DİNAMİK

17.9.2017
DİNAMİK
Ders_4
Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR
DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü
Ders notları için:
http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/
2017-2018 GÜZ
KİNETİK:
*
NEWTON’UN HAREKET KANUNLARI, HAREKET DENKLEMLERİ
Bugünün Hedefleri:
1. İvmelenen bir cisim için
hareket denkleminin yazılması.
Sınıf Etkinliği:
2. İvmelenen bir cismin
• Sözel Yoklama
Serbest Cisim Diyagramı ve
Kinetik Diyagramının çizilmesi. • Uygulamalar
• Newton’un Hareket Kanunları
• Newton’un Yerçekimi Kanunu
• Bir Parçacığın veya bir
Parçacık Sisiteminin Hareket
Denklemi
• Kavramsal Yoklama
• Öenek Problem Çözümü
• Dikkat Yoklaması
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 2/103
1
17.9.2017
SÖZEL YOKLAMA
*
1. Newton’un ikinci kanunu matematiksel formda F = ma
şeklinde yazılabilir. Kuvvetlerin toplanması sırasında (F),
________ dahil edilmez.
A) dış kuvvetler
B) ağırlıklar
C) iç kuvvetler
D) Yukarıdakilerin hepsi.
2. n adet parçacık için hareket denklemi Fi =  miai = maG
şeklinde yazılabilir, burada aG _______.
A) herbir parçacığın ivmesinin toplamıdır
B) sistemin kütle merkezinin ivmesidir
C) en büyük parçacığın ivmesidir
D) Üsttekilerin hiçbiri.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 3/103
UYGULAMALAR
Bir cismin hareketi ona etkiyen
kuvvetlere bağlıdır.
Bir paraşütçü, hızını sınırlamak için
paraşütü tarafından oluşturulan
atmosferik direnç kuvvetine güvenir.
Peki, direnç kuvveti biliniyorsa, herhangi
bir anda paraşütçünün hızı ve ivmesini nasıl
hesaplayabiliriz? İniş sırasında bunun
Bir Miktar Önemi Vardır!!
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 4/103
2
17.9.2017
UYGULAMALAR (devam)
Bagaj treni A, yük arabaları B ve C’yi
çekmektedir.
Eğer trenin hareketini sağlayan
tekerlerde gelişen sürtünme
kuvvetini bilseydik, trenin ivmesini
hesaplayabilir miydik?
Nasıl ?
Peki, tren ve yük arabası B’yi birbirine bağlayan halattaki yatay
kuvveti de bulabilir miydik?
İşte bu bağlantıyı sağlayan halatı tasarlayacak olsaydık buna
ihtiyacımız olacaktı (veya neden koptuğunu anlamak isteseydik).
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
4- 5/103
UYGULAMALAR (devam)
Bir yük asansörü, bir motor ve ona
bağlı bir kablo-makara sistemi ile
hareket etmektedir.
Asansörü hareket ettirmek için gerekli
olan kablodaki çekme kuvvetini ve
verilen bir ivme için yükü nasıl
hesaplarız? Kullanılacak kablonun
çapına karar vermek için bunlar gerekli
olacaktır.
Kablodaki çekme kuvveti, asansör ve içindeki yükün
ağırlığından daha mı büyüktür?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 6/103
3
17.9.2017
*
NEWTON’UN HAREKET KANUNLARI
Bir parçacığın hareketi, Newton’un üç hareket kanunu ile
temsil edilebilir.
Birinci Kanun: Başlangıçta durağan halde olan veya düz bir çizgi
üzerinde sabit hızla hareket eden bir parçacık, eğer cisim üzerine
etkiyen bileşke kuvvet sıfırsa, hareket durumunu korur.
İkinci Kanun: Eğer cisim üzerine etkiyen bileşke kuvvet sıfır
değilse, parçacık bileşke kuvvetle aynı yönde bir ivmeye maruz
kalır. Bu ivmenin büyüklüğü bileşke kuvvetle orantılıdır.
Üçüncü Kanun: Her etkiye karşı, etkiyle aynı doğrultuda, zıt
yönde ve aynı büyüklükte bir tepki oluşur.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
4- 7/103
NEWTON’UN HAREKET KANUNLARI (devam)
Birinci ve üçüncü kanunlar Statik kavramlarını geliştirmek için kullanılır.
Newton’un ikinci kanunu dinamiğin temellerini oluşturur.
Newton’un ikinci hareket kanunu matematiksel olarak gösterilirse,
F = ma
burada F parçacık üzerine etkiyen dengelenmemiş bileşke kuvvet
ve a da parçacığın ivmesidir.
Positif skaler m ise, parçacığın kütlesidir.
F = 0 ise parçacık durağan haldedir veya sabit hızla hareket ediyordur
=> Statik (denge durumu)
Newton’un ikinci kanunu, parçacığın hızı ışık hızına yaklaştığında
veya parçacığın boyutu fazlaca küçük olduğunda kullanılamaz
(~ bir atom büyüklüğü) => Kuantum Mekaniği
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 8/103
4
17.9.2017
NEWTON’UN YERÇEKİMİ KANUNU
Herhangi iki parçacık veya cisim arasında karşılıklı olarak
etkiyen yerçekimsel bir çekim kuvveti bulunmaktadır.
Newton, bu kuvveti yöneten kanunu aşağıdaki şekilde formüle
etmiştir:
m m
F = G 12 2
r
burada F = iki cisim arasındaki çekim kuvveti,
G = üniversal yerçekim sabiti (66.73 10-12 m3/kgs2),
m1, m2 = herbir cismin kütlesi ve
r = iki cismin merkezleri arasındaki uzaklık.
Yer yüzeyine yakın isek, anlamlı tek çekim kuvveti dünya ile
cisim arasında olandır. Bu kuvvete biz cismin ağırlığı diyoruz.
4- 9/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
KÜTLE VE AĞIRLIK
Bir cismin kütlesi ve ağırlığı arasındaki farkı anlamak önemlidir!
Kütle, cismin değişmez bir özelliğidir. Ölçüldüğü yerdeki
yerçekim alanından bağımsızdır. Kütle, Newton’un ikinci
hareket kanununda belirtildiği gibi (m = F/a), bir cismin
hızlanmaya karşı göstediği direncin bir ölçüsüdür.
F=
Lineer momentum
Bir cismin ağırlığı, ölçüldüğü yerdeki yerçekimsel alana bağılı
olduğundan, mutlak değildir. Ağırlık şu şekilde tanımlanır;
m2
W = mg
W=m
r2
burada g yerçekim ivmesidir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 10/103
5
17.9.2017
*
BİRİMLER: SI BİRİM SİSTEMİ
SI birim sistemi: Bu birim sisteminde
kütle temel bir birimdir ve ağırlık ise
ona bağlı olarak türetilen birimdir.
Tipik olarak, kütle kilogram (kg)
cinsindedir ve ağırlık da W = mg
denklemi ile hesaplanır.
Eğer yerçekim ivmesi (g) m/s2
biriminde tanımlanmışsa, bu durumda
ağırlık Newton (N) cinsindendir.
Dünyanın yüzeyinde, g = 9.81 m/s2 olarak alınabilir.
W (N) = m (kg) g (m/s2)  N = kg·m/s2
1 N = 1 kg kütleyi 1 m/s2 ile ivmelendirmek için gerekli kuvvettir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
4- 11/103
HAREKET DENKLEMİ (Bölüm 13.2)
Bir parçacığın hareketi, parçacık üzerindeki dengelenmemiş kuvvetle
onun ivmesini ilişkilendiren Newton’un ikinci kanunuyla ifade edilebilir.
Eğer parçacık üzerine birden fazla kuvvet etkiyorsa, hareket denklemi
F = FR = ma
burada FR tüm kuvvetlerin vektörel toplamı olan bileşke kuvvettir.
Denklemi canlandırmak için, iki kuvvet
etkisi altındaki bir parçacığı düşünelim.
Serbest Cisim
Diyagramı
Kinetik
Diyagram
Önce, cisim üzerine etkiyen tüm
kuvvetlerin gösterildiği serbest
cisim diyagramını çizelim.
Sonra, bileşke kuvvet FR ile aynı
yönde etkiyen ma atalet kuvvetini
gösteren kinetik diyagramı çizelim.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 12/103
6
17.9.2017
EYLEMSİZ REFERANS ÇERÇEVE
Bu hareket denklemi ancak, eğer ivme ölçümü Newtonyen
veya eylemsiz referans çerçeve içerisinde yapılıyorsa
geçerlidir. Bu ne demek?
Referans aldığımız eksen ivmeli bir hareket yapmıyor!!
Eğer hareketle ilgili problem dünya yüzeyinde veya
yakınlarında bir yerde oluşuyorsa, biz tipik olarak
“eylemsiz çerçeveyi” dünyaya sabitlenmiş olarak
varsayarız. Dünyanın dönüşünden kaynaklı ivme etkilerini de
ihmal ederiz.
Uyduları veya roketleri ilgilendiren problemlerde, eylemsiz
referans çerçeve genellikle yıldızlara sabitlemiştir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 13/103
BİR PARÇACIK SİSTEMİ İÇİN HAREKET DENKLEMİ
(Bölüm 13.3)
Hareket denklemi parçacık sistemlerini içerecek şekilde
genişletilebilir. Bu katı, sıvı ve gaz sistemlerinin hareketlerini içerir.
Statikte olduğu gibi, sistem üzerine
etkiyen iç kuvvetler ve dış kuvvetler
bulunmaktadır. Aralarındaki fark nedir?
m = mi tüm parçacıkların toplam kütlesi ve
aG ise parçacıkların kütle merkezi G’nin
ivmesi olarak tanımlanırsa, bu durumda,
m aG = mi ai .
Bu tanım detayları vermektedir, fakat bir parçacık sistemi için:
F = m aG olur, burada F mevcut sistem üzerine etkiyen
dış kuvvetlerin toplamıdır.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 14/103
7
17.9.2017
*
ANAHTAR NOKTA
1) Newton’un ikinci kanunu “doğanın kanunu”dur – analitik
bir kanıtın sonucu değildir, tamamen deneysel olarak bulunur.
2) Kütle (cismin bir özelliği) cismin hızlanmaya karşı gösterdiği
direncin bir ölçüsüdür => atalet
(Örn: F1=ma1 , F1=2m a1/2 => v= a1/2 t)
3) Ağırlık (bir kuvvettir) o anki yerçekim alanına bağlıdır.
Bir cismin ağırlığının hesaplanması için F = ma denklemi
çalıştırılır: W = mg.
4) Dengelenmemiş kuvvetler cisimde ivmelenme oluşturur.
Bu koşul tüm dinamik problemler için esastır.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
4- 15/103
HAREKET DENKLEMİNİN UYGULANMASI İÇİN
PROSEDÜR
1) Uygun bir eylemsiz koordinat sistemi seç.
Dik, normal/teğetsel veya silindirik koordinatlar kullanılabilir.
2) Cismin üzerine etkiyen tüm dış kuvvetleri gösteren bir
serbest cisim diyagramı çiz. Kuvvetleri uygun şekilde
bileşenlerine ayır.
3) Parçacığın ma atalet kuvvetini gösteren kinetik diyagramını çiz.
Bu vektörü uygun şekilde bileşenlerine ayır.
4) Skeler bileşenlere hareket denklemini uygula ve
bilinmeyenleri bulmak için denklemleri çöz.
5) İlave denklemler oluşturmak için uygun kinematik ilişkiler
kurmak gerekebilir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 16/103
8
17.9.2017
ÖRNEK 1
*
Verilen: 25-kg’lık bir blok
F=100 N’luk bir kuvvete maruzdur.
Yay, k = 200 N/m ’lik bir rijitliğe
sahiptir ve A noktasında iken serbest
durumda (uzatılmamış halde)
bulunmaktadır. Temas yüzeyi ise düz
bir zemindir (=> sürtünmesiz!!).
İstenen: s=0.4 m ’deyken bloğun serbest cisim diyagramını ve
kinetik diyagramını çizin.
Plan: 1) Bir eylemsiz koordinat sistemi tanımlayın.
2) Bloğun tüm dış kuvvetlerini gösteren serbest cisim
diyagramını çizin.
3) Bloğun, tüm atalet kuvvetlerini gösteren uygun yöndeki
kinematik diyagramını çizin=> şu an için ivme istenmiyor
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 17/103
ÖRNEK 1 (devam)
*
Çözüm:
1) Yere sabitlenmiş bir x-y eylemsiz çerçeve tanımlanabilir.
2) Bloğun serbest cisim diyagramını çizin
W = 25g
y
F=100 (N)
x
4
Fs= 200  (N)
= 40 (N)
3
N
Ağırlık kuvveti (W), bloğun kütle
merkezinden aşağı doğru etkimektedir.
F, uygulanan yüktür ve Fs = 200 (N)
yay kuvvetidir, burada  yaydaki şekil
değiştirmedir (uzama yönünde).
s = 0.4 iken,
 = 0.5  0.3 = 0.2 m.
N normal kuvveti yüzeye diktir. Temas
yüzeyi düz olduğundan herhangi bir
sürtünme kuvveti yoktur.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 18/103
9
17.9.2017
ÖRNEK 1 (devam)
*
3) Bloğun kinetik diyagramını çizin.
25 a
Blok sağa doğru hareketlenecektir.
Eğer blok hızlanıyorsa ivme de
sağa doğrudur, fakat yavaşlıyorsa
bu durumda ivme sola doğru olur.
4- 19/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
KAVRAMSAL YOKLAMA
*
1. Blok (kütle = m) yukarı yönde v hızı ile ilerlemektedir.
Eğer kinetik sürtünme katsayısı k ise, SCD’yi çizin.
mg
mg
v
kN
A)
kN
B)
N
N
mg
kmg
C)
N
D) Hiçbiri.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 20/103
10
17.9.2017
KAVRAMSAL YOKLAMA
*
2. Meyve kutularını test eden bir makina kutu üzerine aynı
anda ay = 20 m/s2 ve ax = 3 m/s2 ivme uygulamaktadır. Bu
y
durum için uygun SCD ve kinetik diyagramı seçin.
A)
may
W
=
Rx
•
=
max
Rx
Ry
C)
may
=
x
W
B)
D)
may
W
=
•
max
Ry
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
max
Ry
•
Ry
•
4- 21/103
ÖRNEK 2
Verilen: 10-kg’lık bir blok
F=500 N’luk bir kuvvete maruzdur.
Rijitliği k = 500 N/m olan bir yay
bloğa tutturulmuştur. s = 0 iken blok
durağan halde ve yay serbest
uzunluğundadır (sıkıştırılmamış).
Temas yüzeyi ise düz bir zemindir.
İstenen: Bloğun SCD ve kinematik diyagramını çizin.
Plan: 1) Bir eylemsiz koordinat sistemi seçin.
2) Bloğa etkiyen tüm dış kuvvetleri gösteren serbest
cisim diyagramını çizin.
3) Bloğun, ma atalet kuvvet vektörünü gösteren uygun
yöndeki kinematik diyagramını çizin.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 22/103
11
17.9.2017
ÖRNEK 2 (devam)
*
Çözüm:
1) Yere sabitlenmiş bir x-y eylemsiz çerçeve tanımlanabilir.
2) Bloğun serbest cisim diyagramını çizin :
Ağırlık kuvveti (W), bloğun kütle merkezinF=500 (N) W = 10 g
den aşağı doğru etkimektedir. F, uygulanan
3
yüktür, Fs = 500 s (N) ise yay kuvvetidir,
Fs=500 s (N)
4
burada s yaydaki şekil değiştirmedir
y
(kısalma yönünde). N normal kuvveti
x
yüzeye diktir. Temas yüzeyi düz olduğundan
N
herhangi bir sürtünme kuvveti yoktur.
3) Bloğun kinetik diyagramını çizin :
Blok sağa doğru hareket edecektir. Eğer
blok hızlanıyorsa ivme de sağa doğrudur,
fakat yavaşlıyorsa bu durumda ivme sola
doğru olur.
10 a
4- 23/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
DİKKAT YOKLAMASI
*
1. Hareket denklemi analizine iç kuvvetler dahil edilmez çünkü
iç kuvvetler_____
A)
B)
C)
D)
sıfıra eşittir.
eşit ve zıt yönlüdür, hesapları etkilemez.
ihmal edilebilecek kadar küçüktür.
önemsizdir.
2. 10 N’luk bir blok başlangıçta v hızı ile aşağı doğru
kaymaktadır. Bloğu durağan hale getirmek için F
kuvveti uygulanmıştır. Uygun SCD’yi seçiniz.
A) 10
B) 10 F
C) 10 F
F
v
k 10
N
k N
N
F
k N
N
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 24/103
12
17.9.2017
ÖRNEK 3: Ders dışında incelenecek
10 kg’lık top, başlangıç hızı (v0)
50 m/s olacak şekilde fırlatılıyor.
Topun çıkabileceği maksimum
yüksekliği;
a) atmosferik direnci ihmal ederek,
b) atmosferik direnci F0 = (0.01 v2)
alarak (v m/s cinsinden) bulunuz.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 25/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 26/103
13
17.9.2017
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 27/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 28/103
14
17.9.2017
*
HAREKET DENKLEMLERİ:
-DİK KOORNİNAT SİSTEMİ-
Bugünün hedefi:
1. Doğrusal hareket eden
parçacıkların kuvvet ve
ivmelerini hesaplamak için
Newton’un ikinci kanununu
uygulama.
Sınıf Etkinliği:
• Sözel Yoklama
• Uygulamalar
• Dik (Kartezyen) Koordinat
Sistemi kullanarak Hareket
Denklemi Kurma
• Kavramsal Yoklama
• Örnek Problem Çözümü
• Dikkat Yoklaması
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
4- 29/103
SÖZEL YOKLAMA
1. Dinamikte, hareket eden bir nesneye etki eden sürtünme
kuvveti her zaman ________
A) hareket yönündedir.
B) bir kinetik sürtünmedir.
C) bir statik sürtünmedir.
D) sıfırdır.
2. Eğer bir parçacık bir yaya tutturulmuşsa, elastik yay kuvveti
F = ks ile ifade edilebilir. Buradaki s __________.
A) yay sabitidir
B) yayın serbest uzunluğudur
C) şekil değiştirmiş ve serbest durumdaki uzunlukların farkıdır
D) yayın şekil değiştirmiş boyudur
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 30/103
15
17.9.2017
*
UYGULAMALAR
Eğer bir adam 1000 N’luk bir sandığı sürüklemeye çalışırsa,
hareketi başlatmak için ne büyüklükte bir F kuvvet sarf etmesi
gerekir? Sandığın harekete başlaması için gereken kuvvetin
büyüklüğüne etki eden faktörler nedir?
Eğer sandık harekete başlamışsa, ivme var mıdır?
Bu cevapları bulmanız için öncesinde neleri bilmeniz gerekir?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 31/103
UYGULAMALAR (devam)
Hava içerisinde hareket eden cisimler (veya başka bir akışkan)
üzerine hava sürtünmesi etki eder. Bu sürtünme kuvveti hızın
bir fonksiyonudur.
Eğer yarış arabası belirli bir anda bilinen bir hızla seyahat
ediyorsa ve ters yöndeki sürtünme kuvvetinin zaman bağlı
büyüklüğü hızın bir fonksiyonu olarak verilmişse, motoru
durduktan sonra yarış arabasının ne kadarlık sürede ve
ne mesafede duracağını hesaplayabilir miydik? Nasıl ?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 32/103
16
17.9.2017
*
DİK KOORDİNATLAR
(Bölüm 13.4)
F = ma hareket denklemi en iyi şekilde, problemde özellikle
kuvvet (özellikle yörüngeye dik kuvvetler), ivme, hız veya
kütlelerin bulunması istendiğinde kullanılabilir. Hatırlayın,
dengelenmemiş kuvvetler ivmenin oluşmasına sebep olur!
Üç skaler denklem aşağıdaki vektörel denklemden yazılabilir.
Bir vektörel denklem olan hareket denklemi, Kartezyen (dik)
koordinat sistemindeki üç bileşen cinsinden ifade edilebilir,
F = ma
veya Fx i + Fy j + Fz k
= m(ax i + ay j + az k)
Veya skaler denklem olarak, Fx = max, Fy = may ve Fz = maz
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
4- 33/103
ANALİZ PROSEDÜRÜ
• Serbest Cisim Diyagramı (herzaman kritik önemdedir!!)
Koordinat sisteminizi kurun ve sadece dış kuvvetleri
gösteren parcacığın serbest cisim diyagramını çizin. Bu dış
kuvvetler genellikle ağırlık, normal kuvvetler, sürtünme
kuvvetleri veya uygulanan kuvvetleri içerir.
‘ma’ vektörünü (bazen atalet kuvveti olarak isimlendirilir)
ayrı bir şekilde kinetik diyagram üzerinde gösterin.
Hareketin tersi yönde etkiyen bir sürtünme kuvveti olup
olmadığını kontrol edin!
Eğer parçacık doğrusal elastik bir yaya bağlı ise, ‘k s’
değerine eşit bir yay kuvveti de SCD üzerinde gösterilmelidir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 34/103
17
17.9.2017
ANALİZ PROSEDÜRÜ (devam)
*
• Hareket Denklemi
Eğer kuvvetler doğrudan serbest cisim diyagramı üzerinden
çözülebilirse (genelde 2D problemler), bu durumda hareket
denkleminin skaler formunu kullanın. Daha karmaşık durumlarda
(genellikle 3D durum), herbir kuvveti Kartezyen vektör formunda
göstermek ve bir vektörel analiz yapmak en doğru yaklaşımdır.
İkinci kanunun Kartezyen vektör formülasyonu,
F = ma veya
Fx i + Fy j + Fz k = m(ax i + ay j + az k)
Üç skaler denklem, bu vektör denklemi kullanılarak
yazılabilir. Eğer hareket iki boyutluysa (2D), sizin sadece iki
denkleme ihtiyacınız olur.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 35/103
ANALİZ PROSEDÜRÜ (devam)
*
• Kinematik
Newton’un ikinci kanunu sadece kuvvetler ve ivmeler için
bir çözüm sunar. Eğer hız ve konumun bulunması
gerekiyorsa, hareket denklemi kullanılarak ivme bulunduktan
sonra kinematik denklemler de kullanılmalıdır.
Problemi çözmek için ilk haftalarda öğrenilen kinematik
araçlardan (dik, n-t, silindirik koord.) uygun olanı kullanılabilir.
Fakat bu aşamada problemin hareket denklemi kısmında
kullanılan pozitif koordinat yönleri ile uyumlu yönler
kullandığınızdan emin olmanız gerekir!
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 36/103
18
17.9.2017
ÖRNEK 4
*
Verilen: Motor kabloyu sabit
ivmeyle içine doğru sarmaktadır,
öyleki, başlangıçta durağan haldeki
20-kg’lık sandık s = 6 m’lik yolu 3
s’de almıştır. k = 0.3.
İstenen: Kabloda gelişen çekme
kuvveti.
Plan:
1) Sandığın SCD ve kinetik diyagramını çizin.
2) Kinematik bir denklemle sandığın ivmesini hesaplayın.
3) Kablo kuvvetini hesaplamak için hareket denklemini kullanın.
4- 37/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK 4 (devam)
*
Çözüm:
1) Sandığın serbest cisim diyagramı ve kinetik diyagramını çizin.
W = 20 g
20 a
T
y
x
Fk= 0.3 N
°
=
N
Hareket yokuş yukarı olduğundan, x ekseni eğimli yüzey
boyunca uzanacak şekilde x-y eksenini döndürün. Bu
durumda hareket, sadece x doğrultusunda oluşacaktır.
Yüzey ve sandık arasında bir sürtünme kuvveti olur.
Bu kuvvet, neden SCD üzerinde gösterildiği yöndedir?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 38/103
19
17.9.2017
ÖRNEK 4 (devam)
*
2) Kinamatik denklem kullanılarak
s = v0 t + ½ a t2
 6 = (0) 3 + ½ a (32)
 a = 1.333 m/s2
s = 6 m at t=3 s
v0 = 0 m/s
3) Hareket denklemini uygula
y
+  Fy = 0  -20 g (cos°) + N = 0
°
 N = 169.9 N
W = 20 g x
T
Fk= 0.3 N
+  Fx = m a  T – 20g(sin°) –0.3 N = 20 a
 T = 20 (9.81) (sin°) + 0.3(169.9) + 20 (1.333)
N
 T = 176 N
4- 39/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
KAVRAMSAL YOKLAMA
*
1. Eğer kabloda 3 N’luk bir çekme varsa,
B bloğunun ivmesini hesaplayın.
A) 4.26 m/s2 
B) 4.26 m/s2 
C) 8.31 m/s2 
D) 8.31 m/s2 
10 kg
k=0.4
4 kg
2. Bloğun ivmesini hesaplayın.
A) 2.20
m/s2

C) 11.0 m/s2 
B) 3.17
m/s2
30

•
D) 4.26 m/s2 
= 60 N
5 kg
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 40/103
20
17.9.2017
ÖRNEK 5
*
Verilen: 300-kg’lık B çubuğu,
başlangıçta durağan haldeyken, seri
haldeki küçük tekerler üzerinden
çekiliyor. M motoru kabloyu
v = (0.4 t2) m/s ile içine sarmaktadır,
burada t saniye cinsindendir.
İstenen: Kablodaki kuvvet
ve t = 5 s anındaki s mesafesi.
Plan: Hem kuvvet hem de hız terimlerini içerdiğinden, bu
problem hem kinematik hem de kinetik (hareket denklemi)
gerektirmektedir.
1) Çubuğun SCD ve kinetik diyagramını çizin.
2) İvmeyi ve kuvveti bulmak için hareket denklemini uygulayın.
3) Kinematik denklem kullanarak, mesafeyi hesaplayın.
4- 41/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK 5 (devam)
*
Çözüm:
1) Çubuğun serbest cisim diyagramı ve kinetik diyagramı:
W = 300 g
y
T
x
=
300 a
N
Çubuğun x ekseni yönünde hareket ettiğine dikkat!!
2) x yönündeki harekete, skaler hareket denklemini uygulayın,
+   Fx = T = 300 a
v = 0.4 t2 olduğundan a = ( dv/dt ) = 0.8 t
T = 240 t  t = 5s anında T = 1200 N olur.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 42/103
21
17.9.2017
ÖRNEK 5 (devam)
*
3) Mesafeyi hesaplamak için kinematik denklem kullanılırsa;
v = (0.4 t2) m/s olduğundan
s = s0 + vdt = 0 +
s=
.
(0.4 t2) dt
t
t = 5 s anında,
s=
.
5 = 16.7 m
4- 43/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
DİKKAT YOKLAMASI
*
1. 400 kg’lık kutu 4 m/s2 ivme ile yukarı yönde
hareket ediyorsa, kablodaki T çekme
kuvvetini hesaplayın.
A) 2265 N
B) 3365 N
C) 5524 N
D) 6543 N
T
60
a = 4 m/s2
2. 10 N’luk bir parçacığa F1= (3i + 5j) N ve F2= (-7i + 9j) N
olmak üzere iki kuvvet etkimektedir. Parçacığın ivmesini
hesaplayın.
A) (-0.4 i + 1.4 j) m/s2
B) (-4 i + 14 j) m/s2
C) (4i - 14 j) m/s2
D) (0.4 i – 1.4 j) m/s2
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 44/103
22
17.9.2017
ÖRNEK 6 (Ders haricinde incelenecektir)
M motorunun kabloya
uyguladığı kuvvet
diyagramda gösterildiği
gibiyse, vagonun t=3 s
anındaki hızını bulunuz.
Vagon ve yükün kütlesi
200 kg’dır ve başlangıç
anında vagon durağandır.
(Sürtünmeler ihmal
edilecektir.)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 45/103
ÖRNEK 6 (devam)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 46/103
23
17.9.2017
ÖRNEK 6 (devam)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 47/103
ÖRNEK 6 (devam)
0<t<3 sn bölgesi
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 48/103
24
17.9.2017
HAREKET DENKLEMLERİ:
NORMAL VE TEĞETSEL KOORDİNATLAR
*
Bugünün Hedefleri:
1. Normal ve teğetsel
koordinatlar kullanarak
hareket denkleminin
uygulanması.
Sınıf Etkinliği:
• Sözel Yoklama
• Uygulamalar
• n-t Koordinatları ile
Hareket Denklemi
• Kavramsal Yoklama
• Örnek Problem Çözümü
• Dikkat Yoklaması
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 49/103
SÖZEL YOKLAMA
*
1. Hareket denkleminin “normal” bileşeni Fn=man olarak
yazılabilir, burada Fn _______ olarak adlandırılır.
A) impuls
B) merkezcil kuvvet
C) teğetsel kuvvet
D) atalet kuvveti
2. Normal ve teğetsel koordinatlardaki pozitif n yönü
____________.
A)
B)
C)
D)
teğetsel bileşene normaldir
her zaman eğrilik merkezine yönelmiş durumdadır
binormal bileşene normaldir
üsttekilerin tümü.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 50/103
25
17.9.2017
*
UYGULAMALAR
Yarış pistlerindeki yolun dönemeç kısımları (kurb), yüksek
hızlardaki araçların savrularak yan yola geçmesini engelleyen
sürtünme kuvvetlerini azaltmak için genellikle eğimlidir.
Eğer aracın hızını maksimuma çıkarıp tekerle yol arasındaki
sürtünme katsayısını minimuma indirirseniz, aracın yolun
dışına savrulmasını önleyen minimum eğim açısını (, enine
eğimi) nasıl hesaplarsınız?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
4- 51/103
UYGULAMALAR (devam)
Bu resimde, eğlence parklarında bulunan bir “radar” görülmektedir.
Hidrolik olarak beslenen kollar sabit bir hızla dönerken kabinlerde
bulunan kişilere bir merkezcil kuvvet uygular.
A ve B kabinlerinde bulunan yolcuların, oturakları ile temasını
kaybetmemesi için gerekli en küçük açısal hızları
hesaplamamız gerekir.
Bu hesap için hangi parametrelere ihtiyacımız bulunur?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 52/103
26
17.9.2017
*
UYGULAMALAR (devam)
Uydular, dünyanın çekim kuvvetini merkezcil kuvvet olarak
kullanarak dünya etrafındaki yörüngelerinde kalmaya devam
ederler. Bu kuvvet, uydunun hız vektörünün yönünü değiştirir.
Uydunun yörüngesinin yarıçapı bilindiğinde, uydunun bu
yörünge üzerinde kalabilmesi için hangi hızda olması
gerektiğini hesaplamamız gerekir. Bu durumu hangi denklemle
4- 53/103
kontrol ederiz?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
NORMAL VE TEĞETSEL KOORDİNATLAR
(Bölüm 13.5)
Eğer parçacık eğrisel bir yol
üzerinde hareket ediyorsa,
hareket denklemini normal ve
teğetsel koordinatlar cinsinden
yazmak daha uygun olabilir.
Eylemsiz koordinat
sistemi
Normal yön (n) her zaman yolun eğrilik merkezine yönelmiş
durumdadır. Bir çemberde eğrilik merkezi, çemberin merkezidir.
Teğetsel yön (t) yörüngeye teğettir, genellikle parçacığın
hareket yönündeyken pozitif olarak seçilir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 54/103
27
17.9.2017
HAREKET DENKLEMLERİ
*
Hareket denklemi bir vektörel
denklem olduğundan, F = ma,
n ve t koordinatları cinsinden de
yazılabilir,
an
at
Eylemsiz koordinat
sistemi
Ftut + Fnun+ Fbub = mat+man
Burada Ft ve Fn , sırasıyla t ve n
yönlerinde etkiyen kuvvet bileşenlerinin toplamlarıdır.
Bu vektörel denklem, ancak eşitliğin her iki tarafındaki aynı
eksendeki bileşenlerin ayrı ayrı birbirine eşit olması ile sağlanır ve
iki skaler denklem ile sonuçlanır: Ft = mat ve Fn = man
Binormal (b) yönde herhangi bir hareket olmadığından, ayrıca
Fb = 0 yazabiliriz.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
4- 55/103
NORMAL VE TEĞETSEL KOORDİNATLAR
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 56/103
28
17.9.2017
*
NORMAL VE TEĞETSEL İVME
Teğetsel ivme, at = dv/dt, hızın büyüklüğünün zamanla değişimini
ifade eder. Ft ’nin yönüne bağlı olarak parçacığın hızı artmaktadır
ya da azalmaktadır.
Normal ivme, an = v2/, hız vektörünün yönünün zamanla değişimini
ifade eder. an’in her zaman yörüngenin eğrilik merkezine doğru
olduğunu hatırlayın!! Bu sebeple Fn her zaman yörünge merkezine
doğrudur.
Eğer hareketin yörüngesi y = f(x)
fonksiyonu ile tanımlanmışsa, eğri
üzerindeki herhangi bir noktanın
eğrilik yapıçapını yandaki formülle
hesapladığımızı hatırlayalım!!
1
ρ
dy
dx
d y
dx
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
/
4- 57/103
n-t KOORDİNATLAR İLE PROBLEMİ ÇÖZME
• Eğer parçacık bilinen bir eğrisel yörünge (yol) üzerinde
hareket ediyorsa n-t koordinatlarını kullanın.
• Parçacık üzerine n-t koordinatını yerleştirin.
• Parçacığın SCD ve kinetik diyagramını çizin. Normal ivme (an) her
zaman “içeriye” doğru (positif n-yönü) etkir. Teğetsel ivme ise
hem pozitif hem de negatif t yönünde etkiyebilir.
• Hareket denklemini skaler formda uygulayın ve çözün.
• Problemin türüne göre kinematik ilişkiler kurmak gerekebilir:
at = dv/dt = v dv/ds
an = v2/
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 58/103
29
17.9.2017
ÖRNEK 7
*
Verilen: 10-kg’lık bir top düşey duran
dairesel yolun A noktasındayken 3 m/s’lik
bir hıza sahiptir.
İstenen: Kablodaki çekme kuvveti ve
topun süratindeki artış.
Plan: 1) Problem eğrisel bir yörünge içerdiğinden ve yola dik
olan kuvvetin bulunmasını gerektirdiğinden
n-t koordinatlarını kullanın. Topun SCD ve kinetik
diyagramlarını çizin.
2) n-t yönlerinde hareket denklemlerini uygulayın.
4- 59/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK 7 (devam)
*
Çözüm:
1) Topun A noktasına n-t
koordinat sistemi yerleştir,
yani ° açıyla.
Topun SCD ve kinetik
diyagramını çiz.
Kinetik diyagram
n
man
SCD
n

T
W
=
t
t
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
mat
4- 60/103
30
17.9.2017
ÖRNEK 7 (devam)
*
2) n-t yönlerinde hareket denklemlerini uygula.
SCD
n
(a) Fn = man  T – W sin ° = m an
an = v2/ = 32/2, W = 10(9.81) N ve
 T – 98.1 sin ° 10)
m = 10 kg
W
T

(32/2)
t
 T = 114 N
Kinetik diyagram
(b) Ft = mat
 W cos ° = mat
n
man
 98.1 cos ° = 10 at
 at = (dv/dt) = 6.94 m/s2
mat
t
4- 61/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
KAVRAMSAL YOKLAMA
*
1. 10 kg’lık bir çuval düzgün bir yüzey üzerinden aşağı doğru
kaymaktadır. Eğer yüzeyin yatay hale geldiği A’da normal kuvvet
98.1 N () ise eğrilik yarıçapı ____.
A) 0.2 m
B) 0.4 m
C) 1.0 m
D) hiçbiri.
v=2m/s
A
2. 20 N’luk blok düzgün bir yüzey üzerinde hareket ediyor. Eğer A
noktasında yüzey üzerindeki normal kuvvet 10 N ise, hız _____.
A) 5.9 m/s
B) 11.8 m/s
C) 17.7 m/s D) 23.7 m/s
20-10 N = (20 N/9.81 m/s2)*v2 / 7 m
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
A
=7 m
4- 62/103
31
17.9.2017
ÖRNEK 8
*
Verilen: Çocuk 200 N’luk bir ağırlığa
sahiptir.  = 60° anında çocuğun G
ağırlık merkezi v = 5 m/s ’lik bir hıza
sahiptir.
3m
İstenen: Salınan iki zincirin herbirindeki
çekme kuvveti ve tam o anda süratindeki
artış oranı.
Plan: 1) n-t koordinat sistemini kullan ve çocuğun bir
parçacık olduğunu farzet. SCD ve kinetik
diyagramları çiz.
2) n-t yönleri için hareket denklemini uygula.
4- 63/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK 8 (devam)
*
Çözüm:
1) Çocuk üzerindeki n-t koordinat
sistemi °’lik açı ile yerleştirilebilir.
Çocuğu bir yumurcak/parçacık
olarak düşünecek olursak SCD ve
kinetik diyagramlar şu şekilde
çizilebilir.
SCD

W

3m
Kinetik diyagram
n
2T
t
=

n
man
mat
t
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 64/103
32
17.9.2017
ÖRNEK 8 (devam)
*
SCD
Kinetik diyagram
W

n
2T
=

n
man
mat
t
t
2) n-t yönleri için hareket denklemini uygula.
Fn = man  2T  W sin ° = man
an = v2/ = 52/3, W = 200 N, m = (200 / 9.81) = 20.39 kg
T = 171 N
Ft = mat  200 cos ° = 20.39 at

at = v = 4.91 m/s2
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
4- 65/103
ÖRNEK 9
Verilen: 800 kg’lık bir araba
parabol şeklindeki bir tepe
üzerinde seyahat etmektedir. Araba
A noktasında iken, hızı ve teğetsel
ivmesi v = 9 m/s ve a = 3 m/s2 ’dir
(arabanın boyutu ihmal edilecek)
İstenen: Arabanın, yolun A noktasına uyguladığı bileşke normal
kuvvet ve bileşke sürtünme kuvveti (k verilmedi ??).
Plan: 1) Arabanın bir parçacık olduğunu varsay ve SCD ve
kinetik diyagramını çiz.
2) n-t yönlerinde hareket denklemlerini uygula.
3) Yolun A noktasındaki eğimini ve eğrilik yarıçapını
bulmak için kalkülüs (türev-integral işlemleri) kullan.
4- 66/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
33
17.9.2017
ÖRNEK 9 (devam)
*
Çözüm:
1) n-t koordinat sistemi arabanın
üzerine A noktasında iken
yerleştirilebilir. Aracın parçacık
olduğunu düşünün ve serbest cisim
ve kinetik diyagramlarını çizin.
W
F
N
n

=

man
mat
n
t
t
W = mg = arabanın ağırlığı
N = yol üzerindeki bileşke normal kuvvet
F = yol üzerindeki bileşke sürtünme kuvveti
4- 67/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
ÖRNEK 9 (devam)
2) n-t yönlerinde hareket denklemlerini uygula :
W
 Fn = man  W cos  – N = man
F
W = mg ve an = v2/ = (9)2/ kullanılarak
 (800)(9.81) cos  – N = (800) (81/)
 N = 7848 cos  – 64800 / 
Denk. (1)
 Ft = mat  W sin  – F = mat

N

n
II
man
mat
W = mg ve at = 3 m/s2 (verilen) kullanılarak n
 (800)(9.81) sin  – F = (800) (3)
 F = 7848 sin  – 2400
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
t
t
Denk. (2)
4- 68/103
34
17.9.2017
ÖRNEK 9 (devam)
*
3) x = 80 m’de y = f(x)’i türevleyerek  ’yu hesapla :
y = 20(1 – x2/6400)  dy/dx = (–40) x / 6400 ; x=80 iken =–0.5
 d2y/dx2 = (–40) / 6400 = –0.00625
 =
dy 2 3/2
[1 + (–0.5)2]3/2
)]
dx
=
= 223.6 m
d2y
0.00625
dx2
[1 + (
x = 80 m
Eğrinin A noktasındaki eğimini kullanarak  ’yı hesapla:
dy
tan  = dy/dx

dx
x = 80 m
 = tan-1 (dy/dx) = tan-1 (-0.5) = 26.6°
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
*
4- 69/103
ÖRNEK 9 (devam)
Denk. (1)’den: N = 7848 cos  – 64800 / 
= 7848 cos (26.6°) – 64800 / 223.6 = 6728 N
Denk. (2)’den : F = 7848 sin  – 2400
= 7848 sin 26.6° – 2400 = 1114 N
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 70/103
35
17.9.2017
DİKKAT YOKLAMASI
*
1. Bir cismin teğetsel ivmesi
A) hız vektörünün yönündeki değişimi ifade eder.
B) hızın büyüklüğündeki değişimi ifade eder.
C) eğrilik yarıçapının bir fonksiyonudur.
D) Hem B hem de C.
2. 20 kg’lık bloğun sürati, sarkacın en alt noktasında
olduğu anda v = 30 m/s ’dir. Kablonun o andaki
çekme kuvvetini hesaplayın.
A) 1596 N
B) 1796 N
C) 1996 N
D) 2196 N
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
10 m

v = 30m/s
4- 71/103
ÖRNEK 10 (Ders dışında incelenecek)
Orijinal uzunluğu (uzamamış
boyu) 0.6 m olan yaya 5kg’lık
kütle asılıdır. Top 1.8 m/s’lik
teğetsel hıza sahip olduğunda
oluşan θ açısını bulun.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 72/103
36
17.9.2017
ÖRNEK 10 (devam)
( l : uzamış haldeki yay uzunluğu )
4- 73/103
ÖDEV 1
Şekildeki araç, düşey kurbun (yol eğrisinin) tepesini
A noktasında 50 km/saat hızla geçip ardından B’de yolun en çukur
noktasına ulaşıyor. Her iki noktada da eğrilik yarıçapı 80 m ve
aracın kütle merkezi yoldan 1 m yukarıda olduğuna göre,
B noktasında yol ve tekerler arasındaki normal kuvvetin,
A noktasındakinin 2 katı olması için aracın B’deki hızı ne olmalıdır?
Cevap: VB = 19.97 m/s
4- 74/103
37
17.9.2017
HAREKET DENKLEMİ:
SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR
Bugünün Hedefleri:
1. Silindirik koordinatlar
kullanarak bir parçacığın
kinetiğini analiz etme.
Sınıf Etkinliği:
• Sözel Yoklama
• Uygulamalar
• Silindirik Koordinatlar
Kullanarak Hareket Denklemi
• Radyal ve Enine Yönler
Arasındaki Açı
• Kavramsal Yoklama
• Örnek Problem Çözümü
• Dikkat Yoklaması
4- 75/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
SÖZEL
YOKLAMA
READING
QUIZ
1. Yolun parçacığa uyguladığı normal kuvvet her zaman
_________’ye/ne diktir.
A) radyal çizgi
B) enine doğrultu
C) yolun teğeti
D) Hiçbiri.
2. Bir parçacık üzerine etkiyen kuvvetler silindirik bileşenlere
ayrıldığında, sürtünme kuvvetleri her zaman __________
yönde etkir.
A) radyal
B) teğetsel
C) enine
D) Hiçbiri.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 76/103
38
17.9.2017
UYGULAMALAR
400 N ağırlığındaki çocuğa
etkiyen kuvvetler silindirik
koordinatlar kullanılarak analiz
edilebilir.
Helisel kaydırakta aşağı doğru
ilerlerken cocuk üzerine
etkiyen sürtünme kuvvetlerini
tanımlamak için nasıl bir
denklem yazardınız?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 77/103
UYGULAMALAR (devam)
Uçak yukarıda görülen sekilde düşey bir takla attığında
merkezcil kuvvet, pilot üzerinde kendi ağırlığından daha küçük
bir normal kuvvet (görünen ağırlık) oluşmasına neden olur.
Pilotun A noktasında ağırlıksız durumda kalması için gerekli
olan hızı nasıl hesaplarız?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 78/103
39
17.9.2017
SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR
(Bölüm 13.6)
Problem çözmek için kullanılan bu
yaklaşımın bir önceki bölümde
çalışılan normal ve teğetsel
koordinatlar ile bazı dış benzerlikleri
vardır. Bununla birlikte yörüngenin
(yolun) çok daha karışık veya silindirik
koorinatların kullanılmasını
gerektirecek bazı özellikleri olabilir.
Silindirik koordinatlarda
(r,  ve z koordinatları kullanarak) yazılan denge denklemleri
veya “Hareket Denklemleri” skaler
ifade edilebilir:
 formda

2
 Fr = mar = m (r – r  )
  
 F = ma = m (r  – 2 r )

 Fz = mazÇeviren:
= mDoç.Dr.İS
z MISIR
4- 79/103
SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR
(devam)
Eğer parçacığın hareketi sadece r –  düzleminde olacak şekilde
sınırlandırılmışsa (örneğin z koordinatı sabit), bu durumda sadece
aşağıda gösterilen ilk iki denklem kullanılacaktır. Dolayısıyla
koordinat sistemi, polar koordinat sistemi haline gelmektedir.
Bu durumda yol sadece  ’nın bir fonksiyonu olur.


 Fr = mar = m(r – r 2 ) 
 
 F = ma = m(r – 2r)
Sabit orijinli bir koordinat sistemi kullanıldığına dikkat edin,
n-t yaklaşımında olduğu gibi “cisim merkezli” bir sistem değildir.
Silindirik koordinatlarda karşılaşılan en direkt problemler, bilinen ivmelerin
oluşturduğu  Fr ,  F ,  Fz kuvvetlerinin bulunmasıdır. Ancak eğer
parçacığın hareketi, herhangi bir anda tanımlı değilse, bu durumda kuvvetin
yönüyle ve şiddetiyle ilgili bazıÇeviren:
bilgilere
ihtiyaç vardır.
Doç.Dr.İS MISIR
4- 80/103
40
17.9.2017
TEĞETSEL VE NORMAL KUVVETLER
Eğer bir P kuvveti bir parçacığı r = f () ile tanımlanmış bir
yol üzerinde harekete zorluyorsa, yolun parçacık üzerine
uyguladığı N normal kuvveti her zaman yolun teğetine diktir.
F sürtünme kuvveti ise her zaman yolun teğeti doğrultusunda
ve hareketin tersi yönde etkir. N ve F ’nin yönleri  açısı
kullanılarak radyal koordinata göre tanımlanabilir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 81/103
AÇISININ HESABI
Uzatılmış radyal çizgi ve eğrinin
teğeti arasında tanımlanan  açısı,
bazı problemlerin çözümü için
gerekli olabilir.
Bu açı aşağıdaki ilişki ile
hesaplanabilir.
tan
/
Eğer  hesap sonucu pozitif çıkarsa, pozitif yönde (radyal
çizgiden teğete doğru saat ibrelerine ters yönde) gösterilir,
eğer negatifse saat ibreleri yönde gösterilir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 82/103
41
17.9.2017
AÇISININ HESABI
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 83/103
ÖRNEK 11
Verilen: 0.2 kg’lık pim (P),
geometrisi r = (0.6 cos 2) m ile
tanımlanan düz yüzeyli eğrisel bir
kanal (slot) içinde bir harekete
zorlanmaktadır (r metre cinsinde)
Slotlu OA kolu ise = 3 rad/s ‘lik
sabit bir açısal hıza sahiptir.
Hareket düşey düzlemdedir.
İstenen:  = 0 iken OA kolunun P
pimi üzerine uyguladığı kuvvet.
Plan: 1) SCD ve kinetik diyagramı çizin.
2) Kinematik denklemleri silindirik koordinatlar için çıkarın.
3) Kuvveti bulmak için hareket denklemini uygulayın.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 84/103
42
17.9.2017
ÖRNEK 11 (devam)
Çözüm:
1) SCD ve kinetik diyagram:
 = 0iken r,  koordinat
sistemini yerleştir ve bu iki
diyagramı çiz.
SCD
Kinetik diyagram

W
r
N
=
ma
mar
4- 85/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK 11 (devam)
2) r
r
r
0.6cos 2 olduğu biliniyor, bu durumda:
1.2 sin 2
2.4cos 2 1.2sin 2 = 3 rad/s (verilmiş),
Kinematik:  = 0 ,
r 0.6 cos 0
0.6m
r 1.2 sin 0
3
0m/s
r 2.4cos 0 3
1.2sin 0 0
= 0 rad/s2.
21.6m/s
İvme bileşenleri
ar =
= - 21.6 – (0.6)(-3)2 = – 27 m/s2
a =
2 = (0.6)(0) + 2(0)(-3) = 0 m/s2
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 86/103
43
17.9.2017
ÖRNEK 11 (devam)
3) Hareket denklemi:  yönü
(+)  Fθ = maθ
N – 0.2 (9.81) = 0.2 (0)
N = 1.96 N 
SCD
Kinetik diyagram

ma
mar
W
r
=
N
ar = –27 m/s2
aθ = 0 m/s2
4- 87/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
KAVRAMSAL YOKLAMA
1. Bir pilot, uçağı ile düşeyde sabit r yarıçaplı
bir çember üzerinde sabit v hızı ile dönüşler
C
yaparken pilotun görünen ağırlığının
en büyük olduğu yer
A) A noktasıdır.
C) C noktasıdır.
B) B noktasıdır.
D) D noktasıdır.
B
r
A
D
2. Pilotun C noktasındaki ağırlığının bulunması gerekseydi,
problemi çözmek için aşağıdaki hangi yaklaşım en iyisi olurdu?
A) Hareket Denklemi: Silindirik Koordinatlar
B) Hareket Denklemi : Normal ve Teğetsel Koordinatlar
C) Hareket Denklemi : Polar kordinatlar
D) Fark yok – hepsi kullanışsız.
E) B ve C arasında yazı tura at.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 88/103
44
17.9.2017
ÖRNEK 12
Verilen: Parlak yüzeyli C
tenekesi A’dan B’ye doğru
kıvrılan ve r = (1.2 cos ) m ile
tanımlanan bir yoldan taşınmaktadır. Tenekenin kütlesi 3 kg’dır.
Hesaplarda sürtünmeyi ve
tenekenin boyutlarını ihmal et
İstenen:  = 30 ve açısal hız sabit = 0.5 rad/s iken yolun
tenekeye uyguladığı kuvvetler
Plan: 1) Kinematik denklemler kullanarak ivme bileşenlerini bul.
2) SCD ve kinematik diyagramı çiz.
3) Kuvvetleri bulmak için hareket denklemini uygula.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 89/103
ÖRNEK 12 (devam)
Çözüm:
1) Kinematik:
r 1.2 cos θ

r
1.2 sinθ θ

r
1.2 cosθ θ
1.2 sinθ θ
 = 30, θ = 0.5 rad/s and θ = 0 rad/s2 iken,
r = 1.039 m
r= 0.3 m/s
r = 0.2598 m/s2
İvmeler:
ar = r − rθ = − 0.2598 − (1.039) 0.52 = − 0.5196 m/s2
a = rθ + 2rθ = (1.039) 0 + 2 (0.3) 0.5 =  0.3 m/s2
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 90/103
45
17.9.2017
ÖRNEK 12 (devam)
2)
SCD

30
Kinetik Diyagram
3(9.81) N
ma
r
30
N

mar
F
3) Hareket denklemini uygula:
 Fr = mar  -3(9.81) sin30 + N cos30 = 3 (-0.5196)
 F = ma  F + N sin30  3(9.81) cos30 = 3 (-0.3)
N = 15.2 N, F = 17.0 N
4- 91/103
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
DİKKAT YOKLAMASI
1. Eğer r = 2 ve  = 2t ise t = 2 s için and
büyüklüğünü bulun.
A) 4 cm/sec, 2 rad/sec2
C)
8 cm/sec, 16 rad/sec2
’nün
B) 4 cm/sec, 0 rad/sec2
D) 16 cm/sec, 0 rad/sec2
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 92/103
46
17.9.2017
ÖRNEK 13 (Ders dışında incelenecek)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 93/103
ÖRNEK 13 (Devam)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 94/103
47
17.9.2017
ÖRNEK 13 (Devam)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 95/103
ÖRNEK 13 (Devam)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 96/103
48
17.9.2017
ÖRNEK 14 (Ders dışında incelenecek)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 97/103
ÖRNEK 14 (Devam)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 98/103
49
17.9.2017
ÖRNEK 14 (Devam)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 99/103
ÖRNEK 14 (Devam)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 100/103
50
17.9.2017
ÖRNEK 15 (Ders dışında incelenecek)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 101/103
ÖRNEK 15 (Devam)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 102/103
51
17.9.2017
ÖRNEK 15 (Devam)
0.96 m/s2
Fr = 131 N
Fθ = 38.4 N
Fz = 215 N
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
4- 103/103
52