IKINCI DERECEDEN DENKLEMLER KONU ANLATIMI

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
TANIMLAR :
a, b, c ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli
denklem denir.
Bu denklemde a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x ’ e bilinmeyen denir.
Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine
denklemin çözümü denir.
Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir.
Soru: Aşağıda verilen denklemlerin bir bilinmeyenli ikinci dereceden denklem olup olmadığını söyleyiniz.
x2 = 0
a = 1, b = 0, c = 0
2x2 − 5 = 0
a = 2, b = 0, c = −5
m − 2m 2 = 0
a = −2, b = 1, c = 0
y4 − y2 +1 = 0
İkinci derecen denklem değil.
x 2 + 3 xy − y 2 = 0
İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklem değil. ( a = 1, b = 3 y, c = − y 2
düşünülürse ikinci derecen bir bilinmeyenli denklemdir.)
2 x + 5 − x2 = 6
a = −1, b = 2, c = −1
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ
A. ax 2 = 0
yani b = 0 ve c = 0 ise;
ax 2 = 0 → x 2 = 0 → x1 = x2 = 0 → Ç = {0} bulunur.
B. ax 2 + c = 0 yani b = 0 ise;
ax 2 + c = 0 ise, ax 2 = −c → x 2 = −
c
c
→ x1,2 = ∓ −
a
a
1

Ç =  x1 =

−
c
a
, x2 = −
−
c
a

 bulunur.

( ax2 +bx + c = 0 denkleminde b = 0 ⇒ Simetrik İki Kök Vardır )
C. ax 2 + bx = 0 yani c = 0 ise;
ax 2 + bx = 0 → x ( ax + b ) = 0 → x = 0 veya ax + b = 0 olur. Buradan;
x1 = 0 ve x2 = −
b
b

bulunur. Ç = 0, −  olur.
a
a

Soru : Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz ?
1. 6 x 2 − 9 x = 0
2. 4 x 2 − 16 = 0
3. x 2 + 9 = 0
4. 6 x 2 ( x 2 − 4 ) = 0 ( İkinci dereceden bir denklem midir ? )
Soru: ( m − 2 ) x 2 + ( m 2 − 4 ) x − 16 = 0 denkleminin simetrik iki kökü olması için m = ?
D. ax 2 + bx + c = 0 ise;
Çarpanlara ayrılabiliyorsa öncelikle çarpanlara ayrılır. Elde edilen denklem çözülür.
Soru: x 2 − x − 6 = 0 ⇒ ( x − 3)( x + 2 ) = 0 ise, x − 3 = 0 veya x + 2 = 0 bulunur.
Buradan x1 = 3 ve x2 = −2 bulunur. Ç.K . = {−2,3} olur.
Soru: 2 x 2 + x − 1 = 0 ise, ( 2 x − 1)( x + 1) = 0 dan 2 x − 1 = 0 veya x + 1 = 0 bulunur.
Buradan x1 =
1
1

ve x2 = −1 bulunur. Ç.K . =  , −1 olur.
2
2

2) Genel çözümü;

b
c
b
c b2
b2 

ax 2 + bx + c = a  x 2 + x +  = a  x 2 + x + − 2 + 2  = 0
a
a
a
a 4a
4a 


( Tam kareye tamamlamak için x ’in katsayısının karesini bir ekleyip bir çıkardık .)
2

b
c
b
b2  b2 c 

a  x 2 + x +  = a  x 2 + x + 2  − 2 +  = 0
a
a
a
4a  4a
a


2

b  b 2 − 4ac 
= a  x +  −
=0
2a 
4a 2 

2
b  b 2 − 4ac

= a x +  −
=0
2a 
4a

2
b  b 2 − 4ac

⇒x+  =
2a 
4a 2

⇒x=
2
b  b 2 − 4ac

⇒ a x +  =
2a 
4a

b
b 2 − 4ac
⇒ x+
=±
2a
4a 2
b 2 − 4ac
−b
±
2a
4a 2
⇒x=
−b ± b 2 − 4ac
2a
Buradan;
⇒ x1 =
−b + b 2 − 4ac
2a
ve ⇒ x2 =
−b − b 2 − 4ac
elde edilir.
2a
Soru: Elde edilen bu köklerin gerçel ( Reel ) sayı olmaları için a, b ve c katsayıları arasında nasıl bir bağıntı
olmalıdır?
Soru: Köklü ifadelerin tanımlı olabilmeleri için kökün içinin işareti ne olmalıdır.
Uyarı: Yukarıda elde ettiğimiz köklerin gerçel sayı olmaları için b 2 − 4.a.c ≥ 0 olmalıdır.
Tanım : ax 2 + bx + c = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleminde b 2 − 4.a.c değerine denklemin
diskriminantı denir ve ∆ sembolü ile gösterilir.
∆ = b 2 − 4.a.c alınır ise denklemin köklerini veren genel ifade şu şekilde elde edilir.
x1 =
−b + ∆
−b − ∆
−b ± ∆
ve x2 =
kısaca; x1,2 =
2a
2a
2a
Sonuç: ax 2 + bx + c = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleminde;
1 ) ∆ > 0 ise gerçel iki kök vardır. Bu kökler x1 =
−b + ∆
−b − ∆
ve x2 =
dir.
2a
2a
Soru : ax 2 + bx + c = 0 denkleminde a ile c ters işaretli ise kökleri hakkında ne söyleyebiliriz ?
Verilen ax 2 + bx + c = 0 denkleminde a ile c ters işaretli ise ∆ = b 2 − 4.a.c daima sıfırdan büyük
çıkacağından
3
a ile c ters işaretli ise denklemin gerçel iki kökü vardır.
2) ∆ = 0 ise ikinci derece denklemin eşit iki kökü vardır. Bu durumdu denklemin çakışık iki kökü veya iki kat
kökü vardır denir.
−b ± ∆ −b ± 0 −b
=
=
bulunur.
2a
2a
2a
∆ = 0 olduğundan x1 = x2 =
2
b 

ax + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminde ∆ = 0 olduğunda denklem  x −  = 0 biçiminde
2a 

(TAM KARE) olur.
2
3) ∆ < 0 ise
−b ± ∆
2a
ifadesinde
∆ tanımlı olamayacağından ikinci derece denklemin gerçel kökleri
yoktur.
YARIM FORMÜL:
ax 2 + bx + c = 0 denkleminde b çift sayı ise denklemin her iki tarafını 2 ye böler ve
2
b
a c
2
b
alırsak ∆ ' =   − 4. . = ( b ' ) − ac bulunur. Bu zaman kökler ;
2
2 2
2
−b ' ± ∆ '
x1,2 =
denklemi ile bulunabilir.
a
b' =
Sorular:
1. Aşağıdaki ikinci derece denklemleri çözüm kümelerini bulunuz?
a. x 2 + 3 x + 1 = 0
b. 3 x 2 + 4 x + 1 = 0
c.
3 2 4
1
x + x− =0
2
3
6
d. x 2 − 2 3 x + 3 = 0
e. 2 x 2 − 3 x + 10 = 0
4
2. ax 2 + bx + c = 0 denkleminde a + b + c = 0 ise köklerden biri 1 diğerinin
c
olduğunu gösteriniz ?
a
3. ax 2 + bx + c = 0 denkleminde a + c = b ise köklerden birinin −1 diğerinin −
c
olduğunu gösteriniz ?
a
Soru : x 2 − 3 x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: x3 − 4 x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: 4 x 2 + 1 = 4 x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: x 2 + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: m ∈ ℝ olmak üzere, x 2 − mx − 2m 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
x 2 − mx − 2m 2 = 0
x
−2 m
x
m
ise, ( x − 2m ) . ( x + m ) = 0 → x = 2m ∨ x = −m bulunur.
Buna göre Ç.K . = {− m, 2m} olur.
Soru: x 2 + 2 x + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
∆ = b 2 − 4.a.c = 2 2 − 4.1.3 = −8 < 0 olduğundan Ç.K . = ∅ olur.
{
}
Soru: x 2 − 2 x − 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir ? ( Ç = 1 + 2,1 − 2 )
Uyarı: İkinci dereceden bir denklemin köklerinden birisi a ± b ise, diğerinin ilk kökün eşleniği olduğuna
dikkat ediniz.
Soru: 2 x 2 − x + m − 1 = 0 denkleminin farklı iki reel kökünün olması için m = ? ( m <
9
)
8
Soru: x 2 − ( m − 1) x − 3m = 0 denkleminin köklerinden birisi −2 ise, diğerini bulunuz.
Çözüm:
x1 = −2 ise, bu kök denklemi sağlar. Yani, ( −2 ) − ( m − 1)( −2 ) − 3m = 0 ise,
2
5
m = 2 bulunur. Buna göre denklemimiz. x 2 − x − 6 = 0 olur.
Bu denklemi x 2 − x − 6 = ( x − 3) . ( x + 2 ) = 0 şeklinde yazarsak,
Diğer kökü x2 = 3 olarak buluruz.
Soru: x 2 − kx + 3 = 0 ve x 2 − 3 x + k = 0 denklemlerinin birer kökleri ortak ise, k = ?
Çözüm:
İki denkleminde ortak kökünü a diyelim buna göre,
a 2 − k .a + 3 = 0 
 → a ( 3 − k ) + 3 − k → a = −1 bulunur.
−1/ a 2 − 3.a + k = 0 
Yani burada −1 sayısı her iki denkleminde ortak kökü olur.
a = −1 için ( −1) − k . ( −1) + 3 = 0 → k = −4 bulunur.
2
Soru: mx 2 − ( m − 1) x + ( 2 − m ) = 0 denkleminin çift katlı kökünün olması için m = ?
Çözüm:
∆ = b 2 − 4.a.c = 0 olmalı. Buna göre,
( − ( m − 1) )
2
− 4.m. ( 2 − m ) = 0 ise,
m 2 − 2m + 1 − 8m + 4m 2 = 0 → 5m 2 − 10m + 1 = 0 dan
m değerlerini bulabilmek için ∆ = ( −10 ) − 4.5.1 = 80 den
2
m1 =
10 − 80 10 − 4 5
10 + 4 5
=
, m2 =
bulunur.
2.5
10
10
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞEBİLEN DENKLEMLER
A. ÇARPANLARA AYRILABİLEN DENKLEMLER:
H ( x ) = P ( x ) .Q ( x ) = 0 ⇒ P ( x ) = 0 ∨ Q ( x ) = 0 düşünülerek çözüm yapılır.
Soru: 2 x 3 + 3 x 2 − 18 x − 27 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
6
Soru: x3 + 2 x 2 − 3 x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
B. RASYONEL DENKLEMLER:
H ( x) =
P( x)
=0
Q( x)
⇔
P( x) = 0
Λ
Q( x) ≠ 0 biçiminde düşünülerek çözülür.
Bu tür denklemleri çözerken;
1. Denklem birçok rasyonel ifadenin toplamı veya farkı biçimde ise önce paydaların OKEK ‘ leri
bulunarak eşitlenir.
2. İfade bir tarafta toplanarak sıfıra eşitlenir.
3. Kuvvetler açılır ve parantezler açılarak gerekli çarpımlar yapılır,
4. Benzer terimler toplanarak ifade ax 2 + bx + c = 0 şekline getirilir.
5. Daha sonra pay sıfıra eşitlenerek çözüm bulunur,
6. Bulunan köklerin paydayı sıfıra eşit yapıp yapmadığı kontrol edilir. Paydayı sıfır yapan değerler
çözüm kümesine alınmaz.
Soru :
x −1 8 x − 2
− =
denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
x − 2 3 x −1
Soru :
x2 − 5x + 6
= 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Ç : {3}
x2 − 4
Soru :
27
2x
6
+
=
denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
2x + 7 x − 4 x + 4 2x −1
Soru:
x 2 − 24 x 2 − 37
+
=8
5
4
Soru:
x
2
14
−
= 2
x −1 x +1 x −1
2
2
4
Soru: 3 x 2 =  x +  + 2 x 2
5
5
Soru:
2x +1
1
=
2x + 7 x + 3 2x
2
Ç:{-7,7}
Ç:{4,-3}
Ç:{-2/5, 4/5 }
Ç:{3}
7
Soru:
Soru:
2x
x+2
+
=2
x + 2 2x
1− x
1
= 2+
7
5− x
2−
x
Ç:{2}
Ç:{7,3}
Soru:
x +1
5
−
=2
x
x−2
Soru:
2
1
x−4
−
+
=0
x − 4 x( x − 2) x( x + 2)
Soru:
5 x 2 7( x 2 + x)
7x
−
+ x 2 − x = 3x 2 −
4
2
3
2
Soru: 3 x −
Soru:
Ç:{ }
7
31
+ 4 = 5x −
x −1
x −1
4
−x − 3 x +1
−1 =
+
x +1
x +1 x −1
Ç:{ 3 }
Ç:{ 0, 26/51 }
Ç:{ -2, 5 }
Ç:{ }
C. YARDIMCI DEĞİŞKEN KULLANARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER
( DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME )
Verilen denklem içinde tekrar eden ifadeler varsa bu ifade yerine bir harf (Parametre ) yazarak denklem
daha basit hale getirilir ve bu basit denklem çözülür.
Soru : −3 x 6 − 78 x 3 + 81 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
Soru : x 4 − 17 x 2 + 16 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
Soru: 9 x − 10.3x + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
3x = a diyelim buna göre, 9 x = ( 32 ) = ( 3x ) = a 2 olur. Yani;
x
2
Denklemimiz, a 2 − 10a + 9 = 0 şeklinde bir ikinci dereceden denkleme dönüşür.
8
a 2 − 10a + 9 = 0 → ( a − 9 )( a − 1) = 0 ise, a = 3x = 9 ∨ a = 3x = 1 den,
x1 = 2 ∨ x2 = 0 ise, Ç = {0, 2} bulunur.
Soru: 2 x + 2 − x − 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
2 x = a diyelim. Buna göre; 2 − x =
a+
1 1
= olur. Buradan da;
2x a
1
2
− 2 = 0 → a 2 − 2a + 1 = 0 → ( a − 1) = 0 ise, a = 2 x = 1 = 20 → x = 0 olur. Yani;
a
Ç = {0} bulunur.
Soru :
6 11
= − 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
x2 x
Soru : ( x 2 − 3 x ) − 22 x 2 + 66 x + 72 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
2
Soru : 3 x 4 − 7 x 2 − 6 = 0
1
2
1
4
Soru: 2 x + x − 1 = 0
{
Ç : − 3, 3
}
Ç: { 1/16 }
1
Soru: x − x 2 − 6 = 0
Soru:
4
Ç:{9}
x = x −2
4
Ç:{16}
2
Soru: x 3 − 3 x 3 − 4 = 0
Soru:
3
( x + 1)
2
+3=
10
x +1
Ç:{ -8, 8 }
Ç:{ 4/3 , 2 }
9
Soru: ( x 2 − x ) + 3 x 2 − 3 x = 0
2
Ç:{0,1}
2
 x + 1  8x + 8
Soru: 24 
−2=0
 +
x−4
 x−4
Ç:{ 2/3 , -2 }
D. KÖKLÜ DENKLEMLER:
n ∈ ℕ + olmak üzere;
2 n +1
2n
P( x) ifadesi ∀x ∈ ℝ için tanımlıdır
P( x) ifadesi ise ancak P ( x ) ≥ 0 şartını gerçekleyen x değerleri için tanımlıdır.
Köklü denklemleri çözmek için;
1. Köklü ifade ve ifadeler eşitliğin bir tarafına atılır.
2. Eşitliğin her iki tarafının uygun kuvveti alınır. Böylelikle köklerden kurtulunur.
3. Kökten kurtulmuş denklem çözülür.
4. Bulunan kökler ilk denklemde yerine konularak sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. Sağlamayan
değerler çözüm kümesine alınmaz.
Soru: x + 6 − 4 = x denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
Çözüm:
x + 6 = 4 + x (Burada her iki tarafında karesini alacak olursak)
x + 6 = x 2 + 8 x + 16 → x 2 + 7 x + 10 = 0 ise,
x 2 + 7 x + 10 = ( x + 2 )( x + 5) = 0 dan x1 = −2 ∨ x2 = −5 olur.
Burada her iki değeri de denklemde yerine yazdığımızda, kökün içerisi negatif
yapmamasına rağmen −5 bu denklemi sağlamadığından çözüm kümesinde yer almaz. Yani;
Ç = {−2} olur.
10
Soru: x + x − 2 = 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
Soru: 4 x + 1 − x − 1 = 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
Çözüm:
Burada her iki tarafında karesini alacak olursak,
4 x + 1 + 2.
(
( 4 x + 1)( x − 1) + x − 1 = 4
( 4 x + 1)( x − 1) )
2
denklemini düzenleyecek olursak,


2
= ( 2 (1 − x ) ) → ( x − 1) ( 4 x + 1) − 4 ( x − 1)  = 0 olur.


8


(1− x )2 =( x −1)2 dir .
Buna göre Ç = {1} bulunur.
Soru: 2 x − 3 x 2 + 1 = 1
Soru:
Ç:{4}
x 2 − x + 2 = x 2 − x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
x 2 − x = a diyelim. Buna göre;
a + 2 = a dan, a 2 − a − 2 = 0 → ( a − 2 )( a + 1) = 0 ise,
x 2 − x − 2 = 0 → x1 = 2 ∨ x2 = −1 veya x 2 − x + 1 = 0 → ∆ = ( −1) − 4. (1) . (1) = −3 < 0 olduğundan
2
bu ikinci denklemin çözüm kümesi yoktur. {−1, 2} değerleri de denklemi sağladığından,
Ç = {−1, 2} bulunur.
Soru: x − 4 − 3 x = 0
Ç:{1}
Soru:
x+9 + x−3 = 2 x +2
Soru:
2x +1 + 2 x =
1
2x +1
Ç:{7}
Ç:{0}
11
Soru:
4 x + 20 4 − x
=
4+ x
x
Ç:{4}
Soru :
2 + x − 5 = 13 − x
Soru :
x + 7 + x − 5 = 2 x + 18
Ç:{9}
Ç:{9}
Soru: 5 x + 2 − 3 x − 3 = 4 x + 53
2 x + 3 − 5x + 8 = 5x + 6 − 2 x + 5
Soru:
Soru:
Ç:{7}
2+ x + x =
4
2+ x
Ç:{ }
Ç:{ 2/3 }
Soru: 2. 3 x + 3 x − 1 = 3 27 x − 9
Soru: 2 x + 2 a + x =
2
2
5a 2
a2 + x2
Soru:
x + x +1 = 5
Ç:{3}
Soru:
3 x + 1 + 11 = 3 x
Ç:{5}
Ç:{ -3a/4 , 3a/4 }
E. ÜSLÜ DENKLEMLER
a P ( x ) = 1 ise P ( x) = 0 biçiminde,
a
P ( x)
= a Q ( x ) ise P ( x) = Q ( x) biçiminde düşünülerek sonuca gidilir.
Soru: 3x
Soru: 2 x
2
2
+ x −6
−x
= 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
= 64 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
Soru: 2 x +1 − 4 x + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
12
F. MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
n ∈ ℕ + olmak üzere
2n
[ f ( x) ]
2n
 f ( x) , f ( x) ≥ 0 ise
= f ( x) = 
− f ( x) , f ( x) ≤ 0 ise
Soru: x 2 + x − 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
Soru: x. x − 2 = 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
Soru: x. x − 1 − 6 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2
Soru: x + 1 − 2. x + 1 + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x 2 − 4 x + 4 − x 2 − 2 x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Soru:
Çözüm:
x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2 ) olduğundan,
2
( x − 2)
2
− x . x − 2 = 0 → x − 2 1 − x  = 0 ise,
x−2
x − 2 = 0 → x1 = 2 ∨ 1 − x = 0 → x2 = 1 ∨ x3 = −1 olur. Buradan da;
Ç = {−1,1, 2} bulunur.
G. DENKLEM SİSTEMLERİ
Soru:
x. y = 64

 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ?
x + y = 20 
2 x 2 + y 2 − 3 xy = 4
Soru:
 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ?
3x − 2 y = 5

x 2 + y 2 + 6 xy = 153 
Soru:
 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ?
2 x 2 + 2 y 2 − 3 xy = 36 
13
Soru:
H.
2 x + 3 y = 2 
 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ?
2 x − 3 y = 12 
PARAMETRELİ DENKLEMLER
İçinde x değişkenin dışında sabit veya sabitler bulunan denklemlere parametreli denklem denir.
Örneğin;
mx 2 − ( m − 1) x − 2m + 3 = 0 denklemindeki parametre “ m ”
2 x 2 − ( a − b ) x + a.b = 0 denklemindeki parametreler “ a ” ve “ b ” dir.
Soru: ( m − 3) x 2 − 2.mx + 3 ( m − 1) = 0 denkleminin köklerinden biri ( −1 ) ise m kaçtır.
Soru: mx 2 − 2 ( m − 1) x + m − 5 = 0 denkleminin birbirine eşit iki kökü olması için m ne olmalıdır?
Soru: ( m − 1) x 2 + 2mx + m − 3 = 0 denkleminin birbirinden farklı iki reel kökü olması için m ’in alabileceği en
küçük tam sayı değeri ne olmalıdır?
Soru: x 2 − x − m = 0 ve 3 x 2 − 5 x − m − 6 = 0 denklemlerinin birer kökleri ortak ise m ’nin alabileceği değerler
toplamı nedir?
Soru:
2 x 2 − ( n − 1) x − m + 6 = 0 
 denklemlerinin çözüm kümeleri eşit ise ( m, n ) = ?
3 x 2 − 2 x + 2m − 1 = 0

Soru: x 2 − 3. r.x + 2r 2 = 0
Ç:{ 2r , r }
Soru: 6 x 2 − a ( 5 x − a ) = 0
Ç:{ a / 2, a / 3 }
Soru: x 2 − 2. ( m + 1) x + m 2 + 2m − 3 = 0
Ç:{ m – 1, m + 3 }
Soru:
(a
2
− b 2 ) x 2 − 4a 2bx + 4a 2b 2 = 0
 2ab 2ab 
Ç:
,

 a−b a +b 
Soru: x 2 + bx − a 2 − 3ab − 2b 2 = 0
Ç:{ a+b , -2b – a }
Soru: ( ab ) ( x 2 − 1) = ( a 2 − b 2 ) x
Ç:{ -b/a , a/b }
14
Soru: x 2 − 2ax + a 2 −
1
1 

Ç : a+ , a− 
a
a 

1
=0
a2
İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ
BAĞINTILAR.
ax 2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı ∆ = b 2 − 4.a.c ve kökleri x1 =
−b − ∆
−b + ∆
, x2 =
idi.
2a
2a
Buna göre;
1. Kökler toplamı : x1 + x2 =
2. Kökler çarpımı : x1.x2 =
−b − ∆ −b + ∆ −2b −b
+
=
=
2a
2a
2a
a
−b − ∆ −b + ∆ b 2 + b ∆ − b ∆ − ∆ b 2 − b 2 4ac c
.
=
=
=
2a
2a
4a 2
4a 2
a
3. Köklerin farkı : x1 − x2 =
−b − ∆ −b + ∆
−b − ∆ + b − ∆ 2 ∆
∆
−
=
=
=
2a
2a
2a
2a
a
−b
1 1 x2 + x1
b
4. Köklerin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :
+ =
= a =−
c
x1 x2
x1.x2
c
a
2
2
 b
 c  b − 2ac
5. Köklerin kareleri toplamı : x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 =  −  − 2   =
a2
 a
a
6. Köklerin karelerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı:
b 2 − 2ac
1 1
x22 + x12
b 2 − 2ac
a2
+
=
=
=
2
x12 x22 ( x1.x2 )2
c2
c
 
a
7. Köklerin küplerinin toplamı:
3
3
 b
 c   b  3abc − b
x13 + x2 3 = ( x1 + x2 )3 − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) =  −  − 3.   .  −  =
a3
 a
a  a
8. Köklerin küplerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :
3abc − b 3
1
1
x13 + x2 3
3abc − b 3
a3
+
=
=
=
3
x13 x2 3 ( x1 .x2 )3
c3
c
 
a
15
Uyarı: Köklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve
özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz.
Soru: 2 x 2 − 4 x + m − 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x12 + x2 2 = 4 ise m = ?
Soru: ( m − 1) x 2 − mx + m + 1 = 0 denkleminde köklerin çarpımı −2 ise köklerin toplamını bulunuz.
Soru: x 2 + 4 x − 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere, x1.x2 2 + x12 .x2 = ?
Soru: x 2 + mx − 27 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere, x1 = x2 2 ise, m = ?
Soru: x 2 − 4mx + 1 = 0 denkleminin köklerinin geometrik ortalaması aritmetik ortalamasına eşit ise m = ?
Çözüm:
x1.x2 =
x1 + x2
4m
1
→ 1=
→ m = bulunur.
2
2
2
Soru: 2 x 2 + 7 x − 1 = 0 denkleminin köklerinin 3’er eksiğinin çarpımını bulunuz.
Soru: x 2 − 2mx − 2m − 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 − x2 = 2 x1.x2 ise, m = ?
Soru: x 2 + mx + 5m − 1 = 0 denkleminin x1 , x2 kökleri arasında 3 x1 + 4 x2 = 1 bağıntısı varsa m = ?
Soru: x 2 − mx + n = 0 denkleminin bir kökü 2, x 2 + px + r = 0 denkleminin bir kökü 3 dür. Bu denklemlerin
diğer kökleri ortak ise m + p = ?
Çözüm:
Ortak köklere a diyelim buna göre;
2 + a = m ve 3 + a = − p olur. Denklemleri taraf tarafa çıkaracak olursak;
m + p = −1 bulunur.
Soru: x 2 − 6 x + m = 0 denkleminin kökleri x 2 − 2 x − m + 1 = 0 denkleminin köklerinin ikişer katı ise, m = ?
KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK
Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler,
( x − x1 )( x − x2 ) = 0
biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse , x 2 − ( x1 + x2 ).x + x1.x2 = 0 denklemi elde edilir.
16
Soru: Kökleri −3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi yazınız.
Soru: Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin köklerinden birisi
x1 = 3 − 2 dir. Bu denklemi yazınız.
Uyarı: a, b, c, p, q ∈ ℚ olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü x1 = p + q ⇒ x2 = p − q dur.
Soru: Köklerinden birisi
1
olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
2+ 3
Soru: x 2 − 2 x + 5 = 0 denkleminin köklerinden üçer fazlasını kök kabul eden ikinci derece denklemi bulunuz.
Soru: x 2 − 5 x + 7 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri 2 x1 − 3 ve 2 x2 − 3 olan ikinci derece
denklemi bulunuz.
Soru: x 2 − 2ax + m = 0 denkleminin bir kökü −3 tür. x 2 + 3ax + n = 0 denkleminin bir kökü 2 dir. Bu iki
denklemin diğer kökleri eşit ise a = ?
Soru: x 2 + 2 x − 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri 2 x1 + 1 ve 2 x2 + 1 olan ikinci dereceden
denklemi yazınız.
ÜÇÜNCÜ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Tanım: a, b, c, d ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere ax3 + bx 2 + cx + d = 0 denklemine üçüncü dereceden bir
bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemin en az bir gerçel kökü vardır.
Soru: 3 x3 − 5 x 2 − 5 x + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: 3 x3 − 2 x 2 − 12 x + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: x3 − 7 x − 6 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Soru: x3 − 3 x 2 − 13 x + 15 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Uyarı: a0 + a1 x + a2 x 2 + .......... + an x n = 0 biçimindeki polinom denklemlerin katsayıları toplamı sıfır ise
( a0 + a1 + a2 + ...... + an = 0 )
denklemin köklerinden birisi 1 dir.
KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK
Kökleri x1 , x2 , x3 olan üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklem ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = 0
biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, x3 − ( x1 + x2 + x3 ) .x 2 + ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) .x + x1 x2 x3 = 0 denklemi elde
edilir.
17
ÜÇÜNCÜ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ
BAĞINTILAR
Kökleri x1 , x2 , x3 olan üçüncü dereceden denklem x3 − ( x1 + x2 + x3 ) .x 2 + ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) .x + x1 x2 x3 = 0
biçiminde bulunmuştu.
b
c
d
ax3 + bx 2 + cx + d = 0 denklemi düzenlenirse x3 + x 2 + x + = 0 (denklemin her iki yanı a ile bölündü)
a
a
a
şeklinde düzenlenirse aynı dereceli terimlerin katsayıları eşitliğinden,
1. Köklerin toplamı : x1 + x2 + x3 = −
b
a
2. Köklerin ikişerli çarpımlarının toplamı : x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =
3. Köklerin çarpımı : x1 x2 x3 = −
c
a
d
a
c
1 1 1 x2 x3 + x1 x3 + x1 x2
c
4. Köklerin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı : + + =
= a =−
d
x1 x2 x3
x1 x2 x3
d
−
a
5. Köklerin karelerinin toplamı:
x1 + x2 + x3 = ( x1 + x2 + x3 )
2
2
2
2
2
2
 b
 c  b − 2ac
− 2 ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) =  −  − 2   =
a2
 a
a
Soru: x3 − mx 2 + 8 x + 2 = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplamı 9 ise m = ?
Soru: 2 x 3 − mx 2 + 5 x − 3m + 1 = 0 denkleminde köklerin çarpımı, köklerin toplamından 2 fazla ise m = ?
Soru: x3 − 2mx 2 − x + 6 = 0 denkleminin kökleri x1 , x2 , x3 tür. x1 = − x2 − x3 ise m = ?
Soru: x3 − 3x 2 + ( m − 1) x − 2m = 0 denkleminin kökleri arasında x2 =
x1 + x3
bağıntısı varsa m = ?
2
Soru: x3 − mx 2 − 3. ( m − 1) x + 8 = 0 denkleminin kökleri arasında x2 2 = x1.x3 bağıntısı varsa m = ?
Soru: Kökleri −3, 0, 2 olan üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemi bulunuz.
Soru: x 2 − 2 x + m = 0 denkleminin kökleri x3 − 2 x 2 + n.x + k + 2 = 0 denkleminin de kökleri ise k = ?
Soru: 2 x 3 − 8 x 2 − mx + 8 = 0 denkleminin kökleri x1 , x2 , x3 tür. x1 = 1 ise x2 2 + x32 = ?
DÖRDÜNCÜ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Tanım: a, b, c, d , e ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 denklemine dördüncü dereceden bir
bilinmeyenli denklem denir.
18
Üçüncü dereceden denklemlerde olduğu gibi dördüncü dereceden denkleminin , kökleri ile katsayıları
arasındaki bağıntılar.
1. x1 + x2 + x3 + x4 = −
b
a
2. x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 =
3. x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 = −
4. x1.x2 .x3 .x4 =
c
a
d
a
e
bulunur.
a
Benzer sistemle n. dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kökleri ile katsayıları arasındaki bağıntıları
elde edebiliriz.
Uyarı: Denklemler çözülürken köklerden bazıları birbirine eşit çıkabilir. İki ya da ikiden fazla kökün eşit
çıkmasına katlı kök durumu denir. Bir, üç, beş, ... katlı köklere tek katlı kök; iki, dört, altı, ... katlı köklere çift
katlı kök denir.
Soru: 3x 2 − 5 x3 + ( 2m + 1) x 2 + 5 denkleminin bir kökü 1 ise köklerin ikişerli çarpımları toplamını bulunuz.
Soru: Üç katlı kökü 2, bir kökü de -3 olan dördüncü dereceden denklemi yazınız.
19
Dosya adı:
Dizin:
Şablon:
IKINCI DERECEDEN DENKLEMLER KONU ANLATIMI
C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET
C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\
Normal.dotm
Başlık:
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
Konu:
Yazar:
TOLGA KURTYEMEZ
Anahtar Sözcük:
Açıklamalar:
Oluşturma Tarihi: 08.01.2017 16:18:00
Düzeltme Sayısı: 2
Son Kayıt:
08.01.2017 16:18:00
Son Kaydeden:
TOLGA
Düzenleme Süresi: 0 Dakika
Son Yazdırma Tarihi:
08.01.2017 16:18:00
En Son Tüm Yazdırmada
Sayfa Sayısı:
19
Sözcük Sayısı: 3.697(yaklaşık)
Karakter Sayısı: 21.074(yaklaşık)