Deney 4

DENEY NO: 9
DİNAMİK DEVRELERİN FREKANS DOMENİNDE İNCELENMESİ,
FREKANS KARAKTERİSTİKLERİ VE BODE DİYAGRAMLARI
Deneyin Amacı:
Lineer-zamanla değişmeyen 2-kapılı devrelerin Genlik-Frekans ve Faz-Frekans karakteristiklerinin (Bode Diyagramları) deneysel olarak çıkarılmasıdır.
Genel Bilgiler:
Elektriksel işaretin frekans spektrumuna biçim vermekte kullanılan devreye filtre denir.
Filtrelerin elektronik ve haberleşme sistemlerinde çeşitli uygulamaları vardır. Bunlar, genellikle,
sisteme uygulanan frekanslardan sadece istenenlerin geçirilmesi amacıyla kullanılmaktadır.
Filtreler, kuvvetlendiriciler gibi çeşitli devrelerin; Sinüsoidal Sürekli Haldeki (SSH) devre
fonksiyonlarının H ( j ) ve bu fonksiyonlara ilişkin Genlik-Frekans ve Faz-Frekans
karakteristiklerinin bilinmesi mühendislik açısından oldukça önemlidir. Çünkü bir devreye
ilişkin devre fonksiyonunun frekansa bağlı olarak genlik ve faz değişimleri biliniyorsa, bu
durumda, o devrenin girişine uygulanacak herhangi bir frekanstaki sinüsoidal işaretin, yine o
devrenin çıkışından hangi genlik ve fazda elde edileceği de biliniyor demektir.
Sonuç olarak, bu diyagramlara bakarak bir devrenin herhangi bir frekansta ne şekilde davrandığı;
yani bir kuvvetlendirme mi yoksa bir zayıflatma mı yaptığı; giriş işaretinin fazını çıkışta kaç
derece değiştirdiği, kolaylıkla anlaşılabilir. Bir devreye ilişkin devre fonksiyonu incelenirken,
frekans yanıtının geniş bir frekans aralığında (1Hz-1Ghz) incelenmesi gerekir. Faz ve genlik
(kazanç) yanıtının oldukça geniş bir aralığı (0-106) kapsaması nedeniyle, devre fonksiyonlarına
ilişkin diyagramların lineer ölçek kullanarak çizilmesi yerine logaritmik ölçek kullanarak
çizilmesi daha uygundur. Böylelikle geniş aralıkları kapsayan diyagramlar; küçük boyuttaki
koordinat sistemleri içine sığdırılır. Logaritmik-genlik ve faz açısının, logaritmik frekansa (log f)
veya logaritmik açısal frekansa (log  ) bağlı olarak değişimlerini gösteren diyagramlar ilk kez
H.W. Bode tarafından sunulmuştur.
Şekil 1’de ilk koşulları sıfır olan ve bağımsız kaynak içermeyen lineer bir 2-kapılı devrenin blok
gösterimi görülmektedir. Bu 2-kapılıya ilişkin devre fonksiyonu Hv(s) olup Hv(s)=V2(s)/V1(s)
biçiminde gerilim-transfer fonksiyonunu veya HI(s)=I2(s)/I1(s) biçiminde akım transfer
fonksiyonunu göstermektedir. Bu deneyde yalnızca gerilim transfer fonksiyonları ile
ilgilenilecektir. Ancak benzer deneysel işlemler akım transfer fonksiyonları için de geçerlidir.
Şekil 1. İki Kapılı Devre
Eğer bir devreye ilişkin H(s) devre fonksiyonu biliniyorsa bu devre fonksiyonunun Sinüsoidal
Sürekli Hal’deki H(j) ifadesini bulmak oldukça kolaydır. Bunun için H(s) devre fonksiyonunda
1
s kompleks değişkeni (s=+j yerine s=j(=0konulması ve düzenlenmesi yeterlidir. Bu
söylenenler matematiksel olarak, H(j)=H(s)|s=j eşitliği ile gösterilir.
Sinüsoidal Sürekli Halde H(s) devre fonksiyonu;
H(j)=H(j) H(j) = H(j) ej()
biçiminde yazılabilir.
Burada H(j) devre fonksiyonunun genliğini (modülünü, kazancını), () =H(j) ise fazını
gösterir. Genlik fonksiyonu birimsiz olup faz fonksiyonunun birimi derecedir. Bode
diyagramlarında H(j)’nın logaritmik genlik değeri;
H(j)dB20 log10H(j) dB
olarak tanımlanır ve birimi decibel’dir (dB).
Örneğin genlik değeri |H(j)|=100 olan devre fonksiyonunun logaritmik genlik değeri decibel
olarak, |H(j)|dB = 40 dB olarak bulunur.
Devre Fonksiyonlarına ilişkin Genlik H(j)dB ve Faz H(j) fonksiyonlarının log f veya
log ’ya bağlı değişimlerini gösteren diyagramlara Bode Diyagramları adı verilir.
Şekil 1’deki 2-kapılıya ilişkin giriş gerilimi v1(t)=V1mcos(t+, çıkış gerilimi
v2(t)=V2mcos(t+ise SSH’de çıkış geriliminin fazörünün giriş geriliminin fazörüne oranı
aşağıdaki biçimde yazılır.
V ( j ) V2 me j 2
H ( j )  2

V1 ( j ) V1me j1
Bu orandan yararlanarak H(j)’ya ilişkin genlik fonksiyonu;
V ( j ) V2m
H ( j )  2

olarak bulunur.
V1 ( j ) V1m
Eğer V1m=1V olarak alınırsa 2-kapılının çıkışında ölçülen gerilimin maksimum genlik değeri V2m
aynı zamanda gerilim transfer fonksiyonunun genlik değerine eşit olur. Bu nedenle deneyde;
genlik ölçme işlemlerini kolaylaştırmak amacı ile, V1m=1V olarak alınacaktır. Örneğin; Şekil
1’deki 2-kapılıya v1(t)=1cos(t+00)V’luk bir işaret uygulansın ve çıkış geriliminin değişimi de
0.707cos(2t+45o) olarak ölçülmüş olsun. Bu durumda |H(j)|=0.707, 45 olarak bulunur.
Gerilim transfer fonksiyonunun fazı, çıkış ve giriş işaretleri arasındaki faz farkına eşit olup;
()=H(j)=2-1=(t2-t1) = .t
ifadesiyle bulunur.
Şekil 2’de bir devreye ilişkin genlik-frekans ve faz-frekans karakteristikleri (Bode diyagramları)
görülmektedir. Bu karakteristiklerin çiziminde düşey ekseni lineer, yatay ekseni logaritmik
olarak ölçeklendirilmiş yarı-logaritmik kağıtlardan yararlanılır. Bu örnekte, yatay eksende ard
arda verilmiş olan 1 ve 2 gibi iki açısal frekans arasındaki aralık 1 dekad’tır ( 2=101). Bazen
Bode diyagramlarının çiziminde; özellikle dar bir frekans bandında yapılan incelemelerde, 1 ve
2 gibi iki açısal-frekans arasındaki aralık 1 oktav 2=21) olarak da verilir. Şekil 2’deki genlik
karakteristiğinin geçiş bandındaki eğimi -20 dB/dekad, faz-karakteristiğinin eğimi de -45
derece/dekad’tır. 20 dB/dekad dB/oktav dır.
2
Şekil 2. Bode diyagramları
Band geçiren pasif filtre devresi Şekil 3’de verilmiştir.
|H(j)|
1

Şekil 3.
0
Şekil 4.
Şekil 3’deki devrede 1. düğüme K.A.Y uygulanarak v2  t  için integro-diferansiyel denklem
aşağıdaki şekilde verilebilir:
dv  t  1 t
1
 C 2
v
t

v
t
  v2  t  dt




2

R
dt
L 0
Burada ilk koşul iL  0   0 olarak alınmıştır. Laplace dönüşümü uygulanırsa şu sonuç elde edilir:
1
1
1
V  s   V2  s   CsV2  s   V2  s 
R
R
Ls
Buradan ise aşağıdaki transfer fonksiyonu ifadesi elde edilir:
3
1
s
RC
H s 

V  s  s2  1 s  1
RC
LC
V2  s 
Tanım olarak aşağıdaki ifadeler verilirse:
0 
1
C
,QR
L
LC
Burada,  o : Merkez Frekansı, Q : Kalite Faktörü
Yukarıdaki transfer fonksiyonu ifadesi
0
H s 
Q
s2 
0
Q
s
s  0 2
haline gelir. Sinüzoidal sürekli hal için genlik ifadesi;
H  j  
1
12
2

0  
2 
1  Q    

 0   
şeklindedir. H  j  ’nın açısal frekansa göre grafiği Şekil 4’de verilmiştir.
Deney Öncesi Hazırlıklar:
1. Şekil 5a ve Şekil 5b'deki devrelerin H(j) gerilim transfer fonksiyonlarını, |H(j)| genlik ve
H(j) faz fonksiyonlarını bulunuz.
2. ORCAD 16.3 programını kullanarak Şekil 5a ve 5b’deki devrelerin AC analiz (AC sweep)
simülasyonunu gerçekleştiriniz. Bu işlem için v1 gerilim kaynağı yerine ORCAD 16.3
programında “VAC” elemanı bağlayınız. Analiz türü olarak “AC Analiz” seçiniz. AC kaynağın
tepe değeri 1V, frekans analiz aralığı 10Hz ile 1GHz arası olacaktır. Gerilim probunu CH2
olarak gösterilen uca koyunuz. Bu durumda simülasyon penceresinde V2(j) değişkeninin
frekansa bağlı olarak değişimini gözlemleyeceksiniz. V1’in gerilim kaynağının tepe değeri 1 V
olduğu için bu gözlemlenen değer aynı zamanda |H(j)|-frekans değişimidir. Grafiğin x
ekseninin logaritmik olacak şekilde belirleyiniz. Bu simülasyon işlemleri sonucunda elde edilen
genlik-frekans karakteristiklerini yorumlayınız. Bu filtre devrelerinin ne tür bir filtre devresi
olduğunu belirleyiniz ve filtre devrelerinin fc köşe frekans değerlerini grafik üzerinden bulunuz.
Aynı zamanda y eksenini dB boyutunda ifade edebilmek için dB((Çıkış Gerilimi)/(Giriş
Gerilimi)) veya 20*log10((Çıkış Gerilimi)/(Giriş Gerilimi)) işlemini gerçekleyiniz ve elde edilen
grafiği rapora ekleyiniz. Son olarak
-frekans (faz-frekans) karakteristiklerini elde
etmek için PSPICE simülasyon penceresinde P((Çıkış Gerilimi)/(Giriş Gerilimi)) işlemini
gerçekleyerek faz-frekans karakteristiğini elde ediniz ve grafiği raporda veriniz.
4
3. Şekil 5’deki devreler için köşe frekansı fk’yı bulup tablolara yazınız. Tablolardaki frekanslara
karşılık düşen periyodları bulunuz. Tablo 1 ve Tablo 2’deki hesap kısımlarını doldurunuz.
4. Şekil 3’de verilen band geçiren filtre devresindeki eleman değerleri R=100 Ω, L=1 mH,
C=100 nF’dır. Gerilim transfer fonksiyonunu
bulunuz.
-frekans
karakteristiğini ve
-frekans karakteristiklerini elle yaklaşık olarak çiziniz. Devrenin,
hangi tür filtre karakteristiğini sağladığını belirleyiniz. Filtrenin merkez frekansını ve kalite
faktörünü hesaplayınız.
5. ORCAD 16.3 programını kullanarak Şekil 3’deki devrenin AC analiz işlemini gerçekleyiniz.
Genlik-frekans ve faz-frekans karakteristiklerini elde ediniz. Elde ettiğiniz simülasyon
sonuçlarını rapora ekleyiniz.
6. Tablo 3’deki hesap kısımlarını doldurunuz.
7. Şekil 3’de verilen devrenin girişine frekans değeri 10 kHz olan %50 duty cycle oranına sahip
bir kare dalga uygulayınız. Bu işlem için ORCAD 16.3 programında “source” kütüphanesinde
bulunan VPULSE kaynağını kullanınız. VPULSE elemanının özellik sayfasında TD=TF=TR=0
yapınız. İstenilen işareti elde etmek için V1=0 V, V2=1 V yapınız. İşaretin periyot değerini
“PER=0.1m” yaparak ayarlayınız. Darbe genişliğini ise “PW=0.05m” yaparak ayarlayınız.
Devrenin zaman domeninde analizi gerçekleştirilecektir. Bunun için analiz türü olarak “Time
domain(Transient)” seçiniz. Analiz penceresinde çalışma zamanı ve maximum adım sayısı
değerlerini uygun şekilde giriniz. İlk olarak giriş işaretinin zamana göre değişimini inceleyiniz
ve kare dalga şeklini gözlemleyiniz. Sonra da çıkış geriliminin zamana göre değişimini
gözlemleyiniz. Elde edilen sonucu yorumlamaya çalışınız.
8. Bir önceki şıkta uyguladığınız VPULSE gerilim kaynağının frekansını 16 kHz olacak şekilde
ayarlayınız. Bunun için PER ve PW değerlerini hesaplayınız ve özellik penceresinde yazınız.
Zaman domeni analizini tekrarlayınız. Elde edilen simülasyon sonucunu yorumlayınız.
9. Bir önceki şıkta uyguladığınız VPULSE gerilim kaynağının frekansını 16 kHz olacak şekilde
bırakınız. Şekil 3’deki R değerini 1 k Ω olarak değiştiriniz. Zaman domeni analizini
gerçekleştiriniz. Elde edilen simülasyon sonucunu yorumlayınız.
Malzeme ve Cihaz Listesi
1. 1’er adet C1=2.2 nF, C2=4.7 nF,
C= 100nF kondansatör
2. 1’er adet R=6.8 kR= 1 kdirenç
3. 1 adet L=1m H endüktans
4. Çift kanallı osiloskop, iki adet prob
5. Deney Seti (CADET-I ve II)
Deney Sırasında Yapılacaklar:
Şekil 5. Filtre Devreleri
1. Şekil 5a’daki devreyi deney seti üzerinde kurunuz.(R=6,8k , C1=2,2 nF)
2. Tablo 1’de verilen her bir frekans değeri için deney setinden elde ettiğiniz sinüsoisdal
5
v1(t)=V1m cos(2ft) gerilimini devrenin girişine uygulayarak v2(t) çıkış geriliminin genliğini ve t
süresini ölçünüz. Değişik frekans değerlerinde giriş gerilimi v1(t)’nin genliğinin V1m=1V’da sabit
kalmasına dikkat ediniz. Değilse giriş işaretinin genliğini 1V’a ayarlayınız. Elde ettiğiniz ölçüm
sonuçları ile Tablo 1’i doldurunuz. Hesap ve deneysel yolla bulduğunuz sonuçlara göre genlik
karakteristiklerini yarı-logaritmik olarak ölçeklendirilmiş kağıtlarda (Şekil 6) aynı eksen takımı
üzerinde çiziniz. Aynı işlemi faz karakteristikleri için tekrarlayınız.
Tablo 1
ŞEKİL
5a
f
[Hz]
Hesap
T
[ms]
Hesap
V2m
[V]
Ölçme
t
[s]
Ölçme
H(j) =
t)180o/
Hesap
|H(j)|
H(j)
Hesap
Hesap
derece]
fk/100 =
fk/10 =
fk
=
10 fk =
100 fk =
3. Şekil 5b için önceki işlemleri tekrarlayınız, Tablo 2’yi doldurunuz.(R=6,8k ; C2=4,7 nF)
Tablo 2
ŞEKİL
5b
fk/100
fk/10
fk
10 fk
100 fk
f
[Hz]
Hesap
T
[ms]
Hesap
V2m
[V]
Ölçme
t
[s]
Ölçme
H(j) =
|H(j)|
o
t)180 /
Hesap
Hesap
H(j)
derece]
Hesap
=
=
=
=
=
4. Şekil 3’deki devre için önceki işlemleri tekrarlayınız, Tablo 3’ü doldurunuz. (R=100  ;
C=100 nF, L=1 mH)
Tablo 3
ŞEKİL
3
fm/100
fm/10
fm
10 fm
100 fm
f
[Hz]
Hesap
T
[ms]
Hesap
V2m
[V]
Ölçme
t
[s]
Ölçme
H(j) =
t)180o/
Hesap
|H(j)|
H(j)
Hesap
Hesap
derece]
=
=
=
=
=
6
5. Şekil 3’deki devrenin girişine frekans değeri 10 kHz ve tepe değeri 1 V olan bir kare dalga
gerilim işareti uygulayınız. Çıkış gerilim işaretini osiloskopta gözlemleyiniz.
6. Şekil 3’deki devrenin girişine frekans değeri 16 kHz ve tepe değeri 1 V olan bir kare dalga
gerilim işareti uygulayınız. Çıkış gerilim işaretini osiloskopta gözlemleyiniz.
7. Şekil 3’deki devrede R= 1k olarak alınız. Devrenin girişine frekans değeri 16 kHz ve tepe
değeri 1 V olan bir kare dalga gerilim işareti uygulayınız. Çıkış gerilim işaretini osiloskopta
gözlemleyiniz.
Sorular :
1. Şekil 3 ve 5’deki üç devrenin karakteristiklerinin geçiş-bandındaki eğimlerini bulunuz
(dB/dekad ve derece/dekad olarak.)
2. Her üç devrenin girişlerine v1(t)=10 cos(104t + 10) V uygulandığında v2(t) çıkış gerilimlerini
Bode diyagramlarından yararlanarak bulunuz.( = 0o, 45o ve 90o)
3. Filtre devreleri, girişlerine uygulanan elektriksel işaretlerin frekans spektrumuna biçim
vermekte kullanılan devrelerdir /2/. Genlik-frekans karakteristiklerine bakarak filtrelerin türü
belirlenebilir. Buna göre Şekil 5a ve b’deki devrelerin genlik-frekans karakteristiklerine bakarak
bunların ne tür filtreler olduğunu belirleyiniz.
4. Şekil 5 a ve 5’de kapasite elemanları yerine değeri L olan endüktans elemanları konulması
durumunda elde edilen devrelerin H(s) gerilim transfer fonksiyonlarını, |H(j)| genlik ve H(j)
faz fonksiyonlarını bulunuz. Bunları daha önce bulduklarınızla karşılaştırarak bu RL devrelerinin
ne tür filtre devreleri olduklarını belirleyiniz.
KAYNAKLAR:
/1/: ACAR C., “Elektrik Devrelerinin Analizi”, İTÜ Yayınları 1995, ISBN 975-561-046-4
Şekil 6
7