ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Osman UYAR
EVRENSEL GROBNER BAZININ VARLIĞININ BİR
TOPOLOJİK İSPATI
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2013
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
EVRENSEL GROBNER BAZININ VARLIĞININ BİR TOPOLOJİK İSPATI
Osman UYAR
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu Tez 28/02/2013 Tarihinde Aşağıdaki
Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir.
Jüri
Üyeleri
Tarafından
.............................................. ........................................
..........................................
Doç. Dr. Ali Arslan ÖZKURT
Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ
Yrd. Doç. Dr. Ersin KIRAL
DANIŞMAN
ÜYE
ÜYE
Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof. Dr. Mustafa GÖK
Enstitü Müdürü
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların
kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere
tabidir.
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
EVRENSEL GROBNER BAZININ VARLIĞININ BİR TOPOLOJİK İSPATI
Osman UYAR
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman : Doç. Dr. Ali Arslan ÖZKURT
Yıl : 2013, Sayfa: 41
Jüri
: Doç. Dr. Ali Arslan ÖZKURT
: Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ
: Yrd. Doç. Dr. Ersin KIRAL
Bu çalışmada bir yarı grup üzerindeki sol sıralamaların kümesi üzerine
konulan bir topolojiden bahsedildi ve bu uzayın kompakt olduğu gösterildi. Serbest
abelyen gruplar üzerindeki sol sıralamaların bu topoloji ile Cantor kümesine
homeomorf olduğu gösterildi ve polinom halkalarında evrensel Grobner bazının
varlığı için yeni bir ispat verildi.
Anahtar Kelimeler: Sol ve sağ sıralamalar, Tamamen bağlantısız uzay, Cantor
kümesi, Grobner bazı
I
ABSTRACT
MSc. THESIS
A TOPOLOGICAL PROOF FOR EXISTENCE OF UNIVERSAL
GROBNER BASES
Osman UYAR
ÇUKUROVA UNIVERSITY
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Ali Arslan ÖZKURT
Year : 2013, Pages: 41
Jury
: Assoc. Prof. Dr. Ali Arslan ÖZKURT
: Prof. Dr. Doğan Dönmez
: Asst. Prof. Dr. Ersin KIRAL
In this thesis, it is mentioned about a topology on left orderings of any
arbitrary semi group and it is shown that this space is compact and for free abelian
group, it is shown to be homemorphic to the Cantor set. An application of this result
is a new proof of the existence of universal Grobner bases.
Keywords: Left and right orderings, Totally disconnected space, Cantor set, Grobner
bases
II
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın hazırlanmasında bilgi ve tecrübeleriyle beni aydınlatan, her
aşamasında yardımlarını esirgemeyen ve değerli zamanlarını ayırarak çalışmanın
tamamlanmasını sağlayan kişiliğiyle, dehasıyla ve çok yönlülüğüyle kendisini örnek
aldığım saygıdeğer hocam Sayın Doç. Dr. Ali Arslan ÖZKURT’a teşekkür etmeyi
bir borç bilirim.
Bu çalışmanın başından sonuna kadar sorularımı geri çevirmeyen, bilgi ve
kişiliğiyle kendilerini örnek aldığım saygıdeğer hocalarım Sayın Prof. Dr. Doğan
DÖNMEZ’e ve Doç. Dr. Fikret KUYUCU’ya sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Ayrıca Ar. Gör. Mehmet ONAT’a ve tüm Matematik Bölümü akademik
personeline bu çalışmanın oluşmasında yardımlarını esirgemedikleri için çok
teşekkür ederim.
Desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen her zaman yanımda olan Rabia
ÖZEN’e ve aileme sonsuz sevgi ve teşekkürlerimi sunarım.
Son olarak bana her konuda yardımcı olan arkadaşlarım İnaç ETİ’ye ve Musa
YILMAZEL’e sevgi ve teşekkürlerimi sunarım.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ ............................................................................................................................ I
ABSTRACT ............................................................................................................ II
TEŞEKKÜR ........................................................................................................... III
İÇİNDEKİLER .......................................................................................................IV
1.GİRİŞ .................................................................................................................... 1
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER………………………………………………3
2.1. Temel Yapılar…………………………………………………………………3
2.2. Cantor Kümesi………………………………………………………………...9
2.3. Monomial Sıralamaları………………………………………………………16
3. YARI GRUPLARDA SIRALAMA……………………………………………...19
4. İKİ TARAFLI SIRALAMALAR………………………………………………...27
5. GROBNER BAZINA BİR UYGULAMA……………………………………….33
KAYNAKLAR………………………………………………………………….......39
ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………41
IV
V
1. GİRİŞ
Osman UYAR
1.GİRİŞ
Bir polinom halkasında bir idealin bir Grobner bazı bu polinom halkasındaki
monomialler üzerindeki sıralamaya bağlı olarak değişir. Fakat sıralamaya bağlı
kalmaksızın o idealin Grobner bazı olan bir küme vardır. Bu kümeye o idealin
evrensel Grobner bazı denir. Evrensel Grobner bazının varlığının tamamı ile cebirsel
bir ispatı vardır. (N. Schwartz, 1998)
Bu tezde evrensel Grobner bazının varlığını topolojik argümanlarla
ispatlayan, (Adam S. Sikora, 2004) Adam S. Sikora tarafından yazılmış bir makale
incelenmiştir.
Tez iki bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde temel tanım ve teoremler ile
birlikte Cantor kümesi incelenmiştir. İkinci bölümde ise herhangi bir yarı grup
üzerindeki sol sıralamalar üzerinde özel bir topolojiden bahsedildi ve bu topoloji ile
serbest abelyen gruplar üzerindeki sol sıralamaların Cantor kümesine homeomorf
olduğu gösterildi. Son olarak evrensel Grobner bazının varlığının topolojik bir ispatı
verildi.
1
1. GİRİŞ
Osman UYAR
2
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Osman UYAR
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
2.1. Temel Yapılar
Tanım 2.1.1:
boş olmayan bir küme olmak üzere
×
→ ,( , ) →
∗
∗:
fonksiyonuna
( ,∗) ifadesine
Tanım 2.1.2:
, , ∈
Her
×
üzerinde bir ikili işlem denir. Eğer ∗,
boştan farklı bir küme ve ∗,
üzerinde bir ikili işlem ise
ğ
kümesi üzerinde bir ikili işlem olsun.
∗( ∗ )=( ∗ )∗
için
ℎ
yarı grubu birim elemana sahipse bu yarı gruba
ii)
iii)
iv)
denir.
∈
için
< ,
=
×
→ ℝ fonksiyonu
ya
koşullarından biri gerçekleşiyorsa bu ≤ kısmi sıralama bağıntısına
)
Tanım 2.1.6:
i)
işlemi
denir.
Tanım 2.1.5: ( , ≤) bir kısmi sıralı küme olsun. Her ,
(
ikili
kümesi üzerinde tanımlanan ∗ ikili işlemi assosyatif
özelliğe sahip ise ( ,∗) cebirsel yapısına
<
∗
oluyorsa
denir.
Tanım 2.1.3: Boştan farklı
da
ye tanımlı bir
de bir cebirsel yapı denir.
ö
Tanım 2.1.4:
den
ğ
denir.
boştan farklı herhangi bir küme olsun. :
Her ,
∈
için ( , ) ≥ 0
Her ,
∈
için ( , ) = 0 ⇔
Her ,
∈
Her , , ∈
için ( , ) = ( , )
=
için ( , ) ≤ ( , ) + ( , )
3
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
koşullarını sağlıyor ise
Osman UYAR
ü
fonksiyonuna
denir.
Tanım
( , )
2.1.7:
bir
metrik
, ( , ) ikilisine ise
uzay
( , ) = { ∈ | ( , ) < } kümesine
olsun.
merkezli
∈
ve
( )=
denir.
{ ( , )| ,
( , )⊂
olacak şekilde bir
ğ
metrik uzayında
ö
⊂
ğ
uzayında
Tanım 2.1.11:
ç
ö
iii)
ü
⊂
ü
ailesine
∈
olsun. Eğer
denir.
ü
olmak üzere
ü
= ∅ ve ya her
−
ç
∈
kümesine ( , )
denir
boştan farklı bir küme olsun.
denir.
ii)
olsun. Eğer
metriğine göre bir açık küme ise
koşulları sağlıyorsa
i)
,
> 0 sayısı bulunabiliyorsa
Tanım 2.1.10: ( , ) bir metrik uzay ve
( , ) metrik uzayında
olsun.
∈ } olarak tanımlanan ( ) sayısına
Tanım 2.1.9: ( , ) bir metrik uzay ve
için
⊂
için
ç
yarıçaplı
denir.
Tanım 2.1.8: ( , ) bir metrik uzay ve
>0
tümleyen kümesi
kümesine ( , ) metrik
⊂ ( ) küme ailesi aşağıdaki
, ( , ) ikilisine ise
,∅ ∈
ailesinin sonlu tane elemanlarının arakesiti yine ’ya ait
ailesinin herhangi sayıdaki elemanlarının birleşimi yine ’ya ait
Tanım 2.1.12: ( , ) bir topolojik uzay olsun. ’nun her bir elemanına ( , )
topolojik uzayında bir ç
ü
denir.
4
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Osman UYAR
Tanım 2.1.13: ( , ) bir topolojik uzay ve
⊂
kümesi ( , ) topolojik uzayında bir açık küme ise
ü
uzayında bir
denir.
Tanım 2.1.14: ( , ) bir topolojik uzay ve
eden ’in her
∈
açık kümesine
Tanım 2.1.15: ( , ) bir topolojik uzay ve
komşuluğunu alt küme kabul eden
ş
noktasını eleman kabul
ç
ş
ğ denir.
olsun.
noktasının bir açık
alt kümesine
ğ denir.
Tanım 2.1.16: ( , ) bir topolojik uzay ve ∅ ≠
⊆
olsun. Eğer ’nun her elemanı
’deki bazı elemanların birleşimi şeklinde yazılabiliyor ve
∈
tümleyen
kümesine ( , ) topolojik
olsun.
∈
’in her
−
olsun. Eğer
⊂
ve ya kısaca
∩
∈
olacak şekilde
denir.
bulunabiliyorsa
Tanım 2.1.17: ( , ) bir topolojik uzay ve
= { |Her
∈
(
ü
topolojisine
topolojik uzayının
Tanım 2.1.18:
=
için
ve
olsun.
)
, ( ,
→
Tanım 2.1.19:
ve
) topolojisine ise ( , )
olacak
ü
iki topolojik uzay,
:
→
denir.
5
∈
olsun.
noktasının bir
denir.
bire-bir ve örten fonksiyon
fonksiyonları sürekli ise ’ye bir ℎ
topolojik uzaylarına da ℎ
iken
’nin alt kümelerinin
bir fonksiyon ve
komşuluğu için ( ) ⊂
fonksiyonuna
∩
üzerinde bir topolojidir. İşte bu
iki topolojik uzay, :
komşuluğu varsa
ve
∩ } ailesi
denir.
Eğer ( ) noktasının her
olsun. Eğer
⊂
’ye
∈
,
ve
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Osman UYAR
Tanım 2.1.20: ( , ) bir topolojik uzay,
olsun. Eğer
noktasının her
∈
ve (
komşuluğuna karşılık her
)
∈ℕ ,
>
uzayında bir dizi
olduğunda
∈ ℕ doğal sayısı bulunabiliyorsa (
olacak şekilde en az bir
denir.
Tanım 2.1.21: ( , ) bir topolojik uzay olsun. ’in her farklı ,
)
∈ℕ
∈
dizisi
noktalarının ayrık
birer komşulukları bulunabiliyorsa ( , ) topolojik uzayına
denir.
Tanım 2.1.22: ( , ) bir topolojik uzay olsun. Eğer
oluşan bir
ailesinin elemanlarının birleşimi
ö ü ü denir. Eğer
uzayının alt kümelerinden
’e eşitse
ailesinin elemanları açık ise
ailesine
ailesine
ö ü ü denir.
uzayının bir
uzayının bir ç
Tanım 2.1.23: Eğer bir topolojik uzayın her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa
bu uzaya
denir.
Teorem 2.1.24: Bir
⊂ ℝ kümesinin kompakt olması için gerek ve yeter koşul
kapalı ve sınırlı olmasıdır.
Teorem 2.1.25:
kompakt bir uzay olsun.
uzayının kapalı her alt uzayı da
kompakttır.
Tanım 2.1.26: Bir ( , ) topolojik uzayında ’den ve boş kümeden farklı hem açık
hem kapalı hiçbir alt küme yoksa bu uzaya
Tanım 2.1.27: ( , ) bir topolojik uzay ve
ğ
denir.
∈
bütün bağlantılı alt kümelerinin birleşimi olan
ğ
ş
denir.
6
olsun.
noktasını içeren
( ) kümesine
’in
noktasının
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Osman UYAR
≠ ∅ bir küme ve
üzerinde ′′ + ′′ ve ′′. ′′ ikili işlemleri
Tanım 2.1.28:
tanımlanmış olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa ( , +, . ) cebirsel yapısına bir
halka denir.
ii)
( , +) bir değişmeli gruptur.
iii)
Her
i)
için ( . ). = . ( . ) dır.
Her , , ∈
, , ∈
dir.
.( + ) = . + .
için
ve ( + ). = . + .
Tanım 2.1.29: Birimli, değişmeli ve sıfırdan farklı her elemanın çarpmaya göre tersi
varsa o zaman bu halkaya bir cisim denir.
bir halka ve ∅ ≠
Tanım 2.1.30:
işlemlerle birlikte bir halka oluyorsa
Tanım 2.1.31:
∈ için .
bir halka ve ,
⊆
olsun. Eğer
kümesine
kümesi
halkasının bir alt halkası denir.
nin bir alt halkası olsun. Eğer her
∈ ve . ∈ ise ya
nin bir ideali denir.
Tanım 2.1.32: R bir halka ve ( , +) abelyen bir grup olsun. Eğer her
için,
:
×
, ( ,
⟶
aşağıdaki şartları sağlıyorsa,
Her , ,
∈
ve her
i)
.(
+
ii)
iii)
(
(
+
).
).
)⟶ ( ,
,
)= .
=
∈
ve her
∈ ,
∈
olarak tanımlanan f fonksiyonu
’ye R halkası üzerinde bir sol R-modül denir.
,
=
)= .
halkasındaki
.
.( .
∈
için,
+ .
+
)
.
Sağ R-modül de benzer şekilde tanımlanır.
Tanım 2.1.33: A, B ve C üç abelyen grup olsun. ℎ:
7
×
⟶
fonksiyonu
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
i)
Her
ii)
Her
,
∈
∈
ve
için, ℎ(
∈
ve
,
Osman UYAR
için, ℎ( ,
∈
+
+
, ) = ℎ( , ) + ℎ (
) = ℎ( ,
) + ℎ( ,
, )
)
koşullarını sağlıyorsa h fonksiyonuna bilineer fonksiyon denir.
Tanım 2.1.34: R birimli bir halka, A bir sağ R-modül, B bir sol R-modül ve C bir
abelyen grup olsun. Eğer ℎ:
×
⟶
ℎ(
∈ ,
fonksiyonu her
, ) = ℎ( ,
∈ ,
∈
için,
)
koşulunu sağlıyor ise h fonksiyonuna dengeli (balanced ) fonksiyon denir.
Tanım 2.1.35: R birimli bir halka, A, bir sağ R-modül, B, bir sol R-modül,
bir abelyen grup ve ℎ:
×
⟶ ⨂
Eğer her C abelyen grubu ve her :
×
×
⨂
bilineer ve dengeli bir fonksiyon olsun.
⟶
bilineer ve dengeli dönüşümü için
T
C
h
⨂
diagramı değişmeli olacak
homomorfizmi varsa ( ⨂
şekilde
bir
tek
, ℎ) ikilisine (veya kısaca ⨂
üzerinde tensör çarpımı denir. ℎ( , ) = ⨂ olarak yazılır.
8
: ⨂
⟶
grup
grubuna) A ile B nin R
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Tanım 2.1.36: M bir R-modül ve
,
ve
,…,
∈
olmak
⊂
Osman UYAR
olsun. Her
=
üzere
yazılabiliyorsa B’ ye M ‘nin üreteç kümesidir denir.
Tanım 2.1.37: G bir lineer sıralı yarı grup,
bir
∈
+
elemanı
+⋯+
-cebiri ve her
-modül olsun. Eğer
=⋃
i)
≤
ii)
iii)
iv)
⋂
∈
∈
için
⊆
denir.
∈
şeklinde
∈
için
⊆
= {0}
koşulları sağlanıyorsa {
, ,…,
∈ } K-modül ailesine ’nin
:
Benzer şekilde azalan filtrasyon da tanımlanabilir.
Tanım 2.1.38: bir abelyen grup olsun. ( ) = { | ∈
’nin bir alt grubudur. Bu alt gruba ’nin
ve bir
∈ ℤ için
denir.
= 0}
2.2. Cantor Kümesi
Tanım 2.2.1: ( , ) bir topolojik uzay,
her
komşuluğunda
bulunabiliyorsa
∈
ve
noktasından farklı.
ü
noktasına
⊂
olsun. Eğer
noktasının
kümesine ait en az bir eleman
ğ
denir.
Tanım 2.2.2: Bir kümenin her elemanı aynı zamanda o kümenin yığılma noktası da
oluyorsa bu kümeye
ü
denir.
9
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Osman UYAR
Tanım 2.2.3: ( , ) bir topolojik uzay olsun.
bağlantılı küme ise
ğ
uzayına
Önerme 2.2.4: ( , ) bir topolojik uza ,
∉
,
∈
iken { }, ’i içeren en geniş
∈
ve
denir.
⊂
olacak şekilde hem açık hem kapalı bir
ğ
olur.
≠
∈
olsun. Eğer
ve
varsa ( , ) topolojik uzayı
Tanım 2.2.5: I = [0,1] kapalı aralığını alalım. Bu aralığı üç eşit parçaya bölelim ve
[0, 1⁄3], [1⁄3, 2⁄3], [2⁄3,1] kapalı aralıklarını elde edelim.
= [0, 1⁄3] ∪ [2⁄3,1]
kümesini oluşturalım. Daha sonra [0, 1⁄3] ve [2⁄3,1] kapalı aralıklarını üçer eşit
= [0, 1⁄9] ∪ [2⁄9, 1⁄3] ∪ [2⁄3, 7⁄9] ∪ [8⁄9,1] kümesini
parçaya bölelim ve
⊃
oluşturalım. Bu şekilde devam ederek
=∩ {
| ∈ ℕ} kümesine
ü
⊃⋯⊃
… kümelerini oluşturalım.
denir.
,
Cantor kümesinin tamamen bağlantısız olduğunu gösterelim.
≠
olsun.
= (−∞, ) ∩
∪
ayrıca
olur.
=
<
∉
olduğunu varsayabiliriz.
= ( , ∞) ∩
ve
∩
ve
ve
açık kümeleri için
= ∅ olup
<
∈
ü
<
<
olacak şekilde bir
∈ ℕ alalım.
⊂ ( − , + ) olacak şekilde ∃ ∈
ü
ü
∈
iken
var olup
⊂ ,
ü
üzerindeki metriğe göre
Tanım 2.2.6:
şekilde bir
ü
bir kısmi sıralı küme olsun. ,
∈ varsa ’ya ö
ş ü
10
∈
⊂
> 0 verilsin.
∈ ( − 1⁄3 , + 1⁄3 )
∈
olur.
. Ayrıca
∈
ğ
olur. Buna göre
[0,1] ⊂ ℝ aralığı kapalı ve sınırlı olduğundan kompakttır.
olduğundan
ve
olmak üzere
Cantor kümesinin bir perfect küme olduğunu gösterelim.
1⁄3
∈
⊂ [0,1] kapalı
⊂ [0,1] ⊂ ℝ olduğundan ℝ
.
için
denir.
≤
ve
≤
olacak
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Osman UYAR
Tanım 2.2.7: bir yönlendirilmiş küme olsun. Her ∈
≤
ise
:
→
sürekli fonksiyonlar olsun. Öyle ki ≤
∈
diagramı değişmeli ve her
(
sistemine
Tanım 2.2.8:
⊂∏
denir ve
)
:
için
denir.
= {( ) ∈ |
∈
alt uzayına { ,
=
için
,
varsa, ⋂
Teorem 2.2.10: { ,
=
İspat:
continuum olur.
∈
},
∈
için,
(
(
}
)} olmak üzere
)
topolojik uzayının bir continuum(kompakt,
bağlantılı ve Hausdorff) ailesi olsun. Eğer her
∈
=
ile gösterilir.
∈
≤
ise { ,
≤
ve
topolojik uzaylar ve
→
} ters(projektif) sisteminin
Yardımcı Teorem 2.2.9: { }
şekilde bir
için
,
∈
için
⊂
∩
olacak
continuum uzayların bir ters(projektif) sistemi ise
bir continuumdur.
=∏
, her
∈
için
= ∖ { ∈ | ≤ } olmak üzere
tanımlayalım.
:∏
∈
= {( )| ≤
11
→
için
( )=
} ve
fonksiyonunu aşağıdaki şekilde
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
,
=
,
∏
Buna göre
⊂
∈
≥
=
∈
continuum olur.
olsun.
},
∈
olup her
=
olduğundan
Tanım 2.2.11: { ,
Osman UYAR
∩
’ler continuum olur.
olup Yardımcı Teorem 2.2.9’dan
ve { ,
∈
için
},
∈
≤
ise
=⋂∈
iki ters(projektif) sistem ve ≤
≤
...
...
...
olacak şekilde Φ = { :
(
→
} fonksiyonlar ailesi var ise Φ = { } ∈ ailesine
ters(projektif) limitler arasında Φ:
Teorem 2.2.12: { ,
},
∈
denir. Böylece bu Φ ailesi
⟶
ve { ,
fonksiyonunu belirler.
},
∈
iki ters(projektif) sistem ve
Φ = { } ∈ bu iki ters(projektif) sistem arasında bir fonksiyon olsun. Bu durumda
aşağıdaki koşullar gerçekleşir.
i)
ii)
Eğer Φ sürekli ise Φ de sürekli olur.
Eğer Φ örten ise Φ de örten olur.
12
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Tanım 2.2.13:
bir topolojik uzay olsun.
ç
∈
∈
ve , ’in bir parçalanışı olsun. Eğer her
,
varsa
Teorem 2.2.15:
her
’i örten ayrık kümelerin bir
≺
denir. Ve
⊂
için
olacak
şeklne gösterilir.
tamamen bağlantısız, kompakt, metrik uzay olsun. Bu durumda
∈ ℕ için
iken ( ) =
∈
olacak şekilde sonlu ayrık açık
{ ( , )| ,
∈ } < 1⁄2 ve
→
örtüsü vardır. Ayrıca
projektif limiti ’e homeomorfiktir.
∈ ℕ için Ψ :
İspat: İkinci kısmı ispatlayacağız. Her
fonksiyonunu tanımlayalım.
( ) =
Ψ
ailesine
ş denir.
Tanım 2.2.14:
şekilde
Osman UYAR
( )=
∈
alalım. O halde bir tek
= Ψ ( ) olup
∈
⊂
∈
≺
→
→
için
→⋯
( → )
∈
∈
olduğundan
olur.
∈
olur. O halde Φ = {Ψ } bu iki projektif sistem arasında sürekli ve örten fonksiyon
olur. Φ:
=
⟶
Φ kapalıdır. ,
1⁄2 <
∈
ve
≠
ve
olacak şekilde bir
=
kompakt, lim
olsun. ( , ) =
Hausdorff olduğundan
∈ ℕ alırsak Ψ ( ) ≠ Ψ ( ) olur. O halde
Φ( ) ≠ Φ( ) olup Φ bire-bir bir fonksiyondur. Böylece
→
projektif limiti ’e homeomorfik olur.
Yardımcı Teorem 2.2.16:
−uzayı ve
tamsayı ise
,
=
açık kümeleri seçilebilir.
İspat: İspatı
Dolayısıyla bir
ve
∪ …∪
noktaları
≠
∈
→⋯
herhangi bir pozitif
olacak şekilde boş olmayan
= 2 durumu için yapmak yeterlidir. ∅ ≠
perfect olduğundan
→
herhangi bir kompakt, tamamen bağlantısız, perfect
içinde boştan farklı açık bir küme ve
∪
> 0 vardır.
olacak şekilde bir
⊂
,
,…,
ayrık
açık kümesini alalım.
için ’in her komşuluğu ’den farklı bir eleman içerir.
olan
∈
vardır. O halde
’nun farklı noktaları ise
13
⊆
tek nokta olamaz.
açık-kapalı alt kümesi için
∈
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
∉
ve
,
=
olur.
∩
=
ve
=
boştan farklı olur. Ayrıca
Osman UYAR
−
∪
olmak üzere
olur.
∈
∈
,
olduğundan
Teorem 2.2.17: Herhangi iki tamamen bağlantısız, perfect, kompakt, metrik uzay
homeomorfiktir.
İspat:
ve
bunun gibi uzaylar olsun. (
ayrık açık sonlu örtülerinin dizileri olsun.
) ve (
ve
) sırasıyla
uzaylarının
’nin herhangi bir
için aynı
,…,
=
sayıda elemana sahip olduğunu varsayabiliriz. Eğer
,
ve
ve
=
,…,
ve
’nin aynı sayıda elemanlarının birleşimidir olduğunu varsayabiliriz öyle ki
ise herhangi
şekilde herhangi bir
⊂
eşleştirilir.
⟺
verilsin.
=
şekilde ve
←
,
’nin elemanlarının bir birleşimidir.
⊂
olur. Bu şekilde her
← … ve
=
tersine
’nin elemanlarının bir birleşimidir. Benzer
←
için
← … sırasıyla
olarak tanımlayalım. Her
:
→
=
homeomorfizmadır ve
, ’e
,
ve
ve
:
’ye homeomorfiktir.
sırasıyla
’nin örtüleri
’nin türetilmiş dizileri
∈ ℕ ∪ {0} için
olup
homeomorfizmalarını belirler. O halde
ve
= 1 ve
→
ve :
:
→
= 1 olacak
→
bir
Sonuç 2.2.18: Tamamen bağlantısız, perfect, kompakt, metrik uzay sadece C Cantor
kümesidir.(Homeomorfizm ile)
Sonuç 2.2.19: C Cantor kümesi 2 ’a ve
Teorem 2.2.20: Her
’a homeomorfiktir.
kompakt metrik uzay Cantor kümesinin bir sürekli görüntüsü-
dür.
İspat:
,
,…
’in açık kümelerinin kapanışlarından oluşan sonlu örülerinin bir
dizisi olsun öyle ki
∈
kümesi için
14
( ) < 1⁄2
ve
= 2,3, … için
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
≺
∈ ℕ için
koşulları sağlansın. Her
,…,
=
tanımlanır ve
=
∪ …∪
∈
=⋃
:
Şimdi
→
:
ve
→
İ
için
⋃
⊃
,…,
üzerinde,
ve
( , , )=
:
⋃
fonksiyonu
→
ve
:→
olarak genel ifadeyle
olarak tanımlanır. Dolayısıyla {
fonksiyonunu belirler.
∈
=⋃
⋃
ve
→
:
,
∈
parçası üzerinde
fonksiyonu
⎯ …→
→
,
fonksiyonu
} fonksiyonları
’ler sürekli ve örten olduğundan
üzerinde
projektif sistemi
fonksiyonları sırasıyla
→
⊃
( , , ) = ( , ) ve
parçası üzerinde böylelikle
→
,…,
’ların ayrık birleşimidir.
,
⊃
=
olarak
= ( , , , )
fonksiyonlarını sırasıyla
süreklidir. Bu şekilde devam edersek →
elde edilir. Ayrıca
= ( , )
olur.
( , , , ) = ( , , ) olarak tanımlayalım.
böylelikle
olsun. Böylece
’nin ayrık birleşimidir.
olarak tanımlanır
=
’lerin ayrık birleşimidir.
olarak tanımlanır ve
,
,…,
=
∈
olur. Herhangi bir
= ( , , )
olur.
Osman UYAR
:
⟶
( , )=
,…,
=
=
sürekli ve örtendir. 1,
üzerinde belirlenmiş dönüşüm iken aşağıdaki diyagram elde edilir.
...
...
...
,
∈
alalım.
1
1
= ( , ) ve
üzerinde bir metrik iken
şeklindedir. Benzer şekilde
,
= ( , )şeklindedir ve
üzerindeki bir metrik
∈
,
∈
olur.
( , ), ( , ) = ( , )
, … üzerindeki metrikler belirlenir. Eğer ( ,
15
,
, … ),
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
( ,
,…) ∈
=
ise
olur. ( , ) ve ( , ) için
(
,
)≥ ( ,
Osman UYAR
( )=
( ) = ⋯ ve
( , ) = 0 olur fakat
=( ,
olduğunu gösterelim.
için
≠
:
olur.
→
1⁄2
≥
∪ …∪
için
≥
Dolayısıyla
olduğu için
=( ,
=
için
(
(
∈
∉
,
∈ {( ,
,…) ∈
×
×
sürekli görüntüsüdür.
→
ve
’un tamamen bağlantısız
≠
ve
)=
olsun. Bir
olur. Eğer
)≥ ( ,
,
) olur. O halde
=⋯= (
)<
olur.
∈ ℕ var ki
|
} ve
|
⊂
∈
kümesi hem açık hem kapalıdır.
∉ {( ,
,…) ∈
kümesi perfect kümedir. Ayrıca
,
∈
}
kümesi perfect olmayabilir. Fakat C
kompakt, tamamen bağlantısız ve metriktir. Böylece
kümesidir.
metrik
) → 0 olur. Dolayısıyla bir
tamamen bağlantısızdır.
Cantor kümesi olmak üzere
,
(
=⋯=
→ +∞ iken (
kompakttır. ∏
,..) ∈
)≠
olur. Buna göre
olur. O halde
iken
metrik uzaydır.
, … ),
üzerindeki bir metrik ise her
=
’un bir Cantor kümesi olduğunu
kompakt olduğundan
uzayının bir alt kümesi olduğundan
( )=⋯
(( , ), ( , )) ≠ 0 olduğundan
) olduğu açıktır. Şimdi de
gösterelim. Herhangi bir
( )=
=
örten olduğundan
×
×
kümesi
kümesi Cantor
bir Cantor kümesinin
2.3. Monomial Sıralamaları
[ ,…,
Tanım 2.3.1:
], bir
polinom halkası içindeki bir
üzere bir
Tanım 2.3.2:
…
…
elemanına ise
[ ,…,
], bir
cismi üzerinde bir polinom halkası olsun. Bu
. bir
elemanına
,
denir.
∈
− {0} olmak
cismi üzerinde bir polinom halkası olsun. Bu
polinom halkası içindeki monomiallerin kümesini ℳ ile gösterelim. ℳ üzerindeki
bir ≺ sıralaması aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde tanımlanır.
16
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Herhangi bir (
i)
=
ii)
olur.
,
Herhangi
olur.
iv)
,
Herhangi bir
≺
için
Örnek
,
,
2.3.3:
…
<
ve
ℳ
…
ve ya
…
=
ve
+⋯+
=
=
…
ve ya
,
>
≺
∈ ℳ için 1 ≺
∈ ℳ için eğer
olur.
ℎ
ya
ve
=
+⋯+
=
şeklinde olsun.
…
ise
≺
≺
ise herhangi bir
,
⇔ bir
=
için
alalım.
,…,
. ile gösterilir.
:
≺
∈ℳ
∈ℳ
⇔
,
+⋯+
=
∈ ℳ alalım.
<
+ ⋯+
olması anlamına gelir. Bu sıralama kısaca
şeklinde olsun.
+⋯+
ya da
olur.
≺
ℎ
≺
≺
ve
:
şeklinde olsun.
+⋯+
Örnek 2.3.5: ℳ üzerinde
…
≺
olması anlamına gelir. Bu sıralama kısaca
. olarak gösterilir.
=
∈ ℳ için eğer
üzerinde
Örnek 2.3.4: ℳ üzerinde
=
) ∈ ℳ için ya
≠ 1 olan herhangi bir
iii)
=
,
Osman UYAR
ve bir
ℎ
:
≺
için
⇔
=
+ ⋯+
olması anlamına gelir. Bu sıralama kısaca
gösterilir.
17
,
,
∈ ℳ alalım.
=
<
+⋯+
,…,
=
. olarak
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Osman UYAR
18
3. YARI GRUPLARDA SIRALAMA
Osman UYAR
3. YARI GRUPLARDA SIRALAMA
Assosyatif ikili işleme sahip
′ < ′ sıralaması
, ∈
ve
∈
olmak üzere her
<
oluyorsa sol sıralama, eğer
tanımlanır.
yarı grubu verilsin.
için eğer
<
iken
( ) = {< | <,
sıralamadır} ve
gösterilir. Eğer
<
iken
oluyorsa sağ sıralama olarak
( ) = {< | <,
( )
yarı grubu üzerinde bir sağ sıralamadır} şeklinde
( ) kümeleri arasında her sol sıralamaya
( ) ve
bir grup ise
yarı grubu üzerinde bir sol
bir sağ sıralamayı karşılık getiren bire-bir eşleme vardır. Yani
olur.
Tanım 3.1.1:
,
= {<∈
( )| , ∈
Tanım 3.1.2:
,
∩ …∩
’nin alt kümelerinin
= ) verilsin. < , < ∈
(< , < )=
için
< }⊂
<
⇔
( ) olsun.
<
( )
kümelerini açık kabul eden en küçük topolojiyi koyalım. Bu
,
topolojideki her açık küme
(⋃ ∈Ι
<
yarı grubunun tüm sol ve sağ sıralamalarının kümesi sırasıyla
( ) ile gösterilir. Buna göre
üzerine
üzerindeki bir lineer
şeklindeki kümelerin bir birleşimidir.
,
⊂
( ) için
:
1⁄2 , r = max{ ∈ ℕ ∪ {0}| ,
0, max{ ∈ ℕ ∪ {0}| , ∈
⊂⋯⊂
( )×
olan keyfi tam filtrasyonu
( ) → ℝ fonksiyonunu
∈ , <
⟺ < } ise
, <
⟺ < } yoksa
olarak tanımlayalım.
Önerme 3.1.3: ,
( ) üzerinde bir metriktir ve bu metriğin oluşturduğu
( )
üzerindeki topoloji ile Tanım 3.1.1’de tanımlanan topoloji çakışır. Dolayısıyla bu
topoloji filtrasyonun seçiminden bağımsızdır.
İspat: Öncelikle Tanım 3.1.2’de tanımlanan
metrik olduğunu gösterelim.
19
fonksiyonunun
( ) üzerinde bir
3. YARI GRUPLARDA SIRALAMA
i)
ii)
< ,< ∈
( ) için (< , < ) = 1⁄2 ve ya (< , < ) = 0 olduğu için
< ,< ∈
( ) için
daima (< , < ) ≥ 0 olur.
(< , < ) = 0 ⇔< =< olduğunu göstermeliyiz.
< =< olsun. Her
{ |< |
=< |
olsun. O halde
< |
iii)
Osman UYAR
=< |
∈ ℕ ∪ {0} için < |
} yoktur ve
{ |< |
=< |
= ⋃∞
olup
olarak (< , < ) = 0 ⇔< =< olur.
< ,< ∈
( ) için
=< |
olur. Dolayısıyla
(< , < ) = 0 olur.
(< ,< ) = 0
} yoktur. Her
∈ ℕ ∪ {0} için
olduğundan < =< olur. Sonuç
(< , < ) = (< , < ) olduğunu göstermeliyiz.
(< , < ) = 0 olsun. O halde < =< olup (< , < ) = (< , < ) olur.
(< , < ) ≠ 0 olsun. O halde
<
iv)
<
=
{ ∈ ℕ ∪ {0}| , ∈
} olmak üzere (< , < ) = 1⁄2 ve
⇔
<
=
{ ∈ ℕ ∪ {0}| ,
(< , < ) = 1⁄2
} olmak üzere
<
olup
olmalıdır. Sonuç olarak (< , < ) = (< , < ) olur.
< ,< ,< ∈
olduğu açıktır.
olmak üzere
< =<
olup
(< , < ) = 0 ise
(< , < ) = 1⁄2
{ |< |
=< |
}
=< |
}=
{ |< |
=< |
}
(< , < ) = 1⁄2 olur.
{ |< |
=
=
olur. Bu durumda
{ |< |
olur. Dolayısıyla
olup
(< , < ) ≤ (< , < ) + (< , < )
(< , < ) ≠ 0 olsun.
=
=
∈
(< , < ) ≤ (< , < ) + (< , < ) olduğunu
( ) için
göstermeliyiz.
⇔
=< |
}=
(< , < ) = 0 ise
(< , < ) = 0 ise < =<
{ |< |
=< |
}
olur.
Böylelikle (< , < ) = 1⁄2 olur. Şimdi (< , < ) ≠ 0 olsun. O halde
=
{ |< |
(< ,< ) ≠ 0
=< |
ise
=
} olmak üzere (< ,< ) = 1⁄2 olur. Eğer
{ |< |
(< , < ) = 1⁄2 olur.1⁄2 ≤ 1⁄2 + 1⁄2
≥
olup
≥
olduğunu varsayabiliriz. Eğer
eşitsizlik sağlanır. Şimdi
=
1⁄2 + 1⁄2
{ |< |
<
=< |
<
olsun.
}
>
olmak
üzere
olduğunu göstermeliyiz.
<
ise 1⁄2 ≤ 1⁄2
ise < |
} olmasıyla çelişir.
eşitsizliği sağlanır.
20
=< |
ise < |
=
olup
=< |
ise 1⁄2 ≤
=< |
olup
3. YARI GRUPLARDA SIRALAMA
{ |< |
=
Osman UYAR
=< |
}
olmasıyla
çelişir.
Sonuç
olarak
(< , < ) ≤ (< , < ) + (< , < ) olur.
Bu önerme ile birlikte iki durum ortaya çıkar.
1. Her (< , 1⁄2 ) açık yuvarı Tanım3.1.1’de tanımlanan topolojiye göre açıktır.
(< , 1⁄2 ) ⇔
İspat: < ∈
,
olmak üzere (< , 1⁄2 ) = ⋂
∈
2. Her
…∩
,
,
∩ …∩
kümesi
,
için (< , 1⁄2 ) ⊂
İspat: ∅ ≠
,
∩ …∩
∈ ℕ vardır. < ∈
bir
(< , < ) < 1⁄2 ⇔ < |
,
,
olup (< , 1⁄2 ) ⊂
Teorem 3.1.4:
İspat: Önce
üzere < , < ∈
,
∩ …∩
,
olan r değeri vardır.
,
,
alalım.
,
,…,
,
∈
( ) alalım. < ∈
≠
olur. O halde < ∈
,
= ∅ olup
Şimdi de
olacak şekilde
(< , 1⁄2 ) ⊂
=< |
olur. O halde < ∈
olur.
∩ …∩
,
olur.
∩ …∩
,
,
( )’nin tamamen bağlantısız olduğunu gösterelim. < ≠< olmak
= ∅ olacak şekilde
∩
,
<
∩
,
( ) kompakttır, tamamen bağlantısız topolojik uzaydır.
< , < lineer sıralamaları için
<
∩ …∩
∩ …∩
Dolayısıyla her i∈ {1,2, … , } için
olup
metriğine göre açıktır. Yani her < ∈
olduğunu gösterelim. < ∈ (< , 1⁄2 ) alalım. < |
,
,
olur.
,
açık kümesi için
,
=< |
,
olan ,
,
≠
,< ∈
∈
,
,
,
∪
×
olur. Ayrıca
( ) tamamen bağlantsızdır.
( )’nin kompakt olduğunu gösterelim.
olmak üzere < : < , < , … , < , … ∈
=
,
( ) ve
vardır öyle ki
,
∪
⊂
,
=
⊂⋯⊂
<
( ) dizisini alalım. (< ) dizisinin
21
,
∩
olduğunu göstereceğiz. < ≠< olan
olan ∃( , ) ∈
ve < ∈
,
ise
( ) ve
⊂⋯
’de
3. YARI GRUPLARDA SIRALAMA
aynı olan (< ) alt dizisi,
∈ ℕ için
edersek her
,
Osman UYAR
’de aynı olan (< ) alt dizisi vardır. Bu şekilde devam
,…,
’ler sonlu elemanlı olmak üzere (< ) dizisinin
’de aynı olan (< ) alt dizisi vardır
< ,< ,< ,…
< ,< ,< ,…
.
.
.
< ,< ,< ,…
olmak üzere (< ) dizisinin < =<
şeklindeki (< ) alt dizisini düşünelim. Yani
< : < , < , < , … şeklindedir. (< ) alt dizisini < , < , < , … ile gösterelim.
Aşağıdaki lemma ile bu dizinin yakınsak olduğunu göstereceğiz. Böylece
kompakt olduğunu göstermiş olacağız.
Lemma 3.1.5: < , < , < , … dizisi,
<
⟺
olarak tanımladığımız < sıralamasına yakınsar.
İspat: Önce yukarıda tanımladığımız <
<
(sonlu tane
( )’nin
dışında)
sıralaması için aşağıdaki özellikleri
gösterelim.
< sıralaması bir tam sıralamadır.
i)
dizisinin
, ∈
olsun. ∃ ∈ ℕ için , ∈
’de aynı olan alt dizisi)
< , < , … , < , (< ) dizisinin
< , < , … , < , (< ) dizisinin
olur. < =<
olmak üzere (< : (< )
’de aynı olan alt dizisi
’de aynı olan alt dizisi
22
3. YARI GRUPLARDA SIRALAMA
Osman UYAR
.
.
.
< , < , … , < , (< ) dizisinin
olup
⊂
,<
>
için
göre >
∈
⊂
için ya
⊂⋯⊂
<
ya da
,
olduğundan
için (< ) dizisinin >
< sıralaması bir tam sıralamadır.
<
∈
için tüm terimleri
<
olup ya
, ∈
<
olmak üzere
için
<
<
ise
(sonlu tane
Şimdi < →<
üzere , ∈
(sonlu tane
alalım. O halde
dışında) fakat
olur.
’de aynı olur. Buna
olur. Böylece
=
<
<
’dir.
⟺
<
olur. Böylece <
{ |< |
olur.
<
=< |
⟺
(< , < ) = 1⁄2 ≤ 1⁄2 olup
<
} olmak
(sonlu
(< , < ) ≤
( ) Cantor kümesidir ⇔
Sonuç 3.1.6:
ii)
aynı
dışında) olur. O halde
<
dışında) olup
olduğunu gösterelim.
1⁄2 olur. Böylece < →< olur.
i)
’de
<
ya da
sıralaması bir sol sıralamadır.
tane
,…,
’de aynı olur.
< sıralaması bir sol sıralamadır.
ii)
her
’de aynı olan alt dizisi
’de aynı olan (< ) alt dizisinin terimleri
⊂⋯⊂
O halde ,
, (< ) dizisinin
,…,<
<
’de aynı olan alt dizisi
( )≠∅
Her
,
,…,
elemanlıdır.
,
∈
için
23
,
∩ …∩
,
= ∅ ve ya sonsuz
3. YARI GRUPLARDA SIRALAMA
Osman UYAR
( ) kümesinin perfect olduğunu söyler. Dolayısıyla boştan farklı
İspat: ii) koşulu
her kompakt, metrik, perfect ve tamamen bağlantısız uzay Cantor kümesine
homeomorf olduğundan ispat tamamlanır.
> 1 için
Önerme 3.1.7:
> 1 için
İspat: Varsayalım ki bir
(
=
{ |
,
),…,( ,
(ℤ ) Cantor kümesine homeomorfiktir.
(ℤ ) Cantor kümesine homeomorf olmasın.
(ℤ ) Cantor kümesine homeomorf değildir} olsun.
> 1 ve
(ℤ ) Cantor kümesine homemorf olmadığından Sonuç 3.1.6’dan ( ,
{<∈
)∈ℤ ×ℤ
vardır
(ℤ )| her ∈ {1,2, … , } için
öyle
ki
∩
,
,
−
= (
olmak üzere
−
<
,
) olacak şekilde
∈ ℚ alalım.
<
ℝ açık alt kümesi için bir ,
∈ ℤ yoktur.
⟺ her
,
∈ ℤ için
kümesini alalım. Buna göre
∈
∩ ℚ vardır öyle ki 0 <
ℝ ’de bir hiper düzlemdir. Aslında bir
0} olur.
) vektörünün
∩
= { |⟨ , ⟩ > 0 ve
ise
,…,
≠
,
,
,…,
−
olmak
} ∈ ℝ − {0}
) olur. Böylece
üzere
olmak
−
} olsun. Dikkat edilirse {< ∈
Aksi taktirde < ∈
⟺
iken
∩ …∩
∈ℤ
=
∈
−
üzere
∪
<
⟨ ,
( ∩ ℤ )| Her
( ∩ ℤ ) ve her
∈
dolayısıyla ℚ üzerinde her ∈ {1,2, … , } için
24
için
<
={
idi.
=(
ya da
∈
için
−
−
∈
,…,
−
∈
⟩=
için
<
,…,
−
(
<
⊂
,
= { |⟨ , ⟩ =
ve
ise
olur.
∈
< 0 olur.
ve
= { |⟨ , ⟩ < 0} olmak üzere ℝ ∖ ,
< 0 olur. Her ∈ {1,2, . . , } için
}∈ℤ
∈
∈ ℝ − {0} vardır öyle ki
bağlantılı bileşenlerinden oluşur. ℝ ∖
(
,
,
olur. Böylelikle < sıralamasını ℚ ’e genişletmiş oluruz.
içerir } olmak üzere ℚ ⊗ ℝ ⊃
={
−
∩ …∩
= { ∈ ℝ | ’in ℚ ’deki her komşuluğu pozitif ve negatif elemanlar
Şimdi
={
iken (
,
) vektörünün bir rasyonel katı olmadığını varsayabiliriz. Yani
={<} olsun.
∈
∩
,
≠
kümesini tek elemanlı varsayabiliriz. Öte yandan
−
=
,
} sonlu bir kümedir. Gerektiğinde sonlu
<
sayıda farklı nokta çifti ekleyerek genelliği bozmaksızın
(
∩ …∩
,
),
> 0 ve
} ∈ ℤ ve
) > 0 olur.
−
={|
) +⋯+
−
∈
} = {<} olur.
ise < , ℤ
üzerinde
olacak şekilde bir sıralamaya
3. YARI GRUPLARDA SIRALAMA
Osman UYAR
genişletilebilir. Bu bir çelişkidir. Çünkü ℚ
∈ {1,2, … , } için
üzerinde
∩ ℤ Sonuç 3.1.6’nın koşulunu
olacak şekilde bir tek sıralama vardır. O halde
sağlamıyor. = { , … , } sonlu bir küme olmak üzere
,
şekilde bir tek < sıralaması vardır. Yani öyle (
öyle ki
, İ
∩ …∩
,
sonludur. Öte yandan
− 1 olur. Ayrıca kabulümüzden
Dolayısıyla ya
∩ ℤ = ∅ ya da
∈ {1,2, … , } için
Her
−
∈
<
),…,(
<
<
,…,
,
∩ℤ ⊂
olacak
) ∈ ℤ × ℤ vardır
ve dim( ∩ ℤ ) ≤
( ∩ ℤ ) Cantor kümesine homeomorfiktir.
∩ ℤ = ℤ olur. Eğer
∩ ℤ = ∅ ise = ∅ olur.
olur. Dolayısıyla sonsuz çoklukta
⊂ℝ
hiper düzlemleri ve bu hiper düzlemlere karşılık gelen ℚ üzerinde < sıralamaları
vardır öyle ki ∈ {1,2, … , } için
ise
tek elemanlıdır. Çünkü
rasyonel katı değildi. Bir tek
sonsuz çoklukta
(
−
) ile (
≠
iken (
−
) vektörü (
−
∈
−
) vektörünün
olur. Dolayısıyla
⊂ ℝ hiper düzlemleri vardır öyle ki ∈ {1,2, … , } − { } için
−
) vektörleri aynı bileşende olur. Dolayısıyla ℚ
∩ ℤ ≠ ℤ olur.
<
üzerinde
olurdu ki bu bir çelişkidir. Sonuç olarak
( ∩ ℤ ) Cantor kümesine homeomorf
değildir. Bu bir çelişkidir. Çünkü ( ∩ ℤ ) ⊂ ℤ olduğundan 1 <
− 1 olur ki
∩ℤ =ℤ
olur. Bu bir çelişkidir. Eğer
∈ {1,2, … , } için
sonsuz çoklukta < sıralamaları için
∩ ℤ ≠ ∅ ve
<
( ∩ℤ ) ≤
(ℤ ) Cantor kümesine homeomorf olmayacak şekildeki 1’den
büyük en küçük doğal sayı
idi.
25
3. YARI GRUPLARDA SIRALAMA
Osman UYAR
26
4.İKİ TARAFLI SIRALAMALAR
Osman UYAR
4. İKİ TARAFLI SIRALAMALAR
Bir iki taraflı sıralama, hem sol sıralama hem de sağ sıralama olan bir lineer
sıralamadır.
yarı grubu üzerindeki iki taraflı sıralamaların kümesini
gösteririz. Önerme 3.1.3’e göre
topolojiyi alır.
İ ( ),
Önerme 4.1.1:
İ ( ) kümesi
( ) ve
( )’nin kapalı alt kümesidir. Böylece
İ ( ) ile
( )’den aynı
İ ( ) Cantor
kümesidir ⇔ İ ( ) boştan farklıdır ve ’nin elemanlarından oluşmuş herhangi bir
,
,…,
,
sonsuzdur.
metrik olsun. < ,
<∞
<∞
ise her
İ ( ),
∩ … .∩
,
( ) üzerinde
İspat: Kabul edelim ki
Dolayısıyla
İ ( )∩
dizisi için
∈
<
(sonlu tane
<
için
kümesi ya boştur ya da
’nin bir filtrasyonuyla oluşturulmuş bir
İ ( ) içinde <∞ ∈
⟺
,
( ) limitine sahip bir dizi olsun.
dışında) olur. < ∈ İ ( ) olduğundan
olur. Böylece < ∈ İ ( ) olur. O halde
( )’nin kapalı alt kümesidir. Hipotezin ikinci kısmı Sonuç 3.1.6 ile aynı
ispata sahiptir.
Sanı 4.1.2:
> 1 üreteçli
serbest grubu için
kümesine homeomorfiktir.
⁄
grubunun ⋂∞
= 1 olan
=
⊃
( ) ve İ ( ) uzayları Cantor
⊃ ⋯ alt merkezi serisi verilsin.
grupları üzerindeki her (< ) tam sıralamaları
sıralama belirler öyle ki bu
olmayı korur. Yani
∈
Diğer bir deyişle her ℎ ∈
üzerinde bir tam iki taraflı
üzerinde < ’lar tarafından belirlenen sıralama pozitif
−
ve
>0⇔
’in her elemanı pozitifitir.
için ℎ > 0 olur. (Stephen Willard, 1970 , L. Fuchs,
1963 , H. H. Teh, 1961) Öte yandan her torsiyonsuz abelyen grup üzerinde bir tam
sıralama vardır. (T. Becker ve V. Weispfenning, 1993) Dolayısıyla eğer her
⁄
torsiyonsuz ise her
için
⁄
için
üzerinde bir < tam sıralaması vardır.
27
4.İKİ TARAFLI SIRALAMALAR
Böylelikle bu < sıralamaları
Osman UYAR
üzerinde bir iki taraflı sıralama belirler.
bu iki taraflı sıralamalara
Eğer <∈
i)
İ ( ) ile gösterilir.
İ ( ) ise aşağıdaki özellikler sağlanır.
Her
⁄
için
belirleniyor)
ii)
denir ve
üzerindeki
∈
−
üzerinde < tam sıralaması vardır. (<: < ’lar ile
, ℎ∈
≥ 0 ⇔ ℎ ≥ 0 olur. (Sonlu
olsun. O halde
üretilmişse torsiyonuna bölerek torsiyonsuz abelyen grup sayabiliriz.)
Önerme 4.1.4:
i)
ii)
İ ( ), İ ( )’nin kapalı alt kümesidir.
Eğer
≠ ℤ ve her bir
⁄
faktörü sonlu üretilmiş ise
boş kümedir ya da Cantor kümesine homeomorfiktir.
İ ( ) ya
İspat:
i)
Bir <∉
ℎ<
İ ( ) ise
∈
−
İ ( )−
⁄
,
,
∩ İ ( )⊂ İ ( )−
İ ( ) açıktır. O halde
>
ve
İ ( ) olup
İ ( ) kapalıdır.
gruplarını torsiyonsuz dolayısıyla serbest abelyen grup
varsayabiliriz. Aksi halde
∈
vardır.
olur. Böylece <’nın standart olmayan sıralamalarından oluşmuş
bir açık komşusu vardır. <∈
ii)
ve ℎ ∈
∈
−
∩ …∩
ise bir
ve
,
İ ( ) = ∅ olur. Çünkü ≤∈
∈ ℕ için
∈
İ ( ) olsun.
olur. O halde −
> 0 olup −( − 1) > 0 çelişkisi olur.
∈
,
İ ( )∩
= ∅ ve ya sonsuz elemanlı olduğunu göstermek
yeterlidir. Varsayalım ki
İ ( )∩
28
,
∩ …∩
,
≠ ∅ olsun. Eğer
4.İKİ TARAFLI SIRALAMALAR
bir
için
∩ …∩
,
⁄
Osman UYAR
= ℤ ( ≥ 2) ise Önerme 3.1.7’nin ispatındaki gibi
içinde sonsuz çoklukta
,
elde edebiliriz. Dolayısıyla şimdi her
üzerinde standart sıralama
⁄
için
’nin ℤ ve ya trivial
olduğunu varsayabiliriz. Bu durum aslında her
olması demektir. Gerçekten bir
≥ ) için ve ⋂
(her
Dolayısıyla
.
için
nilpotent grup olur.
⁄
= ℤ varsayabiliriz.
= ℤ olacak şekildeki tek nilpotent grup
⁄
= ℤ tam olarak iki sıralamaya sahip olduğundan
İ ( ) ≈ {0,1}
= {( , ]| ,
⇔
[)
⊂ℝ
)∼( ,
∩
[)
ve
)⟺( ,
∩
(]
×
[)
açıktır.
(] ⁄~
< } kümesini baz kabul eden
∈ ℝ ve
sürekli ve örtendir. ( , ) ∈
=
= ℤ olur.
olur.
topoloji ile olsun. ℝ[)⁄ℤ ⟶
( ,
için
= {[ , )| , ∈ ℝ ve
topoloji ile ve ℝ(] = ℝ:
rasyoneldir diyelim.
=
trivial grup ise
⁄
Örnek 4.1.5: ℝ[) = ℝ:
→
=ℤ
= { } olduğundan
(M. Hall Jr., 1959) Dolayısıyla her
Her
⁄
için
⁄
için
> } kümesini baz kabul eden
ve ℝ(]⁄ℤ ⟶
⊂ ℝ
⊂ℝ
için eğer
olsun öyle ki ( ,
)=( ,
(]
)∈
[) ,
) ve irrasyonel olur.
dönüşümleri için
⁄ ∈ ℚ ise ( , )
( ,
) ∈
(]
iken
, ’in açık kümesidir
Önerme 4.1.6: İ (ℤ ) ’e homeomorfiktir.
İspat: Öncelikle
[)
∪
(]
→ İ (ℤ )’ye bir dönüşüm kuracağız.
üzerinde bir < sıralamasını ilişkilendireceğiz. Bu sıralamaya göre
⟺ ℝ ’deki
ve
− )
=( , )∈ℤ ,
29
∈
(]
∈ ℤ pozitiftir ⟺ ℝ ’deki
vektörleri arasında ki yönelmiş açı [0, ) aralığındadır.
pozitiftir.(0 <
ile ℤ
[)
∈ ℤ pozitiftir
vektörleri arasındaki yönlü açı (0, ] aralığındadır.
üzerinde bir < sı ralamasını ilişkilendireceğiz.
−
∈
∈
, ∈ ℤ için
[)
ve
<
∈ℤ
ve ℤ
ve
⇔
için
4.İKİ TARAFLI SIRALAMALAR
+ −( + )= −
(]
Osman UYAR
+
olup
<
+
olur.
[)
→ İ (ℤ ) ( →< ) dönüşümlerini alalım.
( ,
)∼( ,
[)
∪
(] ⁄~
[)
∪
(]
) olsun. (
,
→ İ (ℤ ) ( →< ) ve
İ (ℤ )
)∈
( ,
[) ,
)∈
=
(] ,
,
irrasyonel olsun. Bu durumda < =< olduğunu gösterelim.
0<
olduğunu görmek yeterlidir. Eğer
⇔0<
0<
ya
:
olur. Varsayalım ki
∥ − olur. O halde
=
[)
([ ]) =
(] ⁄~
∪
→
∈ ℤ için 0 <
arasındaki açı
∈
∈
⇔
∥
ve ya 0 olsun.
irrasyonel olur ki bu bir çelişkidir. Çünkü
İ (ℤ ) dönüşümü şöyle tanımlanır:
[ ] →< ,
[ ] →< ,
) ve
arasındaki açı (0, ) aralığında ise
ile
ile
=( ,
ve
∈ ℤ idi.
[)
(]
dönüşümünün bire-bir olduğunu gösterelim. ([ ]) = ([ ]) olsun. Birinci durum
da
∈
[)
ve
∈
[)
olsun. Varsayalım ki
aralığındadır.
olsun. Bu durumda ([ ]) =< ve ([ ]) =< olur.< =<
∈ ℤ ve
<
≠
ile
+
>
ve 0 <
+
>
olur. İkinci durumda
olsun.
vektörleri arasındaki açı (0, ]
ile
arasındaki açı
−
olsun. Yani
olur. < =< idi. Dolayısıyla 0 <
öyle ki
<
<
ile
([ ]) =< olsun. Benzer şekilde
(]
ve
=
∈
(]
ile
arasındaki açı
olsun. Bu durumda ([ ]) =< ve
olduğu gösterilir. Son olarak
30
ise
olsun. Bu durumda 0 <
çelişkisi oluşur. O halde
∈
arasındaki açı
∈
[)
ve
4.İKİ TARAFLI SIRALAMALAR
∈
(]
Osman UYAR
olsun. Bu durumda ([ ]) = ([ ]) olsun. Yani < =< ⇔
∼
ve ya irrasyonel olur. Böylelikle incelediğimiz bu üç durumla beraber
ℝ − ′nin bağlantılı bileşenleri olmak üzere ℝ −
ise 0 <
∈
ve
ise 0 >
ve – ,
şeklinde düşünebiliriz. ([ ]) =< =< olduğunu gösterelim.
arasındaki açı [0, ) aralığında,
aralığındadır. 0 < −
,
{ ∈
ise –
dönüşümü örtendir. Son olarak
(
,
)⊂ ’in her
<
} olur.
∈
aralığındadır.
⊂
∈
∈ℤ
olur. Böylece
,
ve ya
∈
∈
ise
(]
arasındaki açı (0, )
ile
< 0 ⇔ − > 0 olur.
ise
dönüşümünün sürekli olduğunu
[) |0
= {[ ]| [ ] ∈
<
alalım. 0 <
olacak şekilde
kümesi açıktır.
[)
∈ ℤ için
={ ∈
,
} olmak üzere
ise
’ın bir
ile
={ ∈
(] |0
<
[) |0
<
açık olduğu benzer şekilde gösterilir. Buna göre
arasındaki açı (0, ]
olup
} olmak üzere
Böylelikle dönüşümü süreklidir.
,
}∪
kümesinin açık
komşuluğunu bulmalıyız.
arasındaki açı (0, ] aralığında olur. O halde 0 <
ile
∈
∈ ℤ için açık olduğunu göstermemiz yeterlidir.
= { ∈
olduğunu gösterelim.
ise
∈
olur. Öte yandan
= {< |0 < } kümesi için
(] |0
olur.
doğrusuna paralel (zıt) birim
vektörler olsun. ([ ]) = ([− ]) =< olduğunu iddaa ediyoruz.
gösterelim.
∪
için ([ ]) =< olduğunu
olur. Bir [ ] ∈
’ye paralel iki tane birim vektör vardır.
Böylelikle
=
⊂ ℝ bir boyutlu alt vektör uzayı orjinden geçen bir doğru iken
göstermeliyiz.
ile
dönüşümü
⊂ ℝ bir boyutlu alt uzayı vardır öyle ki
sıralama olsun. Önerme 3.1.7’den bir
∈
=
dönüşümünün örten olduğunu gösterelim. <∈ İ (ℤ ) bir
bire-bir olur. Şimdi
ve
⇔
∈
∈
⊂
kümesinin de
açık bir kümedir.
Her kompakt kümenin bir Cantor kümesi üzerinde tanımlı sürekli bir
dönüşümün görüntüsü olduğu bilinmesine rağmen bu dönüşümü yazmak zordur.
Fakat bu dönüşümü Cantor kümesinden
(ℤ ),
yandan
’e örten bir dönüşüm olarak yazabiliriz.
İ (ℤ )’nin kapalı alt kümesidir.
[)
ve
olduğundan :
(] ’nin
→
topolojileri
İ (ℤ ) de
’e homeomorfiktir. Öte
’in öklidyen topolojisinden daha zengin
sürekli bir dönüşüm olur. Buna göre
31
bir Cantor kümesidir.
4.İKİ TARAFLI SIRALAMALAR
Osman UYAR
32
5. GROBNER BAZINA BİR UYGULAMA
Osman UYAR
5. GROBNER BAZINA BİR UYGULAMA
[ ,…,
{( , … ,
)|
…
], bir
∈ ℤ ve
[ ,…,
≥ 0} olmak üzere
’leri ( , . . ,
…
monomialleri,
] polinom halkası içindeki
)’e götüren izomorfizma ile ℤ ’a
,…,
izomorfik olan bir monoidi belirler. Buna göre (
monomialleri
(
için
=(
…
).
…
(
) = 1, bu monoidin birim elemanıdır. Bir
…
sıralama, eğer
=
cismi üzerinde bir polinom halkası olsun. ℤ
…
)
)
,…,
) ve (
olur.
Ayrıca
kümesi üzerindeki bir lineer
’nin her alt kümesi bir en küçük elemana sahipse iyi sıralamadır.
yarı grubu için
( ) ile gösteririz.
’nin tüm iyi sol sıralamalarının kümesini
[ ,…,
(ℤ ) kümesinin elemanları
olarak adlandırılır. ℤ
] içindeki monomiallerin sıralaması
üzerindeki bir < sol sıralaması bir iyi sıralamadır ancak ve
(ℤ ) =
ancak 0, < sol sıralaması için en küçük elemandır. Böylece
(ℤ ) − (∪
) olur.
,
(ℤ ),
Sonuç 5.1.1:
açık olduğu için aşağıdaki sonucu söyleyebiliriz.
,
(ℤ )’ın bir kapalı alt kümesidir. Teorem 3.1.4’e göre
(ℤ ) kompakttır.
Bunun yanında Önerme 3.1.7’nin ispatında verilen kabul nedeniyle hem
(ℤ ) hem de
∈
Her
(ℤ ) kümeleri
[ ,…,
≠
olarak ayrıştırılır.
> 1 için Cantor kümesine homeomorfiktir.
] polinomu,
≠
için
’ler monomial olmak üzere ∑
’dir ve sıfırdan farklı
’ler
skalerdir. <, monomialler arasında bir sol sıralama ise ℤ
sıralamadır. ( , … ,
) < ( ,…, ) ⇔
monomialler olmak üzere ( ≠
{
Böylece
için
iken
| = 1,2, … , } olur. Yani
,
( ) =<
( )⊲
…
( )=
≠
<(
)
…
=∑
ise her
≠
[ ,…,
∈
için
,
üzerindeki bir
) olur.
’ler farklı
için
için
polinomunun en yüksek dereceli terimi olur. ⊲
|Bir
cisminde
>
[ ,…,
( )=
olur.
] ideali
’’nın en yüksek dereceli monomiali> olur.
] olduğunu gösterelim.
33
5. GROBNER BAZINA BİR UYGULAMA
,
i)
∈
( ) için
−
olsun. O halde bir ℎ ∈
büyük monomialidir.
olarak yazılabilir.
olup
olur. Böylece
ii)
∈
Her
ℎ
{ ,…,
⊲
−
∈
∈
] ve her
=∑
=
ve
+⋯+
∑
] için eğer
∈
( ) =<
−⋯−
∈ ’nın en büyük monomiali
( ) için
,
=∑
⊲
olur.
, ℎ
+⋯+
−
∈
( ) olduğunu
şeklinde yazılır ve bir
, ℎ ’nin en büyük monomialidir.
( ) olur. Benzer şekilde
} ⊂ varsa { , … ,
∈
, ℎ ’nin en
vardır öyle ki
=
( ) olduğu için
olur. Böylece
[ ,…,
−
’nin en büyük monomialidir.
+⋯+
( )olur.
∈
vardır öyle ki
şeklindedir.
=
,
’nin bir monomiali bir
[ ,…,
gösterelim.
ℎ ∈
−
=∑
( ) olduğunu gösterelim.
∈ vardır öyle ki
olsun. O halde bir
=∑
∈
Osman UYAR
[ ,…,
=∑
] olduğundan
’nin en büyük monomiali olup
( ) olduğu gösterilir.
( ), … ,
} kümesine ’nın bir
∈
( ) > olacak şekilde
denir.
Monomialler üzerindeki farklı sıralamalar farklı Grobner bazı verirler. Bunu
bir örnekle görelim.
Örnek 5.1.2:
=<
,
−
> olsun. < sıralaması, Lex. ve ya Deglex. ise bu
sıralamaya göre ’nın Grobner bazı {
,
,
Degrevlex. ise bu sıralamaya göre ’nın Grobner bazı {
Tanım 5.1.3:
[ ,…,
monomial çifti için,
( , ) monomial çiftinin
( , )=
−
,
} olur. < sıralaması,
−
} olur.
] polinom halkasındaki < sıralamasına sahip ( , )
en küçük ortak katı göstermek üzere < sıralamasındaki
−
(
( ),
( )
( , ) aşağıdaki gibi tanımlıdır.
( ))
34
−
(
( ),
( )
( ))
5. GROBNER BAZINA BİR UYGULAMA
Örnek 5.1.4: ( , ) = (
( )=
,
( ),
olup
( , )=
Teorem 5.1.5: { , … ,
) ve < sıralaması Lex. olsun.
−
( )=
,
Osman UYAR
},
(
−
[ ,…,
−
)=
( ) =
olur. Böylece
olur.
] polinom halkasındaki monomiallerin sonlu
bir kümesi ve ( , ), S-polinomları olsun. { , … ,
}, <
,…,
> idealinin bir
Grobner bazıdır ancak ve ancak her , için ( , ) S-polinomlarının ( , … ,
)’ya
tam bölünebilmesidir.
⊲
Önerme 5.1.6:
[ ,…,
] ve
,…,
∈
= {≤∈
olsun.
(ℤ )|
{ , … , }, ≤ sıralamasına göre ’nın bir Grobner bazı} olmak üzere
kümesi,
(ℤ )’ın bir açık alt kümesidir.
İspat: <∈
(ℤ ) alalım. < sıralamasına göre
bölünür. ( , … , )’deki tüm monomialler (
>⋯>
bu sıralamaya göre
…∩
,
⊂
olup ,
Teorem 5.1.7: Her ⊲
,…,
( , ), ( , … , )’ye tam
) olsun. Genelliği bozmaksızın
olsun. Buna göre <∈
(ℤ )’ın bir açık alt kümesidir.
[ ,…,
Böyle bir kümeye ‘
sıralamların kümesi
{ ,…, }
için { , … , } kümesini
olsun. Yani
{ ,…, }
göre { , … , }, ’nın bir Grobner bazıdır} olur.
Ayrıca Önerme 5.1.6’ya göre
sıralamasına göre
(ℤ ) = ⋃ {
{ ,…, }
∩
,
∩
{ ,…, }
denir.
’nın Grobner bazı yapan
= {≤∈
{ ,…, }
kümesi açıktır.
(ℤ )| ≤ sıralamasına
kümesi boş küme olabilir.
{ ,…, } ,
’nın bir Grobner bazıdır. Şimdi ≤∈
,…, }⊂
,
] ideali için her monomial sıralamasıyla ’nın bir
Grobner bazı olan bir sonlu { , … , } ⊂ kümesi vardır.
İspat: Her { , … , } ∈
=
olur. Sonuç 5.1.1’e göre
35
her monomial
(ℤ ) alalım.
(ℤ ) kompakt
5. GROBNER BAZINA BİR UYGULAMA
olduğundan sonlu bir
,
{ ,…,
{ ,…,
},
{
}, … , {
,…,
Aşağıdaki örnek Sonuç 5.1.1’in ℤ
{ ,
,…,
}
örtüsü vardır. Buna göre
, … , ℎ , … , ℎ } kümesi ’nın evrensel Grobner bazıdır.
,…,
[ ,
Örnek 5.1.8:
Osman UYAR
için geçerli olmadığını gösteriyor.
, … ] içindeki monomiallerin monoidi ℤ ’a izomorfiktir.
, … } kümesi üzerindeki herhangi bir < lineer sıralaması
aşağıdaki gibi bir lexiographic sıralama meydana getirir.
=
… ve
≠
olsun.
<
…
olmak üzere < sıralaması ile
<
ancak ve ancak
[ ,
=
olur.
[ ,
[ ,
, … ] üzerinde
, … ] içinde keyfi iki monomial
en küçük değişken olsun. O zaman
lexiograhic anlamına gelmek üzere
, … ] üzerindeki böyle bir sıralamayı < ile gösteririz. < sıralaması bir iyi
sıralamadır ⇔ < bir iyi sıralamadır. < , < , … , < , … iyi sıralamaların bir dizisi
olsun. Bir < sıralaması için
ℤ
’ın {
}
∈ℤ
}
∈ℤ
(< , < ) =
<
<
< … olsun.
, { ,,,,,
olan monomiallerinin kümesi olsun.
filtrasyonu
metriği < , < ∈
<
filtrasyonunu düşünelim öyle ki
toplam derecesi en fazla
{
< …<
(ℤ ) için,
} kümesinin
(ℤ ) üzerinde bir metrik meydana getirir. Bu
1⁄2 , r = max{r| < | =< | } ise
0, max{r| < | =< | } yoksa
olarak tanımlanır.
{ ,
, … } üzerindeki < , < , … , < , … iyi sıralamaların dizisini düşünelim.
Bu dizinin belirlediği < , < , … , < , … lexiographic iyi sıralamaların dizisi
metriğine göre yakınsaktır. Şimdi …
<
36
< …<
<
ile belirli
5. GROBNER BAZINA BİR UYGULAMA
Osman UYAR
lexiographic sıralama tanımlayalım. < , < , … , < , … lexiographic
yeni bir <
sıralamaların dizisinin < lexiographic sıralamasına yakınsadığını gösterelim.
>0
1⁄2 <
için
verilsin. 1⁄2 < olacak şekilde bir
< |
< ,
olup bu dizi <
=< |
[ ,
∈ ℕ alalım.
≥
sıralamasına yakınsar. Böylece
olur. Ayrıca <
iken
= 1,2, … ,
sıralaması ile bir en küçük eleman olmadığından
, … ] üzerinde bir iyi sıralama değildir.
Buna göre
(ℤ ),
(< , < ) =
(ℤ )’ın bir kapalı alt kümesi değildir.
37
5. GROBNER BAZINA BİR UYGULAMA
38
Osman UYAR
KAYNAKLAR
ADAM S. SİKORA, Topology on the spaces of ordering groups, Bull. London
Math. Soc. (2004)
B. H. NEUMANN, ‘On ordered groups’, Amer. J. Math. 71 (1949) 202-252
D. COX, J. LITTLE and D. O’SHEA, Ideals, varieties, and algorithms, an
introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra,
2nd edn (Springer, New York, 1997)
E. P. SIMBIREVA, ‘On the theory of partially ordered groups’, Mat. Sbornik 20
(1947) 145-178 (in Russian)
H. H. TEH, ‘Construction of orders in abelian groups’, Proc. Camb. Phil. Soc.57
(1961) 467-482
L. FUCHS, Partially ordered algebraic systems (Permagon Press, Oxford, 1963)
M. HALL JR., The Theory of Groups (Macmillan and Co., New York, 1959)
N. SCHWARTZ, ‘Stability of Grobner bases’, J. Pure Appl. Algebra 53 (1998) 171186
STEPHEN WİLLARD, General Topology, Addison-Wesley Series in Math. (1970)
T. BECKER and V. WEISPFENNING, Grobner bases, a computational approach to
algebra, Grad. Texts in Math. (Springer, 1993)
W. ADAMS and P. LOUSTAUNAU, An introduction to Grobner bases, Grad. Stud.
Math. 3 (Amer. Soc., Providence, RI, 1994)
39
40
ÖZGEÇMİŞ
1984 tarihinde Adana’da doğdu. 2002 yılında Adana Özel Akdeniz
Lisesi’nden mezun oldu. 2009 yılında Samsun 19 Mayıs Üniversitesi Matematik
Bölümünü bitirdi. 2010 yılında Çukurova Üniversitesi Matematik Bölümü Yüksek
lisansını kazandı ve aynı yılda Matematik Bölümünde Yüksek lisansa başladı.
41