fonksiyon - Etkin Ders

FONKSİYON
A ve B birbirinden farklı iki küme olsun. A’nın her elemanını, B’nin yalnız bir
elemanına eşleyen A dan B ye yalnız bir “f” bağıntısına, A dan B ye bir “fonksiyon denir.
A dan B ye tanımlanan bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için;
1) A’da eşlenmeyen eleman bulunmamalıdır.
2)A kümesinin elemanlarından biri, B kümesinin birden fazla elemanıyla
eşlenmemelidir.
A
x
B
f
y
 A kümesi f fonksiyonunun “Tanım Kümesi”,
 B kümesi ise f fonksiyonunun “Değer Kümesi”dir.
 A kümesinin tüm elemanlarının, f fonksiyonuna göre, B kümesinde eşlendiği
elemanların oluşturduğu kümeye ise “Görüntü Kümesi” denir.
ÖRNEK :
A={1,2,3,}, B={a,b,c,d} kümeleri veriliyor. Aşağıdaki A dan B ye tanımlanan
bağıntıların hangileri fonksiyondur? Şemalarını çizerek gösterelim.
a) f={(1,a),(2,c),(3,d)}
b) g={(2,b),(3,a)}
c) h={(1,a),(1,c),(2,d),(3,d)}
ÇÖZÜM :
a)
A
B
f
b)
.1
.2
.3
.a
.b
.c
.d
A
B
.1
.2
.3
g
.a
.b
.c
.d
A kümesinin her elemanı, B kümesinin sadece bir
elemanına
eşlendiğinden;
f
bağıntısı
bir
fonksiyondur.
A kümesinin (1) elemanının görüntüsü
olmadığından, g bağıntısı fonksiyon değildir.
A
B
.1
.2
.3
.a
.b
.c
.d
c)
A kümesinin (1) elemanı B kümesinin iki farklı
elamanına; a ve c’ye eşlendiğinden; h bağıntısı
fonksiyon değildir.
UYARI : Grafiği verilmiş bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y
eksenine paralel doğrular çizilir. Çizilen doğrular grafiği yalnız bir noktada kesiyorsa bu
grafik fonksiyon grafiğidir.
ÖRNEK :
Aşağıda verilen grafiklerin hangisi fonksiyon grafiğidir?
a)
y
x
b)
y
x
c)
fonksiyon
fonksiyon
y
x
fonksiyon değil
ÖRNEKLER
1) A={1,2,3,4}
f:A
B
f (x) = 2x + 1 ise
(f (B)), görüntü kümesi nedir?
ÇÖZÜM :
f (1) = 2.1. + 1 = 3
f (2) = 2.2 + 1 = 5
f (3) = 2.3 + 1 = 7
f (4) = 2.4 + 1 = 9
f (B) = {3,5,7,9}
2) f : A
B
B= {-1,3,5}
f (x) = 2x + 3 ise A kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM :
2x + 3 = -1
2x = -4
x = -2
2x +3 = 3
2x = 0
x=0
2x + 3 = 5
2x = 2
x=1
A = { -2,0,1}
3) A= {-1,0,1,2}
f:A
Z
f = {(-1,2),(0,3),(1,5),(2,1)} olarak verilmiştir.
f (1)  f (0)
ifadesinin eşiti nedir?
f (1)  f (2)
ÇÖZÜM :
(-1,2)
(0,3)
(1,5)
(2,1)
f (-1) = 2
f (0) = 3
f (1) = 5
f (2) = 1 dir.
f (1)  f (0) 2  3 5


f (1)  f (2)
5 1 6
8) f (x) = 2x + 3 ise f ((0,2]) nedir?
ÇÖZÜM :
x = 0 için f(0) = 2.0 + 3 = 3
x = 2 için f (2) = 2.2 + 3 = 7
f ((0,2]) = (3,7]
R f (x+1) = f (x) + 3x olduğuna göre f (10) – f (1) kaçtır?
9) f : R
ÇÖZÜM :
f (x+1) – f (x) = 3x
x = 9 için f(10) – f (9) = 3.9
x = 8 için f (9) – f (8) = 3.8
x = 7 için f (8) – f (7) = 3.7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x = 1 için f (2) – f (1) = 3.1
+
f (10) – f(1) = 3(9+8+7…+1)
f (10) – f (1) = 3.
10) f (n) =
9.10
= 135
2
n
16
. f (n+1) ifadesi veriliyor. f (5) =
olduğuna göre f (2) = ?
3
9
ÇÖZÜM :
f ( n)
n

f (n  1) 3
n = 4 için
f (4) 4

f (5) 3
n = 3 için
f (3) 3

f (4) 3
n = 2 için
f (2) 2

f (3) 3
x
f (4) f (3) f (2) 4 3 2
.
.
 . .
f (5) f (4) f (3) 3 3 3
f (2) 8

f (5) 9
11)
f (2) 
8 9

9 16
f ( 2) 
1
2
f ( x  1)
 x ve f (1) = 8 ise f (8) =?
f ( x)
ÇÖZÜM :
f ( x  1)
x
f ( x)
x = 1 için
f (2)
1
f (1)
x = 2 için
f (3)
2
f (2)
f (4)
3
f (3)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f (8)
x = 7 için
7
f (7 )
x
x = 3 için
f (2) f (3) f (4)
f (8)
.
.
......
 1.2.3......7
f (1) f (2) f (3)
f (7)
f (8)
 7!
f (1)
f (8)
 7!
8
f (8)  7!.8  8!
12) f : R
R ye
3x  1, x  1 
f ( x)   2
 ise,
 x  x, x  1
f (0) ,f (1) ve f (3) değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM:
0<1’dir.
 f (x) = 3x + 1 kullanılır.
x = 0 için f (0) = 3.0 + 1
 f (0) = 1
1 = 1 olduğundan
 f (x) = x2 + x kullanılır.
x = 1 için f (1) = 12 + 1
f (1) = 2
3 > 1 olduğundan
 f (x) = x2 + x kullanılır.
x = 3 için f (3) = 32 + 3  f (3) = 12
FONKSİYON TÜRLERİ
1) İçine Fonksiyon :
f:A
B fonksiyonunda
f (A) ≠ B ise, yani
B tanım kümesinde boş
elemanlar kalıyorsa,
f; içine fonksiyondur.
A
B
.1
.2
.3
.a
.b
.c
.d
(B tanım kümesinde boş elemanlar kalıyor.)
2) Örten Fonksiyon :
f:A
B fonksiyonunda
(f (A) = B) ise f; örten fonksiyondur.
A
B
.a
.b
.c
.1
.2
(B tanım kümesinde boş eleman kalmıyor.)
3) Bire – bir Fonksiyon :
f:A
B fonksiyonu için, A tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri
daima farklı ise; f fonksiyonuna “bire-bir fonksiyon” denir.
A
B
.a
.b
.c
.1
.2
.3
.4
f:A
B bire-bir fonksiyondur.
UYARI : Grafiği verilen bir fonksiyonun bire-bir olup olmadığını anlamak için, x
eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular grafiği birden fazla noktada kesiyorsa fonksiyon
bire-bir değildir.
ÖRNEK :
Aşağıda grafikleri verilmiş olan fonksiyonların bire-bir olup olmadığını gösteriniz.
a)
y
…………………………..
…………………………..
…………………………..
x eksenine çizilen paralel doğrular grafiği birden
fazla noktada kestiği için f : R
R bire-bir
fonksiyon değildir.
x
…………………………..
f
b)
y
…………………g…
…………………….
…………………….
x eksenine çizilen paralel doğruların her biri
grafiği bir noktada kestiği için g : R
R birebir fonksiyondur.
x
…………………….
…………………….
4) Birim (Özdeş) Fonksiyon
f:A
A fonksiyonunda, f fonksiyonunu A kümesinin her elemanını tekrar
kendisine eşliyorsa, f fonksiyonuna “birim fonksiyon” denir.
Birim fonksiyon “I” ile gösterilir.
y
Y = I (x) = x
2 ...........…

1 ......... 
-1



1

 ................ 1
2
x
Yandaki grafikte de görüldüğü gibi,
tanım kümesindeki her eleman
değer kümesinde yine kendine
eşlenmiştir. O halde, y = x doğrusu
birim fonksiyon grafiğidir.
I:RR
Birim fonksiyonun tanım kümesi değer kümesine eşittir.
f (x) birim fonksiyon ise, f (x) = x
ÖRNEK :
f (x) = (3-a) x2 + (b-3) x + c + a fonksiyonun birim fonksiyon olması için a,b,c ne
olmalıdır?
ÇÖZÜM :
f (x) birim fonksiyon ise,
f (x) = x’dir.
O halde; x’in katsayısı 1, sabit terimin ise sıfır olmalıdır.
3-a = 0
a=3
b-3 = 1
b=4
c+a = 0
c+3 = 0
c = -3
5. Sabit Fonksiyon :
f:A
B fonksiyonu için, A kümesinin bütün elemanlar, B kümesinin sadece bir
elemanı ile eşleniyorsa, f fonksiyonu “sabit fonksiyon” dur.
A
.1
.2
.3
B
f
.a
.b
.c
f:A
B fonksiyonu sabit fonksiyon olup,
kuralı; f (x) = b dir.
ÖRNEK :
f (x) = (a+b)x2 + (b-3)x +(3a-b) fonksiyonunun sabit fonksiyon olduğuna göre,
f (27) = ?
ÇÖZÜM :
f (x)’in sabit fonksiyon olabilmesi için, x’in katsayısı sıfır olmalıdır.
a+b = 0
a = -b
a = -3
b-3 = 0
b=3
f (x) = 3a-b
f (x) = 3.(-3) – 3
f (x) = -9-3= -12
f (27) = -12
UYARI 1) f (x) sabit fonksiyon ise
......= f (2) = f (-1) ..... f (302)
2) f (x) sabit fonksiyon olmak üzere,
ax  b
f (x) =
cx  d
a b
  dir.
c d
FONKSİYON SAYISI
s(A) = a, s(B) = b olsun.

A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı : (ba) dır.

a ≤ b olmak üzere; A’dan B’ye tanımlanan bire-bir fonksiyon sayısı;
P (a,b) =
b!
dir.
(b  a)!

A’dan B’ye tanımlanmış sabit fonksiyonların sayısı : (b)’dir.

A’dan A’ya tanımlanmış bire-bir örten fonksiyonların sayısı :
P (a,a) = a! dir.

A’dan A’ya tanımlanan içine fonksiyon sayısı : n2 – n! ’ dir.
ÖRNEK :
A ={a,b,c} ve B = {1,2,3,4,5} kümeleri veriliyor. s(A) = m s(B) = n olsun.
a) A
B ye tanımlı fonksiyon sayısı;
53 = 125
b) A
B ye tanımlı bire-bir fonksiyon sayısı :
n!
(n  m)!
5!
5.4.3.2.1
P (5,3) =

 60
(5  3)!
2.1
P (n,m) =
c) A
B ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı : s(B) = 5
d) A
A ya tanımlı bire-bir örten fonksiyon sayısı :
P (n,n) = n! 3! = 6
FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

(f+g) (x) = f (x) + g (x)

(f-g) (x) = f (x) – g (x)

(f.g) (x) = f (x) . g (x)

(

a Є R olmak üzere ;
(a.f) (x) = k.f (x)
f ( x)
f
) (x) =
(g (x) ≠ 0)
g ( x)
g
ÖRNEKLER
1) f (x) = 2-x
g (x) = 3+3x
2) f : R
R
f (x) = 3x+1
g (x) = x2+2 ise;
a) (f+g) (x) = ?
(f+g) (x) = 2-x+3+3x
= 2x+5
g:R
R
ÇÖZÜM :
(f+g) x = f(x)+g(x)
= 3x+1+x2+2
= x2+3x+3
b) (f.g) x = f(x).g(x)
= (3x+1) (x2+2)
= 3x3+6x+x2+2
= 3x3+x2+6x+2
c) (3f-2g) x = 3f(x) – 2g(x)
= 3(3x+1) – 2(x2+2)
= 9x+3-2x2-4
= -2x2+9x-1
3) f(x) = 2x-1
g(x) = 3x+2
(f.g)(2) + (2f+3)(-2) = ?
= f(2).g(2) + 2f(-2)+3
= 3.8+(-10)+3
= 24-7
= 17
f(2)
= 2.2-1
=3
g(2) = 3.2+2
=8
2f(-2) = (2.-2-1)2
= -10
UYARI : f(x)doğrusal bir fonksiyon ise f(x) = ax+b’dir.
8) f; R’de tanımlı doğrusal bir fonksiyondur.
f(3) = -2
f(8) = 13 ise
f(5) = ?
ÇÖZÜM :
f(x) = ax+b
f(3) = 3a+b = -2
= -3a-b = 2
f(8) = 8a+b = 13
+
5a = 15
a=3
3a+b = -2
9+b = -2
b = -11
f(5) = a.5 + b
= 3.5 + (-11)
= 15 – 11
f(5) = 4
9) f(5) = 6
f(x) = 3-2-f(x+1) ise
f(6) kaçtır?
ÇÖZÜM :
f(x) = ax+b
f(x+2) = a(x+2)+b
f(x+2) = ax+2a+b
f(x)+f(x+2) = 4x-2
(ax+b) + (ax+2a+b) = 4x-2
2ax+2a+2b = 4x-2
2a = 4
a=2
2a+2b = -2
a+b = -1
2+b = -3  b = -3
f(x) = ax+b
f(0) = 2.0-3  f(0) = -3
BİR FONKSİYONUN TERSİ
f fonksiyonu A dan B ye bire-bir örten bir fonksiyon ise; (f -1) fonksiyonuna; “f’in ters
fonksiyonu” denir.
y=f(x)
x
y
x=f -1 (y)
Bir fonksiyonun tersinin bulunuşu :

Bir fonksiyonun tersi bulunurken, x yerine y, y yerine x yazılır. Oluşan
denklemden y çekilir. Bulunan y fonksiyonun tersidir. (f(x) = y)
ÖRNEKLER
R ye olmak üzere;
2x  3
f (x) =
fonksiyonunun tersi nedir?
6
1) f : R
ÇÖZÜM :
1) f(x) yerine y yazılır.
f (x) =
2x  3
2x  3
y=
6
6
2) Bulunan eşitlikte x yerine y, y yerine x yazılır. Ve y çekilir.
2y  3
6
6x = 2y+3
6x-3 = 2y
6x  3
6x  3
 f 1 ( x) 
y=
2
2
x=
2) R’de tanımlı, f(x) = x3-2 olduğuna göre f -1(x) = ?
ÇÖZÜM :
3
f(x) = x3-2
y = x3 – 2
x = y3 – 2
x+2 = y3
x  2  y  f 1 ( x)
3) f={(1,2),(6,3),(5,7),(0,4)} ise;
f(1) + f -1(3) - f -1(7) + f(0) = ?
ÇÖZÜM :
f (1) = 6
f (6) = 3  f -1(3) = 6
f(5) = 7  f -1 (7) = 5
f(0) = 4
= 6+6-5+4
= 12-1
= 11
4) f : R
R , f(x) = (x-1)3 +2 fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?
ÇÖZÜM : y = (x-1)3+2
y-2 = (x-1)3
x-1 = 3 y  2
x =
3
y  2 +1
3
x  2 1  y
f -1 (x) =
3
x  2 1
FONKSİYONUN TERSİNİN BULUNMASI İÇİN KISAYOLLAR
FONKSİYON
TERSİ
* f(x) = ax+b
f -1(x) =
xb
a
cx
b
f -1(x) =
a
dx  b
f -1(x) =
cx  a
ax  b
c
ax  b
* f(x) =
cx  b
* f(x) =
ÖRNEK :
f: R-{
5
}
4
R –{0} olmak üzere
f(x) =
3
fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?
5  4x
ÇÖZÜM :
3
0x  3
=
ise
5  4x  4x  5
 5x  3  5x  3

f -1(x) =
 4x  0
 4x
 5x
3

=
 4x  4x
5 3
= 
4 4x
f (x) =
ÖRNEK :
f : R – {a}
R – {b} olmak üzere,
3x  8
f(x) =
fonksiyonu bire-bir ve örten olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?
x2
ÇÖZÜM :
3x  8
fonksiyonunda x-2 = 0 x = 2 için fonksiyon tanımsızdır. O halde
x2
fonksiyonun tanım kümesi R – {2} dir. a = 2
* f(x) =
2x  8
x=3 olduğunda fonksiyon tanımsızdır.
x3
 R – {3} tür.
b=3
* a+b = 2+3 = 5
* f -1 (x) =
TEK-ÇİFT FONKSİYON
fonksiyonunda x  R için
f:R
* f (-x) = - f (x) koşulunu sağlıyorsa, f fonksiyonu, Tek fonksiyon’dur.
* f (-x) = f(x) koşulunu sağlıyorsa f fonksiyonu, Çift fonksiyon’dur.
ÖRNEK :
f:R
R’ye, f(x) bir çift fonksiyondur.
2f(x) + f(-x)-9x2+6=0 koşulunu sağladığına göre f(x) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
ÇÖZÜM :
f(x) bir çift fonksiyon ise,
f(-x = f(x)’tir.
2f(x) + f(-x) – 9x2 + 6 =0
3f(x) = 9 x2 -6
 f(x) = 3x2 – 2
BİLEŞKE FONKSİYON
f:A
B ve g : B
C fonksiyonları ile verilen h : A
C fonksiyonuna f ile g
fonksiyonuna f ile g fonksiyonunun bileşkesi denir, h = gof şeklinde yazılır ve “g bileşke f ”
şeklinde okunur.
A
B
f
g
f(x)=y
x
C
g(y)=z
veya
g(f(x))=z
veya
gof(x) = z
h = gof
gof : A
x
C
gof (v) = g((f(x)) şeklinde tanımlanır.
BİLEŞKE İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1) (fog)oh = fo(goh)
2) (fof -1) (x) = (f -1 of) (x) = I (x) = x
3) (fog) -1 (x) = (g -1 of) (x)
4) (foI) (x) = (Iof) (x) = f(x)
5) (fog)x = h(x) ise f(x) = (hog -1) (x) veya g(x) = (f -1oh) (x)
6) (fog) (x) = (gof) (x) = x ise f(x) = g -1(x) veya f -1(x) = g (x) tir.
ÖRNEKLER
1) f ve g R den R ye tanımlı iki fonksiyondur.
f (x) = 2x+1
g (x) = 3x-2
olduğuna göre, (fog) (x) + (gof) (x) toplamı nedir?
ÇÖZÜM :
(fog) (x) = f (g(x))
= 2.g(x) +1
= 2(3x-2) +1
= 6x-3
gof (x) = g (f(x))
= 3 (f(x))-2
= 3(2x+1)-2
= 6x+1
= (fog) (x) + (gof) (x)
= (6x-3) + (6x+1)
= 12x-2
2) R
R’ye
f (x) = 4x+1 ve fog(x) = 2x+3 ise g(x) kaçtır?
ÇÖZÜM :
I. yol
(fog) (x) = 2x+3
f [g(x)] = 2+3
4g(x)+1 = 2x+3
4g(x) = 2x+2 g(x) =
2x  2 x  1

4
2
FONKSİYONLARIN BİRBİRİ CİNSİNDEN YAZILMASI
ÖRNEK :
f(x) =
x 1
ise f(x+1)’in f(x) cinsinden değerindedir.
x 1
ÇÖZÜM :
f(x) =
f(x) =
x 1
 (x-1).f(x) = x+1
x 1
= (x) f(x) – f(x) = x+1
= (x) f(x) – x = 1+f(x)
= x (f(x) -1) = 1 + f(x)
1  f ( x)
 x=
olur.
f ( x)  1
x 1
( x  1)  1
 f(x+1) =
x 1
( x  1)  1
x2
f(x+1) =
dir.
x
f(x+1) =
1  f ( x)
2
 1  f ( x)
f(x+1) =
1  f ( x)  2 f ( x)  2
f ( x)  1
f(x+1) =
3 f ( x)  1
bulunur.
f ( x)  1
1  f ( x)
2
f ( x)  1
1  f ( x)
f ( x)  1
PERMUTASYON FONKSİYON
f : A
A fonksiyonu, “bire-bir ve örten” fonksiyon ise, f fonksiyonuna; A
kümesinin bir “permütasyonu” denir.
Örneğin : A={a,b,c} ve f(a) = 3, f(b)=1, f(c) = 2 ile tanımı f : A
A={a,b,c} kümesinin bir permütasyonudur.
abc
Burada f permütasyonu, f = ( 3 1 2 ) olarak ifade edilir.
ÖRNEK :
A = {a,b,c,d} kümesinin
abcd
abcd
f = ( b c a d ) ve g = ( c b a d ) permütasyonları veriliyor.
-fog permütasyonunu bulunuz.
A fonksiyonu,
ÇÖZÜM :
A
B
g
C
f
.a
.c
.a
.b
.b
.c
.c
.a
.b
.d
.d
.d
fog
a) Şekle göre,
fog = ( a b c d ) olur.
acbd
BİR FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
Bir fonksiyonun elemanlarına, analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine
bu fonksiyonun grafiği denir.
ÖRNEK :
y
y = f (x)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
4 ...............…

f(2) + f(3) + f(0) + f(1) toplamı nedir?


ÇÖZÜM : f(2) = 0, f(3) = 4, f(0) = -8,
1
2
3
x
-1 ....... 
1
-8
f(1) = -1 olduğundan,
f(2) + f(3) + f(0) + f(1) = 0 + 4 – 8 – 1 = - 5
bulunur.
KONUYLA İLGİLİ ÖRNEK SORU ÇÖZÜMLERİ
1) f : R
R f(x) =2x + 3 fonksiyonu veriliyor.
f ( x  1)
ifadesinin eşiti nedir?
f ( x)
ÇÖZÜM :
f(x) = 2x +3
f(x+1) = 2x +1+3
= 2x+4
f ( x  1) 2 x  4
 x 3  2 x  4 x 3  2 bulunur.
f ( x)
2
R, f(x) = 3x+5 fonksiyonu veriliyor.f(2x+3) fonksiyonun f(x) cinsinden eşiti
2) f : R
nedir?
ÇÖZÜM :
f(x) = 3x+5
f(2x+3) = 3(2x+3)+5 = 6x+14
f(2x+3) 6x+10+4
f(2x+3) = 2(3x+5)+4 = 2f(x)+4 bulnur.
3) f(x) =
x  2 f ( x)  1
ise f -1(x) nedir?
x 1
ÇÖZÜM :
f(x) =
x  2 f ( x)  1
ise
x 1
(x+1).f(x) = x-2f(x)+1
(x+1).f(x) +2f(x) = x+1
f(x) (x+1+2) = x+1
 f(x) =
f(x) =
x 1
olur.
x3
x 1
x3
f -1(x) =
 3x  1
bulunur.
x 1
R’ ye
4) f,g : R
f(x) = 2x-1, g -1(2x+3) = x ise gof -1(x) kaçtır?
ÇÖZÜM :
g -1 (2x+3) = x  g(x) = 2x+3’ dür.
x 1
f(x) = 2x-1  f -1 (x) =
’ dir.
2
x 1
gof -1 (x) = (2x+3) 0 (
)
2
= x+1+3 = x+4 bulunur.
5) f: R
R f(3x+2) = x2 – x+2 olduğuna göre f(5) + f(2) toplamı nedir?
ÇÖZÜM :
f(3x+2) = x2 – x+2
3x+2 = 5  x=1
x = 1 için f(5) =1-1+2 = 2
3x+2 = 2  x= 0
x = 0 için f(2) = 0-0+2 = 2
f(5) + f(2) = 2+2 = 4 olur.
6) f(x) = x2+3, g(x) = 2x+a olduğuna göre (gof) -1(3) = 2 ise a kaçtır?
ÇÖZÜM :
(gof) -1 (3) = 2  gof (2) = 3
g[f(2)] = 3  g(7) = 3
14 + a = 3  a = -11 olur.
7) f (x+3)-f(x) = 2x+1 ise f(10) – f(1) farkı kaçtır?
ÇÖZÜM:
x = 1 için f (11) – f(1) = 3
x = 4 için
f (7) – f(4) = 9
x = 7 için
f(10) – f(7) = 15
+
f(10) – f(1) = 3 + 9 + 15 = 27 olur.
8) f (2x – x2 + 1 ) = 2x24x + 3 ise, f(x) nedir?
ÇÖZÜM :
f(2x-x2+1) = 2x2 – 4 x+3
2x – x2 = + alalım. Bu durumda
f(t+1) = -2++3  f(t) = -2(t-1)+3
 f(t) = -2++2+3
 f(t) = -2++5 olur.
O halde, f(x) = -2x+5 bulunur.
9) (f+g) (x) = 3x+5 ve
(2f-g) (x) = 6x-2 ise
(f-g) (x) = ?
ÇÖZÜM :
f(x) + g(x) = 3x+5
2f(x) – g(x) = 6x – 2
3f(x) = gx+3
f(x) = 3x +1
f(x) + g(x) = 3x+4
(3x+1)+g(x) =3x+4
g(x) = 4
(f-g) (x) = f(x) –g(x)
= (3x+1) -4
= 3x-3 olur.
10) f(x) = 2x+1 ise (
f .g
) (0) ifadesinin değeri nedir?
f g
ÇÖZÜM :
(
f .g
f (0). g (0)
) (0) =
f g
f (0)  g (0)
f ( 0 )  2 .0  1  1
g ( 0)  3  0  3
1.3
3
 bulunur.
1 3 4
11) f : R
R ye
 x  3 x  2
f(x) = 
 ise (f ofof) (1) nedir?
2 x  1 x  2
ÇÖZÜM :
f [f [f(1)]] = ?
f [f [1+3]] = f [f(4)]
= f(4.2-1)
= f(7) = 7.2-1
= 13 bulunur.
12) f : R
R ye f(x) = 2x+5
f2 = fof olduğuna göre f2 (x) = -5 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
ÇÖZÜM :
f2 (x) = -5 ise fof(x) = -5 dir.
f [ f(x) ] = -5
f (2x+5) = -5
2(2x+5) + 5 = -5
4x+15= -5
4x = -20
x = -5 ‘tir.
13)
y
-2
2
y = f(x) eğrisinin grafiği verilmiştir. f(x) < 0
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tamsayısı
vardır?
6
x
0
14) f(x) =



............
ÇÖZÜM : -2 ile 6 arasındaki sayıların
görüntüleri grafikten görüldüğü gibi negatiftir.
Yani -2<x<6 için f(x) < 0 olduğundan bu
aralıktaki tam sayılar -1,0,1,2,3,4,5 olmak
üzere 7 tanedir.
x  3  7  x fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
ÇÖZÜM :
x-3 ≥ 0 ve 7-x > 0 olmalıdır.
x-3 ≥ 0  x ≥ 3
x+7 ≥ 0  x ≤ 7
En geniş tanım kümesi [3,7] kapalı aralığıdır.
15) g : R
f : R2
R, g(x) = x-2
x  24
R f(x,4) =
olduğuna göre, gof (2,1) nedir?
3x  y
ÇÖZÜM :
22 4

6 1 5
4
4
6
g( )   2 
5
5
5
gof(2,1) = g [f(2,1)]
4
6
=g( )
olur.
5
5
f (2,1) =
16) f(x+1) – f(x) = x2 koşuluna uyan f(x) fonksiyonu için f(5) – f(2) nedir?
ÇÖZÜM :
x = 4 için f(5) – f(4) = 16
x = 3 için f(4) – f(3) = 9
x= 2 için f(3) – f(2) = 4 bulunur.
Bu eşitlikleri taraf tarafa topladığımızda;
f(5) – f(2) = 16+9+4 = 29 olur.
17) f : R
R f(3x+1) = x2 + x +5 olduğuna göre f(27) nedir?
ÇÖZÜM :
3x+1 = 27  3x+1 = 33  x = 2
f(3x+1) = x2 + x + 5 eşitliğinde x yerine 2 yazalım.
f(27) = 4 + 2 + 5 = 11 olur.
18) f : (x) = 2mx–3x+6m+4 ve f(x) sabit bir fonksiyon olduğuna göre, f(x) fonksiyonu
nedir?
ÇÖZÜM :
f(x) = (2m-3)x+6m+4
f(x) sabit ise  2m-3=0
2m = 3
3
m=
2
3
3
-3)x+6. +4
2
2
f(x) = 0.x+9+4
= 13
f(x) = (2.
R f(x2+2x) = 3x2+6x+7 ise f(x) fonksiyonu nedir?
19) f : R
ÇÖZÜM :
f(x2+2x) = 3x2+2x) +7 eşitliğinde x2+2x = x yazalım f(x) = 3(x)+7 = 3x+7 bulunur.
20) f(x) = 4x+3 ve (f -1og) (x) = 2f -1(x) ise, g(x) kaçtır?
ÇÖZÜM :
f(x) = 4x+3 ise f -1(x) =
x3
tür.
4
(f -1og) (x) = 2f -1(x)
 f -1 [g(x)] = 2f -1 (x)
g ( x)  3
x3
2

4
4
 g(x) -3 = 2x-6
 g(x) = 2x-3
21) Tanımlı olduğu değerler için, f(m-x) =
x 1
ve f -1(3) = 1 ise m kaçtır?
x3
ÇÖZÜM :
f(m-x) =
x 1
x3
x 1
) = m-x (I) olsun.
x3
x 1
 3 x-1=3x+9
x3
2x=-10 x=-5 olur.
(I) eşitliğinden x= -5 yazarsak,
f -1 (
 5 1
) = m-(-5)
53
 f -1 (3) = m+5
 1 = m+5 m= -4 bulunur.
f -1 (
22) f(x) =
2 f ( x)  1
bağıntısını sağlayan f(x) fonksiyonu için f -1 (x) nedir?
x3
ÇÖZÜM :
2y 1
eşitliğinde y yalnız bırakılırsa,
x3
yx-3y = 2y+1
1
y=
x5
0x  1
5x  1
 f 1 ( x) 
f(x) =
olur.
x5
x
y=
R, f(x) = (2m-4) x + 3n-1 fonksiyonunun birim fonksiyon olması için m ve n
23) f : R
ne olmalıdır?
ÇÖZÜM :
f(x) birim fonksiyon ise f(x) = x
2m -4 = 1, 3n-1 = 0 dır.
2m = 5
3n = 1
5
1
m=
n=
2
3
24) (f.g) (x) = x3 – 3x+2 ve f(x) = x2+4 olduğuna göre g(2) nedir?
ÇÖZÜM :
f(x).g(x) = x3-3x+2
53  3x  2
g(x) =
f ( x)
3
x  3x  2
g(x) =
x2  4
 g(2) =
=
862
44
1
bulunur.
2
25) f(x) = 5x-3 fonksiyonu veriliyor. f(2x+1) fonksiyonunun f(x) cinsinden değeri nedir?
ÇÖZÜM :
f ( x)  3
(I)
5
f(x) = 5x-3  f(2x+1) = 5(2x+1) -3
 f(2x+1) = 10x+2 olur.
f(x) = 5x-3  x =
Bu eşitlikte x yerine (I) değerini yazarsak,
f(2x+1) = 10x+2
f ( x)  3
f(2x+1= 10.
+2
5
f(2x+1) = 2f(x) = 2f(x) +8 bulunur.
26)
y




............
-2
4
g(x) = 3
Yandaki şekilde y = f(x) fonksiyonu ve
g(x)= 3 sabit fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Buna göre; (f+g) (-2) + (gof) (3) toplamı
kaçtır?
2
f(x)
ÇÖZÜM :
(f+g) (-2) + (gof) (3) = f(-2) +g(-2) + g[f(3)]
= 4 +3 + 3
= 10’dur.
27) f tek g çift fonksiyondur. f(2) = 6, g(-2) = 4 olduğuna göre, (f+g)(2)+(f-g)(-2)
toplamının değeri kaçtır?
ÇÖZÜM :
f tek fonksiyon olduğundan, f(2) = 6 ise, f(-2) = -6 ‘dır.
g çift fonksiyon olduğundan, g(-2) = 4 ise, g(2) = 4’tür.
Buna göre; (f+g)(2)+(f-g)(-2) = f(2)+g(2)+f(-2)-g(-2)
= 6+4+(-6)-4
= 0’dır.
28) y = f(x) fonksiyonu tanımlı olduğu aralıkta x.f(x)+a.x = 2f(x)-6 f -1 (2) = 5 olduğuna
göre a kaçtır?
ÇÖZÜM :
f -1(2) = 5 ise f(5) = 2’dir. x.f (x) + ax = 2f(x)-6 denkleminde x=5 yazarsak; x = 5 için
5 f(5) + a.5 = 2(f(5)) – 6
5.2 + 5.a = 2.2-6
10+5.a = -2
5a = -12
 12
a=
bulunur.
5
29) A= {1,2,3,4,5}kümesi üzerinde tanımlı f ve fog fonksiyonları;
12345 

f = 
 35124 
12345 

fog = 
 45231
olduğuna göre (gof -1) (1) in değeri kaçtır?
ÇÖZÜM :
12345 
 ise f -1(1) =3 ve f -1(2) = 4 tür.
f = 
 35124 
12345 
 ise f[g(3)] = 2
fog(x) = 
 45231
g(3) = f -1(2)
g(3) = 4 tür.
O halde;
(gof -1) (1) = g [f-1(1)]
= g(3)
= 4 bulunur.
f ( x  2) x  m
bağıntısını gerçekleyen f(x) fonksiyonunun grafiği, (3,-1) ve (2,4)

f (3  x) x  m
noktalarından geçiyorsa, m kaçtır?
30)
ÇÖZÜM :
f(x) fonksiyon grafiği (3,-1) ve (2,4) noktalarından geçtiğine göre;
(3,-1) Є f  f(3) = -1
(2,4) Є f  f(2) = 4’tür.
f ( x  2) x  m
eşitliğinde x yerine 1 yazarsak,

f (3  x) x  m
f (1  2) 1  y
1 1 m



f (3  1) 1  m
4 1 m
 3m  5
m
5
3
olur.