( ) TR - Teknolojik Araştırmalar

www.teknolojikarastirmalar.com
ISSN:1304-4141
Makine Teknolojileri Elektronik Dergisi
2007 (4) 31-37
TEKNOLOJĐK
ARAŞTIRMALAR
Kısa Makale
Van Der Waals Gazlarına Ait Genel Đş Formülleri
Zekai Kazım TELLĐ1, Đbrahim ÜÇGÜL2, Murat ÖZTÜRK2
Süleyman Demirel Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi ISPARTA
2
Süleyman Demirel Üniversitesi Yenilenebilir Enerji Kaynakları Araştırma ve Uygulama Merkezi ISPARTA
1
Özet
Gerçek gazların yüksek basınçlara sıkıştırılması, kimya sanayisinde bazı yüksek basınçlı reaksiyonlar için
gereklidir. Sıkıştırma olaylarında iş ve teknik iş formülleri izoterm, izentropik ve izobar durum değişimleri için
türetilmesi gerekmektedir.
Sunulan çalışmada, Van der Waals denklemi ve Termodinamiğin I. Yasası kullanılarak, gerçek gazların
izoterm, izentropik ve izobar sıkıştırma işlemleri için geçerli iş ve teknik iş bağıntıları türetilmiştir. Bilindiği
üzere mol kütlesi büyük gazlar, yüksek basınç değerlerinde, ideal tutumdan önemli ölçüde farklı olmakta ve
belirgin gerçek gaz özelliği göstermektedir.
Anahtar Kelimeler: Van der Waals gazları, Đş formülleri, Durum değişimleri
1. Giriş
Basınç, sıcaklık ve hacim arasındaki bağıntının deneysel incelenmesinde; ideal gaz denkleminin birçok gaz için
gerçek şartlara uymadığı görülmüştür. Basınç ne kadar büyük ve sıcaklık ne kadar küçük olursa, sapma o derece
büyük olmaktadır. Ancak basıncın düşük ve sıcaklığın büyük olması durumunda ideal gaz denklemlerin yaklaşma
görülmektedir. Đdeal şartları, sapma individüel olduğundan belli basınç ve sıcaklık değerleriyle belirlemek mümkün
değildir. Newton’un çekim yasası göz önüne alındığında, moleküller arası çekim kuvvetlerin uzaklığın karesine ters
orantılı ve moleküllerin mol kütlelerine doğru orantılı olduğu görülür. Gaz ne kadar yoğun ve molekül kütlesi ne
kadar büyük olursa, moleküller arası çekim kuvvetleri o kadar etkindir. Dolayısıyla gaz gerçek tutumludur [1].
Endüstriyel proseslerin çoğunda gazların yüksek basınç değerlerine sıkıştırılması gerekmektedir. Sıkıştırma çok
kademeli olarak gerçekleştirilmekte, ileri kademelerde gazlar ideal gaz özelliğini kaybetmekte ve gerek gaz tutumu
göstermektedirler. Gazların ideal tutumdan sapmasında iki özellik etkilidir.
a-) Moleküller arası çekim kuvvetleri
b-) Đndividüel mol hacmi özellikleri
Basıncın yüksek olması; belirli hacimdeki molekül sayısının çok olduğunu göstermektedir. Dolayısıyla moleküller
arasındaki uzaklık küçük, çekim kuvvetleri etkin olmaktadır. Aynı zamanda düşük sıcaklıklarda moleküllerin
kinetik enerjisi düşüktür ve hareket çekim kuvvetlerinin etkisi altında gerçekleşmektedir. Gerçek gazlarda
gözlemlenen bu özellikleri kullanarak Van der Waals, ideal gaz denklemini aşağıdaki gibi tahsis etmiştir.
(P + Pi )(V − b ) = RT
(1)
Burada, Pi çekim kuvvetlerinden ileri gelen moleküler iç basınçtır ve mol hacminin karesi ile ters orantılıdır.
Teknolojik Araştırmalar: MTED 2007 (4) 31-37
Pi =
Van Der Waals Gazlarına Ait Genel Đş Formulleri
a
V
2
(2)
Denklem (1)’in sol tarafında ki ikinci terim mol hacminin b büyüklüğü ile oluşumunu belirlemektedir. Denklem
(1)’de ki b, Denklem (2)’deki a katsayısı Van der Waals sabitlerini göstermektedir ve her gaz için farklı değerleri
alırlar [2]. Sonuç olarak Van der Waals denklemi;

a
P + 2

V


 V − b = RT


(
)
(3)
şeklini alır. Çok yüksek basınç değerlerinde a ve b basıncın fonksiyonudur (a,b = f(P)). Gerçek gazların izoterm
sıkıştırılması fugasiteler üzerinden belirlenir. Teknik iş;
2
Wt12 = − ∫ VdP
(4)
1
şeklinde olup, sürekli akış ve sürekli açık sistemler için SASA işidir. Serbest entalpi farkı alınarak hesaplanmalıdır.
Sarf edilen teknik iş aşağıdaki ifade ile belirlenir.
Wt12 = -∆GT
(5)
Ancak gerçek gazların sıkıştırılması zamanın küçük kesrinde olması nedeniyle, gerçek gazların durum değişimi
belirleyen denklemlerin bilinmesine ihtiyaç vardır [2].
Sunulan çalışmada, Van der Waals denklemi ve Termodinamiğin I. yasası kullanılarak gerçek gazların izoterm,
izentropik ve izobar durum değişimleri ayrıntılı olarak incelenmiştir. Bu durum değişimleri için geçerli iş ve teknik
iş bağıntıları kullanımları son derece basit olacak şekilde nümeriksel olarak türetilmiştir.
2. Đş ve Teknik Đş Formüllerinin Türetilmesi
2.1. Đzoterm Durum Değişimi
Herhangi bir termodinamik işlem sırasında sıcaklık değişmiyor ise bu işleme sabit sıcaklıkta (izoterm) durum
değişimi denir. Termodinamikte doğrudan izoterm durum değişimi mevcut değildir. Đzoterm sıkıştırma işlemi,
adyabatik sıkıştırma ve ardından soğutma şeklinde olmaktadır. Bir kompresörde izoterm sıkıştırmanın sağlanması,
ancak durum değişimi çok yavaş gerçekleştiği zaman sağlanabilir.
2.1.1. Đzoterm Durum Değişimde Đş Formülü
Literatürde işin tanımını veren pek çok ifade mevcuttur. [3] nolu literatürde işin tanımı,
W = ∫ Pd V
(6)
şeklinde verilmiştir. (3) nolu Van der Waals denkleminden basınç;
P=
RT
a
− 2
V −b V
(7)
şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadenin V ’ye göre türevi alınırsa;
32
Teknolojik Araştırmalar: MTED 2007 (4) 31-37
Telli, Z.K., Üçgül, Đ., Öztürk, M.
(
PdV = RT V − b
)
−1
−2
dV − aV d V
(8)
elde edilir. Türetilen bu ifade Denklem (6)’da yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılarak düzenlenirse;
 V −b  a
+
W = RT ln

V o − b  V o
V o



−
1
V



(9)
Vo =
ifadesi elde edilir. Burada molar hacimler
ifade edilir [2].
RT
Z RT
V =
Po ve
P şeklinde tanımlanmıştır. Z, real faktör olarak
2.1.2. Đzoterm Durum Değişiminde Teknik Đş Formülü
Teknik iş [3];
Wt = −∫ V dP
(10)
şeklinde verilmiştir. Van der Waals denkleminden hareketle, Denklem (7) ifadesinin diferansiyeli alınrsa,
(
dP = − RT V − b
)
−2
−3
d V + 2aV d V
(11)
( )
elde edilir. Bu ifadeyi Denklem (10)’da verilen teknik iş formuna dönüştürmek için denklemin her iki tarafı − V
ile çarpılarak;
− V dP = RT
V dV
(V − b)
2
−
2adV
V
2
(12)
ifadesi türetilir. Bu ifadenin integralini almak için literatürde [5] verilen Bronstein integral kalıbından hareketle
aşağıdaki ifade türetilir.
 −b
− ∫ V dP = RT 
+ ln V − b
V
−
b

(
)
(
V

1
 + 2a

V
 Vo
)
V
Vo
(13)
Bu denklem düzenlenirse real gazlarda teknik iş formülü;
 V − b  b RT  V o − b  2a  V o

−

+


W t = RT ln
−
1
−
1
 V o −b V −b
 Vo  V

V
b
−
o






(14)
şeklinde bulunur.
2.2. Đzentropik Durum Değişimi
Isı alış verişi olmayan, s=sabit bağıntısına uygun olarak değişen işleme izentropik (veya tersinir adyabatik) işlem
denilmektedir.
33
Teknolojik Araştırmalar: MTED 2007 (4) 31-37
Van Der Waals Gazlarına Ait Genel Đş Formulleri
2.2.1. Đzentropik Durum Değişiminde Đş Formülü
(7) noluVan der Waals denklemine, literatürden [4] alınan,
V o − b 

T = To 

V
−
b


χ′
(15)
denklemi yerine yazılır ve denklemde,
(
A = RTo V o − b
)
χ′
(16)
χ′ =
tanımlaması yapılarak,
P=
A
(V − b )
χ ′ +1
R
C v ile birlikte,
a
−
V
2
(17)
basınç ifadesi elde edilir. Bu denklemin her iki tarafı dV ile çarpılıp düzenlenirse;
(
PdV = A V − b
)(
− χ ′ +1)
−2
d V − aV dV
(18)
W = ∫ Pd V
oluşturulur. Đş ifadesi
’yi türetebilmek için yukarıdaki ifadenin integrali Brostein integral kalıbı
kullanılarak alınırsa aşağıdaki sonuç elde edilir.
(
1
∫ PdV = A [− (χ ′ + 1) + 1] V − b
)
− ( χ ′+1)+1
V
Vo
(19)
Bu eşitlik düzenlendiği takdirde aşağıdaki ifade bulunur.
a
W =
Vo
V o

A

−
−
1

V

 χ′V o − b
(
)
χ′
 V o − b  χ ′ 
 − 1

 V − b 

(20)
Burada A ifadesi yerine yerleştirilirse;
a
W =
Vo
χ′

V o
 RTo  V o − b 

−
 − 1

−
1
V
 χ ′  V − b 





(21)
şeklinde ki izentropik durum değişimindeki iş ifadesi türetilmiş olur.
2.2.2. Đzentropik Durum Değişiminde Teknik Đş Formülü
Van der Waals denkleminde, Denklem (15) ve (16)’dan türetilen Denklem (17)’nin diferansiyeli;
dP = −
A(χ ′ + 1)d V
(V − b)
χ ′+1
−3
+ 2aV d V
(22)
34
Teknolojik Araştırmalar: MTED 2007 (4) 31-37
Telli, Z.K., Üçgül, Đ., Öztürk, M.
şeklinde bulunur. Teknik iş için eşitliğin her iki tarafı V ile çarpılarak;
− V dP = (χ ′ + 1) A
V dV
(V − b )
χ ′+ 2
− 2a
dV
V
2
(23)
ifadesi elde edilir. bu ifadenin integral çözümü için literatürden [5] alınan,
xdx
∫ (ax + b )
n
=
1
a2


−1
b


 (n − 2 )(ax + b )n− 2 + (n − 1)(ax + b )n −1 


(24)
ifadesinin açılımını kullanarak;
W t = − ∫ V dP = A( χ ′ + 1)
(
−1
χ′V − b
V
)
χ′
−
b
(χ ′ + 1)(V − b )
− 2a −
χ ′+1
Vo
1
V
V
Vo
(25)
elde edilir. Gerekli düzenlemeler yapılarak;
  V o − b  χ ′  RT b   V o − b  χ ′+1 
 χ′ +1
2a  V o
o

 +
 
 
− 1 +
Wt =
RTo 1 − 
  V o − b 1 −  V − b  
′
χ
−
V o  V
V
b


 
 
 
 
(26)
izentropik durum değişimindeki teknik iş eşitliği elde edilir.
2.3. Đzobar Durum Değişimi
Teknik pratik de genellikle sürekli çalışan sistemlerde basınç sabittir. Örnek olarak gaz ısıtıcısı veya gaz
soğutucusu verilebilir. Đzobar durum değişiminde sadece hacimsel debi ve sıcaklık değişmektedir.
2.3.1. Đzobar Durum Değişiminde Đş Formülü
P = sabit, dP = 0 olmak üzere izobar durum değişiminde iş;
(
W = P V −V o
)
(27)
ifadesinden hesaplanır. Burada basınç;
P=
A
(V − b )
χ ′+1
−
a
V
2
(28)
şeklindedir. Literatürden [4] alınan Denklem (15) ve ayrıca hesaplamalarda kısaltma sağlayan Denklem (16)
kullanılabilir. Ayrıca V o = 22,414 m kmol ve V ≈ b [2] arasında incelenen gerçek gazlar için değerler alınarak
tablo oluşturulur ve gerekli değerler bu tablodan alınarak W işi hesaplanır. Tablo 1’de örnek olarak hidrojen
gazının molar hacminin basınç ve sıcaklıkla değişimi verilmiştir.
3
35
Teknolojik Araştırmalar: MTED 2007 (4) 31-37
Van Der Waals Gazlarına Ait Genel Đş Formulleri
Tablo 1. Hidrojen gazı için molar hacmin basınç ve sıcaklıkla değişimi
V (m3/kmol)
P(bar)
T(K)
V (m3/kmol)
22,414
1
273
8
20
119
286
6
18
138,1
298,5
4
16
163
313,2
2
14
196,8
330,7
1
12
244,6
352,2
0,5
10
316,3
379,4
0,25
Buraya kadar türetilen iş formülleri tüm basınç değerleri için geçerlidir.
P(bar)
T(K)
433,4
650,6
1154,9
3091,2
8356
23043
66307,6
415,6
467,4
551,7
733,6
978,1
1311,7
1780,8
2.3.2. Đzobar Durum Değişiminde Teknik Đş Formülü
2
Đzobar durum değişiminde dP=0 olduğu için
olduğu görülür.
W t = − ∫ VdP
1
ifadesinden teknik işin izobar durum değişiminde sıfır
3. Örnek Uygulama
Örnek uygulama olarak izoterm sıkıştırma seçilmiştir. Havanın 1 bardan 300 bara, 300 K sıcaklıkta izoterm olarak
sıkıştırıldığı kabul edilmiştir. Literatürde mevcut olan teknik fugasiteler ve bu çalışmada izoterm sıkıştırma işi için
türetilen kesin formüller yardımıyla hesap uygulaması yapılmış ve sonuçlar karşılaştırılmıştır.
T = 300 K için havanın kritik sıcaklığı (Tkr,Hava) ve kritik basıncı (Pkr,Hava) aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.
Tkr , Hava = TKr , N 2 xn N 2 + TKr ,O2 xnO2
Tkr,H = Tkr , N 2 .0,79 + Tkr ,O2 .0, 21
= 126.0,79 + 155.0,21
= 132 K
Pkr , Hava = PKr , N 2 xn N 2 + PKr ,O2 xnO2
Pkr,H = Pkr , N 2 .0,79 + Pkr ,O2 .0,21
= 33,93.0,79 + 50,8.0,21
= 37,5 bar
T* = T/Tkr,H=300/132=2,27
P1 = 1 barda, P2* = P Pkr , H = 300 37,5 = 8
.
Teknik iş fugasiteler üzerinden W t = − n RT ln f 2 f1 şeklinde hesaplanır[6]. Burada f i = z fi .Pi olup burada f i
.
ve z fi i bileşenine ait fugasite ve fugasite kofisyenidir. n = 1 kmol, R = 8,315 kj kmolK , literatürden [6],
z f1 = 1 , z f 2 = 0,95 alınarak f1 = z f1 P1 ve f 2 = z f 2 P2 için f1 = 1 bar, f 2 = 0,95.300 = 285 ve,
W t = −8,315.300. ln 285 1 = −14100 kJ
olarak teknik iş fugasiteler üzerinden hesaplanır.
Kesin formüllerle hesaplama yapmak için, bu çalışmada türetilen Denklem (14) kullanılmıştır.
W t = RT ln

V 2 − b b RT  V 1 − b  2a  V 1


− 1
−
− 1 +


V 1 − b V 1 − b V 2 − b  V 1 V 2

36
Teknolojik Araştırmalar: MTED 2007 (4) 31-37
Telli, Z.K., Üçgül, Đ., Öztürk, M.
Real faktörler literatürden [2], Z1=1 alınarak P1V 1 = Z 1 RT ifadesinden V 1 ;
V 1 = Z1 RT P1 =
8315 J kmolK .300 K
≅ 25 m 3 kmol
10 5 N m 2
Z 2 = 1,1 alınarak P1V 2 = Z 2 RT ifadesinden V 2 ;
1,1.8315.300
V 2 = Z 2 RT P2 =
≅ 0,09 m 3 kmol
5
300.10
bulunur. Van der Waals sabitleri;
bhava = 0,0394.0,79 + 0,0312.0,21 = 0,0377 m3/kmol
ahava = 1,398.0,79 + 1,3375.0,21 = 1,39 bar m6/kmol2’dir.
Tüm veriler yerine yazılarak;
W t = 8,315.300 ln
0,09 − 0,0377 0,0377.8,315.300  25 − 0,09
 2.1,39.10 5
−
− 1 +

25 − 0,0377
25 − 0,09
25
 0,09 − 0,041 
 25

− 1

 0,09 
W t = −14224 kJ kmol
Hava 1 kmol alındığın için W t = −14224kJ elde edilir.
Görüleceği üzere fugasitelerden hesaplanan teknik iş ve kesin formüllerle hesaplanan teknik iş aynı sonucu
vermektedir. Ayrıca şu da ortaya çıkmaktadır; 1 kmol hava içerisinde 300 bar basınçta 14100 kJ’lük enerji
depoludur.
4. Sonuçlar
Gerçek gazların izoterm, izentropik ve izobar durum değişimleri için Van der Waals denklemi ve Termodinamiğin
I. Yasası kullanılarak iş ve teknik bağıntıları elde edilmiştir. Đzobar durum değişimi için nümeriksel olarak türetilen
ve uygulaması çok basit olan iş formülünün örneklendirilmesinde özellikle hidrojen seçilmiştir. Bunun temel
nedeni son yıllarda temiz enerji taşıyıcısı olarak hidrojenin ön plana çıkmasıdır. Ayrıca çeşitli enerji
kaynaklarından (doğal gaz reformundan, kömürün gazlaştırılmasından, güneşten, rüzgardan vb.) üretilen hidrojenin
sabit basınç altında depolanmasında ne kadarlık bir işe ihtiyaç duyulacağı belirtilmiştir. Bununla beraber izoterm
durum değişimi için yapılan örnek bir uygulamada gerçek gaz olarak hava alınmıştır. Türetilen kesin formüllerle
yapılan hesaplama sonucunun; fugasiteler üzerinden yapılan hesaplamayla aynı olduğu görülmüş ve türetilen kesin
formüllerin kullanılabilirliği ortaya konmuştur. Bu çalışmada elde edilen izoterm, izentropik ve izobar durum
değişimleri için iş ve teknik iş formülleri daha sonra yapılacak olan deneysel çalışmalarda rahatlıkla kullanılacaktır.
5. Kaynaklar
1. Bejan, A., “Advanced Engineering Thermodynamics”, John Wiley, 1988.
2. Telli, Z.K., “Termodinamik Problemleri Đle Birlikte”, Palme Yayıncılık, Ankara, 1998.
3. Çengel, Y.A., “Mühendislik Yaklaşımıyla Termodinamik”, Literatür Yayıncılık, Ankara, 1996.
4. Telli, Z.K., “Termodinamik Semineri”, Palme Yayıncılık, Ankara, 1998.
5. Bronstein,I.,N., Semendjajew, K.,A., “Taschenbuhder Mathematik, Verlagtlarri Deutsch, 1968, Zürrch und
Frankfurt, 8 Auflage, p.283-330.
6. Telli, Z.K, “Yakıtlar ve Yanma”, Süleyman Demirel Üniversitesi, Mühendislik Mimarlık Fakültesi Makine
Mühendisliği Bölümü, Isparta, 1996.
37