-, f(2) - g f ( ) ) q 6

öSSMatematik-1/Fonksiyonlar
Fonksiyonlar - -
-
Ty-$'
r-7(çözijml
eçi
)
5 f(x)= 23X-1 oldujuna göre,
1. Problemde verilen f fonksiyonunun kurall,
x2O ol
maktizere,f(x)=x+ ,
G-- 12 dir.
f(2x + 1)
f(X - 1)
23.42x+1)-1
23'(X-1)-1
= 26x+2-(3x-4)
= 23x+6
=
= -
12. 3 - 39
2
4
= -
18 + 117 = 99 dur.
26(23)x= 64 8X tir.
Dojrucevap;;A''seçenejidir.
Dog
-ru cevap $dE''seçenejidir.
y = f(x) in x = - 1 dekidejeri f(- 1) ol
dujundan,
f(x2+ 1)= 4x4 + 2x2- 1
ejitlijinde x2 yerine - 2 yazlllrsa,
6. f(x+ y)= f(x).f(y) ol
dujuna göre,
z:o f(- 1)= 11
Do:rucevap$$A''seçenejidir.
-,f(2)-gf())q6
3 2f(x)- f(- x)= :2+ 3 eqitlijinden,
Dojrucevap'dA''seçenejidir.
x = - 2 için, 2f(- 2)- f(2)= 7 ...(2)
elde edilen (1) eyitlijinin ikiyanl2 iIe çarplldlktan sonra elde edilen denklem (2)ekitlijiiIe
taraftarafa toplanlrsa,
3.f(2)= 21 = f(2)= 7
Dojrucevap $dE''seçenejidir.
4 f(x2+ x+ 3)= 2x2+ 2x- 1
f(x2+ x+ 3)= 2(x2+ x)- 1
oldujundan, x2+ xyerine x- 3 yazlllrsa,
f(x- 3+ 3)= 2.(x- 3)- 1
f(x)= 2x- 7 dir.
Dojrucevap1;B''seçenejidir.
346
(0+ 1).f(0)=-1+f(1)
=;
/ f(1)= 1+ f(O) ve
y:=- 1 için (- 1+ 1).f(- 1)=2 +f(O)
:::)
. O.f(- 1)=2 +f(0)
(slr.
Dojrucevap$'A''seçenejidir.
öSS Matematik-1/Fonksiyonlar
(Buraday f(n)= f(O)+ n. 1
8. 1.yol:
3
f(x)= 3f(x + 1)- 1 =
3
1
= ftx)- f(x + 1)=- 3
oldujundan,x= 0 için
keklinde f nin n dejiykenine balllkurallda
bulunabilir.)
Dojrucevap $;B''seçenejidir.
x= 2 için
x=
1
29 i
çin f(29)- f(3O)= - 3
+
9. A)f(x)=x+ 2 ningörf
lntùkumesi(G),
G = (3,4,5,...)c N+ oldujundan örtendejil.
f(0) f(30)= - 3
1 .30
-
= 1- f(30)=- 1O
f(30)= 11 dir.
B)ftx)=
X2 - 1
2 fonksiyonu bire birdejil.
1+ x
örnejln, f(1)= f(- 1)= O
2.yol:
f(x)= 3f(x + 1)- 1 = f(x + 1)= f(x)+ 1
3
3
'
C)f(x)= 3x - 5 fonksi
yonunun görönttikùmesininelemanlarl,3 iIe bölùndtijùnde 1kalanlnlveren tamsayllardlr,bùttin tamsayllardejildir. O
halde, f(x) örtendejil.
.
a
D)f(x)= 1- x fonksiyonu için,
vxsniçin (1-3x)en oldulundanftx)
örtendir.
ftxj)=ftxa)
1
:=/-/3X1=-/3Xg
f(3)= f(2)+ 3
f(3)= f(O)+ 3 1
.
3
oldulundanf(x)bire birdir.
1
Bunagöre,f(x)= 1- x fonksi
yonu R den
3
i
çin
,
f(n)= f(0)+ n.3
R ye bire birve örten birfonksiyondur.
E)f(x)=x fonksiyonunungörtinttikùmesi(G),
g= l1,2,3,...)c Z ol
dujundanörtendelildir.
1
oldujundan n =30 için, f(3O)= f(0)+ 30.3
dir.
Dog
-ru cevap CSD''seçeneg
-idir.
347
öSS Matematik-1/Fonksiyonlar
10.
olmak (izere,
2..yol:
f(A)=(- 1,1,3J ve f(x+ 1)=:
2x+ 1 ol
dujundan2x+ 1 if(A) kumesininelemanlarlnaeji
tleyerek A kùmesinibulallm.Söyleki,
içintanlmslzol
dujundanfonksi
yondejil.
B)x= 1 için ye R oldujundan x= 1 dejeri
btitf
)n ye R dejerleriil
eeyleniyor.Fonksiyon
delil.
C)1y1=2+1x1ifadesinde vxCER için x ini
ki
göruntf
lsf
ùvar.örnejin, x= O için y = + 2 dir.
Fonksiyondejil.
D)92= :4+ 1 i
fadesinde Vx e R i
çin x in i
ki
görf
lntf
lsilvar.örnejin, x = () için y = :i
:1 dir.
Fonksiyondejil.
R den R ye
fonksiyondur.
Dojrucevap fdE''seçenejidir.
x= 0 için f(O + 1)= 2.O + 1
= f(1)= 1
2x+1=3 ise x= 1 için f(1+ 1)=2.1+ 1
=::
/ f(2)= 3 tör.
Buna göre,A = (0,1,2) dir.
Burada, 2x+ 1 in f(A) kumesinin elemanlarlna eyitlenmesiyle bulunan x dejerlerinin
f(x + 1) de yerine yazllmaslnln yeterlioldujû
görtiluyor.Yaniepitlijin saj taraflndakiijlem,
f fonksi
yonuna ait(x,y) ikililerinin herikibiIeyeninin (x ve y nin)birlikte görölmesiiçin
yapllm l4tlr.
'):
'
1yol
:
f(x + 1)= 2x+ 1 epi
tlijiiIe f(x+ 1) i
n kurallverildijindenönce,>:+ 1 yerine x yazarak,yani
Dojrucevap'CC''seçenejidir-
1,
2.
fonksiyonu
sabi
tfonksiyon i
se,
a+ 1
- a
x + 1-->x = x -+ x- 1
x yerine x- 1 yazarak ftx) in kurallnlbulallm.
f(x+1)=2x+1 = f(x- 1+1)=2(x- 1)+1
= f(x)= 2x- 1 olarakbulu-
f(x)ingörùnttikûmesi(tanlm kumesiel
emanlarl
-
na karplllkgelen dejerlerkumesi)verildijinden,
görtinttikömesinin el
em anlarlnl 2x - 1 e epi
tle-
=
-1
2
=z
4 2a + 2 = a
::
4 a = - 2 dir.
ftx)sabi
tfonksiyonoldujundan,
fta)= f(O)= - 1 olur.
2
yerekbu dejerlerin hangi x elemanln görtinttisiloldulunu bulallm.Bunagöre,
f(A)=(-1,1,3Jve ftx)=2x-1 oldujundan,
2x - 1 = - 1 = y = O
2x - 1 = 1 = x = 1
2x - 1 = 3 = x = 2 olarak bulunur.
= -
5
2
d.
Ir.
Dojrucevap (CA''seçenejidir.
O hal
de,f(x) fonksi
yonunun tanlm kumesi
(x dejerl
eri
nin ktimesi)
A =(0,1,2 J dir.
242
öSS Matematik-1/Fonksi
yonlar
13.f:R -+ R,f(x)= (a - 1)x2+ bx+ 2x+ c
16.
a
A6
fonksiyonubirim fonksiyon (I(x)=x) ise,
f(x)= (a- 1)x2+ (b + 2)x+ c= x ve
. ..
a - 1 = 0, b + 2 = 1, c = 0
O
3
x.
B
F1
y
= a = 1, b = - 1 dir.
c
O halde,
xk3 için, A dojrusununbulundulu noktanln
(H noktaslnln)apsisine x,(HC ) nIn uzunluIuna y diyelim.
D
ojru cevapI'B''seçenejidir.
OAB - HCB (benzerlikkurallndan)
IOA I= IHCI = / 6 = y
lOB I IHB l 3 x-3
14. f(x-1,y+1)5 (1-x3,3:-1)...(1)
f(X,y)= (1,1)...(2)
= y = 2x - 6 olur.
1- x3= 1 ve 3F-1= 1 ekitliklerinden elde
Buna göre,tanlmlanan fonksiyon, yanitarall
alanlarln toplam l;
edilen x= 0 ve y = 1 dejerleri(1)ekitli
jinde yerine yazlllrsa,
f(y)= IOAI.lOBI+ lHcl.IHBI
f(0-1,1+1)=(1-O3,31-1)
:=>f(-1,2)=(1,1)...(1')
(1')ve (2) eçi
tlikl
erinden,
2
2
f.t.
f(X,y)= f(- 1,2)= (1,1) elde edilir.
Buna göre, x= - 1 ve y = 2 oldujundan,
x - y = - 1- 2 = - 3 tur.
Dojrucevap I'A''seçenejidir
15. (- 2,0) noktaslkekil
dekig(x)dojrusu flzerinde oldujundan,(- 2,0) noktaslnln koordinatlarl, (x = - 2 ve y = 0) y = g(x)= ax+ 2
denkleminisajlar.O halde,
y= gtx)= ax + 2 = 0 = g(- 2)= a.(- 2)+ 2
i
o
i
i
-2 -2
= a = 1 dir.
Ayrlca, A ve B noktalarlnda f(x) ve g(x)
fonksiyonlarlkesiptiklerinden f(x) ve g(x) in
bunoktalardakidejerleribirbirineepittir.
Buna göre,
Dojrucevap ''A''seçeneg-idir.
17. A da tanlm llbirfonksiyonun tersinin de fonksiyon olmasliçin,bu fonksiyon bire birve örten olm alldlr.Dolaylslyla fonksiyonu meyda-
na getiren ikililerin ikincibilekenleri(yanigörtlntf
l kömesinin elemanlolan y dejerleri)
birbirinden farkllolmalldlr.O hal
de,(C) jlkklnda verilen fonksi
yon bire birve örten oldu-
jundan,terside birfonksiyon olur.
A
f(- 3)= g(- 3) ve f(2)= g(2) dir.
g(x)= ax + 2= 1.x+ 2 ==/ g(x)= x+ 2
oldujundan,
f(- 3)+ g(0)- f(2)= g(- 3)+ g(O)-g(2)
= -
2
f(x)= x -6:+ 18 dir.
1 + 2 - 4 = - 3 ttir.
Dojrucevap''B''seçenejidir.
349
f
A
a.
@a
bp
*b
c*
pc
d.
*d
ep
le
Dojrucevap'tC''seçenejidir.
öSS Matematik-1/Fonksiyonl
ar
18.
f( x3x
)= ax2 - x + 2 ve
+1
2.
1
.
f 1(O)= 6 to f(6)= O oIdujundan, 3X
-
x+1
i
fadesini6yapan x dejerinibulallm.
3x = 6 = 3x = 6x + 6
x +1
= x = - 2 dir.
2.yol:
Budejerfonksiyondayerine yazlllrsa,
x.y= 1+ x :
zr
:> y = ftx)=
f(6)= 0 = 4a + 4 = a =- 1 dir.
Dojrucevap ddB''seçeneiidir.
oldujundan
x+ 1
x
yerine yazlllrsa,
f !(3)= 1 olur
-
.
19. f( x 2 )= x - 1 <z f- 1(
x - g)= 1 +xx2
1+x
2
3.yol:
x.y = 1 + x c::/ Xy - x = 1
ekitlijinde x yerine, (x- 1) intersiolan
x + 1 ifadesiyazlllrsa,
-
1
iz4 x = f (y)=
f 1(x)=
-
-
1
X+1
1 + (x + 1)2
R
1
y- 1
ve
y = 3 için f 1(3)= 1 dir.
-
2
x+1
= f (x)= x2 +rx+2
Dojrucevap'SD''seçenejidir.
ol
arak bulunur.
Dojrucevap$$C''seçenejidir.
7p. f:(1,x )-+ (3,cxo)
f(x)= 4x2- 8x+7
20.y=f(x) için x= f-1(y) f(x) in tersioldujundan, f(x) ibulmadan verilen eçitlikten x in
f(x) törtinden dejeribulunursa f- 1(y)bulun-
oldujundan, x= f-1(4)(E (1,oo) dejerinibuIallm .
muy olur.Buna göre,
xftx)+ 1= 3x- f(x) = 1+ f(x)= 3X- xftx)
r
=/ 1+f(x)=x(3-f(x))
tùr.
=/X = f(x)+ 1 = f-1(y)
3 - flx)
-
1
(x2= 1 e (1,x )oldujunadikkatedini
z.
)
2
x+ 1
= y =f (x)= 3
-
x
Dojrucevap 1;D''seçenejidir.
Dojrucevap'CA''seçenejidir.
352
öSS Matematik-1/Fonksiyonlar
23. 1.yol:
25-
y
f(x)dolrusalfonksiyon oldujundan a ve b
reelsayllarolmak özere, (a '
e0) f(x) in denk,
l
l
:
Iem i,
-
f(x)= ax + b dir.O halde,verilen eyitliklerden,
f-142)=4 x
t
=).f(4)=2=4a+b...(1)
f-1(5)= 2 tz
l f(2)=5=2a+b...(2)
-
2
:
:
l
1 2$
x
-2
'-----3
.
f(x)=y denkleminisajlayan (f(x)ejrisiözerindeki)noktalariçin,x :apsisyy=ordinatve
ve f(O)= b oldujundan,(2)eçi
tlijinin ikiyanl
2 iIe çarplldlktan sonra elde edilen epitlik (1)
eqi
tli
jiyletaraftarafa toplanlrsa
-
-
f(
x)
f(x)= y t:y f-1(y)= x ol
dulundan,
8=-b
f-1 (x)= y denkleminisajlayan (f(:)ejrisi
(izerindeki)noktalariçin,x :ordinat,y :apsistir.
Bunagöre,y =f(x) in grafijinden f(1)= O
(apsisi1olan noktanlnordinatl0)
b = f(O)= 8 dir.
2.yol:
Dolrusalbirifadede, x indejikme miktarliIe
ynindejiymemiktarfdojruorantllldlr.
Ayrlca, y= f(x) t:l'f-1(y)= x oldujundan,
f(f(1))= f(0)=- 2 (apsisiO ol
annoktanlnordinatl- 2)
f-1(0)= 1 (ordinatlO Olannoktanln apsisi1)
f-1(-3)=-2 (ordinatl-3olannoktanlnapsisi-2)
O halde,
k
5 + 3 = 8 = y ve
f(f(1))
-
f '(0)+ f-'(- a)
=
-2
1 + (- 2)
f-1(8)= O t:
1f(O)= 8 dir.
Dojrucevap'fA''seçenejidir.
Dojrucevap$'E''seçenejidir.
24. flx)=2:2+3x ve
26. f(x)=
(go f)(:)=4x2+ 6x+ 1
fonksiyonuna göre,
=,j g(2x2+ 3x)=2(2x2+ 3y)+ 1
x<O için f(x)=x2 oldujundan,
(fof)(x)=f(f(x)), x<O
=c
: g(x)= 2x+ 1 dir.
=
Dojrucevap fID''seçenejidir.
f(x2) ve
x< o için :2> 0 oldulundan,
f(x2)= y?+ 1 dir.Buna göre,
(fo f)(x)= x2+ 1 olur.
Do:rucevapC$D''seçeneg
-idir.
b5i
öSS Matematik-1/Fonksiyonlar
27. f(x)= 3x - 2 ve g(x)= 2x + 1 veriliyor.
2g. ftx)-= .2
-X + 1 We (fo f)(x)= SX + a
x- 1
x- 1
(fo g-1)(2a- 1)= - 8
z;
c;
h(fo g-1)-:(- a).2a - 1
x+a+ 1
için
= ((g-1)-1of-1)(- 8)=2a- 1
= f(- 1)=
3x- 2 = - 8= x= - 2 oldujundan,
f-1(- 8)= - 2 ise,
=>
a
a +1
2.(
'- 1)
'+ 1
g(f-1(-8))=2a- 1
-
1- 1
a
=
a+ 1
= g(- 2)= 2a- 1
:
=:
) 2.(- 2)+ 1 = 2a 1
-
-
dir.
2- 1
> -3 =2a-1
-
Dojru cevap 'CC''seçenejidir.
3
dir.
Dojrucevap''D''seçenejidir.
30. 1.yol:
f(x + 1)= 2x + 1 epitl
ijinde x yerine x+ 1in
x- 2
tersiolan x- 1 yazlllrsa f(x) el
de edilir.Buna
göre,
f(x)= 2(x - 1)+ 1 :
=:
) f(x)= 2x- 1
x - 1- 2
x-3
3x - 1
<:+ f (x)= x - 2
-
12 3 4 5
28. g=
12 3 4 5
ve fog=
2 15 3 4
1
f-1(x)= y fonksiyonu x in f(x) töröndendejerioldujundan,
;
(
8
4
2:::3f(x)- 1
:
f(z)- 2
dejerif(x+ 1) fonksiyonundayerineyazlllrsa,
13 5 4 2
1.yol:
......
-
(g-1ofog)-1(x)=5 '
t4 (g 1ofog)(5)=x
z:
,c
l g-1o (fog)(5)=x
= g-1(2)=x
f(x + 1)= 2x + 1
x- 2
:
z
i4 1 = x olur.
2 3f(x)- 1 + 1
= f(x)- 2
3f(x)- 1 2
f(x)- 2
.
-
= 6f(x)- 2 + f(x)- 2
3f(x)- 1- 2f(x)+ 4
= 7f(x)- 4
ftx)+ 3
dir.
Dojru cevapHA''seçenejidir.
352
öSS Matematik-1/Fonksiyonlar
2.yol:
32. g(x)=ax+2 oldujundan,
f(x+ 1)in f(x)tflrtindendejerl,
f(x+ 1)= F(f(x)) olsun.
(fog)(x)=f(g(X))= (fog)(x)=ftax+2)ve
(4,3) noktasl(fOg)(X) ingrafiliûzerindeoI-
Tanlmslzllk ortaya çlkarmayacak herhangibir
x dejeriyazlllrsa,örnejin x= 4 yazlllrsa
dujundan y = (fo g)(x) in denkleminisajlar.
Buna göre,
.
f(5)=F(f(4))
çin, (fo g)(4)= f(4a + 2)= 3
X= 4 ve y=a i
ve f(6)= 3 oldujundan, 4a + 2 = 6 z::/ a = 1
olur.
Dojrucevap$dA''seçenejidir.
9
ylkl
arda f(x) yerine 7 yazll
dljlnda 2 yeepit
olanC dir.
Dojrucevap .$C''seçenejidir.
31.
-
1 1+x
g ( 2
j 4- x
)= ( 3
4- x
'
)
k
33. gtf-1(-3))=1 veriliyor.
g(x)= f(x)+ a eçitli4inde x yerine f-1(- 3)
1+x
4=,glf( 3 ))= 2
yazlllrsa,
x=1 için,g(f(1))= 1
1 =- 3 + a = a = 4
(g O f)(1)= 1 dir.
h( 3x - 1 )= g -1( 1 +x )
2
O halde,
2
g(x)= f(x)+ a =;
/ g(x)= ftx)+ 4
eyitlijinde x yerine f-1(:) yazlllrsa,
b 1(g-1( 1+x ))= 3x-1
-
2
2
glf-1(1))=f(f-1(1))+4
x=5 için,h-1(g-1(a))=7
=
(h-1o g-1)(3)= 7 dir.
1+ 4
Buna göre,
(gOf)(1)+ (h-1og-1)(3)= 1+7=8 dir.
Dojrucevap 1;E''seçenejidir.
Dojrucevap ';D''seçenejidir.
3dà