Fonksiyon 2

FONKSİYONLAR - 2
GRAFİK GÖSTERİMİ-FONKSİYON TÜRLERİ
FONKSİYON GRAFİĞİ OKUMA
Örnek...2 :
Ya n d ak i g r a f ik
y= f ( x )
f o nk s i yo n u n a
a i t t i r. B u n a g ö r e
istenilenleri
bulunuz?
y
f(z)=k
y=f(x)
d
k
a
A
b
x
z
y
y=f(x)
5
3
-4
-3
6 7
-1
x
2
c
( z, k ) ik i l i s i n i n a n a l i t ik d ü zl em d e k i
g ö r ü n t ü s ü A n o k t a s ı d ı r.
a) f(2)=
b)f(6)=
d) f(0)=
e)f-1(5)=
c) f-1(-3)=
► z s a yı s ı n a a p s i s , k s a yı s ı n a i s e o r d i n a t
d e n i r.
► A ( z, k ) n ok t a s ı y = f ( x ) f o nk s i yo n u n u n
g r af i ğ i ü ze r i n d e i s e f ( z) = k ya z ı l ı r.
f (x ) = 0 d e nk l e m i n i n ç ö zü m k üm e s i
y = f ( x ) d e nk l e m i yl e v e r i l e n
f on k s i yo n u n u n ( v a r s a ) x e k s e n i n i k e s t i ğ i
n o k t a l a r ın a p s i s l e r i , f ( x ) = 0 d e nk l em i n i n
g e r ç e k ( r e e l ) s a yıl a r k üm e s i n d e k i ç ö züm
k üm e s i d i r.
► A ( z, k ) n ok t a s ı y = f ( x ) f o nk s i yo n u n u n
g r af i ğ i ü ze r i n d e i s e f - 1 ( k ) = z ya z ı l ı r.
B u r a d a f - 1 if a d e s i f k ur a l ı n ı n t e r s
b a ğ ı n t ı s ı d ı r ( 1 0 . s ı n ı f t a d e t a yl ı o l a r ak
i ş l e n e c ek t i r ) [ f (x ) = y , f - 1 ( y) = x ]
y
Ta n ı m K üm e s i : [ a , b )
d
y=f(x)
görüntü
c
x
Görüntü Kümesi : (c,d]
a
tanım
b
www.matbaz.com
y
► Yuk a r ı d a v e r i l e n g r af ik t e x d e ğ e r l e r i
[a,b] aralığından seçildiği için tanım
k üm e s i [ a , b ] , g ö r ü n t ü k üm e s i i s e [ c , d ]
k üm e s i d i r.
Örnek...3 :
y=f(x)
6
Ya n d ak i g r a f ik y= f ( x )
f o nk s i yo n u n a a i t t i r. B u n a -3
-2
g ö r e i s t e n i l e n l e r i b u l u n u z?
10
4
5 8
-2
a ) f (k )= 0 i s e k k a ç o l a b i l i r ?
b)
f (0)+f (4). f(9)
f(−3).f (5)
Örnek...1 :
A ş a ğ ı d a g r af ik l e r i v e r i l e n f on k s i yo n l a r ı n
t a n ım v e g ö r ü n t ü k ü m e l e r i n i ya z ı n ı z
c ) t a n ım k ü m e s i n d e k i k aç a t am s a yıs ı i ç i n
f ( a )< 0 d ır ?
y
y
y=f(x)
4
y=f(x)
9
-6
4
x
1
-2
Örnek...4 :
8
7
-6
x
Ya n d ak i g r a f ik
y= f ( 2 x + 5 ) f on k s i yo n u n a
a i t t i r. B u n a g ö r e
i s t e n i l e n l e r i b u l u n u z?
y
-3
y=f(2x+5)
3
1
-2
4
7
x
T.K.
a) f(13)=?
G.K.
y
y
y=h(x) 9
y=g(x)
4
-5
-1
3
7
4
x
5
3
-3
T.K.
7
x
a)
f (5)+f (−1)
=?
f(19)−1
-2
G.K.
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
1/6
x
FONKSİYONLAR - 2
GRAFİK GÖSTERİMİ-FONKSİYON TÜRLERİ
Örnek...5 :
Ya n d a k i g r af i k y= g ( x + 3 )
f on k s i yo n u n a a i t t i r.
Buna göre istenilenleri
b u l u n u z?
y
-3
DÜŞEY DOĞRU TESTİ
y=g(x+3)
7
5
7 10
-1 4 5
B i r g r a f i k t e y ek s e n i n e ç i zi l e n p a r a l e l
d o ğ r u l a r g r af i ğ i b i r d e n f a zl a n o k t a d a
k es i yo r s a o i l i şk i ( e ş l em e ) f o n k s i yo n
d e ğ i l d i r.
x
-2
y
y
a) g(7)+g-1(-2) = ?
a
b
b)
g(13)+g(3).g(0 )
=?
g (7)−2 g (8)
x
a
b
x
y= f ( x ) , [ a , b ] t a n ım a r a l ığ ı i ç i n
f on k s i yo n d u r. ( d ü ş e y ç i zg i l e r g r a f i ğ i
d a i m a t ek n ok t a d a k es i yo r )
y= g ( x ) , [ a , b ] t a n ım a r a l ığ ı i ç i n f o nk s i yo n
d e ğ i l d i r. ( d ü ş e y ç i zg i l e r g r a f i ğ i b a ze n
b i r d e n f a zl a n ok t a d a k es i yo r )
y
Örnek...6 :
7
-6
5
x
-1
a) h(x)=0 denkleminin kaç
k ök ü v a r d ı r ?
y=h(x)
b ) h ( x ) = - 1 d e n k l e m i n i n k a ç k ök ü v a r d ı r ?
c ) h ( x ) = 8 d e n k l e m i n i n k a ç k ök ü v a r d ı r ?
www.matbaz.com
Ya n d a k i g r af i k y= h ( x )
f on k s i yo n u n a a i t t i r.
y=g(x)
y=f(x)
Örnek...9 :
H a n g i g r a f i k b i r f on k s i yo n a a i t o l a b i l i r ?
Örnek...7 :
f (x ) = 4 x – 2 8 f on k s i yo n u n u n x ek s e n i n i
k es t i ğ i n o k t a n ı n a p s i s i k aç t ı r ?
Örnek...8 :
2
f (x)=x −ax+b f on k s i yo n u n u n x ek s e n i n i
k es t i ğ i n o k t a l a r ı n a p s i s l e r i 1 v e – 2 o l d u ğ u n a
g ö r e , y ek s e n i n i h a n g i n o k t a d a k e s e r ?
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
2/6
FONKSİYONLAR - 2
GRAFİK GÖSTERİMİ-FONKSİYON TÜRLERİ
DEĞİŞİM HIZI VE DOĞRUNUN EĞİMİ
Örnek...12 :
B i r ak ıl l ı t e l ef o n u n
Fiyat (Tl)
üretildiği tarihten
1800
i t i b a r e n f i ya t ı n d a k i
d e ğ i ş im g r a f i ğ i
1200
v e r i lm i ş t i r. Ak ıl l ı
t e l ef o n u n f i ya t ı n ı n
2
6
za m a n a g ö r e d e ğ i ş i m h ı z ı
k a ç t ır ?
İ k i d e ğ i şk e n d e n b i r i n i n d e ğ i ş im
m ik t a r ı n ı n , d i ğ e r i n i n d e ğ i ş i m m ik t a r ı n a
o r a n ı d e ğ i ş i m h ı z ı n ı v e r i r. A yş e ' n i n
k i l o s u n u n ya ş ı n a g ö r e d e ğ i ş im h ı z ı ,
Kilo değişim miktarı
D e ğ i ş im h ı z ı =
d ı r.
Yaş değişim miktarı
y = f (x ) d o ğ r u s a l f o nk s i yo n u g e n e l l i k l e ,
f(x) = m.x+n
b i ç im i n d e ya z ı l ı r. B u f on k s i yo n u n y s i n i n
x ine göre değişim hızına doğrunun eğimi
d e n i r. E ğ i m g e n e l l i k l e " m " h a r f i i l e
g ö s t e r i l i r.
D e ğ i ş im h ı z ı =
Süre (yıl)
D e ğ i ş i m h ı z ı ( e ğ im ) p o zi t i f , n e g a t if v e
s ıf ır o l a b i l i r.
y deki değişim miktarı
x deki değişim miktarı
=eğim=m
EĞİM BULMAK
A yş e ' n i n ya ş – k üt l e t a b l o s u a ş a ğ ı d a
v e r i l m i ş t i r. A yş e ' n i n k üt l e s i n i n ya ş ı n a g ö r e
değişim hızı nedir?
Yaş Kütle(kg)
12
43
15
49
18
55
www.matbaz.com
Örnek...10 :
a.x + b.y + c = 0 biçimindeki doğruların
a
e ğ i m i m=−
b
y = m . x+ n b i ç im i n d ek i d o ğ r u l a r ı n e ğ i m i
i s e m k at s a yı s ın a e ş i t t i r.
Örnek...13 :
Doğruların eğimlerini bulunuz
a) f(x)=3x+4
b) y=4x+7
c) 3x-2y=8
d)
x y
− =√ 7
3 2
Örnek...11 :
Elinde uçan balon olan Ali'
Yükseklik (m)
n i n b a l o n u k a ç ı yo r.
B a ş l a n g ı ç t a ye r d e n 2
32
m et r e yü k s e k l ik t e k i
b a l o n u n yü k s ek l i ğ i n i n z a 2
Süre (sn)
m an a ( s a n i ye ) g ö r e
60
d e ğ i ş i m g r af i ğ i v e r i l i yo r.
B a l o n u n yü k s ek l i ğ i n i n z am a n a
g ö r e d e ğ i ş im h ı z ı k a ç t ı r ?
E ğ i m , e ğ i m a ç ıs ın ın t a n j a n t d e ğ e r i d i r
E ğ i m i n a l a b i l e c e ğ i t üm d e ğ e r l e r i g r a f ik
ü ze r i n d e g ö r e l im .
E ğ i m p o zi t i f t i r
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
E ğ im n e g a t if t i r
3/6
FONKSİYONLAR - 2
GRAFİK GÖSTERİMİ-FONKSİYON TÜRLERİ
Örnek...17 :
{
f (x)= x+3,
2 x−8,
ç i zi n i z
A ş a ğ ı d a g r af i ğ i v e r i l e n f on k s i yo n l a r ı n
eğimlerini bulunuz.
Örnek...18 :
4
3
x
x
m=
m=
PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR
Ta n ı m k ü m e s i n i n a yr ı k a l t a r a l ı k l a r ı n d a
f a rk l ı k u r a l l a r l a i f a d e e d i l e n f o nk s i yo n l a r a
p a r ç a l ı t a n ım l ı f on k s i yo n d e n i r.
{
f (x)= g (x),
h (x),
g ( x ) = | x – 3 | f o nk s i yo n u n u p a r ç a l ı b i ç i m d e
ya z ın ı z?
x<a
x≥a
www.matbaz.com
4
-2
{
y
d
d
f o nk s i yo n u n u n g r a f i ğ i n i
M u t l a k d e ğ e r f o nk s i yo n u d a p a r ç a l ı
t a n ım l ı b i r f o nk s i yo n d u r
−x, x<0
|x|= x , x>0
0, x=0
Örnek...14 :
y
x<0
x≥0
Örnek...19 :
g ( x ) = | 2 x + 1 0 | f on k s i yo n u n u p a r ç a l ı
b i ç im d e ya z ı p g r a f i ğ i n i ç i zi n i z
Örnek...15 :
{
2
f (x)= x +4 x+2, x<0 ise f (−3)+ f(2)=?
−x−5,
x≥0
f ( x )= x n f on k s i yo n l a r ın ın g r af i k l e r i
y
y
y=x
Örnek...16 :
{
2x
x>2
R e e l s a yı l a r d a f (x)= x+2 −3<x⩽2 b i ç i m i n d e
−3
x⩽−3
t a n ım l a n a n f o nk s i yo n i ç i n f (2 ) - f (3 ) k aç t ır ?
y=x2
x
y
y
y=x3
y=k/x k>0
x
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
x
x
4/6
FONKSİYONLAR - 2
GRAFİK GÖSTERİMİ-FONKSİYON TÜRLERİ
FONKSİYON TÜRLERİ
1 . İ ç i n e F o n k s i yo n
f : A → B f o nk s i yo n u i ç i n
f (A)≠B i s e f
f o nk s i yo n u n a i ç i n e
f o nk s i yo n d e n i r.
Ya n i d e ğ e r k üm e s i n d e
a ç ı k t a e l em a n k al ı yo r s a
f o nk s i yo n i ç i n e d i r.
2 . Ö r t e n F o n k s i yo n
f : A → B f o nk s i yo n u
i ç i n f (A)=B i s e f
f o nk s i yo n u n a ö r t e n
f o nk s i yo n d e n i r. Ya n i
d e ğ e r k üm e s i n d e a ç ı k t a
e l em a n k al m ı yo r s a
f o nk s i yo n ö r t e n d i r.
f
A
3 . B i r e - b i r F o n k s i yo n
f : A → B f on k s i yo n u v e r i l s i n .
Her x1 , x2
∈ A ve x1 ≠ x2 için
f (x 1 ) ≠ f ( x 2 ) o l u yo r s a f f on k s i yo n u n a
b i r e – b i r ( 1 – 1 ) f o n k s i yo n d e n i r.
B
1
2
3
4
5
a
b
c
Örnek...23 :
A
g
A
B
a
b
c
d
1
2
a
b
c
d
4
5
B i r f o nk s i yo n u n ö r t e n m i i ç i n e m i
o l d u ğ u n u a n l a m ak i ç i n d e ğ e r
k üm e s i n d e n s e ç i l e c e k h e r e l em a n ı n a
k a r ş ı l ı k t a n ı m k üm e s i n d e n b i r e l am a n ı n
e ş l e ş i p e ş l e ş m e d i ğ i n i b i lm ek g e r ek i r.
G r af ik t e n b u n u a n l a m a n ı n yo l u g ö r ü n t ü s ü
a r a ş t ı r ı l a c ak e l e m a n i ç i n i ç i n x ek s e n i n e
p a r a l e l b i r d o ğ r u ç i zi l i r v e b u d o ğ r u n u n
g r af i ğ i k es i p k es m e m e s i n e g ö r e k a r a r
verilir
Örnek...20 :
Örnek...21 :
Ş e k i l d e k i f o nk s i yo n u n
R e e l s a yı l a r k üm e s i n d e
f on k s i yo n m i d i r ?
Ş e k i l d e k i f o nk s i yo n u n
d e ğ e r k üm e s i R e e l
s a yı l a r k üm e s i i s e b u
f on k s i yo n ö r t e n m i d i r ?
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
A
1
2
3
4
5
a
b
c
d
g
B
1
2
4
5
YATAY DOĞRU TESTİ (BİRE-BİRLİK)
B i r f on k s i yo n u n g r af i ğ i v e ya t a y o l a r a k
ç i zi l e n f a rk l ı d o ğ r u l a r e n ç o k b i r d e f a
k es i ş i yo r s a f o nk s i yo n b i r e b i r d i r . Ya t a y
d o ğ r u l a r b i r d e n ç o k d e f a f o nk s i yo n
g r a f i ğ i n i k e s i yo r s a f o n k s i yo n 1 - 1 d e ğ i l d i r.
y
Örnek...24 :
y=x2
x
y
R e e l s a yıl a r d a t a n ım l ı
y= f ( x ) f o nk s i yo n u 1 - 1
midir?
y=f(x)
x
Örnek...25 :
R e e l s a yıl a r d a t a n ım l ı
y= f ( x ) f o nk s i yo n u 1 - 1
midir?
y
y
y=f(x)
x
y=x3
Örnek...26 :
x
Örnek...22 :
B
h f o n k s i yo n u f ar k l ı e n a z ik i t a n ım k üm e s i
e l em a n ın ı d e ğ e r k üm e s i n d e n a yn ı e l e m a n l a
e ş l e ş d i ğ i n d e n b i r e - b i r d e ğ i l d i r. g f on k s i yo n u
i s e f a rk l ı e l em a n l a r ı f ar k l ı g ö r ü n t ü l e r l e
eşleştirdiğinden bire-birdir
YATAY DOĞRU TESTİ (ÖRTENLİK)
Ş e k i l d e k i f o nk s i yo n u n
d e ğ e r k üm e s i R e e l
s a yı l a r k üm e s i i s e
f on k s i yo n i ç i n e d i r.
E ğ e r d e ğ e r k üm e s i
[0, ∞ ) alınırsa
f on k s i yo n ö r t e n d i r
h
R e e l s a yıl a r d a t a n ım l ı ( f : R → R )
y= f ( x ) = x 4 f o nk s i yo n u 1 - 1 m id i r. D e ğ i l i s e b u
f o nk s i yo n u n 1 - 1 h a l e g e t i r lm e s i i ç i n m üm k ü n
b i r yo l v a r m ıd ır ?
y
y=k/x k>0
x
Örnek...27 :
E n a z ik i e l em a n l ı b i r k üm e d e t a n ım l ı s a b i t ,
b i r im v e d o ğ r u s a l f o nk s i yo n l a r ın b i r e b i r l i ğ i n i
a r a ş t ır ın ı z ?
5/6
FONKSİYONLAR - 2
GRAFİK GÖSTERİMİ-FONKSİYON TÜRLERİ
DEĞERLENDİRME
1) Yandaki grafik
y=f(x)
fonksiyonuna aittir.
Buna göre
istenilenleri
bulunuz?
fonksiyonunun x eksenini
kestiği noktaların apsisleri -1 ve 2 olduğuna
göre, y eksenini hangi noktada keser?
6)
Hangisi reel sayılarda tanımlı bir fonksiyona
ait olabilir?
y
5
f (x)=x +mx+n
y=f(x)
-5 -3 1
-3
2
5)
3
-2
6
4
7
x
y
a ) f (x + 1 ) = 0 d e nk l em i n i s a ğ l a ya n x
d e ğ e r l e r i n i n t o p l am ı k aç t ı r ?
y
y=f(x)
x
x
y=u(x)
f (3)+f (−5). f (0 )
b)
f (6)+f−1(−3)
y
y
y=f(x)
c) Aşağıdaki aralıklarda f bire-bir midir?
i) [-5,0]
iii) [0,7]
y=r(x)
x
x
d) f:[-5,oo) R fonksiyonu örten midir?
2) Yandaki grafik y=h(2x+3)
fonksiyonuna aittir. Buna
göre istenilenleri
bulunuz?
-3
7) Bir ağacın dikildikten
sonra boyunun zamana
göre değişimi grafikte
verilmiştir. Ağacın
boyunun zamana göre
değişim hızı kaçtır?
y
7
6
5
-2
−1
h(15)+h(3).h (7)
=?
h(17)−h(21)
y=h(2x+3)
6
-4
x
79
y
3) Yandaki grafik y=k(x)
fonksiyonuna aittir.
5
8)
y=k(x)
9
-7
-1
x
{
,
f (x)= mx+n
−x 2+2 n−3,
Boy (cm)
32
20
Süre (ay)
8
x<1
ve f (0)= f(2) ise
x≥1
f(3) kaçtır?
a) k(x)=0 denkleminin
kaç kökü vardır?
b ) k (x ) = - 1 d e n k l e m i n i n k a ç k ök ü v a r d ı r ?
9) (x) = | x – 3 |-2 fonksiyonunu parçalı biçimde
yazarak grafiğini çiziniz ?
c ) k (x ) = 4 d e nk l e m i n i n k a ç k ök ü v a r d ı r ?
4)
f(x) = x2 – 9 fonksiyonunun x eksenini kestiği
noktaların birbirine uzaklığı kaç birimdir?
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
6/6