KESİR MERTEBELİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER VE SAYISAL

KESİR MERTEBELİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER VE
SAYISAL ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA
Aytül DOĞAN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
TEMMUZ 2011
ANKARA
Aytül DOĞAN tarafından hazırlanan Kesir Mertebeli Diferensiyel Denklemler ve
Sayısal Çözümleri Üzerine Bir Çalışma adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak
uygun olduğunu onaylarım.
Doç. Dr. Fatma AYAZ
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek
Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Doç. Dr. Fatma TAŞDELEN
…………………………….
Matematik Anabilim Dalı, Ankara Üniversitesi
Doç. Dr. Fatma AYAZ
…………………………….
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Doç. Dr. Adil MISIR
…………………………….
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Tarih: 27/07/2011
Bu tez ile G. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Bilal TOKLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
………………………………
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Aytül DOĞAN
iv
KESİR MERTEBELİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER ve
SAYISAL ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA
(Yüksek Lisans Tezi)
Aytül DOĞAN
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Temmuz 2011
ÖZET
Bu tez çalışmasında; kesirli türev ve kesirli
integral
kavramlarının
matematiksel olarak uygulamalarına yönelik çalışmalarda, öncelikle gerekli
olan tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Riemann - Liouville integral ve türev
operatörleri ile Caputo türev operatörü tanıtılıp, bazı genel özelliklerine ve
aralarındaki ilişkilere değinilmiştir. Kesir mertebeli diferensiyel denklem içeren
başlangıç değer probleminin, belli koşullar altında çözümlerinin varlığının ve
tekliğinin, sabit nokta teoremleri yardımıyla, ispatına değinilmiştir. Bir kesirli
diferensiyel denklem içeren başlangıç değer probleminde parametrelerin
bağımlılığı, yani parametrelerin perturbe edilmeleri durumunda çözümün
bundan nasıl etkilendiği incelenmiştir. Kesirli diferensiyel denklem içeren
başlangıç değer probleminde bir nümerik metod olarak Adam's tipi deneme düzeltme metodu (predictor - corrector method) incelenmiş, bu metodun hata
analizine değinilmiş ve son olarak da bu metoda yönelik bir uygulama
eklenmiştir. Sonuçlar çizelgelerde ifade edilmiştir. Bu metodun çabuk işleyen,
algoritması kolay kurulabilen, iyi ve güvenilir sonuçlar veren, hassasiyeti
yüksek bir yöntem olduğu gözlemlenmektedir.
v
Bilim Kodu
: 204.1.138
Anahtar Kelimeler : Kesirli Türev, Kesirli İntegral, Riemann - Liouville Türev
ve İntegral Operatörleri, Caputo Türevi, Kesir Mertebeli
Başlangıç Değer Problemleri, Predictor - Corrector Metod.
Sayfa Adedi
: 95
Tez Yöneticisi
: Doç. Dr. Fatma AYAZ
vi
DIFFERENTIAL EQUATIONS OF FRACTIONAL ORDER AND
A STUDY ON NUMERICAL SOLUTIONS
(M. Sc. Thesis)
Aytül DOĞAN
GAZİ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
July 2011
ABSTRACT
In this thesis which are; primarily required definitions and theorems are given
in the studies intended for the mathematical application of fractional
differentiation and fractional integration concepts. Riemann - Liouville integral
and differential operators and Caputo differential operator are introduced;
some general characteristics of them and relations among them are mentioned.
Existence and uniqueness of solutions of initial value problems involving
fractional order differential equations under certain conditions are considered
by the help of fixed point theorems. Dependence on parameters of initial value
problems involving fractional order differential equation, namely how the
solution is effected in the case of perturbation of parameters is investigated. As
a numerical method, Adam's type predictor - corrector method is investigated
for the initial value problems involving fractional order differential equation,
error analysis of this method is mentioned and lastly an application for this
method has been added. Results are expressed on the tables. This method is
observed as a method that quickly operating, easily being set up of algorithms,
giving good and reliable, high sensitive results.
vii
Science Code: 204.1.138
Key Words : Fractional Differentiation, Fractional Integration, Riemann Liouville Differential and Integral Operators, Caputo Differential
Operator, Initial Value Problems of Fractional Order, Predictor Corrector Method.
Page number: 95
Adviser
: Assoc. Prof. Dr. Fatma AYAZ
viii
TEŞEKKÜR
Yüksek Lisans çalışması olarak sunulan bu tezin konusunun seçiminde ve
hazırlanmasında beni yönlendirip, özverili bir şekilde bilgi birikimlerini benimle
paylaşan, öncelikle değerli tez hocam Sayın Doç. Dr. Fatma AYAZ' a sonsuz
teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım. Ayrıca, çalışmalarım boyunca yardım ve
katkılarıyla beni yönlendiren, destek veren saygıdeğer hocam Sayın Prof. Dr. Cemil
YILDIZ’ a en derin şükranlarımı sunmayı borç bilirim. Bununla birlikte, yapmış
oldukları katkılarından dolayı Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik
Bölümü’ndeki tüm hocalarıma, göstermiş olduğu anlayış, sabır ve destek için eşim
Cahid DOĞAN 'a, sevgili çocuklarım Ceyda ve Kağan DOĞAN' a, bana olan
güvenleri ve bugünlere gelmemde bana olan büyük katkılarından dolayı sevgili
anneme ve babama çok teşekkür ederim.
Aytül DOĞAN
ix
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET…………………………………………………………………………….......iv
ABSTRACT………………………………………………………………………....vi
TEŞEKKÜR………………………………………………………………............. viii
İÇİNDEKİLER…………………………………………………………………..…. ix
ÇİZELGELERİN LİSTESİ…………………………………………………………..xi
SİMGELER VE KISALTMALAR…………………………………………………xii
1. GİRİŞ.......................................................................................................................1
2. TANIM ve TEOREMLER ………………………………………………………..3
2.1. Temel Kavramlar……………………………………………………………...3
2.2. İntegral Denklemleri………………………………………………………....10
2.3. Özel Fonksiyonlar……………………………………...…………………….12
3. KESİRLİ TÜREV ve İNTEGRAL…………………………………………….…17
3.1. Tamsayı Mertebeli Diferensiyel Denklemler………………………….….…..17
3.2. Kesir Mertebeli Diferensiyel Denklemler…………………………………….20
3.3. Kesirli Hesap………………………………………………………………….23
4. ÇÖZÜMLERİN VARLIĞI ve TEKLİĞİ………………………………………...45
5. PARAMETRELERDE BAĞIMLILIK…………………………………………...59
5.1. Perturbe Olmuş Bilginin Etkisi…………………………………………….....59
6. ÇOK ADIMLI METODLAR………………………………………………...…..69
6.1. Diferensiyel Denklemler ve Çok Adımlı Metodlar………………………......69
6.2. Kesirli Diferensiyel Denklemler için Çok Adımlı Metodlar……………...….71
6.3. Hata Analizi……………………………………………………………..……75
6.4. Nümerik Bir Uygulama…………………………………………………….....83
7. SONUÇ…………………………………………………………………………...89
x
Sayfa
KAYNAKLAR……………………………………………………………………..90
EKLER……………………………………………………………………………...92
EK-1 Adams tipi predictor-corrector metodun uygulamasına yönelik C-Program…93
ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………….......95
xi
ÇİZELGELERİN LİSTESİ
Çizelge
Sayfa
Çizelge 2.1. Gamma Fonksiyonuna ait bazı sayısal değerler…….. ……………....13
Çizelge 6.1. (6.33) problemin h=0,2 adım ölçüsü ile x j düğüm noktalarındaki
tam çözümü ile yaklaşık çözümün karşılaştırılması…………………...85
Çizelge 6.2. (6.33) problemin h=0,1 adım ölçüsü ile x j düğüm noktalarındaki
tam çözümü ile yaklaşık çözümün karşılaştırılması…………………...86
Çizelge 6.3. (6.33) problemin h=0,05 adım ölçüsü ile x j düğüm noktalarındaki
tam çözümü ile yaklaşık çözümün karşılaştırılması…...……………...87
xii
SİMGELER ve KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte
aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
[ a, b ]
Kapalı aralık
( a, b )
Açık aralık
( xn )
Dizi
N
Doğal sayılar kümesi
Z
Tamsayılar kümesi
R
Reel sayılar kümesi
Rn
Tüm sıralı reel sayı n lilerinin kümesi
C
Kompleks sayılar kümesi
An
A operatörünün n. derecesi
d
Metrik
||.||
Norm fonksiyonu
||.|| ∞
Supremum norm
||.|| p
L p normu (1 ≤ p< ∞ )
Α
A nın normu
( Χ, d )
Metrik uzay
(N,||.||)
Normlu uzay
C [ a, b ]
[a,b] ⊂ R üzerinde sürekli fonksiyonlar kümesi
Cn [ a, b]
[ a,b] üzerinde n. mertebeden sürekli türevlenebilen
fonksiyonlar kümesi
xiii
Simgeler
Açıklama
Lp [ a,b]
[ a,b] üzerinde ölçülebilen, hemen hemen yakınsak
olan ve p. kuvvetten Lebesgue anlamında
integrallenebilen fonksiyonlar kümesi
⎡⎢ . ⎤⎥
Tavan fonksiyon; ⎡x ⎤ = min { z ∈ Z : z ≥ x
}
⎣.⎦
Taban fonksiyon; ⎣x ⎦ =max {z ∈ Z : z ≤ x
}
Kısaltmalar
Açıklama
b.d.p
Başlangıç değer problemi
h.h.h.y.
Hemen hemen her yerde
1
1. GİRİŞ
Tamsayı olmayan mertebeden türev ve integrallerin analizi, ilk kez 1695’ te Leibniz
ile başlamış ve 300 yıldan daha fazla bir zamandır üzerinde çalışılan konu olmuştur.
Leibniz’ den başka Liouville, Riemann, Weyl, Fourier, Laplace, Lagrange, Euler,
Abel, Grunwald, Letnikov, Lacroix gibi birçok ünlü matematikçi de bu konu
üzerinde çalışmıştır [3].
Son
zamanlarda,
kesirli
mertebeden
diferensiyel
denklemlerin
bilim
ve
mühendisliğin çeşitli alanlarında pek çok olgunun modellenmesinde değerli araçlar
olduğu ispatlanmıştır. Gerçekten, viskoelastisite, elektrokimya, gözenekli ortam,
elektromanyetikler, … vb. alanlarda uygulamaları mevcuttur[7].
Bu yüzden son yıllarda kesirli diferensiyel denklemler ile ilgili araştırmalarda büyük
ölçüde ilerleme olmuştur [1].
Yapılan çalışmalarda, kesirli mertebeden diferensiyel operatör ile integral
operatörünün yakından ilişkili olduğu görülmektedir[8].
Kesirli diferensiyel denklemler, tamsayı mertebeli diferensiyel denklemlere göre
daha karmaşık yapıdadır. Bunları iyi anlayabilmek için öncelikle önemli belli
tanımları (Gamma fonksiyonu, Beta fonksiyonu, Mittag-Leffler fonksiyonları,
Laplace dönüşümü, Riemann-Liouville integral ve türev operatörleri, Caputo türev
operatörü, Grunwald-Letnikov türevleri gibi) iyi anlamak ve bilmek gerekir.
Riemann-Liouville tanımları, kesirli türev ve kesirli integral ile onların
uygulamalarına yönelik matematiksel çalışmalarda çok önemli katkı sağlamıştır.
Ancak zamanla, bazı fiziksel olguları modellemede, kesirli diferensiyel tekniğinde
başlangıç koşullarını, fiziksel durumlara en uygun biçimde veren Caputo türevinin
daha avantajlı olduğu görülmüştür. Caputo türevi olarak da bilinen Caputo’ nun
tanımı, Riemann-Liouville tanımının üzerinde bazı değişikliklerle elde edilmiştir[15].
2
Tamsayı mertebeden diferensiyel denklemlerdeki başlangıç koşullarıyla
aynı
başlangıç koşulları kullandığından, özellikle başlangıç değer problemlerinde Caputo
türevi daha kullanışlı olmaktadır [14].
Kesirli diferensiyel denklemlerin başlangıç değer problemlerindeki çözümlerinin,
belli koşullar altındaki varlık ve tekliği, bazı Sabit Nokta Teoremleri yardımıyla
gösterilebilmektedir.
Bununla birlikte, kesirli diferensiyel denklemlerin analitik yolla çözümlerinin tam
olarak bulunabileceği bir metod genellikle mevcut değildir[8]. Bu yüzden
problemlerin çözümü için nümerik ve yaklaşık çözüm yöntemlerinin geliştirilmesi
kaçınılmaz olmuş ve bu anlamda yine son yıllarda büyük gelişmeler elde edilmiştir.
Hazırlanan bu tez çalışmasının, ilk bölümünde kesirli türev ve integral kavramları
hakkında kısa bir giriş yapılmış, ikinci bölümünde çalışmamızda kullanacağımız bazı
temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, öncelikle RiemannLiouville integral ve türev operatörleri ile Caputo türev operatörü tanıtılmış, bunların
genel bazı özelliklerine değinilmiş, aralarındaki ilişkilerden bahsedilmiştir.
Dördüncü bölümde, kesirli diferensiyel denklem içeren bir başlangıç değer
probleminin belirli koşullar altında çözümlerinin varlığının ve tekliğinin, önemli bazı
Sabit Nokta Teoremleri kullanılarak, ispatlarına yer verilmiştir..
Beşinci bölümde, kesirli diferensiyel denklem içeren bir başlangıç değer probleminin
parametrelerindeki değişimlerin, çözümlere etkisi incelenmiştir.
En son bölümde, tamsayı mertebeden diferensiyel denklemlerle başlangıç değer
problemlerinde çözüm için kolay ve güvenilir bir yaklaşım metodu olan AdamsBashforth-Moulton metodu, kesirli mertebeden başlangıç değer problemlerine
genelleştirilmiştir. Kesirli diferensiyel denklemlerde Adams-tipi predictor-corrector
(deneme-düzeltme) metodu denen bu metoddan ve hata analizinden söz edilmiş , bu
nümerik metoda yönelik bir uygulama verilmiştir.
3
2.TANIM ve TEOREMLER
2.1. Temel Kavramlar:
Tanım 2.1.1:
(X , d )
metrik uzayında herhangi bir dizi (xn )n∈Ν olsun. Eğer her ε > 0 sayısına
karşılık m, n ≥ n0 olduğunda d ( xn , xm ) < ε olacak şekilde ε sayısına bağlı bir
n0 (ε ) ∈ Ν sayısı varsa ( xn ) dizisine Cauchy dizisi denir [6].
Tanım 2.1.2:
Eğer
(X , d )
metrik uzayı içindeki her Cauchy dizisi, bu uzayda bir noktaya
yakınsıyor ise ( X , d ) metrik uzayına tam metrik uzay denir [6].
Tanım 2.1.3
﴾ N, ||.||﴿ normlu lineer uzay olsun.N, norm metriğine göre tam ise N ye Banach uzay
denir [6].
Tanım 2.1.4:
A ⊂ R n ve a ∈ R n olsun. Eğer a nın her bir komşuluğunda, A kümesinin a dan farklı
en az bir elemanı varsa, a ya A nın bir yığılma noktasıdır denir [4].
Tanım 2.1.5:
Α ⊂ R n olsun. A kümesini kapsayan kapalı kümelerin kesişimine A nın kapanışı
denir ve Α ile gösterilir [4].
4
Tanım 2.1.6:
Α ⊂ R, f : Α → R bir fonksiyon ve a da Α kümesinin bir yığılma noktası olsun.
Her ε > 0 için eğer 0 < x − a < δ olduğunda f ( x) − L < ε olacak şekilde bir δ > 0
sayısı bulunabiliyorsa, x a ya yaklaştığında f nin limiti L dir denir ve
lim f ( x) = L
x→a
şeklinde gösterilir [4].
Tanım 2.1.7:
(sn )
bir reel sayı dizisi ve s ∈ R olsun. Her ε > 0 için n > n0 olduğunda sn − s < ε
olacak şekilde ε a bağlı bir n0 (ε ) sayısı bulunabiliyorsa, (sn ) dizisi s ye yakınsaktır
denir ve
lim sn = s veya (sn ) → s
şeklinde gösterilir [4].
Tanım 2.1.8:
( fn )
dizisi Α ⊂ R üzerinde f fonksiyonuna noktasal yakınsaktır ⇔ Her ε > 0 ve
x ∈ Α için en az bir n0 ∈ Ν vardır öyle ki n ≥ n0 için f n ( x) − f ( x) < ε dur [4].
Tanım 2.1.9:
( f n ) dizisi
f fonksiyonuna Α ⊂ R üzerinde düzgün yakınsaktır ⇔ Her ε > 0 için
en az bir n0 ∈ Ν vardır öyle ki her n ≥ n0 ve her x ∈ Α için f n ( x) − f ( x) < ε dur[4].
5
Tanım 2.1.10:
Α ⊂ R , f : Α → R bir fonksiyon ve a ∈ Α olsun.
f fonksiyonu a noktasında süreklidir ⇔ Her ε > 0 için en az bir δ > 0 vardır
öyle ki x − a < δ olduğunda f ( x) − f (a ) < ε olur [4].
Tanım 2.1.11:
Α ⊂ R ve f : Α → R bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu A kümesi üzerinde düzgün
süreklidir ⇔ Her ε > 0 için en az bir δ > 0 vardır öyle ki x − t < δ eşitsizliğini
sağlayan her x, t ∈ Α için f ( x) − f (t ) < ε dur [4].
Tanım 2.1.12:
( fn )
dizisi, Α ⊂ R üzerinde düzgün sınırlıdır ⇔ Her n ∈ Ν ve her x ∈ Α için
f n ( x) ≤ Μ olacak şekilde bir M>0 sayısı vardır [4].
Tanım 2.1.13:
Α ⊂ R ve A nın tüm elemanları A nın birer yığılma noktası olsun. Eğer f : Α → R
fonksiyonu A nın tüm noktalarında türevli ise,
diferensiyellenebilirdir denir [4].
Teorem 2.1.1 (Klasik Hesabın Temel Teoremi):
f : [a, b] → R sürekli bir fonksiyon ve
f
fonksiyonu A üzerinde
6
x
F ( x) := ∫ f (t )dt
(2.1)
a
şeklinde tanımlı olsun. Bu durumda, F diferensiyellenebilirdir ve
F ′( x) = f ( x)
(2.2)
tir [24].
Teorem 2.1.2 (Diferensiyel Hesabın Ortalama Değer Teoremi):
f : [a, b] → R fonksiyonu
[a, b]
aralığında sürekli ve her x ∈ (a, b ) noktasında
türevlenebilir olsun. Bu taktirde, (a, b ) aralığında
f ′( x0 ) =
f (b) − f (a )
b−a
(2.3)
olacak şekilde en az bir x0 noktası vardır [4].
Teorem 2.1.3:
( f n ), [a, b] aralığı üzerinde reel değerli ve sınırlı fonksiyonların bir dizisi olsun.
fonksiyonları
[a, b]
üzerinde integrallenebilen fonksiyonlar ve
( fn )
dizisi
fn
f
fonksiyonuna düzgün yakınsak ise f fonksiyonu [a, b] üzerinde integrallenebilirdir
ve
b
b
a
a
lim ∫ f n ( x)dx = ∫ f ( x)dx
n→∞
dir [4].
(2.4)
7
Teorem 2.1.4:
∞
∑ u ( x)
n =1
ve
n
her
serisi bir S kümesi üzerinde tanımlı u ( x) fonksiyonuna düzgün yakınsıyor
un ( x), [a, b] ⊆ S
de
integrallenebiliyorsa
u (x)
te
[a, b] ⊆ S
de
integrallenebilirdir ve
b
b ∞
a
a n =1
∞ b
∫ u ( x)dx = ∫ ∑ u ( x)dx = ∑ ∫ u ( x)dx
n
n =1 a
n
(2.5)
yazılabilir [14].
Tanım 2.1.14:
f fonksiyonu a noktasını ihtiva eden bir aralıkta her mertebeden türevlenebilir
olsun.
( x − a) k ( k )
f (a)
∑
k!
k =0
∞
(2.6)
serisine, a noktasında f fonksiyonu tarafından üretilen Taylor serisi denir [5].
Tanım 2.1.15:
f fonksiyonu, x = a noktasında n . mertebeden türevlenebilir olduğunda
p (a ) = f (a), p′(a) = f ′(a),..., p n (a) = f ( n ) (a)
eşitliklerini sağlayan ve derecesi n den büyük olmayan bir tek p polinomu vardır.
Bu polinoma f fonksiyonunun x = a noktasında ürettiği, n . dereceden Taylor
polinomu denir.
8
( x − a) k ( k )
f (a)
k!
k =0
n
p ( x) = Tn [ f ( x)] = Tn [ f ( x, a )] = ∑
(2.7)
şeklinde gösterilir [5].
Tanım 2.1.16:
(X , . ) bir normlu uzay, U ⊂ Χ
kapalı bir küme ve Α :U → U bir dönüşüm olsun.
Her x, y ∈ U için;
Αx − Αy ≤ α x − y
(2.8)
olacak şekilde 0 ≤ α < 1 sayısı varsa, A operatörüne U üzerinde daralma operatörü
denir.
Αu * = u * olacak şekilde u * ∈U varsa, u * vektörüne A operatörünün U üzerinde
sabit noktası denir [22].
Teorem 2.1.5: (Daralma Dönüşüm Prensibi)
(X , . )
Banach uzayının U ⊂ X
kapalı kümesinde
Α :U → U
daralma
operatörünün bir tek u* ∈ U sabit noktası vardır ve herbir u0 ∈ U başlangıç noktası
verildiğinde, ardışık olarak (iterasyonla) her n ∈ Ν için
un = Α ( un −1 ) , n = 1, 2,...
şeklinde tanımlanan ( un ) iterasyon dizisi, A nın bu sabit u * noktasına yakınsar ve
un − u * ≤
αn
u1 − u0
1−α
eşitsizliği doğrudur [21,22].
(2.9)
9
Teorem 2.1.6:
(X , . )
Banach uzayının U ⊂ X kapalı kümesi için Α :U → U şeklinde bir
dönüşüm ve bir n ∈ Ν için Α n operatörü U üzerinde daralma operatörü olsun. Bu
durumda, A operatörünün bir tek u * ∈ U sabit noktası vardır [22].
Teorem 2.1.7: (Banach Sabit Nokta Teoremi)
(U , d )
nin boş olmayan bir tam metrik uzay olduğunu varsayalım ve Α :U → U
eşleyerek, her u , v ∈ U için 0 ≤ α < 1 olmak üzere;
d ( Αu , Αv ) ≤ α d ( u , v )
(2.10)
eşitsizliği sağlansın. O zaman, A operatörü tek olarak tanımlı bir u * sabit noktasına
sahiptir.
Ayrıca herhangi u0 ∈ U için ( Α j u0 )
∞
j =1
dizisi, bu u * sabit noktasına yakınsar [24].
Tanım 2.1.17:
Bir X lineer uzayının bir Y alt kümesi verilsin. Eğer y1 , y2 ∈ Y olduğunda,
M= {y ∈ X : y = λy1 + (1 − λ ) y2 ,0 ≤ λ ≤ 1} ⊂ Y
oluyorsa, Y alt kümesi konveks (dış bükey) dir denir [2].
Tanım 2.1.18:
( Ε, d )
bir metrik uzay ve F ⊆ Ε olsun. F kümesine, eğer F nin kapanışı, E nin
kompakt bir alt kümesi ise E de göreceli kompakttır denir [24].
10
Teorem 2.1.8 (Schauder Sabit Nokta Teoremi):
( Ε, d )
bir tam metrik uzay olsun. U , Ε nin boş olmayan, kapalı, konveks bir alt
kümesi olsun ve Α : U → U eşlesin öyle ki
{Αu : u ∈U }
kümesi Ε de göreceli
kompakt olsun. Bu durumda, A en az bir sabit noktaya sahiptir [24].
Teorem 2.1.9 (Arzela- Ascoli):
a < b olmak üzere F ⊆ C [ a, b ] şeklinde Chebyshev normu ile donatılmış kümeleri
varsayalım. Bu durumda F , C [ a, b ] de göreceli kompakttır ancak ve ancak F , eş
sürekli ise (yani her ε > 0 için en az bir δ > 0 vardır öyle ki her f ∈ F ve
x, x* ∈ [ a, b ] için x − x* < δ olduğunda f ( x) − f ( x* ) < ε dur) ve F düzgün sınırlı
ise (yani bir C > 0 sabiti vardır öyle ki her f ∈ F için f
∞
≤ C ) [24].
2.2. İntegral Denklemleri:
Tanım 2.2.1:
İntegral işareti altında bilinmeyen bir fonksiyon içeren denklemlere integral
denklemler denir. İntegral denklemde bilinmeyen fonksiyon, birinci dereceden ise bu
tip integral denklemlere lineer integral denklem, bilinmeyen fonksiyon birinci
dereceden değilse bu tip integral denklemlere de lineer olmayan integral denklem
denir.
Bir integral denklem, bilinmeyen fonksiyon integralin sadece içinde ise birinci tip;
hem içinde hem de dışında ise ikinci tip integral denklem adını alır. Ayrıca, ikinci tip
integral denklemdeki integralin dışında kalan bilinmeyen fonksiyon, bir başka
fonksiyon ile çarpılmış ise integral denkleme üçüncü tip integral denklem denir [2].
11
Tanım 2.2.2:
Bir integral denklemde, integralin sınırlarından biri x gibi bir değişken ise bu
denkleme Volterra integral denklemi, her iki sınır sabit ise ya da biri sabit diğeri
sonsuz veya her iki sınır sonsuz ise integral denkleme Fredholm integral denklemi
denir [2].
Tanım 2.2.3:
f , [ a, b ] üzerinde sürekli olarak verilen bir fonksiyon,
x, [ a, b ] üzerinde bilinmeyen fonksiyon,
k , D = {( t , s ) : a ≤ s ≤ t , a ≤ t ≤ b} üçgen bölgesi üzerinde sürekli olarak verilen bir
fonksiyon ( k , denklemin çekirdeği olarak adlandırılır.),
λ bir parametre ,
olmak üzere:
t
1. tip Volterra integral denklemi: f (t ) = ∫ k (t , s ) x( s )ds, t ∈ [ a, b ]
(2.11)
a
s > t ise k (t , s ) = 0 dır.
t
2. tip lineer Volterra integral denklemi: x(t ) = f (t ) + λ ∫ k (t , s ) x( s)ds, t ∈ [ a, b ] (2.12)
a
Lineer olmayan Volterra integral denkleminin en genel hali: −∞ < a ≤ t ≤ b < ∞ ,
f ∈ C [ a, b ] için
t
x(t)=f(t) + ∫ g (t , s, x( s ))ds
a
şeklindedir [2, 21,22].
(2.13)
12
2.3. Özel Fonksiyonlar:
Tanım 2.3.1 (Gamma Fonksiyonu):
Gamma fonksiyonu, n > 0 için;
∞
Γ(n) = ∫ x n −1e − x dx
(2.14)
0
ile tanımlanır. Bu integral, n > 0 için yakınsaktır [25].
Bu fonksiyonun bazı önemli özellikleri söyle sıralanabilir:
1. Γ(n + 1) = nΓ(n), n > 0
Γ(1) = 1, Γ(2) = 1, Γ(3) = 2!, Γ(4) = 3! ve genel olarak Γ(n + 1) = n !, n = 1, 2,3,...
dir. Bu nedenle bu fonksiyona faktöriyel fonksiyon ismi de verilir.
⎛1⎞
2. Γ ⎜ ⎟ = π
⎝2⎠
3. n < 0 için Γ(n) =
4. Γ( p)Γ(1 − p ) =
5.
Γ(n + 1)
n
π
sin pπ
,0 < p <1
1⎞
⎛
22 x −1 Γ( x)Γ ⎜ x + ⎟ = π Γ(2 x) formülüne, Gamma fonksiyonu için çoğalma
2⎠
⎝
formülü denir.
∞
6. γ Euler sabiti olmak üzere Γ′(1) = ∫ e− x ln xdx = −γ dır.
0
Gamma fonksiyonuna ilişkin bazı sayısal değerler Çizelge 2.1 de verilmiştir:
13
Çizelge 2.1. Gamma fonksiyonuna ait bazı sayısal değerler
⎛ 3⎞
Γ⎜− ⎟
⎝ 2⎠
4π
3
⎛ 1⎞
Γ⎜− ⎟
⎝ 2⎠
−2 π
Γ ( 0)
Tanımsız
⎛1⎞
Γ⎜ ⎟
⎝2⎠
π
Γ (1)
1
⎛3⎞
Γ⎜ ⎟
⎝2⎠
π
2
Γ ( 2)
1
⎛5⎞
Γ⎜ ⎟
⎝2⎠
3 π
4
Γ ( 3)
2
⎛7⎞
Γ⎜ ⎟
⎝2⎠
15 π
8
Γ ( 4)
6
Γ (∞)
∞
Tanım 2.3.2 (Beta Fonksiyonu):
Beta fonksiyonu B(m, n) ile gösterilir ve
1
B (m, n) = ∫ x m −1 (1 − x) n −1 dx
0
ile tanımlanır. Bu integral m > 0, n > 0 için yakınsaktır [25].
(2.15)
14
Beta fonksiyonu ile ilgili önemli bazı özellikler şu şekilde verilebilir:
1. Beta fonksiyonu, Gamma fonksiyonuna B (m, n) =
Γ ( m )Γ ( n )
ifadesiyle bağlıdır.
Γ ( m + n)
2. B (m, n) = B(n, m)
Sonuç 2.3.1:
π
2
1. B (m, n) = 2 ∫ cos 2 m −1 θ .sin 2 n −1 θ dθ
0
∞
x p −1
π
dx = Γ( p )Γ(1 − p) =
,0 < p <1
1+ x
sin pπ
0
2. ∫
Tanım 2.3.3 (Mittag-Leffler Fonksiyonu):
z ∈ C olmak üzere,
∞
zk
,α > 0
k = 0 Γ (α k + 1)
Εα ( z ) := ∑
(2.16)
ile tanımlı Εα fonksiyonuna, yakınsak seri olduğunda, α mertebeli Mittag-Leffler
fonksiyonu denir [8, 24].
(2.16) gösterimi, Mittag-Leffler fonksiyonunun bir parametreli gösterimidir.
Tanım 2.3.4:
z ∈ C ve α , β > 0 olmak üzere,
∞
zk
Εα , β ( z ) := ∑
k = 0 Γ (α k + β )
(2.17)
15
ile tanımlı Εα , β fonksiyonuna, yakınsak seri olduğunda, α ve β parametreleri ile
birlikte iki parametreli (genelleştirilmiş) Mittag-Leffler fonksiyonu denir [8].
Uyarı 2.3.1:
Bir parametreli Mittag-Leffler fonksiyonlarının iki parametreli karşılıkları
Εα ( z ) = Εα ,1 ( z )
biçiminde tanımlanır [8].
Teorem 2.3.1:
Mittag-Leffler fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir [24]:
1. z < 1 için genelleştirilmiş Mittag-Leffler fonksiyonu,
∞
∫e
− t β −1
t
Εα ,β (t α z )dt =
0
1
1− z
eşitliğini sağlar.
2. z < 1 için Εα ( zα ) Mittag-Leffler fonksiyonunun Laplace dönüşümü,
∞
∫e
− zt
Εα ( z α )dt =
0
1
z − z1−α
şeklindedir.
3. Eş. (2.16) ile verilen Mittag-Leffler fonksiyonu, her z ∈ C için yakınsaktır.
4. Özel α değerleri için Mittag-Leffler fonksiyonu,
16
1
1− z
a)
Ε0 ( z ) =
b)
Ε1 ( z ) = e z
c)
Ε 2 ( z 2 ) = cosh( z )
d)
Ε 2 (− z 2 ) = cos( z )
şeklinde verilir.
17
3. KESİRLİ TÜREV ve İNTEGRAL
Teknolojinin temelinde genel olarak türev ve integral vardır. Türev ve integral,
karşılaşılan doğal ve yapay sistemlerin davranışlarını anlamada çok önemli
araçlardır.
Uygulamalı bilim dallarında (fen, mühendislik, ekonomi,… gibi) problemlerin
özelliklerini açıklayan matematiksel modellerin kurulabilmesi çok önemlidir. Bu
modellemede amaç, problemi çözmektir. Problemi çözmek için önce bu problemleri
matematiksel ifadelerle formüle etmek, sonra da bunlarla ilgili bazı başlangıç ve sınır
şartları kullanarak problemlerin çözümlerini oluşturan fonksiyonları bulmak gerekir.
Bilinen bir problemi formüle eden bu matematiksel ifadeler, çoğunlukla aranan
fonksiyonun çeşitli mertebeden türevlerini içerir. Burada türevlerin mertebesi
tamsayı olabildiği gibi kesirli değer de olabilir. İşte böyle matematiksel ifadelerde
bulunan türevlerin mertebesine göre diferensiyel denklemlere, tamsayı mertebeli
diferensiyel denklem (klasik) veya kesir mertebeli diferensiyel denklem denmektedir.
3.1. Tamsayı Mertebeli Diferensiyel Denklemler
Tanım 3.1.1:
n ∈ Ν ve f : Α ⊂ R 2 → R bir fonksiyon olsun. Bu durumda,
D n y ( x) = f ( x, y ( x))
(3.1a)
ifadesine n mertebeden adi diferensiyel denklem denir. Eğer, (3.1a) diferensiyel
denklemine
D k y ( x0 ) = y0( k ) , k = 0,1,..., n − 1
(3.1b)
şeklindeki başlangıç koşullarını eklersek, (3.1a) diferensiyel denklemi, (3.1b)
18
başlangıç koşullarını içeren bir başlangıç değer problemi (b.d.p) olarak tanımlanır
[24].
Daha genel bir tanım olarak, F : Α ⊂ R n + 2 → R bir fonksiyon olmak üzere n
F (x, y ( x), Dy ( x), D 2 y ( x),..., D n y ( x) ) = 0 şeklinde
bilinmeyenli ve kapalı formda
verilen denklem, (3.1a) denklemi yerine kullanılır[24].
Lemma 3.1.1:
y(x) fonksiyonu, (3.1) b.d.p nin bir çözümüdür ancak ve ancak y(x)
x
( x − x0 ) k ( k )
1
y ( x0 ) +
( x − t ) n −1 f (t , y (t ))dt
∫
k
!
(
n
)
Γ
k =0
x0
n −1
y(x)= ∑
(3.2)
Volterra integral denkleminin bir çözümüdür [24].
Teorem 3.1.1 (Peano Varlık Teoremi):
c>0
olmak
üzere
G := {( x, y ) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 0 + c}
kümesini
tanımlayalım.
f : G → R sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda (3.1) b.d.p. nin bir U ⊆ [0,0 + c ]
komşuluğunda en az bir çözümü vardır [24].
Teorem 3.1.2 (Picard-Lindelöf Varlık ve Teklik Teoremi):
c > 0 olmak üzere G := [0,0 + c ]× R olsun.
f : G → R fonksiyonunun sürekli
olduğunu ve ikinci değişkene göre Lipschitz koşulunu sağladığını varsayalım. Yani
bir L > 0 sabiti vardır öyle ki her ( x, y1 ), ( x, y2 ) ∈ G için
f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) < L y1 − y2
﴾3.3﴿
19
dir. Bu durumda, (3.1) b.d.p. nin bir tek çözümü vardır [24].
Tanım 3.1.2
n ∈ N , G ⊆ R n ve f ∈ C (G ) olsun. Bu durumda f fonksiyonu, eğer herhangi
(v1 , v2 ,..., vn ) ∈ G noktası için (v1 , v2 ,..., vn ) nin bir komşuluğunda mutlak yakınsak
olarak,
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
∞
∑µcµ
µ µ
1,
2 ,...,
1 ,..., µ n
n =0
( x − v1 ) µ1 ( x − v2 ) µ2 ...( x − vn ) µ n
(3.4)
eşitliğini sağlayan bir kuvvet serisi olarak yazılabiliyorsa, f fonksiyonu G de
analitiktir denir [24].
Tanım 3.1.3:
Eğer (3.1) b.d.p. nde yer alan
f
fonksiyonu, (x 0 ,Dy(x 0 ),…,D n y(x 0 ))ın bir
komşuluğunda analitik ise, (3.1a) denkleminin çözümü x 0 ın bir komşuluğunda
analitiktir [24].
Teorem 3.1.3:
k ∈ N, b>0 ve f ∈ C k ([x 0 ,b] × R ) olsun. Bu durumda,
Dy(x)=f(x,y(x)) , y(x 0 )=b 0
b.d.p. nin çözümü (k + 1) defa diferensiyellenebilir [24].
(3.5)
20
3.2. Kesir Mertebeli Diferensiyel Denklemler
α > 0 mertebeden, kesir mertebeli türevler için pek çok tanım vardır. RiemannLiouville, Grunwald-Letnikov, Caputo ve Genelleştirilmiş Fonksiyonlar Yaklaşımı
bunlardan bazılarıdır. Bunların içinde en yaygın kullanılan kesirli türev tanımları;
Riemann-Liouville ve Caputo’ nun tanımlarıdır.
Bağımlı değişkenin, bağımsız değişkene göre türevlerinin mertebesinin tamsayı
olmayıp, kesirli olduğu halidir [18].
Tanım 3.2.1:
Bir bağımlı değişkenin, bir bağımsız değişkene göre kesirli türevlerini içeren
diferensiyel denklemlere kesir türevli adi diferensiyel denklemler denir [15].
2
3
1
4
xD y ( x) − 3D y ( x) + y ( x) = cos x
1
D 2 y ( x) + 2 y 3 ( x) = 5
2
1
3D 5 y (t ) + Dy 2 (t ) = t
2
3
1
4
D y ( x) + D y ( x) − 4 y ( x) = 0
denklemleri birer kesirli diferensiyel denklemdir.
Tanım 3.2.2:
Bir bağımlı değişkenin, birden çok bağımsız değişkene göre kesirli türevlerini içeren
diferensiyel denklemlere kesir türevli kısmi diferensiyel denklemler denir [15].
1
3
t
D f ( x, t ) = c.
∂ 2 f ( x, t )
, c : sabit
∂x 2
21
denklemi kesir türevli kısmi diferensiyel denklemdir.
Tanım 3.2.3:
x bağımsız değişken ve y bağımlı değişken olmak üzere
an ( x) Dα n y ( x) + an −1 ( x) Dα n−1 y ( x) + ... + a1 ( x) Dα1 y ( x) + a0 ( x) Dα 0 y ( x) = f ( x)
şeklinde yazılabilen diferensiyel denklemlere kesir türevli lineer diferensiyel
denklem denir.
Bu denklemin lineer olması için aşağıdaki iki koşulu sağlaması gerekir:
(a) Bağımlı değişken ( y ) ve bağımlı değişkenin bütün kesirli türevlerinin derecesi 1
olmalı,
(b) a(x) katsayıları, yalnız bağımsız değişken x e bağlı olmalıdır[15].
3
x 2 D 2 y ( x) + y ( x) = e x
D 3 p y ( x) − D p y ( x) − y ( x) = 0
denklemleri lineerdir.
Tanım 3.2.4:
Tanım 3.2.3 koşullarından en az birinin sağlanmadığı denklemlere lineer olmayan
(nonlineer) denklem denir .
3
2
D y ( x) = y 3 ( x)
1
2
y ( x) D 2 y ( x) + D 3 y ( x) = x 3
denklemleri nonlineerdir.
22
Tanım 3.2.5:
Bir kesir türevli adi diferensiyel denklemdeki, en yüksek mertebeden türevin
mertebesine, o denklemin mertebesi denir [15].
2
⎛ 13
⎞
y ( x) D y ( x) + ⎜⎜ D y ( x) ⎟⎟ = (2 x − 3) 2
⎝
⎠
5
2
denklemi
5
. mertebeden nonlineer kesir türevli adi diferensiyel denklemdir.
2
4
3
1
2
xD y ( x) − y ( x) + 3D y ( x) = 5e − x
denklemi
4
. mertebeden lineer kesir türevli adi diferensiyel denklemdir.
3
Tanım 3.2.6:
Bir kesir türevli adi diferensiyel denklemdeki, en yüksek mertebeden türevin
derecesine o kesir türevli diferensiyel denklemin derecesi denir [15].
2
⎛ 65
⎞
2
y ( x) D y ( x) − ⎜⎜ D y ( x) ⎟⎟ = ( x + 1)
⎝
⎠
1
3
denklemi 2. dereceden nonlineer kesir türevli adi diferensiyel denklemdir.
5
⎛ 1
⎞
3D y ( x ) + D y ( x ) − x ⎜ D 2 y ( x ) ⎟ = y 2 ( x )
⎝
⎠
1
3
4
5
denklemi 1. dereceden nonlineer kesir türevli adi diferensiyel denklemdir.
23
3.3. Kesirli Hesap
Tanım 3.3.1.[24]
1) D ile, diferensiyellenebilir bir fonksiyonun türevine eşlenen operatörü gösterelim.
Yani;
Df ( x) := f ′( x) =
d
f ( x)
dx
(3.6)
2) J a ile, kompakt [a, b] aralığı üzerinde Riemann integrallenebilir olduğu varsayılan
f
fonksiyonunun, integraline eşlenen, a merkezli operatörü gösterelim. Yani
a ≤ x ≤ b olmak üzere;
x
J a f ( x) := ∫ f (t )dt
(3.7)
a
3) n ∈ Ν
için D n ve
J an
sembolleri ile, sırasıyla D ve
Ja
nın n-katlı
tekrarlanmalarını gösterelim. Yani;
n = 1 ⇒ D1 := D, J a1 := J a
(3.8)
n ≥ 2 ⇒ D n := DD n −1 , J an := J a J an −1
(3.9)
Uyarı 3.3.1:
Teorem 2.1.1 notasyonumuzda
DJ a f = f
(3.10)
gösterimi, n ∈ Ν için
D n J an f = f
(3.11)
24
olduğu anlamına gelir [8].
Lemma 3.3.1:
f , [a, b] de Riemann integrallenebilir olsun. Bu durumda, a ≤ x ≤ b ve n ∈ Ν için
x
J an f ( x) =
1
( x − t ) n −1 f (t )dt
∫
Γ ( n) a
(3.12)
dir [8].
Lemma 3.3.2:
m, n ∈ Ν öyle ki m>n olsun. f , [a, b] aralığında n. türevi sürekli bir fonksiyon olsun.
O zaman;
D n f = D m J m−n f
(3.13)
dir [8].
İspat:
m, n ∈ Ν , m>n ise;
f = D m − n J am − n f
(3.14)
dür. D n operatörünü Eş. (3.14) ün iki tarafına da uygularsak ve D n D m − n = D m
olduğunu kullanırsak,
D n f = D m J am − n f
elde ederiz [8].
25
Uyarı 3.3.2:
p ≥ 1 olsun.
L p [ a, b ] := { f : [ a, b ] → R; f ,[a, b]
b
üzerinde
ölçülebilirdir
ve
∫
f ( x) p dx < ∞}
a
tanımlayalım.
1 ≤ p ≤ ∞ için, L p [a, b] fonksiyon uzayı, alışılmış Lebesgue uzayıdır [24].
L p [a, b] uzayında norm: 1 ≤ p < ∞ , f ∈ L p [a, b] ise
b
f
Lp
[a , b ] = f
p
=
∫
p
f ( x) dx
1
p
şeklindedir.
a
Eğer f fonksiyonu sürekli ise : lim f
p →∞
p
= f
∞
dur.
Uyarı 3.3.3:
Matematiksel analizde norm, boş olmayan bir S kümesi üzerinde tanımlı,reel veya
kompleks değerli , sınırlı f fonksiyonuna negatif olmayan bir sayı karşılık getirir.
f
∞
= sup{ f ( x) : x ∈ S
}
Bu norma supremum norm, Chebyshev normu veya sonsuzluk normu denir.
Teorem 3.3.1 (Lebesgue Uzayında Temel Teorem):
f ∈ L1[a, b] olsun. O zaman, J a f [a, b] aralığında hemen hemen her yerde (h.h.h.y.)
diferensiyellenebilirdir ve ayrıca
DJ a f = f
eşitliği [a, b] de h.h.h.y. geçerlidir [8].
(3.15)
26
Teorem 3.3.2 (Leibniz Formülü):
n ∈ Ν ve f , g ∈ C n [a, b] olsun. O zaman,
n
⎛n⎞
D n [ fg ] = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ D k f D n − k g
k =0 ⎝ k ⎠
(
)(
)
(3.16)
dır [24].
Teorem 3.3.3 (Taylor Açılımı):
n ∈ Ν olmak üzere aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir [24]:
a) f fonksiyonu, (n − 1). türevi mutlak sürekli fonksiyondur.
( x − y)k k
D f ( y ) + J yn D n f ( x) .
k
!
k =0
n −1
b) Her x, y ∈ [a, b] için f ( x) = ∑
Tanım 3.3.2 (Riemann-Liouville İntegral Operatörü):
α ∈ R + olsun. a ≤ x ≤ b için L1[a, b] de
J aα f ( x) = Da−α f ( x ) =
x
1
α −1
( x − t ) f (t )dt , x ≥ a
∫
Γ(α ) a
(3.17)
şeklinde tanımlanan J aα operatörüne, α mertebeli Riemann-Liouville kesirli integral
operatörü denir.
α = 0 için J a0 := Ι özdeşlik operatörüdür [8,24].
Teorem 3.3.4:
f ∈ L1[a, b] ve α > 0 olsun. Bu durumda J aα f (x) integrali hemen hemen her
27
x ∈ [a, b] için vardır ve J aα f (x) fonksiyonunun kendisi de, L1[a, b] nin bir
elemanıdır [8].
Teorem 3.3.5:
α , β ≥ 0 ve 0/ ∈ L1[a, b] olsun. O zaman,
J aα J aβ 0/ = J aα + β 0/
ifadesi [a, b]
aralığında
h.h.h.y.
geçerlidir. Eğer ek olarak, 0/ ∈ C [a, b] veya
α + β ≥ 1 ise bu durumda eşitlik [a, b] aralığında her yerde geçerli olur [8].
Sonuç 3.3.1:
Teorem 3.3.5 in varsayımları altında,
J aα J aβ 0/ = J aβ J aα 0/ = J aα + β 0/
(3.18)
dir. (İntegral operatörlerde semi-grup özelliği) [8].
Örnek 3.3.1:
f ( x) = x c , c > −1 ve α ≥ 0 olsun. Bu durumda,
J 0α f ( x) = J 0α x c =
Γ(c + 1) α +c
x
Γ(α + c + 1)
(3.19)
olduğunu gösterelim: Tanım 3.3.2. den,
x
1
J 0 f ( x) = J 0 x =
( x − t )α −1 t c dt
∫
Γ(α ) 0
α
α
c
(3.20)
28
Eş. (3.20) de t = x − xu dönüşümü yaparsak:
J 0α f ( x) =
1
1
( xu )α −1 x c (1 − u )c xdu
∫
Γ(α ) 0
1
1 α +c α −1
=
x ∫ u (1 − u ) c du
Γ(α )
0
=
1 α +c
x B (α , c + 1)
Γ(α )
=
1 α +c Γ(α )Γ(c + 1)
x
Γ(α + c + 1)
Γ(α )
=
Γ(c + 1) α +c
x
Γ(α + c + 1)
elde edilir.
Örnek 3.3.2 [24]:
f ( x) = ( x − a)γ , γ > −1 ve α ≥ 0 olsun. Bu durumda,
J aα f ( x) =
Γ(γ + 1)
( x − a ) α +γ
Γ(α + γ + 1)
(3.21)
olduğunu gösterelim:
J aα f ( x) = J aα ( x − a )γ =
x
1
( x − t )α −1 (t − a )γ dt
Γ(α ) ∫a
t = a + u ( x − a) dönüşümü yaparsak:
α −1
1
1
=
[( x − a)(1 − u )] u γ ( x − a)γ ( x − a)du
∫
Γ(α ) 0
1
=
( x − a )α +γ
Γ (α )
1
∫ (1 − u )
0
α −1
u γ du
(3.22)
29
=
1
( x − a)α +γ B(α , γ + 1)
Γ(α )
=
1
Γ (α ) Γ ( γ + 1 )
( x − a )α +γ
Γ (α + γ + 1 )
Γ (α )
=
Γ(γ + 1)
( x − a ) α +γ
Γ(α + γ + 1)
elde edilir.
Teorem 3.3.6:
α ≥ 0 olsun. [a, b] aralığında sürekli fonksiyonların düzgün yakınsak bir dizisinin
( f k )∞k =1
olduğunu varsayalım. Bu durumda, kesirli integral operatörü ile limit işlemini
yer değiştirebiliriz. Yani,
(J
α
a
)
(
)
lim f k ( x) = lim J aα f k ( x)
k →∞
k →∞
(
tir. Özellikle, J aα f k
)
∞
k =1
(3.23)
fonksiyonlarının dizisi düzgün yakınsaktır [8,24].
İspat:
( f k )k =1
∞
dizisinin limitini f ile gösterelim. Yani lim f k = f olsun. f fonksiyonunun
k →∞
sürekli olduğunu biliyoruz. Bu durumda,
x
1
J a f k ( x) − J a f ( x) =
( x − t )α −1 ( f k (t ) − f (t ) )dt
Γ(α ) ∫a
α
α
x
≤
1
( x − t )α −1 f k (t ) − f (t ) dt
Γ(α ) ∫a
≤
1
fk − f
Γ(α )
x
∞
∫ (x − t)
a
α −1
dt
30
1
=
fk − f
Γ(α )
t=x
⎡ ( x − t )α ⎤
−
∞⎢
α ⎥⎦ t =a
⎣
=
1
f −f
αΓ(α ) k
≤
1
fk − f
Γ(α + 1)
∞
( x − a )α , x ∈ [ a , b ]
∞
(b − a)α
(3.24)
Her x ∈ [a, b] için k → ∞ iken (3.24) ifadesi düzgün olarak sıfıra yakınsar. Buradan
istenilen eşitlik elde edilir [8,24].
Teorem 3.3.7:
α ≥ 0, c > 0 olmak üzere f ( x) = e cx olsun. Bu durumda
α cx
J a e = ( x − a)
α
(c( x − a) )k
∞
∑ Γ(α + k + 1)
(3.25)
k =0
dir [8,24].
Örnek 3.3.3:
λ > 0 olmak üzere f ( x) = exp(λx) olsun. α > 0 için J 0α f ( x) i hesaplayalım:
α ∈ Ν ise: J 0α f ( x) = J 0α e λx = λ−α exp(λx) olduğu açıktır.
(λx ) k
⎝ k = 0 k!
⎛
∞
α ∉ Ν ise: J 0α f ( x) = J 0α e λx = J 0α ⎜⎜ ∑
Teorem 3.3.6 uygulanırsa:
∞
λk
k =0
k!
=∑
J 0α ( x k )
⎞
⎛ ∞ λk x k
⎟⎟ = J 0α ⎜⎜ ∑
⎠
⎝ k =0 k!
⎞
⎟⎟
⎠
31
∞
=∑
λk
k =0
x
1
( x − t )α −1 t k dt
∫
k! Γ(α ) 0
(3.26)
t=x-xu dönüşümü yapılırsa ,Eş. (3.26):
∞
=∑
k =0
∞
=∑
k =0
λk
1
1
k
( xu )α −1 ( x(1 − u ) ) xdu
∫
k! Γ(α ) 0
λk
1 α +k
x B (α , k + 1)
k ! Γ(α )
λk xα +k
k =0 Γ (α + k + 1)
∞
=∑
( λ x )α + k
=λ ∑
k =0 Γ (α + k + 1)
−α
∞
elde edilir [8].
Teorem 3.3.8:
1 ≤ p < ∞ ve (mk ) ∞k =1 , m sınırı ile negatif olmayan sayıların yakınsak bir dizisi
olsun. Bu durumda, her f ∈ L p [a, b] için
lim J amk f = J am f
(3.27)
k →∞
dir. Burada yakınsama L p [a, b] normu anlamındadır [8].
Örnek 3.3.4:
f ( x) = 1 olsun. α ≥ 0 sınırı ile negatif olmayan sayıların Örnek 3.3.2 den
J aα k f ( x) =
1
Γ(α k + 1)
( x − a )α k
(3.28)
32
olduğunu buluruz.
α > 0 ise: α k → α iken
J aα k f − J aα f
x
∞
x
1
1
( x − t )α −1 dt
( x − t )α k −1 dt −
∫
Γ(α ) ∫a
x∈[ a ,b ] Γ (α k ) a
= sup
1 ( x − a )α k
1 ( x − a )α
−
Γ(α ) α
αk
x∈[ a ,b ] Γ (α k )
= sup
( x − a )α k ( x − a )α
→0
= sup
−
Γ(α + 1)
x∈[ a ,b ] Γ (α k + 1)
( k → ∞ iken)
olduğu gösterilebilir. Bu durumda, Chebyshev normunda yakınsama sözkonusudur.
α = 0 ise: k → ∞ iken α k → 0 oluyorsa, (α k )∞k =1 dizisi azalan olmalıdır. Ayrıca
Eş. (3.28) den her k için
J aα k f (a) = 0
(3.29)
dır. Oysa,
J aα f (a ) = J a0 f (a ) = f (a ) = 1
(3.30)
bulunur. Görülüyor ki, α = 0 durumunda Eş. (3.29) ve Eş. (3.30) un farklılığından
dolayı, yakınsama sözkonusu değildir.
O halde, sadece Chebyshev normunda yakınsama (düzgün yakınsama) vardır,
noktasal yakınsama asla gerçekleşmez [8].
Tanım 3.3.3 (Riemann-Liouville Türev Operatörü):
α ∈ R + ve n = ⎡α ⎤ olsun. a ≤ x ≤ b için
Daα f ( x) = D n J an−α f ( x) =
1
⎛d ⎞
⎜ ⎟
Γ(n − α ) ⎝ dx ⎠
n x
∫ (x − t)
a
n −α −1
f (t )dt
(3.31)
33
şeklinde tanımlanan Daα operatörüne, α mertebeli Riemann-Liouville diferensiyel
operatörü denir.
α = 0 için Da0 := Ι özdeşlik operatörüdür [8].
Lemma 3.3.3
α ∈ R + ve n ∈ Ν öyle ki n > α olsun. Bu durumda,
Daα = D n J an−α
(3.32)
dır [8].
İspat:
n üzerindeki varsayım, n ≥ ⎡α ⎤ olduğu anlamına gelir. Böylece, Tanım 3.3.3 ve
Sonuç 3.3.1 den:
α
D n J an −α = D ⎡⎢ ⎤⎥ D
n − ⎡⎢α ⎤⎥
n − ⎡⎢α ⎤⎥
Ja
α ⎤⎥ −α
J a⎡⎢
α
α ⎤⎥ −α
= D ⎡⎢ ⎤⎥ J a⎡⎢
= J a−α = Daα
elde edilir [8].
Örnek 3.3.5:
f ( x) = x c , c > −1 ve 0 ≤ α < 1 olsun. Bu durumda,
D0α f ( x) =
Γ(c + 1)
x c −α
Γ(c − α + 1)
olduğunu gösterelim: Tanım 3.3.3 den ,
(3.33)
34
D0α f ( x) =
x
1
⎛d ⎞
1−α −1 c
t dt
⎜ ⎟∫ ( x − t )
Γ(1 − α ) ⎝ dx ⎠ 0
x
1
d
=
( x − t ) −α t c dt
∫
Γ(1 − α ) dx 0
(3.34)
t = x − xu dönüşümü yapılırsa, Eş. (3.34):
1
=
1
d − α + c +1 − α
c
x
∫0 u (1 − u ) du
Γ(1 − α ) dx
=
1
(−α + c + 1) x −α + c B(−α + 1, c + 1)
Γ(1 − α )
=
Γ(−α + 1)Γ(c + 1)
1
(−α + c + 1) x −α + c
Γ(1 − α )
Γ(−α + c + 2)
=
Γ(c + 1)
x −α + c
Γ(−α + c + 1)
elde edilir.
Örnek 3.3.6:
c > −1 için f ( x) = ( x − a) c fonksiyonunu alalım. α > 0 olsun. Bu durumda,
Daα f ( x) = D ⎡α ⎤ J a⎡α ⎤ −α f ( x) =
Γ(c + 1)
D ⎡α ⎤ ( x − a ) ⎡α ⎤ −α + c
Γ(⎡α ⎤ − α + c + 1)
(3.35)
olduğunu gösterelim [24]:
α
D a f(x)=D
⎡α ⎤
⎡α ⎤ −α
Ja
1
d
(x-a) =
﴾ ﴿ ⎡α ⎤
Γ( ⎡α ⎤ − α ) dx
c
x
α −α −1
(t − a )c dt
⎢⎡α ⎥⎤ −α −1
( u ( x − a) )
∫ (x − t ) ⎡ ⎤
a
t = a + u ( x − a) dönüşümü yapılırsa:
=
⎡α ⎥⎤ 1
⎢
1
⎛d ⎞
⎜ ⎟
Γ ( ⎡⎢α ⎤⎥ − α ) ⎝ dx ⎠
∫ ( x − a − u ( x − a) )
0
c
( x − a )du
35
⎡α ⎥⎤
⎢
1
⎛d ⎞
=
⎜ ⎟
Γ ( ⎡⎢α ⎤⎥ − α ) ⎝ dx ⎠
=
=
⎡α ⎥⎤
⎢
1
⎛d ⎞
⎜ ⎟
Γ ( ⎡⎢α ⎤⎥ − α ) ⎝ dx ⎠
( x − a)
⎢⎡α ⎥⎤ −α + c
1
∫ (1 − u )
⎡⎢α ⎤⎥ −α −1 c
u du
0
( x − a )⎢⎡
α ⎥⎤ −α + c
B ( c + 1, ⎢⎡α ⎥⎤ − α )
Γ(c + 1)
⎡α ⎤ −α + c
α
D ⎢⎡ ⎥⎤ ( x − a )⎢ ⎥
Γ ( ⎢⎡α ⎥⎤ − α + c + 1)
elde edilir.
(−α + c) ∈ Ν ise, Eş. (3.35) in sağ tarafı, (⎡α ⎤ − α + c ) ∈ {0,1,..., ⎡α ⎤ − 1} dereceli
klasik bir polinomun ⎡α ⎤ . türevidir ve böylece ifade ortadan kaybolur. Yani, her
α > 0 , n ∈ {1, 2,..., ⎡⎢α ⎤⎥} için
Daα ⎡(. − a )
⎣
α −n
⎤ ( x) = 0
⎦
(3.36)
olur [24].
(−α + c) ∉ Ν ise, Örnek 3.3.2 den dolayı:
[
]
[
]
Daα (. − a ) ( x) = J a−α (. − a ) ( x) =
c
c
Γ(c + 1)
( x − a ) c −α
Γ(−α + c + 1)
(3.37)
olduğu bulunur.
Bu örnekteki Eş. (3.36) ve Eş. (3.37) bağıntıları, tamsayı mertebeli türevlerin klasik
durumunun basit genellemesidir.
Teorem 3.3.9:
α1 ,α 2 ≥ 0 olduğunu varsayalım. Ayrıca g ∈ L1[a, b] ve f = J aα
durumda;
1 +α 2
g olsun. Bu
36
Daα1 Daα 2 f = Daα1 +α 2 f
(3.38)
dir [24].
İspat:
f üzerindeki varsayımımızdan ve Tanım 3.3.3 den yararlanıp, Sonuç 3.1.1 i
uygularsak:
Daα1 Daα 2 f = Daα1 Daα 2 J aα1 +α 2 g = D ⎡α1 ⎤ J a⎡α1 ⎤ −α1 D ⎡α 2 ⎤ J a⎡α 2 ⎤ −α 2 J aα1 +α 2 g
α
α1 ⎥⎤ −α1
D ⎢⎡
α
α1 ⎥⎤ −α1
D ⎢⎡
= D ⎢⎡ 1 ⎥⎤ J a⎢⎡
= D ⎢⎡ 1 ⎥⎤ J a⎢⎡
⎡α 2 ⎤ ∈ Ν
α 2 ⎥⎤
J a⎢⎡
α 2 ⎥⎤ +α1
α 2 ⎥⎤
J a⎢⎡
α 2 ⎥⎤
g
J aα1 g
olduğundan, son ifadede, ⎡α 2 ⎤ tamsayı mertebeli türev ve integral
operatörlerini kullanırsak:
α
α1 ⎥⎤ −α1
Daα1 Daα 2 f = D ⎢⎡ 1 ⎥⎤ J a⎢⎡
J aα1 g
= D ⎡⎢α1 ⎤⎥ J a⎡⎢α1 ⎤⎥ g
elde ederiz.
Eş. (3.39) da Eş. (3.11) bağıntısını kullanırsak:
Daα1 Daα 2 f = g
buluruz. Buradan, tekrar f üzerindeki varsayım kullanılırsa:
Daα1 Daα 2 f = Daα1 +α 2 f
olduğu elde edilir [24].
(3.39)
37
Teorem 3.3.10:
α ≥ 0 olsun. Bu durumda her f ∈ L1[a, b] için h.h.h.y.
Daα J aα f = f
(3.40)
eşitliği vardır [8].
İspat:
α = 0 durumu aşikardır. Çünkü bu durumda Daα ve J aα nın her ikisi de özdeşlik
operatörüdür.
α > 0 için Teorem 3.3.9 un ispatında olduğu gibi devam ederiz:
n = ⎡α ⎤ olsun. Bu durumda Daα nın tanımı, Sonuç 3.3.1 ve Lemma 3.3.2 den
( n ∈ Ν olduğundan Lemma 3.3.2 uygulanabilir),
Daα J aα f ( x) = D n J an −α J aα f ( x) = D n J an f ( x) = f ( x)
elde edilir [8].
Teorem 3.3.11:
α > 0 olsun. ( f k )∞k =1 dizisinin
[a, b]
üzerinde sürekli fonksiyonların düzgün
yakınsak bir dizisi olduğunu ve Daα f k nın her k için var olduğunu varsayalım.
(
Ayrıca, Daα f k
)
dizisinin her ε > 0 için [a + ε , b] de düzgün yakınsak olduğunu
∞
k =1
varsayalım. Bu durumda her x ∈ (a, b] için
(lim D f )( x) = (D
α
k →∞
a
tir [24].
k
α
a
)
lim f k ( x)
k →∞
(3.41)
38
Teorem 3.3.12:
f1 ve f 2 , [a, b] de tanımlı iki fonksiyon olsun öyle ki Daα f1 ve Daα f 2 h.h.h.y. vardır.
Ayrıca c1 , c2 ∈ R olsun. Bu durumda, Daα (c1 f1 + c2 f 2 ) h.h.h.y. vardır ve
Daα (c1 f1 + c2 f 2 ) = c1Daα f1 + c2 Daα f 2
(3.42)
dır [24].
Teorem 3.3.13 (Riemann-Liouville operatörleri için Leibniz Formülü):
α > 0 olsun ve f ile g nin bazı h > 0 ile (a − h, a + h ) üzerinde analitik olduğunu
varsayalım. Bu durumda a < x < a +
h
için
2
⎢⎣α ⎥⎦
⎛α ⎞
Daα [ fg ]( x) = ∑ ⎜ ⎟ ( Dak f ) ( x) ( Daα −k g ) ( x)
k =0 ⎝ k ⎠
+
∞
⎛α ⎞ k
k −α
⎜ ⎟ ( Da f ) ( x) ( J a g ) ( x)
k
⎠
⎦⎥ +1 ⎝
∑α
k = ⎣⎢
(3.43)
dir [8,24].
Teorem 3.3.14:
α > 0 olsun. Bu durumda, her f ∈ L1[a, b] için h.h.h.y.
Daα J aα f = f
dir. Eğer buna ek olarak, g ∈ L1[a, b] fonksiyonu var öyle ki f = J aα g ise bu durum
da h.h.h.y.
39
J aα Daα f = f
(3.44)
eşitliği geçerlidir [24].
Teorem 3.3.15 (Kesirli Taylor Açılımı):
α > 0 ve n = ⎡α ⎤ olsun. f fonksiyonu varsayalım öyle ki J an −α f , (n − 1). türevi
mutlak sürekli fonksiyon olsun. Bu durumda,
( x − a )α − n
f ( x) =
lim+ J an −α f ( z )
Γ(α − n + 1) z → a
( x − a ) k +α − n
lim Dak +α − n f ( z ) + J aα Daα f ( x)
z →a +
α
Γ
(
k
+
−
n
+
1
)
k =1
n −1
+∑
(3.45)
tir [8].
Tanım 3.3.4 (Caputo Operatörü):
α ≥ 0 ve n = ⎡α ⎤ olsun. a ≤ x ≤ b için
α
D∗a f ( x) = J
n −α
a
x
n
1
⎛d⎞
D f ( x) =
( x − t ) n −α −1 ⎜ ⎟ f (t )dt
∫
Γ(n − α ) a
⎝ dt ⎠
n
(3.46)
şeklinde tanımlı D*αa operatörüne, α mertebeli Caputo diferensiyel operatörü
denir[24].
Örnek 3.3.7[9]:
α ≥ 0, n = ⎡α ⎤ olsun ve bazı c ≥ 0 için f ( x) = ( x − a)c fonksiyonunu alalım. Bu
durumda,
40
⎧
0
⎪
D*a f ( x) = ⎨ Γ(c + 1)
c −α
⎪ Γ (c + 1 − α ) ( x − a )
⎩
α
, c ∈ {0,1, 2,..., n − 1} ise
, c ∈ Ν ve
c≥n
veya
c∉Ν
ve c > n − 1
(3.47)
ise.
Teorem 3.3.16:
Herhangi bir c sabiti ve α ≥ 0 için D*αa c = 0 dır [9].
Teorem 3.3.17:
α ≥ 0 ve n = ⎡α ⎤ olsun. Ayrıca Daα f nin varolduğunu ve f nin a da (n − 1) türeve
sahip olduğunu varsayalım. Bu durumda h.h.h.y.
D*αa f ( x) = Daα ( f − Tn −1[ f ; a ])(x )
(3.48)
dır. Burada Tn −1[ f ; a ] , f fonksiyonunun a noktasında ürettiği (n − 1). dereceden
Taylor polinomunu göstermektedir [24].
Uyarı 3.3.4:
Eğer α ∈ Ν ise n = α dır. Bu nedenle
D*αa f ( x ) = Daα ( f − Tn −1 [ f ; a ])( x ) = Dα f ( x ) − Dα (Tn −1 [ f ; a ])( x ) = Dα f ( x )
(3.49)
olduğuna dikkat edelim. Çünkü Tn −1[ f ; a ] , klasik α tamsayı mertebeli Dα operatörü
tarafından yok edilen, (n − 1) dereceli polinomdur.
α = 0 ise D*a0 := Ι özdeşlik operatörüdür [8].
41
Lemma 3.3.4:
α ≥ 0 ve n = ⎡α ⎤ olsun. f fonksiyonu varsayalım öyle ki D*αa f ve Daα f nin her
ikisi de var olsun. Bu durumda,
n −1
D k f (a)
( x − a ) k −α
α
Γ
(
k
−
+
1
)
k =0
D*αa f ( x) = Daα f ( x) − ∑
(3.50)
dir [8,24].
İspat:
Tanım 3.3.4 ve Örnek 3.3.6 dan,
n −1
[
D k f (a) α
Da ( x − a ) k
k = 0 Γ ( k + 1)
D α*a f(x)=D αa f ( x) - ∑
]
n −1
D k f (a)
( x − a) k −α
k = 0 Γ ( k − α + 1)
= Daα f ( x) − ∑
elde edilir [8,24].
Lemma 3.3.5:
α ≥ 0 ve n = ⎡α ⎤ olsun. f fonksiyonu varsayalım öyle ki D*αa f ve Daα f nin her
ikisi de var olsun. Ayrıca k = 0,1,2,..., n − 1 için D k f (a ) = 0 olsun (yani
f
fonksiyonu, a noktasında n katlı sıfıra sahip olsun). Bu durumda,
Daα f = D*αa f
dir [24].
(3.51)
42
Teorem 3.3.18:
Her α , β ∈ R + için
D*αa D*βa f ( x) = D*αa+ β f ( x)
(3.52)
tir [9].
Teorem 3.3.19:
α ≥ 0, n = ⎡α ⎤ olsun. Bu durumda,
D*αa f ( x) = J an −α D n f ( x) ≠ D n J an −α f ( x) = Daα f ( x)
(3.53)
tir [12].
Teorem 3.3.20:
Eğer f fonksiyonu sürekli ve α ≥ 0 ise bu durumda,
D*αa J aα f = f
(3.54)
dir [24].
Teorem 3.3.21:
α ≥ 0, n = ⎡α ⎤ ve f , (n − 1). türevi mutlak sürekli fonksiyon olsun. Bu durumda,
n −1
D k f (a)
( x − a)k
k!
k =0
J aα D*αa f ( x) = f ( x) − ∑
eşitliği geçerlidir [24].
(3.55)
43
Sonuç 3.3.2 (Caputo Türevleri için Taylor Açılımı):
α > 0 ve n = ⎡α ⎤ olsun. f fonksiyonu varsayalım öyle ki (n − 1). türevi mutlak
sürekli fonksiyon olsun. Bu durumda
n −1
D k f (a)
f ( x) = ∑
( x − a ) k + J aα D*αa f ( x)
k!
k =0
(3.56)
tir [24].
Teorem 3.3.22:
µ ∈ Ν için f ∈ C µ [a, b] olsun. Ayrıca α ∈ [0, µ ] olsun. Bu durumda,
Daµ −α D*αa f = D µ f
(3.57)
dir [8].
Teorem 3.3.23:
f1 , f 2 : [a, b] → R olsun öyle ki D*αa f1 ve D*αa f 2 h.h.h.y. var ve c1 , c2 ∈ R olsun. Bu
durumda, D*αa (c1 f1 + c2 f 2 ) h.h.h.y. vardır ve
D*αa (c1 f1 + c2 f 2 ) = c1D*αa f1 + c2 D*αa f 2
(3.58)
dir [9].
Teorem 3.3.24 (Caputo Operatörleri için Leibniz Formülü):
0 < α < 1 olsun ve f
ile g fonksiyonlarının (a − h, a + h) aralığında analitik
olduğunu varsayalım (h > 0). Bu durumda,
44
D*αa [ fg ]( x) =
( x − a ) −α
g (a) ( f ( x) − f (a ) ) + ( D*αa g ( x) ) f ( x)
Γ(1 − α )
+
k =1
tir [24].
⎛α ⎞
∑ ⎜⎜ k ⎟⎟ (J
∞
⎝
⎠
k −α
a
)
g ( x ) D *ka f ( x )
(3.59)
45
4. ÇÖZÜMLERİN VARLIĞI VE TEKLİĞİ:
Diferensiyel denklemler, n − 1 < q ≤ n , n ∈ Ν olmak üzere q > 0 mertebeli
x
1
d
D y ( x) =
( ) n ∫ ( x − z )n−q −1 y ( z )dz, x ≥ x0
Γ(n − q ) dx x0
q
x0
(4.1)
şeklinde Riemann-Liouville diferensiyel operatörlerini içerebilir.
Birçok fiziksel olgunun modellenmesinde, böyle denklemlerin önemli araçlar olduğu
ispatlanmıştır. 0 < q < 1 durumu özellikle önemlidir. q > 1 için de bazı uygulamalar
yapılmıştır [11].
D q nun n − boyutlu bir çekirdeği olduğu görülmektedir. Bu nedenle, f verilen bir
fonksiyon olmak üzere
D q y ( x ) = f ( x, y ( x ) )
(4.2)
şeklindeki bir kesirli diferensiyel denklemin tek bir çözümünü elde etmek için
kesinlikle n mertebeden başlangıç koşulunu belirtmemiz gerekir.
Uygun başlangıç koşulları, verilen bk değerleri ile (x 0 = 0 olmak üzere)
d q −k
y ( x) =bk , k = 1, 2,..., n.
dx q − k
x = 0+
(4.3)
şeklinde olmalıdır. Buradan da görüldüğü gibi, y fonksiyonunun bazı kesirli
türevlerini belirtmek zorundayız. Pratik uygulamalarda, bu kesirli türev değerleri
çoğunlukla mevcut değildir ve fiziksel anlamlarının ne olduğu açıkça belli
olmayabilir. Bu nedenle Caputo, kesir mertebeli denklem içine y fonksiyonunun 0
(sıfır) noktasında ürettiği ( n − 1) dereceli Tn −1[ y ] Taylor polinomunu vererek,
n −1
xk (k ) +
y (0 )
k = 0 k!
Tn −1[ y ] = ∑
(4.4)
46
olmak üzere
n −1 k
⎛
⎞
x
D ⎜ y ( x) − ∑ y ( k ) (0+ ) ⎟ = f ( x, y ( x) )
k =0 k !
⎝
⎠
q
D q ( y − Tn −1[ y ])( x) = f ( x, y ( x))
(4.5a )
tamsayı mertebeli diferensiyel denklemlerle b.d.p. lerinde yaygın olarak kullanıldığı
gibi, y fonksiyonunun klasik (tamsayı mertebeli) türevlerinin dahil olması gerektiğini
önermiştir.
Bu durumda başlangıç koşulları,
y ( k ) (0) = y0( k ) , k = 0,1,..., n − 1
(4.5b)
şeklinde alıştığımız biçimde belirlenebilir [10].
Bu bölümde ele alacağımız problem :
D q ( y −T n −1 [ y ])( x) = f ( x, y ( x))
(4.5)
y ( k ) (0) = y0( k ) , k = 0,1,..., n − 1
b.d.p. dir [11] .
Teorem 4.1(Çözümün Varlığı):
[
] [
]
X ∗ > 0 ve α > 0 olmak üzere D := 0, X ∗ × y0( 0) − α , y0( 0 ) + α kümesi tanımlansın
ve f : D → R fonksiyonu sürekli olsun. Ayrıca
1
⎫
⎧
q
⎛
⎞
⎪ ∗ ⎜ αΓ(q + 1) ⎟ ⎪
X := min ⎨ X ,
⎬
⎜
f ∞ ⎟⎠ ⎪
⎪
⎝
⎭
⎩
alalım. Bu durumda, (4.5) b.d.p. nin çözümü olan bir y : [0, X ] → R fonksiyonu
vardır [11].
47
Teorem 4.2 (Çözümün Tekliği):
[
] [
]
X ∗ > 0 ve α > 0 olmak üzere D := 0, X ∗ × y0( 0) − α , y0( 0 ) + α kümesi tanımlansın
ve f : D → R fonksiyonu D üzerinde sınırlı bir fonksiyon olsun. Ayrıca f, ikinci
değişkene göre Lipschitz koşulunu sağlasın. Yani, her ( x, y ),( x, z ) ∈ D için
f ( x, y ) − f ( x, z ) ≤ L y − z
olacak şekilde x,y ve z den bağımsız bir L > 0 sabiti var olsun.
1
⎫
⎧
q
⎛
⎞
⎪ ∗ ⎜ αΓ(q + 1) ⎟ ⎪
X := min ⎨ X ,
⎬
⎜
f ∞ ⎟⎠ ⎪
⎪
⎝
⎭
⎩
alalım. Bu durumda, (4.5) b.d.p. nin y : [0, X ] → R şeklinde tanımlı bir tek çözümü
vardır [11].
(4.5) b.d.p. nde (4.5a) denkleminin her iki tarafına J q kesirli integral operatörünü
uygularsak:
J q D q ( y − Tn −1 [ y ])( x) = J q f ( x, y ( x))
y(x)- Tn −1[ y ]( x) = J q f ( x, y ( x))
n −1
x
xk
1
y(x)- ∑ y ( k ) (0) =
( x − z ) q −1 f ( z , y ( z ))dz
∫
Γ(q ) 0
k = 0 k!
n −1
x
xk (k )
1
y ( 0) +
( x − z ) q −1 f ( z , y ( z ))dz
∫
k
!
Γ
(
q
)
k =0
0
y(x)= ∑
denklemi elde edilir [11] .
(4.6)
48
Lemma 4.1:
Eğer f fonksiyonu sürekli ise , o zaman (4.5) b.d.p. n − 1 < q ≤ n, n = ⎢⎡ q ⎥⎤ olmak
üzere
x
n −1
xk (k )
1
(x − z )q −1 f ( z, y( z ))dz
y ( 0) +
∫
Γ(q ) 0
k = 0 k!
y ( x) = ∑
(4.7)
şeklindeki lineer olmayan ikinci çeşit Volterra integral denklemine eşdeğerdir.
Başka bir deyişle, (4.7) Volterra integral denkleminin her çözümü, (4.5) b.d.p. nin de
bir çözümüdür ve tersi de doğrudur [11] .
Teorem 4.1 in ispatı [11]:
Sadece 0 < q < 1 durumu için ispatı yapalım:
(4.5) b.d.p. ne eşdeğer olan (4.7) Volterra integral denklemi, n − 1 < q ≤ n olmak
üzere her x ∈ [0, X ] için
x
n −1
xk (k )
1
y (0) +
( x − z ) q −1 f ( z , y ( z ) )dz
∫
Γ(q) 0
k =0 k !
y ( x) = ∑
şeklinde idi.
0 < q < 1 ise :
x
xk (k )
1
y ( x) = ∑ y0 +
( x − z ) q −1 f ( z , y ( z ) )dz
∫
Γ(q) 0
k =0 k !
0
x
y ( x) = y0(0) +
1
( x − z ) q −1 f ( z , y ( z ) )dz
∫
Γ(q) 0
(4.8)
şekline indirgenir.
Bu
durumda
bir
{
U := y ∈ C [0, X ] : y − y0( 0 )
kümesinin, Chebyshev normu ile donatılmış
∞
≤α
}
[0, X ]
kümesi
tanımlayalım. U
aralığındaki bütün sürekli
49
fonksiyonların Banach uzayının kapalı, konveks, sınırlı bir alt kümesi olduğu
aşikardır. Bu nedenle U , bir Banach uzayıdır [ 7 ] .
y = y0(0) sabit fonksiyonu U kümesinde olduğundan U ≠ 0 dir.
U kümesi üzerinde A operatörünü ,
x
Ay ( x) = y
(0)
0
1
( x − z ) q −1 f ( z , y ( z ) )dz
+
∫
Γ(q) 0
şeklinde tanımlayalım. Bu durumda ele aldığımız denklem,
(4.9)
A
operatörü
kullanılarak,
y = Ay
şeklinde yeniden yazılabilir.
y ∈ U olsun. x ∈ [0, X ] için ,
x
Ay ( x) − y0(0) =
1
( x − z ) q −1 f ( z, y ( z ) )dz
Γ(q) ∫0
≤
1
( x − z ) q −1 f ( z , y ( z ) ) dz
Γ(q ) ∫0
x
x
1
sup f ( x, y ( x) ) ∫ ( x − z ) q −1 dz
≤
Γ (q ) x∈[0,Χ ]
0
=
≤
=
1
f
Γ( q )
f
∞
Xq
∞
.
Γ(q + 1)
f
∞
xq
q
Γ(q + 1)
αΓ(q + 1)
f
=α
∞
olur. Buradan her y ∈ U ve her x ∈ [0, X ] için Ay ( x) − y0(0) ≤ α elde edilir.
50
Dolayısıyla sup Ay ( x) − y0(0 ) ≤ α ise Ay − y0(0 )
x∈[0 , x ]
∞
≤ α olarak bulunur.
Bu da Ay ∈ U olması demektir.
Her y ∈ U
ve her x ∈ [0, X ] için
Ay ∈ U olduğundan A(U ) ⊂ U dur. Yani A
operatörü, U kümesini kendisine eşler. Dolayısıyla A : U → U bir dönüşümdür.
A operatörünün sürekli bir operatör olduğunu gösterelim:
f
, kompakt D kümesi üzerinde sürekli olduğundan f, D üzerinde düzgün
süreklidir.
O halde, verilen keyfi bir ε > 0 için en az bir δ > 0 bulabiliriz öyle ki y − z < δ
olduğunda
f ( x , y ) − f ( x, z ) <
ε
xq
Γ( q + 1)
(4.10)
olur.
y, y% ∈ U iken y − y% < δ olsun. Her ε > 0 ve her x ∈ [0, X ] için:
f ( x, y ( x) ) − f ( x, y% ( x) ) <
ε
xq
Γ ( q + 1)
(4.11)
dir.
x
x
1
1
( x − z )q −1 f ( z , y ( z ) ) dz −
( x − z )q −1 f ( z, y% ( z ) ) dz
Ay ( x) − Ay% ( x) =
∫
Γ( q ) 0
Γ(q) ∫0
x
≤
1
( x − z ) q −1 f ( z , y ( z ) ) − f ( z , y% ( z ) ) dz
Γ( q ) ∫0
1
ε
≤
( x − z ) q −1 q Γ( q + 1) dz
∫
Γ(q ) 0
z
x
≤
εΓ(q + 1) x
Γ(q) x
q
∫ ( x − z)
0
q −1
dz
51
=
εΓ(q + 1) x q
Γ(q + 1) x q
=ε
O halde, A operatörü C [0, X ] de süreklidir.
A operatörünün sınırlı olduğunu gösterelim:
Bunun için A(U ) = { Ay : y ∈U } görüntü kümesine bakalım. Eğer A (U ) sınırlı ise A
operatörünün sınırlı olduğu söylenebilir.
y ∈ U olsun. x ∈ [0, X ] için:
Ay ( x ) = y0(0 ) +
x
1
(x − z )q −1 f (z, y (z ))dz
∫
Γ(q ) 0
x
≤ y0
1
(x − z )q −1 f (z, y(z )) dz
+
∫
Γ(q ) 0
≤ y
1
+
sup f ( x, y ( x) ) ∫ ( x − z ) q −1 dz
Γ(q ) x∈[0, Χ]
0
(0 )
x
(0)
0
≤ yo( 0) +
= y0(0) +
f
∞
Γ(q + 1)
f
∞
Γ(q + 1)
Xq
αΓ(q + 1)
f
∞
= y0(0) + α =M , M >0 sabit
O halde, her y ∈ U ve her x ∈ [0, X ] için Ay (x) ≤ M olacak şekilde bir M >0 vardır.
Dolayısıyla A(U ), C [0, X ] de düzgün sınırlıdır.
Buradan da diyebiliriz ki: y = Ay denkleminin sürekli çözümleri, aynı M sabiti ile
düzgün sınırlıdır ve U kümesi bu çözümleri içerir. Dolayısıyla, A operatörü
C [0, X ] de düzgün sınırlıdır.
52
0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ X olsun.
x
x
2
1 1
q −1
(
)
(
,
(
))
( x2 − z ) q −1 f ( z , y ( z ) ) dz
Ay ( x1 ) − Ay ( x2 ) =
x
−
z
f
z
y
z
dz
−
1
∫
∫
Γ( q ) 0
0
1
=
Γ(q )
∫ ((x
x1
1
− z)
q −1
− ( x2 − z )
q −1
) f ( z, y( z))dz − ∫ (x
x2
2
0
− z)
q −1
f ( z, y ( z ))dz
x1
x2
⎛ x1
⎞
1
q −1
q −1
q −1
⎜
≤
sup f ( x, y ( x)) ∫ ( x1 − z ) − ( x2 − z ) dz + ∫ ( x2 − z ) dz ⎟
⎜0
⎟
Γ(q ) x∈[0, X ]
x1
⎝
⎠
(
)
x1
x2
⎛ x1
⎞
q −1
q −1
q −1
⎜
⎟
(
)
(
)
(
)
=
−
−
−
+
−
x
z
dz
x
z
dz
x
z
dz
1
2
2
∫0
∫x
⎟
Γ(q ) ⎜⎝ ∫0
1
⎠
f
=
=
∞
(x
qΓ(q )
f
q
1
∞
f
∞
Γ(q + 1)
+ ( x2 − x1 ) − x2q + ( x2 − x1 )
q
(x
q
1
− x2q + 2( x2 − x1 )
q
Buradan │Ay(x 1 )-Ay(x 2 )│ ≤ 2
Ay ( x1 ) − Ay ( x2 ) ≤ 2
f
q
∞
Γ(q + 1)
f
∞
Γ(q + 1)
)
)
x2 − x1
δq
q
yazılabilir. x1 − x2 < δ olduğunda
(4.12)
elde edilir. (4.12) eşitsizliğinin sağ tarafı x2 → x1 iken sıfıra yakınsar. Buradan
Ay nin sürekli bir fonksiyon olduğu söylenir.
Dikkat edersek; bu son eşitsizliğin sağ tarafı y den bağımsızdır. Buradan, her
x1 , x2 ∈ [0, X ] için x1 − x2 < δ olduğunda Ay ( x1 ) − Ay( x2 ) < ε , ε > 0 olacak şekilde
bir δ > 0 sayısı var olduğundan
süreklidir.
A(U ) görüntü kümesi C [0, X ] üzerinde eş
53
Arzela-Ascoli teoremi (Teo.2.1.9) gereğince ; A(U )
C [0, X ] de, düzgün sınırlı ve
eş sürekli olduğundan göreceli kompakttır [11]. Ayrıca A(U ) daki her fonksiyon
dizisinin, düzgün yakınsak bir alt dizisi vardır [13] .
Schauder Sabit Nokta Teoremine (Teo.2.1.8) göre, A operatörünün en az bir sabit
noktası vardır. Bu sabit nokta, (4.7) Volterra denklemimizin [0, X ] üzerinde sürekli
olan çözümüdür. Aynı zamanda, bu çözüm fonksiyonu (4.5) b.d.p. mizin de [0, X ]
aralığında var olan çözümüdür.
Uyarı 4.1:
Teorem 4.1 in, (4.5) b.d.p. nin belli varsayımlar altında varolan çözümünün, bütün
[0, X ]
∗
aralığında olduğunu, çözümün bu aralığın sadece belli bir alt aralığında
olmadığını belirttiğine dikkat edilmelidir [8].
Teorem 4.2 nin ispatı:
Picard - Lindelöf sonucuna karşılık gelen teklik teoreminin
ispatı
aşağıda
verilmiştir:
Teorem 4.1, (4.5) b.d.p. nin bir çözüme sahip olduğunu savunur. Ayrıca, Teorem 4.1
in ispatında gösterilmiştir ki, y = Ay nin sürekli çözümleri aynı M sabiti ile düzgün
sınırlıdır ve sonuç olarak,
{
U := y ∈ C [0, X ] : y − y 0( 0 )
∞
}
≤ M = BM
ile verilen BM kapalı yuvarı bu çözümleri içerir. Buradan, lineer olmayan Volterra
integral denklemi (4.7) nin çözümünün tekliğinin ispatı için her m ∈ Ν 0 a karşılık
Am nin BM de bir daralma dönüşümü olduğu gösterilmelidir. Bunun için Teorem 4.1
in ispatındaki benzer argümentler kullanılarak başlanır. Özellikle Eş. (4.4) ile verilen
54
aynı T polinomu, Eş. (4.9) ile tanımlanan A operatörü ve A nın boş olmayan,
kapalı, konveks
{
U := y ∈ C [0, X ] : y − y0( 0 )
∞
≤α
}
kümesini kendisine eşlediği hatırlanmalıdır.
Şimdi, A nın bir tek sabit noktaya sahip olduğu ispat edilmelidir. Bunu yapmak için
öncelikle, her m ∈ N 0 , her x ∈ [0, X ] ve her y, y% ∈ U için
A y − A y%
m
m
( Lx q ) m
y − y%
≤
L∞ [ 0, Χ ]
Γ(qm + 1)
(4.13)
L∞ [ 0, Χ ]
olduğunu ispatlamak gerekir. Bu, tümevarım ile görülebilir:
m = 0 için , (4.13) eşitsizliğinin doğru olduğu aşikardır.
Kabul edelim ki, (4.13) eşitsizliği m − 1 için doğru olsun. Yani,
Am −1 y − Am −1 y%
L∞ [0, Χ ]
≤
( Lx q )m −1
y − y%
Γ(q(m − 1) + 1)
L∞ [ 0, Χ ]
(4.14)
eşitsizliği geçerli olsun.
Şimdi m için , (4.13) eşitsizliğinin doğru olduğu gösterilmelidir:
Am y − Am y%
∞
= sup Am y ( x) − Am y% ( x)
x∈[ 0, Χ ]
= sup A ( Am−1 y ( x) ) − A ( Am−1 y% ( x) )
x∈[ 0, Χ ]
x
1
= sup
( x − z ) q −1 f ( z, Am−1 y ( z ) ) dz
∫
x∈[ 0, Χ ] Γ( q ) 0
x
1
( x − z ) q −1 f ( z , Am −1 ~
y ( z ))dz
Γ(q ) ∫0
x
1
≤
sup ∫ ( x − z ) q −1 f ( z , Am −1 y ( z ) ) − f ( z , Am −1 y% ( z ) ) dz
Γ ( q ) x∈[0,Χ ] 0
(4.15)
55
(4.15) eşitsizliğinde, f nin Lipschitz özelliği kullanılırsa:
x
L
≤
sup ∫ ( x − z ) q −1 Am−1 y ( z ) − Am−1 y% ( z ) dz
Γ( q ) x∈[0,Χ ] 0
Son eşitsizlikteki mutlak değerli ifade için (4.14) eşitsizliğini kullanırsak:
x
≤
L
( Lz q ) m−1
y ( z ) − y% ( z ) dz
sup ∫ ( x − z ) q −1
Γ( q ) x∈[0,Χ ] 0
Γ( q ( m − 1) + 1)
≤
LLm−1
sup y ( x) − y% ( x) ∫ ( x − z ) q −1 z q ( m −1) dz
Γ( q )Γ ( q ( m − 1) + 1) x∈[0, Χ]
0
x
x
Lm
=
y − y%
Γ(q)Γ ( q (m − 1) + 1)
∞
∫ ( x − z)
q −1
z q ( m−1) dz
(4.16)
0
z = x − xu dönüşümü yapılırsa:
Lm
=
y − y%
Γ(q)Γ ( q(m − 1) + 1)
Lm x qm
=
y − y%
Γ(q)Γ ( q (m − 1) + 1)
=
( Lx q ) m
y − y%
Γ(q)Γ ( q(m − 1) + 1)
≤
( LX q ) m
y − y%
Γ ( qm + 1)
q ( m −1)
1
∫ ( xu ) [ x(1 − u)]
∞
q −1
0
1
∞
∫u
q −1
(1 − u ) q ( m−1) du
0
∞
B(q, q(m − 1) + 1)
∞
O halde, her m ∈ N 0 , her x ∈ [0, X ] ve her y, y% ∈ U için,
A y−A ~
y
m
m
∞
≤
(LX )
q m
Γ(qm + 1)
olduğu sonucuna ulaşılır.
y−~
y
∞
xdu
56
αm =
(LX )
q m
ifadesi ile A operatörü, Banach sabit nokta teoreminin
Γ(qm + 1)
∞
(Teo.2.1.7) bütün koşullarını sağlar. Teo.2.1.7 nin uygulanabilmesi için sadece ∑ α m
m=0
serisinin yakınsak olduğunun gösterilmesi gerekir.
∞
∞
∑α
m=0
m
=∑
(LX )
q m
m = 0 Γ(qm + 1)
=: E q (LX q )
ifadesi , LX q da değerlendirilen, q mertebeli Mittag-Leffler fonksiyonudur.
Her m ∈ N 0 için
αm =
seridir ve m → ∞ iken
(LX )
q m
Γ(qm + 1)
∞
∑α
m=0
m
>0 olduğundan
∞
∑α
m=0
m
serisi pozitif terimli bir
yakınsaktır.
O halde bir m ∈ N 0 vardır öyle ki Am , BM üzerinde bir daralma dönüşümüdür.
Sonuç olarak, Teorem 2.1.7 den Am nin sabit noktası tektir. Am nin sabit noktası,
aynı zamanda A nın sabit noktası olduğundan, A nın sabit noktasının tek olduğu
sonucu çıkar. Yani, A operatörünün bir tek u * ∈ U sabit noktası vardır ve herbir
başlangıç u0 ∈ U için ( Amu0 ) ∞m=1 dizisi de bu sabit noktaya yakınsar. A operatörünün
bir tek olan u * ∈ U sabit noktası y = Ay denkleminin ve dolayısıyla (4.5) b.d.p. nin
sürekli olan bir tek çözümüdür [11].
Uyarı 4.2 :
Teorem 2.1.7, sadece çözümün tek olduğunu iddia etmez. Aynı zamanda Picard-tipi
iterasyon süreci ile bu çözümü belirlemenin bir yolunu (en azından teorik olarak )
bize verir [11] .
57
Uyarı 4.3 :
f
fonksiyonu üzerinde Lipschitz koşulu olmasaydı, çözümün tek olduğu
söylenemezdi.
Bunu görmek için ,
D q y ( x) = y k ( x) , y (0) = 0
(4.17)
b.d.p. ni ele alalım.
0 < k < 1 olduğunu düşünürsek, diferensiyel denklemin sağ tarafında fonksiyon, üstel
fonksiyon olduğundan süreklidir. Fakat, Lipschitz koşulu bozulmuştur.
Sıfır fonksiyonu, (4.17) b.d.p nin bir çözümüdür.
( y ( x) = 0 )
Ancak y ( x) : = p j ( x) = x j alırsak:
D q y ( x) = D q p j ( x) = D q x j =
Γ( j + 1)
x j − q = y k ( x)
Γ( j − q + 1)
elde edilir. Buradan,
y ( x) =
k
Γ( j + 1)
x j −q
Γ( j − q + 1)
olur. Buradan da ,
y(x)= k
Γ( j + 1)
xj
Γ( j − q + 1)
fonksiyonunun , j =
q
ile (4.17) b.d.p. ni çözdüğünü görürüz. Görülüyor ki ,
1− k
(4.17) b.d.p.nin, Lipschitz koşulu olmadığında, çözümü tek değildir [11] .
58
Sonuç 4.1:
q > 0 ve n = ⎡⎢ q ⎤⎥ olsun. Ayrıca y0(0) ,..., y0( n −1) ∈ R ve X ∗ > 0 olsun. G := [ 0, ∞ ) × R
kümesini tanımlayalım ve f : G → R sürekli x, y1 ve y2 den bağımsız olan bir L > 0
Lipschitz sabiti ile ikinci değişkene göre Lipschitz koşulunu yerine getiren fonksiyon
olsun. Bu durumda, (4.5) b.d.p. nin çözümü olan y ∈ C [ 0, ∞ ) fonksiyonu tek olarak
vardır [8] .
59
5. PARAMETRELERDE BAĞIMLILIK
5.1. Perturbe Olmuş Bilginin Etkisi
Diferensiyel denklemlerin klasik teorisinde (tamsayı mertebeli durum), genellikle
başlangıç değerlerinin ve f fonksiyonunun
D k y (x) = f
(x, y( x), Dy( x),..., D
k −1
y ( x) )
diferensiyel denkleminin sağ tarafında verildiği varsayılır ve bu durumda bu
ifadelerin perturbe edilmeleri altında çözümün davranışından söz edilir [8].
Kesir mertebeli diferensiyel denklemlerde de verilen bilgi aynı biçimdedir. Fakat
burada önemli bir ek problem vardır:
Genel olarak kesir mertebeli diferensiyel denklemi,
Dα ( y − Tn −1[ y ])( x ) = f ( x, y ( x) )
biçiminde alalım. Burada denklemin temel parametreleri olan başlangıç değeri
(değerleri), denklemin sağ tarafında bulunan f fonksiyonu, diferensiyel operatörün
α mertebesi, genellikle sadece belli bir doğruluk derecesine kadar bilinebilen
gözlem değerlerine bağlıdır ve hata içerebilir.
Dα ( y − Tn −1[ y ])( x ) = f ( x, y ( x) )
(5.1a)
D k y (0) = y0(k ) , k = 0,1,..., n − 1
(5.1b)
denklemleri ile verilen b.d.p. nin kesin çözümü y ve n = ⎡α ⎤ olsun. Ayrıca bir f
fonksiyonu varsayalım öyle ki; Teorem 4.2’ nin hipotezlerini sağlasın. Bundan
dolayı, öyle bir [0, X ] aralığında sürekli bir tek y ∈ C [0, X ] çözümü var olsun. Bu
durumda, y çözümü ile perturbe olmuş verilen bilgi içeren, diğer b. d. p. nin
çözümünü karşılaştırırız. Verilen herhangi bir bilginin küçük ölçüde perturbe
edilmesi, çözümün de küçük ölçüde perturbe olmasına neden olur [8].
60
Lemma 5.1.1 (Gronwall Eşitsizliği):
α , Τ, ε1 , ε 2 ∈ R + olsun. Ayrıca δ : [0, Τ] → R fonksiyonunun, her x ∈ [0, Τ] için
ε2 x
δ ( x) ≤ ε1 +
( x − t )α −1 δ (t ) dt
∫
Γ(α ) 0
(5.2)
eşitsizliğini sağlayan sürekli bir fonksiyon olduğunu varsayalım. Bu durumda,
x ∈ [0, Τ] için
δ ( x) ≤ ε1Εα (ε 2 xα )
(5.3)
eşitsizliği geçerlidir [8]. Burada Εα ,α mertebeli Mittag-Leffler fonksiyonunu
göstermektedir.
İlk temel sonuç olarak, bir kesirli diferensiyel denklemin çözümünün başlangıç
değerlerine bağımlılığını inceleyelim:
Teorem 5.1.1:
y, (5.1) b.d.p. nin çözümü olsun ve z
Dα ( z − Tn −1[z ])( x) = f ( x, z ( x) )
(5.4a)
D k z (0) = z0( k ) , k = 0,1,..., n − 1
(5.4b)
b.d.p. nin çözümü olsun. Ayrıca,
ε := max y0( k ) − z0k
k = 0 ,1,..., n −1
tanımlayalım. Bu durumda, eğer ε yeteri kadar küçük ise öyle bir X > 0 vardır ki y
ve z fonksiyonlarının her ikisi de [0, X ] aralığında tanımlıdır ve
sup y ( x) − z ( x) = Ο
0≤ x ≤Χ
( max
k = 0,1,..., n −1
y0( k ) − z0( k )
)
61
dır [8].
İspat:
(5.1) b.d.p. nin yapısı gereği Teorem 4.2 den, bir tek çözümünün var olduğu öyle bir
boş olmayan [0, X ] aralığı vardır.
Benzer şekilde, Sonuç 4.1 de tanımlanan G kümesinin (4.5) b.d.p. ile ilgili olarak boş
olmadığı ve böylece bu problemin de, Teorem 4.2 den bir tek çözüme sahip olduğu
öyle bir [0, ∞ ) aralığının varolduğu açıktır. Şimdi, bu iki b.d.p. nde çözümlerin tek
olarak varolduğu iki aralığın daha küçüğü olarak [0, X ] aralığını alabiliriz.
δ ( x) := y ( x) − z ( x) fonksiyonunu tanımlayalım.
Gerek tamsayı mertebeli, gerekse kesir mertebeli türev operatörlerinin lineerlik
özelliğini kullanarak,
Dα (δ − Tn −1[δ ])( x) = Dα ( y − z − Tn −1[ y − z ])( x)
= Dα ( y − Tn −1[ y ])( x) − D α (z − Tn−1[ z ])( x)
= f ( x, y ( x ) ) − f ( x, z ( x ) )
D k δ (0) = D
k
( y − z ) (0) = D k y (0) − D k
z ( 0 ) = y 0( k ) − z 0( k ) , k = 0,1,..., n − 1
eşitlikleri elde edilir. Dolayısıyla buradan δ nın,
Dα (δ − Tn −1[δ ])( x) = f ( x, y ( x) ) − f ( x, z ( x) )
(5.5a)
D kδ (0) = y0( k ) − z0( k ) , k = 0,1,..., n − 1
(5.5b)
b.d.p. nin bir çözümü olduğu açıkça görülür.
Lemma 4.1 den, (5.5) b.d.p. n = ⎡α ⎤ olmak üzere
62
x
n −1
xk (k )
1
δ ( 0) +
( x − t )α −1 ( f (t , y (t ) ) − f (t , z (t ) ))dt
∫
Γ(α ) 0
k = 0 k!
δ ( x) = ∑
(5.6)
integral denklemine eşdeğerdir.
x
n −1
1
xk
δ ( x) = ∑ ( y0( k ) − z0( k ) ) +
( x − t )α −1 ( f (t , y (t ) ) − f (t , z (t ) ))dt
∫
Γ(α ) 0
k = 0 k!
(5.7)
eşitliğinde mutlak değerleri alıp, f fonksiyonu üzerindeki Lipschitz koşulunu
uygularsak,
x
n −1
xk (k ) (k )
1
( x − t )α −1 f ( t , y (t ) ) − f ( t , z (t ) ) dt
δ ( x) ≤ ∑ y0 − z0 +
∫
Γ(α ) 0
k =0 k !
≤ max y
k = 0 ,1,..., n −1
(k )
0
−z
(k )
0
x
n −1
Xk
L
+
( x − t )α −1 y (t ) − z (t ) dt
∑
∫
α
k
!
Γ
(
)
k =0
0
x
L
Χk
≤ ε∑
+
( x − t )α −1 δ (t ) dt
∫
k
!
Γ
(
α
)
k =0
0
n −1
= Ο (ε ) +
L
x
(x −t)
Γ (α ) ∫
α −1
δ (t ) dt
0
elde edilir. Burada L, f nin Lipschitz sabitidir. Böylece Lemma 5.1.1 den:
δ ( x ) ≤ Ο(ε ) E α (LX α ) = Ο(ε )
olur. Dolayısıyla
sup y ( x ) − z ( x ) = Ο⎛⎜ max y0(k ) − z0(k ) ⎞⎟
⎝ k = 0,1,..., n −1
⎠
0≤ x ≤ X
elde edilmiş olur [8].
Şimdi de diferensiyel denklemin sağ tarafında verilen
f
fonksiyonundaki
değişikliklerin, kesirli diferensiyel denklemin çözümüne etkisine bakalım:
63
Teorem 5.1.2:
(5.1) b.d.p nin çözümü y ve
~
Dα ( z − Tn −1[ z ])( x) = f ( x, z ( x) )
(5.8a)
D k z (0) = y0( k ) , k = 0,1,..., n − 1
(5.8b)
~
b.d.p. nin çözümü z olsun. Burada f nın, f fonksiyonu gibi aynı hipotezleri
sağladığını farzedelim. Ayrıca
~
ε := max f ( x1 , x2 ) − f ( x1 , x2 )
( x1 , x2 )∈G
olsun. Bu durumda, eğer ε yeteri kadar küçük ise, öyle bir X > 0 vardır ki y ve z
fonksiyonlarının her ikisi de [0, X ] aralığında tanımlıdır ve
~
⎛
⎞
sup y ( x ) − z ( x ) = Ο ⎜ max f ( x1 , x 2 ) − f ( x1 x 2 ) ⎟
0≤ x≤ X
⎝ ( x 1 , x 2 )∈ G
⎠
dir [8].
İspat:
(5.1) ve (5.8) b.d.p. lerinin her ikisinin de çözümlerinin varlığı ve tekliği hakkında
Teorem 5.1.1 de belirttiğimiz gibi, her iki b.d.p. nin çözümlerinin tek olarak
bulunduğu daha küçük aralık olarak [0, X ] aralığını alalım.
Tekrar, δ ( x) := y ( x) − z ( x)
tanımlayalım.
Türev operatörünün lineerliğinden,
Dα (δ − Tn −1[δ ])( x) = Dα δ (x) − Dα Tn −1[δ ]( x)
= Dα ( y ( x) − z ( x) ) − Dα Tn −1[ y − z ]( x)
64
= Dα ( y − Tn −1[ y ])( x) − Dα ( z − Tn−1[ z ])( x)
~
= f ( x, y ( x ) ) − f ( x, z ( x ) )
D kδ (0) = D
k
( y − z ) (0) = D k y (0) − D k z (0) = y0( k ) − y0( k ) = 0 ,
k = 0,1,..., n − 1
elde edilir. Görülüyor ki, δ fonksiyonu
~
Dα (δ − Tn −1[δ ])( x) = f ( x, y ( x) ) − f ( x, z ( x) )
(5.9a)
D k δ (0) = 0 ,
(5.9b)
k = 0,1,..., n − 1
b.d.p. nin bir çözümüdür. Ayrıca, (5.9) b.d.p. n = ⎡α ⎤ olmak üzere
x
⎛
⎞
~
x k (k )
1
α −1
⎜
⎟dt
(
)
(
)
δ ( x) = ∑ δ (0) +
(
x
t
)
f
t
,
y
(
t
)
f
t
,
z
(
t
)
−
−
∫
⎜
⎟
α
k
!
(
)
Γ
k =0
0
⎝
⎠
n −1
(5.10)
integral denklemine eşdeğerdir.
D k δ (0) = δ (k ) (0) = 0 olduğundan, (5.10) denklemi
x
⎛
⎞
~
1
α −1
⎜
⎟dt
(
)
(
)
δ ( x) =
(
x
t
)
f
t
,
y
(
t
)
f
t
,
z
(
t
)
−
−
⎜
⎟
Γ(α ) ∫0
⎝
⎠
denklemine indirgenir. (5.11) eşitliğinde her iki tarafın mutlak değerini alıp, f
~
ve f fonksiyonları üzerindeki Lipschitz koşullarını kullanırsak,
x
~
1
δ (x) ≤
( x − t )α −1 f (t , y (t ) ) − f (t , z (t ) )dt
∫
Γ(α ) 0
x
⎛
⎞
~
1
α −1 ⎜
⎟dt
(
)
(
)
(
)
(
)
≤
−
−
+
−
(
x
t
)
f
t
,
y
(
t
)
f
t
,
z
(
t
)
f
t
,
z
(
t
)
f
t
,
z
(
t
)
⎜
⎟
Γ(α ) ∫0
⎝
⎠
x
1
=
( x − t )α −1 f (t , y (t ) ) − f (t , z (t ) )dt
∫
Γ(α ) 0
(5.11)
65
x
+
~
1
( x − t )α −1 f (t , z (t ) ) − f (t , z (t ) )dt
∫
Γ(α ) 0
ε
L
≤
( x − t )α −1 y (t ) − z (t ) dt +
( x − t )α −1 dt
∫
∫
Γ(α ) 0
Γ(α ) 0
x
x
εX α
L
α −1
x
t
t
dt
≤
(
−
)
(
)
+
δ
Γ(α ) ∫0
Γ(α + 1)
x
= Ο (ε ) +
L
x
(x −t)
Γ (α ) ∫
α −1
δ (t ) dt
0
Lemma 5.1.1 den;
δ ( x ) ≤ Ο(ε ) E α (LX α ) = Ο(ε )
elde edilir. Dolayısıyla
~
sup y ( x ) − z ( x ) = Ο⎛⎜ max f ( x1 , x2 ) − f ( x1 , x2 ) ⎞⎟
⎝ ( x1 , x 2 )∈G
⎠
0≤ x ≤ X
istenen sonuç olarak bulunur [8].
Son olarak, diferensiyel denklemin mertebesindeki bir değişikliğin, kesirli
diferensiyel denklemin çözümüne etkisini
araştıralım. Burada, özellikle dikkatli
olunması gerekir. Çünkü diferensiyel denklemin mertebesindeki değişiklik, verilen
başlangıç değerlerinin sayısında bir değişikliğe yol açabilir.
Teorem 5.1.3:
(5.1) b.d.p. nin çözümü y olsun ve z ,
Dα ( z − Tn −1[ z ])( x) = f ( x, z ( x) )
(5.12a)
D k z (0) = y0( k ) , k = 0,1,..., n~ − 1
(5.12b)
~
b.d.p. nin çözümü olsun. Burada α~ > α ve n~ := ⎡α~ ⎤ dır. Ayrıca ε := α% − α olsun ve
66
⎧⎪
ε * := ⎨
0
{
}
, n = n%
(k )
⎪⎩max y0 : n ≤ k ≤ n% − 1
ise
, diğer durumlarda
tanımlayalım.
Bu durumda, eğer ε ve ε ∗ , yeteri kadar küçük ise, öyle bir X > 0 vardır ki y ve z
fonksiyonlarının her ikisi de [0, X ] üzerinde tanımlıdır ve
( {
}})
{
sup y ( x) − z ( x) = Ο(α% − α ) + Ο max 0, max y0( k ) : n ≤ k ≤ n% − 1
0≤ x ≤Χ
dir [8].
İspat:
(5.1) ve (5.12) b.d.p. lerinin çözümlerinin varlık ve tekliği ile ilgili olarak , Teorem
5.1.1. de belirtildiği gibi, her iki b.d.p. nin çözümlerinin tek olarak bulunduğu daha
küçük aralık olarak [0, X ] aralığını alalım.
δ ( x) := y ( x) − z ( x) tanımlayalım. (5.1) ve (5.12) b.d.p. lerinin Lemma 4.1’ e göre,
eşdeğer integral denklemlerini yazarsak:
n −1
δ ( x) = ∑
k =0
x
n% −1 k
xk (k )
1
x (k )
α −1
(
)
,
(
)
y0 +
x
−
t
f
t
y
t
dt
−
y0
(
)
∑
∫
k!
Γ(α ) 0
k =0 k !
x
−
n~ −1
= −∑
k =n
n% −1
x
~
1
( x − t )α −1 f (t , z (t ) )dt
∫
~
Γ(α ) 0
x
x k (k )
1
1
α −1
α~ −1
(
)
y0 +
(
x
−
t
)
f
t
,
y
(
t
)
dt
−
(
x
−
t
)
f (t , z (t ) )dt
k!
Γ(α ) ∫0
Γ(α~ ) ∫0
x
xk (k )
1
y0 +
( x − t )α −1 ( f ( t , y (t ) ) − f ( t , z (t ) ) ) dt
∫
Γ(α ) 0
k =n k !
= −∑
x
x
~
1
1
+
( x − t )α −1 f (t , z (t ) )dt − ~ ∫ ( x − t )α −1 f (t , z (t ) )dt
∫
Γ(α ) 0
Γ(α ) 0
67
x
n% −1
xk (k )
1
y0 +
( x − t )α −1 ( f ( t , y (t ) ) − f ( t , z (t ) ) ) dt
∫
k
!
(
)
α
Γ
k =n
0
= −∑
~
⎛ ( x − t )α −1 ( x − t )α −1 ⎞
+ ∫ ⎜⎜
−
~ ) ⎟⎟ f (t , z (t ) )dt
(
α
α
(
)
Γ
Γ
⎠
⎝
0
x
Mutlak değerler alınıp, f ’ nin Lipschitz özelliği kullanılırsa:
n~ −1
x
Χ k (k )
L
y0 +
( x − t )α −1 y (t ) − z (t ) dt
∫
Γ(α ) 0
k = n k!
δ ( x) ≤ ∑
~
( x − t )α −1 ( x − t )α −1
+ max f ( x1 , x2 ) ∫
−
dt
( x1 , x2 )∈G
Γ(α )
Γ(α~ )
0
x
x
L
≤ Ο(ε ) +
( x − t )α −1 δ (t ) dt
∫
Γ(α ) 0
*
~
( x − t )α −1 ( x − t )α −1
+ max f ( x1 , x2 ) ∫
−
dt
( x1 , x2 )∈G
Γ(α )
Γ(α~ )
0
x
(5.13)
elde edilir. (5.13) eşitsizliğindeki ikinci integrali
x
∫
0
~ t=x
~
( x − t )α −1 ( x − t )α −1
( x − t )α ( x − t )α
dt
−
=
−
+
Γ(α )
Γ(α~ )
αΓ(α ) α~Γ(α~ )
t =0
~
xα
xα
=
− ~
Γ(α + 1) Γ(α + 1)
~
Xα
Xα
= Ο(α% − α ) = Ο ( ε )
≤
− ~
Γ(α + 1) Γ(α + 1)
şeklinde sınırlandırabiliriz.
O halde, (5.13) eşitsizliği;
δ ( x) ≤ Ο(ε ) + Ο(ε * ) +
x
L
( x − t )α −1 δ (t ) dt
∫
Γ(α ) 0
şekline gelir. Böylece istenen sonuç, Lemma 5.1.1’ den:
δ ( x ) ≤ Ο(ε ) + Ο(ε ∗ ) E α (LX α )
68
( {
}})
{
= Ο(ε ) + Ο max 0, max y0( k ) : n ≤ k ≤ n% − 1
bulunur. Dolayısıyla
( {
{
}})
sup y ( x ) − z ( x ) = Ο(α~ − α ) + Ο max 0, max y0(k ) : n ≤ k ≤ n~ − 1
0≤ x ≤ X
şeklinde, istenen elde edilir [8].
Teorem 5.1.3 ün iki önemli özel durumu vardır [8]:
Sonuç 5.1.1:
Teorem 5.1.3 ün hipotezlerini varsayalım. Ayrıca n~ = n olsun. Bu durumda,
sup y ( x) − z ( x) = Ο (α% − α )
0≤ x ≤Χ
dır [8].
Sonuç 5.1.2:
Teorem
5.1.3
ün
hipotezlerini
varsayalım.
y0( k ) = 0, k = n, n + 1,..., n% − 1 olsun. Bu durumda
sup y ( x) − z ( x) = Ο (α% − α )
0≤ x ≤Χ
dır [8].
Ayrıca
n~ > n
olsun
ve
69
6. ÇOK ADIMLI METODLAR
6.1. Diferensiyel Denklemler ve Çok Adımlı Metodlar [7]:
Bu bölümde, verilen bir başlangıç koşulu ile birinci mertebeden diferensiyel
denklemler için klasik Adams-Bashforth-Moulton algoritmasının, kesirli denklemlere
genelleştirilmesi incelenecektir:
Bu amaçla, ilk olarak birinci mertebeden bir diferensiyel denklem içeren b.d.p
olarak,
Dy ( x) = f (x, y ( x) )
(6.1a)
y (0) = y0
(6.1b)
problemi göz önüne alınacaktır.
Öyle bir f fonksiyonu varsayalım ki, (6.1) b.d.p nin [0, X ] aralığında bir tek
çözümü var olsun.
N ∈ Ν olmak üzere h =
X
adım ölçüsü ile x j = jh, j = 0,1,..., N düğüm noktaları
N
üzerinde çalıştığımızı varsayalım. Bazı uygulamalar için, adım uzunluklarının eşit
olmadığı durumlar, daha etkili olabilir. Bu yüzden nümerik yaklaşım formüllerini
genelleştirmede adım uzunluklarının eşit olmadığı durumda davranıp, daha sonra
elde ettiğimiz sonuçlar eşit aralıklı duruma kısıtlanacaktır.
Esas olarak yapmaya çalışılan şey, önceden hesaplanmış
y j ≈ y ( x j ), j = 1,2,..., k
yaklaşımları olduğunu varsayarak,
yk +1 = y ( xk +1 ) = y ( xk ) +
xk +1
∫ f (z, y( z ))dz
xk
(6.2)
70
şeklinde belirleyeceğimiz yk +1 yaklaşımlarını elde etmek olacaktır.
Bu denklem, [xk , xk +1 ] aralığı üzerinde (6.1a) nın integrasyonu ile bulunur. Ancak,
(6.2) nin sağ tarafındaki ifadelerin hiçbirini tam olarak bilemeyiz. Bununla beraber,
y ( xk ) = yk için bir yaklaşım elde ederiz. Bu elde ettiğimiz yaklaşımı denklemde
yerine kullanabiliriz. İntegral bu durumda,
b
∫ g ( z )dz ≈
a
b−a
(g (a) + g (b) )
2
(6.3)
şeklinde olan iki-nokta yamuk alan formülü ile değiştirilir. Böylece yk +1 bilinmeyen
yaklaşımı için
yk +1 = yk +
xk +1 − xk
( f ( xk , y( xk )) + f ( xk +1 , y( xk +1 ) ) )
2
(6.4)
şeklinde bir denklem elde edilir. Burada y ( xk ) ve y ( xk +1 ) , sırasıyla yaklaşık
değerleri olan yk ve yk +1 ile değiştirilir. Bu,
yk +1 = yk +
xk +1 − xk
( f ( xk , yk ) + f ( xk +1 , yk +1 ) )
2
(6.5)
şeklinde olan bir- adımlı Adams - Moulton metodunun (kapalı metod) denklemini
sağlar. Problemi, bu denklemin her iki tarafında yk +1 bilinmeyen ifadesinin
bulunması ve
f
fonksiyonunun lineer olmayan yapısı nedeniyle, yk +1 için
çözemeyiz. Bu nedenle, bu durumda daha iyi bir yaklaşım belirlemek amacıyla, sağ
tarafta yk +1 için,
içine bir başlangıç yaklaşımı koyabildiğimiz tekrarlayıcı bir
süreçte, (6.5) yineleme formülü kullanılır.
Başlangıç yaklaşımı olarak kullanacağımız ykp+1 ifadesine deneme denir. ykp+1
yaklaşımı da (6.2) de sağ taraftaki integral yerine
71
b
∫ g ( z )dz ≈ (b − a) g (a)
(6.6)
a
şeklindeki dikdörtgen kuralını koyarak, çok benzer bir yolla elde edilir. Bu da,
ykp+1 = yk + ( xk +1 − xk ) f (xk , y ( xk ) )
(6.7)
şeklinde olan bir-adımlı Adams-Bashforth metodunu (açık metod veya ileri Euler
metodu) verir. (6.7) ile yineleme formülü ,
y k +1 = y k +
(
(
h
f ( xk , yk ) + f xk +1 , ykp+1
2
))
(6.8)
şeklinde bir-adımlı Adams-Bashforth-Moulton tekniği olarak bilinir. Bu yöntem
ikinci mertebeden yakınsaktır, yani
( )
max y (x j ) − y j = Ο h 2
j =1, 2 ,.., k
(6.9)
dur. Ayrıca, bu metod yeterli ölçüde nümerik kararlılık gösterir. Bu metod için PECE
(predict, evaluate, correct, evaluate) tipli olduğu söylenir. Çünkü somut bir
uygulamada Eş.(6.7)deki deneme değeri hesaplanarak başlanacak, bu durumda
(
)
f xk +1 , ykp+1 değerlendirilecek, (6.8) eşitliğinde düzeltmeyi hesaplamak için bu son
değer kullanılacak ve en son olarak da f ( xk +1 , yk +1 ) değerlendirilecektir. Bu elde
edilen sonuç, bir sonraki integrasyon adımında kullanılacaktır [8].
6.2. Kesirli Diferensiyel Denklemler İçin Çok Adımlı Metodlar:
Şimdi de, kesirli bir diferensiyel denklemi çözmek için, klasik Adams-BashforthMoulton deneme-düzeltme metodunu, üzerinde kaçınılmaz bazı değişikler ile kesirli
durum için formüle edelim.
α > 0,α ∉ Ν ve n = ⎡α ⎤ olsun. f ∈ C n [0, X ] ve x ∈ [0, X ] olduğunu varsayalım.
72
Dα ( y − Tn −1 [ y ])( x) = f ( x, y ( x))
(6.10a)
D k y (0) = y0( k ) , k = 0,1,..., n − 1
(6.10b)
b.d.p. ne eşdeğer olan
x
n −1
xk (k )
1
y ( 0) +
( x − t )α −1 f (t , y (t ) )dt
∫
Γ(α ) 0
k = 0 k!
y ( x) = ∑
(6.11)
integral denklemini alalım.
[0, X ]
aralığı üzerinde (6.11) denkleminin bir tek çözümü olduğunu ve N ∈ Ν için
x0 = 0, xN = X olacak şekilde h =
X
adım ölçüsü ile x j = jh, j = 0,1,..., k + 1 eşit
N
mesafeli düğüm noktalarını kullanarak nümerik çözümü bulmaya çalıştığımızı
varsayalım.
y j ≈ y (x j ), j = 1,2,..., k yaklaşımlarını önceden hesaplamış olduğumuzu düşünelim.
Ana fikir, kesikli bir formül ile (6.11) denklemini yer değiştirerek yk +1 çözümünü
elde etmektir.
(xk +1 − .)α −1
ağırlık fonksiyonuna göre alınan düğüm noktaları
x j , j = 0,1,..., k + 1 olmak üzere, (6.11) eşitliğindeki integralin yerine yamuk alan
formülü çarpımını kullanırız. Başka bir deyişle x j , j = 0,1,..., k + 1 de seçilen düğüm
noktaları ile g fonksiyonu için parçalı lineer interpolasyon fonksiyonu g~k +1 olmak
üzere
xk +1
xk +1
α −1
α −1 ~
∫ (xk +1 − z ) g ( z )dz ≈ ∫ (xk +1 − z ) g k +1 ( z )dz
0
(6.12)
0
yaklaşımını uygularız. g integrantı, gerekli ağırlıklı yamuk alan formülünü, x j
noktalarındaki fonksiyon değerlerinin bir ağırlıklı toplamı olarak gösterir. Yani
(6.12) nin sağ tarafındaki integral
73
xk +1
k +1
α −1 ~
a j ,k +1 g ( x j )
∫ (xk +1 − z ) g k +1 ( z )dz = ∑
j =0
(6.13)
0
olarak yazılabilir. Burada
a j ,k +1 =
xk +1
∫ (x
− z)
α −1
0/ j ,k +1 ( z )dz
(6.14)
⎧( z − x j −1 ) / ( x j − x j −1 ) , x j −1 < z ≤ x j ise
⎪
⎪
0/ j ,k +1 ( z ) = ⎨( x j +1 − z ) / ( x j +1 − x j ) , x j < z < x j +1 ise
⎪
0
, diğer
⎪⎩
(6.15)
k +1
0
ve
dir. 0/ j ,k +1 fonksiyonları,
⎧0, j ≠ µ ise
0/ j ,k +1 (xµ ) = ⎨
⎩1, j = µ ise
durumunu sağlar. 0/ j ,k +1 ( z ) fonksiyonları, xµ düğüm noktaları ile belirlenmiş kopuk
noktalar ile parçalı lineer ve süreklidirler. Bu nedenle de formülümüz tarafından
kesinlikle integralleri alınabilir.
(6.15) den, keyfi bir x j seçip (6.14) de hesaplama yaparsak,
(x − x )
= k +1 1
+ xkα+1 (α x1 + x1 − xk +1 )
α (α + 1) x1
α +1
j = 0 için: a0,k +1
(6.16a)
1 ≤ j ≤ k için:
a j ,k +1 =
(x
k +1
− x j −1 )
α +1
+ ( xk +1 − x j ) ⎡⎣α ( x j −1 − x j ) + x j −1 − xk +1 ⎤⎦
α (α + 1) ( x j − x j −1 )
α
(x
+
k +1
− x j +1 )
α +1
[
− (xk +1 − x j ) α (x j − x j +1 ) − x j +1 + xk +1
α
α (α + 1)(x j +1 − x j )
]
(6.16b)
74
j = k + 1 için: ak +1,k +1 =
(xk +1 − xk )α
(6.16c)
α (α + 1)
ifadelerini elde ederiz.
Eğer, h sabit adım uzunluğu ile x j = jh, j = 0,1,..., k + 1 eşit mesafeli düğüm
noktalarını kullanırsak, (6.16) bağlantıları
⎧ hα
α +1
α
, j = 0 ise
⎪ α(α +1) ⎡⎣k − (k −α)(k +1) ⎤⎦
⎪
⎪⎪ hα
⎡( k − j + 2)α+1 + (k − j)α+1 − 2(k − j +1)α+1 ⎤ ,1≤ j ≤ k ise
aj,k+1 = ⎨
⎣
⎦
⎪α(α +1)
⎪ hα
, j = k +1 ise
⎪
⎩⎪ α(α +1)
(6.17)
şekline indirgenir.
Bu durumda, düzeltme formülümüz (yani bir-adımlı Adams-Moulton metodunun
kesirli diferensiyel denklemlerdeki biçimi) olan
⎤
xkj+1 ( j )
1 ⎡k
p
y0 +
⎢∑ a j ,k +1 f (x j , y j ) + ak +1,k +1 f xk +1 , yk +1 ⎥
Γ(α ) ⎣ j =0
j = 0 j!
⎦
(
n −1
yk +1 = ∑
)
(6.18)
formülü elde edilir.
Şimdi de, ykp+1 değerini hesaplayabilmek için yukarıda açıkladığımız AdamsMoulton tekniğinde olduğu gibi davranıp, bir-adımlı Adams-Bashforth metodunu
genelleştirerek kesirli diferensiyel denklemler için deneme formülünü elde edelim:
Bunu yapmak için, Eş. (6.11) in sağ tarafındaki integral yerine, dikdörtgen kuralı
çarpımını kullanalım:
xk +1
k
α −1
b j ,k +1 g ( x j )
∫ (xk +1 − z ) g ( z )dz ≈ ∑
j =0
0
(6.19)
75
dir. Burada
x j +1
∫ (x
bj ,k +1 =
(x
dz =
−z )
α −1
k +1
k +1
− x j ) − ( xk +1 − x j +1 )
α
α
α
xj
(6.20)
dir. Bu b j ,k +1 ağırlıkları da, (6.16) nın türetilmesinde kullanılan metoda benzer bir yol
ile türetilebilir. Bununla birlikte, burada parçalı fakat parçalı lineer olmayan sabit bir
yaklaşım şeklinde davranırız. Bu nedenle [0, xk +1 ] aralığının değişmeyen
parçaları üzerinde 0 ve [ x j , x j +1 ] üzerinde 1 sabit değeri için bulunan fonksiyonlar
ile birlikte 0/ kj fonksiyonlarını yerine yazarız.
x j = jh, j = 0,1,..., k + 1 eşit mesafeli durumunda, daha basit olarak
b j ,k +1 =
[(k + 1 − j )
α
hα
α
− (k − j )
α
]
(6.21)
ifadesini elde ederiz.
Bu durumda ykp+1 denemesi, kesirli Adams-Bashforth metodu ile
n −1
xkj+1 ( j )
1 k
y0 +
∑ b j ,k +1 f ( x j , y j )
Γ(α ) j =0
j = 0 j!
ykp+1 = ∑
(6.22)
şeklinde belirlenmiş olur.
Böylece temel algoritmamız, kesirli Adams-Bashforth-Moulton metodu, sırasıyla
(6.16) ve (6.20) eşitliklerine uyarak tanımlanmış olan a j ,k +1 ve b j ,k +1 ağırlıkları ile
(6.18) ve (6.22) denklemleri tarafından tam olarak ifade edilmiş olur [24].
6.3. Hata Analizi
Bu algoritmanın hata analizi için, N ∈ Ν olmak üzere
76
x j = jh =
jX
N
eşit mesafeli durumunu göz önüne alalım. Bunun için, deneme
(predictor) ve düzeltme (corrector) nin türetilmesinde kullandığımız alan
formüllerinin hataları üzerinde bazı bilgilere ihtiyaç duyarız.
İlk olarak, deneme için kullandığımız dikdörtgen kuralı çarpımı üzerine bir açıklama
verelim [8]:
(6.10) b.d.p. nde, α > 0 , α ∉ Ν , n = ⎡α ⎤ , x ∈ [0, X ] olduğunu hatırlayalım ve
z ( x) := f ( x, y ( x) ) fonksiyonunu tanımlayalım.
Teorem 6.3.1. [8]:
(a) z ∈ C1 [0, X ] olsun. Bu durumda,
xk +1
k
1
α −1
b j ,k +1 z ( x j ) ≤
∫ (xk +1 − x ) z ( x)dx − ∑
α
j =0
z′ ∞ xkα+1h
0
eşitsizliği geçerlidir.
(b) z ( x) = x p , p ∈ (0,1) olsun. Bu durumda,
xk +1
k
α −1
b j ,k +1 z ( x j ) ≤ CαRe,p xkα++1p −1h
∫ (xk +1 − x ) z ( x)dx − ∑
j =0
0
eşitsizliği geçerlidir. Burada CαRe,p , sadece α ve p ye bağlı olan bir sabittir.
İspat:
Dikdörtgen formülü çarpımının yapısı ile, her iki durumda, alan hesabı hatasının
xk +1
∫ (x
k +1
0
k
k x j +1
− x) z( x)dx − ∑bj ,k +1z( x j ) = ∑ ∫ ( xk +1 − x)
α −1
j =0
j =0 x j
α −1
(z(x) − z(x ))dx
j
(6.23)
77
gösterimine sahip olduğunu buluruz.
(a) yı ispatlamak için, Eş. (6.23) ün sağ tarafındaki integrandın ikinci çarpanına
Teorem 2.1.2 yi uygularız ve aşağıdaki türetmeyi yaparız:
xk +1
∫ (x
k +1
0
− x)
α −1
k
z ( x)dx − ∑ b j ,k +1 z ( x j ) =
j =0
k x j +1
k +1
− x)
(z( x) − z( x ))dx
k +1
− x)
z ' (x ) (x − x j )dx
∑ ∫ (x
j =0 x j
k
≤∑
x j +1
∫ (x
j =0 x j
≤ z′
α −1
α −1
k ( j +1) h
∞
∑ ∫ (x
j =0
k +1
j
− x)
α −1
( x − x j )dx
(6.24)
jh
xk +1 − x = u dönüşümü ile (6.24) eşitsizliğinden:
k
= z′ ∞ ∑
h( k − j )
α
∫ u [− (k + 1)h + u + jh]du
−1
j = 0 h ( k +1− j )
= z′ ∞
hα +1
α
∑ ⎢⎣α + 1 ((k + 1 − j )α
k
⎡ 1
j =0
+1
⎤
− (k − j )α +1 ) − (k − j )α ⎥
⎦
= z′ ∞
⎤
hα +1 ⎡ k (k + 1 − j )α +1 − (k − j )α +1 k
− ∑ (k − j )α ⎥
⎢∑
α ⎣ j =0
α +1
j =0
⎦
= z′ ∞
hα +1 ⎡ (k + 1)α +1 k α ⎤
−∑ j ⎥
⎢
α ⎣ α +1
j =0
⎦
= z′ ∞
k +1
k
⎤
hα +1 ⎡ α
x
dx
jα ⎥
−
⎢∫
∑
α ⎣0
j =0
⎦
≤ z′ ∞
=
1
α
hα +1
α
(k + 1)α
z′ ∞ xkα+1h
istenilen eşitsizlik elde edilmiş olur.
(6.25)
78
(6.25) ifadesinde parantez içindeki terim, [0, k + 1] aralığında alınan ve sadece xα
fonksiyonuna uygulanan standart dikdörtgen alan formülünün kalan terimidir.
İntegrand monoton olduğudan, parantez içi, integrandın toplam farkı ile (yani
(k + 1)α çokluğu ile) sınırlıdır [8].
(b) nin ispatı da benzer şekilde, Eş. (6.23) te z nin monotonluğu kullanılarak ve
Teorem 2.1.2 uygulanarak yapılabilir [8].
Şimdi de, düzeltme için kullandığımız yamuk formülü çarpımı için karşılık gelen
sonucu verelim:
Teorem 6.3.2. [8]:
(a) z ∈ C 2 [0, X ] ise bu durumda sadece α ya bağlı olan bir C αTr sabiti vardır öyle ki
xk +1
k +1
α −1
a j ,k +1 z ( x j ) ≤ CαΤr
∫ (xk +1 − x ) z ( x)dx − ∑
j =0
z′′ ∞ x k +α1h 2
0
eşitsizliği geçerlidir.
(b) z ∈ C 1 [0, X ] olsun ve z′ nün µ ∈ (0,1) için µ mertebeli Lipschitz koşulunu
yerine getirdiğini varsayalım. Bu durumda, sadece α ve µ ye bağlı olan βαΤ,rµ ve
sadece z ve µ ye bağlı olan Μ ( z , µ ) pozitif sabitleri vardır öyle ki
xk +1
∫ (x
k +1
− x)
α −1
k +1
z ( x)dx − ∑ a j ,k +1 z ( x j ) ≤ BαΤ,rµ Μ ( z , µ ) xkα+1h1+ µ
j =0
0
eşitsizliği geçerlidir.
(c) z ( x) = x p , p ∈ (0,2) ve ρ := min(2, p + 1) olsun. Bu durumda
xk +1
∫ ( xk +1 − x )
0
α −1
k +1
z ( x)dx − ∑ a j ,k +1 z ( x j ) ≤ CαΤ,rp xkα++1p − ρ h ρ
j =0
79
eşitsizliği geçerlidir. Burada CαΤ,rp , sadece α ve p ye bağlı bir sabittir.
Buraya kadar belirttiğimiz hata tahminlerine dayanarak, şimdi de Adams-BashforthMoulton metodu için genel bir yakınsama sonucu verelim:
Lemma 6.3.1:
(6.10) b.d.p. nin y çözümü olduğunu varsayalım öyle ki γ 1 , γ 2 ≥ 0 ve δ1 , δ 2 > 0
olmak üzere
xk +1
k
α −1 α
b j ,k +1D*α0 y ( x j ) ≤ C1 x k +γ1hδ
∫ (xk +1 − x ) D*0 y( x)dx − ∑
j =0
1
1
0
xk +1
k +1
α −1 α
a j ,k +1D*α0 y ( x j ) ≤ C2 x k +γ 1hδ
∫ (xk +1 − x ) D*0 y( x)dx − ∑
j =0
2
2
0
olsun. Bu durumda, seçilen bazı uygun X > 0 için q = min{δ1 + α , δ 2 } ve h =
X
N
olmak üzere
max y ( x j ) − y j = Ο(h q )
0≤ j ≤ N
(6.26)
dır [8].
İspat:
Göstereceğiz ki, yeteri kadar küçük h ve her j ∈ {0,1,..., N } için
y ( x j ) − y j ≤ Ch q
(6.27)
dur. Burada C, uygun bir sabittir. İspat, matematiksel tümevarıma dayalı olacaktır.
80
Verilen başlangıç koşulunu gözönünde tutarak, tümevarım tabanı ( j = 0) önceden
belirtilmiştir. Şimdi (6.27) eşitsizliğinin j = 0,1,..., k , k ≤ N − 1 için doğru olduğunu
j = k +1
varsayalım. Bu durumda,
için de eşitsizliğin geçerli olduğunu
ispatlamalıyız. Bunu yapmak için önce, ykp+1 denemesinin hatasına bakarız. Deneme
formülünün yapısı kullanılarak,
y ( xk +1 ) − y
p
k +1
1
=
Γ(α )
≤
1
Γ(α )
xk +1
k
α −1
b j ,k +1 f ( x j , y j )
∫ (xk +1 − x ) f (x, y( x))dx − ∑
j =0
0
xk +1
∫ ( xk +1 − x )
α −1
k
D*0α y ( x)dx − ∑ b j ,k +1 D*0α y ( x j )
j =0
0
+
f
Burada,
1 k
∑ b j ,k +1 f (x j , y( x j )) − f ( x j , y j )
Γ(α ) j =0
≤
C1 xkγ1+1 δ1
1 k
h +
∑ b j ,k +1L.C.hq
Γ(α )
Γ(α ) j =0
=
x
⎤
C1 xkγ 1+1 δ1
1 ⎡ k +1
α −1
q
h +
⎢ ∫ (xk +1 − x ) dx ⎥ L.C.h
Γ(α )
Γ(α ) ⎢⎣ 0
⎥⎦
=
C1 xkγ 1+1 δ1
1 xkα+1
h +
L.C.h q
Γ(α )
Γ(α ) α
=
C1 xkγ 1+1 δ1
L.C
h +
xkα+1h q
Γ(α )
Γ(α + 1)
≤
C1 X γ 1 δ 1 CLX α q
h +
h
Γ(α )
Γ(α + 1)
(6.28)
nin Lipschitz özelliğini, dikdörtgen formülünün hatası üzerindeki
varsayımı ve alan hesabı formülünün altında bulunan deneme formülü yapısı ile her
j , k için b j ,k +1 > 0, X in çözüm için baktığımız aralığın üst sınırı olduğunu ve
dolayısıyla
k
∑b
j =0
j ,k +1
=
xk +1
α
α
x
X
α −1
∫0 (xk +1 − x ) dx = αk +1 ≤ α
81
olduğunu kullandık.
Deneme hatası için, (6.28) sınırının tabanı üzerinde, düzeltme hatasının analizine
başlayalım. Özellikle j = k + 1 için kullacağımız (6.17) bağıntısını hatırlayalım.
Yukarıdaki yaptığımıza benzer bir yol izleyerek:
y ( xk +1 ) − yk +1
1
=
Γ(α )
xk +1
∫ (x
k +1
− x)
α −1
f ( x, y ( x) )dx
0
k
− ∑ a j ,k +1 f ( x j , y j ) − ak +1,k +1 f ( xk +1 , ykp+1 )
j =0
1
≤
Γ(α )
≤
x k +1
k +1
0
j =0
α −1 α
α
∫ (xk +1 − x ) D*0 y( x) − ∑ a j , k +1D*0 y( x j )
+
1 k
∑ a j ,k +1 f (x j , y(x j )) − f (x j , y j )
Γ(α ) j =0
+
1
ak +1,k +1 f ( xk +1 , y ( xk +1 )) − f xk +1 , ykp+1
Γ(α )
(
)
C2 xkγ +2 1 δ 2
CL q k
L ⎛ C1 X γ 1 δ1 CLX α q ⎞
⎜
h +
h ∑ a j , k +1 + ak +1, k +1
h +
h ⎟
Γ(α )
Γ(α ) j = 0
Γ(α ) ⎜⎝ Γ(α )
Γ(α + 1) ⎟⎠
C2 xkγ +2 1 δ 2
CL q xkα+1
C1LX γ 1
CL2 X α
α +δ1
h +
h
h
hα + q
=
+
+
α
Γ(α )
Γ(α )
Γ(α )Γ(α + 2 )
Γ(α + 1)Γ(α + 2)
C2 X γ 2 δ 2
CLX α q
C1LX γ 1
CL2 X α
h +
h +
hα +δ 1 +
hα + q
≤
Γ(α )
Γ(α + 1)
Γ(α )Γ(α + 2)
Γ(α + 1)Γ(α + 2)
⎛ C2 X γ 2
⎞
CLX α
C1LX γ 1
CL2 X α
⎜
≤⎜
+
+
+
hα ⎟⎟h q
⎝ Γ(α ) Γ(α + 1) Γ(α )Γ(α + 2 ) Γ(α + 1)Γ(α + 2 ) ⎠
(6.29)
olduğunu buluruz. (6.29) ifadesini, γ 1 , γ 2 ≥ 0, δ1 , δ 2 > 0,
δ1 + α ≤ q ⇒ δ1 ≤ q
ve δ 2 ≤ q
ifadelerinden yararlanarak oluşturduk. (6.29) eşitsizliğinin, parantez içindeki
terimlerinden, seçeceğimiz uygun X , C ve h değerleri için, en üst sınırının Ch q
değerini geçmeyeceğini görürüz. Yani (6.29) eşitsizliği:
82
y ( xk +1 ) − yk +1 ≤ Ch q
biçimine gelir. O halde her j=0,1,…,N için y (x j ) − y j ≤ Ch q oluyorsa
( )
max y (x j ) − y j = Ο h q
0≤ j ≤ N
elde edilir [8].
Bu lemmanın bir uygulaması olarak, b.d.p. nde y çözümünün yeteri kadar
diferensiyellenebilir olduğunu kabul edelim. Sonuç α > 1 veya α < 1 e bağlı olur.
Teorem 6.3.3.[8]:
α > 0 olsun ve uygun X için D*α0 y ∈ C 2 [0, X ] olduğunu varsayalım. Bu durumda,
⎧Ο(h1+α ) ,α < 1 ise
max y ( x j ) − y j = ⎨
2
0≤ j ≤ N
⎩ Ο(h ) ,α ≥ 1 ise.
(6.30)
İspat:
Teorem 6.3.1 ve Teorem 6.3.2 den dolayı γ 1 = γ 2 = α > 0 , δ1 = 1 ve δ 2 = 2 olmak
üzere Lemma 6.3.1 i uygulamalıyız. Böylece,
⎧1 + α ,α < 1 ise
q = min{δ1 + α , δ 2 } = min{1 + α ,2} = ⎨
⎩ 2 ,α ≥ 1 ise
tanımlayarak, bir Ο(h q ) hata sınırı buluruz [8].
Uyarı 6.3.1:
Eğer α = 1 alırsak, (6.9) hata sınırını biçimsel olarak yeniden elde ederiz.
83
Teorem 6.3.4:
0 < α < 1 olsun ve uygun X için y ∈ C 2 [0, X ] olduğunu varsayalım. Bu durumda
1 ≤ j ≤ N için
1
h1+α ,0 < α < için
2
y ( x j ) − y j ≤ Cxαj −1 ×
1
h 2 −α , ≤ α < 1için
2
(6.31)
dir. Burada C, j ve h dan bağımsız bir sabittir [8].
Böylece, bütün α > 0 seçimleri için açıklanan metod, eğer y veya D*α0 y den biri
[0, X ] üzerinde en azından iki kez sürekli diferensiyellenebilir ise en azından birine
göre bir yakınsama mertebesi verir.
Dolayısıyla,
kesirli
diferensiyel
denklemler
için
Adams-Bashforth-Moulton
metodunun hatası, (6.30) eşitliği veya (6.31) eşitsizliğinde olduğu gibi y veya D*α0 y
nin diferensiyellenebilirliğine bağlı olarak davranır ve hata, eğer y veya D*α0 y den
biri [0, X ] aralığında iki kez sürekli diferensiyellenebilir (yani y ∈ C 2 [0, X ] veya
D*α0 y ∈ C 2 [0, X ] ) ise en azından 1 dir[24].
6.4. Nümerik Bir Uygulama
Çoğu
kesirli
diferensiyel
denklem
için,
tam
çözümleri
analitik
yolla
hesaplayabileceğimiz metodları bulamayabiliriz. Bu nedenle nümerik metodlara
ihtiyaç duyarız [8].
Adams'
ın
predictor-corrector
metodu,
denklemlerin
çok
geniş
sınıfına
uygulanabilen, pratik uygulamalarda etkili olarak ispatlanabilen, nümerik kararlılığı
iyi olan bir metoddur.
Genel olarak (6.10) formunda olan b.d.p. indeki diferensiyel denklemi
84
Dα ( y − y0 )( x) = β y ( x) + f ( x)
(6.32)
şeklinde alalım. Burada x ≥ 0, y (0) = y0 , β < 0 dır [11].
Eş. (6.32) deki lineer diferensiyel denklemlere, belirli bir başlangıç koşulu (burada
y (0) = y0 ) altında Adams' ın deneme-düzeltme metodunu uygulayarak yaklaşık
çözümler elde edebiliriz.
Örnek 6.4.1.
(6.32) kesirli diferensiyel denkleminde, f ( x) = x 2 +
2
x 2−α ve
Γ(3 − α )
α = 0,5 ,
y ( x0 ) = y (0) = 0, β = −1 seçersek bu durumda (6.32) diferensiyel denklemi, tam
çözümü y ( x) = x 2 olan
D 0,5 y ( x) = − y ( x) + x 2 +
2
x1,5
Γ(2,5)
şeklindeki lineer kesirli diferensiyel denkleme dönüşür. O halde, ele alınan b.d.p.
D 0,5 y ( x) = − y ( x) + x 2 +
2
x1,5
Γ(2,5)
y (0) = 0
(6.33a)
(6.33b)
şeklindedir [11].
(6.33) b.d.p. inde, yeteri kadar küçük h adım uzunluğu ölçüleri seçerek Adams' ın
deneme-düzeltme metodu ile y (1) için yaklaşık çözüm değerlerini elde edelim:
Sırasıyla h = 0,2; h = 0,1; h = 0,05 adım uzunluklarını alırsak ve bunların herbiri için
ilgili düğüm noktalarında önce b j ,k +1 ağırlıkları ile ykp+1 denemelerini hesaplar, daha
sonra da a j ,k +1 ağırlıkları ile yk +1 düzeltme değerlerini bulursak aşağıdaki tablolarda
elde edilen sonuçlara ulaşırız:
85
y j,
Çizelge 6.1, Çizelge 6.2 ve Çizelge 6.3' te, x j noktalarındaki yaklaşık çözümler ~
tam (gerçek) çözümler y j ile gösterilmiştir.
Çizelge 6.1. (6.33) probleminin h=0,2 adım ölçüsü ile x j düğüm
tam
xj
noktalarındaki
çözümü ile yaklaşık çözümünün karşılaştırılması
ykp+1
yk +1 = ~
yj
x0 = 0
y( x j ) = y j
yj − ~
yj
0
x1 = 0,2
0
0,05873
0,04
0,01873
x2 = 0,4
0,05846
0,19449
0,16
0,03449
x3 = 0,6
0,19887
0,40692
0,36
0,04692
x4 = 0,8
0,42009
0,69774
0,64
0,05774
x5 = 1
0,72163
1,06753
1
0,06753
Seçtiğimiz adım uzunluğuna göre metodumuzun hatası , h = 0,2 adım uzunluğu ile ;
max y j − y% j = Ο( h1+α ) = Ο(0, 21,5 )
0≤ j ≤5
mertebesinde olacaktır. Buradan hata sınırımızın
max y j − ~
y j ≤ 0,08944
0≤ j ≤5
olduğu bulunur. Çizelge 6.1. de düğüm noktalarımızdaki hatalar, bu hata sınırında
olduğundan h = 0,2 uygun bir adım ölçüsüdür.
86
Çizelge 6.2. (6.33) probleminin h = 0,1 adım ölçüsü ile x j düğüm noktalarındaki
tam çözümü ile yaklaşık çözümünün karşılaştırılması
xj
ykp+1
yk +1 = ~
yj
y( x j ) = y j
x0 = 0
yj − ~
yj
0
x1 = 0,1
0
0,01369
0,01
0,00369
x2 = 0,2
0,01566
0,04645
0,04
0,00645
x3 = 0,3
0,05220
0,09868
0,09
0,00868
x4 = 0,4
0,10903
0,17066
0,16
0,01066
x5 = 0,5
0,18599
0,26249
0,25
0,01249
x6 = 0,6
0,28303
0,37420
0,36
0,01420
x7 = 0,7
0,40011
0,50582
0,49
0,01582
x8 = 0,8
0,53722
0,65736
0,64
0,01736
x9 = 0,9
0,69436
0,82884
0,81
0,01884
x10 = 1
0,87150
1,02026
1
0,02026
h = 0,1 için metodumuzun hata mertebesi
max y j − y% j = Ο(h1+α ) = Ο(0,11,5 )
0≤ j ≤10
olacağından Çizelge 6.2. de her x j , 0 ≤ j ≤ 10 düğüm noktası için
max y j − ~
y j ≤ 0,031623
0 ≤ j ≤10
olduğu bulunur. Dolayısıyla h = 0,1 uygun bir adım ölçüsüdür.
87
Çizelge 6.3. (6.33) probleminin h = 0,05 adım ölçüsü ile x j düğüm noktalarındaki
tam çözümü ile yaklaşık çözümünün karşılaştırılması
xj
ykp+1
yk +1 = ~
yj
x0 = 0
y( x j ) = y j
yj − ~
yj
0
x1 = 0,05
0
0,00325
0,0025
0,00075
x2 = 0,1
0,00405
0,01124
0,01
0,00124
x3 = 0,15
0,01337
0,02415
0,0225
0,00165
x4 = 0,2
0,02777
0,04202
0,04
0,00202
x5 = 0,25
0,04721
0,06487
0,0625
0,00237
x6 = 0,3
0,07167
0,09270
0,09
0,0027
x7 = 0,35
0,10115
0,12552
0,1225
0,00302
x8 = 0,4
0,13565
0,16331
0,16
0,00331
x9 = 0,45
0,17515
0,20610
0,2025
0,0036
x10 = 0,5
0,21966
0,25389
0,25
0,00389
x11 = 0,55
0,26917
0,30666
0,3025
0,00416
x12 = 0,6
0,32369
0,36443
0,36
0,00443
x13 = 0,65
0,38322
0,42718
0,4225
0,00468
x14 = 0,7
0,44774
0,49494
0,49
0,00494
x15 = 0,75
0,51727
0,56768
0,5625
0,00518
x16 = 0,8
0,59180
0,64543
0,64
0,00543
x17 = 0,85
0,67134
0,72816
0,7225
0,00566
x18 = 0,9
0,75587
0,81589
0,81
0,00589
x19 = 0,95
0,84540
0,90862
0,9025
0,00612
x20 = 1
0,93994
1,00635
1
0,00635
88
h = 0,05 için max y j − y% j = Ο(0,051,5 ) den; Çizelge 6.3. de her x j , 0 ≤ j ≤ 20
0≤ j ≤ 20
düğüm noktası için
max y j − ~
y j ≤ 0,0111803
0 ≤ j ≤ 20
olduğu bulunur. O halde h = 0,05 uygun bir adım ölçüsüdür.
Görüyoruz
ki,
seçtiğimiz
h = 0,2; h = 0,1; h = 0,05
adım
uzuluklarına
göre,
kullandığımız predictor-corrector metodunun hatası, adım ölçüsü küçüldükçe
azalmaktadır. Yani, adım uzunluğu küçüldükçe, aldığımız düğüm noktalarındaki
yaklaşık çözüm değerleri, tam çözüm değerlerine daha yaklaşmaktadır.
89
7. SONUÇ
Uygulamalı bilimlerde, pek çok olgunun matematiksel olarak modellenmesinde
kesirli hesap çok önemli bir yere sahiptir. Bu alandaki uygulamalarda çoğu
matematiksel modelin analitik olarak çözümü genellikle mevcut olmadığından ya da
çok zor olduğundan, bu matematik modeli çözmek için yapılan çalışmaların çoğunda
çözümlerin yaklaşık olarak elde edildiği sayısal yöntemler kullanılır. Özellikle
algoritması kolay hazırlanabilen ve hassasiyeti yüksek nümerik yöntemler, çok
önemli kolaylık sağlamakta ve pek çok çözümsüz durumu çözümlü hale
getirmektedir. Bu durum özellikle lineer olmayan denklemlerde daha önemli
olmaktadır.
Bu çalışmada; kesirli türev, kesirli integral ve lineer-lineer olmayan diferensiyel
denklemlerin çözümü hakkında bilgi verilmiştir. Kesirli diferensiyel denklem içeren
başlangıç değer probleminde varlık ve teklik sonuçları, parametrelerin perturbe
edilmeleri sonucu, çözümün bu durumdan nasıl etkilendiği incelenmiştir.
Kesirli diferensiyel denklem içeren başlangıç değer probleminde nümerik çözüm
yöntemi olarak Adams’ ın predictor-corrector metodundan ve bu metodun hata
analizinden söz edilmiştir. Bu metod, algoritması kolay kurulabilen, hızlı sonuç
veren, hassasiyeti yüksek bir yöntemdir. Lineer ve lineer olmayan diferensiyel
denklemlerde güvenle kullanılabilir.
90
KAYNAKLAR
1. Agarwal, R. P. , Benchohra, M., Hamani, S., “ Boundary value problems for
fractional differential equations ” , Georgian Mathematical Journal, 16 (3) :
401- 411 (2009).
2. Akbulut, A., “ Sabit nokta teoremlerinin Cauchy problemine ve integral
denklemlere uygulanması ” , Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü, Ankara,21-27,61-79 (2007).
3. Anastassiou, G. A., “Fractional differentiation inequalities” , DOI 10.1007/9780- 387- 98128- 4- 1, Springer Science + Business Media, LLC, 7, 8, 270, 324
(2009).
4. Balcı, M., “Matematik analiz, 1” , Balcı Yayınları, Ankara, 80-102, 113, 124,
132, 165, 269 (2008).
5. Balcı, M., “Matematik analiz, 2” , Balcı Yayınları, Ankara, 15, 45-53 (2009).
6. Bayraktar, M., “Fonksiyonel analiz” , Gazi Yayınları, Ankara, 23, 98 (2006).
7. Benchohra, M., Hamani, S., Ntouyas, S. K., “Boundary value problems for
differential equations with fractional order” , Surveys In Mathematics and Its
Applications, 3:1-12 (2008).
8. Diethelm, K., “The analysis of fractional differential equations”, ISBN 978-3642-14573-5. Lecture Notes In Mathematics, Verlag Berlin Heidelberg, 7-14,
21-42, 49-54, 93-101, 109-120, 195-207 (2010).
9. Diethelm, K., Ford, N. J., Freed, A. D., Luchko, Y., “Algorithms for the
fractional Calculus: A selection of numerical methods” , Computer Methods In
Applied Mechanics and Engineering, 194: 6-8 (2005).
10. Diethelm, K., Ford, N. J., Freed, A. D., “A predictor corrector approach for the
numerical solution of fractional differential equations”, Nonlinear Dynamics,
29: 3-22 (2002).
11. Diethelm, K., Ford, N. J., “Analysis of fractional differantial equations”,
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 265: 229-248 (2002).
12. Gorenflo, R., Mainardi, F., “ Fractional calculus: Integral and differential
equations of fractional order”, ISBN 3-221-82913-X. Vol. 378 of the series
CISM Lecture Notes, International Centre For the Mechanical Sciense
Palazzo Del Torso, Piazza Garibaldi, Udine, Italy, 224-228 (1997).
91
13. Kelley, W., Peterson, A., “The theory of differential equations: Classical and
qualitative”, ISBN 0-13-102026-9, Pearson Education, New Jersey, 346-348
(2004).
14. Kiriş, M. E., “Kesirli türevlere sahip diferensiyel denklemler ve pantograf
denklemlerin diferansiyel dönüşüm yöntemi ile çözümlerinin incelenmesi” ,
Doktora Tezi, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya, 18
(2007).
15. Kurulay, M., “Zaman-kesirli mertebeli non-lineer kısmi türevli diferensiyel
denklemlerin nümerik çözümleri” , Doktora Tezi, Yıldız Teknik Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul, 5, 6 (2009).
16. Oldham, K. B., Spanier, J., “The fractional calculus” , Academic Press, New
York- London, 1- 39 (1974).
17. Oturanç, G., Kurnaz, A., Kiriş, M. E., Keskin, Y., “Sayısal analiz” , ISBN 97528856-8-3, (2008).
18. Podlubny, I., “Fractional differential equations” , Academic Pres, San
Diego, 21-23, 48-78, 98, 122-133 (1999).
19. Ross, B., “Fractional calculus and its applications” , Springer, Berlin, vol:457
(1974).
20. Samko, S., Kilbas, A., Marichev, O., “Fractional integral and derivatives theory
and applications” , Gordon and Breach, Yverdon (1993).
21. Soykan, Y., “Fonksiyonel analiz” , Nobel Yayın Dağıtım, Ankara, 242-268
(2008).
22. Türkoğlu, D., Altun, İ., “A fixed point theorem for multi-valued mappings end
its applications to integral inclusions” , Appl. Math. Lett. , 20:563-570 (2007).
23. Wang, J., Wang. W., Yuan, W., Yang, H., “Some existence results of solutions
for fractional initial value problem” , International Journal of Nonlinear
Science, 10:110-115 (2010).
24. Weilbeer, M., “Efficient numerical methods for fractional differential equations
and their analytical background” , US Army Medical Research and Material
Command, Carl-Friedrich-GauB Mathematik und Informatik, Technischen
Universtät Braunschweig, 21-28, 45-59, 150-153 (2005).
25. Yaşar, İ. B., “ Diferensiyel denklemler ve uygulamalar ”, Siyasal Yayıncılık,
Ankara, 383-389 (2005).
92
EKLER
93
EK – 1. Adams tipi predictor-corrector metodun uygulamasına yönelik
C- Program
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 22
// Predictor-corrector method for fractional order ordinary equations
// y^(1/2)=f(x,y) tipindeki bir denklemi çözüyoruz
// alfa kesir mertebeyi, ff, f(x,y) fonksiyonu ,ffp düzeltme değerlerini
// y çözüm ve yp düzeltme değerlerini, h adım sayısını,
// a aij ve b de bij katsayılarını tanımlamaktadır
int main(int argc, char *argv[])
{int j,k;
float alfa=0.5,h=0.05,toplam1,toplam2,pi=3.141592654;
float b[N][N],a[N][N];
double ss;
float ff[N],ffp[N],y[N],yp[N];y[0]=0;
for(k=1;k<N-1;k++){
for(j=0;j<k;j++){
b[k][j]=(pow(h,alfa)/alfa)*(pow(k-j,alfa)-pow(k-j-1,alfa));}}
for(k=1;k<N-1;k++){
for(j=0;j<=k;j++){if(j==0){
a[k][j]=pow(h,alfa)/(alfa*(alfa+1))*(pow(k-1,alfa+1)-(k-1-alfa)*pow(k,alfa));}
else if(j<=(k-1)){a[k][j]=pow(h,alfa)/(alfa*(alfa+1))*(pow(k-j+1,alfa+1)+pow(k-1j,alfa+1)-2*pow(k-j,alfa+1));}
94
EK – 1. (Devam) Adams tipi predictor-corrector metodun uygulamasına yönelik
C- Program
else a[k][j]=pow(h,alfa)/(alfa*(alfa+1));}}
printf(" b katsayıları yazdiriliyor\n");
for(k=1;k<N-1;k++)
for(j=0;j<k;j++)printf("b[%d][%d]=%f \n",k,j,b[k][j]);
printf(" a katsayıları yazdiriliyor\n");
for(k=1;k<N-1;k++)
for(j=0;j<=k;j++){ printf("a[%d][%d]=%f \n",k,j,a[k][j]); }
printf("düzeltme hesaplanıyor\n");
for(k=1;k<N-1;k++){toplam1=0;toplam2=0;
for(j=0;j<k;j++){ ff[j]=-y[j]+j*h*j*h+(1.504505556)*pow(j*h,1.5);
toplam1=toplam1+b[k][j]*ff[j];
yp[j+1]=y[0]+(0.5641895835)*toplam1;
ffp[j+1]=(-yp[j+1]+(j+1)*h*(j+1)*h+(1.504505556)*pow((j+1)*h,1.5));
ss=a[k][j]*ff[j];
toplam2=toplam2+(0.5641895835)*ss;
y[k]=y[0]+toplam2+0.5641895835*(a[k][j+1]*ffp[j+1]);}}
for(j=0;j<N-1;j++)printf("yp[%3.2f]=%f ve y(%3.2f)=%f\n",j*h,yp[j],j*h,y[j]);
system("PAUSE");
return 0;
}
95
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, Adı
: Doğan , Aytül
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri : 06.11.1972 Adana
Medeni hali
: Evli - 2 çocuk
Tlf
: 0 (312) 221 38 44
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet Tarihi
Yüksek lisans
Gazi Üniv./Matematik Bölümü
2009 - ...
Lisans
Gazi Üniv./Matematik Bölümü
1989-1995
Lise
Atatürk Lisesi
1989
İş Deneyimi
Yıl
Yer
Görev
2007 -...
Aksaray Üniv.
Öğretim Görevlisi
2002 - 2007
Niğde Üniv.
Öğretim Görevlisi
1998 - 2002
Adana Karekökdört Dershanesi
Matematik Öğretmeni
1996 - 1998
Adana Koza Dershanesi
Matematik Öğretmeni
1996 - 1998
Ceyhan Güven Dershanesi
Matematik Öğretmeni
1995 - 1996
Adana Zafer Dershanesi
Matematik Öğretmeni
Yabancı Dil
İngilizce