STATİK

STATİK
Ders_4
Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR
DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü
Ders notları için:
http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/
2017-2018 GÜZ
KUVVET VE KUVVET ÇİFTİ SİSTEMLERİNİN
BASİTLEŞTİRİLMESİ VE DAHA DA BASİTLEŞTİRİLMESİ
(EŞDEĞER KUVVET SİSTEMLERİ)
Bugünün Hedefleri:
Sınıf Etkinliği:
a) Bir kuvvetin taşınmasının etklerini
• Sözel Yoklama
hesaplama.
• Uygulamalar
b) Bir kuvvet ve kuvvet çifti sisteminin,
tek bir eşdeğer kuvvet çifti ile
• Eşdeğer Sistemler
gösterilmesi.
• Sistemi İndirgeme
• Kavramsal Yoklama
• Örnek Problem
Çözümü
• Dikkat Yoklaması
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 2/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.61
SÖZEL YOKLAMA
1. Bir rijit cisim üzerine etkiyen kuvvetler ve kuvvet çiftlerinden
oluşan genel sistem _________ indirgenebilir.
A) tek bir kuvvete
B) tek bir momente
C) tek kuvvet ve iki momente
D) tek kuvvet ve tek bir momente
2. Orijinal kuvvet ve kuvvet çifti sistemi ile eşdeğer kuvvet ve
kuvvet çifti sisteminin bir rijit cisim üzerindeki ________
etkileri aynıdır.
A) iç
C) iç ve dış
B) dış
D) mikroskopik
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 3/71
UYGULAMALAR
Şekildeki gibi dört farklı yolla uygulanan kuvvetlerin çubuğu
tutan kişinin elinde oluşturduğu nihai etkiler nedir?
Kuvvet taşıyan çeşitli yapıların tasarımı öncesinde bu farklılıkları
anlamak neden önemlidir?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 4/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.62
UYGULAMALAR (devam)
Bu I kiriş kesiti üzerine çeşitli kuvvetler
ve bir bileşke moment etkimektedir.
??
Bu I kirişin tasarımı sırasında, aynı dış etkiyi
yaratacak şekilde bu kuvvetler ve momentleri
O noktasına etkiyen sadece tek bir kuvvet
ve bir moment ile yerdeğiştirebilseydik oldukça
faydalı olurdu. Bunu nasıl yapacaksınız?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 5/71
KUVVET VE KUVVET ÇİFTİ SİSTEMLERİNİN
BASİTLEŞTİRİLMESİ (Bölüm 4.7)
Bir cisim üzerine belirli sayıda kuvvet
ve moment etkidiğinde, eğer bunları
aynı dış etkilere sahip tek bir kuvvet ve
momente indirgeyebilseydik, bu
etkilerin toplamının cisim üzerindeki
etkisini daha kolay anlayabilirdik.
Bu toplam etki, cisim üzerinde
aynı dış etkiler oluşturacağından,
bu kuvvet ve moment sistemine
eşdeğer sistemler deriz.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 6/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.63
BİR KUVVETİ ETKİ DOĞRULTUSUNDA TAŞIMA
Bir kuvvetin A’dan B’ye taşınması, eğer A ve B vektörün
etki çizgisi üzerindeyse, dış ekilerde herhangi bir değişiklik
yaratmaz.
Bu sebeple, kuvvet vektörleri “kayan vektör” olarak
isimlendirilir (Fakat kuvvetin cisim üzerindeki iç etkileri
kuvvetin tam olarak nereye uygulandığına bağlıdır, bu konuya
sonra tekrar dönülecek).
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 7/71
BİR KUVVETİ ETKİ DOĞRULTUSUNDA TAŞIMA
B
Bir kuvvet taşındığında, eğer etki çizgisi boyunca taşınmazsa,
yarattığı dış etkilerde değişiklik olur!
Yani, bir kuvvetin (yukarıda gösterildiği gibi) A noktasından B
noktasına taşınması, ilave bir moment de doğurur. Dolayısıyla bir
kuvveti taşımanız, yeni bir momenti de “eklemeniz” gerektiği
anlamına gelir.
Bu yeni moment “serbest” bir vektör olduğundan (tekil moment),
bu vektörü cismin herhangi bir noktasına uygulayabilirsiniz.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 8/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.64
KUVVET VE KUVVET ÇİFTİ
SİSTEMLERİNİ BASİTLEŞTİRME
Bir cisim üzerine çeşitli kuvvetler ve
momentler etkidiğinde, kuvvetin herbirini
ve o kuvvetin oluşturduğu momenti ortak
bir O noktasına taşıyabilirsiniz.
Bu durumda tüm kuvvetleri ve
oluşturdukları momentlerin hepsini
toplayabilir ve bunları tek bir kuvvetmoment ikilisi olarak yazabilirsiniz.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 9/71
KUVVET VE KUVVET ÇİFTİ SİSTEMLERİNİ
BASİTLEŞTİRME (devam)
WR = W1 + W2
(MR)o = W1 d1 + W2 d2
Eğer kuvvet sistemi x-y düzlemi üzerindeyse (2D durum), bu
durumda indirgenmiş eşdeğer sistem aşağıdaki üç skaler denklem
ile bulunabilir;
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 10/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.65
BİR KUVVET VE KUVVET ÇİFTİ SİSTEMİNİ
DAHA DA BASİTLEŞTİRME (Bölüm 4.8)
=
=
Eğer FR ve MRO birbirlerine dikse, bu durumda kuvvet
sistemi daha da indirgenerek tek bir FR kuvveti ile ifade
edilebilir, basitçe FR kuvvetini O’dan P’ye taşımak yeterlidir.
Üç özel durumda, aynı noktadan geçen, aynı düzlem üzerinde
olan ve paralel kuvvet sistemlerinde, sistem her zaman tek bir
kuvvete indirgenebilir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 11/71
Aynı noktadan geçen kuvvet sistemleri
Etki çizgileri aynı noktadan geçen sistemler (O’da kesişiyor)
Bu durumda kuvvet sistemi “O” noktasında moment
oluşturmaz, sistem tek bir kuvvete indirgenir:
∑
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 12/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.66
Aynı düzlemdeki kuvvet sistemleri
Bu durumda kuvvetlerin etki çizgileri aynı noktadan geçmez ama
çizgiler aynı düzlemdedir (a şekli).
Bileşke kuvvet yine
∑ ile bulunur ve kuvvetlerle aynı
düzlemdedir. Dahası kuvvetlerin oluşturduğu moment ekseni nu
ve MRO birbirine diktir (b şekli).
düzleme diktir. Bu durumda
’yi, etki çizgisine dik, O noktasından d mesafesi kadar
MRO ,
kaydırılarak ifade edilebilir (c şekli): MRO = d
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 13/71
ÖRNEK I
200 N
3m
3m
3m
50 N
100 N
Verilen: Şekilde, iki boyutlu
(2D) bir kuvvet sistemi ve
geometrisi görülüyor.
İstenen: 1) A’da etkiyen eşdeğer
bileşke kuvvet ve moment,
2) Tek bir eşdeğer bileşke kuvvet
ve bu kuvvetin A’dan uzaklığı.
Plan:
1) FRA ’yı bulmak için kuvvetlerin tüm x ve y bileşenlerini ayrı ayrı topla.
2) A’ya taşınan herbir kuvvetin sebep olduğu momentleri topla ve yaz.
3) FRA kuvvetini belirli bir d mesafesine kaydır öyle ki d = MRA/Fry olsun
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 14/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.67
ÖRNEK I (devam)
200 N
+ FRx= 50(sin 30) + 100(3/5)
3m
3m
3m
50 N
= 85 N
FR
+  FRy= 200 + 50(cos 30) – 100(4/5)
= 163.3 N
+ MRA = 200 (3) + 50 (cos 30) (9)
100 N
– 100 (4/5) 6 = 509.7 N.m (509.7 N.m saat ibrelerine
ters yönde)
FR = ( 852 + 163.32 )1/2 = 184 N
 = tan-1 ( 163.3/85) = 62.5°
Eşdeğer tek kuvvet FR , A’dan d mesafesindeki bir noktaya konabilir.
d = MRA/FRy = 509.7 / 163.3 = 3.12 m
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 15/71
ÖRNEK II
Verilen: Şekilde görülen plaka
üç paralel kuvvet etkisi
altındadır.
İstenen: O noktasındaki eşdeğer
bileşke kuvvet ve moment.
Ayrıca tek bir eşdeğer bileşke
kuvvetin (x,y) konumu.
Plan:
1) FRO = Fi = FRzo k eşdeğer kuvveti bul.
2) MRO =  (ri  Fi) = MRxO i + MRyO j eşdeğer momenti bul.
3) Tek bir eşdeğer bileşke kuvvetin konumu; x = – MRyO / FRzO
ve y = MRxO / FRzO olacaktır.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 16/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.68
ÖRNEK II (devam)
FRO = {100 k – 500 k – 400 k} = – 800 k N
MRO = (3 i)  (100 k) + (4 i + 4 j)  (-500 k)
+ (4 j)  (-400 k)
= {–300 j + 2000 j – 2000 i – 1600 i}
= { – 3600 i + 1700 j }N·m
Tek eşdeğer bileşke kuvvetin konumu ise (sağ el kuralına dikkat!),
x = – MRyo / FRzo = (–1700) / (–800) = 2.13 m
y = MRxo / FRzo = (–3600) / (–800) = 4.5 m
4- 17/71
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
KAVRAMSAL YOKLAMA
1. Direğin üzerindeki kuvvetler ___noktası
üzerinde tek bir kuvvete ve tek bir
momente indirgenebilir.
A) P
B) Q
C) R
z
S
R
Q

P
y
x
2. Bir cisim üzerine iki momentin etkidiğini varsayın. Cismin
rastgele bir noktasındaki olası en basit eşdeğer sistem ____’dir
D) S
E) Bunlardan herhangi biri.
A) bir kuvvet ve bir moment.
B) tek bir kuvvet.
C) tek bir moment.
D) iki moment.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 18/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.69
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I
Verilen: Şekilde, iki boyutlu
(2D) bir kuvvet-kuvvet çifti
sistemi görülüyor.
İstenen: A’da etkiyen
eşdeğer bileşke kuvvet ve
moment.
Plan:
1) FRA ’yı bulmak için kuvvetlerin tüm x ve y bileşenlerini topla.
2) A’ya taşınan herbir kuvvetin sebep olduğu momentleri topla ve
buna 1500 N.m’lik tekil momenti de ekleyerek MRA bileşke
momentini bul ve yaz.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 19/71
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam)
Kuvvet bileşenleri toplanarak:
+ Fx = 450 (cos 60) – 700 (sin 30)
= – 125 N
+  Fy = – 450 (sin 60) – 300 – 700 (cos 30)
= – 1296 N
Şimdi bileşkenin büyüklüğünü ve yönünü bulalım:
FRA = (1252 + 12962)1/2 = 1302 N ve  = tan-1 (1296 /125)
= 84.5°
+ MRA = 450 (sin 60) (2) + 300 (6) + 700 (cos 30) (9) + 1500
= 9535 Nm
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 20/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.610
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II
Verilen: Boruya kuvvetler ve
momentler uygulanmıştır.
İstenen: O’da etkili tek bir eşdeğer
bileşke kuvvet ve moment çifti.
Plan:
a) FRO =  Fi = F1 + F2+ F3
b) MRO =  MC +  ( ri  Fi )
burada,
MC : tekil momentler.
ri : O noktasından herbir Fi kuvvetinin etki çizgisi üzerindeki
herhangi bir noktaya uzanan konum vektörleri.
4- 21/71
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam)
MC1
F1 = {300 k} N
F1
F2 = 200{cos45 i – sin 45 k} N
F3
= {141.4 i – 141.4 k} N
F3 = {100 j} N
r1 = {0.5 j } m, r2 = {1.1 j } m,
F2
r3 = {1.9 j } m
MC2
Tekil momentler:
MC1 = {100 k} Nm
MC2 = 180{cos45 i – sin 45k}Nm
= {127.3 i – 127.3k}Nm
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 22/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.611
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam)
O noktasındaki bileşke kuvvet ve moment çifti:
MC1
FRO =  Fi = F1 + F2+ F3
F1
= {300 k}+{141.4 i – 141.4 k}
+ {100 j}
F3
FRO = {141 i + 100 j + 159 k} N
F2
MRO =  MC +  ( ri  Fi )
M
C2
MRO = {100 k} + {127.3 i – 127.3k}
i
j
k
i
j k
+
0
1.1
0
0 0.5 0 +
+
141.4 0 -141.4
0
0 300
i
0
0
j k
1.9 0
100 0
MRO = {122 i – 183 k} Nm
4- 23/71
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
DİKKAT YOKLAMASI
1. Aşağıdaki kuvvet sistemi için, P’deki eşdeğer sistem______.
A) FRP = 40 N (+x yönünde.) ve MRP = +60 N.m
B) FRP = 0 N ve MRP = +30 N.m
C) FRP = 30 N (+y yönünde.) ve MRP = -30 N.m
D) FRP = 40 N (+x yönünde.) ve MRP = +30 N.m
y
•
1m
1m
P
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
30 N
30 N
40 N
x
4- 24/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.612
DİKKAT YOKLAMASI
2. Cisim üzerine üç adet moment etkidiğini varsayın. Cismin
farklı konumlarındaki eşdeğer sistemler ______ olacaktır.
A) konuma göre farklı
B) tüm konumlarda aynı
C) her yerde sıfır
D) Yukarıdakilerin hiçbiri.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 25/71
sy 58
DİKKAT:
26
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.613
Kuvvetlerin Toplanması
27
O nok. eşdeğer kuvvet sistemi
28
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.614
Örnek:
sy 60
29
30
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.615
Orijinal Kuvvet Sistemi
O nok. Eşdeğer Kuvvet Sistemi
31
Örnek:
sy 65
32
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.616
=
33
34
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.617
Moment Toplamı (Skaler Analiz)
35
36
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.618
Ödev:
Şekilde gösterilen kuvvet sistemini (a) A noktasında eşdeğer
kuvvet-kuvvet çiftine indirgeyiniz, (b) tek bir kuvvete
indirgeyip, AB kirişini kestiği yeri bulunuz.
Cevap: (a) FR = 50.2 kN, theta = 84.3o ve
MRA = 239.46 kNm (saat akrebi yönünde),
(b) d = 4.79 m (A nok. olan mesafe)
4- 37/71
BİR KUVVETİN BİR EKSENE GÖRE MOMENTİ
Bugünün Hedefleri:
a) Skaler Analiz ve
b) Vektör analizi kullanarak
bir kuvvetin bir eksen etrafındaki
momentinin hesaplanması.
Sınıf Etkinliği:
• Sözel Yoklama
• Uygulamalar
• Skaler Analiz
• Vektör Analizi
• Kavramsal Yoklama
• Öenek Problem Çözümü
• Dikkat Yoklaması
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 38/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.619
SÖZEL YOKLAMA
1. Bir kuvvetin önceden tanımlanmış bir eksen etrafındaki momenti
hesaplanacağı zaman, eksenin mutlaka______________boyunca
uzanması gerekir.
A) x ekseni B) y ekseni C) z ekseni D) 3D uzayda herhangi
bir çizgi
E) x-y düzlemindeki herhangi bir çizgi
2. Üçlü skaler çarpım u • ( r  F ) _______ile sonuçlanır.
A) bir skaler büyüklük ( + veya - )
C) sıfır
B) bir vektörel büyüklük
D) bir birim vektör
E) bir imajiner sayı
4- 39/71
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
UYGULAMALAR
“sayfa düzlemi içine
doğru” demektir. P
“sayfa düzlemi
dışına”
rAB
MA
Bir kişi, P kuvveti uygulayarak bu açılı duran civata anahtarı
sayesinde A noktası üzerinde bir MA momenti oluşturmaktadır.
MA momentinin gerçekten tamamı bu civatayı döndürmeye
çalışmakta mıdır? Bu sorunun cevabını nasıl hesaplarsınız?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 40/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.620
UYGULAMALAR (devam)
Bu dirseğin A monşonu (sıkı birleşim) x ekseni etrafında en fazla
125 N.m’lik bir momente karşı koyabilmektedir.
x ekseni etrafında dönüş başlamadan önceki en büyük F kuvveti
nasıl hesaplanır?
(Manşonu direnç momentine ulaştırmayacak en şiddetli F kuvveti)
4- 41/71
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
SKALER ANALİZ
Hatırlayalım!
Skaler bir F kuvvetinin herhangi bir
O noktasında oluşturacağı moment
MO= F dO ile hesaplanır.
Burada dO , O noktasından
kuvvetin etki çizgisine uzanan
dik (en kısa) mesafedir.
do
F
Mo
O
u
P
ruB
B
v
Dolayısıyla, bir kuvvetin bir eksen
etrafındaki momentini bulma “tanımı”
az önce ele alınan soruların çözümüne MA
yardımcı olabilir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
Mu
rAB
θ
A
u
v
4- 42/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.621
SKALER ANALİZ (devam)
Şekilde, y ekseni etrafındaki moment My= Fz (dx) = F (r cos θ)
olacaktır. Bununla birlikte eğer kuvvet kolay bir şekilde
bileşenlerine ayrılmazsa ve “dx” hızlı bir şekilde bulunamazsa,
bu hesaplar can sıkıcı olabilir ve bu durumda vektör analizi
yapmak çok daha kolaydır (işlem hatası riski de azdır).
4- 43/71
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
VEKTÖREL ANALİZ
Hedefimiz F kuvetinin “a ekseni”
etrafındaki momentini (cismi
döndürme etkisini) bulmaktır.
İlk olarak, çapraz çarpım kullanarak
F kuvvetinin a ekseni üzerinde bulunan
herhangi bir O noktası etrafındaki
momentini hesapla.
MO = r  F
Sonra, nokta çarpım kullanarak MO ’nun
a ekseni üzerindeki bileşenini (izdüşümünü) bul.
Ma = ua • MO = ua • (r  F)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 44/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.622
VEKTÖREL ANALİZ (devam)
Ma aşağıdaki şekilde de bulunabilir
Bu yukarıdaki denklem üçlü skaler çarpım
(karma çarpım) olarak isimlendirilir.
Bu denklemde,
ua , a ekseni üzerindeki birim vektörü,
r , a ekseni üzerindeki herhangi bir noktadan kuvvetin etki çizgisi
üzerindeki herhangi bir A noktasına olan konum vektörünü
F ise kuvvet vektörünü temsil etmektedir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 45/71
VEKTÖREL ANALİZ (devam)
Şekilde gösterilen F kuvvetinin y eksenine göre momentini bulmak için
önce, F kuvvetinin y ekseni üzerinde herhangi bir O noktasına göre
momenti bulunur:
MO = r  F
MO momentinin y ekseni üzerine izdüşümü olan My bileşeni
(y ekseni etrafındaki moment) ise skaler çarpım kullanılarak bulunur.
My = j • MO = j • (r  F) sonuç pozitifse + j yönündedir, My = My j
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 46/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.623
ÖRNEK
Verilen: Şekilde görünen
anahtar üzerine bir kuvvet
uygulanmaktadır.
A
B
İstenen: Bu kuvvetin x
ekseni üzerindeki momentinin
büyüklüğü.
Plan:
1) Mx = u • (r  F ) eşitliğini kullan.
2) Öncelikle, F ’i Kartezyen vektör formunda bul.
3) Bu problemde u = 1 i olduğuna dikkat edin.
4) r vektörü O’dan A’ya doğru olan konum vektörüdür.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 47/71
ÖRNEK (devam)
Çözüm:
u=1i
rOA = {0 i + 0.3 j + 0.25 k} m
F = 200 (cos 120 i + cos 60 j
+ cos 45 k) N
= {-100 i + 100 j + 141.4 k} N
Şimdi Mx = u • (rOA  F ) momentini bul.
1
0
0
0
0.3 0.25
-100 100 141.4
= 1{0.3 (141.4) – 0.25 (100) } N·m
= +17.4 N.m (sonuç pozitif çıktı)
+x yönündeki
Mx = 17.4 N·m - saat yönünün tersi yönde.
Mx =
birim vektör
(MO = rOA  F = {17.4 i - 25 j - 30 k} N.m, Mx = i • MO =17.4 N.m)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 48/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.624
KAVRAMSAL YOKLAMA
1. (P  Q) • R vektör operasyonu _______’ye eşittir.
A) P  (Q • R).
B) R • (P  Q).
C) (P • R)  (Q • R).
D) (P  R) • (Q  R ).
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 49/71
KAVRAMSAL YOKLAMA (devam)
2. F kuvveti DC boyunca
etkimektedir. Üçlü skaler
çarpım kullanarak F kuvvetinin
BA çubuğu üzerindeki
momentini hesaplamak için
aşağıdaki konum vektörlerinden
hangisini kullanamazsınız?
A) rBC
B) rAD
C) rAC
D) rDB
E) rBD
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 50/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.625
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ
Verilen: F = 30 N’luk kuvvet
şekilde görülen dirsek (bağlantı
elemanı) üzerine etkimektedir.
 = 60,  = 60,  = 45.
A

İstenen: F kuvvetinin a-a ekseni
üzerindeki momenti.
rOA
ua
Plan:
1) ua ve rOA ’yı bul.
2) F kuvvetini Kartezyen vektör formunda bul.
3) Ma = ua • (rOA  F) eşitliğini kullan.

O
4- 51/71
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam)
Çözüm:
A

ua = j
rOA = {– 0.1 i + 0.15 k} m
rOA
F = 30 {cos 60 i + cos 60 j
+ cos 45 k} N
F = { 15 i + 15 j + 21.21 k} N
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ua

O
4- 52/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.626
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam)
Şimdi üçlü çarpımın sonucunu bul, Ma = ua • (rOA  F)
Ma =
0
- 0.1
15
1
0
15
0
0.15
21.21
N·m
Ma = -1 {-0.1 (21.21) – 0.15 (15)}
A 
= 4.37 N·m
rOA
Ma
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ua

O
4- 53/71
DİKKAT YOKLAMASI
1. F kuvvetinin x ekseni üzerindeki
momentini bulmak için, üçlü
skaler çarpımdaki konum
vektörü______ olmalıdır.
A) rAC
B) rBA
C) rAB
D) rBC
2. Eğer r = {1 i + 2 j} m ve F = {10 i + 20 j + 30 k} N ise,
F’in y-ekseni üzerindeki momenti _______N.m’dir.
A) 10
B) -30
C) -40
D) Hiçbiri.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 54/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.627
BİR KUVVET ÇİFTİNİN MOMENTİ
Bugünün hedefleri:
a) Kuvvet çiftinin tanımlanması ve
b) Bir kuvvet çiftinin momentinin
hesaplanması.
Sınıf Etkinliği:
• Sözel Yoklama
• Uygulamalar
• Bir kuvvet Çiftinin Momenti
• Kavramsal Yoklama
• Örnek Problem Çözümü
• Dikkat Yoklaması
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 55/71
SÖZEL YOKLAMA
1. Statikte, bir kuvvet çifti, dik uzaklık ile ayrılmış________olarak
tanımlanmıştır.
A) aynı yöndeki iki kuvvet
B) aynı büyüklükte iki kuvvet
C) aynı yönde etkiyen eşit büyüklükte iki kuvvet
D) zıt yönde etkiyen eşit büyüklükte iki kuvvet
2. Bir kuvvet çiftinin momenti ______ moment olarak isimlendirilir.
A) serbest/tekil
B) döndüren
C) sabit
D) Sliding
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 56/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.628
UYGULAMALAR
Çarkı döndürmek için 12 N.m’lik bir tork veya moment gerekmektedir.
Yukarıdaki çarkı döndürmek için çark üzerindeki iki tutma yerinden
neden birinde diğerine göre daha küçük kuvvet yeterli olur?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 57/71
UYGULAMALAR (devam)
Eğer bir aracın direksiyonunu iki elinizle birden tutup
çevirirseniz, direksiyona bir kuvvet çifti uygulamış olursunuz.
Havalı direksiyonu olmayan eski tip arabaların-kamyonların
daha büyük mü yoksa daha küçük mü direksiyonları vardı?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 58/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.629
BİR KUVVET ÇİFTİNİN MOMENTİ
Bir kuvvet çifti,
“d” dik mesafesi ile
birbirinden ayrılmış
aynı büyüklükte fakat
zıt yönde etkiyen iki
paralel kuvvet olarak
tanımlanır.
Bir kuvvet çiftinin momenti;
MO = F d (skaler analiz kullanarak) veya
MO = r  F (vektörel analiz kullanarak) olarak tanımlanır.
Burada r , F ’in etki çizgisi üzerindeki herhangi bir noktadan
diğer F ’in etki çizgisine uzanan konum vektörüdür.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 59/71
BİR KUVVET ÇİFTİNİN MOMENTİ
(devam)
Bir kuvvet çiftinin net dış etkisi: net kuvvet
sıfırdır ve net momentin büyüklüğü F * d ‘dir.
Bir kuvvet çiftinin momenti, sadece
kuvvetlerin arasındaki mesafeye bağlı
olduğundan, kuvvet çiftinin momenti
serbest vektördür. Cismin üzerindeki
herhangi bir noktaya taşınabilir ve her
durumda cisme olan dış etkisi aynıdır.
Kuvvet çiftlerinden oluşan momentler
birbiriyle toplanabilir, toplama kuralları ise
genel olarak vektörlerin toplanması ile
aynıdır.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 60/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.630
ÖRNEK I : SKALER YAKLAŞIM
Verilen: İki kuvvet çifti verilen
geometri ile kirişe etkimektedir.
İstenen: Kuvvet çiftlerinden dolayı
oluşan momentlerin bileşkesinin saat
yönünde 1.5 kN.m olması için F’in
büyüklüğü.
Plan:
1) İki kuvvet çiftini toplayarak bileşke kuvvet çiftini (net momenti) bul.
2) Net momenti saat yönünde 1.5 kNm’ye eitleyerek F’i bul.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 61/71
ÖRNEK I : SKALER YAKLAŞIM (devam)
Çözüm:
Net moment:
+  M = – F (0.9) + (2) (0.3)
= – 0.9 F + 0.6
– 1.5 kNm
= – 0.9 F + 0.6
Bilinmeyen F kuvveti için çözülürse
F = 2.33 kN
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 62/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.631
ÖRNEK II : VEKTÖREL YAKLAŞIM
Verilen: Dirsek şeklindeki boruya
450 N’luk kuvvet çifti
etkimektedir.
İstenen: Momentin Kartezyen vektör
formundaki gösterimi.
rAB
FB
Plan:
1) M = r  F ile kuvvet çiftinin momentini bul.
2) r = rAB ve F = FB olarak seç.
3) Çapraz çarpım kullanarak M’yi bul.
4- 63/71
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK II : VEKTÖREL YAKLAŞIM (devam)
Çözüm:
rAB = { 0.4 i } m
FB = {0 i + 450(4/5) j  450(3/5) k} N
= {0 i + 360 j  270 k} N
rAB
M = rAB  FB
i
j
k
N·m
0
0
= 0.4
0 360 270
FB
= [{0(-270) – 0(360)} i – {4(-270) – 0(0)} j
+ {0.4(360) – 0(0)} k] N·m
= {0 i + 108 j + 144 k} N·m
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 64/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.632
KAVRAMSAL YOKLAMA
1. F1 ve F2 bir çift oluşturmaktadır. Bu
kuvvet çiftinin momenti_________.
A) r1  F1
B) r2  F1
C) F2  r1
D) r2  F2
F1
r1
r2
F2
2. Eğer bir cisme üç kuvvet çifti etkiyorsa, sonuç olarak______.
A) net kuvvet 0 (sıfır) değildir.
B) net kuvvet ve net moment 0 ’dır.
C) net moment 0’dır ama net kuvvet her zaman 0 değildir.
D) net kuvvet 0’dır ama net moment her zaman 0 değildir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 65/71
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I
1m
3m
50 N
1m
50 N
80 N
Verilen: İki kuvvet çifti şekilde
görülen geometri ile
cisme etkimektedir ve
d = 4 m’dir.
İstenen: Kuvvet çiftlerinin
bileşkesi.
3m
80 N
Plan:
1) Kuvvetleri x ve y doğrultularında bileşenlerine ayırın,
böylece gerçek kuvvet çiftlerini resmedin!
2) Bu iki kuvvet çiftini birleştirerek bileşke kuvvet çiftini bulun.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 66/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.633
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam)
1m
3m
50 N
1m
Sol üstteki 50 N’un x ve y bileşenleri:
50 N (cos 30) = 43.30 N yukarı yönlü
50 N (sin 30) = 25 N sağa doğru
50 N
Bu kuvvetin bileşenleri ile
diğer 50 N’luk kuvvetin karşılık gelen
bileşenleri bir kuvvet çifti oluşturur mu?
80 N
3m
80 N
Hayır! Sadece 43.30 N’luk bileşenler bir kuvvet çifti yaratır.
Neden?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 67/71
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam)
1m
3m
50 N
Şimdi 80 N’luk kuvveti bileşenlerine
ayıralım:
(80 N) (3/5) = 48 N, yukarı yönde etkir
1m
(80 N) (4/5) = 64 N, sağa doğru etkir
50 N
80 N
3m
Bu kuvvetin bileşenleri ile
diğer 80 N’luk kuvvetin karşılık gelen
bileşenleri bir kuvvet çifti oluşturur mu?
80 N
Net moment eşittir:
+ M = – (43.3 N)(3 m) + (64 N)(4 m)
= – 129.9 + 256 = 126 N.m saat yönünün tersi
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
Pozitif
dönüş yönü
kabulümüz
4- 68/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.634
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II
Verilen: F = {80 k} N ve
– F = {– 80 k} N
İstenen: Dirsek boruya
etkiyen kuvvet çiftinin
(momentin) Kartezyen vektör
formundaki gösterimi.
rAB
Plan:
1) M = r  F ile kuvvet çiftini (momenti) bul.
2) r = rAB ve F = {80 k} N olarak al.
3) Çapraz çarpımı hesapla ve M’yi bul.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 69/71
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam)
rAB = { (0.3 – 0.2 ) i + (0.8 – 0.3) j + (0 – 0) k } m
= { 0.1 i + 0.5 j } m
F = {80 k} N
i
j
k
N·m
0.1
0.5 0
0
0
80
= {(40 – 0) i – (8 – 0) j + (0) k} N · m
M = rAB  F =
= { 40 i – 8 j } N · m
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 70/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.635
DİKKAT YOKLAMASI
1. Şekilde gösterildiği gibi kirişe bir kuvvet çifti etkimektedir.
Bunun momenti_____ N·m’ye eşittir.
50 N
A) 50
B) 60
C) 80
D) 100
1m
2m
5
3
4
2. Kuvvet çiftinin momenti
M = r  F ile hesaplanır.
Eğer F = { -20 k} N ise (-z yönü),
r ____.
A) rOB
B) rAB
C) rAO
D) rBA
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 71/71
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.636