{ b ∈ Q | (a, b)=1 ve 6 b} kümesini ele alalım. Rasyonel sayılar

SOYUT CEBI·R
SORULAR
1. S = ab 2 Q j (a; b) = 1 ve 6 - b kümesini ele alal¬m. Rasyonel say¬lar halkas¬üzerinde
tan¬ml¬adi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
2. K = ab 2 Q j (a; b) = 1 ve 5 - b kümesini ele alal¬m. Rasyonel say¬lar kümesi üzerinde tan¬ml¬adi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz. Olmuyor ise nedenini aç¬klay¬n¬z.
3. R kümesi halka olma koşullar¬ndan her a; b 2 R için a + b = b + a koşulu hariç
di¼
ger koşullar¬sa¼
glayan bir sistem olsun. E¼
ger R birimli ise R nin bir halka oldu¼
gunu
gösteriniz.
4. R s¬f¬r bölensiz bir halka, a; b 2 R ve a 6= 0 olsun. Bu taktirde ax = b denkleminin R
halkas¬nda en fazla bir çözümünün var oldu¼
gunu gösteriniz.
5. g : R R R ! R; g(x; y; z) = x
olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
2y + 3z ile tan¬mlanan fonksiyonun örten olup
6. m 2 Zn s¬f¬r bölen elemand¬r , (m; n) 6= 1 dir. Gösteriniz.
7. R birimli bir halka, her x 2 R
olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
f0g için, x2 = 1R olsun. R halkas¬n¬n bir cisim olup
8. R; çift tamsay¬lar kümesi 2Z olsun. Tamsay¬lar kümesi üzerinde tan¬ml¬bulunan adi
toplama ve çarpma işlemlerine göre R = 2Z kümesinin bir halka oldu¼
gunu gösteriniz.
9. A taml¬k bölgesi, charA = 0 olsun. 0 6= n 2 Z için na = 0 ) a = 0 oldu¼
gunu gösterin.
10. R bir halka olsun. M (R) = fa 2 R j 8x 2 R için ax = xag
s¬ndaki işlemlere göre bir halka oldu¼
gunu gösteriniz.
R kümesinin R halka-
11. R bir halka ve a 2 R key… sabit bir eleman¬olsun. Ra = fx 2 R j ax = 0g altkümesini
tan¬mlayal¬m. Ra kümesinin R halkas¬ndaki işlemler ile bir halka olup olmad¬g¼¬n¬
gösteriniz.
12. R bir halka ve b 2 R olsun. CR (b) = fx 2 R j xb = bxg kümesinin bir althalka olup
olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
p
13. Bilinen adi toplama ve çarpma işlemlerine göre Z(2) = a + b 2 j a; b 2 Z kümesinin
bir halka oldu¼
gunu gösteriniz.
14. Katsay¬lar¬R halkas¬nda olan bütün polinomlar¬n R [X] kümesinin polinomlar¬n toplama
ve çarpma işlemleri ile bir halka oldu¼
gunu gösteriniz.
p
15. i =
1 olmak üzere Z [i] = fa + bi j a; b 2 Zg kümesinin bir taml¬k bölgesi oldu¼
gunu
fakat bir cisim olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
16. R bir taml¬k bölgesi ve 0 6= a 2 R olsun. T : R ! R; T (x) = ax ile tan¬mlanan
dönüşümün bire bir fonksiyon oldu¼
gunu ve e¼
ger R sonlu elemanl¬ ise bu dönüşümün
örten oldu¼
gunu gösteriniz.
1
17. (Z; +; ) halkas¬ve 2Z = f2x j x 2 Zg kümesi verilsin. 2Z kümesinin bir alt halka fakat
12
= 2Z oldu¼
gunu gösteriniz.
18. I·ki elemanl¬bütün halkalar¬belirleyiniz.
19. Bir R halkas¬nda x2 = x oluyorsa x eleman¬na idempotent eleman denir. Z30 halkas¬n¬n bütün idempotent elemanlar¬n¬belirleyiniz.
20. Bir R halkas¬nda xn = 0 olacak şekilde bir n 2 Z tamsay¬s¬ var ise x eleman¬na
nilpotent eleman denir. Z30 halkas¬n¬n bütün nilpotent elemanlar¬n¬bulunuz.
21. Zn halkas¬bir taml¬k bölgesidir , n bir asal tamsay¬d¬r.
22. Bir cisimde birimi bulunduran her althalkan¬n bir taml¬k bölgesi oldu¼
gunu gösteriniz.
23. A bir sonlu taml¬k bölgesi olsun.
(a) 0 6= a 2 A olsun. 0 6= n ve na = 0 ise n tamsay¬s¬n¬n A halkas¬n¬n karakteristi¼
ginin
bir kat¬oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) A halkas¬n¬n karakteristi¼
gi 0 ve 0 6= n için na = 0 ise a = 0 oldu¼
gunu gösteriniz.
(c) charA = 3 ve 5a = 0 ise a = 0 oldu¼
gunu gösteriniz.
(d) A halkas¬nda (a + b)2 = a2 + b2 olacak şekilde s¬f¬rdan farkl¬a ve b elemanlar¬var
ise A n¬n karakteristi¼
ginin 2 oldu¼
gunu gösteriniz.
24. A sonlu, birimli ve de¼
gişmeli bir halka olsun.
(a) A n¬n s¬f¬rdan farkl¬her eleman¬n¬n ya s¬f¬r bölen veya tersinir oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) 0 6= a ve s¬f¬r bölen de¼
gil ise am = 1 olacak şekilde bir pozitif m tamsay¬s¬n¬n
varl¬g¼¬n¬ gösteriniz. (Y.G: a; a2 ; a3 ; : : : ele al¬p, A sonlu oldu¼
gundan an = am
olacak şekilde n < m pozitif tamsay¬s¬n¬n bulunmas¬gereklili¼
gini kullan¬n¬z.)
25. A bir taml¬k bölgesi, a 2 A; charA = p ve na = 0 olsun. E¼
ger n; p tamsay¬s¬n¬n bir
kat¬de¼
gilse a = 0 oldu¼
gunu gösteriniz.
26. R bir halka ve bir a 2 R için, a2 = 0 olsun. a eleman¬n¬n her x 2 R için, ax + xa
eleman¬ile de¼
gişmeli oldu¼
gunu gösteriniz.
27. Aşa¼
g¬dakileri gösteriniz.
(a) R bir bölüm halkas¬olmak üzere
ab = 0 ) a = 0 veya b = 0
(b) Bir cisminde,a2 = b2 ) a = b veya a =
b
28. Z tamsay¬lar halkas¬nda tersinir elemanlar¬n sadece 1 ve
29. Z5 halkas¬n¬n tersinir (birimsel) elemanlar¬n¬bulunuz.
2
1 oldu¼
gunu gösteriniz.
30. Z
Q
31. Z6
Z halkas¬n¬n tersinir (birimsel) elemanlar¬n¬bulunuz.
Z15 halkas¬n¬n karakteristi¼
gini bulunuz.
32. Aşa¼
g¬da tan¬mlanan ba¼
g¬nt¬lar¬n bir fonksiyon olup olmad¬g¼¬n¬, birimi birime götürüp
götürmedi¼
gini ve f (xy) = f (x)f (y) özelli¼
gini sa¼
glay¬p sa¼
glamad¬g¼¬n¬, sa¼
glam¬yor ise bir
örnek vererek gösteriniz.
a) f : Z !3Z; f (x) = 3x
b) g : M (2; R) ! R; g
a b
c d
= a: (Burada M (2; R); Z cismi üzerindeki 2
2
lik matrisler halkas¬)
c) h : Z
Z ! Z, h(a; b) = ab
d) p : Z5 ! Z5 ; p(x) = x5
e) q : Z4 ! Z4 ; q(x) = x4
33. A bir sonlu taml¬k bölgesi olsun. (a + b)2 = a2 + b2 olacak şekilde s¬f¬rdan farkl¬a ve b
elemanlar¬var ise A n¬n karakteristi¼
ginin 2 oldu¼
gunu gösteriniz.
34. S¬f¬rdan farl¬r; s 2 R için, r2 + s2 = 0 olan bir halka örne¼
gi veriniz.
35. Z42 halkas¬n¬n tersinir elemanlar¬n¬n kümesi U42 bulunuz.
36. Z2
Z3 halkas¬ndaki s¬f¬r bölenleri ve tersinir elemanlar¬bulunuz.
37. F bir cisim ise F [X] polinom halkas¬n¬n bir taml¬k bölgesi oldu¼
gunu gösteriniz.
38. Z3 [X] halkas¬nda p(x) = x2
teriniz.
39. R[X] halkas¬nda x2
40. Z16 [X] halkas¬nda x2
x
x
1 polinomunun indirgenemez olup olmad¬g¼¬n¬gös-
1 indirgenemez olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
6x + 5 polinomunu iki farkl¬olarak çarpanlar¬na ay¬r¬n¬z.
41. F bir cisim ve 0 6= a 2 F olsun. a eleman¬bir f (x) 2 F [X] polinomunun bir kökü ise
a 1 2 F eleman¬n¬nda bir kök oldu¼
gunu gösteriniz.
42. x6 + x
6 = 0 denklemini Z14 halkas¬nda bütün çözümlerini bulunuz.
43. x2 + x + 1 2 Z[X] polinomunun indirgenemez polinom oldu¼
gunu gösteriniz.
44. 2x4 + 3x3 + x + 1 polinomunun, 3x2 + 1 polinomuna bölümünden kalan¬n¬buunuz.
45. x2 + x + 1 polinomunun 2x + 3 polinomuna Z5 [X] halkas¬nda bölümünden kalan¬n¬
bulunuz.
46. x2 + 2 polinomu Z3 [X] halkas¬nda indirgenemez polinomlar¬n çarp¬m¬ olarak (x2 +
2) = (x + 1)(x + 2) yaz¬l¬r. Z3 [X] halkas¬nda x2 + 2 polinomunun farkl¬indirgenemez
polinomlar¬n çarp¬m¬olarak yaz¬n¬z.
3
47. H = Z2 Z halkas¬ve A = f(x; 2y) : x 2 Z2 ; y 2 Zg olsun. A kümesinin H halkas¬n¬n
bir ideali oldu¼
gunu gösteriniz. Ayr¬ca H A halkas¬n¬belirleyiniz.
48. R bir de¼
gişmeli halka, ? 6= X
R altkümesi olsun. Buna göre
Ann(X) = fa 2 R : ax = 0; 8x 2 Xg
olarak tan¬mlanan altkümesi olsun.
(a) Ann(X); R halkas¬n¬n bir ideali,
(b) X
Y ise Ann(Y )
Ann(X) oldu¼
gunu,
(c) Ann(X [ Y ) = Ann(X) \ Ann(Y ) oldu¼
gunu,
(d) X
Ann(Ann(X)) oldu¼
gunu
gösteriniz.
49. A; R halkas¬n¬n bir ideali olsun. Buna göre, her S
S nin bir ideali oldu¼
gunu gösteriniz.
R alt halkas¬için, A\S kümesinin
50. I ve J, R halkas¬n¬n iki ideali olsun.
)
( n
X
ik jk j 8k 2 Z+ için, ik 2 I; jk 2 J
IJ =
k=1
kümesinin R halkas¬n¬n bir ideali oldu¼
gunu gösteriniz.
51. I, R halkas¬n¬n bir sol ideali olsun.
J = fr 2 R j 8x 2 I için, rx = 0g
kümesinin bir ideal olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
52. p bir asal say¬ve R =
a
b
j a; b 2 Z; b 6= 0 ve p - b kümesi olsun.
(a) R kümesinin Q rasyonel say¬lar halkas¬n¬n bir alt halkas¬oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) R halkas¬n¬n tersinir elemanlar¬n¬bulunuz.
(c) R halkas¬n¬n tersinir olmayan elemanlar¬n¬n kümesi M nin bir ideal oldu¼
gunu
gösteriniz.
53. Aşa¼
g¬daki kümelerin Z
Z halkas¬n¬n ideali olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
(a) f(n; n) j n 2 Zg
(b) f(5n; 0) j n 2 Zg
(c) f(n; m) j n
m çift tamsay¬g
(d) f(n; m) j nm çift tamsay¬g
(e) f(2n; 3m) j n; m 2 Zg
4
54. Z12 halkas¬n¬n bütün ideallerini bulunuz.
55. A bir halka, f : A ! A halka homomor…zmas¬ve B = fx 2 R j f (x) = xg olsun. B
kümesinin A halkas¬n¬n bir althalkas¬oldu¼
gunu gösteriniz.
56. A bir halka ve J; K iki ideali olsun.
(a) J \ K = f0g ise 8j 2 J ve 8k 2 K için jk = 0 oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) A de¼
gişmeli bir halka olsun. a 2 A için
Ia = fax + j + k j x 2 A; j 2 J; k 2 Kg
kümesinin A n¬n bir ideali oldu¼
gunu gösteriniz.
(c) A de¼
gişmeli bir halka olsun. a 2 A için
K = fx 2 A j ax = 0g
kümesinin A n¬n bir ideali oldu¼
gunu gösteriniz.
57. Z tamsay¬lar halkas¬n¬n bir esas ideal bölgesi oldu¼
gunu gösteriniz.
58. R birimli de¼
gişmeli bir halka ve M bir ideali olsun. Bir a 2 R ve a 2
= M eleman¬
için, I = fm + ra j r 2 R; m 2 M g kümesini tan¬mlayal¬m. I kümesinin, M idealini
kapsayan bir ideal oldu¼
gunu gösteriniz.
59. R birimli de¼
gişmeli bir halka ve I (6= R) bir ideali olsun. R=I bir taml¬k bölgesidir
, ab 2 I ise ya a 2 I veya b 2 I olur. Gösteriniz.
60. I; R halkas¬n¬n bir ideali olsun. R=I halkas¬ndaki her eleman için, x2 = x denkleminin
sa¼
glanmas¬için gerek ve yeter koşulun her a 2 R için, a2 a 2 I olmas¬d¬r. Gösteriniz.
61. Q[X] halkas¬nda, f (x) = x2 x 2 ve g(x) = x2 + 2x 3 fonksiyonlar¬olmak üzere
hff; ggi ile üretilen ideali ve bu idealin bir esas ideal olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
62. Z8 halkas¬n¬n S = 0; 2; 4; 6 alt kümesini ele alal¬m.
a) S kümesinin bir ideal oldu¼
gunu gösteriniz.
b) Z8 =S halkas¬n¬n elemanlar¬n¬belirleyiniz.
63. Z tamsay¬lar halkas¬nda A =< 2 > ve B =< 8 > alt gruplar¬veriliyor.
a) A=B grubunun Z4 grubuna izomor…k oldu¼
gunu,
b) A ve B nin Z halkas¬n¬n idealleri oldu¼
gunu
c) A=B halkas¬n¬n Z4 halkas¬na izomorf olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
64. Z2 [X]= < x2 + x + 1 > bölüm halkas¬n¬n 4 elemanl¬bir cisim oldu¼
gunu gösteriniz.
65. R birimli de¼
gişmeli bir halka olsun. R halkas¬ndaki tersinir olmayan elemanlar¬n kümesi
N olsun. N nin bir ideal oldu¼
gunu gösteriniz.
5
66. Z[X] polinomlar halkas¬nda, f (x) = x 3 ve g(x) = 2 polinomlar¬ veriliyor. Bu
polinomlar ile üretilen ideali belirleyiniz ve esas ideal olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
67. Q[X] polinomlar halkas¬nda, f (x) = x2 4 ve g(x) = x2 x 2 polinomlar¬veriliyor.
Bu polinomlar ile üretilen ideali belirleyiniz ve esas ideal olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
68. R bir taml¬k bölgesi ve I; J; R nin s¬f¬rdan farkl¬iki ideali olsun. O zaman I \J 6= f0R g
oldu¼
gunu gösteriniz.
69. R bir halka ve A ideali s¬f¬r bölensiz olsun.
(a) r 2 R için, ra = 0 olacak şekilde 0 6= a 2 A var ise rA = (0) oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) B = fr 2 R j rA = (0)g kümesinin R halkas¬n¬n bir ideali oldu¼
gunu gösteriniz.
(c) R=B halkas¬n¬n s¬f¬r bölensiz olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
70. Q[X] polinomlar halkas¬nda, f (x) = x2 9 ve g(x) = x2 2x 3 polinomlar¬veriliyor.
Bu polinomlar ile üretilen ideali belirleyiniz ve esas ideal olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
71. R birimli bir halka, I ideali olsun. J; R halkas¬n¬n tersinir elemanlar¬n¬n kümesi olmak
üzere, I \ J 6= ? ise I = R oldu¼
gunu gösterin.
72. R birimli, de¼
gişmeli halka, A ve B iki ideali olsun. A + B = R ise A \ B = AB
oldu¼
gunu gösterin.
73. Z[x] polinomlar halkas¬nda, 2 ve x taraf¬ndan üretilen ideali bulun. Esas ideal olup
olmad¬g¼¬n¬belirleyin.
74. R de¼
gişmeli bir halka olsun. Bu durumda a; b 2 R için, (a)(b) = (ab) oldu¼
gunu
gösteriniz.
75. Z[x] polinomlar halkas¬nda, 3 ve x2 polinomlar¬taraf¬ndan üretilen ideali bulunuz ve
bu idealin esas ideal olup olmad¬g¼¬n¬belirleyiniz.
76. Aşa¼
g¬daki sorularda verilen kümelerin Z
lirleyiniz. Nedenini aç¬klay¬n¬z.
a) 8Z
Z halkas¬n¬n bir ideali olup olmad¬g¼¬n¬be-
11Z
b) h(8; 11)i
c) S = f(a; b) j a + b = 0g
d) T = f(a; b) j a b = 0g
77. M (2; R) halkas¬n¬n iki yanl¬ideallerinin sadece f0g ve halkan¬n kendisi oldu¼
gunu gösteriniz.
78. I bir R bölüm halkas¬n¬n sol ideali olsun. I = f0g veya I = R oldu¼
gunu gösteriniz.
79. R birimli bir halka, f : R ! S örten halka homomor…zmi ve bir r 2 R eleman¬tersinir
olsun. f (r) 2 S tersinirdir, r 2
= ker f oldu¼
gunu gösterin.
6
80. f : R ! S; s¬f¬rdan farkl¬bir halka homomor…zmas¬olsun. S halkas¬s¬f¬r bölensiz ve
R birimli bir halka ise S halkas¬n¬n da birimli oldu¼
gunu gösteriniz.
81. Reel say¬lar cismi R üzerinde tan¬ml¬2 2 lik matrislerin halkas¬R2 olsun. f : C ! R2 ;
a b
f (a + ib) =
ile tan¬mlanan ba¼
g¬nt¬n¬n bir halka monomor…zmi oldu¼
gunu
b a
gösterininz.
82. Her a; b 2 Z için, ab = a + b + 1 ve ab = ab + a + b ile tan¬mlans¬n.
(a) (Z; ; ) n¬n bir halka oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) (Z; ; ) halkas¬n¬n, Z halkas¬na izomorf oldu¼
gunu gösteriniz.
83. R bir halka ve f; g : Q ! R bir halka homomor…zmi olsun. f (1) = g(1) ise f = g
oldu¼
gunu gösteriniz.
84. Z10 halkas¬n¬ve I = f0; 5g altkümesini alal¬m.
a) I; Z10 halkas¬n¬n ideali midir?
b) Z10 =I kümesinin elemanlar¬n¬bulunuz.
c) Z10 =I halka m¬d¬r? Neden?
85. R bir halka ve I onun s¬f¬rdan farkl¬bir ideali olsun.
(a) R I daki çarpma işleminin iyi tan¬ml¬oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) R I de¼
gişmelidir , her a; b 2 R için, ab
ba 2 I oldu¼
gunu gösteriniz.
86. F bir cisim ve a 2 F olsun.
F [X] (x
a)F [X] = F
oldu¼
gunu gösteriniz.
p
p
p
p
p
p
87. Her a + b 2 2 Z[ 2] için, f (a + b 2) = a b 2 ile tan¬ml¬ f : Z[ 2] ! Z[ 2]
fonksiyonunun bir izomor…zma oldu¼
gunu gösteriniz.
88. R ve S iki halka olmak üzere, R = S ise R halkas¬n¬n merkezi ile S halkas¬n¬n merkezinin
izomorf oldu¼
gunu gösteriniz.
89. R bir birimli halka ve n
2 olmak üzere
R halkas¬3üzerinde tan¬mlanan n n lik
2
1 0
0
6 0 0
0 7
6
7
matrisler halkas¬Mn (R) olsun. E11 = 6 .. ..
.. 7 matrisi olmak üzere, f : Z !
4 . .
. 5
0 0
0
Mn (R); f (n) = nE11 ile tan¬mlanan ba¼
g¬nt¬n¬n bir halka homomor…zmas¬oldu¼
gunu ve
birimi birime götürmedi¼
gini gösteriniz.
7
90. Aşa¼
g¬da tan¬mlanan
f : Z24 ! Z4
x ! x
dönüşümün bir halka homomor…zmas¬oldu¼
gunu gösteriniz.
91. ; 6= S bir küme ve R bir halka olsun. M = ff j f : S ! R; bir fonksiyong kümesini
tan¬mlayal¬m.
(a) M kümesinin, x 2 S için
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f g)(x) = f (x)g(x)
işlemleri ile bir halka oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) s 2 S olmak üzere
T : M ! R
f ! f (s)
ile tan¬mlanan ba¼
g¬nt¬n¬n bir halka epimor…zmas¬oldu¼
gunu gösteriniz.
92. R bir halka ve S = R
R olsun.
(a) Aşa¼
g¬da tan¬mlanan
:
S
! S
(x; y) ! x
dönüşümün bir halka epimor…zma oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) Aşa¼
g¬da tan¬mlanan
' : R !
S
x ! (x; 0)
dönüşümün bir halka monomor…zma oldu¼
gunu gösteriniz.
93. R bir halka ve R üzerinde tan¬mlanan 2
2 lik matrislerin halkas¬R2 olsun.
f : R !
!
r
R2
r 0
0 r
ile tan¬mlanan dönüşümün bir halka monomor…zmas¬oldu¼
gunu gösteriniz.
94. R birimli bir halka ve a tersinir bir eleman olsun.
Ta : R !
R
r ! ara
1
ile tan¬mlanan dönüşüm olsun.
(a) Ta dönüşümünün bir otomor…zma oldu¼
gunu gösteriniz. (Bu şekilde tan¬mlanan R
halkas¬n¬n otomor…zmalar¬na a eleman¬ile belirlenen iç otomor…zma denir.)
8
(b) R üzerinde tan¬mlanan bütün iç otomor…zmalar¬n kümesi Inn(R) olsun. Inn(R)
kümesinin Aut(R) grubunun bir normal altgrubu oldu¼
gunu gösteriniz.
(c) U (R); R halkas¬n¬n bütün tersinir elemanlar¬n¬n oluşturdu¼
gu grup olsun.
' : U (R) ! Inn(R)
a
!
Ta
ile tan¬mlanan dönüşüm için (Burada Ta : a eleman¬ile belirlenen iç otomor…zma)
1. Bir homomor…zma oldu¼
gunu gösteriniz.
2. Çekirde¼
gini bulunuz.
a b
j a; b 2 R , reel say¬lar kümesi üzerinde tan¬ml¬ 2
0 a
halkas¬n¬n bir alt kümesi olsun.
95. R =
2 lik matrisler
(a) R kümesinin bir alt halka oldu¼
gunu gösteriniz.
0 x
0 0
(b) I =
jx2R
kümesinin R nin bir ideali oldu¼
gunu gösteriniz.
(c) Aşa¼
g¬da tan¬mlanan
F :
R
a b
0 a
! R
! a
dönüşümün bir halka homomor…zmas¬oldu¼
gunu gösteriniz.
(d) (c) deki F dönüşümünün çekirde¼
gini bulunuz.
96. Aşa¼
g¬da tan¬mlanan dönüşümlerin bir halka homomor…zmas¬oldu¼
gunu gösteriniz.
(a) h : R ! M2 (R); h(x) =
(b) h : R
x 0
0 0
R ! M2 (R); h(x; y) =
x 0
0 y
97. Z2 den Z4 e ve Z3 den Z6 ya tan¬mlanan bütün halka homomor…zmalar¬n¬bulunuz.
98. f : A ! B bir halka homomor…zmas¬olsun.
(a) f (0) = 0
(b) 8a 2 A için f ( a) =
f (a) oldu¼
gunu gösteriniz.
99. A bir de¼
gişmeli halka olsun.
(a) Key… bir a 2 A için Ta : A ! A; Ta (x) = ax ile tan¬mlanan dönüşümün bir grup
endomor…smas¬oldu¼
gunu gösteriniz,
(b) 0 6= a 2 A için Ta ; bire bir dönüşümdür , a s¬f¬r bölen de¼
gildir. Gösteriniz.
(c) A bir birimli halka olsun. Ta örtendir , a tersinirdir. Gösteriniz.
9
(d) M = fTa j a 2 Ag kümesi, üzerinde tan¬mlanan
(Ta + Tb ) = (x) = Ta (x) + Tb (x)
(Ta Tb )(x) = (Ta Tb )(x)
işlemleri ile bir halka oldu¼
gunu gösteriniz.
(e) ' : A ! M; '(a) = Ta ile tan¬mlanan dönüşümün bir halka homomor…zmas¬
oldu¼
gunu gösteriniz.
(f) E¼
ger A birimli bir halka ise ' bir izomor…zmad¬r. Gösteriniz.
(g) E¼
ger A s¬f¬r bölensiz halka ise ' bir izomor…zmad¬r. Gösteriniz.
100. Q Rasyonel say¬lar kümesi olmak üzere
Q[X]= x2
p
5 = Q[ 5]
oldu¼
gunu gösteriniz.
101. Bir F cisiminin her s¬f¬rdan fakl¬ halka epimor…zmas¬n¬n bir izomor…zma oldu¼
gunu
gösteriniz.
102. Izomor…k iki halkan¬n ayn¬karakteristi¼
ge sahip oldu¼
gunu gösteriniz.
103. R ve S iki halka ve f : R ! S bir halka izomor…zmas¬ olsun. a 2 R eleman¬ s¬f¬r
bölendir , f (a) 2 S bir s¬f¬r bölen elemand¬r. Gösteriniz.
104. I·zomor…k halkalar¬n ayn¬say¬da s¬f¬r bölen bulundurdu¼
gunu gösteriniz.
105. Z12 ve Z6
Z2 halkalar¬n¬n izomor…k olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
106. c 2 R olmak üzere Tc : R[X] ! R; Tc (p(x)) = p(c) ile tan¬mlanan dönüşümün bir
halka homomor…zmas¬oldu¼
gunu gösteriniz.
107. R reel say¬lar cismi olmak üzere R[X] = < x
2 > = R oldu¼
gunu gösteriniz.
108. I ve J, R halkas¬n¬n idealleri olmak üzere I=I \ J = (I + J)=J oldu¼
gunu gösteriniz.
109. Q rasyonel say¬lar cisimi olmak üzere. Q[X] = < x
110. R bir halka, A
7 > = Q oldu¼
gunu gösteriniz.
B olmak üzere A; B iki ideali olsun. Bu durumda
(R=A)=(B=A) = R=B
oldu¼
gunu gösteriniz.
111. Aşa¼
g¬dakileri gösteriniz.
(a) Bir R halkas¬n¬n s¬f¬r bölensiz olmas¬için gerek ve yeterli koşul sa¼
g ve sol k¬saltma
özelli¼
ginin sa¼
glanmas¬d¬r.
(b) f : R ! S bir halka homomor…zmas¬olsun. f bire bir dönüşümdür , ker f =
f0R g dir. Gösteriniz.
10
112. R birimli halka, f : Z ! R; f (x) = x:1R olarak tan¬mlans¬n.
a) f halka homomor…zmas¬olup olmad¬g¼¬n¬gösterin.
b) charR = n () ker f = nZ oldu¼
gunu gösterin.
113. Z6 halkas¬n¬ve I = f0; 2; 4g altkümesini alal¬m.
a) I; Z6 halkas¬n¬n ideali midir?
b) Z6 =I kümesinin elemanlar¬n¬bulun.
c) Z6 =I halka m¬d¬r, neden?
114. R de¼
gişmeli bir halka ve I onun bir ideali olsun.
R=I kalan s¬n¬f halkas¬birimlidir , Her a 2 R için xa a 2 I olacak bir x 2 R vard¬r.
115. Z
Z= h(4; 5)i = Z oldu¼
gunu gösteriniz.
116. Bir grup olarak Z
117. Z
Z= h(2; 1)i = Z oldu¼
gunu gösteriniz.
Z= h(2; 1; 3)i = Z Z oldu¼
gunu gösteriniz.
p
118. H = x 5;
3 j x 2 R olsun. O zaman R R=H = R oldu¼
gunu gösteriniz.
Z
119. Z5 [X]= hx2 + x + 1i kesir halkas¬nda
x2 + 2 + x2 + x + 1
(3x + 4) + x2 + x + 1
denklik s¬n¬‡ar¬n¬n çarp¬m¬n¬ hesaplay¬n¬z. (Cevab¬n¬z¬ a; b 2 Z5 olmak üzere (ax +
b) + hx2 + x + 1i biçiminde yaz¬n¬z.)
120. ' : Z[X] ! Z[X]; '(f (x)) = f (x)2 ile tan¬mlanan fonksiyonun bir halka homomor…zmas¬olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
121. ' : Z2 [X] ! Z2 [X]; '(f (x)) = f (x)2 ile tan¬mlanan fonksiyon olsun.
a) Bir halka homomor…zmas¬oldu¼
gunu gösteriniz.
b) ker ' kümesini bulunuz.
c) x4 + 1 2 Im ' oldu¼
gunu gösteriniz. ' örtenmidir?
122. R ve S iki halka, f : R ! S bir halka homomor…zmi ve I; ker f taraf¬ndan kapsanan
R nin bir ideali olsun. O zaman g : R=I ! S; her a 2 R için, g(a + I) = f (a) ile
tan¬mlanan birtek halka homomor…zminin varl¬g¼¬n¬, Im g = Im f ve ker g = ker f I
oldu¼
gunu gösteriniz.
123. R bir taml¬k bölgesi ve 0 6= c 2 R olsun. c bir asal elemand¬r , (c) asal idealdir.
Gösteriniz.
124. R birimli bir halka ve 0 6= f : R ! S bir halka epimor…zmas¬olsun. S cisim ise ker f;
R halkas¬n¬n bir maksimal idealidir. Gösteriniz.R bir halka olsun.
11
(a) R de¼
gişmeli bir halka ve a; b 2 R olsun. (a) (b)
(ab) oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) Z de (5) idealinin maksimal ideal oldu¼
gunu gösteriniz.
125. R birimli de¼
gişmeli bir halka ve P bir ideali olsun. P asal idealdir , R=P bir taml¬k
bölgesi oldu¼
gunu gösteriniz.
126. Birimli ve s¬f¬rdan farkl¬bir R halkas¬içinde maksimal idealin varl¬g¼¬n¬gösteriniz.
127. R birimli de¼
gişmeli bir halka ve M (6= R); R nin bir ideali olsun. Bu durumda, M
maksimal idealdir , her r 2 R M için, 1R rx 2 M olacak şekilde bir x 2 R vard¬r.
Gösteriniz.
128. R ve S iki halka ve f : R ! S bir epimor…zma olsun.
a) S nin bütün ideallerinin, A; ker f yi kapsayan R nin bir ideali olmak üzere f (A)
biçiminde oldu¼
gunu gösteriniz.
b) A ve B, R nin idealleri olmak üzere f (AB) = f (A)f (B) oldu¼
gunu gösteriniz.
c) U ve V, S nin idealleri olmak üzere f
teriniz.
1
(U )f
1
(V )
f
1
(U V ) oldu¼
gunu gös-
d) P; R nin ker f yi kapsayan bir asal ideali ise f (P ) idalide S de bir asal idealdir.
129. R ve S iki birimli halka, f : R ! S bir halka epimor…zmas¬olsun. B; S halkas¬n¬n bir
asal ideali ise A = f 1 (B) kümesinin R halkas¬n¬n bir asal ideal oldu¼
gunu gösteriniz.
130. Z tamsay¬lar halkas¬olmak üzere Z
oldu¼
gunu gösteriniz.
f0g kümesinin Z
Z halkas¬n¬n bir asal ideali
131. R ve S de¼
gişmeli iki halka, f : R ! S bir halka epimor…zmas¬ve J; S halkas¬n¬n bir
asal ideali olsun. I = fr 2 R j f (r) 2 Jg kümesini tan¬mlayal¬m. I kümesinin, ker f
kümesini kapsayan R halkas¬n¬n bir asal ideali oldu¼
gunu gösteriniz.
132. R de¼
gişmeli ve birimli (0R 6= 1R ) bir halka, ve M , R halkas¬n¬n bir ideali olsun. Buna
göre
M maksimal idealdir , R=M cisimdir.
Gösteriniz.
133. c ve d iki indirgenemez eleman ve c j d olsun. c ile d elemanlar¬n¬n ilgili oldu¼
gunu
gösteriniz.
134. R bir esas ideal bölgesi olsun. R halkas¬nda ikisi birden s¬f¬r olmayan her iki eleman¬
için en büyük ortak bölenin varl¬g¼¬n¬gösteriniz.
135. R birimli, de¼
gişmeli bir halka ve d 2 R eleman¬ a1 ; a2 ; :::; an 2 R elemanlar¬n¬n en
büyük ortak böleni olsun. Bu durumda d = r1 :a1 + r2 :a2 + ::: + rn :an ; olacak şekilde
ri 2 R elemanlar¬vard¬r , (d) = (a1 ) + (a1 ) +
+ (an ) formunda yaz¬l¬r.
136. Z6 halkas¬nda 3 eleman¬n¬n, indirgenemez ve asal eleman olup olmad¬g¼¬n¬araşt¬r¬n.
12
137. pi ler farkl¬asal tamsay¬lar olmak üzere pozitif n = p1 p2
Z=(n) = Z=(p1 )
Z=(p2 )
pk tamsay¬s¬için,
Z=(pk )
oldu¼
gunu gösteriniz.
138. F bir cisim olmak üzere F [X] polinomlar halkas¬olsun. F [X] polinomlar halkas¬n¬n,
' : F [X]nf0g ! N; '(f (x)) = deg(f (x)) olarak tan¬mlanan dönüşüm ile birlikte bir
Öklid bölgesi olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
139. Her Euclid halkas¬n¬n, birimli bir esas ideal halkas¬oldu¼
gunu gösteriniz.
140. R birimli ve de¼
gişmeli halka, S onun çarp¬msal bir altkümesi ve N; R nin bir ideali
olsun. O zaman
S 1 N = S 1 R , S \ N 6= ?
oldu¼
gunu gösteriniz.
141. R birimli de¼
gişmeli bir halka ve S onun çarp¬msal alt kümesi olmak üzere, P; R halkas¬n¬n S \ P = ? olan bir asal ideali olsun.
(a) S
1
P; S
1
R kesir halkas¬n¬n bir ideali oldu¼
gunu,
(b) S
1
P; S
1
R kesir halkas¬n¬n bir asal ideali oldu¼
gunu,
(c) s 2 S için, 's 1 (S
1
P ) = P oldu¼
gunu gösteriniz.
142. R = Z6 = 0; 1; 2; 3; 4; 5 halkas¬ ve S = 2; 4 alt kümesi olmak üzere S
halkas¬n¬bulunuz.
13
1
R kesir