Universitelerarasi Secme Sinavi

1.
3 24 ün (mod 7) ye göre denk olduğu sayı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B) 4
C) 1
D) 3
E) 0
(3 )
3
3
6
(3 )
6
4
3 24
≡
1 (mod 7)
≡
1 (mod 7)
≡
1 (mod 7)
≡
1 (mod 7)
aşağıdakilerden hangisidir.
A) 1
B) –1
C) 0
E ) x=0 için türev yoktur
Çözüm:
32
≡ 2 (mod 7)
2
4.
f : x → f(x) = sinx fonksiyonunun x=0 için türevi
D) ±1
Çözüm:
x=0 noktasında türev olması için sağdan ve
soldan türevlerin birbirine eşit olması gerekir.
Yanıt:C
2.
x∈ R x ∈R olduğuna göre
f : x → f(x) = 1- x fonksiyonunun tanım kümesi
nedir?
A) {x : -1< x < 1}
B) {x : -1 ≤ x < -1}
C) {x : -1 ≤ x ≤ 1}
D) {x : x < -1} ∪ {x : x > 1}
E ) {x : x > 1}
Çözüm:
1- x ≥ 0 → 1 ≥ x → -1 ≤ x ≤ 1
f(x) = sinx
sinx < 0 → -sinx = sinx
sinx ≥ 0 → sinx = sinx
-sinx - f(0)
f'(0- ) = limx →0
x - x0
-sinx
- sin0 0
f'(0- ) = limx →0
x-0
sinx
f'(0 ) = - lim= -1
x →0
x
sinx - f(0)
f'(0+ ) = lim+
x →0
x - x0
-sinx
- sin0 0
f'(0+ ) = lim+
x →0
x-0
sinx
+
f'(0 ) = lim+
=1
x →0
x
f'(0- ) ≠ f'(0+ ) olduğundan x=0 için türev yoktur.
Yanıt:E
Yanıt:C
5.
x ∈ (-∞,0 ] olduğuna göre, x → 0 için
1
1
in
3 + 2x
limiti nedir?
A) 0
B) -
1
3
C)
1
5
D)
1
3
E) 1
lim
x → 0-
1
3+ 2
1
x
=
1
1
-
3 + 20
=
den hangisine eşler?
A) {1, 2, 4,8}
B) {5,17,65,157}
C) {2, 5,17,65}
D) {1, 4, 16, 64}
E ) {2, 5,65,100}
Çözüm:
x ∈ ( -∞,0 ] olduğundan;
=
x
ve g:x→
→ x 2 ise (gof) fonksiyonunun
2
A = {2, 4, 8,16} cümlesini aşağıdaki cümlelerf:x→
3.
Çözüm:
x 
2
f(x) =

x
2  gof = g [ f(x)] = g  
2
g(x) = x 2 
1
1
=
3 + 2-∞ 3 + 2
∞
1
1
=
3+0 3
2
Yanıt:D
2
x = 2 → g  = 1
2
1973 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
2
8.
4
x = 4 → g  = 4
2
π
doğrusu ve OX ekseni ile
2
sınırlanan alan kaç birim karedir?
y=sin2x eğrisi x =
2
8
x = 8 → g   = 16
2
2
 16 
x = 16 → g   = 64
 2 
A) 0
Yanıt:D
B)
1
2
C) 1
Hesaplanması istenen alan şekildeki taralı alandır.
π/2
2
integralinin değeri nedir?
π/2
0
1 π 1
2  2 2 
T.A. =
1  π + 1
C) 
2  2 
π+1
B)
4
π
A)
4
D)
π/2
1
= - cos2x
2
0
E ) Hiçbiri
π
1
1

= -  cos2. -cos2.0 0  = - (-1-1) → T.A. = 1br 2
2
2
2

Yanıt:C
π/2
π/2
cos2 xdx =
0
∫ sin2xdx
0
Çözüm:
∫
E) 3
Çözüm:
6.
∫ cos xdx
D) 2
1
1

x + sin2x 

2
2
0
1π 1
π 
1
0 
 + sin2. -  0 + sin0  
2 2 2
2 
2

1π 1
1
1
π



=  + .sinπ - sin0 0  =  + 0- 0 
2 2 2
2
 2 2

1 π π
= . =
2 2 4
=
9.
x2
ifadesinin değeri aşağıdakilerden
x → 0 1-cosx
hangisine eşittir?
lim
A) 0
Yanıt:A
B) 2
C) 1
D) -2
E ) Limiti yoktur
Çözüm:
7.
Eş birimli dik koordinat sistemine göre yönlenmiş düzlemde
r  3  r  α
u=  v= 
 -1
3
1.yol:
x2
0
→ belirsizliği vardır.
x → 0 1-cosx
0
L’Hospital kuralının (Pay ve paydanın türevi)
uygulanmasıyla;
x2
2x
0
0
lim
= lim
=
=
0
x → 0 1-cosx
x → 0 -(-sinx)
sin0
0
0
belirsizliği devam ettiğinden bir kez daha
0
L’Hospital kuralı uygulanırsa;
2x
2
2
2
lim
= lim
=
= =2
x → 0 -(-sinx)
x → 0 -(-cosx)
cos0 0 1
lim
vektörleri veriliyor. Bu iki vektörün, dik olması
için α ne olmalıdır?
A) a=-1
B) a=3
C) a=2
D) a=1
E ) a=-9
Çözüm:
r ur
u.v
cosβ = r ur =
u.v
cos90 0 =
3α + (-1)3
(-1)
2
+ 3 2 . 3 2 + α2
3α- 3
9 + α2 . 1+ 9
→ 0 = 3α- 3 → α = 1
Yanıt:D
2
1973 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
2.yol:
Çözüm:
x2
0
lim
→ belirsizliği vardır.
x → 0 1-cosx
0
x2
x 2 (1+ cosx)
lim
= lim
x → 0 1-cosx
x → 0 (1- cosx)(1+ cosx)
1.yol:
0,2,3,4 rakamlarıyla yazılabilecek sayı adedi
24
4!=24 tür. Bunlardan
= 6 adedi “0” ile başla4
yacağından dört basamaklı sayı olarak telakki
edilemez.
O halde söz konusu rakamlarla yazılabilecek
dört basamaklı sayı adedi;
24-6=18
x 2 (1+ cosx)
x 2 (1+ cosx)
= lim
2
x →0
x →0
1- cos x
sin2 x
x2
= lim
.(1+ cosx) = 1 1+ cos00 = 1+1= 2
x → 0 sin2 x
14243
= lim
(
)
1
Yanıt:B
2.yol:
Binler basamağında kullanılabilecek rakam sayısı:
Sıfır hariç diğer üç rakam
Yüzler basamağında
kullanılabilecek rakam
sayısı:
Rakamlardan biri binler
basamağında kullanıldığından geriye kalan üç
rakamdan biri
Onlar basamağında kullanılabilecek rakam
sayısı:
Rakamlardan ikisi yüzler ve binler basamağında kullanıldığından geriye kalan iki rakamdan
biri
Birler basamağında kullanılabilecek rakam sayısı:
Rakamlardan üçü onlar, yüzler ve binler basamağında kullanıldığından geriye kalan bir
rakam
O halde toplam olarak;
3.3.2.1=18 sayı yazılabilir.
10.
tgx - x
in x → 0 için limiti nedir?
sinx
A) 1
B) -1
C) 0
D) 2
E) 3
Çözüm:
1.yol:
tgx - x
0
lim
→ belirsizliği vardır.
x → 0 sinx
0
 sinx

 cosx
tgx - x
x 
x 
 tgx
lim
= lim 
= lim 

x → 0 sinx
x → 0 sinx sinx 

 x → 0  sinx sinx 




 sinx
1
x 
1
x
= lim 
.
- lim
 = lim
x → 0 cosx sinx
x → 0 cosx x → 0 sinx
sinx


1
424
3
1
1
=
-1= 1-1= 0
cos0 0
2.yol:
tgx - x
0
→ belirsizliği vardır. L’Hospital kuralim
x → 0 sinx
0
lının (Pay ve paydanın türevi) uygulanmasıyla;
tgx - x
1+ tg2 x -1 tg2 0 0 0
lim
= lim
=
= =0
x → 0 sinx
x →0
cosx
cos0 0 1
Yanıt:C
Yanıt:B
12.
2 1 1 2
3 4 3
B) 18
C) 12
determinantının çarpımı a-
şağıdaki sayılardan hangisine eşittir?
A) -1
11.
0, 2, 3, 4 rakamları ile dört basamaklı kaç tane
sayı yazılabilir?
A) 24
1
B) 25
Çözüm:
2 1 1 2
3 4 3
D) 6 E ) 4
1
=
C) 30
D) -25
2.1+ 1.3 2.2 + 1.1
3.1+ 4.3 3.2 + 4.1
=
5
E ) -30
5
15 10
= 5.10 - 5.15 = -25
Yanıt:D
3
1973 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
13.
15.
2x 2 - 3x + tgA = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2
Şekildeki gibi A, B, C
kümeleri veriliyor. Taranmış bölge hangi
cümleyi gösterir?
dir. x 1 = 2x 2 olması için A açısının ölçüsü ne
olmalıdır?
A) 30 0
A) ( A ∩ B ) ∪ C
B) ( A-B ) ∩ C
D) ( A ∪ B ) ∩ C
E ) A ∩ (B ∪ C )
B) 450
C) 60 0
D) 90 0
E ) 120 0
Çözüm:
2x 2 - 3x + tgA = 0
C) A ∩ (B-C )
b
-3
1
→ 2x 2 + x 2 = - → x 2 =
a
2
2
c
tgA
 1  1  tgA
x 1.x 2 = → 2x 2 .x 2 =
→ 2    =
a
2
2
 2  2 
x1 + x 2 = -
Çözüm:
tgA = 1 → A = 450
Yanıt:B
16.
Yandaki eğri, aşağıdaki fonksiyonlardan
hangisinin grafiğidir?
Yanıt:C
B) f : x → f(x) = x 2 -1
C) f : x → f(x) = 1- x 2
D) f : x → f(x) = 1+ x 2
E ) f : x → f(x) = x 2 + 1
14.
x ∈ Z olduğuna göre
A) f : x → f(x) = x 2 -1
10 - x
< 1 eşitsizliğinin çö3
Çözüm:
züm kümesi şunlardan hangisidir?
1.yol:
Şekle göre eğri, x-eksenini ±1 apsisli noktalarda kesmekte olup görünüş itibariyle grafik özel
tanımlı fonksiyonlardan mutlak değer fonksiyonunu anımsatmaktadır. Bu durumda B,C,D seçenekleri elenir. E seçeneğindeki f(x) = x 2 + 1
A) {8,9,10,11,12}
B ) {x : x ∈ Z ve -13 < x < -7}
C) {x ∈ Z : x < 13}
D) {x : x ∈ Z x > 7}
fonksiyonuna ait grafik ise x-eksenini kesmediğinden E seçeneği de elenir. Böylece B,C,D,E
seçenekleri elenmiş olur.
E ) {x : x ∈ Z x > 7 veya x > 13}
Çözüm:
10 - x

< 1→ 7 < x 

3
 {8,9,10,11,12}
10 - x
> -1 → 13 > x 

3
2.yol:
Şekil:1 f(x) = x 2 -1 fonksiyonuna ait grafik, Şekil:2 ise f(x) = x 2 -1 fonksiyonuna ait grafiğin xekseni altında kalan kısmının simetriği alınmak
suretiyle oluşturulan f(x) = x 2 -1 fonksiyonuna
Yanıt:A
4
1973 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
alogab = k → logab.logaa = logak
123
ait grafiğin görüntüsüdür. Şekil:2 deki grafik incelendiğinde,problemde verilen grafik
ile f(x) = x 2 -1 fonksiyonuna ait grafiğin birebir
1
logab = logak → b = k → alogab = b
Yanıt:D
uyumlu olduğu görülür.
19.
1+2i kompleks sayısının 1-2i kompleks sayısına bölümü nedir?
A) -2
D)
17.
5 4
3 0 1
m 4 6
determinantının -10 a eşit olması için m nin değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
A) m=7
D) m=8
B) m=-7
E ) m=10
C) m=9
20.
5x-2y+7=0 , 4x+my-3=0 doğruların dik olması
için m nin değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
Çözüm:
2 5 4
3
0
2 5
+ i
3 3
3 4
C) - + i
5 5
Çözüm:
p = a+ bi ,q = c + di şeklindeki iki karmaşık sayının bölümü;
p a+ bi
p ac + bd bc-ad
=
→ = 2
+
i
q c + di
q c + d2 c 2 + d2
p = 1+ 2i,q = 1- 2i
p 1.1+ 2.(-2) 2.1-1.(-2)
=
+ 2
i
q 12 + (-2)2
1 + (-2)2
p
3 4
=- + i
q
5 5
Yanıt:C
Yanıt:A
2
3 2
- i
5 5
2 5
E) - + i
3 3
B)
1 = -10
m 4 6
A) 10
B) -21
C) -2
-10 = 2.0.6 + 3.4.4 + m.5.1
- (m.0.4 + 2.4.1+ 3.5.6)
5
7
5
x+
→ Eğim; α =
2
2
2
4
3
4
4x + my - 3 = 0 → y = - x + → Eğim; β = m
m
m
Doğruların birbirine dik olması için eğimleri
çarpımı -1 olmalıdır.
5 4 
αβ = -1 →  -  → m = 10
2 m
18.
alogab nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
C) ab
D) b
1
2
5x - 2y + 7 = 0 → y =
Yanıt:D
B) logba
E)
Çözüm:
5m = 40 → m = 8
A) logab
D) 2
E) 1
Yanıt:A
Çözüm:
alogab = k olsun.a tabanına göre logaritma alınırsa;
5
1973 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
21.
Köklerden biri 3 diğer ikisi 2+i , 2-i kompleks
(karmaşık) sayıları olan denklem, aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
D)
E)
3
Çözüm:
π 4
∫ tg xdx = (-x + tgx )
π
π
π
 π
=  - + tg  - -0 + tg0 0 = - + 1+ 0 - 0 = 14
4
4
 4
Yanıt:C
(
x -7x + 17x -15 = 0
x 3 - 3x 2 -7x + 21= 0
x 3 + 3x 2 -7x + 21= 0
x 3 - 27 = 0
x 3 - 3x 2 - x + 3 = 0
24.
cosa
sina
Çözüm:
(x - 3) [ x - (2- i)][ x -(2 + i)] = 0
)
Yanıt:A
B)
15
81
C)
3
71
D)
15
71
E)
sina
cosa
cosa -sina cosa
A) cos3 a- sin3 a
Çözüm:
cosa sina
sina
5
91
=
B)
1
cos2a
4
C) sin4 a
D) 0
1
sin4a
2
E)
22.
Bir torbada 8 beyaz 6 kırmızı bilye vardır. Torbadan gelişigüzel 3 bilye çekilirse üçünün de
kırmızı olması ihtimali aşağıdakilerden hangisidir?
5
71
sina
)
determinantının çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
(x - 3) x 2 - 4x + 5 = 0 → x 3 -7x 2 + 17x -15 = 0
A)
0
0
2
(
π/4
2
sina
cosa
cosa -sina cosa
cosasina- sin2 a cos2 a+ sinacosa
sin2 a-cosasina sinacosa+ cos2 a
= cos2 asin2 a + cos3 asina- sin3 acosa- cos2 asin2 a
Çözüm:
- cos2 asin2a - sin3 acosa+ cos3 asina+ cos2 asin2 a
(
1.yol:
6 5 4
5
. .
=
14 13 12 91
cos2a
1
= sin4a
2
2.yol:
Olasılık =
)
= 2cosasina
cos2 a- sin2 a = sin2acos2a
14243 144
2443
sin2a
Yanıt:E
Đstenen durumların sayısı
Tüm durumların sayısı
6
3!.4.5.6
P 
3
120
5
(6- 3)!

=
=
=
→ Sonuç =
11!.12.13.14
2184
91
 14 
P 
(143)!
3
 
25.
1- cos2x
ifadesi aşağıdakilerden hangisix 2 + xsin2x
ne eşittir?
lim
x →0
Yanıt:E
A) -1
B)
1
2
C)
2
3
D) 0
E) 1
23.
Çözüm:
1- cos2x
0
belirsizliği vardır.
→
lim 2
x → 0 x + xsin2x
0
1- cos2x
cos2x - cos00
lim 2
= − lim 2
x → 0 x + xsin2x
x → 0 x + xsin2x
π 4
∫ tg xdx
2
integralinin değeri aşağıdakilerden
0
hangisidir?
A) 0
B)
π
4
C) 1-
π
4
D)
3π
5
E)
π
2
6
1973 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
2x + 0 0
2x - 0 0
sin
2
2
= -lim
x →0
x 2 + xsin2x
-2sin2 x
sin2 x
1
= -lim
= 2lim 2 .
x →0
x
→
0
sin2x
sin2x
x


1+
x 2  1+
x
x 

28.
f(x) = x 3 - 8 ve g(x) = x + 2 olduğuna göre
-2sin
f ( g(x) ) aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 3 + 6x 2 + 12x
C) x 3 + 5x 2 -12x
B) x 3 - 6x 2 + 12x
D) x 3 - 6x 2 -12x
E ) x 3 -12x
2
sin x
x
0
= 2lim 2 .
= 2.
0
x →0 x
x
+
sin2x
0
+
sin2.0
1424
3
Çözüm:
f(x) = x 3 - 8 
3
 f ( g(x) ) = (x + 2) - 8
g(x) = x + 2 
f ( g(x) ) = x 3 + 6x 2 + 12x
1
= 2.
0
0
=
0
0 + sin2.0
0
0
belirsizliği devam etmektedir. L’Hospital ku0
ralı (Pay ve paydanın türevi) uygulanırsa:
x
1
2lim
= 2 lim
x → 0 x + sin2x
x → 0 1+ 2cos2x
1
2
2
= 2.
=
=
0
1+ 2.cos2.0
1+ 2 3
Yanıt:C
Yanıt:A
29.
3x -1
fonksiyonunun ters fonksiyonu aşağı2x + 1
dakiler hangisidir?
y=
3 - 2x
1+ 2x
1+ x
D) y =
3 - 2x
A) y =
26.
 3x - 5y   x + y   y + 1

 
=

 x + 1   x - y   y -1
eşitliğini sağlayan x ve y değerleri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x=-1 ; y=3
C) x=-3 ; y=1
E ) x=6 ; y=6
B) x=-6 ; y=-5
D) x=5 ; y=6
3x -1
3f-1(x)-1
→ x = -1
2x + 1
2f (x) + 1
1+ x
1+ x
-1
→y=
f (x) =
3 - 2x
3 - 2x
Yanıt:D
30.
1 3.2 2 5.3 2
+
+
+ ... serisi aşağıdakilerden hangi4
6
8
sine eşittir?
27.
Bir lokantada 8 türlü yemek vardır. 3 türlü yemek, yemek isteyen bir kimse kaç türlü seçim
yapabilir?
C) 36
D) 46
2x + 1
3x -1
y=
Yanıt:B
B) 26
C) y =
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulmak için y yerine x,x yerine
f -1 (x) yazılmalıdır.
Çözüm:
 3x - 5y   x + y   y + 1
 x + 1   x - y  =  y -1

 
 

3x - 5y + x + y = y + 1
 x = -6, y = -5
x + 1+ x - y = y -1 
A) 16
2x -1
3x + 1
3x + 1
E) y =
2x + 1
B) y =
∞
A)
(2n-1)n2
2n- 2
n=0
∑
∞
∞
B)
(2n+ 1)n2
D) ∑
E)
4n + 2
n=0
E ) 56
Çözüm:
8
8
8!
5! .6.7.8
C  =
=
→ C   = 56
 3  (8 - 3)!.3! 5! .1.2.3
3
Yanıt:E
7
(2n+ 1)n2
2n- 2
n=1
∑
∞
(2n-1)n2
∑
n=1 2(n + 1)
∞
C)
2n+ 2n
∑ 2n+ 4
n=0
1973 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
Çözüm:
loga x = m → x = am  m
a = bn
n 
logb x = n → x = b 
Çözüm:
Seçenekler tek tek denenecek olursa;
A seçeneği:
∞
(2n-1)n2 (2.0 -1)0 2 (2.1-1)12
=
+
+ ...
∑
2n- 2
2.0 - 2
2.1- 2
n=0
Yanıt:D
∞
(2n-1)n2 0 1.12 3.2 2
= +
+
+ ...
2n- 2
-2
0
2
n=0
∑
32.
A(1;3) noktasının 3x+4y-m=0 doğrusuna uzaklığının 1 e eşit olması için m nin değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
B seçeneği:
∞
(2n+ 1)n2 (2.1+ 1)12 (2.2 + 1)22
=
+
+ ...
∑
2n- 2
2.1- 2
2.2- 2
n=1
∞
(2n+ 1)n2 3.12 5.2 2 7.3 2
=
+
+
+ ...
∑
2n- 2
0
2
4
n=1
A) 5
∞
2n+ 2n
n=0
=
C) 15
D) 20
Bir noktanın bir doğruya uzaklığını veren
bağıntı;
Ax A +By A + C
AH =
A2 +B2
1 2
+ + 1+ ...
4 3
1=
Yanıt:B
∞
(2n+ 1)n2 0 1.12 1.2 2
= +
+
+ ...
∑
4n+ 2
2
2
2
n=0
E seçeneği:
¥
(2n-1)n2 (2.1-1)12 (2.2-1)2 2
=
+
+ ...
∑
2(1+ 1)
2(2 + 1)
n=1 2(n+ 1)
1 3.22 5.3 2
+
+
+ ...
4
6
8
Yanıt:E
31.
loga x = m , logb x = n ise aşağıdaki ifadelerden
hangisi doğrudur?
A) x =
m
n
D) am = bn
B) ma = nb
E) x =
3.1+ 4.3 -m
32 + 4 2
15-m = 5 → m = 10
D seçeneği:
∞
(2n+ 1)n2 (2.0 + 1)0 2 (2.1+ 1)12
=
+
+ ...
∑
4n+ 2
4.0 + 2
4.1+ 2
n=0
=
E) 25
Çözüm:
C seçeneği:
∞
2n+ 2n 2.0 + 20 2.1+ 21
=
+
+ ...
∑
2.0 + 4 2.1+ 4
n=0 2n+ 4
∑ 2n+ 4
B) 10
C) m=n
ma
nb
8