hardy e“ ts zl kler ve bazı uygulamaları yüksek l sans tez

T.C.
AH EVRAN ÜNVERSTES
FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
HARDY ETSZLKLER VE BAZI UYGULAMALARI
Abdulaziz AHN
YÜKSEK LSANS TEZ
MATEMATKANABLM DALI
KIREHR
Haziran - 2012
T.C.
AH EVRAN ÜNVERSTES
FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
HARDY ETSZLKLER VE BAZI UYGULAMALARI
Abdulaziz AHN
YÜKSEK LSANS TEZ
MATEMATKANABLM DALI
DANIMAN:
Yrd.Doç.Dr. Ali AKBULUT
KIREHR
Haziran - 2012
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlü§ü'ne
Bu çal³ma jürimiz tarafndan MATEMATK Anabilim Dalnda YÜKSEK LSANS
TEZ olarak kabul edilmi³tir.
Ba³kan: Prof.Dr. Ayhan ERBETÇ
Akademik Ünvan, Ad-Soyad
Üye: Prof.Dr. Vagf S. GULYEV
Akademik Ünvan, Ad-Soyad
Üye: Yrd.Doç.Dr. Ali AKBULUT
Akademik Ünvan, Ad-Soyad
Onay
Yukardaki imzalarn, ad geçen ö§retim üyelerine ait oldu§unu onaylarm.
.../.../20..
Doç.Dr.Mahmut YILMAZ
Enstitü Müdürü
ÖZET
Bu tezde Lebesgue uzay, Hardy e³itsizlikleri ve Hardy e³itsizli§inin baz uygulamalarna
yer verilecektir.
Birinci bölümde, bundan sonraki bölümlerde i³lenecek olan konular yakndan ilgilendiren temel uzay bilgisi, Lebesgue uzay ve bu uzayda kullanlan kavram, notasyon ve teoremlere
yer verilecektir. Ayrca
Lp
uzaynn tanm, normu ve özelliklerinden bahsedilecektir
kinci bölümde, Hardy e³itsizliklerinin ba³langcndan bugüne geli³imi, kazand§ ba³ka
formlar e³itsizli§in ve geçerli olmas için gerek ve yeter ³artlar hakknda bilgiler verilecektir.
Üçüncü bölümde, uygulamalara yer verilecektir.
Anahtar Kelimeler: Hardy e³itsizli§i, Hardy operatörü, Hardy e³itsizli§inin uygulamalar
i
ABSTRACT
In this thesis, information about Lebesgue space, Hardy inequalities and some applications of Hardy inequalities will be given.
In the rst chapter, we will give information about some space knowledge, denition
of Lebesgue space and it's basic properties, which is very important for the other sections.
Moreover, we will give information about
Lp
space, it's norm and it's basic properties.
In the second chapter, we talk about the beginning of Hardy inequality, developing of
Hardy inequality from beginning to today, Hardy's inequalities' the other forms and necessary
and sucient conditions for realize the Hardy inequality.
In the third chapter, applications will be given.
Keywords: Hardy inequality, Hardy operator, Applications of Hardy inequality
ii
TEEKKÜR
Bu çal³may hazrlamamda deste§ini hiçbir zaman esirgemeyen de§erli dan³manm
Yrd.Doç.Dr. Ali AKBULUT'a ve Prof.Dr. Vagf S. GULYEV'e ayrca çal³mam boyunca hep
destek olan aileme te³ekkür ederim.
iii
ÇNDEKLER DZN
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
TEEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ÇNDEKLER DZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
SMGELER VE KISALTMALAR
1
2
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
TEMEL TANIM VE TEOREMLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1
Metrik Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Vektör Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Lebesgue ntegrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Ölçülebilir Fonksiyonlar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5
Lp (Ω) Uzay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6
Ap Snf Fonksiyonlar
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
AIRLIKLI LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN
SINIRLILII ÇN GEREK VE YETER ARTLAR . . . . . . . . . . 23
2.1
A§rlkl Lebesgue Uzaylar ve Hardy Operatörü . . . . . . . . . .
23
2.2
Hardy Operatörünün Duali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3
Hardy E³itsizlikleri çin Baz Kriterler
. . . . . . . . . . . . . . .
25
2.4
Türevli Hardy E³itsizlikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.5
Baz Gösterim ve Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.6
Hardy E³itsizli§inin Kullanld§ Baz Özel Snardaki Fonksiyonlar 36
2.7
(a, b) Aral§nda Hardy E³itsizlikleri . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
UYGULAMALAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.1
Multilineer Konvolisyon çin O'Neil E³itsizli§i . . . . . . . . . . .
43
3.2
Multilineer Konvolisyonlarnn Yeniden Düzenlemeler çin O'Neil
E³itsizli§i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
iv
3.3
Multilineer Konvolisyonlar çin O'Neil E³itsizli§i . . . . . . . . .
45
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
ÖZGEÇM
49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
SMGELER VE KISALTMALAR
R:
Reel saylar kümesi (−∞, ∞)
H:
Hardy operatörü (Hf )(x) =
H̃ :
e³lenik Hardy operatörü
Ls (ω):
(Ls (ω))∗ :
k.ks,ω :
a§rlkl Lebesgue uzay
Ls (ω) dual uzay
Ls (ω) uzaynda norm
f ↑:
azalan fonksiyon
f ↓:
artan fonksiyon
1
Rx
a
f (t)dt
1
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
1.1
Metrik Uzaylar
X bo³ kümeden farkl bir küme olmak üzere X üzerinde tanml
reel de§erli d : X × X → R fonksiyonu
Tanm 1.1.1
(i) x, y ∈ X için d(x, y) ≥ 0
(ii) x, y ∈ X için d(x, y) = 0 ⇔ x = y
(iii) x, y ∈ X için d(x, y) = d(y, x)
(iv) x, y, z ∈ X için d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (üçgen e³itsizli§i)
özelliklerini sa§lyor ise d fonksiyonuna X üzerinde bir metrik veya uzaklk fonksiyonu denir. Bu durumda (X, d) ikilisine bir metrik uzay ve (i) − (iv) özelliklerine
de metrik aksiyomlar denir. Bir küme üzerinde birden çok metrik tanmlanabilir.
X = R olmak üzere d : R × R → R, d(x, y) = |x − y|, x, y ∈
R ³eklinde tanmlanan d dönü³ümü R üzerinde bir metriktir. Bu metri§e R
üzerindeki adi metrik veya öklid metri§i denir.
Örnek 1.1.2
Örnek 1.1.3
X bo³ kümeden farkl bir küme olmak üzere, ∀x, y ∈ X için
0 ,x = y
d(x, y) =
1 , x 6= y
³eklinde tanmlanan d dönü³ümü X üzerinde bir metriktir. Bu metri§e X üzerindeki ayrk metrik denir.
Rn (veya Cn ), n ∈ N, tüm sral reel(veya kompleks) n-lilerin kümesini
göstermek üzere, ∀x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn için a³a§da verilen d : Rn × Rn → Rn olmak üzere,
!1/2
n
X
d(x, y) =
|xk − yk |2
Örnek 1.1.4
k=1
³eklindeki d dönü³ümüne R üzerindeki adi metrik veya öklid metri§i, (Rn , d)
ikilisine ise n-boyutlu öklid uzay denir.
n
X bo³ kümeden farkl bir küme, B(X), X ten R ye tanml bütün
snrl fonksiyonlarn kümesi ve d : B(X) × B(X) → R olmak üzere,
Örnek 1.1.5
d(f, g) = sup{|f (t) − g(t)| : t ∈ X}
³eklinde tanml d dönü³ümü B(X) üzerinde bir metriktir.
2
[a, b] ⊂ R için C[a, b], [a, b] üzerindeki sürekli ve reel de§erli fonksiyonlar kümesi ve d : C[a, b] × C[a, b] → R olmak üzere,
Örnek 1.1.6
d(f, g) = max{|f (t) − g(t)| : t ∈ X}
³eklinde tanml d dönü³ümü C[a, b] üzerinde bir metriktir.
(xn )n∈N , (X, d) metrik uzaynda bir dizi ve x0 ∈ X olmak üzere;
∀ε > 0 says için ∃nε ∈ N öyle ki n ≥ nε için d(xn , x0 ) < ε oluyorsa (xn ) dizisi
x0 ∈ X noktasna yaknsyor denir ve bu xn → x0 veya limn→∞ xn = x0 ³eklinde
gösterilir.
Tanm 1.1.7
Teorem 1.1.8 (xn )n∈N , (X, d) metrik uzaynda bir dizi ve x0 ∈ X olmak üzere;
limn→∞ xn = x0 ise,
(i) x0 limiti tektir.
(ii) (xn ) dizisi snrldr.
(iii) (xn ) dizisinin her (xnk ) alt dizisinin limiti de x0 dr.
(iv) Ek olarak yn → y0 ise d(xn , yn ) → d(x0 , y0 ) olur.
Tanm 1.1.9
(X, d) metrik uzay x0 ∈ X ve r ∈ R pozitif bir say olmak üzere;
B(x0 , r) = {x ∈ X : d(x0 , x) < r} kümesine x0 merkezli r yarçapl bir açk
yuvar,
B(x0 , r) = {x ∈ X : d(x0 , x) ≤ r} kümesine x0 merkezli r yarçapl bir kapal
yuvar,
B(x0 , r) = {x ∈ X : d(x0 , x) = r} kümesine x0 merkezli r yarçapl bir yuvar
yüzeyi denir.
E§er ∀n ∈ N için xn ∈ B(a, r) olacak ³ekilde bir B(a, r) açk yuvar varsa (xn )
dizisi X metrik uzaynda snrldr denir. Ayrca E ⊆ B(a, r) olacak ³ekilde
B(a, r) açk yuvar varsa E ⊆ X alt kümesine X metrik uzaynda snrldr denir.
(X, d) metrik uzay ve E ⊆ X olmak üzere; e§er B(x0 , ε) ⊆ E
olacak ³ekilde bir ε > 0 says varsa x0 ∈ E saysna E nin bir iç noktas denir.
Tanm 1.1.10
(X, d) metrik uzay ve G ⊂ X olmak üzere; e§er G kümesinin her
noktas G nin bir iç noktas ise G ye(X te) bir açk küme denir.
Tanm 1.1.11
Tanm 1.1.12
(X, d) metrik uzay ve G ⊆ X olmak üzere;
3
(i) ∀ε > 0 says için 0 < d(c, x) < ε olacak ³ekilde bir x ∈ X varsa c ∈ X
saysna G kümesinin bir y§lma noktas denir.
(ii) E§er bir c ∈ G noktas G nin bir y§lma noktas de§ilse c elemanna G nin
yaltk noktas(isolated point) denir.
Teorem 1.1.13
denktir.
(X, d) metrik uzay ve E ⊆ X olmak üzere; a³a§daki ifadeler
(i) c ∈ X noktas E kümesinin bir y§lma noktasdr.
(ii) ∀ε > 0 için B(c, ε) açk yuvar E kümesinin sonsuz çoklukta elemann kapsar.
(iii) E kümesinde bir (xn ) dizisi vardr ki n ∈ N iken xn 6= c ve xn → c dir.
(X, d) metrik uzay ve F ⊆ X alt kümesi verilsin. E§er F tüm
y§lma noktalarn kapsyorsa F ye X te bir kapal küme denir.
Tanm 1.1.14
Teorem 1.1.15
(X, d) metrik uzay olmak üzere,
(i) X teki açk kümelerin herhangi bir kolleksiyonunun birle³imi X te bir açk
kümedir.
(ii) X teki açk kümelerin herhangi bir sonlu kolleksiyonunun kesi³imi X te bir
açk kümedir.
(X, d) metrik uzay olmak üzere, F ⊆ X alt kümesi X te kapaldr ⇔ F nin tümleyeni F c = X \ F , X te bir açk kümedir.
Teorem 1.1.16
Teorem 1.1.17
(X, d) metrik uzay olmak üzere,
(il) X teki kapal kümelerin herhangi bir kolleksiyonunun kesi³imi X te bir kapal
kümedir.
(ii) X teki kapal kümelerin herhangi bir sonlu kolleksiyonunun birle³imi X te
bir kapal kümedir.
Tanm 1.1.18
E ⊆ X olmak üzere;
(i) E kümesinin tüm iç noktalarnn kümesine E nin içi denir ve intE ³eklinde
gösterilir.
(ii) E kümesinin noktalarn ve tüm y§lma noktalarn kapsayan kümeye E nin
kapan³ denir ve Ē ³eklinde gösterilir.
4
(X, d1 ) ve (Y, d2 ) metrik uzaylar E ⊆ X , c noktas E nin bir
y§lma noktas ve l ∈ Y olsun.
Tanm 1.1.19
x ∈ X ve ∀ε > 0 için d2 (f (x), l) < ε iken d1 (x, c) < δ olacak ³ekilde bir δ >
0 says var ise l ∈ Y noktasna f : E → Y fonksiyonunun c noktasndaki limiti
denir ve limx→c f (x) = l ³eklinde gösterilir. Burada c noktasnn E kümesine ait
olmas gerekmez.
(X, d1 ) ve (Y, d2 ) metrik uzaylar ve c ∈ X olmak üzere, f : X →
Y fonksiyonunu alalm e§er;
Tanm 1.1.20
∀ε > 0 için d1 (x, c) < δ iken d2 (f (x), f (c)) < ε olacak ³ekilde bir δ > 0
says var ise f fonksiyonu c noktasnda süreklidir denir.
E§er f fonksiyonu X kümesindeki her noktada sürekli ise f fonksiyonu X
uzaynda süreklidir denir.
Tanm 1.1.21
alalm, e§er
(X, d1 ) ve (Y, d2 ) metrik uzaylar olsun. f : X → Y fonksiyonunu
∀ε > 0 için d1 (x1 , x2 ) < δ iken d2 (f (x1 ), f (x2 )) < ε olacak ³ekilde bir δ > 0
says var ise f fonksiyonu X te düzgün yaknsaktr denir.
Düzgün yaknsak olan bir fonksiyon ayn zamanda yaknsaktr ancak tersi
do§ru de§ildir.
(X, d) metrik uzay olsun. (xn ), X te bir dizi olmak üzere, ∀ε > 0
için m > n ≥ n0 olmak üzere d(xm , xn ) < ε olacak ³ekilde bir n0 says varsa (xn )
dizisine bir Cauchy dizisi denir.
Tanm 1.1.22
(X, d) metrik uzay olsun. (xn ), X te bir yaknsak dizi ise (xn )
bir Cauchy dizisi olur. Bu teoremin tersi R ve C de adi metri§e göre do§ru
olmakla birlikte genel olarak do§ru de§ildir.
Teorem 1.1.23
(X, d) metrik uzay ve E ⊆ X olsun, E deki her Cauchy dizisi E
deki bir noktaya yaknsyor ise E kümesine tamdr denir.
Tanm 1.1.24
Tanm 1.1.25 (X, d) metrik uzayndaki her Cauchy dizisi X teki bir noktaya
yaknsyor ise (X, d) metrik uzayna tam metrik uzay denir.
(X, d) metrik uzay ve E ⊆ X olsun, e§er E deki her dizi, limiti E
de olan yaknsak bir alt diziye sahip ise E kümesine kompakt küme denir. E§er
X kompakt ise (X, d) metrik uzay kompakt olur.
Tanm 1.1.26
Bir E ⊆ X alt kümesinin kompaktl§, X uzaynda tanmlanan metri§e
ba§ldr, örne§in [0, 1] ⊆ R alt kümesi, R deki adi metri§e göre kompakttr; ancak
ayrk metri§e göre kompakt de§ildir.
5
(X, d) metrik uzay ve E ⊆ X olsun. X = Ē ise E kümesine X
te yo§un küme denir.
Tanm 1.1.27
Q rasyonel saylar kümesi R de yo§undur; ancak Z tam saylar
kümesi R de yo§un de§ildir.
Örnek 1.1.28
1.2
Vektör Uzaylar
V bo³ olmayan bir küme ve F bir cisim olmak üzere, + : V × V →
V, (x, y) → x + y
· : F × V → V, (λ, x) = λx
dönü³ümleri ile srasyla vektörel toplama ve skalerle çarpma i³lemlerini tanmlayalm.
Tanm 1.2.1
∀x, y, z ∈ V ve λ, µ ∈ F için a³a§daki ko³ullar sa§lansn:
1. x + y = y + x
2. x +( y + z) =(x + y) + z
3. ∀x ∈ V için x + 0 = x e³itli§ini sa§layan bir tek 0 ∈ V vardr.
4. ∀x ∈ V için x + (−x) = 0 e³itli§ini sa§layan bir tek −x ∈ V vardr.
5. ∀x ∈ V için 1 · x = x
6. λ(x + y) = λx + λy
7. (λ + µ)x = λx + µx
8. (λµ)x = λ(µx)
Bu durumda V ye F cismi üzerinde bir vektör uzay(lineer uzay), elemanlarna
ise vektör veya nokta denir. V = R alnrsa V ye bir reel vektör uzay, V = C
alnrsa V ye bir kompleks vektör uzay denir.
V , F cismi üzerinde bir vektör uzay ve W , V nin bo³ olmayan
bir alt kümesi olsun. E§er W , V vektör uzayndaki toplama ve skalerle çarpma
i³lemlerine göre bir vektör uzay olu³turuyorsa W ye V nin bir (lineer) alt uzay
denir.
Tanm 1.2.2
∅=
6 W ⊆ V kümesinin V nin bir alt uzay olabilmesi için gerek
ve yeter ko³ul y1 , y2 ∈ W ve λ1 , λ2 ∈ F için λ1 y1 + λ2 y2 ∈ W olmasdr.
Teorem 1.2.3
6
Tanm 1.2.4
k · k : V → R,
V , F cismi üzerinde bir vektör uzay olsun.
x → kxk dönü³ümü ∀x, y ∈ V ve ∀λ ∈ F için
(i) kxk ≥ 0
(ii) kxk = 0 ⇔ x = 0
(iii) kλxk = |λ|kxk
(iv) kx + yk ≤ kxk + kyk (üçgen e³itsizli§i)
özelliklerini sa§lyor ise V üzerinde bir norm olur ve bu durumda (V, k · k) ikilisine
bir normlu vektör uzay denir. (i) − (iv) özelliklerine ise norm aksiyomlar denir.
Bu uzay V = R için reel normlu uzay, V = C için kompleks normlu uzay olur.
Bir vektör uzay üzerinde birden çok normlu uzay tanmlanabilir.
n ∈ N için Rn öklid vektör uzayn dü³ünelim. x, = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈
Rn için k · k : Rn → R dönü³ümü
!1/2
n
X
kxk =
|xk |2
Örnek 1.2.5
k=1
normu ile birlikte bir normlu vektör uzay olu³turur. Bu uzaya Rn deki adi norm
veya öklid normu denir.
Örnek 1.2.6
lp , (1 ≤ p < ∞) uzay
kxklp =
∞
X
!1/p
|xk |p
k=1
³eklinde tanml k · klp : lp → R dönü³ümü ile bir normlu uzaydr.
Tanm 1.2.7
Her (V, k · k) normlu uzayndan x, y ∈ V olmak üzere,
d(x, y) = kx − yk
³eklinde bir metrik elde edilebilir. Bu metri§e k · k normu tarafndan üretilen
metrik veya k · k normunun indirgedi§i metrik denir.
Teorem 1.2.8 F cismi üzerinde tanml bir V vektör uzay üzerinde k·k : V → R
³eklinde tanml her norm V üzerinde süreklidir.
F cismi üzerinde tanml herhangi bir V normlu vektör uzaynda
vektörel toplama ve skalerle çarpma dönü³ümleri süreklidir.
Teorem 1.2.9
7
Tanm 1.2.10
V , F cismi üzerinde tanml bir vektör uzay olsun. ∀x ∈ V için
kkxk1 ≤ kxk2 ≤ Kkxk1
olacak ³ekilde k, K ∈ R pozitif saylar varsa V üzerinde tanml k · k1 ve k · k2
normlarna denk normlar denir.
Tanm 1.2.11
(xn ), (V, k · k) normlu uzaynda bir dizi ve x0 ∈ V olsun. E§er
lim kxn − x0 k = 0
n→∞
olursa (xn ) dizisi x0 noktasna yaknsyor denir ve xn → x0 veya limn→∞ xn =
x0 ³eklinde gösterillir. Normlu uzayda tanmlanan bu yaknsamaya norma göre
yaknsama denir.
(V, k · k) normlu uzay içinde bir dizi (xn ) olsun. ∀ε > 0 için
m, n ≥ nε oldu§unda kxn − xm k < ε olacak ³ekilde ε a ba§l bir nε do§al says
varsa (xn ) dizisine bir Cauchy dizisi denir.
Tanm 1.2.12
Bir (V, k · k) normlu uzay içindeki her Cauchy dizisi V içindeki
bir noktaya yaknsyor ise bu (V, k · k) normlu uzayna Banach Uzay ad verilir.
Tanm 1.2.13
Örnek 1.2.14
(i) kxk1 =
V = Rn (veya V = Cn ) vektör uzay
Pn
i=1
|xi |
P
1/p
(ii) kxkp = ( ni=1 |xi |p ) , 1 ≤ p < ∞,
(iii) kxk∞ = max{|xi | : i = 1, 2, . . . , n} normlarna göre birer Banach uzaydr.
Örnek 1.2.15
uzay
V = R(veya V = C)olmak üzere F üzerinde tanml V vektör
kf kC[a,b] = max |f (t)|
t∈[a,b]
normuna göre bir Banach uzaydr.
1.3
Lebesgue ntegrali
Tanm 1.3.1
X kümesinin alt kümelerinin bo³ olmayan bir H snf için
(i) ∀A, B ∈ H,
A\B ∈H
(ii) ∀A, B ∈ H,
A∪B ∈H
8
özellikleri sa§lanrsa bu H snfna bir
ad verilir. E§er (ii) yerine
halka
∀k ∈ N, Ak ∈ H ⇒
∞
[
Ak ∈ H
k=1
³art sa§lanrsa bu takdirde H halkasna bir σ − halka denir.
X bir küme olsun. X in bir A snf için a³a§daki özellikler
sa§lanrsa bu A snfna X üzerinde bir cebirdir denir.
Tanm 1.3.2
(i) X ∈ A
(ii) ∀E ∈ A,
E c = X\E ∈ A
(iii) ∀k = 1, 2, ..., n,
Ek ∈ A ⇒
Sn
k=1
Ek ∈ A
E§er (iii) yerine
∀n ∈ N,
En ∈ A ⇒
∞
[
Ek ∈ A
(1.1)
n=1
³art sa§lanrsa A cebirine bir σ − cebir ad verilir.
Örnek 1.3.3
X bir küme ve A = P (X) olsun. A, X üzerinde bir σ - cebirdir.
X = N, A = {∅, {1, 3, 5, ..., 2n−1, ...}, {2, 4, 6, ..., 2n, ...}, N} alnrsa
A, X üzerinde bir σ - cebirdir.
Örnek 1.3.4
X bir sonsuz küme ve A da X in tüm sonlu alt kümelerinin bir
snf olsun. A, X üzerinde bir σ - cebiri de§ildir. Çünkü E ∈ A ise E sonludur.
Dolaysyla, E c sonsuzdur, aksi takdirde X sonlu olurdu. u halde E c 6∈ A dr.
Örnek 1.3.5
Teorem 1.3.6
σ - cebiridir.
X üzerindeki σ - cebirlerin herhangi adetteki kesi³imleri yine bir
X bir küme K da X in bo³ olmayan bir snf olsun. K snfn
kapsayan σ - cebirlerinin bir en küçü§ü vardr.
Teorem 1.3.7
Bir K snfn kapsayan σ - cebirlerinin en küçü§üne K nn üretti§i
(do§urdu§u) σ - cebiri denir, D(K) ile gösterilir. Rn deki bütün açk (a, b) aralklarnn do§urdu§u σ - cebirine Borel Cebiri denir. B (Rn ) ile gösterilir. n = 1
olmas halinde B(R1 ) Borel cebiri B(R) ile gösterilir.
B(Rn ) nin herbir elemanna bir Borel Kümesi denir.
Tanm 1.3.8
9
X = R = R ∪ {−∞, +∞} ve E de bir Borel kümesi olsun.
E1 = E ∪ {−∞}, E2 = E ∪ {+∞} ve E3 = E ∪ {−∞, +∞} olsun. E kümesi B(R)
Borel cebirini tarad§nda E, E1 , E2 , E3 kümelerinin snf B(R) olsun. B(R) bir
σ - cebiridir. Bu σ - cebirine Geni³letilmi³ Borel Cebiri ad verilir.
Örnek 1.3.9
X bir küme ve A da X üzerinde bir σ - cebiri olsun. (X, A)
ikilisine bir ölçülebilir uzay, A daki her kümeye A-ölçülebilir uzay (veya
ksaca, ölçülebilir küme) ad verilir.
Tanm 1.3.10
Tanm 1.3.11 (X, A) bir ölçülebilir uzay olsun. A üzerinde tanml geni³letilmi³
reel de§erli bir µ fonksiyonu
(i) µ(∅) = 0
(ii) ∀A ∈ A,
µ(A) ≥ 0
∞
(iii) Her ayrk (An ) dizisi için µ(∪∞
n=1 An ) = Σn=1 µ(An )
özelliklerini sa§larsa bu fonksiyona bir ölçü fonksiyonu veya ksaca ölçü ad
verilir.
∀A ∈ A, µ(A) < ∞ ise µ ye bir sonlu ölçü ad verilir. X kümesi herbiri sonlu
ölçüye sahip saylabilir adetteki kümelerin birle³imi olarak yazlabiliyorsa µ ölçüsü
σ - sonludur denir. E§er µ(X) = 1 ise bu ölçüye olaslk ölçüsü ad verilir.
X 6= ∅ ve A = P (X) olsun. ∀E ∈ A, µ(E) = 0 biçiminde
tanmlanan µ fonksiyonu bir sonlu ölçü ve dolaysyla bir σ - sonlu ölçüdür.
Örnek 1.3.12
Örnek 1.3.13
X 6= ∅ ve A = P (X) olsun. E ∈ A için
0, E = ∅
µ(E) =
+∞, E 6= ∅
(1.2)
biçiminde tanmlanan µ fonksiyonu bir ölçüdür. Bu ölçü ne sonlu ne de σ - sonludur.
Bir X kümesi, X in alt kümelerinin bir A σ -cebiri ve A üzerinde
tanml bir µ ölçüsünden olu³an (X, A, µ) ölçüsüne bir ölçü uzay ad verilir.
Tanm 1.3.14
Teorem 1.3.15 (X, A, µ) bir ölçü uzay olsun.
E§er A, B ∈ A ve A ⊂ B ise µ(A) ≤ µ(B) ³eklindedir. Ayrca µ(A) < ∞ ise
µ(B\A) = µ(B) − µ(A)
dr.
Teorem 1.3.16
(X, A, µ) bir ölçü uzay olsun.
10
(1.3)
1. (An ), A daki elemanlarn artan bir dizisi ise
µ(
∞
[
(1.4)
An ) = lim µ(An )
n→∞
n=1
dr.
2. (Bn ), A daki elemanlarn bir azalan dizisi ve µ(B1 ) < ∞ ise
µ(
∞
\
(1.5)
Bn ) = lim µ(Bn )
n→∞
n=1
dr.
Sonuç 1.3.17
(X, A, µ) bir ölçü uzay olsun.
1. (An ), A daki elemanlarn bir artan dizisi ise
(1.6)
µ( lim An ) = lim µ(An )
n→∞
n→∞
dr.
2. (Bn ), A daki elemanlarn bir azalan dizisi ve µ(B1 ) < ∞ ise
(1.7)
µ( lim Bn ) = lim µ(Bn )
n→∞
n→∞
dr.
Teorem 1.3.18
bir dizisi ise
(X, A, µ) bir ölçü uzay olsun. (An ), A ya ait kümelerin herhangi
µ(
∞
[
Ak ) ≤
k=1
∞
X
(1.8)
µ(Ak )
k=1
dr.
Tanm 1.3.19 X bir küme ve P (X) de X in kuvvet kümesi olsun. P (X) üzerinde
tanml geni³letilmi³ reel de§erli bir µ∗ fonksiyonu
(i) µ∗ (∅) = 0
(ii) ∀E ∈ P (X), µ∗ (E) ≥ 0
(iii) A ⊂ B ⊂ X ⇒ µ∗ (A) ≤ µ∗ (B)
S
P∞ ∗
(iv) ∀n ∈ N, An ∈ P (X) ⇒ µ∗ ( ∞
n=1 ) ≤
n=1 µ (An )
³artlar sa§lanrsa µ∗ fonksiyonuna X üzerinde bir
11
d³ ölçüsüdür
denir.
Örnek 1.3.20
X herhangi bir küme ve µ∗ da P (X) üzerinde
0, A = ∅
∗
µ (A) =
1, A 6= ∅
(1.9)
³eklinde tanmlanan µ∗ fonksiyonu bir ölçü olmayp bir d³ ölçüdür.
Örnek 1.3.21
X herhangi bir sonsuz küme ve µ∗ da P (X) üzerinde
0, n(A) < ∞
∗
µ (A) =
1, n(A) = ∞
(1.10)
biçiminde tanmlanan µ∗ fonksiyonu bir d³ ölçü de§ildir.
Bilindi§i gibi, bir I aral§nn `(I) uzunlu§u o aral§n uç noktalarnn fark
olarak tanmlanr. Yani I = [a, b] (veya (a,b), (a,b], [a,b)) aral§nn boyu
`(I) = b − a dr. Uzunluk bir küme fonksiyonuna (bir koleksiyondaki herbir kümeye bir geni³letilmi³ reel say kar³lk getiren fonksiyon) bir örnektir. Bu durumda
uzunlu§un tanm kümesi aralklar koleksiyonu, de§er kümesi de geni³letilmi³
reel saylar kümesidir. Bu bölümde uzunluk kavram aralklardan daha kar³k
kümeler için tanmlayaca§z. Örne§in açk bir kümenin uzunlu§unu, bu kümeyi
olu³turan açk, ayrk aralklarn uzunluklar toplam olarak tanmlayaca§z. Öyle
bir λ fonksiyonu te³kil etmek istiyoruz ki, R nin alt kümelerinin bir M snf
üzerinde tanml olsun ve a³a§daki özellikleri sa§lasn:
• λ, R nin herbir E alt kümesi üzerinde tanml olsun, yani
M = P (R)
olsun.
• Her bir I aral§ için λ(I)=`(I) olsun.
• E§er (En ) bir ayrk dizi ve λ bunlarn herbiri üzerinde tanml ise
λ(
∞
[
En ) =
n=1
∞
X
λ(En )
n=1
olsun.
• λ öteleme altnda invaryant olsun. Yani λ fonksiyonu, E ve
E + y = {x + y : x ∈ E}
kümeleri üzerinde tanml oldu§unda
λ(E + y) = λ(E)
olsun.
12
Bu dört özelli§i sa§layan bir küme fonksiyonu tanmlamak mümkün de§ildir. Bu
güne kadar ilk üç ³art sa§layan bir küme fonksiyonu bilinmemektedir. Bu nedenle bunlardan birinden vazgeçmek gerekmektedir.
Son üç ³art brakp ilk ³art de§i³tirmek oldukça faydaldr. Burada yaplacak
de§i³iklik λ fonksiyonunu tüm alt kümeler üzerinde tanmlamayp daha dar σ cebiri üzerinde tanmlamaktr. Yani M olarak P (R) kuvvet kümesi de§il, üzerinde λ fonksiyonunu tanmlayabilece§imiz uygun bir σ - cebiri almaktr. imdi
bu fonksiyonu in³a etmeye ba³layalm.
Örnek 1.3.22
(Ik ), R nin snr ve açk alt aralklarnn bir dizisi,
TA = {(Ik ) : A ⊂ ∪∞
k=1 Ik }
olsun. P (R) üzerinde
λ∗ (A) = inf{Σ∞
k=1 `(Ik ) : (Ik ) ∈ TA }
biçiminde tanmlanan λ∗ bir d³ ölçüdür. Bu d³ ölçüye
ad verilir.
(1.11)
Lebesgue d³ ölçüsü
Lebesgue d³ ölçüsü R nin herbir alt aral§na onun uzunlu§unu
kar³lk getirir, yani I ⊂ R bir aralk ise
Teorem 1.3.23
λ∗ (I) = `(I)
dr.
Teorem 1.3.24
kar³lk getirir.
Rn üzerindeki Lebesgue d³ ölçüsü herbir aral§a onun hacmini
Sonuç 1.3.25
A saylabilir küme ise λ∗ (A) = 0 dr.
Sonuç 1.3.26
[0, 1] kümesi saylamayan bir kümedir.
X bir küme µ∗ da X üzerinde bir d³ ölçü olsun. E§er X in herbir
A alt kümesi için
µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c )
(1.12)
Tanm 1.3.27
ise X in E alt kümesi µ∗ - ölçülebilir (µ∗ ye göre ölçülebilir) denir.
µ∗ fonksiyonunun alt toplamsallk özelli§i de denilen µ∗ (∪Ak ) ≤ Σµ∗ (Ak ) özelli§inden, X in bütün A ve E alt kümeleri için
µ∗ (A) ≥ µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c )
olaca§ndan bir E kümesinin µ∗ - ölçülebilir olup olmad§n anlamak için herbir
A ⊂ X için
µ∗ (A) ≤ µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c )
(1.13)
13
e³itsizli§inin sa§land§n göstermek yeterlidir. Ayrca, e§er µ∗ (A) = +∞ ise
(1.13) e³itsizli§inin sa§lanaca§ açktr. u halde X in bir E alt kümesinin µ∗ ölçülebilir oldu§unu göstermek için X in µ∗ (A) < +∞ ³artn sa§layan herbir A
alt kümesi için (1.13) e³itsizli§inin sa§land§ göstermek yeterlidir.
X bir küme ve µ∗ da X üzerinde bir d³ ölçü olsun. X in herbir
E alt kümesi için µ∗ (E) = 0 veya µ∗ (E c ) = 0 ise E kümesi µ∗ - ölçülebilirdir.
Teorem 1.3.28
∅ ve X , X üzerinde tanmlanan her d³ ölçüye göre ölçülebilirdir.
Özel olarak ∅ ve R kümeleri λ∗ Lebesgue d³ ölçüsüne göre ölçülebilirdir.
Sonuç 1.3.29
Teorem 1.3.30
E1 ve E2 , µ∗ - ölçülebilir kümeler ise E1 ∪E2 de µ∗ - ölçülebilirdir.
X bir küme µ∗ X üzerinde bir d³ ölçü ve M(X, µ∗ ) da X üzerinde µ - ölçülebilir kümelerin snf olsun.
Teorem 1.3.31
∗
1. M(X, µ∗ ) bir σ - cebiridir.
2. µ∗ n M(X, µ∗ ) snfna kstlanmas bir ölçüdür.
Lebesgue d³ ölçüsü olan λ∗ n M(R, λ∗ ) snfna ve B(R) snfna olan kstlamasna Lebesgue Ölçüsü denir, λ ile gösterilir. kisini birbirinden ayrmak
gerekti§inde, üzerinde Lebesgue ölçüsünün tanmlad§ snf belirtilir. "B(R) üzerindeki Lebesgue ölçüsü" veya "M üzerindeki Lebesgue ölçüsü" gibi. Bazen de
"Borel kümeleri üzerinde tanml Lebesgue ölçüsü" ³eklinde ifade edilir.
Lemma 1.3.32
a ∈ R için (a, +∞) aral§ λ∗ d³ ölçüsüne göre ölçülebilirdir.
Teorem 1.3.33
Herbir Borel kümesi λ∗ ölçülebilirdir.
1.4
Ölçülebilir Fonksiyonlar
Bu bölümde önce reel de§erli fonksiyonlarn ölçülebilirli§i üzerinde durulacak,
daha sonra geni³letilmi³ reel de§erli fonksiyonlara yer verilecektir.
(X, A) bir ölçülebilir uzay olsun. f : X −→ R fonksiyonu ölçülebilirdir
⇐⇒ ∀α ∈ R için
Tanm 1.4.1
f −1 ((α, +∞)) = {x ∈ X : f (x) > α} ∈ A.
imdi bu tanmdaki kümelerin ³eklini de§i³tirmeye imkan veren bir lemmay ifade
edelim.
14
Lemma 1.4.2 (X, A) bir ölçülebilir uzay olsun. f : X −→ R foksiyonu için
a³a§daki önermeler denktir.
1. ∀α ∈ R, Aα = {x ∈ X : f (x) > α} ∈ A
2. ∀α ∈ R, Bα = {x ∈ X : f (x) ≤ α} ∈ A
3. ∀α ∈ R, Cα = {x ∈ X : f (x) ≥ α} ∈ A
4. ∀α ∈ R, Dα = {x ∈ X : f (x) < α} ∈ A
Her sabit fonksiyon bir ölçülebilir fonksiyondur. Gerçekten, ∀x ∈ R
için f (x) = c ise α ≥ c için
Örnek 1.4.3
{x ∈ X : f (x) > α} = ∅ ∈ A
ve α < c için
{x ∈ X : f (x) > α} = X ∈ A
olur.
Örnek 1.4.4 X = R ve A = B(R) olsun. Sürekli her f : R −→ R fonksiyonu
(Borel) ölçülebilirdir.
Gerçekten f sürekli oldu§unda her α ∈ R için
{x ∈ R : f (x) > α} = f −1 ((α, ∞))
kümesi R de bir açk kümedir. Her açk küme Borel cebirine ait oldu§undan
{x ∈ R : f (x) > α} ∈ B(R)
dir, yani Borel ölçülebilirdir.
Teorem 1.4.5
f ve g ölçülebilir fonksiyonlar ve c ∈ R olsun.
cf, f 2 , f + g, f.g, |f |
fonksiyonlar da ölçülebilirdir.
Tanm 1.4.6
(X, A) bir ölçülebilir uzay ve A ∈ A olsun.
f : A → R ölçülebilirdir ⇔ ∀α ∈ R için {x ∈ A : f (x) > α} ∈ A
Lemma 1.4.2 deki denklemlerin f : A → R fonksiyonu için de do§ru olaca§
açktr. Bu tanmlarn benzerleri [−∞, +∞] de§erli fonksiyonlar için de verilebilir.
(X, A) bir ölçülebilir uzay ve A ∈ A olsun. f : A → [−∞, +∞]
fonksiyonu ölçülebilirdir ⇔ ∀α ∈ R için
Tanm 1.4.7
f −1 ((α, +∞]) = {x ∈ A : f (x) > α} ∈ A
15
olmaldr. X üzerinde tanml, geni³letilmi³ reel de§erli A ölçülebilir bütün fonksiyonlarn kümesi M (X, A) ile gösterilir. E§er f ∈ M (X, A) ise
A = {x ∈ X : f (x) = +∞} =
∞
\
{x ∈ X : f (x) > n}
n=1
∞
\
B = {x ∈ X : f (x) = −∞} =
=
{x ∈ X : f (x) ≤ −n}
n=1
∞
\
!c
{x ∈ X : f (x) > −n}
n=1
olaca§ndan A ve B ölçülebilirdir.
Geni³letilmi³ reel de§erli bir f fonksiyonunun ölçülebilir olmas
için gerek ve yeter ³art
Teorem 1.4.8
A = {x ∈ X : f (x) = +∞}, B = {x ∈ X : f (x) = −∞}
kümelerinin ve
f1 (x) =
f (x), x ∈
/ A∪B
0, x ∈ A ∪ B
(1.14)
biçiminde tanmlanan reel de§erli f1 fonksiyonunun ölçülebilir olmasdr.
B(Rk ) Borel cebirine göre ölçülebilen bir fonksiyona Borel ölçülebilir
fonksiyon veya Borel fonksiyonu ad verilir. M(R, λ∗ ) σ - cebirine göre ölçülebilen
bir fonksiyona Lebesgue ölçülebilir fonksiyon denir. R nin Borel kümesi olmayan
fakat Lebesgue ölçülebilir alt kümeleri mevcut oldu§undan, R de herbir Borel
ölçülebilir fonksiyon Lebesgue ölçülebilirdir.
Tanm 1.4.9
Tanm 1.4.10
f , X den R ye bir fonksiyon olsun.
f + (x) = max{f (x), 0}
f − (x) = max{−f (x), 0}
biçiminde tanmlanan f + ve f − fonksiyonlar da X üzerinde tanml ve negatif
olmayan fonksiyonlardr. f + fonksiyonuna f nin pozitif parças, f − fonksiyonuna
da f nin negatif parças denir. Yukardaki tanm göz önüne alnd§nda,
f = f + − f − , |f | = f + − f −
1
1
f + = (|f | + f ), f − = (|f | − f )
2
2
olur. Teorem gere§ince ve yukardaki ba§ntlar göz önüne alnd§nda a³a§daki
teorem ifade edilebilir.
16
f : X −→ R fonksiyonunun ölçülebilir olmas için gerek ve yeter
³art f + ve f − fonksiyonlarnn ölçülebilir olmasdr.
Teorem 1.4.11
(X, A) bir ölçülebilir uzay ve A ∈ A olsun. f ile g, A üzerinde
tanml [−∞, +∞]- de§erli ölçülebilir fonksiyonlar olsunlar. Bu takdirde
Teorem 1.4.12
{x ∈ A : f (x) < g(x)}, {x ∈ A : f (x) ≤ g(x)}, {x ∈ A : f (x) = g(x)}
kümeleri ölçülebilirdir.
Teorem 1.4.13 (X, A) bir ölçülebilir uzay A ∈ A ve f ile g, A da tanml
[−∞, +∞] de§erli ölçülebilir fonksiyonlar ise (f ∨ g) ve (f ∧ g) fonksiyonlar
ölçülebilirdir.
(fn ), A ∈ A üzerinde tanml, [−∞, +∞] - de§erli ölçülebilir
fonksiyonlarn bir dizisi ise supn fn ve inf n fn fonksiyonlar da ölçülebilirdir.
Teorem 1.4.14
(X, A) bir ölçü uzay ve A ∈ A olsun. (fn )A üzerinde tanml
[−∞, +∞] de§erli ölçülebilir fonksiyonlarn bir dizisi ise lim inf n→∞ fn ve lim supn→∞ fn
fonksiyonlar ölçülebilirdir. Ayrca tanm kümesi A0 = {x ∈ A : lim supn→∞ fn (x) =
lim inf n→∞ fn (x)} olan limn→∞ fn fonksiyonu da ölçülebilirdir.
Teorem 1.4.15
1.5
Lp (Ω)
Uzay
(X, A, µ) bir ölçü uzay ve 1 ≤ p < ∞ olmak üzere; Ω ⊂ X = Rn
bölgesinde tanml ve
Z
|f (x)|p dµ(x) < ∞
Tanm 1.5.1
Ω
özelli§ine sahip ölçülebilir f : Ω → R fonksiyonlar snfna Lp (Ω) uzay veya Ω bölgesinde p. kuvvetten Lebesgue-integrallenebilir fonksiyonlar uzay denir. Lp (Ω)
uzay
Z
1/p
p
|f (x)| dµ(x)
kf kLp (Ω) = kf kp :=
<∞
Ω
³eklindeki norm ile tanmlanr. Buradaki kf kp gösterimine f fonksiyonunun Lpnormu denir.
Ω bölgesinde, hemen her yerde f (x) ≤ M olacak ³ekilde bir M sabiti varsa
f fonksiyonuna hemen hemen snrldr denir. Böyle M sabitlerinin en büyük alt
snrna da |f (x)| in Ω bölgesindeki esas supremumu (esasl snr) denir ve
ess sup |f (x)| := inf{C > 0 : |{x ∈ Ω, |f (x)| > C}| = 0}
x∈Ω
17
³eklinde gösterilir. Ω bölgesindeki hemen hemen snrl f fonksiyonlar ile tanmlanan uzay L∞ (Ω) ³eklinde gösterilir. Buna göre bir f fonksiyonunun L∞ normu
kf k∞ := ess sup |f (x)|
x∈Ω
olarak tanmlanr.
Teorem 1.5.2 (Young E³itsizli§i)
1 < p, q < ∞,
ab ≤
1
p
+
1
q
= 1 ve ∀a, b > 0 için
ap b q
+
p
q
olur.
Teorem 1.5.3
p ≥ 1 ve a, b ∈ R olmak üzere,
|a + b|p ≤ 2p−1 (|a|p + |b|p )
olur.
Teorem 1.5.4 (Hölder E³itsizli§i)
ise f, g ∈ L1 olur ve
1 < p, q < ∞,
1
p
+
1
q
= 1 ve f ∈ Lp , g ∈ Lq
Z
|f (x)g(x)|dµ(x) ≤ kf kp kgkq
Ω
e³itsizligi sa§lanr.
Teorem 1.5.5 (Minkowski E³itsizli§i)
olur ve
E§er f, g ∈ Lp ve 1 ≤ p ise f + g ∈ Lp
kf + gkp ≤ kf kp + kgkp
e³itsizli§i sa§lanr.
Hölder teoremi ve Lebesgue integralinin özellikleri gözönünde bulunduruldu§unda
Lp , 1 ≤ p < ∞, nin bir vektör uzay oldu§u görülür. Bununla birlikte kf kp ; Lp
üzerinde bir normdur ve tanmdan
1. kf kp ≥ 0 ve kf kp = 0 olmas için gerek ve yeter ³art hemen hemen heryerde
f (x) = 0
2. kαf kp = |α|kf kp ,
3. kf + gkp ≤ kf kp + kf kp
özellikleri sa§land§ndan Lp , 1 ≤ p ≤ ∞, bir normlu uzaydr.
18
Teorem 1.5.6
Lp , 1 ≤ p < ∞, uzay
Z
1/p
p
kf kp :=
|f (x)| dµ(x)
Ω
normu altnda tam ve dolaysyla Banach uzaydr.
fn ve f fonksiyonlar Lp uzaynn elemanlar olmak üzere; (fn )
dizisi f fonksiyonuna p. mertebeden yaknsaktr ⇔ ∀ε > 0 için ∃n0 ∈ N öyle ki
∀n ≥ n0 için kfn − f kp < ε.
Tanm 1.5.7
Bu yaknsaklk çesidine Lp de yaknsaklk da denir. Burada p ≥ 1 olup,
Z
p
|fn (x) − f (x)| dµ(x)
kfn − f kp =
Ω
dir. Buna göre,
(fn ) dizisi f fonksiyonuna Lp de yaknsaktr ⇔ limn→∞ kfn − f kp = 0 olmaldr.
1.6
Ap
Snf Fonksiyonlar
ω fonksiyonu h.h. x ∈ Rn için ω(x) > 0 olacak ³ekilde Rn de lokal
integrallenebilir olsun. Bu durumda ω fonksiyonuna bir a§rlk fonksiyonu denir.
Özel olarak, x ∈ Ω ⊂ Rn için
Tanm 1.6.1
d(x, y) = inf |x − y|
y∈∂Ω
ve α ∈ R olmak üzere,
ω(x) = (d(x))α
a§rlk fonksiyonuna kuvvet tipli a§rlk fonksiyonu denir.
E§er ω(2x) ≤ C1 ω(x) olacak ³ekilde bir 1 < C1 < ∞ says varsa ω a§rlk
fonksiyonuna çift katl a§rlk fonksiyonu(D) ve e§er
ω(x) ≤ C2 ω(2x) olacak ³ekilde bir 0 < C2 ≤ 1 says varsa ω a§rlk fonksiyonuna
ters çift katl a§rlk fonksiyonu(RD) ad verilir.
(1 ≤ p < ∞)için Ap a§rlklar ) ω (x) ≥ 0 ve ω (x) ∈ L1loc (Rn )
olsun. A³a§daki e³itsizli§i sa§layan bir C > 0 sabiti
p−1
Z
Z
1
1
1−p0
sup
ω (x) dx
ω (x)
dx
≤C
(1.15)
|Q| Q
|Q| Q
Q
Tanm 1.6.2 (
1 0
olmak üzere
M ω (x) ≤ Cω (x)
(1.16)
19
e³itsizli§i sa§lanyorsa ω ∈ A1 dir. (1.15) veya (1.16) e³itsizliklerinde görülen C
sabitine ω nn Ap sabiti denir.
Uyar 1.6.3
için
ω ∈ A1 olmas için gerek ve yeter ³art C > 0 ve herhangi Q kübü
Z
1
ω (x) dx ≤ C inf ω (x)
(1.17)
x∈Q
|Q| Q
olmasdr. Burada ve a³a§da, inf ile temel inmum olarak dü³ünülecektir. 1 ≤
p < ∞ ve ω ∈ Ap için, Ap sabiti C ≥ 1 oldu§u görülür. Aslnda, her bir Q kübü
için
Z
1
1=
ω (x)1/p ω (x)−1/p dx
|Q| Q
(
p−1 )1/p
Z
Z
0
1
1
ω (x) dx
ω (x)1−p dx
≤
|Q| Q
|Q| Q
≤ C 1/p
³eklindedir.
imdi Ap a§rlk fonksiyonlarnn baz özelliklerini verelim.
Önerme 1.6.4 (
Ap
a§rlklarnn I. özellikleri)
i. 1 ≤ p < q < ∞ için Ap $ Aq ,
0
ii. 1 < p < ∞ için ω ∈ Ap gerek ve yeter ³art ω 1−p ∈ Ap0 .
iii. ω0 , ω1 ∈ A1 ise 1 < p < ∞ için ω0 ω11−p ∈ Ap .
iv. (1 ≤ p < ∞) olmak üzere ω ∈ Ap ise herbir 0 < ε < 1 için ω ε ∈ Ap .
v. (1 ≤ p < ∞) için ω ∈ Ap ise ∀f ∈ L1loc (Rn ) için
p
Z
Z
1
|f (x) |dx · ω (Q) ≤ C
|f (x) |p ω (x) dx
|Q| Q
Q
(1.18)
dir.
vi. (1 ≤ p < ∞) için ω ∈ Ap ise herhangi bir δ > 1 için C (n, pδ) sabiti vardr
öyle ki her bir Q kübü için, ω (δQ) ≤ C (n, p, δ) ω (Q). Özellikle, δ = 2
alnrsa Ap a§rlklar çift ko³ulu sa§lar.
vii. (1 ≤ p < ∞) için ω ∈ Ap ise herhangi bir 0 < α < 1 için 0 < β < 1 vardr
öyle ki herhangi ölçülebilir E ⊂ Q için |E| ≤ α|Q| ve ω (E) ≤ βω (Q) dir.
20
Sradaki teorem ile Ap a§rlk fonksiyonlarnn çok önemli ve kullan³l olan
bir özelli§i verilecektir.
1 ≤ p < ∞ için ω ∈ Ap olsun. Bu
durumda herhangi bir Q kübü için sadece p ye ba§l olan ε > 0 ve C , ω nn Ap
sabiti olmak üzere
1/(1+ε)
Z
Z
C
1
1+ε
ω (x) dx
≤
ω (x) dx
(1.19)
|Q| Q
|Q| Q
Teorem 1.6.5 (Ters Hölder E³itsizli§i)
e³itsizli§i sa§lanr.
Önerme 1.6.6 (
Ap
a§rlk fonksiyonlarnn II. özellikleri)
viii. (1 1 olacak
³ekilde bir ε > 0 için ω ∈ Ap−ε .
S
ix. 1 0 vardr öyle ki ω 1+ε ∈ Ap .
xi. 1 0 ve C > 0 vardr öyle ki
her bir Q kübü ve E ⊂ Q olacak ³ekilde ölçülebilir E kümesi için
δ
ω(E)
|E|
≤C
(1.20)
ω(Q)
|Q|
³eklindedir.
ω , Rn de negatif olmayan lokal integrallenebilen bir fonksiyon olsun.
E§er ω (1.20) denklemini sa§larsa
S ω ∈ A∞ denir. xi özelli§i gösteriyor ki
S
A
⊂
A
.
Bununla
birlikte
∞
1≤p<∞ p
1≤p<∞ Ap ⊃ A∞ oldu§u da ispatlanabilir.
S
Sonuç olarak A∞ = 1≤p<∞ Ap ³eklindedir.
Uyar 1.6.7
ω bir a§rlk fonksiyonu, 0 < p ≤ ∞ ve Ω, Rn de açk bir bölge
olsun. Bu durumda Ω bölgesinde
Z
|u(x)|p ω(x)dµ(x) < ∞
Tanm 1.6.8
Ω
özelli§ine sahip ölçülebilir fonksiyonlarn olu³turdu§u uzaya A§rlkl Lebesgue
Uzay denir ve Lpω (Ω) = Lp (ω) ile gösterilir. Lpω (Ω) uzay
Z
1/p
p
kukp,ω :=
|u(x)| ω(x)dµ(x)
< ∞, 0 < p < ∞
Ω
kuk∞,ω := ess sup |u(x)| < ∞
x∈Ω
normlar ile bir Banach uzaydr.
21
Teorem 1.6.9 (I. Fubini Teoremi)
B = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, f : B → R olsun.
Z d Z b
Z b Z d
ZZ
f (x, y)dx dy
f (x, y)dy dx =
f (x, y)dxdy =
a
B
c
c
a
³eklindedir.
Teorem 1.6.10 (II. Fubini Teoremi)
ϕ
ϕ
B
f
, Ψ : [a, b] → R fonksiyonlar sürekli, ∀x ∈ [a, b] için
(x) ≤ Ψ(x)ve
= {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ Ψ(x)}olsun.
: B → R fonksiyonlar sürekli veya parçal sürekli ise
!
ZZ
Z b Z Ψ(x)
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dy dx
B
a
ϕ(x)
³eklindedir.
22
2
AIRLIKLI LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY
OPERATÖRÜNÜN SINIRLILII ÇN GEREK VE YETER
ARTLAR
2.1
A§rlkl Lebesgue Uzaylar ve Hardy Operatörü
A§rlkl norm uzay
(2.1)
Ls (a, b; ω) = Ls (ω),
0 < s ≤ ∞ ve ω ,(a, b) aral§nda bir a§rlk fonsiyonu ve f = f (x) (a, b) aral§nda
tüm ölçülebilir fonksiyonlar olmak üzere
1/s
Z b
s
|f (x)| ω(x)dx
< ∞,
0 < s < ∞,
kf ks,ω : =
a
kf ks,ω : = ess sup |f (x)| < ∞,
(2.2)
s = ∞.
a<x<b
E§er Hardy operatörü
ile ifade edilirse
H
Z
x
(2.3)
f (t)dt
(Hf )(x) :=
a
³eklindedir. f ≥ 0 olmak üzere
(2.4)
kHf kq,u ≤ Ckf kp,v
e³itsizli§inin sa§lamas için gerek ve yeter ³art
(2.5)
Apq < ∞
olmasdr.
Burada Apq ,
1 < p ≤ q < ∞ ve p0 =
p
p−1
olmak üzere
Z
b
Apq := sup
a<x<b
1/q Z
u(t)dt
x
x
v
1−p0
(t)dt
a
³eklindedir ve bu ifadeye denk olarak 0 < q < p < ∞, q 6= 1, 1 < p < ∞ ve
1
= 1q − p1 olmak üzere
r
Z b Z
Apq :=
a
x
b
r/q Z
u(t)dt
x
a
23
v
1−p0
!1/r
r/q0
0
(t)dt
v 1−p (x)dx
³eklindedir.
a³a§daki gibi
H , Hardy operatörü ile birlikte, e³lenik Hardy operatörü H
tanmlanr:
Z b
f (t)dt.
(2.6)
(H̃f )(x) :=
x
Hardy e³itsizli§inin e³leni§i f ≥ 0 olmak üzere
kH̃f kq,u ≤ Ckf kp,v
(2.7)
³eklindedir ve e³itsizli§in sa§lanmas için gerek ve yeter ³art
(2.8)
Ãpq < ∞
olmasdr. Buradaki Ãpq , 1 < p ≤ q < ∞ olmak üzere
x
Z
Ãpq := sup
a<x<b
1/q Z b
1/p0
1−p0
u(t)dt
v
(t)dt
a
x
³eklindedir. Bu ifadeye denk olarak 0 < q < p < ∞, q 6= 1, 1 < p < ∞ ve
1
= 1q − p1 olmak üzere
r
Z b Z
Ãpq :=
a
x
!1/r
r/q Z b
r/q0
1−p0
1−p0
v
v
u(t)dt
(t)dt
(x)dx
x
a
³eklindedir.
(2.4) ve (2.7) e³itsizlikleri genel a§rlkl norm e³itsizli§inden
kT f kq,u ≤ Ckf kp,v
(2.9)
³eklinde elde edilir. Burada T , genel integral operatörüdür. Böylece (2.9) e³itsizli§inden
T : Lp (v) → Lq (u)
ifadesi elde edilir.
2.2
Hardy Operatörünün Duali
1 < s < ∞ olmak üzere Ls (ω) a§rlkl Lebesgue uzaynda iç çarpm
Z b
< g, f >=
g(x)f (x)dx,
f ∈ Ls (ω)
(2.10)
a
³eklinde tanmlanr.
24
0
Buradan Ls (ω) nn dual uzay , Ls (ω̃) ile tanmlanr. Burada
s
0
s0 =
,
ω̃ = ω 1−s
s−1
dir. Özellikle, kgks0 ,ω1−s0 = supkf ks,ω =1 | < g, f > |
ve böylece
0
0
(Ls (ω))∗ = Ls (ω 1−s )
(2.11)
olur. Hölder e³itsizli§i kullanlarak
Z b
|g(x)|ω −1/s (x)|f (x)|ω 1/s (x)dx
|hg, f i| ≤
a
Z
≤
1/s Z
b
s
b
|f (x)| ω(x)dx
s0
|g(x)| ω
a
−s0 /s
1/s0
(x)dx
a
= kf ks,ω .kgks0 ,ω1−s0
elde edilir. s/s0 = s − 1 = 1/(s0 − 1) oldu§undan, ve
0
s0 /s
0
f = |g|s −1 sgn g ω 1−s /kgks0 ,ω1−s0
denirse kf ks,ω = 1 ve hg, f i = kgks0 ,ω1−s0 dir.
Buna ek olarak Hardy operatörleri H ve H̃ kar³lkl olarak e³leniktir. E§er
H : Lp (v) → Lq (u),
ise (H)∗ = H̃ ve
0
1 < p, q < ∞,
0
0
0
H̃ : Lq (u1−q ) → Lp (v 1−p )
dir. Fubini Teoremi'nden
Z
Z b
g(x)
hg, Hf i =
a
x
Z
f (t)dtdx =
b
Z
a
a
b
g(x)dxdt = hf, H̃gi
f (t)
t
dir.
2.3
Hardy E³itsizlikleri çin Baz Kriterler
Hardy E³itsizli§inin geçerli olmas için gerek ve yeter ³art Apq < ∞ olmasdr, Apq , p ≤ q için, p > q için verilmi³tir. imdi baz alternatif kriterler
verece§iz. Öncelikle,
Z
x
0
v 1−p (t)dt
V (x) :=
a
olarak gösterelim. Buradan Apq says
Z b
1/q
0
Apq = sup
u(t)dt
V 1/p (x)
a<x<b
x
25
(2.12)
³eklinde yazlabilir.
Teorem 2.3.1
[13, 9, 12] Her f ≥ 0 ve 1 < p ≤ q < ∞ olsun. Buradan,
Z b Z
a
x
q
1/q
Z b
1/p
p
f (t)dt u(x)dx
≤C
f (x)v(x)dx
a
(2.13)
a
Hardy e³itsizli§inin sa§lanmas için gerek ve yeter ³art
(2.14)
Bpq < ∞
olmasdr.
Burada
Z
Bpq : = sup
v
a<x<b
Z
x
−1/p
(t)dt
a
x
×
1−p0
t
Z
v
u(t)
q 1/q
(s)ds dt
(2.15)
1/q
u(t)V (t)dt
(2.16)
1−p0
a
a
dir. Daha ksa olarak
Bpq = sup V
−1/p
Z
(x)
a<x<b
x
q
a
³eklinde yazlabilir. Ayrca (2.13) e³itsizli§indeki C sabiti
(2.17)
Bpq ≤ C ≤ p0 Bpq
ifadesini sa§lar.
(i) (Gereklilik) Her f ≥ 0 ve C < ∞ olmak üzere (2.13) e³itsizli§i sa§lansn. t ∈ (a, b) key bir sabit olmak üzere f fonksiyonunu
spat.
0
ft (x) = χ(a,t) (x)v 1−p (x)
olacak ³ekilde seçelim. Buradan,
Z t Z x
q
1/q
Z t
1/p
1−p0
1−p0
v
(s)ds u(x)dx
≤C
v
(x)dx
a
a
a
olur. Yani;
Z
1/q
t
q
V (x)u(x)dx
≤ C(V (t))1/p
0
dir. Sonuç olarak Bpq ≤ C < ∞ oldu§u görülür.
26
(ii) (Yeterlilik): (2.13) e³itsizli§i g ≥ 0 olmak üzere Hardy operatörünün
duali ³eklinde yazlmak istenirse
!1/p0
p0
Z b Z b
0
g(t)dt
v 1−p (x)dx
a
x
Z
≤C
b
q0
g (x)u
1−q 0
1/q0
(2.18)
(x)dx
a
³eklinde olur. Burada C sabiti (2.13) e³itsizli§i ile ayndr.
g için (a, b) aral§nda ksmi integrasyon ve Hölder e³itsizli§i kullanlarak,
p0
Z b Z b
0
g(t)dt
J:=
v 1−p (x)dx
a
=p
0
x
Z b Z
a
0
Z
b
p0 −1
Z
g(t)dt
g(x)
x
b
x
v
1−p0
(t)dt dx
a
b
Z
(1−q 0 )/q 0
p0 −1
g(t)dt
=p
g(x)u
(x)
a
x
Z x
0
0
0
v 1−p (t)dt )u(q −1)/q (x)dx
×
a
Z b
1/q
q0
1−q 0
0
g (x)u
≤p
(x)dx J1
(2.19)
a
elde edilir. Burada
Z b Z
b
J1 :=
a
q(p0 −1) Z
g(t)dt
x
v
1−p0
q
(t)dt u(x)dx
a
x
³eklindedir.
Z
h(x) :=
b
q(p0 −1)
g(t)dt
x
olsun. Fubini Teoremi uygulanrsa:
Z x
q
Z b
1−p0
v
J1 =
h(x)
(t)dt u(x)dx
a
Z
a
b
Z bZ
b
h(x)V (x)u(x)dx =
[−h0 (t)]dtV q (x)u(x)dx
a
a
x
Z bZ b
=
[−h0 (t)V q (x)u(x)]dtdx
a
x
Z bZ t
=
[−h0 (t)V q (x)u(x)]dxdt
a
a
Z b
Z t
0
=
[−h (t)]
u(x)V q (x)dxdt
=
a
q
a
27
elde edilir ve (2.16) denkleminden
Z t
q/p
Z b
0
1−p0
q
[−h (t)]
v
(x)dx
dt
J1 ≤ B
a
a
oldu§u görülür.
Minkowski integral e³itsizli§i kullanlarak,
J1 ≤ B q
Z b Z
a
=B
q
b
!q/p
p/q
0
[−h0 (t)]dt
v 1−p (x)dx
x
b
Z
p/q
h
(x)v
1−p0
q/p
(x)dx
a
= Bq
Z b Z
!q/p
(p0 −1)p
0
g(t)dt
v 1−p (x)dx
x
a
= Bq
b
Z b Z
a
b
!q/p
p0
0
g(t)dt
v 1−p (x)dx
= B q J q/p
x
e³itsizli§i elde edilir. (2.19) e³itsizli§i ile birlikte
Z b
1/q0
1/p0
q0
0
1−q 0
J
g (x)u
≤pB
(x)dx
a
oldu§u görülür. Buradan (2.18) e³itsizli§i sa§lanr. Böylelikle (2.13) e³itsizli§i
elde edilmi³ olur.
[10, 9, 11] 0 < q 1,
1/r = 1/q − 1/p ve V
(2.12) denklemindeki gibi olsun. Buradan her f ≥ 0 olmak üzere
q
1/q
Z b
1/p
Z b Z x
p
≤C
f (x)v(x)dx
f (t)dt u(x)dx
Teorem 2.3.2
a
a
a
Hardy E³itsizli§inin sa§lanmas için gerek ve yeter ³art
(2.20)
Bpq < ∞
olmasdr. Burada
Z b Z
t
r/q
!1/r
V −r/q (t)dV (t)
(2.21)
qp−1/r (p0 )1/q r−1/r 2−1/q · Bpq ≤ C ≤ q 1/q p0 Bpq
(2.22)
u(s)V q (s)ds
Bpq :=
a
a
dir. Burada C sabiti
0
0
ifadesini sa§lar.
28
spat.
Fubini Teoremi kullanlarak
q
Z b Z x
J:=
f (t)dt u(x)dx
a
a
q
Z b Z x
=
f (t)dt u(x)V q (x)V −q (x)dx
a
a
q
Z b Z x
Z b
q
=q
f (t)dt u(x)V (x)
V −q−1 (s)dV (s)dx
a
a
x
Z s Z x
q
Z b
−q−1
q
V
(s)
f (t)dt u(x)V (x)dx dV (s)
=q
a
a
a
q
Z b Z s
−q
f (t)dt V (s)
≤q
a
a
Z s
q
−1
u(x)V (x)dx V (s) dV (s);
×
a
elde edilir.
p
q
ve ( pq )0 =
r
q
parametreleri için Hölder e³itsizli§i uygulanarak
Z b Z
J ≤q
a
a
s
p
q/p
dV (s)
f (t)dt
Bq
V q (s)
elde edilir. Teorem 2.3.1 den
1/p
1/p
Z b
p
Z b Z s
dV (s)
0
p
≤p
f (s)v(s)ds
f (t)dt
V p (s)
a
a
a
oldu§u görülür. (2.13) e³itsizli§i C ≤ q 1/q p0 B < ∞ oldu§u takdirde sa§lanr.
(2.13) e³itsizli§i C < ∞ için sa§lansn. Buradan (2.20) e³itsizli§inin gerek
³art oldu§unu gösterelim.
!1/r
r/q
Z Z
b
b
B0 :=
u(t)dt
a
0
V r/q (x)dV (x)
x
³eklinde tanmlayalm.
0q
C ≥ q 1/q (p0 )1/q B0
r
(2.23)
oldu§unu gösterelim.
0
ω(x) := v 1−p (x) olsun. 0 ≤ u1 ≤ u ve 0 ≤ v ≤ v1 olacak ³ekilde u1 ve v1
0
verilsin. u1 , v1 ve ω1 (x) := v11−p (x) fonksiyonlar integrallenebilir olsun. Bununla
29
birlikte
x
Z
V1 (x) =
t
Z
0
V11−p (t)dt
=
ω1 (t)dt
a
a
olmak üzere
Z b Z
B1 :=
a
b
!1/r
r/q
r/q 0
u1 (t)dt
V1 (x)dV1 (x)
x
olsun. E§er f fonksiyonunu
Z b
r/pq Z
f (x) :=
u1 (t)dt
x
x
p0 q
=
r
r/pq0
ω1 (t)dt
ω1 (x),
a
³eklinde seçersek,
Z b
r/pq Z
Z x
f (t)dt ≥
u1 (t)dt
a
x
Z
x
a
r/pq
b
Z
r/pq0
t
ω1 (s)ds
ω1 (t)dt
a
Z
r/p0 q
x
ω1 (s)ds
u1 (t)dt
a
x
elde edilir.
Ksmi integrasyon yöntemi kullanlarak
p0 q q 1/q r/q
( ) B1
r p0
!1/q
r/p0
r/p Z x
Z b 0 q Z b
pq
=
u1 (t)dt
ω1 (t)dt
u1 (x)dx
r
a
x
a
q
1/q
Z b Z x
f (t)dt u1 (x)dx
≤
a
a
Z b Z
1/q
q
f (t)dt u(x)dx
x
≤
a
a
b
Z
1/p
f (x)v(x)dx
p
≤C
a
Z b Z
b
=C
a
x
Z b Z
≤C
a
x
Z b Z
=C
a
r/q Z
u1 (t)dt
x
!1/p
r/q0
ω1 (t)dt
ω1p (x)ω 1−p (x)dx
a
b
r/q Z
u1 (t)dt
x
!1/p
r/q0
ω1 (t)dt
ω1 (x)dx
a
!
r/q
b
0
r/q
r/p
u1 (t)dt
V1 (x)dV1 (x) = CB1
x
30
elde edilir. Buradan
0q
C ≥ q 1/q (p0 )1/q B1
r
oldu§u görülür. u ve ω fonksiyonlarna integrallenebilir artan fonksiyon dizileriyle
yakla³lr ve Monoton Yaknsaklk Teoremi uygulanrsa önceki (2.23) e³itsizli§inde
B1 yerine B0 de§eri yazlabilir.
p
B ≤ (2q)1/q ( )1/r B0 ,
r
oldu§unu göstermemiz ispat tamamlamak için yeterlidir. Buradan,
Z x
r/q
Z b Z x
r
q
B =
V (t)d −
u(s)ds
V −r/q dV (x)
a
a
t
ve
Z x
u(s)ds
V (t)d −
J1 : =
t
a
Z x Z x
=q
−
u(s)ds V q−1 (t)dV (t)
Za x Z tx
q−1+q/2p
u(s)ds V
(t) V −q/2p dV (t)
=q
x
Z
q
0
t
elde edilir.
r
q
ve ( qr )0 =
p
q
parametreleri için Hölder e³itsizli§inden
Z
x
Z
J1 ≤ q
r/q
x
u(s)ds
a
Z
×
!q/r
V (q−1+q/2p)(r/q) (t)dV (t)
t
q/p
x
V
−1/2
(t)dV (t)
0
31
(2.24)
(2.25)
elde edilir. Fubini Teoremi'nden
!
r/q
Z b Z x Z b
r
r/q r/p
(q−1+q/2p)(r/q)
u(s)ds
B ≤q 2
V
(t)dV (t)
a
a
t
× V r/2p−r/q (x)dV (x)
r/q
Z b Z b
0
r/q r/p
=q 2
u(s)ds
V r/q +r/2p (t)
a
t
Z b
×
V r/2p−r/q (x)dV (x)dV (t)
t
q r/q p2r/p+1
=
r
r/q
(2q) p r
=
B0
r
Z b Z
r/q
b
u(s)ds
a
0
V r/q (t)dV (t)
t
elde edilir ve ispat tamamlanr.
2.4
Türevli Hardy E³itsizlikleri
k ∈ N için (a, b) aral§nda
AC k−1 (a, b) = AC k−1
ile tüm mutlak sürekli fonksiyonlar kümesini gösterelim ve
Z
b
q
1/q
|g(x)| u(x)dx
Z
0
p
|g (x)| v(x)dx
≤C
a
b
1/p
(2.26)
a
e³itsizli§ini gözönüne alalm.
g ∈ AC 0 fonksiyonlar için
g(a) = 0
(2.27)
g(b) = 0
(2.28)
veya
sa§lanr.
WL1,p (v) ve WR1,p (v) kümeleri için g ∈ AC 0 fonksiyonu srasyla (2.27) ve (2.28)
e³itliklerini sa§lar ve (2.26) e³itsizli§inin sa§ taraf için sonludur.
kg 0 kp,v < ∞.
32
Buradan WL1,p (v) ve WR1,p (v) normlu lineer uzaylar ile ayn norm kg 0 kp,v ve (2.26)
e³itsizli§i Hardy e³itsizli§idir. Gerçekten
Z x
f (t)dt = (Hf )(x)
g(x) =
a
ve/veya
Z
g(x) =
b
f (t)dt = (H̃f )(x)
x
³eklindedir.
Sonuç olarak (2.26) Hardy e³itsizli§ini a³a§daki ³ekilde yazlrsa:
sürekli gömme ifadesi
ve/veya
kgkq,u ≤ Ckg 0 kp,v ,
(2.29)
WL1,p (v) ,→ Lq (u)
(2.30)
WR1,p (v) ,→ Lq (u)
(2.31)
³eklindedir. (2.30) ifadesinin sa§lanmas için gerek ve yeter ³art (2.5) denkleminin
sa§lanmasdr. Benzer olarak (2.31) ifadesinin sa§lanmas için gerek ve yeter ³art
(2.8) denkleminin sa§lanmasdr.
Uyar 2.4.1
(ki tara durumlar):
(2.26) Hardy e³itsizli§i
g ∈ WL1,p (v) ∩ WR1,p (v),
fonksiyonlar için de dü³ünülebilir. Burada
g(a) = g(b) = 0
(2.32)
³eklindedir. Bu durumda (2.26) Hardy e³itsizli§inin gerçeklenebilmesi için gerek
ve yeter ³art 1 < p ≤ q < ∞ olmak üzere
Z
sup
(c,d)⊂(a,b)
d
1/q
u(t)dt
c
Z c
1/p0 Z b
0
0
× min
v 1−p (t)dt,
v 1−p (t)dt
<∞
a
d
olmasdr.
33
(2.33)
2.5
Baz Gösterim ve Uygulamalar
(i) Hardy e³itsizli§inin geçerlili§i için gerek ve yeter ³artlar A ve
Ã sabitlerinin terimlerinde ifade edilmi³tir. Srasyla u, v a§r fonksiyonlarnn
özelliklerini vurgulamak için ve (a, b) aral§nda
Uyar 2.5.1
A = A(a, b; u, v),
Ã = Ã(a, b; u, v)
(2.34)
³eklinde kullanlm³tr.
(ii)Bazen modiye a§rlkl Lebesgue uzay için
(2.35)
Ls (a, b; ω) = Ls (ω)
ifadesi kullanlm³tr.
f tüm ölçülebilir fonksiyonlar için a³a§daki gibi tanmlanm³tr:
f ω ∈ Ls
Yani normlu (1 ≤ s < ∞ için)
Z
b
s
1/s
|f (x)ω(x)| dx
kf ks,ω :=
.
a
A§rlkl Lebesgue uzaylar Ls (ω) ile ba§lant daha önce
Ls (ω) = Ls (ω s )
³eklinde verilmi³ti. Bu bölümde a§rlk ko³ullarna A nn sonlu olmas dahil edildi.
A := A(a, b; uq , v p ) < ∞
Örne§in (2.26) e³itsizli§inde u ve v yerine srasyla uq ve v p de§i³tirilirse, (2.27)
ko³ulu g fonksiyonlar yeterlidir. Yani e³itsizlik;
1/q
Z b
1/p
Z b
q
0
p
|g (x)v(x)| dx
,
|g(x)u(x)| dx
≤C
a
a
³eklinde olabilmesi için gerek ve yeter ³art 1 < p ≤ q < ∞ olmak üzere
Z x
1/q Z x
1/p0
q
−p0
sup
u (t)dt
v (t)dt
<∞
a<x<b
b
(2.36)
a
olmasdr.
(iii) Bazen, H Hardy operatörünün a§rlkl Lebesgue uzaylar, Lp (v) ve
Lq (u) arasndaki hareketi yerine H
Z x
(Hf )(x) := u(x)
f (t)v(t)dt,
(2.37)
a
34
modiye operatörünün a§rlksz Lebesgue uzaylar
(2.38)
H : Lp → Lq
arasndaki hareketleri incelenmi³dir. Modiye Hardy operatörünün kHf kq ≤
Ckf kp snrl olmas için gerek ve yeter ³art 1 q ,
1
r
=
1
q
b
r/q Z
q
u (t)dt
x
−
1
p
Z b Z
a
x
!1/r
r/q0
0
0
v p (t)dt
v p (x)dx
<∞
a
olmak üzere
b
r/q Z
q
u (t)dt
x
x
!1/r
r/q0
0
0
v p (t)dt
v p (x)dx
<∞
a
³eklindedir. Benzer ³ekilde Ĥ operatörü
Z
(Ĥf )(x) := u(x)
b
f (t)v(t)dt
x
³eklinde elde edilir.
(2.26) ifadesi Hardy e³itsizli§inin diferensiyel formu oldu§undan (2.7), (veya
(2.4)) ifadelerine ba§ldr. Bundan dolay
g 0 (x) = f (x),
g 0 (x) = −f (x),
g(x) = (Hf )(x)
g(x) = (H̃f )(x)
ic.in
ic.in
g(a) = 0,
g(b) = 0,
ifadeleri H ve H̃ Hardy operatörlerinin a§rlkl Lebesgue uzaylarnda incelenmesi
için daha uygundur.
(iv) Apq ve Ãpq için p > q durumundaki formüller
A∗pq :=
Z b Z
a
x
a
x
ve
Ã∗pq :=
Z b Z
a
!1/r
r/p0 Z b
r/p
0
v 1−p (t)dt
u(x)dx
u(t)dt
b
r/p0 Z
1−p0
v
(t)dt
x
x
!1/r
r/p
u(t)dt
u(x)dx
a
³eklinde yeniden yazlabilir ve tüm bunlardan
0 1/r
0 1/r
p
p
∗
Apq
ve
Ãpq =
Ã∗pq
Apq =
q
q
ifadesi elde edilir.
35
2.6
Hardy E³itsizli§inin Kullanld§ Baz Özel Snardaki
Fonksiyonlar
Diferensiyel Hardy e³itsizli§i
Z
1/q
b
q
|g(x)| u(x)dx
Z
0
p
1/p
|g (x)| v(x)dx
≤C
a
b
(2.39)
a
³eklinde tanmlanr. Bu e³itsizli§in sa§lanmas için g ∈ AC 0 fonksiyonlar
g(a) = 0 veya g(b) = 0 veya g(a) = g(b) = 0
(2.40)
³eklinde ifade edilir.
g ∈ AC 0 fonksiyonlarnn sa§lanmas durumunda veya c ∈ (a, b) için
(2.41)
g(c) = 0
olmaldr. O halde λ1 ve λ2 parametreleri yardmyla
λ1 g(a) + λ2 g(b) = 0
(2.42)
elde edilir.
(2.42) e³itli§i
g(a) + λg(b) = 0,
λ 6= 0
(2.43)
³eklinde ifade edilir.
[4] a)Diferensiyel Hardy e³itsizli§inin her g ∈ AC 0 fonksiyonlarn
sa§lamas için gerek ve yeter ³art c ∈ (a, b) olmak üzere
Teorem 2.6.1
Ã(a, c; u, v) < ∞
(2.44)
A(c, b; u, v) < ∞
(2.45)
ve
olmasdr.
b) Diferensiyel Hardy e³itsizli§inin her g ∈ AC 0 fonksiyonlarn sa§lamas
için gerek ve yeter ³art λ ∈ R, λ 6= 0 ve λ 6= −1 olmak üzere
A(a, b; u, v) < ∞
(2.46)
Ã(a, b; u, v) < ∞
(2.47)
ve
olmasdr.
36
(i) (Gereklilik) Kabul edelim ki (2.39) e³itsizli§inin her g fonksiyonunu
sa§lamas için x ∈ [c, b) g(x) ≡ 0 olacak ³ekilde bir g fonksiyonu seçelim. Buradan
(2.39) e³itsizli§i
Z c
1/q
Z c
1/p
q
0
p
|g(x)| u(x)dx
≤C
|g (x)| v(x)dx
(2.48)
spat.
a
a
³eklinde elde edilir. Sonuç olarak (a, c) aral§nda Hardy e³itsizli§inin sa§lanmas
için (2.45) ³art yeterlidir. Benzer ³ekilde x ∈ (a, c] olmak üzere g(x) ≡ 0 sa§layan
g fonksiyonlar için,
Z c
1/q
Z b
1/p
q
0
p
|g(x)| u(x)dx
≤C
|g (x)| v(x)dx
(2.49)
b
c
(2.39) ³eklinde elde edlilir. Sonuç olarak (c, b) aral§nda Hardy e³itsizli§inin
sa§lanmas için (2.45) ³art yeterlidir.
(ii)(Yeterlilik) Kabul edelim ki (2.44) ve (2.45) ³artlar sa§lansn. Buradan
(2.48) e³itsizli§i g1 ∈ AC 0 (a, c) ve g1 (c) = 0 için ve (2.49) e³itsizli§i g2 ∈ AC 0 (c, b)
ve g2 (c) = 0 için sa§lanr. g ∈ AC 0 (a, b) olmak üzere
g1 (x) x ∈ (a, c] için
g(x) =
g2 (x) x ∈ [c, b) için
olur.
Buradan
Z
b
q
Z
c
|g(x)| u(x)dx =
a
a
|g1 (x)| u(x)dx +
" Z
c
≤ Cq
Z
q
b
|g2 (x)|q u(x)dx
c
0
|g1 (x)|p v(x)dx
q/p
a
= 2C q
0
|g2 (x)|p v(x)dx
q/p #
q/p #
q/p Z b
b
|g 0 (x)|p v(x)dx
|g 0 (x)|p v(x)dx
+
" Z
Z
+
b
c
a
≤ Cq
Z
a
b
|g 0 (x)|p v(x)dx
q/p
a
elde edilir.
1
λ
(iii) E§er bir T operatörünü λ+1
H − λ+1
H̃ ³eklinde tanmlanrsa Yani;
Z x
Z b
λ
1
(T f )(x) =
f (t)dt −
f (t)dt,
(2.50)
λ+1 a
λ+1 x
burada g(x) = (T f )(x) olacak ³ekilde tanmlanrsa, (2.43) ³art ve g 0 = f için
sa§lanr. Sonuç olarak (2.39) Hardy e³itsizli§i yerine
kT f kq,u ≤ Ckf kp,v
37
(2.51)
e³itsizli§ini dü³ünebiliriz.
Buradan
kT f kq,u
λ 1 kHf kq,u + ≤ λ + 1 kH̃f kq,u ,
λ + 1
(2.46) ve (2.47) ³artlarnn (2.51) e³itsizli§i için yeterlidir.
Sonuç olarak λ ∈ (−1, 0) için
1
λ+1
λ
> 0 ve − λ+1
> 0 ve f ≥ 0 olmak üzere
Hf ≤ (λ + 1)T f,
H̃f ≤
λ+1
Tf
|λ|
³eklinde elde edilir.
Böylece f ≥ 0 için (2.46) ve (2.47) ³artlar da (2.51) e³itsizli§i gerekli
³arttr, buradan e³itsizlik
kHf kq,u ≤ C(λ + 1)kf kp,v
kH̃f kq,u ≤ C(λ + 1)|λ|−1 kf kp,v
ve
³eklinde yazlabilir. Ayrca e³itsizlik (2.46) ve (2.47) ³artlar için de sa§lanr.
λ < −1 veya λ > 0 olmak üzere, T , H ve H̃ nin bir pozitif ve bir negatif
kombinasyonu olur.
2.7
(a, b)
Aral§nda Hardy E³itsizlikleri
Önceki bölümlerde (a, b) aral§ key olarak −∞ ≤ a < b ≤ +∞ ³eklinde
alnyordu. Klasik durumda G.H.Hardy özellikle
(2.52)
(a, b) = (0, ∞)
³eklini kabul etmi³tir.
Bu aralk, (2.26) genel Hardy e³itsizli§inin geçerlili§i için gerek ve yeter
³arttr yani f ≥ 0 olmak üzere
Z ∞ Z x
q
1/q
Z ∞
1/p
p
f (t)dt u(x)dx
≤C
f (x)v(x)dx
(2.53)
0
0
0
ve 1 0
38
x
1/p
Z
x
×
v
1−p0
1/p0
(t)dt
<∞
(2.54)
0
olmasdr. Tüm di§er mümkün seçimler (a, b) aral§nn kstlanm³ özel bir durumu oldu§unu gösterelim.
(i)
(a, b) = (−∞, ∞)
durumunu dü³ünelim. Buradan e³itsizlik
Z ∞ Z x
q
1/q
Z
f (t)dt u(x)dx
≤C
−∞
−∞
1/p
f (x)v(x)dx
∞
(2.55)
p
−∞
olur ve tüm f ≥ 0 fonksiyonlarnn sa§lanmas için gerek ve yeter ³art
Z ∞
1/q Z x
1/p0
1−p0
A(−∞, ∞; u, v) = sup
u(t)dt
v
(t)dt
<∞
x∈R
−∞
x
(2.56)
olmasdr.
Gerçekten t = lns ve x = lny olarak seçilirse dt = 1s ds, dx =
(2.55) e³itsizli§inde yerine yazld§nda
Z ∞ Z y
q
1/q
f (lns)
u(lny)
ds
dy
s
y
0
0
Z
≤C
0
∞
f (lny)
y
p
y
p−1
1/p
1
dy
y
olur.
(2.57)
v(lny)dy
³eklinde elde edilir.
ũ(y) =
u(lny)
,
y
f (lny)
f˜(y) =
,
y
ṽ(y) = y p−1 v(lny)
denirse (2.57) e³itsizli§i
Z ∞ Z y
q
1/q
Z
˜
f (s)ds ũ(y)dy
≤C
0
0
∞
f˜p (y)ṽ(y)dy
1/p
0
³eklinde yeniden yazlabilir. f˜, ũ, ṽ için (2.53) ve (2.54) e³itsizliklerinin sa§lanmas
için gerek ve yeter ³art
1/p0
Z ∞
1/q Z r
1−p0
sup
ũ(s)ds
ṽ
(s)ds
<∞
r>0
r
0
39
olmasdr. Ba³ka bir ifadeyle
Z
∞
sup
r>0
r
u(lns)
ds
s
1/q Z
r
0
0
v 1−p (lns)
ds
s
1/p0
<∞
³eklindedir. Yukarda belirtilen de§i³tirmeler yapld§nda
Z
∞
sup
r>0
1/q Z
u(t)dt
lnr
v
1−p0
1/p0
(t)dt
<∞
−∞
lnr
ifadesi elde edilir. Sonuç olarak bu ifade (2.56) ifadesinde r > 0 için x = lnr
alnmasyla elde edilir.
(ii) a = 0, 0 < b < ∞ durumunu dü³ünelim. Buradan e³itsizlik f ≥ 0
olmak üzere
1/p
q
1/q
Z b
Z b Z x
p
f (x)v(x)dx
(2.58)
f (t)dt u(x)dx
≤C
0
0
0
olur ve bu e³itsizli§inin sa§lanmas için gerek ve yeter ³art
Z
b
A(0, b; u, v) = sup
0<x<b
1/q Z
u(t)dt
x
v
1−p0
1/p0
(t)dt
<∞
0
x
(2.59)
olmasdr.
b
b
b
Tekrar t = s+1
ve x = y+1
alalm. Buradan dt = − (s+1)
2 ds ve dx =
b
− (y+1)2 dy ³eklinde elde edilir. (2.58) e³itsizli§inde yerlerine yazlrlarsa (2.58)
e³itsizli§i
!1/q
1/q Z 0 Z y b
−b
b
−b
f
ds
u
dy
s + 1 (s + 1)2
y + 1 (y + 1)2
∞
∞
Z 0 1/p
b
b
−b
p
f
(2.60)
≤C
v
dy
y+1
y + 1 (y + 1)2
∞
halini alr. E§er
b
b
ũ = u
,
y + 1 (y + 1)2
b
b
˜
f (y) = f
,
y + 1 (y + 1)2
1−p
b
b
ṽ(y) = v
,
y+1
(y + 1)2
40
olursa ve buradan (2.60) e³itsizli§i
q
Z ∞ Z ∞
1/q
Z
f˜(s)ds ũ(y)dy
≤C
0
y
1/p
∞
˜p
f (y)ṽ(y)dy
0
³eklinde elde edilir. f˜.ũ, ṽ olmak üzere e³lenik Hardy operatörünün snrll§ için
gerek ve yeter ³art
Z r
1/q Z ∞
1/p0
1−p0
Ã(0, ∞; ũ, ṽ) = sup
ũ(s)ds
ṽ
(s)ds
<∞
r>0
0
olmasdr. Ba³ka bir ifadeyle
Z
sup
r>0
Z
∞
0
v 1−p
×
r
r
r
u
0
b
s+1
b
s+1
b
ds
(s + 1)2
b
(s + 1)2
1/q
!1/p0
(1−p)(1−p0 )
ds
<∞
olmasdr. Yukardaki yer de§i³tirme yapld§nda:
!1/q Z b
!1/p0
Z b
r+1
0
sup
u(t)dt
v 1−p (t)dt
< ∞,
r>0
b
r+1
0
elde edilir. Bu ifade (2.59) ifadesinde r > 0 için x =
b
r+1
alnmasyla elde edilir.
(iii) Son olarak
−∞ < a < b ≤ ∞
durumunu dü³ünelim. Buradan (2.53) ve (2.54) e³itsizli§inden f ≥ 0 olmak üzere
1/p
Z b
q
1/q
Z b Z x
p
≤C
f (x)u(x)dx
(2.61)
f (t)dt u(x)dx
a
a
a
e³itsizli§i elde edilebilir. Bu e³itsizli§in sa§lanabilmesi için gerek ve yeter ³art
1/q Z x
1/p0
Z b
1−p0
v
A(a, b; u, v) = sup
u(t)dt
(t)dt
<∞
a<x<b
x
a
(2.62)
olmasdr.
hc (x) := h(x + c)
denirse (2.61) e³itsizli§inde t = s + a ve x = y + a olacak ³ekilde de§i³ken
de§i³tirmeler yaplrsa ve (ii) durumunda b yerine b − a ve f, u, v yerine srasyla
fa , ua , va , yazlrsa
Z b−a Z y
q
1/q
Z b−a
1/p
p
fa (s)ds ua (y)dy
≤C
fa (y)va (y)dy
0
0
0
41
e³itsizli§i elde edilir. Böylece bu e³itsizli§in sa§lanmas için gerek ve yeter ³art;
Z
r
ua (s)ds
sup
0<r<b−a
r
Z
b−a
veya
sup
0<r<b−a
1/q Z
b−a
0
va1−p (s)ds
1/p0
<∞
0
1/q Z r
1/p0
1−p0
u(s + a)ds
v
(s + a)ds
<∞
r
0
olmasdr. Bir ba³ka deyi³le (2.62) ifadesinde x = r + a alnrsa
Z
b
sup
a<r+a<b
1/q Z
u(t)dt
r+a
a
ifadesi elde edilmi³ olur.
42
r+a
v
1−p0
(t)dt < ∞
3
3.1
UYGULAMALAR
Multilineer Konvolisyon çin O'Neil E³itsizli§i
Bu bölümde k lineer konvolisyonu için O'Neil e³itsizli§ini Hardy e³itsizli§inin yardmyla elde edece§iz. Bu uygulamada Vagif S. Guliyev ve Sh. A.
Nazirova [3] çal³malarndan faydalanlm³tr. k lineer konvolisyonu
Z
(f ⊗ g) (x) =
f1 (x − θ1 y) · · · fk (x − θk y) g(y) dy,
Rn
³eklinde tanmlanr. Rn , n ölçülü bir Öklid uzaydr. x = (x1 , ..., xn ) ve ξ =
(ξ1 , ..., ξn ) vektörleri için Rn de x · ξ = x1 ξ1 + . . . + xn ξn , |x| = (x · x)1/2 olsun. g ,
Rn de ölçülebilir bir fonksiyon olsun. g nin bir da§lm fonksiyonu
λg (s) = |{x ∈ Rn : |g(x)| > s}| , s ≥ 0
³eklinde tanmlanr. Ayn zamanda g fonksiyonunun yeniden düzenlenme fonksiyonu
g ∗ (t) = inf {s > 0 : λg (s) ≤ t}, t ≥ 0
³eklinde elde edilir. ]0, ∞[ üzerinde artan olmayan ve |g(x)| ve her τ ≥ 0 için
|{t > 0 : g ∗ (t) > τ }| = λg (τ )
³eklindedir. g fonksiyonlarn L0 (Rn ) ile Rn ölçülebilen, hemen her yerde sonlu
olan ve her s > 0 için λg (s) < ∞ olacak ³ekilde ifade edilir. Her f1 , f2 ∈ L0 (Rn )
için Hardy Little-wood teoreminden
Z
Z ∞
|f1 (x)f2 (x)| dx ≤
f1∗ (t)f2∗ (t) dt
Rn
0
elde edilir. A³a§da baz özellikler yeniden düzenlenerek verilecek
1) E§er 0 < t < t + τ ve (g + h)∗ (t + τ ) ≤ g ∗ (t) + h∗ (τ ).
2) E§er 0 0 için
Z
|g(x)| dx =
sup
|E|=t
Z
E
0
43
t
g ∗ (τ ) dτ
(3.1)
³eklindedir.
W Lp (Rn ) ile Lp uzaynda tüm ölçülebilen g fonksiyonlarnn normu
kf kW Lp = sup t1/p g ∗ (t) < ∞,
1≤p<∞
t>0
³eklindedir. g ∗∗ : (0, ∞) → [0, ∞] fonksiyonu g ∗∗ (t) =
lanr.
1
t
Rt
0
f ∗ (s)ds gibi tanm-
[3] f1 , f2 , . . . , fk ∈ L0 (Rn ), k ≥ 2 olsun. Her x ∈ Rn ve sfrdan
farkl θ1 , . . . , θk saylar için Cθ = |θ1 . . . θk |−n olmak üzere
Z
Z ∞
|f1 (x−θ1 y)f2 (x−θ2 y) · · · fk (x−θk y)|dy ≤ Cθ
f1∗ (t)f2∗ (t) · · · fk∗ (t)dt (3.2)
Lemma 3.1.1
Rn
0
elde edilir.
3.2
Multilineer Konvolisyonlarnn Yeniden Düzenlemeler çin
O'Neil E³itsizli§i
Bu bölümde multilineer konvolisyon için O'Neil e³itsizli§ini inceleyece§iz.
f , (f1 , f2 , · · · , fk ) olmak üzere
f ∗ (t) = f1∗ (t) . . . fk∗ (t),
Z
1 t ∗
∗∗
f (t) =
f (τ ) . . . fk∗ (τ ) dτ,
t 0 1
t>0
³eklinde tanmlanr.
[3] f1 , f2 , . . . , fk , g ∈ L0 (Rn ) olsun. Her 0 < t < ∞ için
Z ∞
∗∗
∗
∗
∗∗
∗∗
(f ⊗ g) (t) ≤ Cθ t f (t) g (t) +
f (s) g (s) ds
Lemma 3.2.1
(3.3)
t
³eklindedir.
Lemma 3.2.2
[3] f1 , f2 , . . . , fk , g ∈ L0 (Rn ) olsun. t > 0 için
Z ∞
∗∗
(f ⊗ g) (t) ≤ Cθ
f ∗∗ (t) g ∗∗ (t) dt
t
³eklindedir.
44
(3.4)
Teorem 3.2.3
üzere
[3] 1 < m < ∞, f1 , f2 , . . . , fk ∈ L0 (Rn ) ve g ∈ W Lm (Rn ) olmak
(f ⊗ g)∗ (t) ≤ (f ⊗ g)∗∗ (t)
≤ Cθ kgkW Lm
0
1
−m
t
Z
Z
∗
m t
∞
f (τ ) dτ +
0
τ
1
−m
∗
f (τ ) dτ
(3.5)
t
³eklindedir.
3.3
Multilineer Konvolisyonlar çin O'Neil E³itsizli§i
Bu bölümde f ⊗g multilineer konvolisyonu için O'Neil e³itsizli§ini inceleyece§iz. E§er p1 = p11 + p12 + · · · + p1k ise p1 , p2 , . . . , pk > 1 harmonik ortalamas p
dir. E§er her j = 1, 2, · · · , k için fj ∈ Lpj (Rn ) olursa f = (f1 , f2 , · · · , fk ) için
f ∈ Lp1 × Lp2 × · · · × Lpk (Rn ) olur.
[3] (Multilineer konvolisyon için O'Neil E³itsizli§i) 1 < m < ∞,
g ∈ W Lm (Rn ) ve p, p1 , p2 , . . . , pk > 1 in harmonik ortalamas olsun. E§er m0 /(1+
m0 ) ≤ p < m0 (e³de§er olarak 1 ≤ q < ∞ ), f ∈ Lp1 × Lp2 × · · · × Lpk (Rn ) ve q ,
1/p − 1/q = 1/m0 olmak üzere ve f ⊗ g ∈ Lq (Rn ) ve
Teorem 3.3.1
kf ⊗ gkq ≤ Cθ K(p, q, m)
k
Y
kfj kpj kgkW Lm
j=1
elde edilir. Burada
K(p, q, m) =



m0
1+ q10
(m0 )
0 1q
p
q
+
10
1
q
p0
p
, eğer 1 1 ifadesinin harmonik ortalamas ve f ∈ Lp1 × Lp2 × · · · × Lpk (Rn )
olsun.
spat.
I. durumda 1 < p < m0 (veya e³de§er olarak m < q < ∞) olsun. E³itsizlik
45
kullanlarak
kf ⊗ gkq = k(f ⊗ g)∗ (t)kLq (0,∞)
Z ∞ Z t
Z
1
∗
0 −m
f (τ ) dτ +
≤ Cθ
m t
0
0
∞
Z
0
q
∗
≤ Cθ m
f (τ ) dτ
0
Z
∞
τ
1
−m
q
∗
f (τ ) dτ
1/p
dt
.
t
t
Z
∞
t
1/q
dt
q
−m
0
∞
Z
+ Cθ
τ
0
q
1
∗
−m
f (τ )dτ
1/q
dt
t
elde edilir. (2.53) Hardy e³itsizli§i kullanlarak
∞
Z
Z
q
t
∗
q
−m
f (τ ) dτ
0
t
1/q
Z
dt
≤ C1
0
∞
p dt
f (t)
t
1/p ∗
t
0
1/p
(3.6)
elde edilir. Bu e³itsizli§in sa§lanmas için gerek ve yeter ³art p > 1, q > m,
0 1q
C1 ≤ pq
olmak üzere
Z
∞
τ
sup
t>0
q
−m
1/q Z
1/p0
t
dτ
dτ
t
0
=q
− 1q
1 − 1q
1 1
1
− 1 +1+ 1
sup t m q p0 < ∞ ⇔ − = 0 ,
−
m q
p q
m
t>0
1
olmasdr. (2.57) e³itsizli§i kullanlarak
q 1/q
Z
Z ∞ Z ∞
1
−m
∗
≤ C2
τ f (τ ) dτ dt
0
0
t
∞
r dt
f (t)
t
1/p ∗
t
1/p
elde edilir. Bu e³itsizli§in sa§lanmas için gerek ve yeter ³art p < m0 , C2 ≤
olmak üzere
Z
sup
t>0
1/q Z
t
dτ
0
∞
τ
10
q
p0
1/p0
0
p
−m
(3.7)
dτ
t
=
p0
− 10
1
1 1
1
p
− 1 +1
−1
sup t p0 m q < ∞ ⇔ − = 0 ,
m
p q
m
t>0
olmasdr.
46
p
Bu e³itsizlikler kullanlarak
Z
kf ⊗ g f kq ≤ Cθ (C1 + C2 )
∞
p dt
f (t)
t
1/p ∗
t
0
k
∞Y
Z
= Cθ K(p, q, m)
0
≤ Cθ K(p, q, m)
j=1
k Z
Y
= Cθ K(p, q, m)
kgkW Lm
!1/p
dt
p
kgkW Lm
fj∗ (t) t1/pj
t
1/pj
pj
∗
fj (t) dt
kgkW Lm
0
j=1
k
Y
∞
1/p
kfj kpj kgkW Lm
j=1
elde edilir.
II. durumda
Z
∞
Z
m0
1+m0
∞
τ
0
1
−m
≤ p ≤ 1, p < q < ∞ olsun.
∗∗
q
f (τ ) dτ
1/q
Z
≤ C0
dt
t
∞
1/p
(f (t)) dt
p
∗∗
(3.8)
0
e³itsizli§inin sa§lanmas için gerek ve yeter ³art
e³itsizli§inden
1
p
−
1
q
=
1
m0
kf ⊗ gkq ≤ Cθ C0 kf ∗∗ kp kgkW Lm
≤ (p0 )1/p Cθ C0 kf ∗ kp kgkW Lm
= (p0 )1/p Cθ C0 kf1∗ . . . fk∗ kp kgkW Lm
0 1/p
= (p )
k
Y
∗
fj kgkW Lm
Cθ C 0
p
j
j=1
0 1/p
= (p )
Cθ C 0
k
Y
j=1
elde edilir.
47
kfj kpj kgkW Lm
olmasdr. Hölder
KAYNAKLAR
[1]
[2]
J. S. Bradley, Hardy's inequalities
21 (1978), (4), 405-408.
. Canad. Math. Bull.
with mixed norms
A. Gogatishvili, A. Kufner, L.-E. Persson, A. Wedestig,
Equivalence Theo-
. Real Anal.
rem for some discrete conditions related to Hardy's inequality
Exchange 29 (2003-2004), (2), 867-880.
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
V.S. Guliyev and Sh. A. Nazirova, O'Neil inequality for multilinear convolutions and some applications. Integr. Equ. Oper. Theory 60 (2008), (4),
485-497.
A. Kufner and L.E. Persson, Weighted Inequalities of Hardy
Scientic, New Jersey-London-Singapore-Hong Kong, (2003).
A. Kufner, L. Maligranda, and L.-E. Persson, The prehistory
inequality. Am. Math. Month 113 (2006), (8), 715-732.
B. Muchenhoupt,
33-38.
Hardy's inequality with weights
C.A. Okpoti, L. E. Persson and G. Sinnamon,
Type
. World
of the Hardy
. Studia Math. 44 (1972),
An equivalence theorem for
.
some integral conditions with general measures related to Hardy's inequality
JJ. Math. Anal. Appl. 326 (2007), (1), 398-413.
[8]
[9]
B. Opic and A. Kufner,
England, (1990).
. Longman, Harlow Essex,
Hardy-Type Inequalities
L.-E. Persson, V. D. Stepanov, and P. Wall, Some
scales of equivalent weight
characterizations of Hardy's inequality: the case q < p
(2007), (2), 267-279.
[10]
[11]
. Inequal. Appl. 10
G. Sinnamon, Hardy-Type Inequalities for a new class of integral operators.
in: Analysis of divergence (Orono, ME, 1997), Appl. Numer. Harmon.
Anal., Birkhauser, Boston, (1999), 297-307.
G. Sinnamon and V.D. Stepanov, The weighted Hardy inequality: new proofs
p = 1. J. London Math. Soc. 54 (1996), (2), 89-101.
and the case
[12]
[13]
V. D. Stepanov,
515- 517.
G. Tomaselli,
631.
. Siberian Math. J. 28 (1987),
Weighted Hardy inequality
, Boll. un. Mat. Ital. 2 (1969), 622-
A Class Of Inequalities
48
ÖZGEÇM
1987 ylnda Çorum'da do§du. lkö§retimi Çorum 'un Alaca ilçesinde
Cumhuriyet lkö§retim Okulu'nda tamamlad. Lise ö§retimimi 2001-2005 yllar
arasnda Alaca Mehmet Çelik Anadolu Lisesi'nde tamamlad. Ayn yl Cumhuriyet
Üniversite'si E§itim Fakülte'si lkö§retim Matematik Ö§retmenli§i Bölümü'nü
kazand. 2009 ylnda buradan mezun oldu. 2010 ylnda Ahi Evran Üniversite'si
Fen Bilimleri Enstitü'sü Matematik Anabilim Dal'nda yüksek lisans ö§renimine
ba³lad.
Abdulaziz AHN
49

hardy e“ ts zl kler ve bazı uygulamaları yüksek l sans tez

Related documents

Products

Support

hardy e“ ts zl kler ve bazı uygulamaları yüksek l sans tez

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib