 2 ( 3m − 2 ) x + 3 ( m − 1) = 0 denkleminin birbirinden farklı pozitif iki kökünün olabilmesi için m ne
olmalıdır.
3. ( m − 2 ) x 2 − 2mx + 2m − 3 = 0 denkleminin birbirinden farklı negatif iki kökünün olabilmesi için m ne
olmalıdır.
12
4.
( m − 5 ) x 2 − ( m − 2 ) x + m = 0 denkleminin gerçel kökleri
x1 , x2 dir. x1 < 0 < x2 ve x1 > x2 ise m = ?
5. ( a + 1) x 2 + ( a − 2 ) x + 1 = 0 denkleminin farklı iki pozitif kökünün olması için a hangi aralıkta yer almalıdır?
a.x2 + b.x + c = 0 DENKLEMİNİN GERÇEL KÖKLERİ İLE BİR k GERÇEL SAYISININ
KARŞILAŞTIRILMASI
−b
x
x
+
−b
ax 2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 , x2 olsun. x1 < x2 olmak üzere, 1 2 = a =
2
2
2a
−b
sayısı x1 ve x2 arasındadır. Yani x1 <
< x2 dir.
2a
f ( x ) = ax 2 + bx + c ve k ∈ ℝ iken f ( k ) = ak 2 + bk + c dir. ∆ = b 2 − 4.a.c olmak üzere,
Aşağıda verilen tabloyu inceleyelim.
x
f ( x ) = ax 2 + bx + c
−∞
x1
a ’nın işaretinin aynı
+∞
x2
a ’nın işaretinin tersi
a ’nın işaretinin aynı
x1 + x2
b
=−
2
2a
Şimdi tabloya bakacak olursak, eğer denklemimizin iki farklı kökü varsa yani ∆ > 0 ise,
x ∈ ( −∞, x1 ) iken f ( x ) ile a aynı işaretli olacaktır. Buradan da eğer bir k ∈ ℝ sayısı ( −∞, x1 )
aralığında ise, a. f ( k ) > 0 olur. Ayrıca k < −
b
olduğundan, k < x1 < x2 olacaktır.
2a
x ∈ ( x1 , x2 ) iken f ( x ) ile a zıt işaretli olacaktır. Buradan da eğer bir k ∈ ℝ sayısı ( x1 , x2 ) aralığında
ise, a. f ( k ) < 0 olur. Burada kökler toplamına bakmadan x1 < k < x2 olduğu açıkça görülmektedir.
x ∈ ( x2 , ∞ ) iken f ( x ) ile a aynı işaretli olacaktır. Buradan da eğer bir k ∈ ℝ sayısı ( x2 , ∞ ) aralığında
ise, a. f ( k ) > 0 olur. Ayrıca k > −
b
olduğundan, k > x2 > x1 olacaktır.
2a
Bütün bu durumlardan çıkaracağımız sonuç aşağıda maddeler halinde verilmiştir. İnceleyiniz.
13
Durum 1 : ∆ > 0 iken
•
a. f ( k ) < 0 ise x1 < k < x2 (Ayrıca ∆ > 0 ’a bakmaya gerek yoktur.)
•
b

 k < − 2a ⇒ k < x1 < x2
a. f (k ) > 0 ⇒ 
k > − b ⇒ x < x < k
1
2

2a
•
b

k
<
−
⇒ k = x1 < x2

2a
a. f (k ) = 0 ⇒ 
k > − b ⇒ x < x = k
1
2

2a
Durum 2 : ∆ = 0 iken
•
b

 k < − 2a ⇒ k < x1 = x2
a. f (k ) > 0 ⇒ 
k > − b ⇒ x = x < k
1
2

2a
•
a. f ( k ) = 0 ⇒ k = x1 = x2
Durum 3 : ∆ < 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Bu nedenle sıralama yapılmaz.
Uyarı : a. f ( k ) < 0 ⇒ ∆ > 0 dır.
Soru: Aşağıdaki denklemleri çözmeden köklerini verilen k sayıları ile karşılaştırınız.
1. 2 x 2 − 5 x − 3 = 0 , k = −1
2. − x 2 + 5 x − 2 = 0 , k = 1
3. 3 x 2 + 7 x + 1 = 0 , k = 2
Soru: 2mx 2 − 2 x − 3m − 2 = 0 denkleminin kökleri x1 , x2 dir. x1 < 1 < x2 olması için m = ?
Soru: ( m − 2 ) x 2 + 2 ( m − 1) x + m − 3 = 0 denkleminin kökleri x1 , x2 dir. 1 < x1 < x2 olması için m ne olmalıdır.
14
Uyarı: ax 2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 , x2 olsun.
1. n < x1 < m < x2 olması için
i. f ( n ) . f ( m ) < 0
ii. n +
b
< 0 olmalı
2a
2. x1 < n < x2 < m olması için
i. f ( n ) . f ( m ) < 0
ii. m +
b
> 0 olmalı
2a
Soru: 4 x 2 − 2 x + m = 0 denkleminin kökleri x1 , x2 dir. −1 < x1 < 1 < x2 olması için m = ?
Çözüm:
−1 < x1 < 1 < x2 ise, a. f ( −1) > 0 ∧ a. f (1) < 0 olmalı. Buna göre;
f ( −1) > 0 ∧
f (1) < 0 ise,
f ( −1) . f (1) < 0 olmalıdır.
( 4.( −1)
2
)
− 2 ( −1) + m ( 4 − 2 + m ) < 0 → ( 6 + m ) . ( 2 + m ) < 0 olur.
Ayrıca −1 < x1 < x2 olduğundan −1 < −
b
1
olmalıdır. ( −1 < − olduğu görülmektedir.)
2a
4
Bu eşitsizlik sistemini çözecek olursak;
x
f ( −1) . f (1)
−1 +
b
2a
−∞
+
−
−6
−2
+∞
Ç.K. 1
−
+
−
−
Ç. K. 2
Ç.K.
Ç = ( −6, −2 ) bulunur.
15
Sorular:
1. ( m − 1) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0 denkleminin kökleri x1 , x2 dir. x1 < x2 < 2 olması için m = ?
2. x 2 − 2mx + m − 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. −2 < x1 < x2 olması için m = ?
3.
( 3m − 2 ) x 2 − 2 x − 2m + 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 < −1 < x2 olması için m = ?
4. ( m − 1) x 2 − 4 ( m − 2 ) x + 2m − 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. 0 < x1 < 1 < x2 olması için m = ?
5. ( m − 2 ) x 2 − 4 ( m − 3) x + ( 2m − 1) = 0 denkleminin ters işaretli iki gerçel kökü varsa m ne olmalıdır.
f(x) = a.x2 + b.x + c ÜÇTERİMLİSİNİN DAİMA POZİTİF YA DA NEGATİF OLMASI
1. f ( x ) = ax 2 + bx + c üçterimlisinin daima pozitif olması için ∆ < 0 ve a > 0 olmalıdır.
2. f ( x ) = ax 2 + bx + c üçterimlisinin daima negatif olması için ∆ < 0 ve a < 0 olmalıdır.
Uyarı: ikinci dereceden bir denklemin daima pozitif veya negatif olabilmesi için ∆ < 0 olmalı yani reel
köklerinin olmaması gerekir. (Yukarıdaki tabloyu hatırlayınız. f ( x ) ile a ’nın daima aynı işaretli olması için
reel kök olmamalı. Eğer reel kök varsa zıt işaretli olduğu yerler var demektir. Kökler arası. )
Soru: f ( x ) = ( m + 1) x 2 + mx − m üçterimlisi veriliyor. ∀x ∈ ℝ için f ( x ) > 0 olması için m hangi aralıkta
bulunmalıdır? Bulunuz.
Soru: ∀x ∈ ℝ için ( m − 5 ) x 2 + 4 x − m < 0 ise m = ?
Soru: ∀x ∈ ℝ için (1 − m 2 ) x 2 − ( 2m − 1) x − 1 < 0 ise m ne olmalıdır? Bulunuz.
16
Dosya adı:
ANLATIMI
Dizin:
Şablon:
BİRİNCİ VE İKİNCİ DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER KONU
C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET
C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor
mal.dotm
Başlık:
EŞİTSİZLİKLER
Konu:
Yazar:
TOLGA KURTYEMEZ
Anahtar Sözcük:
Açıklamalar:
Oluşturma Tarihi:
08.01.2017 16:17:00
Düzeltme Sayısı:
2
Son Kayıt:
08.01.2017 16:17:00
Son Kaydeden:
TOLGA
Düzenleme Süresi: 2 Dakika
Son Yazdırma Tarihi: 08.01.2017 16:17:00
En Son Tüm Yazdırmada
Sayfa Sayısı:
16
Sözcük Sayısı:
2.904(yaklaşık)
Karakter Sayısı: 16.557(yaklaşık)