Özel Tanımlı Fonksiyonlar 1.Bölüm

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 1
( FONKSİYONUN TANIM , DEĞER VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ − GRAFİK − İŞLEM − DEĞER HESAPLAMA )
B u n u n d ış ın d a f o n k s i yo n l a r ı k ur a l l a r ı i l e
d e v e r e b i l i r i z.
FONKSİYONLAR BÖLÜM 1
FONKİYONUN TANIMI, TANIM VE GÖRÜNTÜ
KÜMESİ, GRAFİK, İŞLEMLER, DEĞER
HESAPLAMA
Ö r n e ğ i n A= { 0 , 1 , 2 } k üm e s i n d e n
B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } k üm e s i n e t a n ım l ı
y= f ( x )= x + 1 f on k s i yo n u n u i n c e l e ye l im .
FONKSİYON
f = { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) } o l a r ak e l d e e d i l i r.
b u r a d a f ( A )= { 1 , 2 , 3 } k üm e s i f k üm e s i n i n
g ö r ü n t ü k üm e s i d i r.
A v e B b o ş o l m a ya n i k i k üm e o l s u n . A n ın
h e r e l em a n ı n ı B n i n b i r v e ya l n ı z b i r
e l em a n ı yl a e ş l e ye n k u r a l a A d a n B ye b i r
f o nk s i yo n d e n i r.
Örnek...1 :
A= { a , b , 2 } k üm e s i n d e n B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }
k üm e s i n e t a n ım l ı b a ğ ın t ıl a r d a n h a n g i l e r i b i r e r
f o nk s i yo n d u r ?
HATIRLATMA
Not: A nın elemanlarını B nin
e l em a n l a r ı yl a r a s t g e l e e ş l e ye n if a d e l e r e
b a ğ ı n t ı d e n i r. A s l ı n d a f o nk s i yo n l a r ö ze l
b a ğ ı n t ı l a r d ı r.
f={(a,0),(b,0),(c,0)}
g= { ( a , 0 ) , ( b , 1 ) }
B i r f f o nk s i yo n u A k üm e s i n d e k i x g i b i b i r
e l em a n ı B k üm e s i n d e n y g i b i b i r e l em a n l a
e ş l i yo r s a b u n u
f : A → B y= f ( x ) ş e k l i n d e g ö s t e r i r i z.
B u r a d a A k üm e s i n e t a n ı m k üm e s i ;
B k üm e s i n e i s e d e ğ e r k üm e s i d e n i r.
Ö r n e ğ i i n c e l e yi n i z .
f kuralı A nın her elemanını B nin bir ve
ya l n ı z b i r e l e m a n ı yl a e ş l e m i ş o l d u ğ u n d a n
b i r f o n k s i yo n d u r.
B u f o n k s i yo n u n t a n ı m k üm e s i A = { a , b , c }
d e ğ e r k üm e s i i s e B = { 3 , 5 , 11 , 1 7 }
k üm e s i d i r.
f f o nk s i yo n u i ç i n f (a ) = 11 , f ( b )= 1 7 , f ( c ) = 1 7
o l d u ğ u n d a n b u f o nk s i yo n u l i s t e b i ç i m i n d e
f = { ( a , 11 ) , ( b , 1 7 ) , ( c , 1 7 ) } ş ek l i n d e
ya za b i l i r i z .
B u r a d a A d a k i e l e m a n l a r ı n f f o nk s i yo n u
altında B deki eşleştiği değerlere f
f o nk s i yo n u n u n g ö r ü n t ü k üm e s i d e n i r v e
b u k ü m e f (A ) = { y: x ∈ A , y ∈ B , f ( x )= y}
k üm e s i d i r.
B u ö r n ek t e f (A ) = { 11 , 1 7 } .
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
h= { ( a , 4 ) , ( b , b ) , ( c , 3 ) }
t= { ( a , 2 ) , ( a , 3 ) , ( b , 4 ) , ( c , 3 ) }
Örnek...2 :
A= { − 2 , − 1 , 2 , 5 } k üm e s i n d e n r e e l s a yıl a r
k üm e s i n e t a n ım l ı f (x ) = 3 x ² + x− 5 f on k s i yo n u
i ç i n g ö r ü n t ü k üm e s i n i b u l u n u z.
Örnek...3 :
f : A →R , f(x)=3x −1 v e f ( A )= { 0 , 2 6 , 8 0 } i s e A
k üm e s i n i n e l e m a n l a r ı t o p l am ı k a ç t ır ?
1/6
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 1
( FONKSİYONUN TANIM , DEĞER VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ − GRAFİK − İŞLEM − DEĞER HESAPLAMA )
Örnek...4 :
f : ℤ→ℤ , f (x)=
belirtir mi?
Örnek...8 :
5x−4
if a d e s i b i r f on k s i yo n
x 2+2
R e e l s a yıl a r d a f (x ) = s i n x + 2 f o n k s i yo n u n d a
g ö r ü n t ü k üm e s i n e d i r ?
Örnek...5 :
H a n g i l e r i t a n ı m l a n d ı k l a r ı k üm e d e f o nk s i yo n
belirtir?
a ) f : ℤ →ℤ , f (x)=
5x−4
x+2
Örnek...9 :
3x−14
f o nk s i yo n u n u n
x−2
g ö r ü n t ü k üm e s i n d e k a ç t a n e t am s a yı v a r d ır ?
f : ℝ−{2}→ℝ−{3}, f (x)=
x
b ) f : ℝ→ℝ, f (x)= 4
x +2
3
2
d ) f : ℕ→ℕ , f(x)= √ x −x
e ) f : ℕ→ℕ , f(x)=∣x−2∣
Örnek...6 :
K = { 0 , 1 , 2 , 3 } k üm e i n d e n r e e l s a yı l a r a t a n ım l ı
f (x ) = x! f o n k s i yo n u n d a g ö r ü n t ü k ü m e s i n i n
e l e m a n l a r ı t o p l am ı k a ç t ı r ?
www.matbaz.com
2
c ) f : ℕ→ℝ , f (x)= √ x −x
BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ :
f , A k üm e s i n d e n B k üm e s i n e t a n ım l ı b i r
f on k s i yo n o l s u n . H e r x∈ A i ç i n o l u ş a n
( x , f ( x ) ) n o k t a l a r ın a d ü zl em d e k ar ş ıl ık
g e l e n n ok t a l a r k ü m e s i n e f f on k s i yo n u n
g r a f i ğ i d e n i r.
Örnek...10 :
Örnek...7 :
K = [ 4 , 9 ] k üm e i n d e n r e e l s a yı l a r a t a n ı m l ı
f (x ) = x+ 2 f o nk s i yo n u n d a g ö r ü n t ü k üm e s i
nedir?
A= { − 2 , 1 , 3 } k üm e s i n d e n
r e e l s a yıl a r k üm e s i n d e
t a n ım l ı
f ( x )= x + 3
f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n i
ç i zi l m i ş t i r. İ n c e l e yi n i z .
y
6
5
4
3
2
1
G ö r ü n t ü k üm e s i 3
e l em a n d a n
oluştuğundan
−2 −1
1 2 3 4
−1
g r af ik t e 3 n o k t a
v a r d ır. ( B u n o k t a l a r
g e n e l d e b u r a d a a l ıd ığ ı g i b i k ap a l ı b i r e ğ r i
i ç i n e a l ı nm a zl a r )
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
x
2/6
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 1
( FONKSİYONUN TANIM , DEĞER VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ − GRAFİK − İŞLEM − DEĞER HESAPLAMA )
y
A ş a ğ ı d a k i g r af i ğ i i n c e l e yi n i z
f
e
x
b
c
Görüntü Kümesi
Ve r i l e n g r af i ğ e g ö r e
f on k s i yo n u n t a n ı m
k üm e s i ( a , b ] v e
g ö r ü n t ü k üm e s i [ c , d ] a
o l a r a k ya z ı l a b i l i r.
y
Örnek...13 :
d
Ya n d ak i f o nk s i yo n u n
t a n ım k ü m e s i n i v e
g ö r ü n t ü k üm e s i n i
bulunuz.
y=f(x)
1
x
−2
Tanım Kümesi
Örnek...11 :
y
G r a f i ğ i ş e k i l d ek i
g i b i o l a n y= f ( x )
f on k i yo n u n t a n ı m
k üm e s i n i v e g ö r ü n t ü
k üm e s i n i b u l u n u z.
3
Örnek...14 :
y
y=f(x)
1
x
4
y
Örnek...12 :
Grafiği
şekildeki gibi
o l a n y= f ( x )
f on k i yo n u n
t a n ım
k üm e s i n i
v e g ö r ü n t ü −5
k üm e s i n i
b u l u n u z.
5
www.matbaz.com
−2
1
4
6
8
−8 −7
y=f(x)
x
9
−4
−5
G r af i ğ i ş ek i l d e k i g i b i o l a n y= f ( x ) f on k i yo n u n
t a n ım k ü m e s i A , g ö r ü n t ü k üm e s i B i s e A− B
f a rk k üm e s i n i b u l u n u z.
9
y=f(x)
1
x
7
Örnek...15 :
y
Ta n ım k ü m e s i
T , görüntü
k üm e s i G i s e
T∩G = ?
7
5
y=f(x)
4
2
x
−4
1
−1 0
2
−2
−3
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
3/6
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 1
( FONKSİYONUN TANIM , DEĞER VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ − GRAFİK − İŞLEM − DEĞER HESAPLAMA )
Örnek...19 :
Örnek...16 :
2
f : ( 2 , 5 ] →ℝ, f (x)=x −2x +4 f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n i
ç i zi n i z.
A = { − 2 , 0 , 1 , 3 } k üm e s i v e r i l s i n .
f : A →R , f(x)=x+2 f on k s i yo n u n g r af i ğ i n i
ç i zi n i z .
UYARI:
UYARI:
Örnek...17 :
f : ℝ→ℝ, f (x)=x+2 F o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n i
ç i zi n i z .
www.matbaz.com
D o ğ r u g r a f i k l e r i n i ç i zm e k i ç i n ik i n ok t a ,
ik i n c i d e r e c e d e n f o nk s i yo n l a r ı n
g r af ik l e r i n i ç i zm e k i ç i n e k s e n l e r i k e s t i ğ i
n ok t a ( l a r ) v e t e p e n o k t a s ı k u l l a n ı l a b i l i r.
F o n k s i yo n l a r ö ze l b a ğ ı n t ı l a r o l d u ğ u n d a n
v e r i l e n b i r b a ğ ın t ı g r af i ğ i n i n f o nk s i yo n
o l u p o lm a d ığ ın ı a n l am a k i ç i n y e k s e n i n e
p a r a l e l o l a c ak ş ek i l d e d o ğ r u l a r
ç i zi l d i ğ i n d e v e r i l e n t a n ım k üm e s i n d e k i
d e ğ e r l e r i ç i n b u d ü ş e y d o ğ r u l a r ın g r af i ğ i
t a m o l a r a k b i r n ok t a d a k es m e s i g e r e k i r.
Örnek...20 :
Ş ek i l l e r i i n c e l e yi n i z t a n ım a r a l ık l a r ın d a
v e r i lm i ş b a ğ ı n t ı l a r d a n h a n g i l e r i f o n k s i yo n
olur?
i ) f :(a , b)→ℝ
y
Örnek...18 :
y=f(x)
2
f : ℝ→ℝ, f (x)=x +4x−32 f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n i
ç i zi n i z .
4
2
a
x
b
0
c
i i ) f :(a , b)→ℝ
y
y=f(x)
x
a
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
0
b
c
4/6
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 1
( FONKSİYONUN TANIM , DEĞER VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ − GRAFİK − İŞLEM − DEĞER HESAPLAMA )
i i i ) f :(a , b)→ℝ
y
y=f(x)
x
a
iv)
b
0
c
f : [a , b]→ℝ
y
y=f(x)
x
b
0
www.matbaz.com
a
Örnek...21 :
y
Grafiği verilen
y= f ( x ) f o n k i yo n u
için
5
4
f (− 2 ) + f ( 4 )= ?
4
−2
0
x
3
−2
y=f(x)
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
5/6
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR − 1
( FONKSİYONUN TANIM , DEĞER VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ − GRAFİK − İŞLEM − DEĞER HESAPLAMA )
DEĞERLENDİRME
1)
f :(−2,2)→ℝ , f(x)=4 x fonksiyonunun görüntü
4) K=[−2,6] kümesinden reel sayılara tanımlı
f(x)=−2x+3 fonksiyonu için görüntü kümesi
nedir?
kümesindeki tamsayıların toplamı kaçtır?
3)
y
y=f(x)
5
1
x
0
f : ℝ−{3 }→ℝ−{7}, f (x)=
4
7x−1
x−3
7
www.matbaz.com
2) Grafiği
şekildeki
gibi olan
y=f(x)
fonkiyonun
tanım
kümesi A
görüntü
−2
kümesi B
ise A−B
kümesini yazınız.
5) K=[−4,5) kümesinden reel sayılara tanımlı
f(x)=x2−6x+1 fonksiyonu için görüntü kümesi
nedir?
fonksiyonunun
görüntü kümesinde kaç tane tamsayı vardır?
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
6/6