DERS 5 Limit Süreklilik ve Türev

DERS 5
Limit Süreklilik ve Türev
İlk dersimizin sonlarında, “limit” sözcüğü kullanılmadan bu sözcükle ifade edilen kavram ele
alınmıştı(Bak 1.10). Bu dersimizde, limit kavramına biraz daha yakından bakacağız ve bu
kavram yardımıyla “süreklilik” ve “türev” i tanımlayacağız.
5.1. Limit. Bir f fonksiyonu; c , L ∈ R verilmiş olsun. f nin c yi içine alan bir açık
aralığın belki c dışında her noktasında tanımlı olduğunu kabul edelim.
Tanım 1. Eğer x in c ye yakın (her iki taraftan da) her değeri için f (x) sayısı L ye
yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti denir ve
lim f ( x) = L
x →c
veya
x → c için f ( x) → L
y
yazılır. Yandaki şekli inceleyerek tanım
üzerinde düşününüz. lim f ( x) = L ise, x
x →c
sayısı c ye soldan veya sağdan yaklaşırken f nin grafiği üzerindeki ( x, f ( x))
noktası (c, L) noktasına yaklaşır.
(x,f(x))
f(x)
(c,L)
L
(x,f(x))
(0,0)
x
Örnek 1. lim ( x + 2 ) = ?
c
x
x
y
x→2
Sayısal olarak, x , 2 ye yakın bir sayı olursa,
x + 2 sayısı 4 e yakın olur (Yandaki şekilden
izleyiniz). Dolayısıyla,
4
lim( x + 2) = 4.
x→2
(0,0)
1 2
x
x2 − 4
=?
x→2 x − 2
x2 − 4
f ( x) =
denklemi ile tanımlanan f fonksiyonu x = 2 değeri için tanımsız, ancak 2
x−2
dışında tüm reel sayılar için tanımlıdır. Ayrıca, 2 den farklı her x için
Örnek 2. lim
x 2 − 4 ( x + 2)( x − 2)
=
= x+2
x−2
x−2
x2 − 4
= lim( x + 2) = 4 tür.
x→2 x − 2
x→2
olduğundan , lim
Ders 5 ……………………………………………………………………………………….78
fonksiyonunun x → c için limiti yoktur
Eğer lim f ( x) = L olan bir L sayısı yoksa, f
x →c
denir.
1
denklemi ile tanımlanan f fonksiyonu x = 2 için tanımsız fakat
(x − 2)2
x in 2 dışındaki her değeri için tanımlıdır. x , 2 ye yaklaştıkça(her iki taraftan da) f (x)
gittikçe büyüyen değerler alır. Bu nedenle, f fonksiyonunun x → 2 için limiti yoktur.
Örnek 3. f ( x) =
lim f ( x) = L veya x → c için f ( x) → L olup olmadığı araştırılırken x in c ye her iki
x →c
taraftan da yakın değerleri , yani hem c den küçük hem de c den büyük değerleri için f(x)
in L ye yakın olup olmadığı kontrol edilmektedir. x in c ye sadece bir taraftan yakın
değerleri için de f (x) in L ye yakın olup ulmadığı sorgulanabilir. Bu düşünce bizi tek yanlı
limit kavramına götürür.
Tanım 2. Eğer x in c ye yakın fakat c den küçük her değeri için f (x) sayısı L ye
yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye soldan yaklaşırken f fonksiyonunun limiti
denir ve
lim− f ( x) = L
x →c
veya
x → c − için f ( x) → L
yazılır.
y
L
(0,0)
Örnek 4. lim−
x→2
x−2
x−2
(c,L)
(x,f(x))
x
x
c
= −1 .
y
1
Bunu görmek için, x < 2 olunca x – 2< 0 ,
x − 2 = −( x − 2) ve böylece
(0,0)
2
x
-1
x−2
− ( x − 2)
=
= −1
x−2
x −1
olduğunu görmek yeter.
Yukarıdaki tanımdan, eğer lim f ( x) = L
x →c
ise,
lim f ( x) = L olduğu görülür. Ancak, bu
x →c −
önermenin tersi doğru değildir. Örnek 4 te olduğu gibi x in c ye yakın fakat c den küçük
Limit Süreklilik ve Türev ……………………………………………………………………79
değerleri için f (x), L ye yakın olduğu halde x in c ye yakın fakat c den büyük değerleri
için f (x), L ye yakın olmayabilir. Hatta, f fonksiyonu x in c den büyük değerleri için
tanımlı dahi olmayabilir.
Tanım 3. Eğer x in c ye yakın fakat c den büyük her değeri için f (x) sayısı L ye
yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye sağdan yaklaşırken f fonksiyonunun limiti
denir ve
lim f ( x) = L
x → c + için f ( x) → L
veya
x →c +
yazılır.
y
(x,f(x))
f(x)
(c,L)
L
(0,0)
Örnek 5. lim+
x→2
x−2
x−2
c
=1
y
1
Örnek 4 teki gibi, x >2 olunca x – 2> 0 ,
x − 2 = ( x − 2) ve böylece
x−2
x−2
x
x
=
(0,0)
( x − 2)
=1
x −1
2
x
-1
olduğuna dikkat ediniz.
Yukarıdaki tanımdan, eğer lim f ( x) = L
x →c
ise,
lim f ( x) = L olduğu görülür. Ancak, bu
x →c +
önermenin tersi doğru değildir. Örnek 5 te olduğu gibi x in c ye yakın fakat c den büyük
değerleri için f (x), L ye yakın olduğu halde x in c ye yakın fakat c den küçük
değerleri için f (x), L ye yakın olmayabilir. Hatta, f fonksiyonu x in c den küçük
değerleri için tanımlı dahi olmayabilir.
Tek yanlı limitlerle limit arasındaki ilişkiyi bir cümle ile şöyle ifade edebiliriz: Bir f
fonksiyonunun x , c ye yaklaşırken limitinin var olabilmesi için gerek ve yeter koşul, f
nin x, c ye hem soldan hem de sağdan yaklaşırken limitlerinin var olması ve bu limitlerin
eşit olmasıdır. Sembolik olarak,
lim f ( x) = L ⇔
x →c
lim f ( x) = L ve lim f ( x) = L .
x →c −
x →c +
Ders 5 ……………………………………………………………………………………….80
Örnek 6. lim−
x→2
x−2
x−2
olduğundan lim
x→2
= −1 ve lim+
x−2
x−2
x→2
x−2
x−2
=1
y
1
mevcut değildir.
(0,0)
Grafikten,
2
x
-1
⎧ 1 ,x>2
=⎨
x − 2 ⎩ −1 , x < 2
x−2
olduğunu gözlemleyebilirsiniz.
y
⎧x + 1 , x ≥ 1
Örnek 7. f ( x) = ⎨ 2
biçiminde
, x <1
⎩2 x
parçalı tanımlı f fonksiyonu için
2
lim f ( x) = 2 = lim+ f ( x)
x →1−
x →1
ve böylece lim f ( x) = 2 dir.
(0,0)
x →1
Örnek 8. Öyle bir grafik ( y = f(x) ) çiziniz ki,
x
1
f (0) = 0 , f (1) = 2 , f (2) = 0 ve
lim f ( x ) = 2 , lim f (x ) = 3 , lim f ( x ) = −2 , lim f ( x ) = 1, lim f ( x ) = 0 , lim f ( x ) = 0
x → −1 +
x →1−
x →1+
x→2−
x →0
x→2+
olsun.
Aşağıda verilen grafik bu koşulları sağlar.
y
(1,3)
(-1,2)
(1,2)
(0,0)
y = f(x)
(2,0)
(1,-2)
x
Limit Süreklilik ve Türev ……………………………………………………………………81
5.2. Limit ile ilgili bazı özellikler. f ve g fonksiyonlar;
lim f ( x) = L , lim g ( x) = M olsun. Bu takdirde
x →c
c , L , M
reel sayılar;
x →c
• lim( f ( x) + g ( x)) = L + M .
x →c
• lim( f ( x) − g ( x)) = L − M .
x →c
• lim(kf ( x)) = kL .
x →c
• lim k = k .
x →c
• lim( f ( x) g ( x)) = LM .
x →c
⎛ f ( x) ⎞ L
⎟=
• lim⎜⎜
x →c g ( x ) ⎟
⎝
⎠ M
• lim n f ( x) = n L
x →c
(
(M ≠ 0 ) .
)
(n
çiftse L ≥ 0) .
• c yi içine alan bir araliktaki her x için f ( x) ≤ g ( x) ise, L ≤ M .
Örnek 1. Baştan beşinci özelliği kullanarak
(
)
lim x 2 + 2 x = lim( x ⋅ ( x + 2 )) = lim( x ) ⋅ lim(x + 2 ) = 3 ⋅ 5 = 15
x →3
x →3
x →3
x →3
olduğunu görürüz. Kuşkusuz, aynı limit başka özellikler kullanılarak da hesaplanabilir.
Yukarıdaki özelliklerin uygulaması olarak polinom fonksiyonların limiti için bir kural
geliştirebiliriz. f bir polinom fonksiyon, f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + L + a1 x + a0 ise,
lim f ( x) = an c n + an −1c n −1 + L + a1c + a0 = f (c)
x →c
olur.
(
)
Örnek 2. lim x 2 + 2 x = 32 + 6 = 15.
x →3
Örnek 3. lim x 2 + 2 x =
x →3
(
)
lim x 2 + 2 x = 15
x → ( −1)
Polinom fonksiyonların limiti için geliştirilen kural ve bölümün limiti için ifade edilen özellik
p( x)
kullanılarak r ( x) =
rasyonel fonksiyonunun limiti , d (c) ≠ 0 olmak koşuluyla,
d ( x)
p ( x ) p (c )
lim
=
x → c d ( x)
d (c )
olarak bulunur.
x 3 − 2 x + 4 (− 1) − 2(− 1) + 4 5
=
= .
x → −1
(− 1) + 3
x+3
2
3
Örnek 4. lim
Ders 5 ……………………………………………………………………………………….82
5.3. Süreklilik. Aşağıdaki fonksiyonlardan her birinin x = 2 civarında grafiğini gözden
geçirelim (Bu grafikler önceki örneklerimizde geçmişti..):
y
y
f ( x) = x + 2
4
f ( x) =
4
x2 − 4
x−2
2
(0,0)
y
1
f ( x) =
(0,0)
x
2
(0,0)
x = 2 de sürekli
x−2
2
x
-1
x
2
x−2
x = 2 de sürekli değil
x = 2 de sürekli değil
Bu grafiklerden ilki, x = 2 de tanımlı bir fonksiyonun grafiği olup grafik üzerinde x
koordinatı 2 den küçük fakat 2 ye yakın olan bir nokta seçip kalemimizin ucunu o noktaya
getirsek, grafiği, kalemimizi kâğıttan hiç ayırmadan kaydırarak x koordinatı 2 olan (2,4)
noktasının sağına doğru izleyebiliriz.
İkinci grafik, x = 2 de tanımlı olmayan bir fonksiyonun grafiği olup grafik üzerinde x
koordinatı 2 den küçük fakat 2 ye yakın olan bir nokta seçip kalemimizin ucunu o noktaya
getirsek, grafiği, kalemimizi kaydırarak sağa doğru izlemeye çalıştığımızda, x = 2 anında
kalemi kâğıttan ayırmamız gerekir.
Üçüncü grafik de x = 2 de tanımlı olmayan bir fonksiyonun grafiği olup grafik üzerinde x
koordinatı 2 den küçük fakat 2 ye yakın olan bir nokta seçip kalemimizin ucunu o noktaya
getirsek, grafiği, kalemimizi kaydırarak sağa doğru izlemeye çalıştığımızda, x = 2 anında
kalemi kâğıttan ayırmamız ve hatta sektirmemiz gerekir.
Tanım 1. Eğer aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa, f fonksiyonu x = c de süreklidir denir:
1) lim f ( x) var
x →c
,
2) f (c) var
,
3) lim f ( x) = f (c).
x →c
x = c de sürekli olmayan bir fonksiyona x = c de süreksiz fonksiyon denir.
Örnek 1. Yukarıda grafiklerini gördüğümüz fonksiyonlardan ilk grafiğe karşılık gelen ve
f ( x) = x + 2 denklemi ile tanımlanan fonksiyon
x = 2
de süreklidir; çünkü,
x2 − 4
denklemi ile tanımlanan ve ikinci grafiğe karşılık
x→2
x−2
x−2
denklemi
gelen fonksiyon, x = 2 de süreksizdir; çünkü, f (2) tanımsızdır. f ( x) =
x−2
ile tanılanan ve üçüncü grafiğe karşılık gelen fonsiyon da x = 2 de süreksizdir; çünkü, f (2)
tanımsızdır. Bu fonksiyon için ayrıca lim f ( x) de mevcut değildir.
lim f ( x) = 4 = f (2) dir.
f ( x) =
x→ 2
Limit Süreklilik ve Türev ……………………………………………………………………83
Tanım 2. a , b ∈ R , a < b olsun. Eğer a < c < b olan her c için f fonksiyonu x = c
de sürekli ise, f fonksiyonu (a , b) aralığında süreklidir denir.
Örnek 2. Grafiği aşağıda verilen f fonksiyonunun sürekli olduğu aralıkları belirleyelim.
y
(1,3)
(-1,2)
(1,2)
y = f(x)
(2,0)
(0,0)
x
(1,-2)
Grafiğin incelenmesinden, f nin sürekli olduğu aralıkların (-∝,-1) , (-1,0) , (0,1) ve (1, ∝)
aralıkları olduğu görülür.
Bir aralık üzerinde sürekli olan fonksiyonların önemli bir özelliğini yansıtan aşağıdaki teorem
aşikâr görünmekle birlikte ispatı göründüğü kadar kolay değildir.
Teorem. f fonksiyonu (a , b) aralığında sürekli ve her x ∈ (a , b) için f (x) ≠ 0 ise, ya
her x ∈ (a , b) için f(x) > 0 dır; ya da her x ∈ (a , b) için f (x) < 0 dır.
y
y = f(x)
(0,0)
a
b
x
Bu teoremden yararlanılarak, bir fonksiyonun sıfır değerini aldığı veya süreksiz olduğu
sayılar bilindiği takdirde o fonksiyonun hangi aralıklar üzerinde pozitif, hangi aralıklar
üzerinde negatif değerler aldığı kolayca belirlenebilir.
Tanım 3. Bir fonksiyonun sıfır değerini aldığı veya süreksiz olduğu sayılara o fonksiyonun
işaret sayıları denir.
Ders 5 ……………………………………………………………………………………….84
Örnek 3. f ( x) =
x−2
denklemi ile verilen fonksiyonun işaret sayıları x = - 1 , 1 ve 2
x2 − 1
dir.
f (x) > 0 ve f (x) < 0 olan aralıklar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:
x
x+1
x-1
x-2
x−2
x2 − 1
(-1)
0
- - - - - - - - - 0 + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + +
− − − − − − − − −
1
2
+ + + + + + + + +
0 + + + + + + + +
- - - - - - - - 0 + + +
− − − − − − − − −
+ + +
Grafiği aşağıda gösterilmiş olan bu fonksiyon, (-∞,-1) ve (1,2) aralıklarında negatif, (-1,1)
ve (2,∞) aralıklarında pozitif değerler alır.
y
-1
1
2
Tanım 4. Eğer
Tanım. Eğer
x
lim f ( x) = f (c) ise, f fonksiyonu x = c de soldan süreklidir denir.
x →c −
lim f ( x) = f (c) ise, f fonksiyonu x = c de sağdan süreklidir denir.
x →c +
Örnek 3. Karekök fonksiyonu f ( x) =
x , x = 0 da sağdan süreklidir.
y
y= x
(0,0)
x
x = 0 da sağdan sürekli
Limit Süreklilik ve Türev ……………………………………………………………………85
Örnek 4. f ( x) = 1 − x 2 ile verilen fonksiyon x = 1 de soldan sürekli, x = -1 de sağdan
süreklidir. Bu fonksiyonun grafiği üzerindeki her (x,y) noktası için x 2 + y 2 = 1 ve y ≥ 0
olduğuna dikkat ediniz.
y
y = 1 − x2
1
-1
(0,0)
x = -1 de sağdan sürekli
Örnek 5. f ( x) =
x
x
x
x = 1 de soldan sürekli
ile verilen fonksiyon x = 0 da ne soldan ne de sağdan süreklidir.
y
y=
x
x
x
(0,0)
x = 0 da ne sağdan ne de soldan sürekli
Bildiğimiz fonksiyonlardan bazılarını ve sürekli oldukları bölgeleri listeleyelim.
Fonksiyon
f ( x) = c (Sabit fonksiyon)
f ( x) = x
n
(Kuvvet fonksiyonu)
f ( x) = an x n + L + a0 (polinom fonksiyon)
p(x )
f ( x) =
(Rasdyonel Fonksiyon
d (x )
f ( x) = n u ( x ) (n-inci kök)
Sürekli olduğu bölge
R = (-∝ , ∝)
R = (-∝ , ∝)
R = (-∝ , ∝)
R\{a : d(a) ≠ 0}
n tek ise, {a : u fonksiyonu x = a da sürekli}
n çift ise, {a : u(a)≥0 ve u, x = a da sürekli}
Ders 5 ……………………………………………………………………………………….86
5.4. Sonsuz Limitler ve Düşey Asimtotlar. f fonksiyonu bir c reel sayısını içine alan
bir açık aralığın belki c hariç her noktasında tanımlı olsun. Eğer x , c ye (soldan ve
sağdan) yaklaşırken f (x) değerleri sınırsız olarak artıyorsa, x , c ye yaklaşırken f
fonksiyonunun limiti sonsuzdur veya x , c ye yaklaşırken f (x) sonsuza ıraksar denir.
Bu durumda,
lim f ( x) = ∞ veya x → c için f (x) → ∞
x →c
yazılır. Benzer şekilde, eğer x , c ye (soldan ve sağdan) yaklaşırken f (x) değerleri
sınırsız olarak azalıyorsa, x , c ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti eksi sonsuzdur
veya x , c ye yaklaşırken f (x) eksi sonsuza ıraksar denir. Bu durumda,
lim f ( x) = −∞ veya x → c için f (x) → −∞
x→c
yazılır.
Aşağıdaki şekillerin bu tanımlar için açıklayıcı olacağını düşünüyoruz.
y
y
lim f ( x ) = ∞
x →c
(0,0)
x
c
(0,0)
x
c
lim f ( x ) = −∞
x →c
x , c ye soldan veya sağdan yaklaşırken f nin limitinin sonsuz veya eksi sonsuz olması
da yukarıdakilere benzer biçimde tanımlanabilir. Örneğin, x , c ye sağdan yaklaşırken f
nin limitinin sonsuz olnması ( lim+ f ( x) = ∞ ) ve x , c ye sağdan yaklaşırken f nin
x →c
limitinin eksi sonsuz olnması ( lim+ f ( x) = −∞ ) aşağıdaki grafiklerde gösterilmiştir.
x→c
y
y
lim+ f (x ) = ∞
x →c
(0,0)
(0,0)
c
x
x
c
lim f (x ) = −∞
x →c +
Limit Süreklilik ve Türev ……………………………………………………………………87
Sonsuz limitlere birkaç somut örnek verelim.
Örnek 1. lim
x →1
1
= ∞.
(x − 1)2
y
Sayısal olarak, x → 1 için
(x − 1)2 ≥ 0 ve (x − 1)2 → 0
olduğuna dikkat ediniz.
Örnek 2. lim−
x →1
1
(0,0)
1
1
= −∞ ve lim+
= ∞.
x
→
1
x −1
x −1
x
y
Sayısal olarak, x → 1− için
x − 1 ≤ 0 ve x − 1 → 0 ;
x → 1+ için x − 1 ≥ 0 ve x − 1 → 0
olduğuna dikkat ediniz.
1
(0,0)
x
1
1
= −∞ ve lim+ 2
= ∞.
x→2
x→2
x −4
x −4
Sayısal olarak, x → 2− için x 2 − 4 ≤ 0 ve x 2 − 4 → 0 ; x → 2+
x 2 − 4 → 0 olduğuna dikkat ediniz
lim−
Örnek 3.
2
için x 2 − 4 ≥ 0
ve
Daha önceki derslerimizde(Bak 3.9) verdiğimiz düşey asimtot tanımını limit gösterimi
kullanarak şöyle ifade edebiliriz:
Eğer aşağıdaki
lim f ( x) = ∞ , lim f ( x) = −∞ , lim− f ( x) = ∞ , lim− f ( x) = −∞ , lim+ f ( x) = ∞ , lim+ f ( x) = −∞
x→c
x →c
x →c
x →c
x →c
x →c
durumlarından biri geçerli ise, x = c doğrusu
f fonksiyonunun grafiğine düşey
asimtottur veya f fonksiyonunun düşey asimtotudur denir.
Örnek 4. Yukarıdaki örneklerden, x = 1 doğrusunun f ( x) =
f ( x) =
zamanda
1
in grafiğine düşey asimtot olduğu;
x −1
1
ün grafiğine düşey asimtot olduğu görülür.
x −4
düşey asimtot daha vardır: x = -2 doğrusu. Çünkü,
f ( x) =
1
nin grafiğine ve aynı
(x − 1)2
2
lim−
x → −2
1
= ∞ ve
x −4
2
lim+ −
x → −2
f ( x) =
1
= −∞ .
x −4
2
x = 2
doğrusunun da
1
in grafiğine bir
x −4
2
Ders 5 ……………………………………………………………………………………….88
5.5. Sonsuzda Limitler ve Yatay Asimtotlar. c herhangi bir reel sayı olmak üzere (c,∞)
aralığında tanımlı bir f fonksiyonu için x sınırsız olarak artarken, yani x → ∞ için f (x)
değerlerinin nasıl değiştiğini bilmek isteriz. Eğer x sınırsız olarak artarken f (x) değerleri
bir b sayısına yaklaşıyorsa, bu takdirde, x sonsuza ıraksarken f nin limiti b dir denir ve
lim f ( x) = b veya x → ∞ için
x →∞
f ( x) → b
yazılır. Eğer lim f ( x) = b ise, x in büyük değerleri için f fonksiyonunun grafiği aşağıdaki
x →∞
iki durumdan birine benzeyecektir.
y
y
b
b
x
(0,0)
x
(0,0)
lim f ( x ) = b
lim f ( x ) = b
x →∞
x →∞
Benzer biçimde, c herhangi bir reel sayı olmak üzere (-∞,c) aralığında tanımlı bir f
fonksiyonu için x sınırsız olarak azalırken, yani x → −∞ için f (x) değerlerinin nasıl
değiştiğini bilmek isteriz. Eğer x sınırsız olarak azalırken f (x) değerleri bir b sayısına
yaklaşıyorsa, bu takdirde, x eksi sonsuza ıraksarken f nin limiti b dir denir ve
lim f ( x) = b veya x → −∞ için
x → −∞
f ( x) → b
yazılır. Eğer lim f ( x) = b ise, x in büyük değerleri için f fonksiyonunun grafiği
x → −∞
aşağıdaki iki durumdan birine benzeyecektir.
y
y
b
b
x
(0,0)
x
(0,0)
lim f (x ) = b
lim f ( x ) = b
x → −∞
x → −∞
Bu tanımlara ek olarak,
lim f ( x) = ∞ , lim f ( x) = −∞ , lim f ( x) = ∞ ve lim f ( x) = −∞
x →∞
x →∞
x → −∞
x → −∞
gösterimlerinin hangi anlamda kullanıldığının okuyucu tarafından kolayca anlaşılabileceğini
kabul ediyoruz.
Limit Süreklilik ve Türev ……………………………………………………………………89
Örnek 1. İlk dersimizin sonlarındaki (Bak 1.10) yaklaşık değerlerle ilgili tartışmalardan
lim
x →∞
1
=0 ,
x
lim
x → −∞
1
=0
x
olduğu görülür.
Örnek 2. Biraz aritmetik, lim
x →∞
⎛
⎜ x(1 +
x +1
lim
== lim ⎜
x →∞ x − 1
x → ∞⎜
⎜ x(1 −
⎝
1
= 0 olduğu ve limitle ilgili özellikler kullanılarak
x
1 ⎞
⎛
)⎟
⎜ (1 +
x ⎟ = lim ⎜
1 ⎟ x → ∞⎜
)⎟
⎜ (1 −
x ⎠
⎝
1 ⎞
1 ⎞
1 ⎞
⎛
⎛
)⎟
(2 + ) ⎟
x(2 + ) ⎟
⎜
⎜
x ⎟ = 1 , lim 2 x + 1 = lim ⎜
x ⎟ = lim ⎜
x ⎟=2
x →∞ x − 1
x →∞ ⎜
1 ⎟
1 ⎟ x →∞ ⎜
1 ⎟
)⎟
⎜ (1 − ) ⎟
⎜ x(1 − ) ⎟
x ⎠
x ⎠
x ⎠
⎝
⎝
olduğu görülebilir.
Daha önceki derslerimizde(Bak 3.9) verdiğimiz yatay asimtot tanımını limit gösterimi
kullanarak şöyle ifade edebiliriz: Eğer lim f ( x ) = b veya lim f ( x ) = b ise, y = b
x →∞
x → −∞
doğrusu f fonksiyonunun grafiğine yatay asimtottur veya f nin yatay asimtotudur denir.
Örnek 3. Yukarıdaki örneklerimizden, y = 0 doğrusunu
x +1
in grafiğine, y = 2 doğrusunun da
x −1
yatay asimtot oldukları görülür.
doğrusunun f ( x) =
1
in grasfiğine, y = 1
x
2x + 1
f ( x) =
in grafiğine
x −1
f ( x) =
5.6. Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin
a yı içine alan bir aralıkta tanımlı olduğunu kabul edelim ve bu aralıkta a ya yakın bir a+h
sayısı alarak
f ( a + h) − f ( a )
h
oranını oluşturalım. Bu oran, bağımsız değişken x in h kadar değişmesi durumunda
bağımlı değişken y = f(x) te ortaya çıkan değişimin bağımsız değişkendeki değişime olan
oranını ifade etmektedir. Bu nedenle, bu oran, f (x) in x = a dan x = a+h ye kadar
Ders 5 ……………………………………………………………………………………….90
ortalama değişim oranı olarak adlandırılır. Aşağıdaki şekilden de görüleceği üzere, f (x) in
x = a dan x = a+h ye kadar ortalama değişim oranı aynı zamanda, f nin grafiği
üzerindeki (a , f(a)) ve (a+h , f(a+h)) noktalarını birleştiren doğrunun eğimidir.
y
(a+h , f(a+h))
f(a+h)
f(a)
Eğim:
f ( a + h) − f ( a )
h
(a , f(a))
a
x
a+h
Aynı şekil üzerinde gözlemlerimizi sürdürelim. h sıfıra yaklaşırken, f nin grafiği üzerinde
(a , f(a)) ve (a+h , f(a+h)) noktalarını birleştiren doğru değişerek teğet durumuna gelir.
y
(a+h , f(a+h))
f(a+h)
f(a)
(a , f(a))
a
x
a+h
Tanım 1. f fonksiyonu a sayısını içine alan bir aralıkta tanımlı olmak üzere
f ' (a ) = lim
h →0
f ( a + h) − f ( a )
h
ile tanımlanan f ' (a) değerine(limit varsa) f fonksiyonunun x = a daki türevi denir.
f´(a) değeri f fonksiyonunun x = a daki anlık değişim oranını verir.
Tanımdan hemen önceki gözlemlerden, f ' (a) değeri f nin grafiğinin (a,f (a)) noktasındaki
teğetinin eğimidir. Böylece, y = f (x) in grafiğinin (a,f (a)) noktasındaki teğetinin denklemi
y = f ' (a)( x − a) + f (a)
olur.
Örnek 1. f (x) = x2 + 2 denklemi ile verilen f fonksiyonu için
f ' (1) = lim
h→0
((1 + h)2 + 2) − (12 + 2) = lim h2 + 2h = lim(h + 2) = 2
f (1 + h) − f (1)
= lim
h →0
h →0
h →0
h
h
h
Limit Süreklilik ve Türev ……………………………………………………………………91
dir. Böylece, y = x2 + 2 nin grafiğinin (1,f (1)) = (1,3) noktasındaki teğetinin denklemi
y = 2 (x - 1) + 3 ⇒ y = 2 x + 1
olur.
Tanım 2. Herhangi bir
f
fonksiyonu için
f ' ( x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
h
ile tanımlanan
f´
fonksiyonuna f fonksiyonunun türevi denir.
f ' nün tanım kümesi, f ' ( x) in tanımlı olduğu tüm x değerlerinden oluşur.
Örnek 2. Bundan önceki örneğimizde ele aldığımız f ( x) = x 2 + 2 denklemi ile verilen f
fonksiyonu için
f ' ( x) = lim
h →0
(( x + h) 2 + 2)− ( x 2 + 2) = lim h 2 + 2 xh = lim(h + 2 x ) = 2 x
f ( x + h) − f ( x )
= lim
h →0
h →0
h →0
h
h
h
dir. f ' nün tanım kümesi tüm reel sayılar kümesi R dir.
Örnek 3. f (x) = |x + 2| ile tanımlanan f fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun tanım
kümesi tüm reel sayılar kümesidir. f ' (−2) yi bulmaya çalıştığımız zaman
f ' (−2) = lim
h →0
h
−2+h+2 − −2+2
f (−2 + h) − f (−2)
= lim
= lim
h →0
h→0 h
h
h
elde ederiz ki bu limit mevcut değildir(neden?).
mevcuttur. Örneğin
f ' (1) = lim
h→0
-2
dışında her reel sayı için
1+ h + 2 − 1+ 2
f (1 + h) − f (1)
h
(3 + h) − 3
= lim
= lim
= lim = 1
h→0
h →0
h →0 h
h
h
h
dir. Dolayısıyla, f ' nün tanım kümesi R\{-2} dir.
Örnek 4. f (x) = c denklemi ile tanımlanan sabit fonksiyonun türevi
f ' ( x) = lim
h →0
0
f ( x + h) − f ( x )
c−c
= lim
= lim = 0
h →0
h →0 h
h
h
dır. f ' nün tanım kümesi R dir.
Örnek 5.
f ( x) =
x denklemi ile verilen karekök fonksiyonunun türevi
f ' ( x) = lim
h→0
f ( x + h) − f ( x )
x+h − x
= lim
h
→
0
h
h
1
x+h − 1 x+h + x
h
= lim
=
= lim
⋅
h→0
h
x + h + x h → 0 h( x + h + x ) 2 x
f ' ( x)
Ders 5 ……………………………………………………………………………………….92
olarak elde edilir. Buradan, örneğin f ' (1) =
1
olduğunu görebilirsiniz.
2
Örnek 6. f (x) = x3 denklemi ile tanımlanan küp fonksiyonunun türevi
(
f ( x + h) − f ( x )
x + h) − x3
f ' ( x) = lim
= lim
h →0
h →0
h
h
2
(x + h − x ) (x + h ) + (x + h )x + x 2 = lim h (x + h )2 + (x + h )x + x 2 = 3x 2
= lim
h→0
h →0
h
h
3
(
)
(
)
olarak elde edilir. f ' nün tanım kümesi [0,∞) dur.
Bir fonksiyonun türevi hesaplanırken, yukarıdaki örneklerde olduğu gibi her seferinde tanım
kullanılmaz. Türev hesabında kullanılan çeşitli kural ve yöntemler geliştirilmiştir. Bunlar, bir
sonraki dersimizin konusunu oluşturacaktır.
Bir f fonksiyonu için f nin x teki türevi
f ' ( x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
h
varsa, f fonksiyonu x te türevlenebilir denir. f fonksiyonunun türevini hesaplama
işlemine türev alma denir. f fonksiyonunun türevini hesaplama eylemine türev almak
denir.
Bu dersimizi türevin uygulamasına bir örnekle sonlandıralım.
Örnek 7. Çocuk bisikleti üreten bir şirketin x adet bisiklet üretmek için toplam gideri
Gi( x) = 5000 + 30 x + 0.1x 2
YTL olarak veriliyor.
a) Üretilen bisiklet sayısı 400 den 500 e yükseldiğinde giderdeki değişim nedir?
b) Üretilen bisiklet sayısının bu değişimi için giderdeki ortalama değişim oranı nedir?
c) 500 bisiklet üretildiği anda giderdeki anlık değişim oranı nedir?
Bu soruları sırasıyla şöyle yanıtlayabiliriz:
a) Gi(500) − Gi(400) = 45 000 − 33 000 = 12 000 YTL.
b)
Gi(500) − Gi (400) 12 000
=
= 120 YTL.
500 − 400
100
Gi(500 + h) − Gi(500)
30h + 0.1[(500 + h) 2 − 5002 ]
= lim
h →0
h→0
h
h
2
130h + (0.1)h
= lim
= 130 YTL.
h→0
h
c) Gi' (500) = lim
Limit Süreklilik ve Türev ……………………………………………………………………93
Problemler 5
1. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a) lim(3 x 2 + 25)
b) lim( x + 2) 2 ( 2 x − 4) c) lim
x →3
x →5
x − 25
x → −5 x + 5
2
x →10
2x − 5
x →10 3 x 2 + 5
x − x−6
x+2
2
d) lim
e) lim
x → −2
2x + 5
3x − 5
f) lim
ç) lim x + 2
x→2
g) lim(
x →3
x
x−3
)
+ 2
x+3 x −9
2. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a) lim−
x →3
x−3
x−3
x−3
b) lim+
x−3
x →3
3. lim f ( x) = 5 ve
x →3
c) lim+
x →1
1− x
1− x
ç)
lim−
x →1
x −1
x −1
lim g ( x) = 9 ise, aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
x →3
a) lim ( f ( x ) − g ( x ))
b) lim( f ( x ) + 2 g ( x ))
x →3
x →3
c) lim
f ( x) g ( x) ç) lim
x→ 3
x→ 3
f ( x)
g ( x)
4. Aşağıda grafikleri verilmiş olan fonksiyonların süreksiz olduğu noktaları belirleyiniz.
b)
y
a)
y
y=f(x)
y=f(x)
-5
0
5
x
5. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a)
lim (4 x 2 + 2 x − 9)
x →∞
0
-4
b) lim (−3 x 6 + 9 x 5 + 4)
x → −∞
c) lim
x →∞
4x + 7
5x − 9
4
ç) lim
x →∞
6. Aşağıdaki fonksiyonların düşey asimptotlarını bulunuz; x = a düşey asimtot ise,
lim f ( x) ve lim+ f ( x) sonsuz limitlerini belirleyiniz.
x→a −
x→a
1
a) f ( x ) =
x+3
b) f ( x ) =
x2 + 4
x2 − 4
c) f ( x ) =
8 x − 16
x − 8 x 3 + 16 x 2
4
2x + 3
x2 + 1
x
Ders 5 ……………………………………………………………………………………….94
7. Aşağıdaki fonksiyonların düşey ve yatay asimtotlarını bulunuz.
a) f ( x ) =
2x
x+3
b) f ( x ) =
x2 +1
x2 −1
c) f ( x ) =
x2
x−3
ç) f ( x) =
x
x −3
2
8. Aşağıdaki problemlerde, belirtilen iki adımlı işlemi gerçekleştirerek f ' ( x) i hesaplayınız. f ' nün
tanım kümesini belirleyiniz.
f ( x + h) − f ( x )
ın sadeleştirilmesi.
h
f ( x + h) − f ( x )
2. adım: lim
değerinin bulunması.
h →0
h
1. adım:
c) f ( x) =
b) f ( x) = 2 − x 2
a) f ( x) = 2 x
9. Aşağıdaki fonksiyonlar için lim
h →0
a) f ( x) = 3x − 4
x −3
d) f ( x) =
1
x
f (2 + h) − f (2)
limitini hesaplayınız.
h
b) f ( x) = 4 x 2 − 5 x + 1
c) f ( x) = x 3
ç) f ( x) = x
10. Aşağıdaki fonksiyonların her biri için x=2 deki teğet doğrusunun denklemini yazınız.
a) f ( x) = 5 x − 1
b) f ( x) = x 2 − 2
c) f ( x) = x − 2
ç) f ( x) = 2 + x − 1
11. f ( x) = x 2 − 4 x fonksiyonu için
a) f ' ( x) i bulunuz.
b) f nin grafiğine x=0 , x=2 ve x=4 noktalarının her birinde teğet olan doğrunun eğimini
bulunuz ve her üç durumda da teğet doğrusunun denklemini yazınız.
c) f nin grafiğini ve bu noktalardaki teğet doğrularını çiziniz.
12. f ( x) = 3 x 2 fonksiyonu için aşağıdaki değerleri bulunuz.
a) x , 1 den 4 e kadar değiştiğinde y=f(x) deki değişim,
b) x , 1 den 4 e kadar değiştiğinde f(x) in ortalama değişim oranı,
c) y=f(x) in grafiğinin (1,f(1)) ve (4, f(4)) noktalarından geçen kirişin eğimi,
ç) x=2 değeri için f(x) in anlık değişim oranı,
d) y=f(x) in grafiğinin (1,f(1)) noktasındaki teğetinin eğimi.
13. Plastik kutu üreten bir şirketin günde x adet kutu üretmesi durumunda toplam geliri
Ge( x) = 60 x − 0.025 x 2 , 0 ≤ x ≤ 2400 olarak veriliyor. Para birimi YTL dir.
a) Üretilen kutu sayısı 800 den 1000 e yükseldiğinde gelirdeki değişim nedir?
b) Üretilen kutu sayısının bu değişimi için gelirdeki ortalama değişim oranı nedir?
c) 1000 kutu üretildiği anda gelirdeki anlık değişim oranı nedir?