Örnek...1

FONKSİYONLAR - 1
KAVRAM VE GÖSTERİM
KAVRAM OLARAK FONKSİYON
Örnek...2 :
" B i r a r a b a n ı n a l d ı ğ ı yo l ( x ) , za m a n a ( t )
b a ğ l ı d ı r. "
if a d e s i n i n d e n k l e m ş ek l i n d e ya z ı l ı ş ı
x = v. t o l u r.
B u d e nk l e m d e k i t b a ğ ı m s ı z d e ğ i şk e n , x
i s e b a ğ ı m l ı d e ğ i ş k e n d i r.
Ya n i z am a n i l e r l e d ik ç e a r a b a n ı n a l d ı ğ ı
yo l d e ğ i ş e c ek t i r.
B u n a g ö r e , a r a b a n ı n a l d ı ğ ı yo l g e ç e n
s ü r e ye b a ğ l ı b i r f o nk s i yo n d u r d e n i r.
A ş a ğ ı d a A d a n B ye ş e m a l a r ı v e r i l e n f , g , h , z
e ş l em e l e r i n i n f on k s i yo n o l u p o lm a d ık l a r ın ı
belirtiniz?
A
f
a
b
c
d
B
A
1
2
3
4
5
a
b
c
d
g
B
1
2
3
4
5
Örnek...1 :
B i r k en a r ı x b i r im o l a n b i r k a r e n i n a l a n ı
x 2 b i r i m k a r e d i r.
A
Kenar (x) 1 2 3 4 5
Alan (x2) 1 4 9 16 25
a
b
c
d
A
B u r a d a k i i l i şk i yi
ş e m a i l e g ö s t e r i r s ek
1
2
3
4
5
f
B
1
4
9
16
25
Ve r i l e n b u ş em a ya
göre, bağımlı ve
b a ğ ı m s ı z d e ğ i şk e n l e r i ya z ı p , b u k ur a l ı
f on k s i yo n b i ç im i n d e b e l i r t i n i z ?
TANIM
A v e B b o ş o l m a ya n i k i k üm e o lm ak ü ze r e
A nın her bir elemanını B nin bir ve
ya l n ı z b i r e l e m a n ı n a e ş l e ye n i l i şk i ye
(k u r a l a ) A d a n B ye f o nk s i yo n d e n i r.
www.matbaz.com
A ş a ğ ı d a k i t a b l o d a x ' i n b a zı d e ğ e r l e r i i ç i n
k ar e n i n a l a n ı h e s a p l a nm ı ş t ı r.
h
B
A
1
2
3
4
5
a
b
c
d
z
1
2
3
4
5
Örnek...3 :
A d a n B ye f f on k s i yo n u n u n
ş em a s ı ya n d a v e r i l m i ş t i r.
f f o nk s i yo n u n u l i s t e
yö n t em i , g r a f i k yö n t em i i l e
ya z ın ı z. E ş l em e yi b i r k ur a l
i l e ya zm ak i s t e r s e k n a s ıl b i r
k u r a l ya za b i l i r i z ?
B
A
1
3
5
f
B
2
10
26
A d a n B ye t a n ım l ı b i r f f o nk s i yo n u
f : A→B : v e ya f : A→B, y=f (x) b i ç im i n d e
x→y=f (x)
g ö s t e r i l i r.
A d a n B ye t a n ım l ı f k ur a l ı n ı n f o nk s i yo n
o lm a s ı i ç i n
i ) A d ak i h e r e l e m a n ı n g ö r ü n t ü s ü o l m a l ı
( A d a a ç ı k t a e l e m a n k a lm am a l ı )
i i ) A d ak i h e r e l e m a n ı n ya l n ı z b i r t a n e
görüntüsü olmalı
k o ş u l l a r ı g e r ç e k l e n m e l i d i r.
Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
f : A→B f on k s i yo n u n d a y = f ( x )
g ö s t e r i m i n d e x b a ğ ım s ız d e ğ i ş k e n i n i n f
f on k s i yo n u i l e y b a ğ ım l ı d e ğ i ş k e n i n e
b a ğ l a n d ığ ı a n l a ş ı l ı r.
1/6
FONKSİYONLAR - 1
KAVRAM VE GÖSTERİM
TANIM, DEĞER VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ
FONKSİYON MAKİNESİ
f : A→B f o nk s i yo n u n d a y= f ( x ) g ö s t e r i m i n d e x e
g i r d i y ye i s e ç ık t ı d e n i r. B u i ş l e m i b i r
f o nk s i yo n a b e n ze t i r s e k
f : A→B f on k s i yo n u n u n ş em a s ı
f
A
B
1
2
3
4
a
b
c
Görüntü
kümesi
Girdi (x)
Çıktı (y)
1
5
2
7
Değer
kümesi
Tanım
kümesi
3
4
olduğuna göre,
A = { a , b , c } k üm e s i n e f o nk s i yo n u n t a n ım
k üm e s i ,
B = { 1 , 2 , 3 , 4 } k üm e s i n e f o nk s i yo n u n d e ğ e r
k üm e s i d e n i r.
B u f o nk s i yo n u l i s t e b i ç im i n d e
f = { ( a , 2 ) , ( b , 3 ) , ( c , 3 ) } o l a r a k d a ya za b i l i r i z .
Örnek...4 :
A ş a ğ ı d a v e r i l e n f o n k s i yo n l a r ı n t a n ı m , d e ğ e r
v e g ö r ü n t ü k üm e l e r i n i ya z ı n ı z ?
A
f
a
b
c
d
B
A
1
2
3
4
5
a
b
c
d
g
a
b
c
d
h
B
A
1
2
3
4
5
1
2
3
a
b
c
T:
G:
D:
Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
z
Girdi (x)
Çıktı (y)
1
6
2
11
3
16
4
21
Ş ek i l d ek i f on k s i yo n m ak i n e s i n i n g i r d i v e
ç ık t ıl a r ı t a b l o d a v e r i l i yo r. B u n a g ö r e f ( x ) i n
kuralı ne olabilir?
B
T:
G:
D:
A
www.matbaz.com
A d a k i e l e m a n l a r ı n g ö r ü n t ü l e r i n i n k üm e s i n e
g ö r ü n t ü k üm e s i d e n i r v e f (A ) i l e g ö s t e r i l i r.
f (A ) = { 2 , 3 } t ü r
Örnek...5 :
Örnek...6 :
H a n g i e ş l e m e l e r f o nk s i yo n b e l i r t i r ?
1)
f : ℕ→ℕ
f (x)=x+3
2)
f : ℤ→ ℤ
x
f(x)=
2
3)
f :ℤ→ℚ
2 x−1
f (x)=
3
4)
f :ℝ→ℝ
f (x)= √ x+3
B
1
2
3
4
5
2/6
FONKSİYONLAR - 1
KAVRAM VE GÖSTERİM
UYARI
Örnek...11 :
B i r f o nk s i yo n u n t a n ım k üm e s i
v e r i lm em i ş s e b a ğ ım s ı z d e ğ i ş k e n
s e ç i l e b i l e c ek e n g e n i ş r e e l s a yı k üm e s i
d ü ş ü n ü l ü r.
f ( x2+2x+6 ) = 3x2+6x+20 olduğuna göre,
f ( - 3 ) k a ç t ır ?
Örnek...7 :
f (x ) = 2 x + 3 i s e f ( 4 ) k a ç t ı r ?
Örnek...12 :
f ( x ) = 3 x + 1 i s e f (2 x ) f on k s i yo n u n u n e ş i t i
nedir?
Örnek...8 :
Örnek...9 :
f ( 2 x – 3 ) = 4 – 3 x o l d u ğ u n a g ö r e , f (1 ) k aç t ır ?
Örnek...10 :
f ( x + 2 ) = 5 x – 1 o l d u ğ u n a g ö r e , f ( 6 ) k a ç t ır ?
Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
f (x ) = x 2 + 4 x - 7 i s e f ( 0 ) + f ( 1 ) k a ç t ı r ?
Örnek...13 :
R ' d e t a n ım l ı f f on k s i yo n u , f ( x ) = 3 x + f ( x – 1 )
e ş i t l i ğ i i l e v e r i l i yo r. f (2 ) = 2 o l d u ğ u n a g ö r e ,
f ( 5 ) d e ğ e r i k aç t ır ?
Örnek...14 :
f : ℝ→ℝ , f ( x+ 1 ) = x · f ( x ) e ş i t l i ğ i i l e v e r i l i yo r.
f ( 2 ) = 4 o l d u ğ u n a g ö r e , f (6 ) d e ğ e r i k a ç t ır ?
3/6
FONKSİYONLAR - 1
KAVRAM VE GÖSTERİM
EŞİT FONKSİYONLAR
Örnek...15 :
f (x ) = x – 1 o l m a k ü ze r e , f (x + 3 ) ü n f (x )
türünden eşitini bulunuz.
f : A → B , g : A → B f o nk s i yo n l a r ın d a
h e r x ∈ A i ç i n f (x ) = g ( x ) o l u yo r s a f v e g
f on k s i yo n l a r ı e ş i t t i r d e n i r v e f = g ya z ıl ır.
Örnek...19 :
A = { 0 , 1 } , B = { 1 , 2 } o lm ak ü ze r e
f : A → B , g : A → B f o n k s i yo n l a r ı i ç i n
f(x) = x + 1, g(x) = x 3 + 1 biçiminde
t a n ım l a n ı yo r, f v e g e ş i t f o nk s i yo n l a r m ıd ır ?
Örnek...16 :
f (x ) = 3 x + 2 o lm ak ü ze r e , f (2 x - 3 ) ü n f (x )
türünden eşitini bulunuz.
Örnek...17 :
f : A→ { 0,2,5} o l d u ğ u n a g ö r e A k üm e s i n i b u l u n u z
f (x)=x+3
www.matbaz.com
BİRİM (ÖZDEŞ) FONKSİYON
H e r x ∈ A i ç i n f : A → A f o nk s i yo n u
f (x ) = x i l e v e r i lm i ş s e f f on k s i yo n u n a
b i r i m f o nk s i yo n d e n i r v e I ( x ) = x i l e
g ö s t e r i l i r.
Ya n i h e r e l em a n ın g ö r ü n t ü s ü b i r im
f on k s i yo n a l t ın d a yi n e k en d i s i d i r.
Örnek...20 :
f : A → A, A = {1, 2, 3, 4} ise f(x) = x
f o nk s i yo n u b i r i m f on k s i yo n u n u n ş em a s ın ı
ç i zi n i z.
Örnek...18 :
A ş a ğ ı d a k i f o nk s i yo n l a r d a n h a n g i s i d a im a
f (a + b ) = f ( a ) . f ( b ) e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a r ?
I . f (x ) = 3 x
II. f(x)=x3
I I I . f ( x )= 3 x
Örnek...21 :
f(x) = (a + 1)x2 + (b – 3)x – a + b – c
b i ç im i n d e t a n ım l a n a n f ( x ) b i r im f o nk s i yo n u
i ç i n ,f ( a . b . c ) d e ğ e r i k aç t ır ?
Örnek...22 :
f(x3 ) = (a+2)x3 + (b – 1)x2 + c +2
f o nk s i yo n u v e r i l i yo r.
f f o nk s i yo n u b i r i m f on k s i yo n o l d u ğ u n a g ö r e ,
f ( a + b – c ) k a ç t ır ?
Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
4/6
FONKSİYONLAR - 1
KAVRAM VE GÖSTERİM
SABİT FONKSİYON :
DOĞRUSAL FONKSİYON
f : A → B f o nk s i yo n u i ç i n f (A ) g ö r ü n t ü
k üm e s i t ek e l e m a n l ı i s e f f o nk s i yo n u n a
s a b i t f o n k s i yo n d e n i r.
f (x ) = m x + n b i ç im i n d ek i f o n k s i yo n a
d o ğ r u s a l f o nk s i yo n d e n i r.
Ya n i H e r x ∈ A v e c ∈ B i ç i n
f ( x ) = c i s e f s a b i t f o nk s i yo n d u r.
Örnek...26 :
f ( x ) = a x 2 + b x + c s a b i t f o nk s i yo n i s e ;
a= 0 , b= 0 ( s a d e c e x i ç e rm e ye n t e r im l e r
kalır)
ax+b
a b
s a b i t f o n k s i yo n i s e ;
=
cx+d
c d
( e ş i t d e r e c e l i t e r i m l e r i n k a t s a yı l a r ı
orantılıdır)
f (x)=
f : R → R
f ( x ) f o nk s i yo n u d o ğ r u s a l f o nk s i yo n
b e l i r tm e k t e d i r. f (0 ) = 2 v e
f ( – 1 ) = 5 o l d u ğ u n a g ö r e , f ( 4 ) k a ç t ır ?
,
Örnek...23 :
A = { – 1 , 0 , 2 , 3 } v e B = { 3 } o l m ak ü ze r e
f : A → B f on k s i yo n u n a s ı l b i r f o n k s i yo n d u r ?
Ş e m a s ı n ı ç i zi n i z.
Örnek...27 :
Örnek...24 :
f (x ) = ( a + 2 ) x 2 + ( b – 3 ) x + 2 a – b
f on k s i yo n u s a b i t f o n k s i yo n o l d u ğ u n a g ö r e ,
f (1 0 ) k a ç t ı r ? ,
f : R → R
f(x) = (a+2)x3 +(b–3)x2 +a.bx – 2.a +2.b–d
e ş i t l i ğ i d o ğ r u s a l f o nk s i yo n b e l i r tm ek t e d i r.
f ( – 1 ) = 5 o l d u ğ u n a g ö r e , f ( d ) k a ç t ır ?
Örnek...25 :
(m−5 n)x+4
f on k s i yo n u s a b i t f o n k s i yo n
nx−2
m
olduğuna göre,
d e ğ e r i k aç t ı r ?
n
f (x)=
Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
y= f ( x )= m x + n d o ğ r u s a l f o nk s i yo n u n d a m
s a yı s ı d o ğ r u n u n e ğ im i d i r.
5/6
FONKSİYONLAR - 1
KAVRAM VE GÖSTERİM
DEĞERLENDİRME
1) f : ℝ→ℝ , f(x) = 2 x – 3 fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, f(3) kaçtır?
2) f( 2x+3 ) = 5x-7 olduğuna göre, f(-5) kaçtır?
5) f(x) =2x – 1 olmak üzere, f(x+3) ün f(x) türünden
eşitini bulunuz
6) f = {(2x-3,15), (3y,5), (4,4)}
fonksiyonu veriliyor. f fonksiyonu birim
fonksiyon olduğuna göre x.y kaçtır?
3) f(x) = 4x +3 ise f(3x+2) fonksiyonunun eşiti
nedir?
7) f(x) = (a + 1)x2 + (b – 3)x – a + b biçiminde
tanımlanan f(x) sabit fonksiyonu için, f(a.b)
değeri kaçtır?
4)
8)
f : ℝ→ℝ , f(x+3) = x + f(x+2) eşitliği ile veriliyor.
f(3) = 5 olduğuna göre, f(17) değeri kaçtır?
Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
f (x)=
(m+1)x 2−(n+2)x+4
fonksiyonu sabit
3 x+5
fonksiyon olduğuna göre, m.n değeri kaçtır?
6/6