Microsoft PowerPoint - 7-\335\347 \307arp\375m Uzaylar\375-2003
advertisement
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI Tanım: Bir V reel vektör uzayındaki iç çarpım, , , bu uzaydaki tüm vektör ve skalerler için aşağıdaki aksiyomları sağlayan ve V vektör uzayındaki her u ve v vektörleri ile , reel sayısını bağdaştıran bir fonksiyondur: 1. ,=, 2. + , = , + , 3. , = , 4. , ≥ 0 Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; .= 1 1 + ⋯ + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit iç çarpımının en önemli özellikleri aksiyomlara dayanarak açıklanacak ve iç çarpım konusunun uzunluk ve uzaklık kavramlarının vektör uzayında tanımlanmasında nasıl kullanılacağı ele alınacaktır. İÇ ÇARPIM UZAYLARI Tanım: Eğer w1,…,wn ağırlık olarak adlandırılan pozitif reel sayılar ise ve u=(u1,…,un), v=(v1,…,vn), ℜ uzayındaki vektörler ise, , = 1 1 1 + ⋯ + formülü ℜ‘de tanımlı, ağırlıklı öklit iç çarpımını tanımlar. İÇ ÇARPIM UZAYLARI Tanım: Eğer V bir iç çarpım uzayı ise V uzayındaki bir u vektörünün uzunluğu: || = ,1⁄2 u ve v gibi iki nokta (vektör) arasındaki mesafe d(u,v) ise; , = |− | = − ,− 1⁄2 Not: Uzunluk ve uzaklık (mesafe) kullanılan iç çarpım uzayına bağımlıdır. İç çarpım değişir ise uzunluklar ve uzaklıklarda değişir. ÖKLİT GEOMETRİSİ ÖKLİT GEOMETRİSİ Tanım: Bir üçgenin iki kenarının uzunluklarının toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyük ya da eşittir: |+ | ≤ || + || Tanım: Bir paralel kenarın köşegenlerinin karelerinin toplamı dört kenarının karelerinin toplamına eşittir: |+ |2 + |− |2 = 2||2 + ||2 Not: Bu sonuçlar, hangi içi çarpım uzayının kullanıldığı önemli olmaksızın, tüm içi çarpım uzayları için geçerlidir. Bkz. Örnek 1 MATRİSLERİN TÜRETTİĞİ İÇ ÇARPIM UZAYLARI • Öklit iç çarpım uzayları ile • Ağırlıklı öklit iç çarpım uzayları ℜn uzayında tanımlı genel iç çarpımların özel durumlarıdır. Genel İç Çarpım Uzayları ℜn uzayında tanımlı vektörler ya da n×1 boyutlu matrisler, 1 1 = ⋮ ve = ⋮ olsun. Tersi alınabilen ve boyutu n×n olan bir matris A olsun. Genel İç Çarpım Uzayları Genel olarak ağırlıklı öklit iç çarpımı, √1 = ⋮ 0 alınarak, ⋯ 0 ⋱ ⋮ ⋯ , = = 1 1 1 + ⋯ + Genel İç Çarpım Uzayları Tanım: Eğer u.v ifadesi ℜn uzayında tanımlı öklit iç çarpım uzayı ise, , = . , = , = ile tanımlanan iç çarpım, ℜn uzayında A matrisinin türettiği iç çarpım olarak adlandırılır. ℜn uzayında n×n boyutlu birim matrisin türettiği iç çarpım, , = . = . öklit iç çarpımıdır. Matrislerde İç Çarpım Tanım: Boyutları n×n olan U ve V gibi iki matrisin, 11 21 = ⋮ 1 12 22 ⋮ 2 matris iç çarpımı; … … … … 1 11 2 21 = ⋮ ⋮ 1 12 22 ⋮ 2 … … … … , = 11 11 + 12 12 + ⋯ + 1 2 ⋮ Bir Matrisin Uzunluğu Tanım: Belirlenen bir iç çarpım uzayına göre U matrisinin göreli uzunluğu, , 1⁄2 = || = 11 11 + 12 12 … + Cauchy-Schwarz Eşitsizliği Teorem 7.1: Eğer u ve v bir reel iç çarpım uzayındaki vektörler ise, ,2 ≤ ,, ve ,2 ≤ ||2 ||2 Kare kökü alınarak, , ≤ ||||. Not:||2 = , ve ||2 = , Bkz. Örnek 2 İç Çarpımın Bazı Özellikleri Teorem: Reel bir iç çarpım uzayındaki vektörler u, v, w olsun eğer k bir skaler ise; 1. , = , = 0 2. ,+ = , + , 3. , = , 4. − , = , − , 5. ,− = , − , İç Çarpım Uzayında Ortogonallik Tanım: Bir iç çarpım uzayında eğer , = 0 ise u ve v vektörleri ortogonaldir. Eğer u vektörü bir W vektör uzayındaki tüm vektörlere ortogonal ise u vektörü W vektör kümesine ortogonaldir denir. Genelleştirilmiş Pisagor Teoremi Teorem: Eğer bir iç çarpım uzayındaki u ve v vektörleri ortogonal ise: |+ |2 = ||2 + ||2 Ortanormal Bazlar: Gram-Schmidt Yöntemi Vektör uzaylarını içeren problemlerde, problemi çözmek için vektör uzayı ile uyumlu her hangi bir bazın seçilmesinde bir kısıtlama yoktur. Bununla birlikte iç çarpım uzaylarında birbirlerine ortogonal vektörlerin baz olarak seçilmesi problemin çözülmesini kolaylaştırır. Bu kısımda ortogonal açıklanacaktır. Ortanormal Bazlar: Gram-Schmidt Yöntemi Tanım: Bir iç çarpım uzayındaki vektörler kümesi eğer bu kümedeki tüm farklı vektör çiftleri ortogonal ise ortogonal küme olarak adlandırılır. Bir ortogonal kümedeki tüm vektörler birim (1) uzunlukta ise ortanormal vektör olarak adlandırılır. Tanım: Bir iç çarpım uzayında orta normal vektörlerin oluşturduğu baz ortanormal bazdır. Ortogonal vektörlerin oluşturduğu baz ortogonal bazdır. bazların nasıl elde edileceği Ortanormal Baza Göre Kordinatlar Teorem 7.2: Eğer = !1 , … , " kümesi bir V iç çarpım uzayında ortanormal baz ise V uzayındaki her hangi bir u vektörü: = ,1 1 + ⋯ + , Bkz. Örnek 3 Teorem 7.2 de tanımlanan, ,1 , … , , Skalerleri ortanormal baza = !1 , … , " göre u vektörünün kordinatlarını tanımlamaktadır: = ,1 , … , , vektörü bu baza göre u vektörünün koordinatlarını verir. Ortogonal Baza Göre Kordinatlar Tanım: Eğer = !1 , … , " kümesi bir V vektör uzayının bazı ise kümedeki vektörlerin normalize edilmiş yapıları; = #|1 | , … , ||$ 1 Ortogonal Vektörler Doğrusal Bağımsızdır Teorem 7.3: Eğer = !1 , … , " kümesi bir iç çarpım uzayında sıfırdan farklı ortogonal vektörler kümesi ise S kümesi doğrusal bağımsızdır. Bkz. Örnek 4 ortanormal bazı tanımlar. Tanım: Bir V vektör uzayındaki her hangi bir vektör u olsun. Teorem 7.2 kullanılarak: = ,|1 | |1 | + ⋯ + ,|| || 1 1 ve sonuç olarak: = ,1 |1 | 1 +⋯+ , || İzdüşüm Teorem: V iç çarpım uzayının sonlu boyutlu bir alt uzayı W ise V uzayındaki her u vektörü; u=w1+w2 şeklinde yazılabilir. Burada w1 vektörü W alt uzayında olup u vektörünün W alt uzayına ortogonal izdüşümümü tanımlar; 1 = w2 vektörü ise W alt uzayına diktir: 2 = − İzdüşüm İzdüşüm Ortogonal ve Ortanormal Bazların Bulunması Teorem: Bir V iç çarpım uzayının sonlu boyutlu alt uzayı W olsun; a. W alt uzayı için ortanormal baz !1 , … , " ise V uzayındaki her hangi bir vektör u ise: 1 1 + ⋯ + , = , Teorem: Sıfırdan farklı sonlu boyutlu her iç çarpım uzayı bir ortanormal baza sahiptir. b. W alt uzayı için ortogonal baz !1 , … , " ise V uzayındaki her hangi bir vektör u ise: = ,1 |1 | 1 +⋯+ , || Ortanormal Baz: Gram-Schmidt Yöntemi Aşağıda verilen aşamalar dizisi bir V iç çarpım uzayı için bir ortogonal baz !1 , … , " oluşturur. Adım 1. v1=u1 olsun. Adım 2. u2 vektörü için v1 vektörünün türettiği W1 alt uzayına ortogonal bileşen v2; , 2 = − = − | |1 1 1 1 bulunuz. Adım 3. u3 vektörü için v1 ve v2 vektörlerinin türettiği W2 alt uzayına ortogonal bileşen v3; , , 3 = − = − | |1 1 − | |2 2 2 bulunuz. Bkz. Örnek 5 1 2 Ortanormal Baz: Gram-Schmidt Yöntemi Ortanormal Baz: Gram-Schmidt Yöntemi Yukarıda açıklandığı gibi devam edilerek n adım sonra ortogonal vektörler kümesi !1 , … , " elde edilir. V uzayı n boyutlu olduğu ve her ortogonal küme doğrusal bağımsız olduğundan, !1 , … , " kümesi V uzayı için ortogonal bir baz tanımlar. Gram-Schmidt yöntemi; V uzayını türeten her hangi bir u1,…,un bazını 1 , … , ile tanımlanan ortogonal baza dönüştürmektedir. Ortogonal İzdüşümün Yaklaşım Amacıyla Kullanılması ℜ3 uzayındaki her hangi bir nokta P ve W ise orijinden geçene bir düzlem (alt uzay) olsun. W düzleminde P noktasına en yakın nokta ise θ olsun. Bu θ noktası P noktasından W düzlemine bir dik doğru indirilerek bulunabilir. &&&&&' Eğer = ise P noktası ile W düzlemi arasındaki mesafe, |− | olacaktır. Diğer bir deyişle W düzlemindeki tüm w vektörleri arasından = vektörü |− | uzaklığını minimize eden vektördür. Farklı Bir Bakış Açısı u vektörünün sabit bir vektör olduğu varsayılsın ve bu vektöre W düzlemindeki bir vektör ile yaklaşılmaya çalışılsın. Yaklaşım için kullanılan vektör w ise aynı düzlemde yer almadıkları için arada mutlaka bir hata oluşacaktır. Çünkü u vektörü ℜ3 uzayında w vektörü ise ℜ2 alt uzayındadır. Elde edilen hata vektörü: u-w Hata vektörünün 0 vektörüne eşit olabilmesi için u vektörü W alt uzayında olmalıdır. En İyi Yaklaşım Hata vektörünün uzunluğunun, |− | olabildiğince küçük olması için = olarak seçilmesi gereklidir. Hata vektörünün uzunluğu, |− | Sonuç olarak vektörü W düzlemindeki vektörler arasında u vektörüne en iyi yaklaşım olarak tanımlanabilir. En İyi Yaklaşım En İyi Yaklaşım Teorem 7.4: İç çarpım uzayı V nin sonlu boyutlu bir alt uzayı W olsun Eğer u vektörü V uzayında ise vektörü W alt uzayından u vektörüne, uzaklık bakış açısı ile, en iyi yaklaşımdır: |− | < |− | Burada w vektörü W alt uzayında vektöründen farklı her hangi bir vektördür. Bkz. Örnek 6 BAZ DEĞİŞİKLİĞİ: ORTOGONAL MATRİSLER Bir problem için uygun olan baz bir diğer problem için uygun olmayabilir. Bu nedenle vektör uzaylarında bir bazın başka bir baza dönüştürülmesi önemlidir. Baz bir kordinat sisteminin genel vektör uzayını tanımladığı için bazın değiştirilmesi ℜ3 ve ℜ2 vektör uzaylarındaki kordinat eksenlerininin değiştirilmesi anlamını taşır. Kordinat Matrisleri Eğer = !1 , … , " kümesi V vektör uzayının bazı ise V uzayındaki her bir v vektörü baz vektörlerin doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir: = 1 1 + ⋯ + skalerler, k1,…,kn ise S bazına göre v vektörünün göreli kordinatlarıdır: = 1 , … , Kordinatlar n×1 boyutlu matris olarak da gösterilebilir: 1 = ⋮ Bu matris S bazına göre v vektörünün kordinat matrisidir.
