Fonksiyonlar(Devam)

0.1
FONKSI·YONLAR
Tan¬m 1 f; A kümesinden B kümesine bir ba¼g¬nt¬ olsun. E¼ger f ba¼g¬nt¬s¬ A
kümesinin her eleman¬n¬ B kümesinin yaln¬z bir eleman¬na eşliyorsa f ba¼g¬nt¬s¬na A dan B ye bir fonksiyon denir.
f
f : A ! B veya A ! B
ile gösterilir. A kümesine f fonksiyonunun Tan¬m Kümesi B kümesine ise
De¼ger Kümesi denir. Bu tan¬ma göre f ba¼g¬nt¬s¬n¬n A dan B ye bir fonksiyon
olmas¬ için gerek ve yeter şart
i 8x 2 A; 9y 2 B; (x; y) 2 f
ii 8x 2 A; 8y; z 2 B; [(x; y) 2 f ve (x; z) 2 f ] ) x = z
olmas{d{r:
Tan¬m 2 f : A ! B olsun. (x; y) 2 f ise y ye x in f fonksiyonu alt¬ndaki
görüntüsü veya f nin x deki de¼geri denir. Bu de¼ger genellikle f (x) ile gösterilir.
A kümesinin f fonksiyonu alt¬ndaki görüntülerinin kümesine Görüntü kümesi
denir ve f (A) ile gösterilir.Yani
f (A) = ff (x) : x 2 Ag
d¬r.
Tan¬m 3 f : A ! B ve g : A ! B iki fonksiyon olmak üzere A kümesinin her
x eleman¬ için f (x) = g (x) ise f ve g fonksiyonlar¬na eşit fonksiyonlar denir
ve f = g ile gösterilir.
Tan¬m 4 f : A ! A; f (x) = x ile tan¬mlanan fonksiyona A kümesinin birim
fonksiyonu denir. A kümesi üzerinde tan¬mlanan birim fonksiyon IA ile gösterilir.
Tan¬m 5 f : A ! B ve b 2 B olmak üzere her A kümesinden al¬nan her x
eleman¬için f (x) = b oluyorsa f fonksiyonuna A kümesinde sabir bir fonksiyon
denir.
Tan¬m 6 f : A ! B bir fonksiyon olmak üzere A kümesinden al¬nan her
farkl¬ iki eleman¬n B kümesindeki görüntüleri farkl¬ ise f fonksiyonuna bire
bir fonksiyon denir. O halde f fonksiyonunun bire bir olmas¬için gerek ve yeter
şart
8x; y 2 A için x 6= y ) f (x) 6= f (y)
veya
8x; y 2 A için f (x) = f (y) ) x = y
olmas¬d¬r.
1
Örnek 7 f : R ! R; f (x) = x3 ile tan¬mlanan f fonksiyonu birebirdir.
Tan¬m 8 f : A ! B bir fonksiyon olmak üzere B den al¬nan her eleman için
f (a) = b olacak şekilde en az bir a 2 A varsa f fonksiyonuna örten fonksiyon
denir. O halde
f örten , f (A) = B
dir.
Örnek 9 f : R ! R; f (x) = x3 ile tan¬mlanan f fonksiyonu örtendir. Fakat
g : Z ! Z; g (x) = 2x ile tan¬ml¬g fonksiyonu birebir oldu¼gu halde örten de¼gildir.
Gerçekten g (x) = 1 olacak şekilde x 2 Z yoktur. Yine R’ den R ye tan¬mlanan
h (x) = Si nx fonksiyonu birebir ve örten de¼gildir.
Yukar¬da verilen fonksiyonlar¬n tan¬m bölgelerini yada de¼
ger bölgelerini de¼
giştirdi¼
gimizde
fonksiyonun niteli¼
ginde bir d¼
gişiklik olur. Örne¼
gin g (x) = 2x ile tan¬mlanan g
fonksiyonunu Z den Zç çift tamsay¬lar kümesine bir fonksiyon al¬rsak g fonksiyonu örten olur. Benzer olarak
h:[
=2; =2] ! [ 1; 1]
h (x) = Si nx şeklinde tan¬mlarsak h fonksiyonu bire bir ve örten olur.
Tan¬m 10 f : X ! Y bir fonksiyon ve B
f
1
Y olmak üzere
(B) = fx 2 X : f (x) 2 Bg
olarak tan¬mlanan X’in alt kümesine B kümesinin f alt¬ndaki ters görüntüsü
ad¬ verilir.
Daha önceden bir ba¼
g¬nt¬n¬n tersi tan¬m¬vermiştik. Her fonksiyon bir ba¼
g¬nt¬
oldu¼
guna göre, her fonksiyonun da bir ters ba¼
g¬nt¬s¬ vard¬r. Fakat bu ba¼
g¬nt¬
her zaman bir fonksiyon olmayabilir. Şimdi bir fonksiyonun hangi durumlarda
tersinin olaca¼
g¬na dair iki teorem verece¼
giz.
Teorem 11 f : A ! B bir fonksiyon olmak üzere f fonksiyonunun tersinin
bir fonksiyon olmas¬ için gerek ve yeter şart f fonksiyonunun birebir ve örten
olmas¬d¬r. f birebir ve örten ise f nin tersi olan f 1 de birebir ve örtendir.
Tan¬m 12 f : A ! B ve g : C ! D fonkiyonlar¬ verilsin. f (A) C ve a 2 A
olmak üzere A dan D ye h (a) = g (f (a)) eşitli¼gi ile tan¬mlanan h fonksiyonuna
f ile g fonksiyonlar¬n¬n birleşimi (ya da bileşke fonksiyon) denir ve g f ile
gösterilir.
Örnek 13 f; g : R ! R; f (x) = 1 + cos 2x ve g (x) =
(g f ) (x) = g (f (x)) =
1
g) (x) = f (g (x)) = 1 + cos
ile tan¬mlan¬r.
2
2
(1 + cos 2x) + 1
ve
(f
1
x2 +1
2
x2 + 1
olmak üzere