GEOMETR‹

GEOMETR‹
Derginin bu say›s›nda Eflkenar Dörtgen, Dik dörtgen, Kare ve Deltoid konusunda çözümlü sorular yer almaktad›r. Bu konuda, ÖSS’de ç›kan sorular›n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar›, sorular›m›z›n çözümü içinde hat›rlatmay› amaçlad›k. ÖSS’de bu konudan ortalama 3 soru ç›kmaktad›r. Derginin bundan sonraki
say›s›nda Çemberde Aç›lar, Kirifller Dörtgeni, Te¤et ve Kirifl Özellikleri konusu ele al›nacakt›r.
ÇÖZÜM
SORU
D
C
D
ABCD karesi, birbirine
efl on iki tane dikdört-
C
gene bölünmüfltür.
x
A
lerden birinin çevresi
45°
45°
A
B
kaç cm dir?
∆
B) 24
y 3
60°
4
ise, bu efl dikdörtgen-
A) 16
.F
y
Alan (ABCD) = 324 cm2
C) 28
D) 32
E
30°
15°
2y
B
x
∆
ADE ≅ ABE (K.K.K.)
E) 36
m(DAE ) = m(BAE )= 45 ° olur.
ÇÖZÜM
[AE] do¤ru parças›, [AC] köflegeni üzerindedir.
D x
Dikdörtgenlerin k›sa
kenar›na x dersek uzun
kenar› 3x olur. Karenin
kenar› 6x olur.
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
3x
x
3x
C
3x
A
EBF üçgeni (30°, 60°, 90°) dik üçgenidir.
3x
Karede |AF| = |BF| oldu¤undan, y + 4 = y 3 buradan
y 3 – y = 4 ve
y = 2 3 + 2 olur. |BF| = 2 3 + 2 . 3
3x
|AB| = 2 .|BF| oldu¤undan,
B
x= 2 3 +2
Alan(ABCD) = (6x)2 = 324
x = 3 olur.
dikdörtgenin çevresi = 8x = 8 . 3 = 24 cm bulunur.
3
2 =6 2 +2 6
cm bulunur.
Yan›t : A
Yan›t : B
SORU
SORU
ABCD karesinde,
|DE| = |BE|
D
ABCD karesinde,
[DE] ∩ [AF] = {G}
C
m(ABE ) = 15°
|AE| = |BF| = 6 cm
|AE| = 4 cm ise,
|EB| = 2 cm ise,
D
C
F
G
6
E
|AB| = x kaç cm dir?
4
x
A
A) 6 2 + 2 6
B) 2 6 + 3
D) 6 + 3 2
8. SAYI
15°
|GF|
|GA|
B
oran› kaçt›r?
A
6
E 2
B
C) 4 3 +2 2
A) 2
E) 6 + 2 6
8
B) 5
3
C) 3
2
D) 13
10
E) 13
12
ÇÖZÜM
|CH| = |HB| = |DE| = |EA| = 5 olur.
FHC dik üçgeninde Pisagor ba¤›nt›s›ndan,
D
C
x2 = (12– x)2 + 52 ve
2
2
P
.
K
13/2
x = 169 cm bulunur.
24
F
m
Yan›t : C
6
.
G
6
.
A
6
.
B
E 2
SORU
ABCD dikdörtgeninde,
aç›ortay›d›r.
[DE] ⊥ [BE]
|FE| = 9 cm
|BE| = 12 cm ise,
∆
PGF ~ EGA oldu¤undan,
|GF| 13/2 13
=
=
|GA|
6
12
C
[DB, EDC aç›s›n›n
2 = m⇒m=3
8 6
2
3
|PF| = 8 – = 13
2
2
∆
x
D
.
[FK] // [BA] çizelim.
F
A
9
B
.
E
12
|DC| = x kaç cm dir?
bulunur.
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
Yan›t : E
ÇÖZÜM
24
D
C
SORU
12
D
C
ABCD dikdörtgeninde,
[EF] ⊥ [AD]
15
x
.
E
x
.
A
10
F
|DC| = 12 cm
.
α
α
9
x
|BC| = 10 cm ise,
.
B
A
F
15
α
B
.
E
12
EBF dik üçgeninde,
|FB|2 = 92+122 ve |FB| = 15 cm olur.
|EF| = |FC| = |FB| = x kaç cm dir?
A) 6
B) 8
C) 169
24
DFB ikizkenar üçgen oldu¤undan,
D) 145
24
|DF| = |BF| = 15 cm
E) 108
13
Aç›ortay özelli¤inden,
|DE| = |DC| = 15 + 9 = 24 cm bulunur.
ÇÖZÜM
12
D
BFC ikizkenar üçgeninde
[FH] yüksekli¤i çizilirse
E, F, H do¤rusal olur.
C
5
E
5
x
.
x
12–x .
F
5
A
[DB],
5
x
12
Uyar›: [DB] aç›ortay ve [BE] ⊥ [DE] oldu¤unda
H
DEBC dörtgeninde simetri eksenidir.
|DE| = |DC| dir.
B
Yan›t : D
8. SAYI
9
E) 26
SORU
ÇÖZÜM
ABCD dikdörtgeninde,
[DH, [CH, [BF
ve [AF aç›ortayd›r.
|DC| = 16 cm
|BC| = 10 cm ise,
16
D
|DF| + |FC| = 18
C
3.|FC| = 18
F
E
B) 12M3
C
β
G
|DF| = 12 olur.
H
x
[GH] ⊥ [AB] çizilir.
B
∆
EFGH dörtgeninin
çevresi kaç cm dir?
A) 12M2
6
F
E
.
4
α
|FC| = 6
10
G
.
A
12
D
β
∆
DGF ~ BGA (A.A.)
α
.
H
A
B
18
C) 13M2
|DF| |EG|
⇒ 12 = 4 ve
=
|AB| |GH|
18 x
D) 13M3 E) 16M2
x=6 cm olur.
|AD| = |EH| = 4+6 = 10 cm
ÇÖZÜM
Çevre(ABCD)=2(10+18)=56 cm bulunur.
DHC ve AFB üçgenleri,
D
16
C
45°
efl ikizkenar dik
F
.
45°
üçgenlerdir.
.
E
.
10
Yan›t : C
45°
45°
45°
A
45°
.
G
10
H
45°
16
E
SORU
45°
B
α
ABCD dikdörtgen,
|DH|=|HC|=|AF|=|FB| = 8M2 cm dir.
|EC| = |DB|
ADE, BCG üçgenleri efl ikizkenar dik üçgenlerdir.
m(EFB)=165° ise,
|AE|=|DE|=|GC|=|GB|=5M2 cm dir.
D
|EH|=|HG|=|GF|=|FE|=8M2–5M2=3M2 cm olur.
m(AEB ) = α
EFGH dörtgeni kare oldu¤undan,
kaç derecedir?
C
F
Çevre(EFGH)=4.3M2=12M2 cm bulunur.
165°
A
Yan›t : A
A) 5
B) 7,5
C) 10
B
D) 12,5
E) 15
ÇÖZÜM
Dikdörtgende köflegen
uzunluklar› eflit olaca¤›ndan,
SORU
ABCD dikdörtgen,
D
[AF] ∩ [BD] = {G}
E
.
F
|AC|=|DB| = |EC| ve
ACE ikizkenar üçgen olur.
Üçgenlerde iki iç aç›n›n
toplam› üçüncü köfledeki
d›fl aç›ya eflit olaca¤›ndan,
ACE üçgeninde
C
4
|DF| = 2.|FC|
G
[EG] ⊥ [DC]
|EG| = 4 cm
A
|AB| = 18 cm ise,
18
E
α
D
165° 2α
B
F
m(A)+m(E)=m(ACB)
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 48
8. SAYI
B) 50
C) 56
m(ACB)=2 α olur.
D) 58
C
E) 60
10
α
A
G
2α
B
SORU
Dikdörtgende köflegenler
birbirini ortalayaca¤›ndan,
D E
ABCD eflkenar
dörtgeninde,
|GC| = |GB| olur.
GBC ikizkenar üçgeninde,
C
R
|EC|=5.|DE|
G
P
m (B) = m ( C) = 2 α d›r.
|AF|=|FB| ve
FBE üçgeninde, 165°+α+2α=180°
α=5° bulunur.
[EF], [BD] ve [AC]
A
aras›nda kalan PRG
F
B
üçgensel bölgesinin alan› x cm2 ise,
Yan›t : A
eflkenar dörtgenin alan› kaç x cm2 dir?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
SORU
ABCD eflkenardörtgen
D
[BD] köflegendir.
C
4
13
E
|DE| = 4 cm
|EB| = 14 cm
14
ÇÖZÜM
|EC| = 13 cm ise,
A
B
∆
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 50
B) 52
∆
DER ~ BFR
(A.A.)
D n E
|DR| = k al›n›rsa,
C) 56
D) 60
E) 68
k
R
|RB|=3k olur.
|DG|=|GB| oldu¤undan
|RG| = k olur.
ÇÖZÜM
∆
∆
EPC ~ FPA
[AC] köflegeni çizilirse
a
D
[BD] ⊥ [AC]
4
|DF| = |FB| = 9 ve
a
E
5
A
3n
F
3n
4m
2k
B
(A.A)
12
.
a
F
|PA| = 3m al›n›rsa, |CP| = 5m olur.
9
A
3m
k
.
. G
P
m
|EC| 5n 5 |CP|
=
= =
|AF| 3n 3 |PA|
13
|EF| = 9–4=5 olur.
EFC dik üçgeninde
C
C
5n
a
|AG|=|GC| oldu¤undan |PG|=m olur.
B
Pisagor ba¤›nt›s›ndan,
|CF|2+52=132
A(PRG)= m.k = x (dik üçgenin alan›ndan)
2
|CF| = 12 bulunur.
DFC dik üçgeninde Pisagor ba¤›nt›s›ndan,
2
2
a =9 +12
A(ABCD) =
2
= 32 x cm2 bulunur.
a=15 bulunur.
Çevre(ABCD) = 4a =4.15 = 60 cm bulunur.
Yan›t : D
8. SAYI
|BD|.|AC| 4k.8m
=
= 32 . m.k
2
2
2
Yan›t : C
11
SORU
ÇÖZÜM
∆
ABC üçgeninde
EAFD deltoid
E
|AE| = |AF| = 4 cm
B
F
4
A) 60
B) 56
4
B
K
β
β 12
α
.
y
BED dik üçgeninde,
|AB|.|CD| kaç cm2 dir?
.
x
12 = y
2y 16
y=4M6 olur.
4
|BD| = 4 cm
A
E
D
4
|EC| = 10 cm ise,
A
|DK| |DF|
=
|DB| |DE|
10
|DE| = |DF|
∆
DF K ~ DE B (A.A.)
C
D
y
F
2x
a
a
Pisagor ba¤›nt›s›ndan
C) 55
D) 52
x2+162= (8M6)2
E) 49
C
x=8M2
|CF| = 2.|BE| ⇒ |CF| = 2x olur.
BCF dik üçgeninde,
ÇÖZÜM
a2 = (2x)2+ y2 ⇒ a2 = (16M2)2 + (4M6)2
EAFD deltoid oldu¤undan,
C
[AD aç›ortayd›r.
a= 4 38 cm bulunur.
10
Yan›t : C
ABC üçgeninde
E
aç›ortay teoremi
D
4
uygulan›rsa
|AC| |CD|
=
|AB| |DB|
A
4
SORU
B
F
4
3
D
K
12
C
ABCD eflkenar dörtgen
[KL] ⊥ [AB]
14 = |CD| ve
4
|AB|
|DK|=|LB|=3 cm
|AB| . |CD| = 14 . 4 = 56 cm2 bulunur.
|AL|=|KC|=12 cm
.
oldu¤una göre,
A
Yan›t : B
L
12
3
B
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 135
B) 150
C) 164
SORU
D
ÇÖZÜM
ABCD deltoid
|AB| = |AD|
|CB| = |CD|
[DE] ⊥ [AB]
A
[DH] ⊥ [AB] çizilirse
HLKD dikdörtgen olur.
E .
4
|CF| = 2.|BE|
|KD| = 12 cm
B
|EK| = 4 cm ise,
D) 175
3
K
.
E) 180
12
15
15
|DK| = |HL| = 3 cm
12
K
|AH| = |AL| – |HL|
|AH| = 12 –3=9 cm
D
F
A
9
.
.
H 3 L
3
B
ABCD eflkenar dörtgeninin bir kenar› 15 cm dir.
|BC| kaç cm dir?
ADH dik üçgeninde Pisagor ba¤›nt›s›ndan,
|DH|2+92=152
C
|DH|=12 cm olur.
Alan(ABCD) =|AB|.|DH|
A) 4 15
B) 3 17
D) 4
8. SAYI
21
C) 4 38
=15.12=180 cm2 bulunur.
E) 5 23
Yan›t : E
12
C
SORU
SORU
E
.
D
x
[DE] ⊥ [EC]
C
.
ABCD kare
C
D
x
|EC| = 1 cm
F
|EB| = 3 cm ise,
B
2
E
B
ABCD kare,
|ED| = x kaç cm dir?
m(FCE ) = m(ECB )
B) M2+1
A) 2M2–1
2
A
A
|AE| = |EB| = 2 cm oldu¤una göre,
C) M2–1
D) M3–1
|DF| = x kaç cm dir?
E) 2M3+1
A) 2
B) 3
C) 3,2
D) 3,4
4
C
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
D
.
E
.
x
90°–α
α
a
4–x
.
D
C
.
a
α
A
a
4
2
4–x
90°–α
.
a
K
F
x
3
4
F
A
.
1
.
x
2
E
2
B
ABCD karesinin bir kenar› 4 cm dir.
1
|FA| = 4 – x olur.
B
[CE, FCB aç›s›n›n aç›ortay›
Karenin bir kenar› a cm olsun
oldu¤undan [EK] ⊥ [CF] çizilirse,
EC uzat›l›p B den EC do¤rusuna [BF] dikmesi çizilirse,
|KE| = |EB| = 2 cm
∆
∆
EDC ≅ FC B olur (A.K.A)
|CK| = |BC| = 4 cm olur.
|ED| = |CF| = x
[FE] çizilirse
∆
|EC| = |BF| = 1 cm
|DC| = |BC| = a d›r.
|AE| = |EK| = 2 cm
BEF dik üçgeninde
|KF| = |FA| = 4 – x olur.
(x+1)2+12 = 32
DFC dik üçgeninde Pisagor teoreminden,
(x+1)2 = 8
42 + x2 = (8 – x)2
x+1= 2M2
16 + x2 = 64 – 16x + x2
x = 2M2–1 cm bulunur.
x = 3 cm bulunur.
Yan›t : B
Yan›t : A
8. SAYI
∆
AEF ≅ KEF dir.
13
E) 3,5