15. bölüm - akademi vizyon

GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
15. BÖLÜM
Uzay Geometrisi ve Katı Cisimler
1. GİRİŞ
i)
d1
TEOREM 1: Uzayda farklı
iki doğrunun en çok bir
B
A noktası d doğrusu üze-
A
rindedir.
A
ortak noktası vardır. (Şe-
d
kil - 1)
B noktası d doğrusu üzerinde değildir.
ii) K noktası E düzlemin-
L
dedir.
L
d2
Şekil 1
TEOREM 2: Uzayda bir
K
noktası E düzlemi
üzerinde değildir.
C
de bulunmayan bir nokta
E
bir
tek
düzlem
B
belir-
tir.(Şekil - 2)
iii) d doğrusu P düzleminE
dedir.
d
A
doğru ve bu doğru üzerin-
Şekil 2
F
d
(E ve F noktaları P düz-
TEOREM
lemindedir.)
P
3:
Uzayda
d1
kesişen farklı iki doğru bir
tek düzlem belirler. (Şe-
d
kil - 3)
d2
P
iv) d doğrusu P düzleminde
Şekil 3
N
değildir.
d doğrusu P düzlemini N
d
TEOREM 4: Bir doğru,
P
noktasında keser.
üzerinde bulunmadığı bir
düzlemi keserse arakesit
A
bir tek noktadır. (Şekil - 4)
d
P
v) d doğrusu P düzleminde değildir.
Şekil 4
d doğrusu P düzlemine paraleldir.
P
TEOREM 5: Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa
bu nokta ortak doğru üzerindedir (Şekil 5)
2. Uzay Kavramı ve Konum Aksiyonları:
i)
Farklı iki noktadan geçen bir tek doğru vardır.
ii) Herhangi bir doğru üzerinde en az iki nokta ve dışında en az bir nokta vardır.
TEOREM
iii) Aynı doğru üzerinde olmayan farklı üç noktayı üze-
6:
Farklı iki düz-
rinde bulunduran bir tek düzlem vardır.
lemin en çok
iv) Bir doğrunun farklı iki noktası bir düzlemde ise bu
A
d
P
bir ortak doğru
doğru üzerindeki bütün noktalar da bu düzlem üze-
üzerindedir.
rindedir.
(Şekil - 5)
v) Farklı iki düzlemin ortak en çok bir doğrusu vardır.
E
Şekil 5
vi) Hepsi aynı düzlemde bulunmayan en az dört nokta
vardır.
www.akademivizyon.com.tr
1
ACAR KALİTE-DEĞER-MİLAT TEMEL LİSESİ
www.akademivizyon.com.tr
TEOREM
düzlem
7:
Farklı
kesişirse,
UZAY GEOMETRİSİ VE KATI CİSİMLER
d
iki
bu
iii) Doğru ile düzlemin
E
ortak noktası yoksa
düzlemlerin arakesiti bir
d
doğrudur. (Şekil - 6)
doğru düzleme paE
ralel denir.
Şekil 10
(Şekil - 10)
P
E  d =   E // d dir.
Şekil 6
TEOREM
3. Paralellik Aksiyomu ve Bazı Sonuçları
d1
doğruya
d1
9:
paralel
Aynı
olan
farklı iki doğru paralel-
d
dir. (Şekil - 11)
A
d2
d2
d2
Paralel doğrular
d1  d2 = 
d1 // d2
Kesişen doğrular
d1  d2 = {A}
d1
Şekil 11
d1
d1 ve d2 aykırı doğrular-
TEOREM 10: Para-
dır.
d1  d2 = 
d1 ve d2 paralel değildir.
lel
d2
iki
doğrudan
birini bir tek noktada kesen bir düzA
lem, diğer doğruyu
da keser.
TEOREM
8:
Uzayda
A
paralel iki doğru bir tek
düzlem
(Şekil - 12)
B
belirtir,yani
paralel iki doğru bir tek
E
C
E
düzlem içindedir.
D
Şekil 12
Şekil 7
(Şekil - 7)
d1 // d2  d1, d2  E
TEOREM 11: Bir
düzlemin içindeki
4. Uzayda Bir Doğru ve Düzlem Konuları
bir
d
A
bir
bir tek ortak noktası
E
TEOREM 12: Bir
doğru bir düzleme
paralel ise, bu
doğruyu üzerinde
bulunduran
ve
verilen
düzlemi
kesen
herhangi
bir
düzlemin
arakesit doğrusu
verilen
doğruya
paraleldir.
d  E = {A}
A
ii) Doğru ile düzlemin
d
farklı iki ortak nokvarsa
doğru
(Şekil - 9)
B
E
Şekil 9
A, B  E
  d  E dir.
A, B  d 
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
d2
d1
bu
P
Şekil 13
dir. (Şekil - 13)
Şekil 8
düzlemin içindedir.
doğru
düzleme paralel-
mi keser. (Şekil - 8)
tası
düzlemin
dışında bulunan
Doğru ile düzlemin
varsa doğru düzle-
(d2 // d1 ve
d2  P = )
 d1 // d2
doğruya
paralel olan ve
bu
i)
d2
B
P
d1
d1
A
d2
P
E
Şekil 14
d1 // P, A  d2 ve d1 // d2  d2  P
(Şekil - 14)
2
www.akademivizyon.com.tr
GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
d1
TEOREM 13: Bir
TEOREM 19: Aynı düzleme paralel farklı iki düzlem
birbirine paraleldir. (Şekil - 19)
doğru bir düzleme
paralel
ise,
bu
düzlemdeki bir A
TEOREM 20: Paralel iki düzlemden birini kesen bir
d2
noktasından geçen
ve
bu
düzlem diğerini de keser ve arakesit doğruları paraleldir.
E
doğruya
(Şekil - 20)
P
paralel olan doğru
Şekil 15
bu düzlemin içind1 // E,
dedir. (Şekil - 15)
P
d2  E ve d2  P
 d1 // d2
P
d1
d1
TEOREM 14: Kesi-
E
E
şen iki düzlemin her
E
birine paralel olan
bir doğru, bu düzlemin
arakesit
d2
N
doğrusuna da para-
Şekil 19
leldir. (Şekil - 16)
d
Şekil 20
P
Şekil 16
TEOREM 21: paralel iki düzlemden birini kesen bir
d1 // E ve d1 // P  d1 // d
doğru diğerini de keser. (Şekil - 21)
d
TEOREM 15: Aynı düzleme paralel olan ve kesişen iki
doğrunun belirttiği düzlem ilk düzleme paraleldir.
P
(Şekil - 17)
TEOREM 16: Uzayda bir düzlem ve bu düzlemin dışınE
da bir nokta verildiğinde , verilen noktadan geçen ve
verilen düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır.
(Şekil - 18)
Şekil 21
5. Uzay İçin Diğer Aksiyomlar
TEOREM 17: Bir düzlemin dışındaki belli bir noktadan
i)
geçen ve düzleme paralel olan doğruların hepsi , bu
Herhangi bir doğru üzerinde sınırsız sayıda nokta
vardır.
noktadan geçen ve verilen düzleme paralel olan düzlem
ii) Düzlemde bir noktadan sınırsız sayıda doğru geçer.
içindedir.
iii) Uzayda bir noktadan sınırsız sayıda doğru geçer.
iv) Uzayda bir doğrudan geçen sonsuz sayıda düzlem
TEOREM 18: Paralel iki düzlemin birinin içindeki her
vardır.
doğru diğer düzleme paraleldir. (Şekil - 17)
d1
d1
6. Uzayda Doğruların ve Düzlemlerin Dikliği
d2
P
TEOREM
d2
22:
d
Bir
düzlemin kesişen iki
P
doğrusu
d1
kesişme
noktasında dik olan
d1
bir doğru, bu düzle-
d1
me diktir. (Şekil - 22)
d2
E
d2
Şekil 22
E
Şekil 17
www.akademivizyon.com.tr
d2
E
d  d1 ve d  d2  d  E dir.
Şekil 18
3
ACAR KALİTE-DEĞER-MİLAT TEMEL LİSESİ
www.akademivizyon.com.tr
UZAY GEOMETRİSİ VE KATI CİSİMLER
TEOREM 23: Paralel iki düzlemden birine dik olan bir
TEOREM 28: (Üç dikme teoremi)
doğru diğer düzleme de diktir.
Bir düzlemin dışında bulunan bir noktadan bu düzleme
ve düzlem içindeki bir doğruya birer dikme çizilirse, iki
dikme ayağını birleştiren doğru düzlem içindeki doğruya
TEOREM 24: Aynı doğruya (farklı noktalarda) dik olan
diktir. (Şekil - 27)
iki düzlem birbirine paraleldir. (Şekil - 23)
A
d1
d2
K
H
P
E
E
E
Şekil 27
P
Şekil 28
Şekil 23
TEOREM 29: Bir düzleme dik olan bir doğruyu içinde
bulunduran düzlemler bu düzleme diktir. ( Şekil 28)
d
TEOREM 25 :Bir noktadan
geçen
ve
TEOREM 30: Para-
bir
lel
doğruya dik olan bir tek
düzlem vardır.
(Şekil - 24)
E
düzlemden
birine dik olan bir
A
B
iki
düzlem
C
P
diğerine de
diktir.
E
Q
Şekil 24
TEOREM
26:
P // Q ve
EQEP
Aynı
düzleme dik olan iki
doğru birbirine paralel-
TEOREM 31: Bir
dir. (Şekil - 25)
doğru iki düzlem-
E
den birine paralel,
E
d
diğerine dik ise bu
d1
iki düzlem birbirine
d2
Şekil 24
diktir.
d1  E ve d2  E  d1 // d2
P
d  E ve d // P
EP
TEOREM 27: Bir düzlemin içinde alınan bir noktadan
geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır. (Şekil - 26)
TEOREM 32: Bir düzlem içinde n tane farklı doğru
d
düzlemi; En çok
d1
A
AE
d1  E = {A}
d  E dir.
bölgeye ayırır.
d2
TEOREM 33 : Uzay’da n tane farklı düzlem uzayı; en
E
çok
Şekil 26
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
n2  n  2
bölgeye, en az n + 1
2
4
n2  n  2
bölgeye, en az n + 1 bölgeye ayırır.
2
www.akademivizyon.com.tr
GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
ÖRNEK
ÖRNEK
Bir düzlem içindeki farklı üç doğrunun birbirine göre
Uzayda 11 tane farklı düzlem uzayı; en az kaç bölge-
durumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesin-
ye ayırır?
likle yanlıştır?
A) 11
A) Bir düzlem içindeki üç doğru bir noktada kesişebilir.
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
ÇÖZÜM
B) Bir düzlem içindeki üç doğru birbirlerini ikişer ikişer
11 tane farklı düzlem uzayı en az 11 + 1 = 12 bölgeye
farklı noktalarda kesebilir.
ayırır.
C) Bir düzlem içindeki üç doğrudan ikisi paralel ise,
Cevap B’dir.
üçüncü doğru onları kesebilir.
D) Bir düzlem içindeki üç doğrudan ikisi bir noktada
kesişir ise, üçüncü doğru bunlara paralel olabilir.
E) Bir düzlem içindeki üç doğru birbirlerine paralel
ÖRNEK
olabilir.
R3 te aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. Paralel iki düzlemi kesen üçüncü düzlemin ara
kesitleri paraleldir.
II. İki noktadan yalnız bir düzlen geçer
ÇÖZÜM
Seçenekler incelendiğinde A, B, C ve E doğru olduğu
III. Aynı doğru üzerinde bulunmayan farklı üç nokta
bir düzlem belirtir.
açıktır. Fakat D seçeneğine baktığımızda;
“Bir düzlem içindeki üç doğrudan ikisi bir noktada kesişir
ise, üçüncü doğru bunlara paralel olabilir.” ifadesi kesin-
A) Yalnız I
B) Yalnız III
likle yanlıştır.
D) I ve III
E) II ve III
C) I ve II
Bir düzlemde kesişen d1 ve d2 doğrularını alalım. Üçüncü doğrumuz da d3 olsun.
ÇÖZÜM
d3
d1

TEOREM 20’ye göre I. önerme doğrudur.

İki noktadan sonsuz tane düzlem geçtiğinden II.
önerme yanlıştır.
d2

Buna göre kesişen iki doğrunun dışındaki üçüncü doğru
Uzay Kavramları ve Konum Aksiyomlarından (iii)’e
göre III. önerme doğrudur.
bu iki doğrudan yalnız birine paralel olabilir.
Cevap D’dir.
Ancak bu iki doğruya paralel olamaz.
Cevap D’dir.
ÖRNEK
R3 aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Farklı iki noktadan geçen bir tek doğru vardır.
ÖRNEK
B) Farklı iki düzlem kesişirse, bu düzlemlerin arakesiti
bir doğrudur.
Bir düzlem içinde kaç farklı doğru, o düzlemi en çok
56 bölgeye ayırır?
A) 8
B) 9
C) Farklı iki düzlemin en çok iki ortak doğrusu vardır.
C) 10
D) 11
D) Doğru ile düzlemin farklı iki ortak noktası varsa
E) 12
doğru düzlemin içindedir.
E) Kesişen farklı iki doğru bir tek düzlem belirtir.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
2
n n2
= 56  n2 + n + 2 = 112  n2 + n = 110
2
A, B, D, E şıklarını incelediğimizde her birinin birer
teorem olduğu açıktır. Farklı iki düzlemin en çok ortak
 n(n + 1) = 110  n = 10
bir doğrusu olduğundan C şıkkı yanlıştır.
Cevap C’dir.
www.akademivizyon.com.tr
Cevap C’dir.
5
ACAR KALİTE-DEĞER-MİLAT TEMEL LİSESİ
www.akademivizyon.com.tr
UZAY GEOMETRİSİ VE KATI CİSİMLER
PRİZMA
Alt ve üst tabanları paralel ve eş şekillerden oluşan
ÖRNEK
cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzlemine
AB = 6 birim
dik olan prizmalara dik prizma denir. Prizmalar tabanla-
E
Y
BC = 3 birim
rının şekline göre isimlendirilirler.
X 1
F
G
AF = 5 birim
HX = HZ = 1 birim
H
1
2 Z
5
C
HY = 2 birim
D
3
A
B
Yukarıdaki gibi dikdörtgenler prizması şeklindeki bir
kutunun A köşesinden harekete başlayan üç karıncadan
birincisi X, ikincisi Y, üçüncüsü Z noktasına sırasıyla x, y
ve z birim yol olarak ulaşmıştır.
Kutunun ABCD tabanından geçemeyen bu karınca-
DİK PRİZMA
lar X, Y ve Z noktalarına kutu yüzeyinde kalarak en
D1
Prizmalarda alt ve üst tabanların
kenar
uzunluklarına
C1
kısa yollardan ulaştıklarına göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A1
B1
taban ayrıt ,yanal yüzeyleri
A) x < y < z
D) y < z < x
birleştiren ayrıtlara da yanal
B) x < z < y
E) z < y < x
C) y < x < z
denir.
ÇÖZÜM
[AB], [BC], … [A1B1], [B1, C1]
D
C
taban ayrıtlarıdır.

A
[AA1], [BB1], [CC1], [DD1]
E
5
X1H
x
2
Y
ACZ dik üçgeninde,
B
z2 = 92 + 42 = 97
yanal ayrıtlarıdır.

Dik prizmalarda yanal ayrıtlar aynı zamanda cismin
AEX dik üçgeninde,
yüksekliğidir.
x2 = 82 + 52 = 89

3
1 Y 2
F
G 1
y
z
5
H
1
Z
5
4
A
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
ABY dik üçgeninde,
Yanal Alan = Taban Çevresi x Yükseklik
y2 = 62 + 62 = 72 olduğundan y < x < z sıralaması olur.
Tüm Alan = Yanal Alan + 2. Taban Alan
6
B
3
C
Cevap C’dir.
1. D İK DÖ R TG E N LER P R İZMA S I
ÖRNEK
Karşılıklı yüzeyleri eş ve dikdörtgen olan prizmalara
dikdörtgenler prizması denir.
L
K
E
e
F
c
c
C
b
f
A
a

Alanı = 2 . (ab + ac + bc)

Hacmi = a . b . c

Yüzey Köşegeni: f = a 2  b 2
 Cisim Köşegeni: e 
B
Şekildeki gibi 6 bölümlü ve tabanı kare olan kapaklı bir
karton kutu yapılacaktır.
Bu kutunun yüksekliği 5 cm, tabanının bir kenarının
uzunluğu 20 cm olacağına göre, kaç cm2 karton
gereklidir?
a2  b2  c 2
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
6
www.akademivizyon.com.tr
GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
A) 1000
B) 1100
D) 1400
E) 1500
C) 1200
Cisim köşegeni: e = a 3
ÇÖZÜM
ÖRNEK
Kenarları 3 cm, 6 cm ve 12 cm olan bir dikdörtgenler
prizmasının hacmine eşit hacimde olan bir küpün bir
20
kenarı kaç cm dir?
A) 2
5
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
20
5
5
ÇÖZÜM
20
Tabanı kare olan kapaklı bir karton kutunun tabanının
bir kenar uzunluğu 20 cm ise tabanının ve kapağının
alanlar toplamı = 2 . 20 . 20 = 800 cm2 olur. Şekildeki 6
12
a
bölümleri kutuyu yapmak için uzunluğu 20 cm ve yüksekliği 50 cm olan 7 parça kartonun toplam alanı
7 . 5 . 20 = 700 cm2 dir.
a
6
a
3
O halde bu kutunun yapılması için gerekli kartonun
I
toplam alanı
II
VI = VII olduğuna göre,
800 + 700 = 1500 cm2 dir.
3 . 6 . 12 = a . a . a  a = 6 cm bulunur.
Cevap E’dir.
Cevap E’dir.
4. Ü Ç GE N P R İZMA LA R
2. K A R E PR İZMA
H
Tabanı kare olan prizmalara
kare
Tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir.
G
Üçgen prizmalar tabanını oluşturan üçgene
göre isimlendirilir.

prizma
E
denir.
F
a
h
2
a
Hacim  a  h
Yanal Alan = 4.a.h
e=
a a h
a
C
h
h
a
A
Cisim Köşegeni
2
b
c
D
Alan  4ah  2a 2
2
a
h
B
a
h
a
2
a
a
c
b
a
3. K Ü P
5. S İLİN D İR
Bütün ayrıtları eşit olan dik prizmaya küp denir. Tüm
Tabanı daire olan prizmalara denir. Silindirin Yan yüzü
yüzeyleri karedir.
dikdörtgen biçimindedir.
O
a
Hacim  a3
h
Alan  6a2
h
O
r
0 r
Küpün yüzey köşegenleri birbirine eşittir.
Yüzey köşegeni: f = a 2
www.akademivizyon.com.tr
h
2r
a
a

0 r
r
Hacim = r2 . h
7
ACAR KALİTE-DEĞER-MİLAT TEMEL LİSESİ
www.akademivizyon.com.tr
UZAY GEOMETRİSİ VE KATI CİSİMLER
Taban Alanı = r2
Dik Kesit Çevresi = 2a + 2a x sin
Tüm Alan = 2r.h + 2r2

ÖRNEK
Eğik prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen , diğer iki
yan yüzeyi paralelkenardır.
Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 24
Yanal Alan = Dik kesit Çevresi x Yanal Ayrıt
cm olan dik silindir biçimindeki
bir kutunun alt tabanı üzerindeki A noktası ile üst tabanı
üzerindeki
B
noktası

aynı
Dik kesitin bir kenarı taban kenarına eşit, diğeri ise,
a1 = a . sin
düşey doğru üzerindedir.
Hacim = Taban alan x Yükseklik
2. EĞİK SİLİNDİR
Şekildeki gibi, A dan hareket edip kutunun yalnızca
yanal yüzeyi üzerinde tek bir dolanım yaparak en
kısa yoldan B ye giden bir karıncanın aldığı yol kaç
cm dir?
IADI = IBCI = 
D
Dik
kesit
r1  r  sin 
A) 26
B) 25
D) 25 3
C
h    sin 
C) 24 2 

E) 25 2
da olduğu gibi eğik silindirde
ÇÖZÜM
alan
A
Silindiri açtığımızda yandaki
şekli elde ederiz. Bu durumda bize sorulan CB dir.
h
r1
Bütün eğik prizmalar-
B
10
de
v.b.
hacim,

A
r
B
bağıntılar
aynıdır.
24
CD ise tabandaki çemberin çevresine eşittir.
ÖRNEK
C
D
Taban yarıçapı 2 birim olan eğik silindirin yanal yüzeyi
taban düzlemi ile yaptığı açı 30 dir.
CD = 2..r = 10 cm dir.
Yanal alanı 18 br2
ACB üçgeninde pisagor teoremini uygularsak,
2
2
CB = (24) + (10)
olan eğik silindirin yanal ayrıt
uzunluğu kaç birimdir?
2
CB = 26 cm olarak bulunur.
A) 3
Cevap A’dır.
B) 6
C) 8
D) 9
E) 12
ÇÖZÜM
EĞİK PRİZMALAR
1. EĞİK KARE PRİZMA
Tabanı kare olan dik olmayan prizmaya eğik kare priz-

Yanal Alan = 18
h
ma denir.
O
a1

a1
a

r=2
30
Yükseklik: h =  . sin

h =  . sin30  h =
a
a
a


2
Yanal alan = 2r . h  18 = 2  2 
Eğik kare prizmanın yan yüzünün taban düzlemi ile

2
 18 = 2   = 9 br bulunur.
Cevap D’dir.
yaptığı açı  ve yanal ayrıt uzunluğu  olsun.
Prizmanın yüksekliği: h =  . sin

h
2r
Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde
PİRAMİTLER
oluşan kesitine dik kesit denir.
Tepe noktası T olan tabanı bir çokgen olan bir cisme
Dik Kesit Alanı = Taban Alanı x sin
piramit denir. Piramit tabanı oluşturan şeklin ismiyle
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
8
www.akademivizyon.com.tr
GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
adlandırılır. (üçgen piramit, dörtgen piramit, beşgen
Tüm Alan  a 2 3
piramit gibi)
Hacim 
a3 2
12
T
[TH]: piramidin yüksekliğidir.
ÖRNEK
[TA], [TB], [TC], [TD]
piramidin yanal ayrıt-
A
larıdır.
D
H
B
C

Piramidin tabanı düzgün çokgen ise bu tip piramitlere düzgün piramit denir.


Düzgün piramidin tepe noktasından indirilen dikme
Yukarıda, ABCDEF üçgen tabanlı dik prizması ile, köşe-
tabanın merkezinden geçer.
leri bu prizmanın ayrıtları üzerinde olan MLEK piramidi
Düzgün piramidin yanal ayrıtları birbirine eşittir.
verilmiştir.
1
Hacim  x Taban Alanı x Yükse klik
3
[ML] // [DF],
Hacim(MLEK )
oranı kaçtır?
Hacim(ABCD EF)
1. KARE PİRAMİT
Kare
piramidin
kare
olduğundan
| ME | 1
| EK | 1
 ,

olduğuna göre,
| DE | 3
| EB | 3
T
tabanı
A)
kare
1
81
1
64
B)
C)
1
49
D)
1
36
E)
1
27
piramit düzgün piramittir.
[TG] = h piramidin yük-
C
D
sekliği
G
[TK] = Yan yüz yüksekliği
A
a
1
Hacim   a 2  h
3
K
B
Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına
eşittir.
ÇÖZÜM
2. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ
D
[ML] // [DF],
| ME | 1
 ,
| DE | 3
Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisme düzgün dörtyüzlü denir.
Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlüde
| EK | 1

| EB | 3
F
M
E
olduğundan MLEK üçgen
T
K
piramit ile DFEB üçgen
piramit benzerdir.
a
A
C
a
C
B
a
a
A
L
a
Benzerlik oranı
B
| EK | 1

olduğundan
| EB | 3
Hacim(KLME )
1

olur.
Hacim (BFDE ) 27
a 3
Yan yüz yüksekliği =
2
Tabanları ortak DFEB üçgen piramit ile ABCDEF üçgen
a 6
Cisim yüksekliği =
olur.
3
prizmanın hacimleri oranı
1
olduğu biliniyor.
3
Buna göre,
www.akademivizyon.com.tr
9
ACAR KALİTE-DEĞER-MİLAT TEMEL LİSESİ
www.akademivizyon.com.tr
UZAY GEOMETRİSİ VE KATI CİSİMLER
Hacim(KLME)
1

bulunur.
Hacim( ABCDEF ) 81
Gövde koninin yanal alanı =  . r . 12
= 8 . 12 = 96 cm2 olur.
Cevap A’dır.
Cevap A’dır.
KÜRE
KONİ
T
E
T

D
a
h
A
A
O
a
a
a
r
A
O
Hacmi 
4 3
r
3
Alan ı  4 r 2
C
A
B
B
B
r
O
F
r
Tabanı daire biçiminde olan piramide koni denir.
Taban yarıçapı: OB = r
Cisim yüksekliği: TO = h
TA = TB = a uzunluğuna ana doğru denir.
ÖRNEK
TOB dik üçgende h 2  r 2  a 2

Koninin yanal alanı bir daire dilimidir.

Daire diliminin merkez açısına  dersek

Hacim 

Yanal Alan   ra

Tüm Alan  r 2  ra

r

360  a
1
 r2 h
3
Şekilde taban yarıçapı 6 cm olan dik koninin tepe noktası ve taban çemberi, O merkezli kürenin yüzeyindedir.
Dik koninin hacmi 216 cm3 olduğuna göre, kürenin
yarıçapı kaç cm dir?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 13
E) 15
ÖRNEK
Şekildeki gibi, koni biçiminde bir
kapak ile koni biçiminde bir gövdeden oluşan kapaklı bir cisim yapılacaktır. Kapak koninin yanal ayrıtı 3
cm, yanal alanı 24 cm2 dir.
ÇÖZÜM
Gövde koninin yanal ayrıtı 12 cm olduğuna göre,
yanal alanı kaç cm2 dir?
A) 96
B) 108
C) 116
D) 150
T
Koninin hacmi;
E) 384
V
Taban alanı x Yükseklik
3
O
[TM] koninin yüksekliğidir.
A
ÇÖZÜM
3
r
O
kapak
3

r
12
B
L
3
12
M
Bu durumda,
kapak
3
12
YA = ?
YA = 24 cm2

1
..6 2. | TM | 216 
3
12
12.TM = 216  TM= 18 cm olur.
gövde
gövde
Kürenin yarıçapını bulmak için ML ye x deyip, iç kuv-
Koni biçimindeki kapağın yanal alanı = ra
vet teoremini uygulayalım.
24 =  . r . 3   . r = 8
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
10
www.akademivizyon.com.tr
GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
A) 60
D) 90
18.x = 62  x = 2 cm olarak bulunur.
Kürenin çapı 20 cm ise, yarıçapı 10 cm olur.
B) 70
E) 100
D
5.
Cevap B’dir.
ÇÖZÜ M LÜ TEST
1.
B) 3
C) 4
D) 5
C
A
45
x y
 = 1 denklemiyle verilen doğru ile eksenlerin
2 a
sınırladığı bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi 24 br3 tür.
Buna göre, a nın değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
C) 80
E
Q
P
B
F
[BC] kenarının uzunluğu 8 birim olan ABCD
dikdörtgeninin, [DC] kenarına paralel ve dikdörtgen düzlemi ile 45 lik açı yapan bir düzlem
E) 6
üzerindeki dik izdüşümünün alanı 24 2 br2
olduğuna göre, DC = x uzunluğu kaç birimdir?
2.
3.
Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 2, 3, 4 sayılarıyla orantılıdır.
Alanı 130 br2 olan dikdörtgenler prizmasının
hacmi kaç br3 tür?
A) 30 10
B) 30 7
D) 30 3
E) 30 2
Vsilindir
oranı
Vkoni
kaçtır?
A)
4.
8
27
B)
4
27
Şekildeki O merkezli
kürenin bir düzlemle
kesilmesinden oluşan kürede,
OE = 3 birim
AB = 8 birim
C)
D) 6
E) 6 2
C) 30 5
6.
Yandaki
şekilde
yüksekliği 4 birim olan silindir ile içine
yerleştirilmiş içi sıvı
ile dolu dik koni görülmektedir.
O1
D
A
C
C
D
A) 1
A
8
25
E
B
F
4
25
D)
B
O2
Silindirin alt tabanına yakın bir yerde, konide
bir delik açıldığında sıvının yüksekliği kaç birim olur?
4
9
E)
7.
B)
4
3
Şekildeki analitik
düzlemde AOB
dik
üçgeninin
[OB]
etrafında
döndürülmesiyle
oluşan
cismin
hacmi kaç birim
küptür?
A) 16
B) 18
C)
5
3
D) 2
E)
7
3
y
A(0,4)
0(0,0)
C) 20
x
B(3,0)
D) 24
E) 28
O
A
E
8.
B
Yukarıdaki kürede [OE]  [AB] olduğuna göre
kürenin alanı kaç birim karedir?
www.akademivizyon.com.tr
B) 8
T
Şekilde tabanları aynı
düzlemde olan bir dik
koni ve içinde de bir
dik silindir var.
| EF | 2
olduğuna

| AB | 3
göre,
C) 8 2
A) 10
Taban çevresi 20 birim ve yanal alanı 260
birim kare olan dik koninin hacmi kaç birim
küptür?
A) 400
11
B) 600
C) 700
ACAR KALİTE-DEĞER-MİLAT TEMEL LİSESİ
www.akademivizyon.com.tr
D) 800
UZAY GEOMETRİSİ VE KATI CİSİMLER
E) 900
3.
Şekli incelediğimizde O merkezli dik
koninin yarıçapı 3x,
yüksekliği 3h ve içinde bulunan silindirin yarıçapı 2x,
yüksekliği h olduğu
açıkça görülüyor.
ÇÖZÜ M LER
y
1.
x
y
+
=1
2
a
a A
O
2
B
2
T
| EF | 2

| AB | 3
Buna göre,
x

–a A
x y
  1 doğru denklemi eksenleri kesen doğru
2 a
denklemidir. Koordinat düzleminde çizildiğinde oluşan AOB dik üçgeninin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dik koninin yarıçapı a birim ve
yüksekliği 2 birimdir.
2n
2h
C
O1
D
2x
h
x
A
E
2x
O
n
2x
x
F
B
Vsilindir
.rs2.hs

1
Vkoni
   rk2  hk
3
Vs
.4 x 2.h
V
4

 s 
bulunur.
1
Vk
V
9
2
k
   9 x  3h
3
Cevap E’dir.
1
1
 r 2  h  24 =  a 2  2  a = 6 br
3
3
a nın değeri 6 ya da –6 olabilir. Ancak seçeneklerde bunlardan yalnız 6 olduğundan
Cevap E’dir.
Hacmi =
2.
a = 2k
b = 3k
c = 4k
Prizmanın alanı S olsun.
S = 2(ab + ac + bc) = 130 br2
c
b
a
4.
 130= 2.(2k.3k + 2k.4k + 3k.4k)
 130 = 2(6k2 + 8k2 + 12k2)
 130 = 52k2  k 
10
dir.
2
3 10
a  10 br, b 
, c  2 10 olur.
2
Prizmanın hacmi V olsun.
V=a.b.cV=
10 
OE  AB olduğundan
AE = EB = 4
birim olur.
[OB] yi çizdiğinizde
OEB dik üçgeninde
Pisagor bağıntısından;
OB = 5br bulunur.
O
5
3
A
4
E
4
B
Buna göre, yarıçapı 5 br olan kürenin alanı;
Alan(Küre) = 4r2 = 4 .  . 52 = 100  br2 dir.
Cevap E’dir.
3 10
 2 10
2
 V = 30 10 br3 bulunur.
Cevap A’dır.
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
12
www.akademivizyon.com.tr
GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
D
5.
C
x
7.
8
45
A
Q B
x
DI
CI
x
E
A(0,4)
4
O
3
B(3,0)
x
F
P
Bir doğru parçasının kendisine paralel bir düzlem
üzerindeki dik izdüşümün kendisine eş ve paralel
olduğundan,
DC = DI CI = AB = x dir.
A(ABCıDı) = BC . DC . cos 45
24 2  8  x 
y
Şekilde
görüldüğü
gibi [OB] etrafında
döndürülmesiyle oluşan yarıçapı 4 br
ve yüksekliği 3 br
olan bir dik koni oluşur.
Buna göre, Hacmi

1 2
r  h
3

1 2
4  3
3
 16 br 3 olur.
2
2
Cevap A’dır.
24 2  4  x  2 x = 6 birim bulunur.
Cevap D’dir.
8.
T
Çevre = 2r
20 = 2r
20 = 2r
a=26
r  10 dur.
Yanal Alan = ra
260 = .10.a
h=24
A
r=10
O
B
a  26 dır.
6.
VI = VII

4 2
r . h = r2 . x
3

4
 x olarak
3

TOB dik üçgeninde (5-12-13) üçgeninden
h=4
TO = h = 24 br olur.
x
I
8
1
1
Hacim = r 2  h =   10 2  24
3
3
= 100 . 8
= 800 br3 olarak bulunur.
II
bulunur.
Cevap B’dir.
Cevap D’dir.
www.akademivizyon.com.tr
13
ACAR KALİTE-DEĞER-MİLAT TEMEL LİSESİ
www.akademivizyon.com.tr
UZAY GEOMETRİSİ VE KATI CİSİMLER
5.
KONU TEKRAR TESTİ–1
İki küpün alanları oranı
1
ise, hacimleri oranı
3
kaçtır?
1.
Dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 1, 2, 3 sayıları
ile orantılıdır.
Alanı 198 br2 ise cisim köşegeni kaç br dir?
A)
D)
A)
D) 2 15
2
E)
3 2
T
Şekildeki dik konide
TC = AC
TD = BD dir.
O
C
E
D
A
5
8
A
Dik koninin hacmi
B
12
B
E
C
D
F
16 2
br3 olduğuna göre
3
Yukarıdaki verilere göre, dik üçgen prizmanın
hacmi kaç br3 tür?
koninin içine yerleştirilen düzgün dörtyüzlünün
bir kenar uzunluğu kaç birimdir?
A) 480 B) 360
A) 2 3
B) 2 2
D) 4 2
E) 4 3
C) 280
D) 240
E) 220
Şekildeki küpte E, F
noktaları
sırasıyla
ADD1A1 ve ABCD
yüzeylerin
ağırlık
merkezidir.
D1
C1
A1
B1
E
Şekildeki dik yamuğun [AD] etrafında 360 döndürülmesiyle oluşan
cismin hacmi kaç
 br3 tür?
F
B
| EF |
oranının çarpmaya göre tersi kaçtır?
| BD 1 |
A)
3
B)
6
C) 2 3
Dört düzlem, uzayı en fazla kaç bölgeye ayırır?
B) 11
C) 10
B
4
A)
148
3
B)
140
3
D)
128
3
E)
112
3
C)
135
3
D) 3 2 E) 2 6
8.
A) 13
C
4
A
A
C) 3 2
2
D
D
4.
3
9
F
Şekildeki dik
üçgen
prizmada
AE = 5 br
AB = 12 br
BC = 8 br
7.
3.
2
C)
E) 3 15
6.
2.
2
9
B)
3 3
C) 3 14
B) 2 14
14
1
9
D) 9
E) 8
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
14
Bir düzgün dörtyüzlünün alanı 36 3 br2 ise,
hacmi kaç br3 tür?
A) 18 3
B) 18 2
D) 36 2
E) 48 2
C) 36 3
www.akademivizyon.com.tr
GEOMETRİ
9.
www.akademivizyon.com.tr
13. Şekildeki dik silindi-
T
AT = BT = 12 br
 = 90 ve şekildeki T merkezli daire
dilimi bir koninin
yanal yüzü ise bu
koninin alanı kaç
br2 dir?
K
rin çapı 10 br dir.
BH = 1 br
[AB]  [EF]

F
A
A
B
H
E
B
Δ
2
A (E F K) = 45 br olduğuna göre, silindirin alanı
2
kaç br dir?
A) 45 B) 42
C) 36
D) 32
E) 27
A) 170
D) 250
B) 190
E) 300
C) 200
10. Bir düzlem içinde 5 farklı doğru, düzlemi en az
kaç bölgeye ayırır?
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
14. Yarıçapı 4 br, yüksekli-
B
ği 6 olan dik silindir
biçimindeki bir kutunun
alt tabanı üzerindeki A
noktası ile üst tabanı
üzerindeki B noktası
aynı düşey doğru üzerindedir.
açı 60 dir.
Yanal ayrıtın uzunluğu 12 br ise silindirin hacmi kaç br3 tür?
B) 96
D) 72
E) 60 3
A
O
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
A
F
B
m( AFE )
=

olduğuna göre,
tan  kaçtır?
A
E
6
C)
www.akademivizyon.com.tr
7
D)
10
E)
4
4
O
B
Yukarıdaki şekil, dik koni biçiminde bir kutudur.
Bu kutunun A noktasını B noktası ile birleştiren, kutu yüzeyi üzerindeki en kısa yol kaç birimdir?
D
B)
6
C

5
T
AB koni tabanının
çapıdır.
AO = OB = 4 br
TB = 6 br
dörtyüzlüde
BF = FC
DE = EC
A)
E) 14
C) 72 3
15. T dik koninin tepesi
12. Şekildeki düzgün
4
Şekildeki gibi A noktasından B noktasına kutunun yalnızca yanal yüzeyi üzerinde bir dolanım yapan en kısa yol kaç birimdir?
11. Yarıçapı 4 br olan bir eğik silindirin tabanla yaptığı
A) 96 3
6
11
A) 4 3
15
B) 5 3
C) 6 3
D) 12
E) 15
ACAR KALİTE-DEĞER-MİLAT TEMEL LİSESİ
www.akademivizyon.com.tr
UZAY GEOMETRİSİ VE KATI CİSİMLER
5.
KONU TEKRAR TESTİ–2
O
O merkezli daire
dilimi veriliyor.
6

m( AOB )  90 
1.
D
ABCD dikdörtgen
AB= 8 cm
BC= 5 cm
C
OB= 6 cm
8
verilenlere göre daire diliminin [OB] etrafında
180 döndürülmesiyle elde edilecek cismin
hacmi kaç cm3 tür?
B
verilenlere göre, ABCD dikdörtgeninin [AD]
kenarı etrafında 180 döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi kaç cm3 tür?
2.
B
5
A
A) 160
D) 300
A
B) 180
E) 320
A) 48
D) 108
B) 72
E) 144
C) 96
C) 240
6.
C
ABCD bir dik üçgen
BC= 6 cm
AC= 10 cm
10
y
A(0,3)
B(4,0)
C(7,0)
A(0,3)
6
O B(4,0)
A) 144 B) 120 C) 108 D) 96
verilenlere göre, ABC üçgeninin x ekseni etrafında 360 döndürülmesiyle elde edilecek cismin hacmi kaç cm3 tür?
E) 84
A) 6
ABCD dik yamuk
AB= 9 cm
BC= 10 cm
DC= 3 cm
D
3
C
7.
C) 9
D) 10
E) 12
A
ABC bir üçgen
BC= 6 cm
A ( ABC )  21 cm2
B
9
B
verilenlere göre, ABCD yamuğunun, [AB] kenarı etrafında 360 döndürülmesiyle elde edilecek
cismin hacmi kaç cm3 tür?
4.
B) 8
10
A
A) 400
D) 340
x
B
A
verilenlere göre, ABC üçgeninin, [AB] kenarı
etrafında 360 döndürülmesiyle elde edilecek
cismin hacmi kaç cm3 tür?
3.
C(7,0)
B) 384
E) 320
verilenlere göre, ABC üçgeninin, [BC] kenarı
etrafında 360 döndürülmesiyle elde edilecek
cismin hacmi kaç cm3 tür?
C) 360
A) 84
D) 102
y
8.
B(8,y)
A(0,6)
O
C
6
x
B) 91
E) 105
ABCD ve EFGH dikdörtgen
D
d doğrusu köşegenlerin
kesim noktasından geçiyor.
[HG] // [AB]
GF= 4 cm
A
EF= BC= 8 cm
C) 98
d
C
H
G
E
F
4
8
B
Verilenlere göre, ABO üçgeninin y ekseni etrafında 360 döndürülmesiyle elde edilecek cismin kaç cm3 tür?
ABCD dikdörtgeninden, EFGH dikdörtgeni
çıkarıldığında geriye kalan levha, d doğrusu etrafında 360 döndürülerek elde edilen cismin
hacmi kaç cm3 tür?
A) 84
D) 120
A) 448
D) 378
B) 96
E) 128
C) 100
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
16
B) 420
E) 344
C) 400
www.akademivizyon.com.tr
GEOMETRİ
9.
www.akademivizyon.com.tr
x + 4y – 12 = 0
doğrusunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin
Oy ekseni etrafında 360 döndürülmesiyle elde
edilecek cismin hacmi kaç cm3 tür?
A

13. m( ACB )  45
AC= 4 2 cm
4 2
5
AB= 5 cm
A) 160
D) 108
B) 144
E) 96
C) 120
45
B
10. Dik
y
koordinat
sisteminde [AB]
çaplı O merkezli yarım daire veriliyor.
C
verilenlere göre, ABC üçgeninin, [BC] etrafında
360 döndürülmesiyle elde edilecek cismin
hacmi kaç  cm3 tür?
A)
175
3
B)
154
3
C)
140
3
112
3
D)
98
3
E)
C( 4,2 5 )
C(4, 2 5 )
A
O
14. ABCD
verilenlere göre, daire dilimini y ekseni etrafında 90 döndürerek elde edilen cismin hacmi
kaç  cm3 tür?
A) 48
D) 96
B) 54
E) 108
C
6
A 2 E
C) 72
D
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
C
15. ABCD dik yamuk
merkezli çeyrek daire veriliyor.
3 2
D
3
C

m( ABC )  60 

m( AED )  45
A
B
E
6
BC= 6 cm
DC= 3 cm
45
DE= 3 2 cm
B
x
ABCD yamuğunun [AB] etrafında 360 döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi 228 cm3
olduğuna göre, EB= x kaç cm dir?
A) 5
11. ABCD dikdörtgen, B
D
ikizkenar
yamuk
[DE]  [AB]
DE= 6 cm
AE= 2 cm
x
B
60
B
A
verilenlere göre, taralı bölgenin [AB] etrafında
360 döndürülmesiyle elde edilecek cisim
hacmi kaç cm3 tür?
A) 18
12. AOB
B) 21
C) 24
D) 27
verilenlere göre, ABCD yamuğunun [AD] etrafında 360 döndürülmesiyle elde edilecek cismin hacmi kaç  cm3 tür?
E) 30
A) 75 3
B) 72 3
D) 60 3
E) 54 3
C) 63 3
y
eşkenar
üçgen
A
16. ABC dik üçgen
B(a, – 3 3 )
A
O
AB= 2 5 cm
x
2 5
4 5
AC= 4 5 cm
C
B
B( a,3 3 )
verilenlere göre, ABC üçgeninin, [BC] kenarı
etrafında 360 döndürülmesiyle elde edilecek
cismin hacmi kaç cm3 tür?
verilenlere göre, AOB üçgeninin, [AB] etrafında
360 döndürülmesiyle elde edilecek cismin
hacmi kaç cm3 tür?
A)
A) 27
D) 54
B) 36
E) 64
www.akademivizyon.com.tr
C) 48
160
3
D) 80
17
B) 60
E)
C)
200
3
280
3
ACAR KALİTE-DEĞER-MİLAT TEMEL LİSESİ