1 İntegral Belirsiz İntegral İntegral Alma Kuralları İntegral Alma Metotları İntegralde Trigonometrik Dönüşümler Belirli İntegral Belirli İntegralin Uygulamaları Belirsiz İntegral Belirsiz İntegralin Özellikleri İntegral Alma Kuralları slayt1 Belirsiz İntegral Tanım: f:[a,b] R , F:[a,b] R tanımlı iki fonksiyon olsun. Eğer F(x)’in türevi f(x) veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x) fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve f(x).dx=F(x)+C biçiminde gösterilir. f(x).dx F(x) C Örnek: F(x) = x2 F’(x) = 2x F’(x).dx=2x.dx F’(x).dx = 2x.dx F(x)=x2 + C 2x.dx = x2 + C dır. slayt2 Belirsiz İntegralin Özellikleri 1-) Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir. d f(x).dx f(x).dx tir. 3-) Bir fonksiyonunun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon ile bir C sabitinin toplamına eşittir. f(x).dx F(x) C f(x) tir. ' ' 2-) Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir. d(f(x)) f(x) C dir. slayt3 İntegral Alma Kuralları 8. cotx.cosec x.dx cosecx C 1 n 1 1. x .dx x C (n 1) n 1 n 9. sec 2 .dx tanx c 1 2. .dx ln | x | c x 10. cosec 2 .dx cotx C 3. e .dx e C x x 1 x 4. a .dx .a C (a 0.a 1) lna x 5. sinx cosx C 6. cosx.dx sinx C 7. tanx.secx. dx secx C 11. 12. 1 .dx arctanx C1 arccotx C 2 2 1 x 1 1- x 2 .dx arcsinx C1 arccosx C 2 slayt4 Örnek1: (2x+1).dx belirsiz integralini bulalım. Örnek2: [(2x3-3x)/(x2)].dx belirsiz integralini bulalım. Çözüm1: x2 2 (2x 1).dx 2 x.dx 1.dx 2. 1.x C x x C bulunur. 2 Çözüm2: 2x 3 3x 2x 3 3x 3 2 .dx .dx 2x.dx .dx x 3ln | x | C x2 x 2 x 2 x Yerine Koyma Metodu slayt1 İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye dönüştürülür. 1-) ' f(x).f (x) .dx f(x).d(f(x )) Örnek: cos2x.sinx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm: u=cosx diyelim. Her iki tarafın diferansiyelini alalım. du=-sinx.dx sinx.dx=-du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa, 3 u 2 2 2 cosx .sinx.dx u .(du) u .du 3 C bulunur. slayt2 ' n f(x) .f (x) .dx f (x).d(f(x) ) n 2-) Örnek: (3x-1)7 integralini hesaplayalım. Çözüm: (3x-1)=u diyelim. d(3x-1)=d(u) 3.dx=du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa, 1 1 8 1 8 (3x 1) .dx u . .du u C (3x 1) C bulunur. 3 24 24 7 7 slayt3 3-) ' f ( x).dx d ( f ( x)) f ( x) f ( x) Örnek: tanx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm: tanx.dx= (sinx/cosx).dx yazalım: cosx=u diyelim. İki tarafın diferansiyelini alalım. d(cosx)=d(u) -sinx.dx=du olur. Bunları yerlerine yazalım: sinx du cosx .dx u ln | u | C ln | cosx | C bulunur. slayt4 a , b R {0} olmak üzere dx a 2 b 2 .x 2 Örnek: Çözüm: 1 bx .arcsin C cir b a dx 9 25x 2 integralin i hesaplayal ım. 1 5x .arcsin C bulunur. 3 9 25x 2 5 dx slayt5 f(x) ' a .f (x) .dx 4-) (a R {1} Örnek: (2tan3x +1).sec2 x .dx integralini hesaplayalım. Çözüm: tanx=u dersek, 3.sec23x.dx=u olur. Bulunan değerleri yerlerine yazalım: 1 u 1 1 u 2 1 .sec 3x.dx 3 2 1 .du 3 . ln2 .2 u C 1 tan3x 1 .2 .tan3x C bulunur. ln8 3 tan3x 2 slayt6 m , n R , m 0 olmak üzere 1 mx n 1. e .dx .e C dir. m 1 mx n mx n 2. a .dx .a C (a R {0}dir. m.lna mx n m , n R , m 0 olmak üzere; 1 1. sin(mx n).dx .cos(mx n) C dir. m 1 2. cos(mx n).dx .sin(mx n) C dir. m İntegrandında a 2 x 2 Varsa (a>0) İntegrandında x 2 a 2 Varsa (|x/a|>0) İntegrandında a 2 x 2 Varsa (a>0) slayt1 a 2 x 2 Varsa (a>0) İntegrandında Örnek: x . 2 Çözüm: 9.sin dx 9 x2 x=3sint dönüşümü yapılırsa; x=3sint dx=3cost.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım: 3.cost.dt t. 9 9sin 2 t elde edilir. 2 integralini hesaplayınız. x x sint sint 3 3.cost.dt 27.sin 2 t. 1 sin 2 t x 1 dt 1 cott C 2 9 sin t 9 9 x2 C bulunur. 2 9x 9 9x dx 2 slayt2 İntegrandında Örnek: Çözüm: dx x. dx x 2 16 x 2 a 2 Varsa (|x/a|>0) integralini x>4 için hesaplayınız. x=4sect dönüşümü yapılırsa; dx=3sect.tant.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım: 4.sect.tan t.dt tant.dt 1 1 x. x 2 16 4.sect. 16sec 2 t 16 4 tan 2 t 4 dt 4 t C 1 4 .arccos C bulunur. 4 x slayt3 İntegrandında Örnek: Çözüm: x dx 2 . x2 4 a 2 x 2 Varsa (a>0) integralini hesaplayınız. x=2tant dönüşümü yapılırsa; x=2tant dx=2.sec2t.dt olur. Bulunan değerler integral de yerine yazılırsa; 2.sec 2 t.dt 2.sec 2 t.dt cost.dt x 2 x 2 4 4.tan 2 t. 4tan 2 t 4 8.tan 2 t.sect 4.sin 2 t olur. cost.dt du 1 1 . C elde edilir. 4.sin 2 t 4.u 2 4 sint dx x dx 2 x 4 2 x2 4 C bulunur. 4x slayt1 u.du u.v v.du Örnek1: x.cosx.dx integralini hesaplayalım Çözüm1: Verilen integralde u=x, dv=cosx.dx seçelim. Bu durumda, du=dx ve v=sinx olur. x.cosx.dx x.sinx sinx.dx x.sinx cosx C bulunur. slayt2 Örnek2: x2.lnx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm2: u lnx ve dv x 2 .dx olsun. Buradan, du 1 1 .dx ve v x 3 olur. x 3 1 3 1 3 1 x .lnx.dx 3 x lnx 3 x . x .dx 1 1 1 1 x 3 .lnx x 2 .dx x 3lnx x 3 C bulunur. 3 3 3 9 2 slayt3 Örnek3: arctanx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm3: 1 .dx ve v x olur. 2 x 1 x 1 2x arctanx.dx x.arctanx 1 x 2 .dx x.arctanx 2 1 x 2 .dx 1 x.arctanx ln(1 x 2 ) C x.arctanx ln 1 x 2 C bulunur. 2 u arctanx ve dv dx olsun. du slayt1 Tanım: Payın derecesi, paydasının derecesinden küçük olan ve paydası çarpanlarına ayrılabilen bir kesrin, önceden hangi kesirlerin toplamı olduğunun bulunması işlemine, basit kesirlere ayırma işlemi denir. Örnek: 3x - 2 .dx 2 x 4 integralini hesaplayalım Çözüm: 3x 2 A B A 1, B 2 bulunur. (x 2).(x 2) x 2 x 2 3x 2 1 dx dx 1 (x 2).(x 2) .dx x 2 x 2 .dx x 2 2. x2 ln x 2 2ln x 2 C ln x 1 (x 2) 2 C slayt2 Payın Derecesi, Paydanın Derecesinden Büyük veya Eşit İse (P(x)/Q(x)).dx integralinde, P(x)’in derecesi Q(x)’in derecesinden büyük veya eşit ise; P(x)’in Q(x)’e bölünmesinden elde edilen bölüm B(x) ve kalan K(x) olmak üzere, P(x) K(x) .dx B(x).dx Q(x) Q(x) .dx olur. dx İNTEGRALİ 2 x px q Paydada <0 olan x2+px+q biçiminde bir ifade varsa; integral, (du/1+u2) şekline dönüştürülerek hesaplanır. slayt3 Örnek: dx x 2 6x 10 integralini hesaplayalım Çözüm: dx du integrali x 2 6x 10 u 2 1 şekline getirilir. x 2 6x 10 x 2 6x 9 1 (x 3) 2 1 şeklinde yazıazılabr. Buradan integral, dx (x 3) 2 1 şekline dönüşür. u x 3 du dx den du u 2 1 arctanu C dir. dx (x 3) 2 1 arctan(x 3) C dir. slayt4 a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere; dx 1 bx a 2 b 2 x 2 a.b .arctan a C dir. Örnek: dx 25x 2 16 integralini hesaplayalım Çözüm: dx 1 5x 25x 2 16 5.4 .arctan 4 C 1 5x .arctan C bulunur. 20 4 sinmx.cosnx.dx (m,n N) Şeklindeki İntegraller sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx ve cosax.cosbx.dx (a,b N) Şeklindeki İntegraller İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller slayt1 sinmx.cosnx.dx (m,n N) Şeklindeki İntegraller A-) m veya n’den biri tek, biri çift ise; sin Örnek: 2 x.cos 3 x.dx integralini hesaplayalım Çözüm: sin2x.cos3x.dx= sin2x.cos2x.cosx.dx şeklinde yazılır. cos2x=1sin2x olduğundan, sin2x.(1-sin2x).cosx.dx olur. sinx = u cosx.dx = du dur. 1 1 3 5 u .(1 u ).du (u u ).du sin x sin x C bulunur. 3 5 2 2 2 4 slayt2 B-) m ve n ‘nin ikiside tek kuvvet ise; Örnek: 3 5 sin x.cos x.dx integralini hesaplayalım Çözüm: sin3x.cos5x.dx=cos5x.sin2x.sinx.dx=cos5x.(1-cos2x).sinx.dx olur. cosx = u sinx.dx = -du dur. 5 2 5 7 u .(1 u ).(-du) (u u ).du 1 1 cos8 x cos 6 x C bulunur. 8 6 slayt3 C-) m ve n ‘nin ikiside çift kuvvet ise; Örnek: 2 sin x.x .dx integralini hesaplayalım Çözüm: 1 (1 cos2x) 2 1 1 2 sin x.x.dx (1 cos2x).dx (1 cos2x).dx 2 2 1 1 1 1 x sin2x C x sin2x C bulunur. 2 2 2 4 sin 2 x slayt4 sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx ve cosax.cosbx.dx (a,b N) Şeklindeki İntegraller 1 sin(a b) sin(a b) 2 1 sina.sinb cos(a b) cos(a b) 2 1 cosa.cosb cos(a b) cos(a b) 2 sina.cosb Örnek: Çözüm: sin3x.sin2 x.dx Bu tip integraller hesaplanırken ters dönüşüm formülleri kullanılır. integralini hesaplayalım 1 sin3x.sin2 x.dx 2 cos(3x - 2x) - cos(3x 2x) .dx 1 1 sinx sin5x C bulunur. 2 10 slayt5 İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller Bu tip integrallerde, tan(x/2) = u dönüşümü yapılır. Yandaki dik üçgen yardımıyla, 2u sinx 1 u2 1 u2 cosx 1 u2 dx 1+u2 u 2du 1 u2 x 2 1 Örnek: Çözüm: dx 1 cosx 2du 2 dx x 1 u tan C bulunur. 1 cosx 2 2 1 u2 slayt1 Belirli İntegral Tanım: f:[a,b] R , F:[a,b] R ve sürekli yada süreksiz olduğu nokta sayısı sonlu tane olan bir fonksiyon ve [a,b] ‘nin bir bölüntüsü P olmak üzere: lim||P||0A(f,P)=lim||P||0Ü(f,P)=S ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilir bir fonksiyondur, denir. S reel sayısına da f nin [a,b] aralığındaki belirli integrali denir ve bu, b S f(x) .dx biçiminde gösterilir . a slayt2 Teorem1: f:[a,b] R fonksiyonu, [a,b] aralığında sürekli ve F:[a,b] R fonksiyonu, F(x) f(t) .dt ile tanımlanmış olsun. Bu durumda, F(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevlenebilir ve (a,b) için F’(x)=f(x) tir. x a Örnek1: x F(x) 1 t.cost .dt F' (x) ? 3 Çözüm1: 1. teoreme göre; F' (x) 1 x.cox tir. slayt3 Örnek2: F(x) 3x 2 (2x 1).dx 2x Fonksiyonu veriliyor. f(x) ‘in grafiğini x=1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? Çözüm2: f ' (x) 2.(3x 2 ) 1 .6x 2.(2x) 1.2 36x 3 6x 8x 2 f ' (x) 36x 3 2x 2 m t f ' (1) 3613 2.1 2 32 bulunur. slayt4 Teorem2: f:[a,b] R integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Eğer f(x).dx=F(x)+C , C R olacak biçimde f:[a,b] R ye F(x) fonksiyonu varsa, b b f(x) .dx F(x) | F(b) F(a) a Örnek: d x 0 dx 0 sin2t.dt π/6 a dır. .dx ? Çözüm: π/6 π/6 1 1 π 1 0 sin2x.dx 2 .cos2x 0| 2 cos 3 cos0 4 bulunur. slayt5 Belirli İntegralin Özellikleri Tanım: f:[a,b] integrallenebilirse, a fonksiyonu, [a,b] aralığında a f(x).dx ve a 1-) R f(x).dx integrali : b a f(x).dx 0 a 2-) b a a b f(x).dx f(x).dx biçiminde tanımlanır.